đương vuong goc chung cua hai duong thang cheo nhau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HOÀ BÌNH
TRƯỜNG THPT YÊN THUỶ C
Người thực hiện: Quách Thị Vân
SÁNG KIẾN
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
“DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH
GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU”
Năm học 2012 - 2013
Mục lục
Nội dung Trang
Phần thứ nhất: Đặt vấn đề
Phần thứ hai: Nội dung
1. Cơ sở khoa học
2. Nội dung
2.1. Cách 1.(Áp dụng cho trường hợp a, b vuông góc với nhau)
2.2. Cách 2.(Áp dụng cho TH dễ dựng mp(α) vuông góc với a hoặc b)
2.3. Cách 3. (Áp dụng cho TH dễ dựng mp(α) chứa a và song song với b)
2.4. Một số chú ý.
3. Hiệu quả sáng kiến
Phần thứ ba: Kết luận chung và đề suất
Tài liệu tham khảo
PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở thực tế, lý do chọn sáng kiến
Toán học là một môn học quan trọng trong việc hình thành và phát triển khả
năng tư duy logic và thế giới quan khoa học của học sinh. Quá trình học tập bộ
môn, giúp cho học sinh khắc sâu những kiến thức cơ bản, hình thành được
những khả năng tư duy, sáng tạo, phân tích, tổng hợp, so sánh.
Từ thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy sau khi học sinh đã nắm được kiến thức,
kỹ năng của 1 bài hoặc 1 chủ đề thì việc củng cố, luyện tập kiến thức, nhất là
rèn luyện kỹ năng giải toán rất quan trọng.
Hình học không gian lớp 11 là một trong những mảng kiến thức khó không

chỉ đối với người học, mà đối với cả người dạy. Đặc biệt là phần “Xác định
đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau”.
Trong đề thi ĐH – CĐ của các khối A, B, D những năm gần đây luôn xuất hiện
bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, và đây là một phần
kiến thức mà học sinh gặp vướng mắc rất nhiều. Năm học 2012 – 2013, cá nhân
tôi được phân công giảng dạy tại lớp 11A1 và 11A3 của trường THPT Yên
Thuỷ C. Nhằm đáp ứng tốt hơn nhu cầu học tập của các em, cung cấp cho các
em một hệ thống bài tập đầy đủ có phân chia theo phương pháp giải để các em
làm tài liệu ôn tập, tôi viết sáng kiến “HƯỚNG DẪN HỌC SINH DỰNG
ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU”.
Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( theo cách trực
tiếp) được chia thành hai phần:
Phần định tính: Yêu cầu phải xác định chính xác đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng chéo nhau.
Phần định lượng: Tính độ dài đoạn vuông góc chung vừa tìm được dựa vào
kiến thức hình học đã học.
Trong hai phần này, khó khăn học sinh thường mắc phải là phần định tính. Vì
vậy tôi đi sâu vào việc hướng dẫn các em đi tìm đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau theo ba cách. Phần cuối cùng là một số chú ý để tính
1
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo bằng cách dựa vào khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc hai mặt phẳng song song.
2. Mục đích, nhiệm vụ của sáng kiến
Giúp học sinh nhận dạng, phân loại và nắm vững phương pháp dựng đường
vuông góc chung, từ đó tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thông qua khoảng cách giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song hoặc giữa ha mặt phẳng song song.
3. Phương pháp
- Lựa chọn các ví dụ, bài tập cụ thể, phân loại bài tập theo phương pháp giải.

- Giảng dạy thực tế để so sánh kết quả và rút kinh nghiệm.
2
PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
1. CƠ SỞ KHOA HỌC
1.1. Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b
và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là
đường vuông góc chung của a và b.
1.2. Nếu đường vuông góc chung Δ cắt
hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N
thì đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung
và độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Ký hiệu: d(a,b) = MN
2. NỘI DUNG

3
a
b
Δ
M
N
H
2.1. Cách 1. (Áp dụng cho trường hợp a, b vuông góc với nhau)
2.1.1. Phương pháp
Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc
với b tại O
Bước 2: Dựng OH vuông góc với b lại H.
Khi đó OH là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = OH
2.1.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC, có OA, OB, OC đôi một vuông góc với

nhau, và OA = OB = OC = a. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Phân tích.
Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau trong trường hợp a chéo b và a vuông góc với b là đơn giản nhất
trong các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Vì thế,
trước hết phải rèn cho học sinh bước kiểm tra giả thiết a vuông góc với b. Trong
bài tập này, việc kiểm tra tương đối đơn giản. Và thông thường mặt phẳng (α) có
sẵn trong bài, không phải dựng.
Lời giải:
Ta có



⊥
⊥
OC
OA
OA
OB
nên OA ⊥ (OBC) tại O
Gọi I là trung điểm của BC.
Do tam giác OBC cân tại O nên OI ⊥ BC
Vậy OI là đoạn vuông góc chung của AO và BC.
d(OA; BC) = OI.
Trong tam giác OBC có OB = OC = a nên OI =
2
3
4
2

2
aa
a =−
Vậy, d(OA; BC) = OI =
2
3a
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh
a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = h. Dựng đường vuông góc chung và tính
khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
4
b
a
O
H
α
A
B
I
C
O
a. SA và BC
b. SC và BD
a. Phân tích.
Dễ dàng chứng minh được SA ⊥ BC. Khi đó mặt phẳng (α) cần dựng trong bước
1 đã có sẵn, chính là mp(ABCD). Tuy nhiên vẫn cần hướng dẫn để học sinh phát
hiện và chứng minh được nhận xét đó.
Lời giải.
Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC.
Trong mặt phẳng (ABCD) có AB ⊥ BC.
Vậy AB là đoạn vuông góc chung của SA và BC;

D(SA;BC) = AB = a
b.Phân tích
Việc nhận ra BD ⊥ SC có khó khăn hơn ví dụ a. Vì vậy, khi dạy học phần quan
hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giáo viên cần rèn luyện cho học
sinh kỹ năng chứng minh đường thảng vuông góc với mặt phẳng; đường thẳng
vuông góc với đường thẳng thật tốt. Trong ví dụ này, cần giúp học sinh chứng
minh được BD ⊥ (SAC) nhờ khai thác giả thiết ABCD là hình vuông và SA ⊥
(ABCD). Từ đó tìm ra mp(α) chính là mp(SAC).
Lời giải.
Ta có



⊥
⊥
SA
BD
BD
AC
nên BD vuông góc với (SAC) tại O.
Từ O dựng OH vuông góc với SC tại H.
Khi đó OH chính là đoạn vuông góc chung của BD và SC. Và d(BD;AC) = OH.
Tính OH. Ta có ∆CHO ∼∆CAS ⇒
SA
SC
OC
OH
SC
OC
SA

OH
.=⇒=
Trong ∆SAC có SA = h, AC = a
2
nên SC =
22
2ah +
.
Từ đó OH =
22
2
.
2
2
ah
ha
+
Vậy d(BD;AC) =
22
2
.
2
2
ah
ha
+
5
S
C
B

D
A
H
O
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AC’
= 2a.
a. Tính khoảng cách từ D đến (ACD’)
b. Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC’ và CD’.
Phân tích.
Câu a không nằm trong nội dung của sáng kiến, nhưng vì yêu cầu của bài toán
không quá phức tạp và có ích cho học sinh nên tôi hướng dẫn cách làm. Giả thiết
cho hình hộp chữ nhật, như vậy học sinh cần nhận ra được tính chất đặc biệt của
tứ diện DACD’ là có DA, DC, DD’ đôi một vuông góc, quy về bài toán quen
thuộc trong GGK.
Câu b, học sinh cần tính chú ý giả thiết AB = AA’ =a để nhận ra được các mặt
bên ABB’A’ và DCC’D’ là hình vuông cạnh a. Từ đó có CD’ ⊥ C’D dẫn đến
CD’ ⊥ AC’.
Lời giải
a. Trong tam giác ACC’ có
AC =
2222
4'' aaCCAC −=−
=
3a
Trong ∆ADC có AD =
2'
22
aCCAC =−
Xét tứ diện ADCD’ có
AD, DC, DD’ đôi một vuông góc.

Gọi H là hình chiếu của D lên (ACD’) thì
2222
DD'
1111
++=
DCDADH
=
2222
2
511
2
1
aaaa
=++
⇒ DH =
5
10a
b. Do CDD’C’ là hình vuông nên CD’ ⊥ DC’, mặt khác CD’ ⊥ AD nên CD’ ⊥
AC’. Mặt phẳng (ADC’) chứa AC’ và vuông góc với CD’ tại I ( I = CD’ ∩ DC’)
Trong mặt phẳng (ADC”) dựng IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là đoạn vuông
góc chung của CD’ và AC’.
Tính IJ
Ta có ∆JIC’ đồng dạng với ∆DAC’ nên IJ =
22.2
2
2
'2
'.
'
'. a

a
a
a
AC
ICAD
AC
ICAD
====
6
A
B
C
D
B’
A’
D’
C’
I
J
Vậy d(CD’,AC’) =
2
a
2.1.3. Bài tập dành cho học sinh.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông
góc với (ABCD) và SH = a
3
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và
SC theo a.
7

2.2. CÁCH 2. (Áp dụng cho trường hợp dễ dựng mp(α) vuông góc với a hoặc b)
2.2.1. Phương pháp
Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) vuông góc với a
tại O và cắt b tại I
Bước 2: Dựng b’ là hình chiếu của b lên (α)
(Lấy B bất kỳ trên đường thẳng b,
dựng BB’ vuông góc với (α) tại B’; b’ là đường thẳng qua I và B’)
Bước 3: Dựng OH vuông góc với b’ tại H;
dựng HN // a (N∈ b); dựng MN // OH (M ∈ a).
Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = MN = OH
2.2.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD cá đáy là hình vuông cạnh a, SA = h và
SA vuông góc với đáy. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng sau:
a. SC và AB
b. AC và SD
a. Phân tích.
Trước hết chúng ta nhận thấy các cặp đường thẳng cần tính khoảng cách trong
bài toán này không vuông góc với nhau. Mặt khác, mp(SDC) vuông góc với
đường thẳng AB tại A và cắt SC tại S. Các dữ kiện bài toán thoả mãn các yêu
cầu của bài toán thứ 2. Trên cơ sở đó, ta dựng đoạn vuông góc chung theo
phương pháp của bài toán thứ hai.
Lời giải.
Ta có
)(
ADAB
SADAB
SAAB
⊥⇒




⊥
⊥
tại A.
Và (SAD) ∩ SC = S
Mặt khác
)(
ADCD
SADCD
SACD
⊥⇒



⊥
⊥

nên hình chiếu của SC lên (SAD) là SD
*) Dựng AH vuông góc với SD tại H; dựng HP // CD // AB ( P ∈ SC)
8
O
b
I
a
b’
α
H
N
M

S
A
D
C
B
H
P
Q
Từ P, dựng PQ song song với AH cắt AB tại Q. Khi đó PQ chính là đường
vuông góc chung của SC và AB và d(SC,AB) = PQ = AH.
Tính AH.
Trong tam giác SAD ta có
22
22
22222
11111
ha
ha
ahADSAAH
+
=+=+=
Từ đó d(SC,AB) = AH =
22
ha
ah
+

b. Phân tích.
Từ phương pháp, ta thấy rằng nếu dựng được mặt phẳng (α) vuông với đường
thẳng thứ nhất và cắt đường thẳng thứ hai thì bài toán dựng đường vuông góc

chung sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Theo giả thiết thì SA ⊥ AC, vì thế dựng
mặt phẳng vuông góc với AC sẽ đơn giản hơn dựng mặt phẳng vuông góc với
SD. Từ nhận định đó trong mặt phẳng đáy ta dựng đường thẳng At vuông góc
với AC, ta sẽ được mặt phẳng (SAt) vuông góc với AC và cắt SD tại S. Theo đó,
ta dễ dàng dựng được đường vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho.
Lời giải
Trong mặt phẳng đáy kẻ đường thẳng At vuông góc với AC ⇒ AC ⊥ (SAt)
Từ D, kẻ đường thẳng song song với AC, cắt At tại I, thì ID ⊥ (SAt). Như vậy
SI chính là hình chiếu của SD lên mp(SAI)
Từ A dựng AE ⊥ SI tại E;
Từ E dựng EF // AC (F∈ SD)
Từ F dựng FJ // AE ( J ∈ AC)
Khi đó, IJ chình là đoạn vuông góc chung
của AC và SD và d(AC,SD) = IJ = AE
( do tứ giác AEFJ là hình chữ nhật)
Tính AE.
Gọi O = AC ∩ DB.
Dễ thấy tứ giác AIDO là hình chữ nhật nên AI =
2
2
2
1 a
BD =
9
F
E
S
A
B
C

D
I
J
O
Trong tam giác SAI có
3
3
22
a
SAAI
AISA
SI
AISA
AE =
+
==
Vậy d(SD, AC) =
3
3a
2.2.3. Bài tập dành cho học sinh.
10
2.3. CÁCH 3
2.3.1. Phương pháp
Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b
Bước 2: Dựng hình chiếu b’ của b lên (α). Gọi O = a ∩b’
(Lấy B bất kỳ trên đường thẳng b,
dựng BB’ vuông góc với (α) tại B’; Qua B’ dựng b’ song song với b)
Bước 3: Dựng OH vuông góc với (α) cắt b tại H.
Khi đó HO là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = OH.
2.3.2. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB = BC = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông với mặt phẳng đáy
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC
cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Phân tích.
Cách xác định đường vuông góc chung theo cách 2 hoặc cách 3 trong nhiều
trường hợp thật ra là một. Việc phân biệt rạch ròi giữa hai phương pháp chỉ khi
trong bài toán đã có sẵn mặt phẳng (α) chứa a và song song với b hoặc vuông
góc với a và cắt b. Trong nhiều bài toán, ta có thể sử dụng cả hai cách. Việc lựa
chọn cách nào tuỳ thuộc và giả thiết để bài làm được đơn giản hơn. Ví dụ này là
một trường hợp như vậy.
Lời giải.
Do BC // (SMN); BC và MN đồng phẳng nên BC // MN
Từ đó có N là trung điểm của AC.
Do SA ⊥ (ABC) nêm SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB (giả thiết) nên BC ⊥ SB,
từ đó có góc giữa SB và (ABC) là góc
·
SBA
.
Trong tam giác SAB có SA = AB.tan
·
SBA

= 2a.tan60
0
= 2

3
a.
11
S
A
H
M
D
B
N
C
K
P
H
b’
B
a
α
b
O
B’
Trong mặt phẳng (ABC) xác định điểm D sao cho AMND là hình chữ nhật. Khi
đó AB // (SND) , SN ∩ (SND) = S.
Do AMND là hình chữ nhật nên ND ⊥ AN, lại do ND ⊥ SA nên ND ⊥ (SAD),
từ đó suy ra (SAD) ⊥ (SND) và (SAD) ∩ (SND) = SN.
Trong tam gics SAD dựng đường cao AH, Qua H dựng HK song song với DN
cắt SN tại K. Từ K dựng KP song song với AH, P ∈ AB. Khi đó KP chính là
đoạn vuông góc chung của AB và SN và d(AB, SN) = KP = AH.
Tính AH.
Ta có MN =

1
2
BC = a = AD;
Trong tam giác SAD có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 13
12 12AH SA AD a a a
= + = + =
⇒ AH =
2 39
13
a
Vậy d(AB, SN) =
2 39
13
a
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB
= a, BC = 2a. Cạnh SA vuông với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Xác định đường
vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a.
Phân tích.
Từ điều kiện BC ⊥ AB ta nhận thấy rằng nếu dựng CD song song và bằng AB
thì CD ⊥ AD, từ đó có CD ⊥ (SAD) và suy ra (SAD) ⊥ (SDC)
Từ đây ta dễ dàng dựng được đường vuông góc chung của AB và SC
Lời giải.
Trong mp(ABC) xác định điểm D sao cho
tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Khi đó ta có DC ⊥ AD và DC ⊥ SA
nên DC ⊥ (SAD), từ đó suy ra (SAD) ⊥ (SDC).
Mặt khác (SAD) ∩ (SDC) = SD.
Từ đó dựng đường cao AE của tam giác SAD

thì AE ⊥ (SDC).
12
S
A
K
B
C
D
E
H
Qua E dựng đường thẳng song song với DC, cắt SC tại H, Q H dựng đường
thẳng song song với AE, cắt AB tại K. Khi đó HK là đường vuông góc chung
của AB và SC và d(AB, SC) = HK = AE.
Tính AE: trong tam giác SAD ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 4 2AE SA AD a a a
= + = + =
⇒ AE = a
2
Vây d(AB, SC) = a
2
2.3.3. Bài tập dành cho học sinh.
13
2.4. Một số chú ý
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng mặt phẳng song song với nó
và chứa đường thẳng còn lại.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Từ những nhận xét này ta có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau đơn giản hơn khi không phải dựng đường vuông góc chung. Các bài
toán ở phần 2.3 trong phần định tính có thể dừng lại ở bước dựng được mp(
α
)
chứa a và song song với b.
Sau đây là một số ví dụ khác, minh họa cho những chú ý này.
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
và BA = BC = a; AA’ = a
2
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
giữa AM và B’C.
Phân tích.
Từ giả thiết M là trung điểm của BC, ta xác định trung điểm N của BB’ để
được mặt phẳng (AMN) // B’C. Định hướng cho học sinh chú ý đến điều kiện
14
α
a
b
d(a,b) = d(a,(α))
β
b
α
a
d(a,b) = d((α),(β))
của đề bài suy ra tứ diện BAMN có các cặp cạnh BA, BM, BN đôi một vuông
góc và quy về tính khoảng cách từ B đến mp(AMN)
Lời giải
Gọi N là trung điểm của BB’
thì ta có B’C // MN nên B’C // (AMN).

Khi đó d(B’C, AM) = d(B’C, (AMN)) = d(B,(AMN))
(do M là trung điểm của BC)
Tính khoảng cách từ B đến (AMN).
Xét tứ diện ABMN có các cạnh BA, BM, BN đôi một vuông góc, gọi H là hình
chiếu của B lên (AMN) thì ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 2 7
BH BA BM BN a a a a
= + + = + + =
⇒ BH =
7
7
a
. Vậy d(B’C,AM) =
7
7
a
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của Ab và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng A’C và MN.
Phân tích.
Học sinh phải dựng được một mặt phẳng chứa đường này và song
song với đường còn lại. Đẻ dựng mặt phẳng chứa A’C và song song với MN sẽ
khó khăn. Bên cạnh đó ta thấy MN // BC nên sẽ gợi ý cho việc chọn mp(A’BC)
chứa A’c và song song với MN. Từ đó ta tính khoảng cách từ MN đến (A’CB)
Lời giải.
Do MN // BC nên MN // (A’BC)
Từ đó d(MN, A’C) = d(MN, (A’BC)) = d(M, (A’BC))
Tính khoảng cách từ M đến (A’BC)
Gọi H là hình chiếu của M lên A’B.

Ta có
( ' ')
'
BC AB
BC ABB A BC AH
BC BB
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Từ đó AH ⊥ BC và AH ⊥ A’B nên AH ⊥ (A’BC)
⇒ d(A,(A’BC)) = AH.
15
A
B
C
A’
B’
N
M
C’
A’
B’
C’
D’
B
A
D

C
M
N
H
Tính AH. Xét tam giác BAA’ đồng dạng với tam giác BHM,
ta có
2 2
.AA' . 2
AA' ' ' 4
2
MH BM MB a a a
MH
BA BA
a a
= ⇒ = = =
+
Vậy d(MN, A’C) =
2
4
a
Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D theo a.
Phân tích.
Công việc dựng được đường vuông góc chung của A’B và B’D sẽ gặp rất nhiều
khó khăn. Từ đó hướng dẫn cho học sinh cách dựng hai mặt phẳng chứa A’B và
B’D, từ đó khoảng cách cần tính sẽ dựa vào những khoảng cách dễ tính hơn. Cụ
thể trong bài tập này, cần dựng mp(A’BP) và mp(B’NDM), trong đó M, N, P lần
lượt là trung điểm của BC, A’D’, AD.
Khi đó d(A’B, B’D) = d((A’BP),(B’NDM)) = d(D,(A’BP) = d(A,(A’BP))
Và bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Lời giải
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của BC, A’D’, AD.
Ta có BP//MD nên BP //(B’NDM)
Và A’P//ND nên A’P // (B’NDM)
Vậy (A’BP) // (B’NDM)
Mặt khác AD cắt (A’BP) tại trung điểm P
nên ta có d(A’B, B’D) = d((A’BP),(B’NDM)) = d(D,(A’BP) = d(A,(A’BP))
Tính d(A,(A’BP))
Xét tứ diện AA’BP có AA’, AB, AP đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu
của A lên mp(A’BP) thì ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4 6
AA 'AH AB AP a a a a
= + + = + + =
⇒AH =
6
6
a
Vậy d(A’B, B’D) =
6
6
a
16
M
M
N
D
C
B

A
C’
D’
A’
B’
P
Nhận xét. Rõ ràng việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thông
qua khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc giữa hai mặt
phẳng song song sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh
cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; tù điểm đến mặt phẳng; khoảng
cách giữa đường thẳng và mặt phẳng; giữa hai mặt phẳng thật tốt ở những phần
trước.
17
3. HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN
Nội dung của sáng kiến được tôi sử dụng giảng dạy (trong 5 tiết tự chọn)
lần đầu cho 2 đối tượng học sinh, gồm 20hs của tổ 1 và tổ 2 lớp 11A1; 18 học
sinh của tổ 1 và tổ 2 lớp 11A3. Sau đó cho kiểm tra đánh giá trên 78 học sinh
của hai lớp. Giảng dạy lần 2 cho 21 học sinh của tổ 3 và tổ 4 lớp 11A1; 19 học
sinh tổ 3 và tổ 4 lớp 11A3. Sau đó kiểm tra đánh giá lại 40 học sinh của hai lớp
trên. Kết quả thu được như sau:
Lần 1.
KQ
Lớp 11A1
Yếu TB Khá Giỏi
20hs được HD 2 10 6 2
21 hs không được HD 8 10 2 0
KQ
Lớp 11A3
Kém Yếu TB Khá Giỏi
18hs được HD 3 4 10 1 0

19 hs không được HD 8 5 6 0 0
Lần 2.
KQ
Lớp
Kém Yếu TB Khá Giỏi
21hs được HD (11A1) 0 3 10 6 2
19 hs được HD (11A3) 3 2 13 1 0
Qua thực nghiệm, bước đầu cá nhân tôi khẳng định rằng nội dung của bản sáng
kiến đã giúp học sinh học tốt hơn, biết cách phân tích để dựng đường vuông góc
chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
18
PHẦN THỨ BA : KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ XUẤT.
- Bản thân tôi cũng đã cố gắng để thể hiện đầy đủ nhất các dạng bài tập có
liên quan đến các phương pháp để xác định đường vuông góc chung và tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và sắp xếp ví dụ sao cho học sinh
dễ tiếp cận nhất. Nhưng do các nguyên nhân chủ quan và khách quan nên bản
sáng kiến có thể còn những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các
đồng nghiệp và các em học sinh.
- Bản sáng kiến mới chỉ được giảng dạy tại lớp 11A1 và 11A3 của
Trường THPT Yên Thủy C nên đối tượng học sinh chưa nhiều, chưa phong phú.
Kết quả sẽ tốt hơn khi giáo viên lựa chọn những ví dụ phù hợp cho những đối
tượng học sinh giảng dạy sau này.
- Tôi mong rằng bản sáng kiến có thể làm tài liệu cho học sinh học tập, và
là tài liệu cho chính chúng tôi trong quá trình giảng dạy.
19
3. Tài liệu tham khảo
1. SGK Hình học 11, Trần Văn Hạo chủ biên, NXB GD năm 2010.
2. Giải toán hình học 11, Trần Thành Minh, NXB GD 1997.
3. Chuyên đề luyện thi vào Đại học Hình học không gian, Trần Văn Hạo, NXB
GD 2001.

4. Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào CĐ, ĐH năm 2012
20