De thi HSG Toan 12-Nam Dinh 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - lỚP 12 THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (4 điểm) Cho hàm số
3 2
2 3= + −y x mx x

(1)
và đường thẳng
( ) : 2 2∆ = −y mx
(với
m
là tham số).
1) Khi
0=m
. Gọi đồ thị của hàm số đã cho là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) tại tiếp điểm M, biết khoảng cách từ M đến trục tung bằng 2.
2) Tìm
m
để đường thẳng
( )∆
và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A,
B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 3 (với A là điểm có hoành độ không đổi và
O là gốc toạ độ).
Câu 2. (5 điểm)
1) Giải phương trình
2sin 2 2sin 2 3
3
4cos4

cos
x x
x
x
π
 
− + +
 ÷
 
=
.
2) Giải hệ phương trình
( )
2
2 2 2
2 2
2 1 2 3 2 4 .

+ = +


+ + + + = −


xy y x
y x x x x x
(với
; ∈¡x y
)
Câu 3. (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng với toạ độ
Oxy
cho hình thang ABCD vuông tại A và D có
AB AD CD,= <
điểm
B(1;2)
, đường thẳng BD có phương trình
2y =
. Biết rằng
đường thẳng
( ): 7 25 0d x y− − =
lần lượt cắt các đoạn thẳng AD và CD theo thứ tự
tại M và N sao cho
BM BC
⊥
và tia BN là tia phân giác của góc MBC. Tìm toạ độ
đỉnh D (với hoành độ của D là số dương).
2) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
cho hai điểm
( ) ( )
A 1;2;1 ,B 1; 2;4−
và mặt
phẳng
( ) : 2 0P y z+ =
. Tìm toạ độ điểm
C ( )P∈
sao cho tam giác ABC cân tại B và
có diện tích bằng
25

2
.
Câu 4. (3 điểm) Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông với AB
2a
=
. Tam
giác SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc
tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng
ϕ
với
1
sin
3
ϕ
=
. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) theo
a
.
Câu 5. (3 điểm)
1) Tính tích phân
( )
2 3
32
4
1
ln 1+ + +
=

∫
x x x x
I dx
x
.
2) Từ các chữ số
0;1;2;3;4;5;6
thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ
số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số
6
.
Câu 6. (2 điểm) Cho các số thực
, ,x y z
thay đổi thoả mãn điều kiện
2 2 2
1.+ + =x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
( )
2
2
8
2
2
= + + −
+ + − − +
P xy yz xz
x y z xy yz
.
Họ và tên thí sinh :……………………… Chữ ký của Giám thị 1 : …………………………

Số báo danh : ……………………… Chữ ký của Giám thị 2 : …………………………
ĐỀ CHÍNH THỨC