CM BDT bằng tích phân và ĐL Lagrang

slide – 1/ 20
Sử dụng định lý Lagrang và tích phân chứng
minh bất đẳng thức

Ngày 26 tháng 3 năm 2013
Lý thuyết
Lý thuyết
Các ví dụ
Cảm ơn
slide – 2/ 20
Các ví dụ
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 3/ 20
Bài 1

Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 4/ 20
Chứng minh
a − b
a
< ln
a
b
<
a − b
b
, (1), ∀a, b ∈, 0 < b < a.
Bài 1

Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 4/ 20
Chứng minh
a − b
a
< ln
a
b
<
a − b
b
, (1), ∀a, b ∈, 0 < b < a.
Hướng dẫn

Bài 1
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 4/ 20
Chứng minh
a − b
a
< ln
a
b
<
a − b
b
, (1), ∀a, b ∈, 0 < b < a.

Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định lý Lagrang
Bài 1
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 4/ 20
Chứng minh
a − b
a
< ln
a
b
<
a − b

b
, (1), ∀a, b ∈, 0 < b < a.
Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định lý Lagrang
Ta thấy (1) tương đương với
1
a
<
ln a − ln b
a − b
<
1
b
.
Bài 1
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:

Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 4/ 20
Chứng minh
a − b
a
< ln
a
b
<
a − b
b
, (1), ∀a, b ∈, 0 < b < a.
Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định lý Lagrang
Ta thấy (1) tương đương với
1
a
<
ln a − ln b
a − b
<
1
b
.
Biểu thức
ln a − ln b
a − b
gợi ý cho ta sử dụng định l ý Lagrang.

Bài 1
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 4/ 20
Chứng minh
a − b
a
< ln
a
b
<
a − b
b
, (1), ∀a, b ∈, 0 < b < a.

Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định lý Lagrang
Ta thấy (1) tương đương với
1
a
<
ln a − ln b
a − b
<
1
b
.
Biểu thức
ln a − ln b
a − b
gợi ý cho ta sử dụng định l ý Lagrang.
Xét hàm s ố f(x) = ln x trên [b; a].
Bài 1
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:

Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 4/ 20
Chứng minh
a − b
a
< ln
a
b
<
a − b
b
, (1), ∀a, b ∈, 0 < b < a.
Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định lý Lagrang
Ta thấy (1) tương đương với
1
a
<
ln a − ln b
a − b
<
1
b
.
Biểu thức

ln a − ln b
a − b
gợi ý cho ta sử dụng định l ý Lagrang.
Xét hàm s ố f(x) = ln x trên [b; a].
Vì f(x) liên tục trên [b; a] và khả vi trên khoảng (b; a) nên
theo định lý Lagrang
Bài 1
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 4/ 20
Chứng minh
a − b
a
< ln

a
b
<
a − b
b
, (1), ∀a, b ∈, 0 < b < a.
Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định lý Lagrang
Ta thấy (1) tương đương với
1
a
<
ln a − ln b
a − b
<
1
b
.
Biểu thức
ln a − ln b
a − b
gợi ý cho ta sử dụng định l ý Lagrang.
Xét hàm s ố f(x) = ln x trên [b; a].
Vì f(x) liên tục trên [b; a] và khả vi trên khoảng (b; a) nên
theo định lý Lagrang ∃c ∈ (b; a) : f

(c) =
f(a) − f(b)
a − b
.

Bài 1
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 4/ 20
Chứng minh
a − b
a
< ln
a
b
<
a − b
b
, (1), ∀a, b ∈, 0 < b < a.

Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định lý Lagrang
Ta thấy (1) tương đương với
1
a
<
ln a − ln b
a − b
<
1
b
.
Biểu thức
ln a − ln b
a − b
gợi ý cho ta sử dụng định l ý Lagrang.
Xét hàm s ố f(x) = ln x trên [b; a].
Vì f(x) liên tục trên [b; a] và khả vi trên khoảng (b; a) nên
theo định lý Lagrang ∃c ∈ (b; a) : f

(c) =
f(a) − f(b)
a − b
.
Bài 1 (tiếp)
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)

Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 5/ 20
Ta có f

(x) =
1
x
⇒
1
c
=
ln a − ln b
a − b
Bài 1 (tiếp)
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)

Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 5/ 20
Ta có f

(x) =
1
x
⇒
1
c
=
ln a − ln b
a − b
Vì c ∈ (b; a) ⇒
1
a
<

1
c
<
1
b
⇒
1
a
<
ln a − ln b
a − b
<
1
b
⇔
a − b
a
< ln
a
b
<
a − b
b
.
Bài 1 (tiếp)
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)

Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 5/ 20
Ta có f

(x) =
1
x
⇒
1
c
=
ln a − ln b
a − b
Vì c ∈ (b; a) ⇒
1
a
<
1

c
<
1
b
⇒
1
a
<
ln a − ln b
a − b
<
1
b
⇔
a − b
a
< ln
a
b
<
a − b
b
.
Bài 1 (tiếp)
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2

Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 6/ 20
Cách 2: Sử dụng tích phân
Bài 1 (tiếp)
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:

Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 6/ 20
Cách 2: Sử dụng tích phân
Ta thấy (1) có dạng:
1
a
(b − a) < ln a − ln b <
1
b
(a − b) gợi ý
sử dụng tích phân.
Bài 1 (tiếp)
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)

Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 6/ 20
Cách 2: Sử dụng tích phân
Ta thấy (1) có dạng:
1
a
(b − a) < ln a − ln b <
1
b
(a − b) gợi ý
sử dụng tích phân.
Với ∀x ∈ (b; a) ⇒
1
a
<
1
x
<
1
b
.
Bài 1 (tiếp)
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3

Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 6/ 20
Cách 2: Sử dụng tích phân
Ta thấy (1) có dạng:
1
a
(b − a) < ln a − ln b <
1
b
(a − b) gợi ý
sử dụng tích phân.
Với ∀x ∈ (b; a) ⇒
1
a
<
1
x
<
1
b

.
Hàm số f (x) =
1
x
liên tục trên [b; a] nên ta có:
Bài 1 (tiếp)
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 6/ 20
Cách 2: Sử dụng tích phân
Ta thấy (1) có dạng:
1
a
(b − a) < ln a − ln b <

1
b
(a − b) gợi ý
sử dụng tích phân.
Với ∀x ∈ (b; a) ⇒
1
a
<
1
x
<
1
b
.
Hàm số f (x) =
1
x
liên tục trên [b; a] nên ta có:
a

b
1
a
dx <
a

b
1
x
dx <

a

b
1
b
dx ⇒
1
a
x




a
b
< ln x|
a
b
<
1
b
x




a
b
⇒
a − b

a
< ln a −ln b <
a − b
a
Bài 1 (tiếp)
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 6/ 20
Cách 2: Sử dụng tích phân
Ta thấy (1) có dạng:
1
a
(b − a) < ln a − ln b <
1

b
(a − b) gợi ý
sử dụng tích phân.
Với ∀x ∈ (b; a) ⇒
1
a
<
1
x
<
1
b
.
Hàm số f (x) =
1
x
liên tục trên [b; a] nên ta có:
a

b
1
a
dx <
a

b
1
x
dx <
a


b
1
b
dx ⇒
1
a
x




a
b
< ln x|
a
b
<
1
b
x




a
b
⇒
a − b
a

< ln a −ln b <
a − b
a
Bài 2
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 7/ 20
Chứng minh

1 +
1
n

n

< e <

1 +
1
n

n+1
,∀n ∈ R (2)
Bài 2
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 7/ 20
Chứng minh


1 +
1
n

n
< e <

1 +
1
n

n+1
,∀n ∈ R (2)
Hướng dẫn
Bài 2
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:

Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 7/ 20
Chứng minh

1 +
1
n

n
< e <

1 +
1
n

n+1
,∀n ∈ R (2)
Hướng dẫn
Ta có (2) ⇔
1
n + 1
< ln
n + 1
n
<
1
n
Bất đẳng thức có dạng của (1) vớ i a = n + 1, b = n

Bài 2
Lý thuyết
Các ví dụ
Bài 1
Bài 1 (tiếp)
Bài 1 (tiếp)
Bài 2
Bài 3
Bài 4
Bài 5:
Bài 6:
Bài 6 (tiếp)
Bài 7:
Bài 7 (tiếp)
Bài 7 (tiếp)
Bài 8:
Bài 8 (tiếp)
Bài 8 (tiếp)
Cảm ơn
slide – 7/ 20
Chứng minh

1 +
1
n

n
< e <

1 +

1
n

n+1
,∀n ∈ R (2)
Hướng dẫn
Ta có (2) ⇔
1
n + 1
< ln
n + 1
n
<
1
n
Bất đẳng thức có dạng của (1) vớ i a = n + 1, b = n