ÁP DỤNG LÝ THUYẾT HÀM MẬT ĐỘ KHẢO SÁT CÁC ĐẶC TRƯNG HỦY POSITRON TẠI CÁC SAI HỎNG TRONG HỢP CHẤT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





TRỊNH HOA LĂNG








ÁP DỤNG LÝ THUYẾT HÀM MẬT ĐỘ
KHẢO SÁT CÁC ĐẶC TRƯNG HỦY POSITRON
TẠI CÁC SAI HỎNG TRONG HỢP CHẤT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ NGUYÊN TỬ VÀ HẠT NHÂN














Tp. Hồ Chí Minh – Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





TRỊNH HOA LĂNG

ÁP DỤNG LÝ THUYẾT HÀM MẬT ĐỘ KHẢO SÁT CÁC
ĐẶC TRƯNG HỦY POSITRON TẠI CÁC SAI HỎNG
TRONG HỢP CHẤT





Chuyên ngành: VẬT LÝ NGUYÊN TỬ VÀ HẠT NHÂN
Mã số chuyên ngành: 62 44 05 01



Phản biện 1: TS. CAO HUY THIỆN
Phản biện 2: TS. NGUYỄN VĂN HOA
Phản biện 3: TS. TRẦN VĂN HÙNG
Phản biện độc lập 1: PGS.TSKH. LÊ VĂN HOÀNG
Phản biện độc lập 2: TS. LÝ ANH TÚ



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS.TS. CHÂU VĂN TẠO
2. GS.TS. KIỀU TIẾN DŨNG

Tp. Hồ Chí Minh – Năm 2014
1

Cộng Hòa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ooOoo


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan về tính chân thực của luận án. Các số liệu trong luận án là
của chính bản thân thực hiện. Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa
học của PGS. TS. Châu Văn Tạo và GS. Kiều Tiến Dũng mà không phải sao chép
từ bất cứ công trình nào của người khác.




Tác giả luận án


TRỊNH HOA LĂNG
2

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình thực hiện luận án, nghiên cứu sinh đã nhận được
nhiều sự giúp đỡ tận tình, chu đáo và tỉ mỉ với tinh thần khoa học và trách nhiệm
cao của Thầy/Cô trong bộ môn Vật lý Hạt nhân, các bạn đồng nghiệp gần xa.
Nhân đây, xin cho phép nghiên cứu sinh gửi lời biết ơn chân thành và kính trọng

nhất đến:
• PGS. TS Châu Văn Tạo không chỉ là Thầy hướng dẫn khoa học đã gợi ý đề tài,
tận tình hướng dẫn, động viên và truyền đạt kinh nghiệm quý báu trong nghiên
cứu khoa học. Bên cạnh đó, Thầy đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để
nghiên cứu sinh hoàn thành luận án.
• GS. Kiều Tiến Dũng Đại học Swinburne, Úc đã đọc và đóng góp những ý kiến
quý báu để luận án được hoàn thành.
• GS. Sang Kiong Lai đã giúp đỡ nghiên cứu sinh trong việc học tập và nghiên
cứu các mô hình lý thuyết tính toán, Monte – Carlo lượng tử, các vấn đề về lý
thuyết chất rắn trong suốt thời gian hai năm nghiên cứu sinh học tập và làm
việc ở phòng thí nghiệm Complex Liquid Lab, Khoa Vật lý Trường Đại học
National Central University, Đài Loan.
• Nghiên cứu sinh cũng bày tỏ tấm lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy/Cô, quý
đồng nghiệp trong Bộ môn Vật lý Hạt nhân, Phòng Đào tạo Sau Đại học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi
và giúp đỡ nhiệt tình trong suốt thời gian thực hiện luận án.
• Cuối cùng, nghiên cứu sinh xin gửi lời biết ơn chân thành tới gia đình luôn
động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho nghiên cứu sinh hoàn thành
luận án.



3

MỤC LỤC
Mục lục 3

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 7

Danh mục các bảng 9

Danh mục các hình vẽ, đồ thị 10

Mở đầu 13

CHƯƠNG 1 : LÝ THUYẾT TỔNG QUAN 15

1.1.

Tổng quan nghiên cứu hủy positron. 15

1.1.1. Tổng quan nghiên cứu hủy positron trên thế giới. 15

1.1.2. Tổng quan nghiên cứu hủy positron trong nước. 18

1.1.3. Các vấn đề còn tồn đọng. 18

1.2.

Cơ sở lý thuyết hàm mật độ trong tính toán cấu trúc vật liệu. 19

1.2.1. Lý thuyết hàm mật độ - phương pháp xấp xỉ Kohn – Sham. 19

1.2.2. Gần đúng Born – Oppenheimer cho electron trong vật chất. 23

1.2.3. Hàm sóng đơn hạt. 24

1.2.4. Lý thuyết hàm mật độ cho hệ electron – positron. 25

1.3.

Tốc độ hủy positron và hệ số tăng cường hủy positron. 28

1.3.1. Tốc độ hủy positron. 28

1.3.2. Hệ số tăng cường hủy positron – hàm tương quan cặp 29

1.3.3. Mô hình tính toán các giá trị hàm tương quan cặp. 30

1.3.4. Làm khớp hàm tương quan cặp. 31

1.4.

Kết luận 31

CHƯƠNG 2 : BIẾN PHÂN MONTE CARLO LƯỢNG TỬ 33

2.1.

Nguyên tắc biến phân. 33

2.2.

Phương pháp Monte – Carlo lượng tử. 34

2.2.1. Cơ sở biến phân Monte – Carlo lượng tử. 35

4

2.2.2. Thuật toán Monte – Carlo lượng tử. 36

2.3.Tính năng lượng của hệ. 38

2.3.1. Động năng. 38

2.3.2. Thế năng. 40

2.4.

Biểu thức năng lượng cục bộ trong biến phân Monte – Carlo lượng tử. 41

2.4.1. Toán tử Hamilton của hệ. 41

2.4.2. Hàm sóng của electron và positron. 42

2.4.3. Hệ phương trình đơn hạt Kohn – Sham cho hệ electron – positron. . 45

2.4.4. Biểu thức động năng của electron và positron. 46

2.4.4.1. Biểu thức động năng của một electron 46

2.4.4.2. Biểu thức động năng của một positron. 47

2.4.5. Thế năng và năng lượng tổng 48

2.5.

Biến phân Monte – Carlo lượng tử cho hệ electron – positron. 49

2.5.1. Biến phân Monte – Carlo cho phương trình đơn hạt Kohn – Sham. . 49

2.5.2. Sơ đồ thuật toán tính toán. 50

2.6.

Kết luận. 51

CHƯƠNG 3 : KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ THẢO LUẬN 52

3.1. Sự hủy positron trong TiO
2
. 52

3.1.1. Hàm sóng của đơn electron và positron trong phân tử TiO
2
. 52

3.1.2. Kết quả biến phân các tham số hàm sóng electron và positron trong
phân tử TiO
2
. 55

3.1.3. Kết quả hàm tương quan cặp, hệ số tăng cường và tốc độ hủy
positron trong phân tử TiO
2
. 55

3.1.4. Sự hủy positron trong cấu trúc TiO
2
rutile. 57

3.1.5. Sự hủy positron trong cấu trúc TiO
2
rutile có sai hỏng điểm O. 58

5

3.1.6. Sự hủy positron trong cấu trúc TiO
2
rutile có sai hỏng điểm Ti. 59

3.1.7. Thảo luận các kết quả tính toán cho TiO
2
. 60

3.2. Sự hủy positron trong ZnO. 62

3.2.1. Hàm sóng của đơn electron và positron trong phân tử ZnO. 62

3.2.2. Kết quả biến phân các tham số hàm sóng electron và positron trong
phân tử ZnO. 64

3.2.3. Kết quả hàm tương quan cặp, hệ số tăng cường và tốc độ hủy
positron trong phân tử ZnO. 64

3.2.4. Sự hủy positron trong cấu trúc ZnO wurtzite. 65

3.2.5. Sự hủy positron trong cấu trúc ZnO wurtzite có sai hỏng điểm O. 67

3.2.6. Sự hủy positron trong cấu trúc ZnO wurtzite có sai hỏng điểm Zn. 68

3.2.7. Thảo luận các kết quả tính toán cho ZnO. 69

3.3. Sự hủy positron trong ZrO
2
. 71

3.3.1. Hàm sóng của đơn electron và positron trong phân tử ZrO
2
. 71

3.3.2. Kết quả biến phân các tham số hàm sóng electron và positron trong
phân tử ZrO
2
. 73

3.3.3. Kết quả hàm tương quan cặp, hệ số tăng cường và tốc độ hủy
positron trong phân tử ZrO
2
. 74

3.3.4. Sự hủy positron trong cấu trúc ZrO
2
monoclinic. 75

3.3.5. Sự hủy positron trong cấu trúc ZrO
2
monoclinic có sai hỏng điểm
O. 76

3.3.6. Sự hủy positron trong cấu trúc ZrO
2
monoclinic có sai hỏng điểm
Zr. 77

3.3.7. Thảo luận các kết quả tính toán cho ZrO
2
78
3.4. Kết luận. 78
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 81

6

 Kết luận. 81



Kiến nghị. 83

Danh mục các công trình 84

Tài liệu tham khảo 87

Phụ lục A : Bảng các hệ số làm khớp đa thức Chebyshev của hàm tương
quan cặp 95

Phụ lục B : Đồ thị các giá trị Chi bình phương theo số hệ số làm khớp của đa thức
Chebyshev 105

Phụ lục C : Đồ thị năng lượng theo tham số hàm sóng 111

7

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
 Các ký hiệu
a
0
: bán kính Bohr.
m
e
: khối lượng electron.
h
: hằng số Planck.
π : số PI.
c : vận tốc ánh sáng.
Ry : hằng số Rydberg.
k
B
: hằng số Boltzman.
r
s
: tham số mật độ electron.
ρ : mật độ.
Ω : thể tích ô mô phỏng.
H
ˆ
: toán tử Hamilton.
S
h
ˆ

: toán tử Hamilton của một hạt.
∇
2
: toán tử Laplace.
V
eff
: thế hiệu dụng KS.
Ψ : hàm sóng.
ψ
i
: hàm sóng đơn hạt
ϕ
i
: hàm sóng đơn hạt trong nguyên tử
Ψ
J
: hàm tương quan.
u(r): hàm Jastrow.
(
)
p
r
σ
: tiết diện hủy positron.
Γ : tốc độ huỷ.
τ : thời gian sống positron.
γ : hệ số tăng cường.
g(r) : hàm tương quan cặp.
ρ
+

: mật độ positron.
ρ
-
: mật độ elecrton.
N : số hạt electron.
Z
a
, Z
α
, Z
β
: điện tích hiệu dụng của hạt
nhân nguyên tử.
T : động năng.
E : năng lượng.
E
T
: năng lượng thử.
ε : năng lượng của một hạt.
ε
x
: năng lượng trao đổi của một hạt.
φ(r): thế tĩnh điện.
V(r): thế năng.
V
x
: thế năng trao đổi.
V
xc
: thế tương quan – trao đổi.

J[ρ]: thế tương tác điện
electron – electron.


8


 Các chữ viết tắt
a.u : Đơn vị nguyên tử (atomic unit).
e – p : Electron – positron.
HEG : Khí electron đồng nhất (Homogenous Electron Gas).
AO : Atomic Orbital.
MO : Molecular Orbital.
HK : Hohenberg – Kohn.
IPM : Mẫu hạt độc lập (Independent Particle Model).
KS : Kohn – Sham.
LDA : Xấp xỉ mật độ địa phương (Local Density Approximation).
LCAO : Linear Combination of Atomic Orbital.
VQMC : Variational Quantum Monte – Carlo.
MC : Monte – Carlo.
TF : Thomas – Fermi.
xc : Tương quan – trao đổi (exchange - correlation).
GGA : General Gradient Approximation.
SLDA : Symmetrized Local Density Approximation.
CI : Configuration Interaction.

9

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Các tham số tối ưu của hàm sóng electron và positron trong phân tử

TiO
2
. 55
Bảng 3.2. Tổng hợp các kết quả thời gian sống của positron trong TiO
2
, TiO
2
rutile,
và TiO
2
rutile có sai hỏng O và Ti. 61
Bảng 3.3. Các tham số tối ưu của hàm sóng electron và positron trong phân tử
ZnO. 64
Bảng 3.4. Tổng hợp các kết quả thời gian sống của positron trong ZnO, ZnO
wurtzite, và ZnO wurtzite có sai hỏng O và Zn 70
Bảng 3.5. Các tham số tối ưu của hàm sóng electron và positron trong phân tử
ZrO
2
. 73
Bảng 3.6. Tổng hợp các kết quả thời gian sống của positron trong ZrO
2
, ZrO
2

monoclinic, và ZrO
2
monoclinic có sai hỏng O và Zr 79

10

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Các lớp hình cầu bao quanh positron có độ rộng dr. 30
Hình 2.1. Sơ đồ thuật toán của tính toán Monte – Carlo lượng tử. 37
Hình 2.2. Sơ đồ thuật toán chương trình biến phân Monte – Carlo lượng tử tính tốc
độ hủy positron trong chất rắn. 51
Hình 3.1. Mô hình hóa cấu trúc phân tử TiO
2
và positron. 53
Hình 3.2. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của phân tử TiO
2
với r được tính theo đơn vị Bohr (a
0
). Đường
liền nét là đường làm khớp theo đa thức Chebyshev, các điểm chấm đen
là các giá trị được tính từ MC. 56
Hình 3.3. Mô hình hóa cấu trúc ô đơn vị của TiO
2
có cấu trúc rutile gồm hai nguyên
tử Ti là hai hình cầu lớn và bốn O là bốn hình cầu nhỏ hơn. 57
Hình 3.4. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của TiO
2
rutile với r được tính theo đơn vị Bohr (a
0
). Đường liền
nét là đường làm khớp theo đa thức Chebyshev, các điểm chấm đen là
các giá trị được tính từ MC. 58
Hình 3.5. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của TiO

2
rutile có sai hỏng O với r được tính theo đơn vị Bohr
(a
0
). Đường liền nét là đường làm khớp theo đa thức Chebyshev, các
điểm chấm đen là các giá trị được tính từ MC. 59
Hình 3.6. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của TiO
2
rutile có sai hỏng Ti với r được tính theo đơn vị Bohr
(a
0
). Đường liền nét là đường làm khớp theo đa thức Chebyshev, các
điểm chấm đen là các giá trị được tính từ MC. 60
Hình 3.7. Mô hình hóa cấu trúc phân tử ZnO và positron. 62



11

Hình 3.8. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của phân tử ZnO với r được tính theo đơn vị Bohr (a
0
). Đường
liền nét là đường làm khớp theo đa thức Chebyshev, các điểm chấm đen
là các giá trị được tính từ MC. 65
Hình 3.9. Mô hình hóa cấu trúc ô đơn vị của ZnO có cấu trúc wurtzite. Hai hình cầu
lớn là O và hai hình cầu nhỏ là Zn. 66
Hình 3.10. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của ZnO wurtzite với r được tính theo đơn vị Bohr (a

0
). Đường
liền nét là đường làm khớp theo đa thức Chebyshev, các điểm chấm đen
là các giá trị được tính từ MC. 67
Hình 3.11. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của ZnO wurtzite sai hỏng O với r được tính theo đơn vị Bohr
(a
0
). Đường liền nét là đường làm khớp theo đa thức Chebyshev, các
điểm chấm đen là các giá trị được tính từ MC. 68
Hình 3.12. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của ZnO wurtzite sai hỏng Zn với r được tính theo đơn vị Bohr
(a
0
). Đường liền nét là đường làm khớp theo đa thức Chebyshev, các
điểm chấm đen là các giá trị được tính từ MC. 69
Hình 3.13. Mô hình hóa cấu trúc phân tử ZrO
2
và positron. 71
Hình 3.14. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của phân tử ZrO
2
với r được tính theo đơn vị Bohr (a
0
). Đường
liền nét là đường làm khớp theo đa thức Chebyshev, các điểm chấm đen
là các giá trị được tính từ MC. 74
Hình 3.15. Mô hình hóa cấu trúc ô đơn vị của ZrO
2
có cấu trúc monoclinic. Hai

hình cầu lớn là hai nguyên tử Zr và bốn hình cầu nhỏ là bốn nguyên
tử O. 75



12

Hình 3.16. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của ZrO
2
monoclinic với r được tính theo đơn vị Bohr (a
0
).
Đường liền nét là đường làm khớp theo đa thức Chebyshev, các điểm
chấm đen là các giá trị được tính từ MC. 76
Hình 3.17. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của ZrO
2
monoclinic có sai hỏng điểm O với r được tính theo
đơn vị Bohr (a
0
). Đường liền nét là đường làm khớp theo đa thức
Chebyshev, các điểm chấm đen là các giá trị được tính từ MC. 77
Hình 3.18. Đồ thị hàm tương quan cặp đã được làm khớp theo các số liệu được tính
từ MC của ZrO
2
monoclinic có sai hỏng điểm Zr với r được tính theo
đơn vị Bohr (a
0
). Đường liền nét là đường làm khớp theo đa thức

Chebyshev, các điểm chấm đen là các giá trị được tính từ MC. 78

13

MỞ ĐẦU
Trong quá trình phát triển của khoa học công nghệ ngày càng cao thường đòi
hỏi những khám phá và nghiên cứu các cấu trúc có kích thước ngày càng nhỏ.
Trong khuynh hướng nghiên cứu này thì việc nghiên cứu các đặc trưng cấu trúc vật
chất ở cấp độ nguyên tử, phân tử và nano ngày càng được chú trọng và phát triển để
hướng tới các ứng dụng ở các cấp độ nano hay cluster trong các lĩnh vực công nghệ
vật liệu, y học và sinh học. Một trong những phương pháp tốt nhất thường được sử
dụng trong các nghiên cứu cấu trúc, thành phần cấu tạo, các sai hỏng điểm
(vacancy) và các chuyển pha trong vật chất là phương pháp hủy positron. Trong
phương pháp thực nghiệm hủy positron, việc xác định các thành phần thời gian
sống positron trong các cấu trúc vật chất xác định là rất cần thiết và là cơ sở để phân
tích các phổ thời gian sống thực nghiệm để từ đó có thể dự đoán chính xác các
thành phần cấu trúc vật chất thông qua việc phân tích các thành phần thời gian sống
positron. Các thành phần thời gian sống positron trong các cấu trúc vật chất xác
định có thể được tính từ các mô hình lý thuyết hủy positron và các giá trị thời gian
sống này có thể được dùng làm cơ sở để dự đoán các thành phần thời gian sống
khác nhau trong phổ thời gian sống positron thực nghiệm do sự hủy positron trong
các vùng cấu trúc khác nhau.
Trong các nghiên cứu hủy positron trong vật chất, vấn đề quan trọng là ảnh
hưởng tương quan của positron lên cấu trúc phân bố electron trong vật chất và điều
này làm ảnh hưởng đến tốc độ hủy positron trong vật chất. Do đó các kết quả tính
toán thường sai khác so với các kết quả thực nghiệm. Để hiệu chỉnh vấn đề này
chúng ta cần tìm ra các dạng tương quan electron – positron thích hợp để mô tả ảnh
hưởng tương quan electron – positron lên sự hủy positron trong vật chất. Các ảnh
hưởng tương quan positron thường được thể hiện qua hệ số tăng cường hủy
positron. Trong các công trình nghiên cứu lý thuyết hủy positron các tác giả thường

sử dụng mô hình hủy positron trong khí electron đồng nhất để đưa ra dạng hàm giải
tích cho hệ số tăng cường hủy positron phụ thuộc vào tham số mật độ electron như
trong các công trình [11], [68], [55], [22]. Nhưng trên thực tế sự hủy positron xảy ra
với các electron trong các cấu trúc vật chất phần lớn là sự hủy positron xảy ra với

14

các electron nằm trong các liên kết với nguyên tử hoặc phân tử và các phân bố elec-
tron này là không đồng nhất. Nên việc áp dụng các công thức giải tích của hệ số
tăng cường hủy được dẫn ra từ mô hình hủy positron trong khí electron đồng nhất
(hay mô hình mẫu Jellium [68]) là không còn chính xác. Ngoài ra còn có một số hạn
chế trong việc sử dụng các công thức xác định sự tăng cường hủy positron trong mô
hình mẫu khí electron đồng nhất như:
- Các công thức giải tích cho hệ số tăng cường hủy positron theo tham số mật độ
electron chỉ được đưa ra cho một số trường hợp mật độ positron như: mật độ po-
sitron rất nhỏ, mật độ positron bằng một nữa mật độ electron và mật độ positron
bằng mật độ electron.
- Các công thức này được xác định theo mật độ electron đồng nhất nên các kết
quả của cách tính này chỉ mô tả tốt sự hủy positron trong kim loại hay các cấu
trúc có mật độ electron gần giống mật độ electron của kim loại.
Do đó việc đưa ra mô hình xấp xỉ lý thuyết tính toán tổng quát cho sự hủy po-
sitron trong cấu trúc vật chất xác định là cần thiết. Từ những lý do này, tác giả đã
xác định mục tiêu của luận án là tìm mô hình xấp xỉ tổng quát để xác định hệ số
tăng cường hủy và tốc độ hủy positron trong cấu trúc vật chất xác định với tên của
luận án “ÁP DỤNG LÝ THUYẾT HÀM MẬT ĐỘ KHẢO SÁT CÁC ĐẶC
TRƯNG HỦY POSITRON TẠI CÁC SAI HỎNG TRONG HỢP CHẤT”. Nội
dung của luận án được bố cục trong ba chương như sau:
Chương 1: Giới thiệu lý thuyết tổng quan, các phương pháp xấp xỉ của cơ học
lượng tử trong tính toán cấu trúc vật liệu.
Chương 2: Phương pháp tính toán biến phân Monte Carlo lượng tử, áp dụng

biến phân Monte Carlo lượng tử cho hệ positron liên kết với cấu trúc vật chất.
Chương 3: Các kết quả tính toán và thảo luận các kết quả.





15

CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT TỔNG QUAN
1.1. Tổng quan nghiên cứu hủy positron
1.1.1. Tổng quan nghiên cứu hủy positron trên thế giới
Trong các nghiên cứu lý thuyết hủy positron, vấn đề quan trọng là làm sao tìm
ra một mô hình lý thuyết để xác định chính xác tốc độ hủy positron trong từng cấu
trúc vật chất xác định. Để từ tốc độ hủy này, ta có thể xác định được chính xác thời
gian sống đặc trưng của positron trong từng cấu trúc vật chất. Tốc độ hủy positron
trong vật chất được tính theo mật độ electron và positron trong vật chất. Do đó vấn
đề được đặt ra là tìm các phương pháp lý thuyết để xác định chính xác mật độ
electron của vật chất khi có positron đi vào môi trường vật chất trước và ngay khi
sự hủy positron xảy ra.
Từ những năm 1950, các lý thuyết hủy positron đã được các tác giả xây dựng
và phát triển dựa trên các lý thuyết lượng tử cho chất rắn như Richard A. Ferrell
[35] sử dụng các lý thuyết cơ học lượng tử để mô tả sự hủy positron trong chất rắn
với giả thuyết các electron trong chất rắn được xem như là khí electron đồng nhất.
Từ giả thuyết này, các hàm sóng electron và positron được thiết lập để tính tốc độ
hủy positron trong chất rắn. Sau đó S. Kahana [49], J. P. Carbotte và A. Salvadori
[22], v.v…, cũng áp dụng lý thuyết này để xây dựng công thức tính tốc hủy positron
cho nguyên tử kim loại. Nhìn chung các lý thuyết này đều phức tạp nếu giải cho các
hệ đa nguyên tử. Trong các lý thuyết hủy positron này các ảnh hưởng tương quan

của positron lên mật độ electron trong vật chất chưa được xem xét nên các kết quả
tốc độ hủy positron được tính từ các lý thuyết này thì không chính xác so với các
kết quả thực nghiệm.
Sau khi lý thuyết hàm mật độ được phát triển và ứng dụng thành công trong
các tính toán cho các hệ chất rắn, nó cũng đã được ứng dụng vào việc mô tả các hệ
positron – nguyên tử và cũng được dùng để tính toán các đặc trưng hủy positron
trong các cấu trúc vật chất và trong các sai hỏng điểm như các công trình của M.
Manninen, R. Nieminen và P. Hautojarvi [60]; B.Barbiellini [10], [11]; E.Boronski

16

và R.M. Niemien [13]; M. J. Puska[65], [50]; Henryk Stachowiak [68], [39]; J. Mi-
troy và M.W.J.Bromley [57], [55] v,v….
Từ đặc trưng cơ bản của positron là hạt mang điện tích dương nên khi positron
đi vào môi trường vật chất sẽ gây ra các ảnh hưởng lên phân bố electron trong vật
chất ngay tại vị trí positron trong vật chất. Do đó trong lý thuyết hàm mật độ hai
thành phần, các mật độ electron và positron được tính từ các phương trình
Schrödinger cho các mật độ đơn hạt khi có xét đến các ảnh hưởng tương quan – trao
đổi electron – electron và tương quan electron – positron. Các ảnh hưởng của tương
quan electron – positron lên tốc độ hủy positron được xác định từ hệ số tăng cường
hủy positron mà sự tăng cường hủy này thể hiện cho ảnh hưởng của tương tác
positron lên phân bố mật độ electron của vật chất ngay tại vị trí xảy ra sự hủy
positron. Hệ số tăng cường hủy này đóng vai trò rất quan trọng trong việc hiệu
chỉnh các kết quả lý thuyết và thực nghiệm. Trong lý thuyết hàm mật độ hai thành
phần, hệ số tăng cường hủy được thiết lập dựa trên các phương pháp xấp xỉ như là
phương pháp xấp xỉ mật độ cục bộ LDA (Local Density Approximation) hoặc
phương pháp GGA (General Gradient Approximation) với giả thuyết sự hủy
positron đối với các electron trong vật chất được xem như sự hủy positron trong khí
electron đồng nhất (mô hình Jellium[68], [39]). Khi đó hệ số tăng cường hủy được
xấp xỉ theo một hàm phụ thuộc vào tham số mật độ electron. Đã có một số công

trình tính toán hệ số tăng cường hủy positron trong mẫu khí electron đồng nhất như
Arponen và Pajanne [7], Brandt – Reinheimer (BR) [19], Boronski và Niemien
(BN) [13]. Các hàm xấp xỉ của hệ số tăng cường hủy này thì gần đúng cho trường
hợp môi trường chất rắn với giả thuyết các electron trong môi trường chất rắn được
xem như khí electron đồng nhất, nhưng lại không chính xác cho trường hợp nguyên
tử. Nên mô hình đối xứng xấp xỉ mật độ cục bộ SLDA (Symmetrized Local Density
Approximation) đã được đưa ra cho trường hợp nguyên tử [11], [30]. Trong các
công trình này các tác giả đã đưa ra công thức giải tích cho hệ số tăng cường hủy
theo tham số mật độ electron. Các kết quả đạt được từ những mô hình xấp xỉ của lý
thuyết hàm mật độ thì tốt hơn và khả năng thực hiện tính toán số trong các hệ phức
tạp thì khả thi hơn so với các lý thuyết lượng tử cổ điển. Nhưng các lý thuyết hàm

17

mật độ hai thành phần cho sự hủy positron vẫn chưa giải quyết được triệt để sự tăng
cường hủy positron do sự ảnh hưởng của tương tác tĩnh điện của positron lên phân
bố electron của vật chất.
Ngay từ khi phương pháp Monte – Carlo lượng tử được phát triển để tính toán
cho các hệ nhiều hạt thì phương pháp này cũng được ứng dụng trong các nghiên
cứu hủy positron trong vật chất như trong các công trình [41], [12], [56], [16] v.v….
Do tính chất phức tạp của việc giải phương trình Schrödinger cho hệ nhiều hạt nên
trong các nghiên cứu hủy positron, các tác giả đã đưa ra giả thuyết sự hủy positron
trong vật chất phần lớn xảy ra với các electron hóa trị của nguyên tử trong vật chất
như trong các công trình của M.W.J. Bromley và J.Mitroy [57], [16], [17]. Trong
các nghiên cứu này các tác giả M.W.J. Bromley và J.Mitroy đã thực hiện các tính
toán dựa trên phương pháp biến phân SVM (Stochastic variation method), phương
pháp cấu hình tương tác CI (Configuration – Interaction) và phương pháp Monte –
Carlo lượng tử. Những phương pháp này được dùng để xác định tốc độ hủy positron
hay tính năng lượng liên kết của positron với nguyên tử trong vật chất với giả thuyết
các positron chỉ tương tác với các electron hóa trị, phần lõi ion của nguyên tử chỉ

tác dụng như những điện tích hạt nhân hiệu dụng. Các tính toán tốc độ hủy positron
trong các công trình này thì cũng vẫn sử dụng lại các công thức của hệ số tăng
cường hủy được xây dựng dựa trên sự hủy positron trong khí electron đồng nhất.
Ngày nay các khuynh hướng phát triển chính là các nghiên cứu thực nghiệm
ứng dụng hủy positron để khảo sát các đặc trưng của các cấu trúc vật liệu khác nhau
dựa trên phổ thời gian sống của positron trong vật liệu như: nghiên cứu tính chất
các vật liệu bán dẫn Si [6], [69], các vật liệu sinh học [45], nghiên cứu các đặc trưng
plasma của hiđrô trong cấu trúc tinh thể ZnO và các nghiên cứu về cấu trúc ZnO
[79], [72], [23], [8], [70], nghiên cứu sự chiếu xạ hợp kim Fe – Cr [18], nghiên cứu
sự ổn định của cấu trúc nano Zirconia [63], [64], [33], [34], [67], và các ứng dụng
hóa positron trong nghiên cứu polyme [51],v.v Ngoài ra hủy positron còn được
ứng dụng trong các nghiên cứu các tính chất của chất keo (colloid) và các chuyển
pha của colloid như trong các công trình [24], [25], [53], [26]. Ưu điểm của phương
pháp hủy positron trong nghiên cứu cấu trúc vật liệu là chúng ta có thể thực hiện

18

các mô hình nghiên cứu lý thuyết ở các cấp độ nguyên tử, phân tử, đám nguyên tử
hay cấu trúc nano và các kết quả của các mô hình này có thể được dùng để giải
thích cho các kết quả thực nghiệm hủy positron.
Nhưng trong các nghiên cứu thực nghiệm hủy positron này, các kết quả phổ
thời gian sống positron trong vật liệu cũng như trong các sai hỏng trong vật liệu vẫn
chưa có những giải thích lý thuyết thỏa đáng. Các kết quả phổ thời gian sống
positron này thu được từ sự đóng góp của sự hủy positron trong vùng hoàn hảo,
trong vùng khuyết tật của vật liệu và có sự đóng góp của ảnh hưởng tăng cường hủy
positron trong vật liệu. Do đó để xác định được chính xác các thành phần thời gian
sống của positron trong từng vùng cấu trúc vật liệu thì chúng ta cần phải có các giải
thích lý thuyết. Tuy nhiên có rất ít các nghiên cứu tính toán lý thuyết chi tiết về các
ảnh hưởng tăng cường hủy positron trong các cấu trúc vật liệu khác nhau. Hầu hết
các tính toán toán lý thuyết hủy positron vẫn sử dụng các dạng hàm xấp xỉ của hệ số

tăng cường hủy positron theo tham số mật độ electron mà được tính từ mô hình khí
electron đồng nhất như các công trình [10], [16], [17], [55], [56], [57] và [70] .
1.1.2. Tổng quan nghiên cứu hủy positron trong nước
Ở Việt Nam có rất ít các công trình nghiên cứu hủy positron về cả lý thuyết và
thực nghiệm. Về nghiên cứu thực nghiệm hủy positron có một nhóm nghiên cứu ở
Trung Tâm Kỹ thuật Hạt nhân Tp.HCM. Còn về nghiên cứu lý thuyết đã có một số
nghiên cứu của nhóm nghiên cứu ở Trường ĐH KHTN Tp.HCM và có một số công
trình đã được công bố [1], [2], [3], [4], [5]. Trong các nghiên cứu hủy positron này
cũng chỉ dừng lại ở việc khảo sát các đặc trưng hủy positron trong các bẫy sai hỏng
của vật liệu mà vẫn chưa có những nghiên cứu về các ảnh hưởng tăng cường hủy
positron trong vật chất do ảnh hưởng của tương tác positron lên các phân bố elec-
tron trong vật chất.
1.1.3. Các vấn đề còn tồn đọng
Trong hầu hết các kết quả nghiên cứu lý thuyết tốc độ hủy positron trong vật
chất, các hệ số tăng cường hủy positron đều được tính dựa trên các công thức giải
tích được xây dựng dựa trên mô hình hủy positron trong khí electron đồng nhất. Do
đó khi xét positron hủy trong một cấu trúc vật chất bất kỳ mà có mật độ electron

19

không đồng nhất thì việc sử dụng các hàm tăng cường hủy positron này có thể
không còn chính xác. Nên vấn đề được đặt ra trong luận án là làm sao xác định sự
tăng cường hủy positron trong các cấu trúc vật chất xác định mà không phải sử
dụng các dạng hàm xấp xỉ tăng cường hủy positron này. Từ giá trị tăng cường hủy
thì tốc độ hủy và thời gian sống của positron sẽ được xác định chính xác hơn cho
từng cấu trúc vật chất xác định. Từ đó việc đánh giá các cấu trúc vật chất bằng
phương pháp hủy positron (phương pháp phổ thời gian sống positron) sẽ đạt kết
quả tốt hơn.
Do đó trong luận án, tác giả đã xây dựng các mô hình tính toán dựa trên các lý
thuyết hàm mật độ để tìm sự tăng cường mật độ electron quanh positron khi posi-

tron đi vào môi trường vật chất xác định. Từ các phân bố tăng cường mật độ elec-
tron này thì hệ số tăng cường hủy sẽ được xác định và tốc độ hủy positron trong các
cấu trúc vật chất cũng như trong các sai hỏng cũng được xác định.

1.2. Cơ sở lý thuyết hàm mật độ trong tính toán cấu trúc vật liệu
1.2.1. Lý thuyết hàm mật độ - phương pháp xấp xỉ Kohn – Sham
Trong lý thuyết hàm mật độ thì các đặc trưng hệ nhiều hạt (electron hoặc
positron, v.v…) có thể được mô tả thông qua mật độ hạt và năng lượng trạng thái cơ
bản của hệ có thể được xác định từ việc cực tiểu hóa hàm năng lượng theo mật độ
(
)
ρ
≡
ρ
r
r
theo [44], [66].

[
]
[
]
(
)
(
)
∫
ρ+ρ=ρ rdrrVFE
r
r

r
(1.1)
với
[
]
[
]
[
]
ρ
+
ρ
=
ρ
ee
VTF (1.2)
và mật độ hạt ở trạng thái cơ bản của hệ ρ
0
là mật độ làm cực tiểu hàm năng lượng
E[ρ
0
] = E
min
. Do đó, mật độ này phải thỏa mãn phương trình Euler :

( )
(
)
[
]

( )
r
rF
rV
r
r
r
δρ
ρ
δ
+=µ (1.3)
trong đó µ là bội số Lagrange (thế hóa học) và điều kiện ràng buộc của mật độ

(
)
Nrdr =ρ
∫
r
r
(1.4)
N là tổng số hạt trong hệ. Trong tất cả các nghiệm có thể có của (1.3) thì chỉ có một
nghiệm làm cho E[ρ] cực tiểu.

20

Những mô hình xấp xỉ của Thomas – Fermi (TF) đã cung cấp những dạng xấp
xỉ tường minh của T[ρ] và V
ee
[ρ]. Từ xấp xỉ TF, ta có những phương trình đơn giản
chỉ theo mật độ hạt là electron trong vật chất. Tuy nhiên những mô hình TF chỉ là

những mô hình xấp xỉ thô không thật sự chính xác. Vấn đề đơn giản hóa cho mô
hình xấp xỉ nhưng vẫn đảm bảo tính chính xác của xấp xỉ đã được Kohn và Sham
thực hiện với một xấp xỉ gián tiếp rất sáng tạo đối với hàm động năng T[ρ], được
gọi là phương pháp Kohn – Sham (KS) [52]. Nhờ đó, lý thuyết hàm mật độ trở
thành một công cụ đắc lực cho những tính toán cấu trúc vật liệu.
Phương pháp xấp xỉ KS được đưa ra từ hệ thức chính xác của động năng T của
trạng thái cơ bản:

∑
Ψ∇−Ψ=
N
i
i
2
iii
2
1
nT (1.5)
với Ψ
i
và n
i
là hàm sóng spin và số trạng thái của hạt thứ i. Theo nguyên tắc loại trừ
Pauli thì 0 ≤ n
i
≤ 1. Theo lý thuyết Hohenberg – Kohn (HK) thì động năng T là hàm
của mật độ electron tổng ρ. Trong đó mật độ được tính từ công thức:

( ) ( )
∑ ∑

Ψ=ρ
N
i s
2
ii
s,rnr
rr
(1.6)
Với động năng T và ρ được tính từ tập hợp N hàm sóng riêng ứng với từng trạng
thái của hạt (electron).
Đối với một hệ tương tác bất kỳ thì sẽ có một số vô hạn những số hạng trong
(1.5) và (1.6). Kohn và Sham đã chứng tỏ rằng có thể xây dựng một lý thuyết sử
dụng hệ thức đơn giản hơn theo những công thức sau [52]:

[ ]
∑
Ψ∇−Ψ=ρ
N
i
i
2
iis
2
1
T
(1.7)

( ) ( )
∑∑
Ψ=ρ

N
i s
2
i
s,rr
rr
(1.8)
T
s
là hàm động năng được tính theo xấp xỉ KS
Những phương trình (1.7) và (1.8) là những trường hợp đặc biệt của (1.5) và
(1.6) với n
i
= 1 cho N hàm sóng đầu tiên và n
i
= 0 cho các hàm sóng còn lại. Biểu
diễn này của động năng và mật độ đã đảm bảo tính đúng đắn cho hàm sóng định

21

thức được dùng để mô tả chính xác hệ N hạt không tương tác. Với mật độ ρ không
âm, liên tục và được chuẩn hóa thì ρ là biểu diễn N và luôn được tách thành những
số hạng hàm sóng Ψ
i
trong phương trình (1.8).
Tương tự định nghĩa HK về hàm tổng quát F
HK
[ρ], Kohn và Sham đã sử dụng
toán tử Hamilton của hệ không tương tác [52]:

( )
∑∑
+∇−=
N
i
is
N
i
2
is
rV
2
1
H
ˆ
r
(1.9)
s
H
ˆ
và V
s
là toán tử Hamilton và thế năng trong xấp xỉ của KS.
Đối với các hệ electron trong cấu trúc vật chất, toán tử Hamilton (1.9) không
chứa số hạng thế đẩy electron – electron và có mật độ electron tương ứng với trạng
thái cơ bản chính xác là ρ được xác định bởi hàm sóng:

[ ]
N21s
Det

!N
1
ψψψ=Ψ (1.10)
Trong đó ψ
i
(i=1, . . ., N) là trạng thái riêng thấp nhất của toán tử Hamilton của một
electron
s
h
ˆ
:

( )
iiis
2
iis
rV
2
1
h
ˆ
ψε=ψ






+∇−=ψ
r

(1.11)
Khi đó động năng được cho bởi (1.7) có dạng:

[ ]
∑∑
ψ∇−ψ=Ψ∇−Ψ=ρ
N
i
i
2
iis
N
i
2
iss
2
1
2
1
T
(1.12)
và có mật độ như trong (1.8).
Trong những định nghĩa của động năng T[ρ] theo xấp xỉ của HK có những hạn
chế không mong muốn đối với mật độ như nó cần phải là biểu diễn của thế V cho
hệ các hạt không tương tác và cần phải tồn tại một trạng thái cơ bản của hệ không
tương tác ứng với mật độ ρ được cho [54]. Hạn chế này trong định nghĩa của T[ρ]
có thể được khắc phục đối với T
s
[ρ] trong (1.7) và T
s

[ρ] có thể được định nghĩa cho
mật độ bất kỳ được hình thành từ những hàm sóng bất đối xứng.
Mặc dù đại lượng T
s
[ρ] được định nghĩa duy nhất cho mật độ bất kỳ, nhưng
vẫn còn hàm động năng không chính xác T[ρ] chưa được biết. Ý tưởng của Kohn

22

và Sham là tách hàm động năng của hệ tổng quát thành phần động năng chính xác
T
s
[ρ] mà kết quả của T
s
[ρ] được tính từ mô hình mẫu hạt độc lập và một phần động
năng bổ sung để hiệu chỉnh mà phần động năng bổ sung này chưa được biết. Biểu
thức (1.2) được viết lại như sau:

[
]
[
]
[
]
[
]
ρ
+
ρ
+

ρ
=
ρ
xcs
EJTF (1.13)
trong đó

[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
ρ
−
ρ
+
ρ
−
ρ
=
ρ
JVTTE
eesxc
(1.14)
và J(ρ) là tương tác electron – electron cổ điển đối với các hệ hạt là electron.

Đại lượng được định nghĩa E
xc
[ρ] trong (1.14) được gọi là năng lượng tương
quan – trao đổi. Nó chứa phần động năng bổ sung thể hiện sự chênh lệch giữa T và
T
s
và V
ee
[ρ]. Khi đó phương trình Euler có dạng:

( )
[
]
δρ
ρ
δ
+=µ
s
eff
T
rV
r
(1.15)
với thế hiệu dụng KS được định nghĩa như sau:

( ) ( )
[
]
[
]

( )
(
)
( )
rVrd
rr
r
rV
E
J
rVrV
xc
xc
eff
rr
rr
r
rrr
+
′
′
−
′
ρ
+=
δρ
ρ
δ
+
δρ

ρ
δ
+=
∫
(1.16)
và thế tương quan – trao đổi:
( )
[
]
δρ
ρ
δ
=
xc
xc
E
rV
r
(1.17)
Ở đây chúng ta không tìm lời giải trực tiếp từ phương trình (1.15) vì nó chỉ là
một sự xắp xếp lại của (1.3) và dạng tường minh của hàm T
s
[ρ] theo mật độ thì
chưa được biết. Việc đi tìm lời giải các phương trình từ (1.15) đến (1.17) đã được
KS thực hiện như sau:
Phương trình (1.15) với điều kiện ràng buộc (1.4) khi áp dụng vào hệ những
hạt (electron) không tương tác có thế ngoài
(
)
(

)
rVrV
effs
r
r
=
thì nó chính là những
phương trình trong lý thuyết hàm mật độ cổ điển. Do đó, với
(
)
rV
eff
r
được cho trước
thì mật độ ρ thỏa mãn phương trình (1.15) và nó đơn giản chính là nghiệm của N
phương trình một hạt:

( )
iiieff
2
iis
rV
2
1
h
ˆ
ψε=ψ







+∇−=ψ
r
(1.18)

23

và
( ) ( )
∑∑
ψ=ρ
N
i s
2
i
s,rr
rr
(1.19)
Trong đó
(
)
rV
eff
r
phụ thuộc vào ρ theo phương trình (1.16).
Những phương trình (1.16) – (1.19) là những phương trình KS. Những hàm
sóng KS chính là những hàm sóng thỏa mãn phương trình (1.9) với thế hiệu dụng
(

)
rV
eff
r
của KS, trong thế hiệu dụng của KS đã có xét đến phần tương quan – trao
đổi cho nên những hàm KS khi đó được hiểu là đã có xét đến phần tương quan –
trao đổi trong những hàm sóng KS. Đây chính là ý tưởng trong xấp xỉ KS. Trong
luận án này sẽ sử dụng những phương trình một hạt của KS kết hợp với phương
pháp biến phân Monte – Carlo (MC) lượng tử để đi tìm trạng thái cơ bản của các hệ
cấu trúc vật liệu có sự hiện diện của positron. Từ những trạng thái cơ bản này thì tốc
độ hủy và thời gian sống của positron trong cấu trúc vật liệu sẽ được xác định.
1.2.2. Gần đúng Born – Oppenheimer cho electron trong vật chất
Trong lý thuyết chất rắn, các trạng thái electron được mô tả bởi toán tử
Hamilton mà được xấp xỉ theo gần đúng Born – Oppenheimer với giả thuyết rằng
khối lượng của hạt nhân nguyên tử rất lớn so với khối lượng electron nên có thể
xem hạt nhân đứng yên và electron di chuyển trong trường hạt nhân cố định [14].
Do đó, các chuyển động của electron và hạt nhân sẽ được tách ra thành hai dạng
chuyển động độc lập nhau và hàm sóng mô tả trạng thái của electron trong nguyên
tử hay phân tử cũng được tách ra thành tích của hàm sóng electron và hàm sóng của
hạt nhân nguyên tử. Lúc này hàm sóng của electron chỉ phụ thuộc vào vị trí của các
hạt nhân nguyên tử mà không phụ thuộc vào chuyển động của các hạt nhân nguyên
tử. Hàm sóng tổng của hệ được mô tả bởi:
{
}
{
}
(
)
{
}

(
)
{
}
(
)
eAAe
rRR,r
r
r
r
r
ψΦ=Ψ (1.20)
Với
{
}
e
r
r
là tập hợp vị trí các electron;
{
}
A
R
r
là tập vị trí các hạt nhân nguyên tử;
{
}
(
)

A
R
r
Φ là hàm sóng của hạt nhân nguyên tử;
{
}
(
)
e
r
r
ψ
là hàm sóng của electron. Với
giả thuyết của Born – Oppenheimer thì phương trình Schrödinger cho hệ nhiều hạt
gồm N
A
hạt nhân và N electron với toán tử Hamilton của hệ electron
e
H
ˆ
được viết
như sau: