TÍNH XÁC SUẤT HỦY POSITRON ELECTRON TRONG TiO2 CÓ CẤU TRÚC RUTILE

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ NGỌC LAN
TÍNH XÁC SUẤT HỦY POSITRON- ELECTRON TRONG
TiO
2
CÓ CẤU TRÚC RUTILE
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Tp. Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CÁM ƠN
Sau một thời gian thực hiện nghiên cứu đề tài này, đến nay tôi đã thực hiện
xong. Trong quá trình thực hiện đề tài tôi đã gặp không ít vấn đề khó khăn. Nhưng
nhờ sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô, bạn bè nên tôi cũng đã khắc phục được. Tôi
xin có lời cám ơn chân thành đến những người đã hỗ trợ tôi thực hiện đề tài:
Xin cám ơn các thầy cô trong bộ môn Vật lý hạt nhân – Khoa vật lý – Trường
Đại học khoa học tự nhiên đã cung cấp cho em những kiến thức chuyên môn bổ ích
trong suốt thời gian học cao học.
Xin cám ơn đến PGS.TS Châu Văn Tạo, thầy là người định hướng tôi thực
hiện đề tài, thầy luôn luôn theo dõi quá trình thực hiện đề tài của tôi và có những ý
kiến hết sức bổ ích và rất kịp thời để tôi có thể thực hiện thành công đề tài.
1
Xin cám ơn đến TS. Trịnh Hoa Lăng, người hướng dẫn trực tiếp đề tài cho tôi,
người đã cung cấp cho tôi những tài liệu bổ ích liên quan đến đề tài, truyền đạt những kinh
nghiệm quý báu cho chúng tôi hoàn thành luận văn này và luôn luôn hỗ trợ tôi trong những
lúc đề tài gặp khó khăn nhất.
Xin cám ơn các thầy cô trong Bộ môn Vật lý Hạt nhân, trường Đại học Khoa học
Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổ ích cho
chúng tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.
Xin cám ơn toàn thể bạn bè cùng khóa đã gắn bó, giúp đỡ, động viên tôi
trong suốt quá trình làm luận văn, đặc biệt là bạn Thảo Ngân, Phạm Thị Mai.
Xin cám ơn đến các thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và có

những những ý kiến đóng góp bổ ích để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09, năm 2014
Nguyễn Thị Ngọc Lan
2
MỤC LỤC
Trang
3
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC ĐƠN VỊ
Các kí hiệu
Γ: tốc độ hủy electron – positron
τ: thời gian sống của positron
γ: hệ số tăng cường
g(0; n
–
, n
+
): hệ số tăng cường mật độ
electron tại vị trí electron và positron gặp
nhau
g(r
ep
): hàm tương quan cặp electron –
positron
n
–
: mật độ electron của hệ
r
s
: tham số mật độ electron
r

ep
: bán kính từ electron đến positron
∇
: toán tử Grad
∇
r
: toán tử Div
2
∇
: toán tử Laplacian
ˆ
H
: toán tử Hamiltonian
ˆ
T
: toán tử động năng
i
ˆ
T
: toán tử động năng của electron thứ i
p
ˆ
T
: toán tử động năng của positron
V: thế năng tổng của hệ
V
e
: thế năng của hệ electron
V
p

: thế năng của positron
V
ee
: thế tương tác electron – electron
V
Ne
: thế tương tác hạt nhân – electron
V
ep
: thế tương tác electron – positron
V
pN
: thế tương tác positron – hạt nhân
i
ext
V
: thế hạt nhân đối với electron thứ i
p
ext
V
:thế hạt nhân đối với positron
i
H
V
: thế Hartree của electron thứ i đối
với các hạt trong hệ
p
H
V
: thế Hartree của positron đối với

các hạt trong hệ
V
x
: thế trao đổi của các electron trong hệ
V
xc
: thế tương quan – trao đổi của các
electron trong hệ
p
ε
: là năng lượng của positron
i
ε
: là năng lượng của electron thứ i
Z
O
: điện tích hiệu dụng của hạt nhân
oxy đối với electron
Z
pO
: điện tích hiệu dụng của hạt nhân
oxi đối với positron
Z
Ti
: điện tích hiệu dụng của hạt nhân
titan đối với electron
Z
pTi
: điện tích hiệu dụng của hạt nhân
titan đối với positron

i
ψ
: hàm sóng của electron thứ i
p
ψ
: hàm sóng của positron
u(r): hàm Jastrow
J_ee
ψ
: hệ số Jastrow electron– electron
J_ep
ψ
: hệ số Jastrow electron– positron
4
Các đơn vị
Đại lượng Kí hiệu Trong hệ SI
Trong hệ nguyên
tử (eV)
Hằng số Plank
Điện tích nguyên tố
Khối lượng electron
Bán kính Bohr
Năng lượng Hartree

e
m
e
a
0
E

H
1,05457108×10
– 34
(Js)
1,60217653×10
– 19
(C)
9,1093826×10
– 31
(kg)
5,291772108×10
– 11
(m)
4,35974417×10
– 18
(J)
(27,2113845 (eV))
1
1
1
1
1
DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, CÁC ĐỒ THỊ
Trang
Các hình vẽ
LỜI MỞ ĐẦU
Ngày nay kỹ thuật positron được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực nhất là
trong nghiên cứu khuyết tật của vật liệu. Kỹ thuật hủy positron không những được áp dụng

để phát hiện khuyết tật hay sai hỏng trong vật liệu mà còn ứng dụng trong công
nghệ máy PET (Positron Emission Tomography) dùng cắt lớp và tái tạo hình ảnh…
Các phương pháp thực nghiệm hủy positron phổ biến hiện nay là phương pháp đo
thời gian sống của positron, phương pháp đo hiệu ứng giãn nở Dopper và phương
pháp đo tương quan góc của các bức xạ hủy. Trong đó, phương pháp đo thời gian
sống của positron là phương pháp phổ biến. Kết quả của phương pháp thực nghiệm
sẽ được giải thích chính xác hơn khi xét đến sự tương quan của electron – positron.
Luận văn xây dựng mô hình tổng quát của hệ positron – electron trong vật liệu chứa
thế tương tác hút giữa positron – electron. Sự tương tác hút giữa positron và
electron dẫn đến hệ số tăng cường trong quá trình hủy sẽ được xác định thông qua
hàm tương quan cặp. Từ hệ số tăng cường ta sẽ thu được thời gian sống của
positron trong vật liệu. Từ thời gian sống tính toán được có thể so sánh với các kết
quả thực nghiệm để có thể xây dựng mô hình nghiên cứu tính chất cấu trúc của vật
liệu ở cấp độ cao hơn.
Titan dioxit (TiO
2
) là hợp chất ứng dụng rất rộng rãi như: làm thuốc nhuộm trắng
trong sơn, giấy, kem đánh răng, nhựa; trong xi măng đá quý hay chất quang xúc tác được
sử dụng trong các lò phản ứng hạt nhân. Trong tự nhiên TiO
2
có ba cấu trúc mạng tinh thể
trong đó cấu trúc mạng tinh thể TiO
2
rutile là trạng thái đơn tinh thể bền phổ biến nhất của
TiO
2
. Vì thế, việc tìm hiểu các đặc tính cấu trúc mạng tinh thể của TiO
2
ở trạng thái rutile
là rất quan trọng. Từ những lý do trên tôi thực hiện luận văn này. Nội dung luận văn gồm 3

chương:
- Chương 1: Lý thuyết tổng quan
- Chương 2: Hàm sóng và mô hình tính toán Monte Carlo cho TiO
2
có cấu trúc
rutile
- Chương 3: Kết quả tính toán
CHƯƠNG 1.
LÝ THUYẾTTỔNG QUAN
1.1. Tổng quan nghiên cứu hủy positron
Các lý thuyết về hủy positron được xây dựng và phát triển từ những năm 1950 tiêu
biểu như Richard A.Ferrell [33] sử dụng cơ học lượng tử tính tốc độ hủy positron trong
chất rắn với giả thiết các electron trong chất rắn được xem như khí electron đồng nhất. Sau
đó S. Kahana [35] và J. P. Carbotte và A. Salvadori [25] cũng áp dụng lý thuyết này để xây
dựng công thức tính tốc độ hủy positron trong kim loại. Nhìn chung các lý thuyết này đều
phức tạp và do không xét đến ảnh hưởng tương quan của electron lên mật độ electron nên
kết quả tốc độ hủy positron không chính xác so với thực nghiệm.
Khi lý thuyết hàm mật độ được phát triển và ứng dụng trong các tính toán cho các
hệ chất rắn thì nó đã được dùng để tính toán các đặc trưng hủy positron trong cấu trúc vật
chất và trong các sai hỏng điểm như các công trình của M. Manninen, R. Nieminen, P.
Hautojavi [30]; B. Barbiellini [9]; E. Boronski và R. M. Nieminen [13]; J. Mitroy và M. W.
J. Bromley [24], …
Trong lý thuyết hàm mật độ thì ảnh hưởng tương quan giữa electron – positron
được xác định qua hệ số tăng cường hủy positron. Sự tăng cường này thể hiện cho ảnh
hưởng của positron lên mật độ electron của vật chất ngay tại vị trí xảy ra sự hủy positron.
Lý thuyết hàm mật độ hai thành phần được thiết lập dựa trên các phương pháp xấp xỉ như
phương pháp xấp xỉ mật độ cục bộ LDA, phương pháp GGA với giả thiết sự hủy positron
xảy ra trong khí electron đồng chất (mô hình Jellium [18]). Đã có một số công trình tính
toán hệ số tăng cường hủy positron trong mẫu khí electron đồng nhất như Arponen và
Pajanne [22], Brandt – Reinhermer [37], Bronnski và Niemien [13]. Các hàm xấp xỉ của hệ

số tăng cường này gần đúng cho trường hợp môi trường chất rắn nhưng lại không chính
xác cho trường hợp nguyên tử. Vì thế mô hình mật độ cục bộ địa phương SLDA được đưa
ra cho trường hợp nguyên tử [8]. Các kết quả đạt được từ mô hình xấp xỉ của lý thuyết hàm
mật độ tốt hơn so với lý thuyết lượng tử cổ điển nhưng vẫn chưa giải quyết được triệt để sự
tăng cường hủy positron do sự ảnh hưởng của tương tác tĩnh điện của positron lên phân bố
electron của vật chất.
Ngày nay các khuynh hướng phát triển chính là các nghiên cứu thực nghiệm ứng
dụng hủy positron để khảo sát các đặc trưng của cấu trúc vật liệu dựa vào thời gian sống
của positron trong vật liệu. Trong những năm gần đây, trên thế giới đã có một số công trình
nghiên cứu thực nghiệm hủy positron như: nghiên cứu tính chất các vật liệu bán dẫn như Si
[16], các vật liệu sinh học [20]; nghiên cứu các đặc trưng plasma của hiđro trong cấu trúc
tinh thể ZnO và các nghiên cứu về cấu trúc ZnO [6], … Ưu điểm của phương pháp hủy
positron trong nghiên cứu vật liệu là có thể thực hiện các mô hình nghiên cứu lý thuyết ở
cấp độ nguyên tử, phân tử hay cấu trúc nano và kết quả của các mô hình này có thể được
dùng để giải thích các kết quả thực nghiệm hủy positron.
Trong hầu hết các kết quả nghiên cứu lý thuyết tốc độ hủy positron trong vật chất,
các hệ số tăng cường đều được tính dựa trên các công thức giải tích được xây dựng dựa
vào mô hình hủy positron trong khí electron đồng nhất. Do đó khi xét positron hủy trong
cấu trúc vật chất bất kì thì việc sử dụng các hàm tăng cường hủy positron không còn chính
xác nữa. Nên vấn đề đặt ra của luận văn là xác định sự tăng cường hủy positron mà không
phải sử dụng các dạng hàm xấp xỉ tăng cường hủy positron này. Trong luận văn tác giả đã
xây dựng mô hình tính toán dựa trên lý thuyết hàm mật độ để tìm sự tăng cường mật độ
electron quanh positron khi positron đi vào môi trường vật chất. Từ các phân bố tăng
cường mật độ electron này thì hệ số tăng cường hủy sẽ được xác định và tốc độ hủy
positron trong cấu trúc vật chất cũng được xác định.
1.2. Tổng quan về sự hủy positron trong vật liệu rắn
1.2.1. Positron trong vật liệu rắn
Khi positron có năng lượng khoảng vài eV đến KeV đi vào trong chất rắn, năng
lượng của nó mất đi một cách nhanh chóng do các quá trình tương tác khác nhau [4].
Đầu tiên, quá trình ion hóa chiếm ưu thế, trong quá trình này năng lượng positron

bị giảm xuống, đồng thời các cặp electron và lỗ trống được tạo ra. Khi năng lượng của
positron còn lại thấp thì tương tác positron và phonon trở nên quan trọng nhất. Sau đó,
positron đạt trạng thái cân bằng nhiệt với môi trường. Ở trạng thái cân bằng nhiệt, quá
trình khuếch tán của positron xảy ra, độ dài khuếch tán trung bình ở nhiệt độ phòng của
positron là khoảng 1000 A
0
. Trong quá trình này, nếu vật chất có khuyết tật thì positron có
thể tương tác với chúng, khi đó những khuyết tật này trở thành các bẫy. Cũng trong quá
trình khuếch tán, với một xác suất nào đó thì positron kết cặp với electron tạo ra
positronium (Ps) có năng lượng liên kết vào khoảng 6,8 (eV). Cuối cùng positron hủy với
electron, kết quả của sự hủy này tạo ra các gamma, có thể có một, hai, hoặc ba gamma.
Positronium là trạng thái giả bền trung hòa của electron– positron, năng lượng liên
kết của positronium ở trạng thái cơ bản xấp xỉ 6,8 eV.
Positronium có thể tồn tại hai trạng thái spin, S = 0 hoặc S = 1. Trạng thái singlet
(S=0), electron và positron có spin phản song và được gọi là para – positronium (para –
Ps). Trạng thái triplet (S=1), electron và positron có spin song song và được gọi là ortho –
positronium (ortho – Ps). Trạng thái spin ảnh hưởng quan trọng đến cấu trúc mức năng
lượng của positronium.
1.2.2. Sự hủy positron
Sự hủy positron [29] xảy ra khi positron và electron gặp nhau, chúng hủy lẫn nhau
và tạo ra các gamma. Tùy trường hợp mà số lượng bức xạ gamma phát ra từ quá trình hủy
là khác nhau:
● Nếu trong quá trình hủy có sự ảnh hưởng của electron hoặc positron khác thì một
gamma được tạo ra.
● Nếu positron và electron có spin đối song thì hai gamma có năng lượng cỡ 511
(KeV) được tạo ra.
● Nếu positron và electron có spin song song thì ba gamma có năng lượng liên tục
nằm trong khoảng từ 0 (KeV) đến 511 (KeV) được tạo ra.
Xác suất xảy ra từng trường hợp trên là phụ thuộc trực tiếp vào tỉ số giữa tiết diện
hủy của chúng. Nếu gọi

γ
σ
1
,
γ
σ
2
,
γ
σ
3
lần lượt là các tiết diện hủy của từng trường hợp
phát một, hai và ba gamma thì ta có các tỉ số như sau:
 Tỉ số tiết diện hủy của trường hợp phát ba gamma so với trường hợp phát hai
gamma là
3γ
2γ
σ
= α
σ
(1.1)
 Tỉ số tiết diện hủy của trường hợp phát một gamma so với trường hợp phát
hai gamma là
1γ
3
2γ
σ
= α
σ
(1.2)

Trong đó
1
α =
137
là hằng số cấu trúc tinh tế (fine structure constant).
Từ (1.1) và (1.2) ta thấy quá trình hủy tạo ra hai gamma là chiếm ưu thế nhất,
kế đến là phát ba gamma và cuối cùng là phát một gamma. Vì vậy ta thường quan
tâm đến trường hợp phát hai gamma.
(a)
(b)
(c)
e
+
e
-
γ
e
+
e
-
γ
γ
e
+
e
-
γ
γ
γ
Hình 1 Các trường hợp phát gamma trong quá trình hủy positron, a) trường hợp

phát 1 gamma, b) trường hợp phát 2 gamma, c) trường hợp phát 3 gamma
1.3. Lý thuyết hàm mật độhai thành phần
Lý thuyết hàm mật độ (Density Functional Theory – DFT) đã sử dụng công cụ toán
học của cơ học lượng tử để xây dựng mô hình các electron như một đám mây liên kết,
người ta gọi đó là khí electron. Lý thuyết này tập trung vào mật độ của electron hơn là từng
electron riêng biệt. Dựa vào ý tưởng đó người ta có thể mô tả và xác định các đặc trưng
của hệ thông qua mật độ các electron [23], [26].
Để tính đến những tác động trong trao đổi và tương quan, phương pháp xấp
xỉ mật độ địa phương (Local Density Approximation- LDA) đối với hàm tương
quan và trao đổi đã được đưa ra. Nguyên lý của sự xấp xỉ này là tính toán năng
lượng tương quan trao đổi trên từng hạt của khí electron đồng nhất như một hàm
của mật độ, trong đó tính chất của hệ các hạt tương tác ở trạng thái cơ bản có thể đạt
được bằng cách cực tiểu hóa hàm năng lượng E[n(r)] theo mật độ hạt ở trạng thái cơ
bản n
0
(r).
Năng lượng tổng cộng của hệ
[ ] [ ] [ ]
( ) ( )
int ext
E n T n E n V r n r dr
= + +
∫
r r r
(1.3)
Trong đó
T[n] là động năng của hệ không tương tác.
E
int
[n] năng lượng thể hiện tương tác giữa các hạt trong hệ.

( )
ext
V r
r
là thế của hạt nhân.
Lý thuyết hàm mật độ có thể được khái quát hóa một cách đơn giản khi hệ có thêm
positron, được gọi là lý thuyết hàm mật độ hai thành phần (Two – Component Density
Functional theory). Lý thuyết hàm mật độ hai thành phần được dùng trong những tính toán
tốc độ hủy positron trong vật rắn.
Để khảo sát sự tương tác của hệ positron – electron trong chất rắn, chúng ta có thể
xem hệ thống gồm một positron bị bẫy và các electron xung quanh như là một hệ được tạo
ra bởi hai chất lỏng không đồng đều xuyên vào nhau, được đặc trưng bởi các phân bố mật
độ của chúng
( )
n r
+
r
và
n (r)
−
r
.
Khi positron khi đi vào môi trường vật chất sẽ bị nhiệt hóa và hủy với electron của
môi trường. Giả thiết positron liên kết với electron của nguyên tử môi trường tạo thành
trạng thái giả bền trước khi hủy. Khi đó theo Boronski và Nieminen [13], năng lượng toàn
phần của hệ gồm các electron và positron trong thế tương tác ngoài V
ext
có thể được tính
theo lý thuyết hàm mật độ hai thành phần như sau
[ ] [ ] [ ]

+ + ext +
e-p
+
c +
,
,
E n (r), n (r) =F n (r) +F n (r) + dr V [n (r) n (r)]
n (r)n (r)
dr dr +E [n (r), n (r)]
r r
− − −
−
−
−
−
−
∫
∫ ∫
r r r r r r r
r r
r r r r
r r
(1.4)
Trong đó F[n] là hàm mật độ một thành phần cho electron hoặc positron
[ ] [ ]
( ) ( )
[ ]
xc
n r n r'
1

F n =T n + dr dr' +E n
2 r r'
−
∫ ∫
r r
r r
r r
(1.5)
Với
T[n] là động năng của hệ electron hoặc positron tự do.
E
xc
[n] là năng lượng tương quan – trao đổi của electron – electron, positron –
positron hoặc electron – positron.
V
ext
là thế do những hạt nhân nguyên tử và những đám mây điện tích electron
gây ra.
e-p
c +
E [n (r), n (r)]
−
r r
là hàm năng lượng tương quan electron – positron.
Mật độ electron và positron ở trạng thái cơ bản của hệ ứng với năng lượng
cực tiểu
+
E[n , n ]
−
có thể được tính bằng cách sử dụng phương pháp Kohn – Sham

[27], trong đó ta phải giải phương trình Schrödinger một hạt cho electron và
positron.
e-p
2 i i
c
i ext H xc i i i
δE [n , n ]
1
ψ (r) + V (r)+V (r)+V (r)+ ψ (r)=ε ψ (r)
2δn (r)
− +
−
 
− ∇
 
 
r r r r r r
r
(1.6)
e-p
2 p p
c
p ext H p p p
δE [n , n ]
1
ψ (r) + V (r)+V (r)+ ψ (r)=ε ψ (r)
2δn (r)
− +
+
 

− ∇
 
 
r r r r r
r
(1.7)
i i p p
ext H ext H
V ,V ,V ,V
là thế hạt nhân và thế Hartree của electron thứ i và positron.
Hàm năng lượng tương quan của electron – positron
e-p
c
E [n , n ]
− +
được thể
hiện qua hệ số Jastrow của hàm sóng đơn hạt trong mô hình hệ nhiều hạt.
xc
V (r)
r
là thế tương quan – trao đổi của các electron trong hệ, có dạng
xc
xc x c
δE [n (r)]
V (r)= =V (r)+V (r)
δn (r)
−
−
r
r r r

r
(1.8)
x
V (r)
r
thể hiện phần trao đổi,
c
V (r)
r
thể hiện phần tương quan của các electron
trong hệ.
Phương pháp trên sẽ giải một cách chính xác nếu hàm năng lượng tương
quan – trao đổi
xc
E [n (r)]
−
r
được biết một cách chính xác, nhưng điều này rất khó.
Trong tính toán cấu trúc electron, phương pháp phổ biến nhất là sử dụng mô hình
xấp xỉ mật độ cục bộ đối với hiệu ứng tương quan – trao đổi. Dạng xấp xỉ này dựa
trên kết quả tính toán trong mô hình khối khí electron đồng nhất (mẫu Jellium).
Trong mô hình này, hàm năng lượng tương quan trao đổi được xấp xỉ dạng [25]
xc xc
E [n ]= n (r)ε (n (r))dr
− − −
∫
r r r
(1.9)
ε
xc

là năng lượng tương quan trao đổi trên một electron trong khối khí
electron đồng nhất mật độ
n (r)
−
r
.
Nếu ta sử dụng hàm sóng đơn hạt trong hệ nhiều hạt, phần tương quan của
thế tương quan – trao đổi được thể hiện qua hệ số Jastrow của hàm sóng. Từ mô
hình xấp xỉ mật độ cục bộ, phần cục bộ của thế trao đổi được xác định
( )
1/3 2/3
x
s
3 3 3 3 1
ε n n
4π 4 2π r
− −
↑ ↓
   
= − + = −
 ÷  ÷
   
(1.10)
2/3
x x
s
4 3 1
Vε
3 2π r
 

= = −
 ÷
 
(1.11)
Với r
s
là tham số mật độ electron. r
s
biểu diễn mật độ electron hoặc, đóng vai trò
quan trọng trong việc tính toán thời gian sống cũng như năng lượng tương quan electron–
positron. Tham số mật độ r
s
được tính như sau
1
3
s
3
r =
4πn
−
 
 ÷
 
(1.12)
Trong đó
N
2
i
i 1
nψ (R)

=
−
=
∑
(1.13)
Trong lý thuyết hàm mật độ thì mật độ electron đóng vai trò như là một chìa khóa
quan trọng trong việc mô tả các kết quả của hệ nhiều hạt một cách đơn giản.
1.4. Phép gần đúng Born – Oppenheimer cho electron trong vật chất
Để đạt mục đích nghiên cứu, hầu hết cách tiếp cận trong vật lý chất rắn và hóa
lượng tử là giải phương trình Schrödinger độc lập thời gian, phi tương đối tính [36]:
( ) ( )
i 1 2 N 1 2 M i i 1 2 N 1 2 M
ˆ
HΨ x ,x , ,x ,R ,R , ,R =E Ψ x ,x , , x ,R ,R , ,R
r r r r r r
r r r r r r
(1.14)
Trong đó
ˆ
H
là Hamiltonian của hệ bao gồm M hạt nhân và N electron
N M N M N N M M
2 2
A A B
i A
i=1 A=1 i=1 A=1 i=1 j>i A=1 B>A
A iA ij AB
1 1 1 1
ˆ
H

2 2 M r r R
Z Z Z
= − ∇ − ∇ − + +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑
(1.15)
Với các đại lượng được viết theo đơn vị nguyên tử tức là
e m 1
= = =
h
.
Trong đó
2
i
∇
là toán tử động năng của electron thứ i.
2
A
∇
là toán tử động năng của hạt nhân A.
r
ij
là khoảng cách giữa electron thứ i và electron thứ j.
r
iA
là khoảng cách giữa electron thứ i và hạt nhân A.
R
AB
là khoảng cách giữa hai hạt nhân thứ A và B.
A B
,Z Z

là điện tích hiệu dụng của hạt nhân nguyên tử A và B.
Trong vế phải của (1.15), hai số hạng đầu tiên mô tả động năng của electron và hạt
nhân, ba số hạng còn lại biểu diễn tương tác điện từ hút giữa hạt nhân và electron và thế
đẩy giữa electron – electron và hạt nhân – hạt nhân.
Tuy nhiên việc giải phương trình Schrödinger đối với hệ nhiều hạt vô cùng phức
tạp. Do đó các nhà vật lý đã đưa ra nhiều mô hình xấp xỉ Hamiltoniannhằm tìm lời giải
gần đúng tương đối chính xác.
Để đơn giản hóa lời giải cho phương trình Schrödinger, người ta dựa trên
một thực tế là: do khối lượng hạt nhân lớn hơn rất nhiều so với khối lượng của các
electron nên các hạt nhân chuyển động chậm hơn rất nhiều so với electron (điều này
càng chính xác với các chất rắn, khi mà các ion dương chủ yếu định xứ ở các nút
mạng cố định, hoặc di chuyển nhưng rất ít). Như vậy, chúng ta có thể xem như
electron được di chuyển trong một trường được tạo từ hạt nhân cố định. Phương
pháp xấp xỉ như vậy được gọi là phương pháp gần đúng Born – Oppenheimer [38].
Trong phương pháp gần đúng Born – Oppenheimer, khi hạt nhân được giữ
cố định thì động năng của các hạt bằng không và thế năng của chúng đơn thuần chỉ
là hằng số. Như vậy (1.15) có thể được viết lại:
Đối với electron
N N M N N
2
A
i i Ne ee
i=1 i=1 A=1 i=1 j>i
iA ij
1 Z 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
H T V V
2 r r
= − ∇ − + = + +
∑ ∑ ∑ ∑∑

(1.16)
Với
Ne
V
là thế năng tương tác hạt nhân – electron.
ee
V
là thế năng tương tác electron – electron.
Nghiệm của phương trình Schrödinger với toán tử
i
ˆ
H
là hàm sóng
i
Ψ
và năng
lượng
i
ε
. Năng lượng tổng
T
E
là tổng của
i
ε
và năng lượng đẩy hạt nhân – hạt nhân
NN
ε
.
i i i i

ˆ
Hψ = ψ
ε
(1.17)
T i NN
E = +
ε ε
(1.18)
Trong đó
M M
A B
NN
A=1 B>A
AB
Z Z
=
R
ε
∑ ∑
(1.19)
1.5. Hàm sóng trong mạng tinh thể hai chiều
1.5.1. Hàm sóng đơn hạt trong nguyên tử
Để tìm dạng hàm sóng mô tả trạng thái của electron trong nguyên tử, ta khảo
sát phương trình Schrödinger của hạt trong trường xuyên tâm với giả thiết không
xét spin của hạt [1]
ˆ
Hψ(r,θ,φ) Eψ(r,θ,φ)
=
(1.20)
Trong đó

2
1 Z
ˆ
H
2 r
= − ∇ −
(1.21)
2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
r sinθ
r r r r sinθ θ θ sin θ φ
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
∇ = + +
 ÷  ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
 
(1.22)
Nghiệm của phương trình khi giải bằng phương pháp phân ly biến số có dạng:
( ) ( )
n, ,m n, ,m
ψ r,θ,φ R r Y (θ,φ)
l l l
=
(1.23)

Thay (1.23) vào (1.20) ta thu được hai phương trình sau
( ) ( ) ( )
2
,m ,m
ˆ
L Yθ,φ = +1 Y θ,φ
l l
l l
(1.24)
2
n, n,
n n,
2 2
d R dR
2 Z ( +1)
+ + 2 E + R =0
dr r dr r r
l l
l l
l l
 
 
−
 ÷
 
 
 
(1.25)
Vì hàm cầu là hàm riêng của toán tử bình phương momen động lượng
µ

2
L
,
không phụ thuộc vào thế năng của từng bài toán nên dạng của hàm cầu hoàn toàn
giống nhau trong mọi bài toán về trường xuyên tâm.
Ngược lại, phương trình (1.25) có chứa biểu thức thế và dạng của thế phụ
thuộc vào từng bài toán cụ thể. Vì vậy, nghiệm của phương trình (1.25) sẽ có dạng
khác nhau trong các bài toán có thế khác nhau. Khi giải phương trình (1.25) sẽ thu
được các giá trị năng lượng E
nl
của hạt và các hàm bán kính. Chính vì thế, đối với
mọi bài toán về trường xuyên tâm chỉ cần giải phương trình (1.25), từ đó nhân với
hàm cầu sẽ thu được hàm sóng mô tả trạng thái của hệ. Hàm sóng xuyên tâm R
n,l
(r)
được xấp xỉ theo dạng Slater, Laguerre hoặc dạng Gauss. Trong đó hàm sóng đơn hạt
theo xấp xỉ Slater là hàm sóng mô tả tốt nhất các trạng thái electron trong nguyên tử.
Hàm sóng kiểu Slater
Hàm sóng Slater được Slater và Zener (1930) xây dựng cho hệ nhiều electron
có tính đến sự che chắn hạt nhân, thường dùng tính toán cấu trúc electron trong
nguyên tử. Dạng của hàm sóng [24]:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n-1 Z,s Z,s
n, ,m r m n m
χ r,θ,φ =N exp -Zr r Y θ,φ =R r Y θ,φ
l l l
(1.26)
Trong đó
Z là điện tích hiệu dụng của hạt nhân
N

r
là hệ số chuẩn hóa được xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm bán kính
2 2
0
R r dr=1
∞
∫
(1.27)
Tuy nhiên hàm sóng Slater không trực giao nên ta sử dụng phương pháp Gram
– Schmidt tạo hàm sóng trực giao
n, ,m
χ (r,θ,φ)
l
[26]. Dạng đại số của hàm sóng Slater
( )
( )
( )
1
2n 1
2
n 1 r
n, ,m ,m
2
r,θ,φ r e Y (θ,φ)
2 !
χ
n
Z
l l
Z

+
− −
 
=
 ÷
 ÷
 
(1.28)
Theo đó, quá trình trực giao Gram – Schmidt
1 1
1 2
2 2 1
1 1
2 3 1 3
3 3 2 1
2 2 1 1
n 1 n 1 n
n n n 1 1
n 1 n 1 1 1

−
−
− −
ψ = χ
ψ χ
ψ = χ − χ
ψ ψ
ψ χ ψ χ
ψ = χ − χ − χ
ψ ψ ψ ψ

ψ χ ψ χ
ψ = χ − χ − − χ
ψ ψ ψ ψ
L
(1.29)
Hàm sóng Slater trực giao chuẩn hóa có dạng
( )
n
n
1/2
n n
χ
ψ
χ |χ
=
(1.30)
Bảng 1.1. Hàm sóng Slater trực giao chuẩn hóa ψ
n
của electron trong mỗi phân lớp
Phân lớp electron
Hàm sóng Slater trực giao chuẩn hóa ψ
n
trong hệ tọa độ Descartes
1s
3
Zr
Z
e
π
−

2s
( )
3
Zr
Z
2Zr –1 e
7π
−
z
2p
5
Zr
Z
e z
π
−
x
2p
5
Zr
Z
e x
π
−
y
2p
5
Zr
Z
e y

π
−
3s
3
2 2 Zr
Z
(2Z r – 4Zr 1)e
19π
−
+
3p
5
Zr
Z
(2Zr – 3)e z
9π
−
x
3p
5
Zr
Z
(2Zr – 3)e x
9π
−
y
3p
5
Zr
Z

(2Zr – 3)e y
9π
−
2
z
3d
7
Zr 2 2
2
4Z
e (2zπr )
8π 8
45π 2π
3 5
−
−
 
− +
 ÷
 
xz
3d
7
Zr
2Z
e xz
3π
−
yz
3d

7
Zr
2Z
e yz
3π
−
2 2
x y
3d
−
7
Zr 2 2
Z
e (x y )
6π
−
−
xy
3d
7
Zr
2Z
e xy
3π
−
4s
( )
3
3 3 2 2 Zr
Z

4Z r –18Z r 18Zr – 3 e
333π
−
+
1.5.2. Hàm sóng đơn hạt trong mạng tinh thể hai chiều
Mỗi electron chuyển động độc lập với các electron khác. Điều này cho phép ta
nói đến trạng thái riêng của từng electron hay còn gọi là các AO (Atomic Orbital).
Nhưng thật ra trong phân tử, tính cá thể (độc lập) của các nguyên tử không còn tồn
tại. Phân tử được cấu tạo gồm các hạt nhân nguyên tử và các electron. Các electron mà chủ
yếu là các electron hóa trị phân bố trên các orbital chung của các phân tử gọi là các MO
(Molecular Orbital)[32], [34].
Đối với phân tử, theo nguyên lý chồng chất hàm sóng, các MO là tổ hợp tuyến tính
các hàm sóng nguyên tử AO và đây gọi phương pháp LCAO (Linear Combianation of
Atomic Orbitals). Như vậy hàm sóng của đơn electron trong một nguyên tử trong mạng
tinh thể sẽ có dạng xấp xỉ LCAO.
1.5.3. Hàm sóng của đơn electron và positron
1.5.3.1. Hàm sóng LCAO của electron
Theo nguyên lý chồng chất sóng thì hàm sóng của electron trong tinh thể có thể
biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng nguyên tử.
Hàm sóng của đơn electron trong một nguyên tử trong mạng tinh thể hay còn gọi là
hàm sóng LCAO của đơn electron có dạng [11], [31]:
N
i iA
i A i
A 1
(r ) C (r )
=
ϕ = ϕ
∑
r r

(1.31)
Trong đó
N là số nguyên tử có trong mạng tinh thể.
i
r
r
là vectơ vị trí của electron thứ i.
A
R
ur
là vectơ vị trí của nguyên tử nằm ở nút mạng thứ A trong mạng tinh thể.
iA i A
r r R
= −
r r ur
là vectơ vị trí giữa electron thứ i và nguyên tử thứ A.
iA
i
(r )
ϕ
r
là hàm sóng đơn electron thứ i và tổng được lấy trên tất cả các
nguyên tử trong mạng tinh thể. Nhưng theo mô hình xấp xỉ bậc một thì ta chỉ xét
các nguyên tử lân cận gần nhất. Do vậy, tổng trong (1.31) được lấy trên tất cả các
nguyên tử lân cận và nguyên tử chứa electron.
Vì các electron hóa trị đóng góp phần căn bản vào sự hình thành liên kết nên
trong trường hợp chung người ta chỉ xét các electron hóa trị của các nguyên tử.
Muốn cho hàm sóng trên mô tả được trạng thái của electron trong tinh thể thì hệ số
C
A

trong
i
i
(r )
ϕ
r
có dạng
A
ikR
A
1
C e
N
=
rur
với
k
r
là vectơ sóng.
Xét trong lân cận electron đang xét thì
k
r
= 0 thì:
1 2 N
1
C C C
N
= = = =
(1.32)
Hàm sóng của đơn electron trong một nguyên tử của mạng tinh thể có dạng:

N
i iA
i i
A 1
1
(r ) (r )
N
=
ϕ = ϕ
∑
r r
(1.33)
1.5.3.2. Hàm sóng đơn hạt trong hệ nhiều hạt
Trong trường hợp hệ nhiều hạt, hàm sóng của hạt thứ i có dạng [12], [38]
( ) ( ) ( )
i i i iJ
R rψ φ ψ r
=
ur r r
(1.34)
Trong đó
{ }
1 2 n
R r ,r , ,r
=
ur r ur ur
là tập hợp tọa độ vị trí các hạt trong hệ.
( )
ii
φ r

r
là hàm sóng LCAO của hạt thứ i có được từ những mô hình xấp xỉ phụ
thuộc vào hệ đang xét.
( )
ii
φ r
r
được xác định bằng công thức (1.33).
( )
iJ
ψ r
r
là hệ số Jastrow thể hiện sự tương quan giữa hạt thứ i với các hạt còn lại
trong hệ, thường có dạng:
( )
n
i
ij
j
J
i
ψ exp u(r r )
≠
 
= −
 ÷
 
∑
r
(1.35)

r
ij
là khoảng cách giữa hạt thứ i và hạt thứ j.
u(r
ij
) là hàm Jastrow thể hiện tính chất tương quan giữa các hạt. Tùy theo mỗi
trường hợp mà u(r
ij
) sẽ có những dạng xấp xỉ khác nhau.Xấp xỉ đơn giản nhất của
hàm Jastrow được đưa ra bởi Pade [10], [38] thể hiện tương quan tầm xa và xấp xỉ
Yukawa [19] thể hiện cho các tương quan tầm gần của các hạt. Kết hợp các dạng
xấp xỉ tương quan của Pade và Yukawa, các hàm Jastrow của electron – electron,
positron – positron và của electron – positron có dạng như sau:
Hàm Jastrow cho electron – electron
e
F r
ee
e e
e
A
u (r) (1 e )
1 r r
−
β
= + −
+ α
(1.36)
Hàm Jastrow cho positron – positron
p
F r

p p
pp
p
A
u (r) (1 e )
1 r r
−
β
= + −
+ α
(1.37)
Hàm Jastrow cho electron – positron
ep
F r
ep ep
ep
ep
A
u (r) (1 e )
1 r r
−
β
= + −
+ α
(1.38)
Từ (1.34), hàm sóng đơn electron có dạng:
( )
i i J ei e i J ep i
R (r ) (r ) (r )ψ
− −

= ϕ ψ ψ
ur r r r
(1.39)
Đối với hàm sóng của positron thì có dạng tương tự hàm sóng electron trong
nguyên tử khi xét positron đi vào nguyên tử nhưng chỉ khác ởcác tham số trong hàm sóng.
i
p p
i p J pp p J pe p
(R) (r ) (r ) (r )
− −
ψ = ϕ ψ ψ
ur ur ur ur
(1.40)
Xét mạng tinh thể chỉ xét có một positron đi vào thì hàm sóng của đơn positron có
dạng:
i
p p
i p J pe p
(R) (r ) (r )
−
ψ = ϕ ψ
ur ur ur
(1.41)
Với
J ee
−
ψ
,
J pp
−

ψ
,
J ep
−
ψ
được xác định bằng các công thức (1.35), (1.36), (1.37),
(1.38):
e
n n
j 1 j 1
j i j i
F r
ee
e e
i
J ee ij ij
e ij
exp u (r ) exp
A
(r ) (1 e )
1 r r
r
= =
−
≠
−
≠
β
ψ =


+ −
+ α
  
 
 ÷  ÷
− = −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
 
 ÷  ÷
   
∑ ∑
(1.44)
p
p
ij
n n
r
pp p
p
j 1 j 1
F
p p
p
J pp i
j
j i
p
j i

j
i
A
(r ) (1 e )
1
exp u (r ) exp
rr
r
=
≠
−
=
≠
−
   
 
 ÷  ÷
− = −
β
ψ = + −
+
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
α
 
 ÷  ÷
   
∑ ∑
(1.45)

ipep
F
ep ep
ep
i
J ep
i 1 i 1
e
n n
r
p
ip
ip
exp u (r )
r
A
(r ) exp (1 e )
1 r
r
−
−
= =
 
β
 
 
− = −
 ÷
 ÷
 ÷

 

ψ = + −
 ÷
 ÷
+ α



∑ ∑
(1.46)
1.6. Tốc độ hủy positron và hệ số tăng cường hủy positron
1.6.1. Tốc độ hủy positron
Khi positron đi vào môi trường vật chất, do positron mang điện tích dương nên khi
xuất hiện trong vật chất sẽ làm thay đổi mật độ electron trong môi trường vật chất quanh
positron. Dưới tương tác tĩnh điện giữa positron và electron sẽ làm cho mật độ electron
xung quanh positron tăng lên, điều đó được thể hiện qua hệ số tăng cường hủy positron. Do
vậy theo lý thuyết hàm mật độ hai thành phần, đại lượng đặc trưng cho xác xuất hủy
positron trong một đơn vị thời gian được xác định bởi mật độ electron, positron và hệ số
tăng cường hủy hay hệ số tăng cường mật độ electron tại vị trí electron và positron trùng
nhau.
2
N
e
i
πr c
Γ= n (r)n (r)g(0; n , n )dr
− + − +
Ω
∑

∫
r r r
(1.47)
r
e
là bán kính electron
Ω
là thể tích tương tác của electron và positron
N là tổng số electron trong hệ
Trong luận văn hệ số tăng cường hủy positron
g(0; n , n )
− +
được tính toán dựa trên
các phân bố electron và positron trong từng trường hợp cụ thể bằng phương pháp Monte
Carlo lượng tử.
Đại lượng nghịch đảo của giá trị này có thứ nguyên thời gian chính là thời gian
sống của positron:
1
=
Γ
τ
(ns) (1.48)
Từ thời gian sống của positron người ta có thể nghiên cứu các đặc trưng của vật
chất.
1.6.2. Hệ số tăng cường hủy positron – Hàm tương quan cặp
Khi positron có điện tích dương đi vào môi trường vật chất nó sẽ tương tác tĩnh
điện với các electron trong môi trường vật chất và làm tăng cường mật độ electron quanh
positron. Do đó khi positron hủy với electron trong môi trường vật chất thì có sự tăng
cường hủy do sự tăng cường mật độ electron này.
Theo lý thuyết hàm mật độ hai thành phần, để xác định hệ số tăng cường ta phải

xác định hàm tương quan cặp hay còn gọi là hàm mật độ tương tác g(r; n
–
, n
+
) thể hiện
phân bố electron quanh positron. Trong tính toán Monte Carlo các giá trị của hàm tương
quan thể hiện mật độ electron ở các vị trí quanh positron được xác định từ các giá trị tích
lũy phân bố electron quanh positron trong suốt quá trình mô phỏng. Mô hình tính toán
được đưa ra trong quá trình thực hiện tính toán Monte Carlo là đi tính mật độ phân bố
electron ở trong một lớp thể tích hình cầu dr ở bán kính r quanh positron và đó chính là giá
trị hàm tương quan cặp ở vị trí r hay còn gọi là hàm tăng cường mật độ khi r=0.
Giá trị mật độ điện tích ở vị trí r quanh positron thường được tính theo giá trị trung
bình. Do vậy khoảng cách giữa positron và mỗi một electron được tính và được xét trong
suốt quá trình tính toán.
Sau khi tính toán ta sẽ có được giá trị mật độ electron theo r. Từ các giá trị mật độ
này, ta có thể dùng phương pháp làm khớp để xác định dạng hàm tương quan cặp theo
khoảng cách electron – positron. Từ đó ta có thể tính giá trị tăng cường electron tại vị trí
positron khi khoảng cách giữa electron – positron bằng không.
Mô hình tính toán các giá trị hàm tương quan cặp trong phụ lục A.
1.6.3. Làm khớp hàm tương quan cặp
Từ các giá trị của hàm tương quan cặp electron- positron theo r thì một dạng hàm
giải tích sẽ được đề nghị để làm khớp các giá trị này và sau đó sẽ ngoại suy ra giá trị của
hàm làm khớp này tại r = 0, giá trị này chính là hệ số tăng cường hủy positron. Để làm
khớp hàm tương quan cặp trước tiên ta phải xác định được một dạng hàm xấp xỉ giải tích
của hàm tăng cường g(r; n
-
, n
+
)
≡

g(r).
Hàm tương quan cặp g(r) được xấp xỉ như một sự tổ hợp tuyến tính các đa thức
Chebyshev T
i
(x) [29]
( )
N
i i
i=0
2r-L
g r = c T
L
 
 ÷
 
∑
(1.49)
Trong đó L là bán kính lớn nhất của các mặt cầu bao quanh positron được dùng để
tính toán tích lũy các phân bố electron trong quá trình tính toán Monte Carlo. N là số hệ số
khai triển đa thức Chebyshev để làm khớp hàm tương quan cặp. Các giá trị hệ số c
i
sẽ được
xác định bằng phương pháp bình phương tối thiểu. Sau khi xác định các hệ số c
i
thì hệ số
tăng cường hủy positron sẽ được ngoại suy tại giá trị r = 0. Từ hệ số tăng cường thì tốc độ
hủy sẽ được xác định theo công thức (1.47).
1.7. Phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử
Trong việc sử dụng phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử để tính năng
lượng của một hệ nhiều hạt ở trạng thái cơ bản, trước hết phải xây dựng hàm sóng

thử
( )
T
ψ R, α
ứng với một hệ tham số biến phân α nào đó (R = R(r
1
, r
2
,…, r
i
,…, r
n
)
là tập hợp tọa độ vị trí của các hạt trong hệ), sau đó tính năng lượng của mỗi mẫu
ngẫu nhiên cũng như tính năng lượng trung bình của các mẫu này (ứng với từng bộ
giá trị ngẫu nhiên của R ta có một mẫu ngẫu nhiên, mẫu này được chọn theo xác
suất
( )
2
T
ψ R, α
và năng lượng của nó thường được gọi là năng lượng cục bộ
( )
( )
T
L
T
Hψ R, α
E
ψ R, α

∧
=
). Cuối cùng, tìm giá trị năng lượng trung bình nhỏ nhất của hệ
theo sự biến phân của các tham số biến phân trong hàm sóng.
1.7.1. Nguyên lý biến phân
Xét giá trị năng lượng E của hệ nhiều hạt [20]
( ) ( )
( ) ( )
*
T T
*
T T
dRψ R H (R)ψ R
E =
dRψ R ψ R
∧
∫
∫
(1.50)
Trong đó
 R = R(r
1
, r
2
,…, r
n
) là tập hợp tọa độ vị trí của các hạt.

T
ψ (R)

là hàm sóng thử của hệ được xây dựng gần giống với hàm sóng thực.
Hàm sóng
T
ψ (R)
có thể được biểu diễn bởi tổ hợp tuyến tính của các hàm sóng
n
ψ (R)
.
( ) ( )
T n n
n
ψ R = C ψ R
∑
(1.51)
Trong đó C
n
là số bất kì, n là số trạng thái có thể có của hệ đang khảo sát.
Thay công thức (1.51) vào công thức (1.50) ta được
( ) ( ) ( )
( ) ( )
* *
n n m m
n m
* *
n n m m
n m
dR Cψ R H R C ψ R
E =
dR Cψ R C ψ R
∧

∑ ∑
∫
∑ ∑
∫
(1.52)
Vì tích phân trong công thức (1.52) lấy theo R và các tổng của C
n
, C
m
không
phụ thuộc vào biến R, nên ta có thể viết lại công thức này như sau
( ) ( )
( ) ( )
* *
n m n m
n m
* *
n m n m
n m
2
*
n m nm n n n
n m n
2
*
n m nm
n
n m
n
C C dRψ R H ψ R

E =
C C dRψ R ψ R
C Cδ E C E
= =
C Cδ
C
∧
∑∑
∫
∑∑
∫
∑∑ ∑
∑∑
∑
(1.53)
Do
n 0
E E
≥
với mọi giá trị của n nên