28 ĐỀ THI HSG TOÁN 9

—————————————————————————–
28 ĐỀ THI HSG TOÁN 9
—————————————————————————–
HUỲNH ĐỨC KHÁNH -
Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi
TOÁN 9
Mục lục
4 đề HSG TP. HCM : 2009 - 2010 - 2011 - 2012 trang 1 → 4
4 đề HSG TP. HÀ NỘI : 2009 - 2010 - 2011 - 2012 trang 5 → 8
4 đề HSG BÌNH ĐỊNH : 2009 - 2010 - 2011 - 2012 trang 9 → 12
4 đề HSG TP. ĐÀ NẴNG : 2009 - 2010 - 2011 - 2012 trang 13 → 16
8 đề HSG NGHỆ AN : 2009 - 2010 - 2011 - 2012 trang 17 → 24
4 đề HSG QUÃNG NGÃI : 2009 - 2010 - 2011 - 2012 trang 25 → 28
QUY NHƠN - 2012
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. HỒ CHÍ MINH MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,0 điểm) Cho phương trình mx
2
+ 2(m − 2)x + m − 3 = 0, (x là ẩn số).
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
nghiệm dương.
Câu II (4,0 điểm) Giải các phương trình:
a)
√
x −
4
√
x + 2

+
√
x + 2 = 0.
b)

x −
√
1 − x +
√
x = 2.
Câu III (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: (a
2
− b
2
)(c
2
− d
2
) ≤ (ac − bd)
2
với a, b, c, d là các số thực.
b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a
√
b − 1 + b
√
a − 1 ≤ ab.
Câu IV (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x −2y + 3z biết x, y, z không âm và thỏa
hệ phương trình:


2x + 4y + 3z = 8
3x + y −3z = 2
.
Câu V (2,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 4x
2
+ 4x = 8y
3
−2z
2
+ 4 không có nghiệm nguyên.
Câu VI (4,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB, bán kính R. Tiếp tuyến tại M bất kì thuộc
đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến của đường tròn tại A và B lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh rằng AC.BD = R
2
.
b) Gọi I và J lần lượt là giao điểm của OC với AM và OD với BM. Chứng minh IJ song song
với AB.
c) Xác định vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD có bán kính nhỏ nhất.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 1 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. HỒ CHÍ MINH MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút

Câu I (4,0 điểm) Thu gọn các biểu thức:
a) A =
(2 −
√
a)
2
− (3 +
√
a)
2
2
√
a + 1
, với a ≥ 0.
b) B =
√
a + 1
a
√
a + a +
√
a
:
1
a
2
−
√
a
, với a > 0, a = 1.

Câu II (4,0 điểm)
a) Chứng minh ad + bc ≤
√
a
2
+ b
2
.
√
c
2
+ d
2
với a, b, c, d là các số thực.
b) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng
a
3
b
+
b
3
c
+
c
3
a
≥ ab + bc + ca.
Câu III (3,0 điểm) Cho phương trình: x
2
− (3m − 2) x + 2m

2
− 5m − 3 = 0, (x là ẩn số).
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
Câu IV (3,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:





1
x
+
1
y
+
1
z
= 2
2
xy
−
1
z
2
= 4
.
b) Chứng minh rằng số có dạng n

4
+ 6n
3
+ 11n
2
+ 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n.
Câu V (4,0 điểm) Trên hai cạnh Ox, Oy của góc vuông xOy ta lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho
OA = OB. Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M (M ở trong đoạn thẳng OB). Từ B kẻ đường
vuông góc với AM, cắt AM tại H, cắt AO kéo dài tại I.
a) Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHI là tứ giác nội tiếp được.
b) Từ O kẻ đường vuông góc với BI tại K. Chứng minh OK = KH. Điểm K di động trên đường
cố định nào khi M di động trên OB?
Câu VI (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại B và góc ABC bằng 80
0
. Lấy điểm I trong tam giác
ABC sao cho góc

IAC bằng 10
0
và góc

ICA bằng 30
0
. Hãy tính góc

AIB .
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 2 Sưu tầm và soạn L

A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. HỒ CHÍ MINH MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,0 điểm) Thu gọn các biểu thức:
a) A =

8 + 2

10 + 2
√
5 +

8 − 2

10 + 2
√
5.
b) B =

a
√
a − 3
a − 2
√
a − 3

−
2 (
√
a − 3)
√
a + 1
+
√
a + 3
3 −
√
a

:

a + 8
a − 1

, với a ≥ 0, a = 9.
Câu II (4,0 điểm) Cho phương trình (m + 3) x
2
− 3 (m + 2) x + (m + 2) (m + 4) = 0.
a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Định m để phương trình có nghiệm.
Câu III (3,0 điểm) Giải các phương trình:
a)

x + 2 − 3
√
2x − 5 +


x − 2 +
√
2x − 5 = 2
√
2.
b)
√
x + x
2
+
√
x − x
2
= x + 1.
Câu IV (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng không có các số nguyên x, y, z nào thỏa mãn:
4x
2
+ 4x = 8y
3
− 2z
2
+ 4.
b) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
x
2
y + z
+

y
2
z + x
+
z
2
x + y
.
Câu V (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính R với
R nhỏ hơn AH. Từ B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (A; R) với M là tiếp điểm. Đường thẳng
HM cắt đường tròn (A; R) tại điểm thứ nhì là N .
a) Chứng minh hai tam giác ABC và MAN đồng dạng với nhau.
b) Chứng minh đường thẳng CN là tiếp tuyến của đường tròn (A; R).
Câu VI (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn và có hai đường chéo AC và BD cắt
nhau tại I. Gọi E, F, G, H lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh
rằng tứ giác EFGH ngoại tiếp một đường tròn.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 3 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. HỒ CHÍ MINH MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,0 điểm) Thu gọn các biểu thức:
a) A =

2

3 −

3 +

13 +
√
48
√
6 −
√
2
.
b) B =
√
a +
√
b − 1
a +
√
ab
+
√
a −
√
b
2
√
ab


√
b
a −
√
ab
+
√
b
a +
√
ab

, với a > 0, b > 0, a = b.
Câu II (4,0 điểm) Cho phương trình (m + 3) x
2
+ 3 (m − 1) x + (m − 1) (m + 4) = 0.
a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
Câu III (3,0 điểm) Giải các phương trình:
a) 2(8x + 7)
2
(4x + 3) (x + 1) = 7.
b) x +
√
17 − x
2
+ x
√
17 − x

2
= 9.
Câu IV (3,0 điểm)
a) Với n là số nguyên dương. Hãy tìm ước chung lớn nhất của hai số: 21n + 4 và 14n + 3.
b) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh:
ab
c
+
bc
a
+
ca
b
≥ a + b + c.
Câu V (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O

) cắt nhau tại hai điểm A và B. Qua A kẻ đường
thẳng (d) cắt (O) tại M và cắt (O

) tại N . Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn luôn
đi qua một điểm cố định khi đường thẳng (d) thay đổi.
Câu VI (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M thuộc Ax kẻ tiếp
tuyến thứ hai M C với đường tròn (O) với C là tiếp điểm. Đường vuông góc với AB tại O cắt BC
ở N
a) Có nhận xét gì về tứ giác OMNB ?
b) Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên Ax ?
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 4 Sưu tầm và soạn L

A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. HÀ NỘI MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: A =

a
2012
+ b
2012
+ c
2012

−

a
2008
+ b
2008
+ c
2008

.
.
.30 với mọi a, b, c

nguyên dương.
b) Cho f(x) = (2x
3
− 21x − 29)
2012
. Tính f (x) khi x =
3

7 +

49
8
+
3

7 −

49
8
.
Câu II (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
√
x
2
+ 5 + 3x =
√
x
2
+ 12 + 5.

b) Giải hệ phương trình:

x
2
+ xy + x −y − 2y
2
= 0
x
2
− y
2
+ x + y = 6
.
Câu III (4,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2x
2
− 5xy + 3y
2
− x + 3y −4 = 0.
Câu IV (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC và điểm A bất kì nằm trên đường tròn.
Từ A hạ AH vuông góc BC và vẽ đường tròn đường kính HA cắt AB; AC ở M và N .
a) Chứng minh rằng OA vuông góc MN .
b) Cho AH =
√
2; BC =
√
7. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN.
Câu V (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để một tam giác có các đường cao h
1
; h

2
; h
3
và bán
kính đường tròn nội tiếp r là tam giác đều là:
1
h
1
+ 2h
2
+
1
h
2
+ 2h
3
+
1
h
3
+ 2h
1
=
1
3r
.
b) Cho 8045 điểm trên một mặt phẳng sao cho cứ 3 điểm bất kì thì tạo thành một tam giác có
diện tích nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng: Luôn có thể có ít nhất 2012 điểm nằm trong tam giác
hoặc trên cạnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
——— HẾT ———

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 5 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. HÀ NỘI MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:
A =
√
4x
3
− 16x
2
+ 21x − 9
√
x − 1
.
Câu II (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2(x
2
+ 2x + 3) = 5
√
x
3
+ 3x

2
+ 3x + 2.
b) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn 4x
2
− (8y + 11)x + (8y
2
+ 14) = 0. Tìm y khi x
lần lượt đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Câu III (5,0 điểm)
a) Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình
phương của chúng.
b) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của:
B = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.
a) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn (K)
đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường tròn (I), (K) lần lượt tại các điểm
M, N (M khác A, B và N khác A, C). Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam
giác CAN bằng ba lần diện tích tam giác AMB.
b) Cho AB < AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = AB. Gọi điểm E là hình chiếu của
điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng DE. So
sánh
AF
AB
và
AF

AC
với cos

AEB.
Câu V (2,0 điểm) Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy
k viên bi, với k ∈ {1; 2; 3}. Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó.
a) Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng ?
b) Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên dương?
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Đáp án: 6 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. HÀ NỘI MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức: A = (x
31
+ x
3
− x
2010
)
2009
với x =

3(2 +
√
5).
3

17
√
5 − 38
√
5 +

14 − 6
√
5
.
Câu II (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: x
4
+ 3x
3
− 2x
2
− 6x + 4 = 0.
b) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

xy + x + y = a + 1
x
2
y + xy
2

= a
.
Câu III (4,0 điểm)
a) Giải bất phương trình:
x
4
+ x
3
+ x + 1
x
4
− x
3
+ 2x
2
− x + 1
≤ 0.
b) Tìm giá trị lớn nhất của:
B =
1
x
3
+ y
3
+ 1
+
1
y
3
+ z

3
+ 1
+
1
z
3
+ x
3
+ 1
.
Với x, y, z là các số dương và x.y.z = 1.
Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi D là một điểm
bất kì thuộc cung nhỏ AC (D khác A và C). Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D
tới các đường thẳng AB, AC. Gọi P là giao điểm các đường thẳng M N, BC.
a) Chứng minh DP và BC vuông góc với nhau.
b) Đường tròn (I; r) nội tiếp tam giác ABC. Tính IO với R = 5cm, r = 1, 6cm.
Câu V (2,0 điểm) Tìm các số x, y nguyên dương để C là số nguyên dương với
C =
x
3
+ x
xy −1
.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 7 Sưu tầm và soạn L
A
T
E

X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. HÀ NỘI MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,0 điểm)
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có (a
3
+ 5a) là số nguyên chia hết cho 6.
2. Cho A = 2730
10
+ 927309
10
2
+ 27309
10
3
+ + 27309
10
10
. Tìm số dư trong phép chia A cho 7.
Câu II (4,0 điểm)
a) Chứng minh
1
x
+
1
y
≥
4

x + y
với x > 0 và y > 0. Xảy ra đẳng thức khi nào ?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P , biết
P =
2
a
2
+ b
2
+
35
ab
+ 2ab.
với a > 0, b > 0 và a + b ≤ 4.
Câu III (4,0 điểm) Cho phương trình: x + m − 1 = m
3
√
2x − 1 (với x là ẩn số).
a) Giải phương trình khi m = 3.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1.
Câu IV (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; 3) và điểm A cố định (A khác O). Chứng minh:
a) Nếu HK là đường kính của đường tròn (O; 3) thì AH ≥ 3 hoặc AK ≥ 3.
b) Tồn tại hình thang cân MNPQ nội tiếp đường tròn (O; 3) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
MA + N A + PA + QA > 12 và MN + NP + P Q + QM < 12.
Câu V (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là điểm chính giữa của cung
AB. Lấy điểm M tuỳ ý trên cung BC (M khác B). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM.
Gọi H, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO, AM . Gọi K là giao điểm các đường thẳng
BM và HI.
a) Chứng minh các điểm A, H, K và N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung BC (M khác B) sao cho AK =

R
√
10
2
.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 8 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
BÌNH ĐỊNH MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức sau: A =

8 +
√
15
2
+

8 −
√
15
2

.
b) Giải phương trình:
x
3
√
16 − x
2
+ x
2
− 16 = 0.
Câu II (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng n
3
− n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ.
b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
a
2
+ b
2
+ c
2
= (a − b)
2
+ (b − c)
2
+ (c − a)
2
.
Chứng minh rằng nếu c ≥ a và c ≥ b thì c ≥ a + b.
Câu III (3,0 điểm) Cho phương trình x

2
− (m − 1)x − 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
và x
2
sao cho biểu thức A =

x
2
1
− 9

x
2
2
− 4

đạt giá trị lớn nhất.
Câu IV (6,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC cân tại A có

BAC = 20
0
, AB = AC = b và BC = a. Chứng minh rằng:
a
3
+ b
3
= 3ab

2
.
2. Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O) và có hai điểm C, D di động
trên cung lớn AB sao cho AD song song BC (C, D khác A, B và AD > BC). Gọi M là giao
điểm của BD và AC. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại A và D cắt nhau tại điểm I.
a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng.
b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi.
Câu V (3,0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy = 1. Chứng minh rằng:
(x + y + 1)(x
2
+ y
2
) +
4
x + y
≥ 8.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 9 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
BÌNH ĐỊNH MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n

2
+ 2010 là một số chính phương.
b) Rút gọn biểu thức:
A =

√
6 − 2

5 +
√
24


5 −
√
24.
Câu II (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
√
2 − x +
√
x + 3 = 3.
b) Cho x, y, z là ba số thực dương thõa x + y + z = 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
x
2
y + z
+
y
2

z + x
+
z
2
x + y
.
Câu III (3,5 điểm) Cho phương trình x
3
− m(x + 3) + 27 = 0, với m là tham số.
a) Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm dương.
Câu IV (6,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Chứng minh:
cot B + cot C ≥
2
3
.
2. Cho tam giác nhọn ABC. Điểm M là điểm di động trên cạnh BC. Gọi I, J lần lượt là tâm
đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABM , ACM tương ứng.
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ luôn đi qua một điểm cố định khác A.
b) Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AIJ tương ứng. Hãy
xác định vị trí điểm M trên BC sao cho OH nhỏ nhất.
Câu V (2,5 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
x
4
y
2
(z + x)
+
y

4
z
2
(x + y)
+
z
4
x
2
(y + z)
≥
x + y + z
2
.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 10 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
BÌNH ĐỊNH MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (3,0 điểm)
a) Giải phương trình: x
3
+ 2

√
81 − 7x
3
= 18.
b) Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 2009 và tổng các chữ số của nó bằng 2010.
Câu II (3,0 điểm) Cho phương trình x
2
− 2mx + 2m
2
− 1 = 0, (m là tham số).
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức
x
3
1
+ x
3
2
− x
2
1
− x
2
2
= −2.
Câu III (4,0 điểm)

a) Tìm x, y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất
P = 3x
2
+ 11y
2
− 2xy −2x + 6y − 1.
b) Cho đa thức P (x) bậc 5 có các hệ số nguyên. Biết rằng P (x) nhận giá trị 2003 với 4 giá trị
nguyên khác nhau của x. Chứng minh rằng: Với mọi x ∈ Z thì P(x) không thể có trị số bằng
2010.
Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM,
lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại P, R, Q. Kí hiệu S
ABC
là diện tích tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng: MA.BC + M B.CA + MC.AB ≥ 4S
ABC
.
b) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác P QR lớn nhất.
Câu V (4,0 điểm)
a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh rằng:
bc
a
3
(c + 2b)
+
ca
b
3
(a + 2c)
+
ab

c
3
(b + 2a)
≥ 2.
b) Cho ba số thực α, β, γ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M =
αx
y + z
+
βy
z + x
+
γz
x + y
.
Với mọi x, y, z > 0.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Đáp án: 11 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
BÌNH ĐỊNH MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (3,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) sao cho 2n

3
− mn
2
− 3n
2
+ 14n − 7m − 5 = 0.
Câu II (3,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực khác 0 và
1
x
+
1
y
+
1
z
= 0. Chứng minh rằng:
yz
x
2
+
zx
y
2
+
xy
z
2
= 3.
Câu III (3,0 điểm) Giải hệ phương trình:


√
x +
√
y = 7
√
x − 20 +
√
y + 3 = 6
.
Câu IV (4,0 điểm) Cho điểm O thuộc miền trong của tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các
cạnh tam giác ABC lần lượt tại G, E, F. Chứng minh rằng:
OA
AG
+
OB
BE
+
OC
CF
= 2.
Câu V (4,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O)
lấy điểm C sao cho AC = AB. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O) tại D, M là một điểm thay
đổi trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB và AC, H là
chân đường vuông góc hạ từ N xuống đường thẳng PD.
a) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, HN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu VI (3,0 điểm) Chứng minh rằng:
17 <
1
√

2
+
1
√
3
+ +
1
√
100
< 18.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 12 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. ĐÀ NẴNG MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (2,0 điểm)
1. Cho biểu thức: A =

2
√
x + 1
x + 2
√

x + 1
+
1 − 2
√
x
x − 1

.

1 +
1
√
x

với x > 0; x = 1. Rút gọn biểu
thức A và tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên.
2. Cho biểu thức:
M =

√
x +
√
x + 1 +
√
x + 2

√
x +
√
x + 1 −

√
x + 2

×
×

√
x −
√
x + 1 +
√
x + 2

−
√
x +
√
x + 1 +
√
x + 2

.
Với x là số tự nhiên khác 0. Chứng minh M cũng là số tự nhiên.
Câu II (2,0 điểm)
1. Tìm x biết
√
x + 24 +
√
x − 16 = 10.
2. Giải hệ phương trình:




x + xy + y = 9
y + yz + z = 4
z + zx + x = 1
.
Câu III (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có A(0; 1), B(0; 4), C(6; 4) và
D(4; 1). Gọi (d) là đường thẳng cắt các đoạn thẳng AD, BC lần lượt tại M, N sao cho đường
thẳng (d) chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau, biết phương trình đường
thẳng (d) có dạng y = mx −
5m
3
(với m = 0).
a) Tìm tọa độ của M và N.
b) Tìm toạn độ điểm Q trên (d) sao cho khoảng cách từ Q đến trục Ox bằng 2 lần khoảng cách
từ Q đến Oy.
Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H là trung điểm BC. Trên
các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm D, E sao cho

DHE = 60
0
. Lấy M bất kì trên cung nhỏ
AB.
a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc

BAC,

BDE,


DEC đồng quy.
b) Cho AB có độ dài 1 đơn vị. Chứng minh M A + MB <
4
3
.
Câu V (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân, vẽ phân giác trong Ax của góc A. Vẽ đường thẳng
(d) là trung trực của đoạn thẳng BC. Gọi E là giao của Ax và (d). Chứng minh E nằm ngoài tam
giác ABC.
Câu VI (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:
1
1 + x
3
+ y
3
+
1
1 + y
3
+ z
3
+
1
1 + z
3
+ x
3
≤ 1.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Đáp án: 13 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. ĐÀ NẴNG MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức M =
a + 1
√
a
+
a
√
a − 1
a −
√
a
+
a
2
− a
√
a +
√
a − 1
√
a − a

√
a
, với (a > 0; a = 1).
a) Chứng minh M > 4.
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N =
6
M
∈ Z ?
Câu II (2,0 điểm)
a) Cho các hàm số bậc nhất y = 0.5x + 3; y = 6 − x; y = mx có đồ thị lần lượt là các đường
thẳng (d
1
) ; (d
2
) ; (∆
m
). Với những giá trị nào của m thì đường thẳng (∆
m
) cắt hai đường
thẳng (d
1
) ; (d
2
) lần lượt tại hai điểm A, B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có
hoành độ dương?
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M, N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục
hoành và trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1; 2). Tìm hệ thức
liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức
Q =
1

OM
2
+
1
ON
2
.
Câu III (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:

17x + 2y = 2011 |xy|
x − 2y = 3xy
.
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho
√
x +
√
y −z +
√
z −x =
1
2
(y + 3).
Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (C) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động
trên (C) nhưng không trùng A và B. Gọi C là điểm đối xứng của O qua A. Đuờng thẳng vuông
góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt (C) tại điểm thứ hai là E.
Các đường thẳng BM, CN cắt nhau tại F .
a) Chứng minh A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi.
c) Chứng minh A là trọng tâm tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.

Câu V (1,0 điểm) Tìm 3 chữ số tận cùng của tích mười hai số nguyên dương đầu tiên.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 14 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. ĐÀ NẴNG MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (2,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
P =

1 + x
√
x
x − 1
+ 1

1 −
1
√
x

.
Tính giá trị của biểu thức P khi x = 4 − 2

√
3.
b) Cho 4x − y = 8, hãy tính giá trị của biểu thức A =
y + 8
x
+
3x − 2y + 4
y −8
.
Câu II (2,5 điểm)
a) Giải phương trình: (2x + 1)
√
x = x
2
+ 2.
b) Giả sử hệ phương trình:



x
4
−
y
3
−
z
12
= 1
x
3

+
y
10
+
z
5
= 1
có nghiệm (x; y; z). Chứng tỏ x + y + z không
đổi.
Câu III (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = |x| có đồ thị là (G). Trên đồ thị
(G) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lượt là −1 và 3.
a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B.
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d).
Câu IV (3,0 điểm)
a) Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn. Từ trung điểm
B của đoạn P A kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D). Các đường thẳng P C và P D lần
lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F . Chứng minh DCE = DPE + CAF và tam
giác P BC đồng dạng với tam giác DBP .
b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB. Trong tam giác ABC lấy điểm O tùy ý.
Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm O trên các đường thẳng BC, CA, AB.
Chứng minh rằng:
OI + OJ + OK < BC.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 15 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X

28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ
TP. ĐÀ NẴNG MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (2,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
P =

1 − x
√
x
1 −
√
x
+
√
x

:
1
(1 −
√
x)
2
.
Tính giá trị biểu thức P khi x =
1
√
2 − 1
.

b) Đặt a =
3

2 −
√
3 +
3

2 +
√
3. Chứng minh rằng
64
(a
2
− 3)
3
− 3a là số nguyên.
Câu II (2,5 điểm)
a) Giải phương trình: 2 +
√
5 − x = |x − 5|.
b) Giải hệ phương trình:

xy + 6 = 3x + 2y
x
2
+ y
2
= 2x + 4y −3
.

Câu III (2,0 điểm) Trên mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho Parabol (P ) : y = −x
2
và đường thẳng
(d) : y = −x −2.
a) Vẽ Parabol (P ) và đường thẳng (d).
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (∆) : y = mx −m + 1 cắt đường thẳng (d) tại
các điểm nằm trên Parabol (P ).
Câu IV (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn (C) tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên nửa đường
tròn (C) và D là điểm chính giữa cung AC. Gọi E là hình chiếu vuông góc của điểm D trên đường
thẳng BC và F là giao điểm của AE với nửa đường tròn (C). Tia BF cắt DE tại M. Chứng minh:
a) Hai tam giác MDF và MBD đồng dạng.
b) M là trung điểm của đoạn DE.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 16 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
NGHỆ AN MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC BẢNG A Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (5,0 điểm)
a) Cho a và b là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: a
2
+ b
2
.

.
. 7. Chứng minh rằng a và b đều
chia hết cho 7.
b) Cho A = n
2012
+ n
2011
+ 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để A nhận giá trị là một số nguyên
tố.
Câu II (4,5 điểm)
a) Giải phương trình:
4
x
+

x −
1
x
= x +

2x −
5
x
.
b) Cho x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn: xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức:
M =
yz
x
2
+

zx
y
2
+
xy
z
2
.
Câu III (4,5 điểm)
a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng:
x
2
+ y
2
+ z
2
≥ 3.
b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
P =
a
3
a
2
+ b
2
+
b
3
b

2
+ c
2
+
c
3
c
2
+ a
2
.
Câu IV (6,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và một dây BC cố định không đi qua O. Từ một điểm A
bất kỳ trên tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M và N là các tiếp
điểm, M nằm trên cung nhỏ BC). Gọi I là trung điểm của dây BC, đường thẳng M I cắt đường
tròn (O) tại điểm thứ hai là P .
a) Chứng minh rằng: NP song song với BC.
b) Gọi giao điểm của đường thẳng M N và đường thẳng OI là K. Xác định vị trí của điểm A
trên tia đối của tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn nhất.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 17 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
NGHỆ AN MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC BẢNG B Thời gian làm bài 150 phút

Câu I (5,0 điểm)
a) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn điều kiện: a
2
+ b
2
.
.
. 3. Chứng minh rằng a và b đều
chia hết cho 3.
b) Cho A = n
7
+ n
2
+ 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để A nhận giá trị là một số nguyên tố.
Câu II (6,0 điểm)
a) Giải phương trình:
√
2x + 5 −
√
3x − 5 = 2.
b) Cho x, y, z là các số thực khác 0 thoả mãn: xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức:
M =
yz
x
2
+
zx
y
2
+

xy
z
2
.
Câu III (3,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
x
2
+ y
2
+ z
2
≥
1
3
.
Câu IV (6,0 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A vẽ đường thẳng cắt (O) tại B, C
(B nằm giữa A và C) và các tiếp tuyến AM, AN (M, N là các tiếp điểm và M thuộc nửa mặt
phẳng bờ AC có chứa O). Gọi H là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng AM
2
= AB.AC.
b) Gọi I là giao điểm của AO với MN. Chứng minh rằng IN là tia phân giác của góc

BIC.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 18 Sưu tầm và soạn L
A
T

E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
NGHỆ AN MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC BẢNG A Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,0 điểm)
a) Cho các số nguyên a
1
, a
2
, a
3
, , a
n
. Đặt S = a
3
1
+ a
3
2
+ + a
3
n
và P = a
1
+ a
2
+ + a
n

.
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A = n
6
− n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
(với n ∈ N, n > 1). Chứng minh A không phải là số chính
phương.
Câu II (4,5 điểm)
a) Giải phương trình: 10
√
x
3
+ 1 = 3x
2
+ 6.
b) Giải hệ phương trình:












x +
1
y
= 3
y +
1
z
= 3
z +
1
x
= 3
.
Câu III (4,5 điểm)
a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và
1
x
+
1
y
+
1
z
= 4. Chứng minh rằng:
1
2x + y + z
+
1

x + 2y + z
+
1
x + y + 2z
≤ 1.
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x
2011
+ y
2011
+ z
2011
= 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
M = x
2
+ y
2
+ z
2
.
Câu IV (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của
tam giác. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B và C). Gọi
N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
b) Khi

BOC = 120
0
, xác định vị trí của điểm M để
1

MB
+
1
MC
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu V (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung
BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt
đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F . Chứng
minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 19 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
NGHỆ AN MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC BẢNG B Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (5,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n
2
+ n + 2 không chia hết cho 3.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n
2
+ 17 là một số chính phương.
Câu II (5,0 điểm)
a) Giải phương trình: x

2
+ 4x + 5 = 2
√
2x + 3.
b) Giải hệ phương trình:

2x + y = x
2
2y + x = y
2
.
Câu III (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
4x + 3
x
2
+ 1
.
Câu IV (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao
BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = BC
2
.
b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K ∈ (O).
Câu V (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung
BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt
đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F . Chứng
minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Đáp án: 20 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
NGHỆ AN MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC BẢNG A Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,5 điểm)
a) Cho hàm số f (x) =

x
3
+ 12x − 31

2010
. Tính f (a) tại a =
3

16 − 8
√
5 +
3

16 + 8
√
5.
b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5


x
2
+ xy + y
2

= 7 (x + 2y).
Câu II (4,5 điểm)
a) Giải phương trình: x
2
=
√
x
3
− x
2
+
√
x
2
− x.
b) Giải hệ phương trình:





1
x
+
1

y
+
1
z
= 2
2
xy
−
1
z
2
= 4
.
Câu III (3,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
A =
1
x
3
+ y
3
+ 1
+
1
y
3
+ z
3
+ 1
+

1
z
3
+ x
3
+ 1
.
Câu IV (5,5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O

; R

) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm
O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O

). Hai đường thẳng AD và AE cắt
đường tròn tâm O

lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại
I. Chứng minh rằng:
a) MI.BE = BI.AE.
b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn
AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ N H⊥P D tại H. Xác định
vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 21 Sưu tầm và soạn L
A

T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
NGHỆ AN MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC BẢNG B Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,5 điểm)
a) Cho hàm số f (x) =

x
3
+ 12x − 31

2010
. Tính f (a) tại a =

4 + 2
√
3 −

4 − 2
√
3.
b) Tồn tại hay không số nguyên n thoả mãn:
n
3
+ 2009n = 2011
2010
.

Câu II (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
√
x + 1 −
√
9 − x = 2.
b) Giải hệ phương trình:





1
x
+
1
y
+
1
z
= 2
2
xy
−
1
z
2
= 4
.
Câu III (3,0 điểm) Cho a; b là hai số thực dương thoả mãn a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:
S =
1
a
3
+ b
3
+
1
a
2
b
+
1
ab
2
.
Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). M là một điểm trên cung nhỏ
BC. Chứng minh rằng:
a) MA = M B + M C.
b) MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 6R
2
.
Câu V (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn

AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ N H⊥P D tại H. Xác định
vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 22 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
NGHỆ AN MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC BẢNG A Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,5 điểm)
a) Cho A = k
4
+ 2k
3
− 16k
2
− 2k + 15 với k ∈ Z. Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16.
b) Cho hai số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tồn tại ước
số nguyên c sao cho a
2
+ b
2
+ c
2
là số chính phương.

Câu II (5,5 điểm)
a) Giải phương trình: x
2
− x − 2
√
1 + 16x = 2.
b) Cho x, y thỏa mãn

x
3
+ 2y
2
− 4y + 3 = 0
x
2
+ x
2
y
2
− 2y = 0
. Tính Q = x
2
+ y
2
.
Câu III (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =

3 +
1

a
+
1
b

3 +
1
b
+
1
c

3 +
1
c
+
1
a

.
Trong đó các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c ≤
3
2
.
Câu IV (5,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. E là một điểm
trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N.
a) Chứng minh rằng: AM.ED =
√
2OM.EA.
b) Xác định vị trí điểm E để tổng

OM
AM
+
ON
DN
đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Câu V (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, lấy điểm C
1
thuộc cạnh AB, A
1
thuộc cạnh BC, B
1
thuộc
cạnh CA. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA
1
, BB
1
, CC
1
không lớn hơn 1. Chứng minh rằng:
S
ABC
≤
1
√
3
.
(S
ABC
là diện tích tam giác ABC).

——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 23 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X
28 đề thi học sinh giỏi lớp 9 Huỳnh Đức Khánh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
NGHỆ AN MÔN TOÁN LỚP 9 - THCS NĂM 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC BẢNG B Thời gian làm bài 150 phút
Câu I (4,5 điểm)
a) Cho A = k
4
+ 2k
3
− 16k
2
− 2k + 15 với k ∈ Z. Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16.
b) Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có ba chữ số, còn mẫu số là tổng các chữ
số của tử số.
Câu II (5,5 điểm)
a) Giải phương trình: x
2
− x − 2
√
1 + 16x = 2.
b) Giải hệ phương trình:


x
2
+ y
2
+ xy = 9
x + y + xy = 3
.
Câu III (3,0 điểm) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
1
x
2
+ y
2
+ z
2
+
1
xy
+
1
yz
+
1
xz
.
Câu IV (5,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. E là một điểm
trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N.
a) Chứng minh rằng: AM.ED =
√

2OM.EA.
b) Xác định vị trí điểm E để tổng
OM
AM
+
ON
DN
đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Câu V (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, lấy điểm C
1
thuộc cạnh AB, A
1
thuộc cạnh BC, B
1
thuộc
cạnh CA. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA
1
, BB
1
, CC
1
không lớn hơn 1. Chứng minh rằng:
S
ABC
≤
1
√
3
.
(S

ABC
là diện tích tam giác ABC).
——— HẾT ———
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án: 24 Sưu tầm và soạn L
A
T
E
X