NGHIÊN CỨU TIẾT DIỆN TÁN XẠ COMPTON CỦA GAMMA LÊN MỘT SỐ LOẠI VẬT LIỆU

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THẢO NGÂN
NGHIÊN CỨU TIẾT DIỆN TÁN XẠ COMPTON CỦA
GAMMA LÊN MỘT SỐ LOẠI VẬT LIỆU
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Tp.HồChíMinh-2014
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THẢO NGÂN
NGHIÊN CỨU TIẾT DIỆN TÁN XẠ COMPTON CỦA
GAMMA LÊN MỘT SỐ LOẠI VẬT LIỆU
Chuyênngành: VẬT LÝ NGUYÊN TỬ HẠT NHÂN VÀ NĂNG LƯỢNG CAO
Mãsốchuyênngành: 60 44 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. CHÂU VĂN TẠO
Tp. HồChí Minh, năm 2014
2
LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình học tập cao học tại bộ môn Vật lý Hạt nhân, Khoa Vật lý,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh, tác giả đã nhận được rất sự
giúp đỡ nhiệt tình, những lời động viên và sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy
cô, bạn bè và gia đình.Với tình cảm chân thành, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc
đến:
 PGS.TS Châu Văn Tạo, người hướng dẫn khoa học, là người thầy đã tận tình
hướng dẫn, giảng dạy,động viên đóng góp nhiều ý kiến quý báuvà tạo nhiều
điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn này.
 TS. Trần Thiện Thanh – người thầy đầy nhiệt huyết đã truyền đạt rất nhiều
kiến thức, kinh nghiệm. Thầy đã đưa ra những lời khuyên, ý kiến có tính chất
định hướng và tận tình chỉ dẫn cho tác giả.

 Quý Thầy Cô trong hội đồng khoa học đã dành thời gian quý báu của mình
để đọc và cho ý kiến đánh giá giúp luận văn được hoàn thiện hơn.
 Quý Thầy Cô trong Bộ môn Vật lý Hạt nhân, Trường Đại học Khoa Học Tự
Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy trong hai năm qua. Các Thầy
Cô đã truyền đạt kiến thức và đáp ứng các điều kiện cơ sở vật chất, trang
thiết bị cần thiết để học viên hoàn thành các yêu cầu của khóa học.
 Bạn Nguyễn Thị Ngọc Lan, Phạm Thị Mai và học viên cùng lớp khóa K22
đã giúp đỡ, động viên và đồng hành cùng tác giả trong suốt thời gian học.
 Bạn Đoàn Kim Thanh và anh Lê Quang Vương đã nhiệt tình giúp đỡ để luận
văn được hoàn thiện hơn.
 Cha mẹ và các thành viên trong gia đình đã luôn ở bên con, thương yêu con
thầm lặng để con có thể hoàn thành luận văn này.
Tp. Hồ chí Minh, ngày 10 tháng 09 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thảo Ngân
3
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC BẢNG 4
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ 5
MỞ ĐẦU 6
4
DANH MỤC CÁC BẢNG
5
DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
6
MỞ ĐẦU
Trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật hiện nay, Vật lý Hạt nhân ngày càng có
một vị trí hết sức quan trọng vì Vật lý Hạt nhân có liên quan với nhiều ngành khoa
học khác như: sinh học, địa chất, hoá học, vật liệu…Lĩnh vực hạt nhân từng bước
khẳng định vai trò và vị trí của mình trong đời sống xã hội.Vật lý Hạt nhân được

ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực : công nghiệp, nông nghiệp, y học… nhằm
giúp ích cho đời sống con người.
Nghiên cứu về sự truyền gamma qua vật chất là một trong những ứng dụng
quan trọng của vật lý hạt nhân vào đời sống. Ba hình thức tương tác chủ yếu của
gamma lên vật chất là hiệu ứng quang điện ở mức năng lượng thấp, tán xạ Compton
ở mức năng lượng trung bình và hiệu ứng tạo cặp ở mức năng lượng cao.
Tán xạ Compton được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học kĩ thuật và
đời sống như kiểm tra khuyết tật và đo bề dày vật liệu; đo mật độ vật chất và nồng
độ dung dịch; xác định kích thước và mạng phân bố các cốt thép trong kết cấu bê
tông; tìm bom, mìn và vật nổ trong lòng đất; kiểm tra hành lý tại các cửa khẩuvà sân
bay; xác định các đặc trưng chủ yếu của các tầng địa chất trong giếng khoan như
cấu trúc của các tầng đất đá và xác định cấu trúc địa tầng. Trong y học, tán xạ
Compton cũng góp phần quan trọng trong việc điều trị ung thư, sản xuất các vật liệu
y tế.
Vì vậy, số liệu về sự tán xạ và hấp thụ của photon, cụ thể là tiết diện tán xạ
Compton, đang được yêu cầu ngày càng nhiều từ các ứng dụng thực tế. Số lượng
vật liệu cần đến tiết diện tán xạ Compton ngày càng tăng và rộng hơn. Do đó, tác
giả chọn đề tài “Nghiên cứu tiết diện tán xạ Compton của gamma trên một số loại
vật liệu”.
Mục đích là tìm ra công thức và viết chương trình tính tiết diện tán xạ
Compton của gamma trên một số vật liệu, cụ thể là hai hợp kim thép C45 và thép
CT3. Luận vănsử dụng chương trình Mathematica để tính tiết diện tán xạ Compton
của gamma trên các hợp chất đã biết trước hàm lượng nguyên tố.Tiết diện tán xạ
Compton góp phần vào việc tìm ra tiết diện tán xạ toàn phần, từ đó xác định hệ số
7
suy giảm tuyến tính khi biết mật độ khối của vật liệu cần tính. Đối với các đồng vị
phóng xạ tự nhiên hay nhân tạo, năng lượng tia gamma thường vào cỡ 0,25MeV
đến 2,6 MeV, tiết diện tán xạ toàn phần hay hệ số suy giảm tuyến tính chủ yếu do
hiệu ứng Compton đóng góp.
Luận văn gồm 3 chương với những nội dung chính như sau

Chương 1: Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và ngoài nước. Tìm
hiểu về các loại tương tác chính của gamma với vật chất như hiệu ứng quang điện,
tán xạ Compton và hiệu ứng tạo cặp. Bên cạnh đó nhắc lại sự suy giảm của tia
gamma khi đi vào vật chất.
Chương 2:Tìm công thức tính tiết diện tán xạ cho hợp chất. Chương này tác
giả tìm hiểu, chứng minh lại công thức Klein-Nishina từ giản đồ Feynman, dẫn ra
phương trình tính tiết diện tán xạ Compton của gamma cho nguyên tửvà hợp chất.
Tiết diện tán xạ Compton cho hợp chất này phụ thuộc vào năng lượng của chùm
gamma bắn vào vật chất, thành phần và hàm lượng của các nguyên tố có trong hợp
chất đó.
Chương 3: Kết quả và thảo luận. Tính tiết diện tán xạ Compton của sắt, thép
C45 và thép CT3 trên công thức lý thuyết dẫn ra ở chương 2 bằng chương trình
Mathematica ở các mức năng lượng gamma khác nhau từ 0,25 MeV đến 2,6 MeV.
Kết quả này được so sánh với kết quả từ NIST, từ chương trình mô phỏng MCNP5
và một số kết quả thực nghiệm.
8
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
1 Tình hình nghiên cứu tán xạ Compton
Cho đến nay, nhiều công trình trên thế giới và trong nướcđã được thực hiện
nghiên cứu về tán xạ Compton của gamma lên một số vật liệu[1], [4],[5],[6],[8],[9].
Tùy vào ứng dụng thực tế, các đại lượng tiết diện tán xạ Compton, hệ số suy giảm
khối hoặc hệ số suy giảm tuyến tính được tính toán sẵn bằng cách lập bảng dữ liệu
hoặc viết chương trình tính cho một số vật liệu ở các mức năng lượng.Mỗi vật liệu
đều có mật độ khối riêng biệt. Mật độ khối của vật liệu thay đổi theo điều kiện môi
trường nên dữ liệu tính toán thường là tiết diện tán xạ và hệ số suy giảm khối
Compton. Hai đại lượng này có quan hệ mật thiết với nhau và dễ dàng tính toán
chuyển đổi qua lại.
Các công trình nghiên cứu bằng lý thuyết về tiết diện tán xạ Compton đều
xuất phát từ công thức Klein-Nishina. Theo đó, các công trình nghiên cứu được mở
rộng tính toán tiết diện tán xạ Compton toàn phần cho các phân lớp electron, cho

một nguyên tử, cho hợp chất nhiều nguyên tố. Các nghiên cứu về thực nghiệm và
mô phỏng chủ yếu tính hệ số suy giảm tuyến tính, từ đó suy ra tiết diện tán xạ hoặc
hệ số suy giảm khối của các vật liệu được quan tâm.
1.1.1. Một số công trình nghiên cứu về tiết diện tán xạ Compton trên thế giới
Rao, Seltzer và Bergstrom [6]đã nghiên cứu tiết diện tán xạ Compton sử
dụng trong y học. Trong công trình này, tác giả đã tiến hành tính toán tiết diện tán
xạ Compton cho các phân lớp electron của một số nguyên tố (H, C, N, O, Na, Mg,
P, S, Cl, K, Ca, Fe) là thành phần chủ yếu của các vật liệu sinh học trong vùng năng
lượng từ 5 keV đến 10 MeV. Những tiết diện này được tính toán và lập thành bảng
giá trị và được lưu thành dữ liệu. Các dữ liệu này sẽ được dùng trong các vấn đề mô
phỏng gamma truyền qua các vật liệu trong y học và cơ thể người. Ngoài ra, tổng
các tiết diện trên từng phân lớp electron là tiết diện tán xạ toàn phần cho một
nguyên tử của các nguyên tố nói trên cũng được trình bày trong bảng.
9
Hubbell và các cộng sự [8] đã lập bảng các giá trị tiết diện tán xạ Compton
và tán xạ Rayleigh toàn phần cho các nguyên tố có số bậc nguyên tử Z từ 1 đến 100
ở các mức năng lượng từ 100eV đến 100MeV. Trong công trình này, tác giả còn
nghiên cứu về hàm tán xạ là thành phần để hiệu chỉnh sự sai biệt giữa lý thuyết và
thực nghiệm. Vì các electron trong nguyên tử nói chung không hoàn toàn liên kết
yếu với nguyên tử nên tiết diện vi phân hay tiết diện toàn phần đối với electron liên
kết cần được hiệu chỉnh bằng hệ số tán xạ Compton hay hàm tán xạ. Hàm này phụ
thuộc vào bậc số Z và năng lượng tới của tia gamma.
Ngoài ra, trong một công trình khác của Hubbell [9], ông còn tính hệ số suy
giảm khối cho tán xạ Rayleigh, hiệu ứng quang điện, tán xạ Compton, hiệu ứng tạo
căp cho một số nguyên tố (Hidro đến Uranium) và một số hợp chất (SiO
2
, NaI,
(C
8
H

8
O
2
)
n
…) ở mức năng lượng từ 10 keV đến 100 GeV.
Chương trình XCOM 1.5 (2010) [16] là một chương trình tính toán chứa cơ
sở dữ liệu của NIST (National Institute of Standards and Technology - Viện tiêu
chuẩn và công nghệ quốc gia), được sử dụng để tính hệ số hấp thụ khối của tán xạ
Compton, hiệu ứng quang điện, hiệu ứng tạo cặp và hệ số hấp thụ khối toàn phần
cho các nguyên tố, các hợp chất có số bậc nguyên tố Z≤100 ở mức năng lượng từ
1keV đến 100GeV.
1.1.2. Một số công trình nghiên cứu về tiết diện tán xạ Compton ở trong nước
Nhóm tác giả Trần Đại Nghiệp, Lê văn Minh, Trần Mạnh Toàn, Nguyễn
Thành Công, Nguyễn thị Cẩm Hà, Nguyễn Thị Hà Thu [4] nghiên cứu sự khác biệt
của tiết diện tán xạ Compton đối với electron liên kết ở năng lượng gamma 662 keV
của một số kim loại. Tiết diện tán xạ Compton được xác định trong phạm vi góc
110
0
đến 130
0
của các kim loại nhôm, sắt, đồng, chì và Cadimi. Các phép đo được
thực hiện bằng cách sử dụng hai đầu dò NaI (Tl) cùng với kênh phân tích. Tiết diện
được tính toán bằng thực nghiệm này được đem so sánh với giá trị lý thuyết theo
công thức Klein – Nishina để tìm được sự sai biệt giữa lý thuyết và thực nghiệm.
10
Ngoài ra, nhóm tác giả Nguyễn Thành Công và Trần Đại Nghiệp [5] có công
trình nghiên cứukhác về mối tương quan giữa tiết diện tán xạ vi phân của photon
gamma và góc tán xạ trong tán xạ gamma một lần và nhiều lần cho các nguyên tố
carbon, nhôm, sắt và đồng.

Đinh Thị Minh Hương [1] khảo sát tiết diện tán xạ Compton của gamma có
năng lượng 63,5 keV – 2 MeV bằng phương pháp mô phỏng MCNP. Công trình
này sử dụng chương trình MCNP để xây dựng mô hình cho hệ đo tán xạ ngược
gamma, đưa ra phương pháp tính tiết diện vi phân của tán xạ Compton ở góc 120
0
.
Từ đó, tác giả đã tính toán bộ số liệu về tiết diện vi phân của tán xạ Compton trong
vùng năng lượng 63,5 keV – 2 MeV trên bia nhôm.
Những nghiên cứu và tính toán về tiết diện tán xạ Compton trong và ngoài
nước ngày càng được mở rộng hơn ở nhiều mức năng lượng trên nhiều loại vật liệu.
Do đó, để tiếp nối những nghiên cứu này, tác giả tiến hành tính toán tiết diện tán xạ
Compton của gamma ở các mức năng lượng 0,25 MeV đến 2,6 MeV cho ba vật liệu
sắt, thép C45 và thép CT3.
1.2. Sự truyền bức xạ gamma qua vật chất
1.2.1. Tương tác của gamma với vật chất
Tia gamma đầu tiên được phát hiện vào năm 1900 bởi Becquerel và Villard,
là một thành phần của bức xạ từ uranium và radium, nó có sự đâm xuyên cao hơn
nhiều so với alpha và hạt beta. Bức xạ gamma là một bức xạ có năng lượng cao,
chúng được giải phóng trong quá trình phân rã của các đồng vị phóng xạ, thường
được sinh ra khi một hạt nhân trải qua một quá trình chuyển đổi từ một hạt nhân
kích thích về một trạng thái năng lượng thấp hơn. Trạng thái kích thích có thể là tự
nhiên (đồng vị phóng xạ tự nhiên) hoặc có thể được tạo ra trong các lò phản ứng hạt
nhân hoặc máy gia tốc.
Các hình thức tương tác chính của tia gamma với vật chất là hiệu ứng quang
điện, tán xạ Compton và hiệu ứng tạo cặp. Xét đến một mức độ nhỏ và chi tiết hơn,
tán xạ Rayleigh và tán xạ Thomson cũng xảy ra. Mỗi quá trình xảy ra theo các cách
11
khác nhau và trong những điều kiện khác nhau. Các hình thức tương tác khác nhau
của sự tán xạ có thể xảy ra tùy thuộc vào các tính chất cơ học lượng tử của tia
gamma tới. Hiệu ứng quang điện là hình thức tương tác chủ yếu của bức xạ gamma

với vật chất ở năng lượng thấp, sự tán xạ Compton là hình thức tương tác chủ yếu
trong phạm vi năng lượng trung bình và quá trình hình thành cặp electron-positron
chiếm ưu thế trong vùng năng lượng cao.[2]
1 Hiệu ứng quang điện
Một tia gamma có thể tương tác với một electron liên kết trong nguyên tử, nó
sẽ mất đi tất cả năng lượng. Một phần năng lượng của tia gamma được sử dụng để
thắng năng lượng liên kết, bứt electron ra tạo thành electron tự do, năng lượng còn
lại được truyền cho electron dưới dạng động năng. Một phần rất nhỏ năng lượng
giật lùi vẫn còn với các nguyên tử để bảo toàn động lượng. Khi electron thuộc các
tầng trong bị mất tạo ra các lỗ trống. Các lỗ trống được lấp đầy bởi các electron từ
quỹ đạo của tầng cao hơn. Quá trình này đi kèm với sự phát xạ tia X hoặc điện tử
Auger.[3]
12
Hình 1.1.Cơ chế hiệu ứng quang điện của gamma
Năng lượng của tia gamma tới thỏa mãn phương trình bảo toàn năng lượng
sau
(1.1)
Trong đó, E
γ
là năng lượng của tia gamma tới, E
e
là động năng của electron
bay ra ngoài sau khi bị đánh bật ra khỏi lớp vỏ liên kết, E
a
là động năng giật lùi của
nguyên tử và E
lk
là năng lượng liên kết của electron đó trong nguyên tử. Đối với
electron ở lớp K thì năng lượng liên kết là
(1.2)

Năng lượng giật lùi của nguyên tử rất nhỏ ta có thể bỏ qua, do đó gần đúng
công thức (1.1) trở thành
(1.3)
Theo công thức (1.3), năng lượng của tia gamma tới ít nhất phải bằng năng
lượng liên kết của các electron thì hiệu ứng quang điện mới xảy ra. Nếu E
γ
< E
K
thì
hiệu ứng quang điện chỉ xảy ra ở các lớp L, M,… Nếu E
γ
< E
L
thì hiệu ứng quang
điện chỉ xảy ra với các lớp M, N,…
Hiệu ứng quang điện không xảy ra với các electron tự do vì không đảm bảo
quy luật bảo toàn năng lượng và động lượng
 Định luật bảo toàn năng lượng, đối với electron tự do, E
lk
= 0 ta có
13
(1.4)
(1.5)
Với m
e
là khối lượng của electron và v là vận tốc của electron
v
β =
c
(1.6)

 Định luật bảo toàn động lượng thì
(1.7)
Trong đó là động lượng của tia gamma tới, là động lượng của electron bị
đánh bật ra ngoài và là động lượng của nguyên tử giật lùi.
Từ công thức (1.7), bỏ qua động lượng nguyên tử giật lùi thì p
γ
= p
e
(1.8)
Từ phương trình (1.5) và (1.8) ta có
(1.9)
(1.10)
Phương trình (1.10) cho hai nghiệm β=0 và β=1. Giá trị β=0 cho nghiệm tầm
thường E
e
=0 và giá trị β =1 không có ý nghĩa vì electron có khối lượng khác không
nên v không thể bằng c.
Do đó, hiệu ứng quang điện chỉ xảy ra đối với các electron liên kết trong
nguyên tử. Ngoài ra, năng lượng tia gamma phải lớn hơn năng lượng liên kết của
electron để thỏa mãn biểu thức (1.3) nhưng không quá lớn vì khi đó nó xem
electron gần như là tự do.
Ở miền năng lượng gamma lớn thì tiết diện rất bé vì khi đó gamma xem
electron liên kết yếu. Khi giảm năng lượng gamma, tiết diện tăng theo quy luật
1
E
.
Khi năng lượng gamma tiến dần đến E
K
, tiết diện tăng theo hàm
7

2
1
E
.[3]
( )
5
photo
K
Z
E
γ
σ µ
cho trường hợp E
γ
≫ E
K
(1.11)
( )
5
photo
7
K
2
Z
E
γ
σ µ
cho trường hợp E
γ
≥ E

K
(1.12)
14
Với sự trợ giúp của điện động lực học lượng tử, biểu thức của tiết diện hiệu
ứng quang điện đối với tất cả các electron ở lớp K được tính như sau [3]
( )
5
33
photo
K
Z
1,34 10
E
−
γ
σ = ×
cho trường hợp E
γ
≫ E
K
(1.1
3)
( )
7
2
16 5
photo
K
13,61
1,09 10 Z

E
−
γ
 
σ = ×
 ÷
 ÷
 
cho trường hợp E
γ
≥ E
K
(1.1
4)
Trong đó là tiết diện hiệu ứng quang điện cho lớp thứ K, đơn vị của là (cm
2
),
đơn vị của E
γ
là (MeV) cho công thức (1.13), (eV) cho công thức (1.14).
Hiệu ứng quang điện đặc biệt quan trọng đối với vật liệu nặng,dù cho năng
lượng của tia gamma tới lớn. Đối với vật liệu nhẹ, hiệu ứng này chỉ xảy ra với tia
gamma tới có năng lượng nhỏ.Xác suất của hiệu ứng quang điện càng lớn đối với
các electron bị ràng buộc càng chặt, do đó hiệu ứng quang điện chủ yếu xảy ra ở các
electron lớp vỏ thứ K. Như thế, tiết diện của hiệu ứng quang điện đối với lớp L, lớp
M thì nhỏ hơn rất nhiều, 80% hiệu ứng này diễn ra ở lớp thứ K. Tỉ số của tiết diện
hiệu ứng quang điện xảy ra trên các electron trên các lớp khác nhau được cho dưới
đây [3]
( )
( )

photo
L
photo
K
σ
1
=
5
σ
và
( )
( )
photo
M
photo
L
σ
1
=
4
σ
(1.15)
1.2.1.1. Tán xạ Compton
Những khảo sát chi tiết tán xạ của sóng điện từ đi kèm với sự thay đổi trong
bước sóng đã được thực hiện vào năm 1923 bởi Compton. Đây là quá trình phổ biến
trong hầu hết các tương tác của tia gamma với vật chất. Cơ chế tán xạ Compton
được thể hiện trong hình 1.2.
Khi năng lượng gamma đạt đến giá trị lớn hơn nhiều so với năng lượng liên
kết của electron lớp K trong nguyên tử, vai trò của hiệu ứng quang điện không còn
đáng kể và bắt đầu xuất hiện hiệu ứng Compton. Khi đó, ta có thể bỏ qua năng

lượng liên kết của electron so với năng lượng gamma và tán xạ gamma lên electron
có thể xem như tán xạ với electron tự do. Tán xạ này gọi là tán xạ Compton, là tán
15
xạ đàn hồi của gamma với các electron chủ yếu ở quỹ đạo ngoài cùng của nguyên
tử. Sau tán xạ, electron được giải phóng ra khỏi nguyên tử, lượng tử gamma thay
đổi phương bay và bị mất một phần năng lượng. Hướng của electron bay ra và tia
gamma tán xạ phụ thuộc vào phần năng lượng tia gamma truyền cho electron trong
quá trình tương tác.[3]
Hình 1.2.Cơ chế tán xạ Compton của gamma
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hệ trước và sau tương tác ta có:
(1.16)
Trong đó là năng lượng của electron bay ra,là năng lượng của tia gamma
tới,là năng lượng của tia gamma sau khi tán xạ đi ra và là năng lượng nghỉ của
electron.
Tia gamma tới có tần số �thì . Tia gamma tán xạ có tần số thì .
Sau khi tán xạ, giả sử rằng các electron có thể tăng tốc đến một phần đáng kể
của tốc độ ánh sáng, năng lượng toàn phần của nó được thể hiện bằng cách sử dụng
mối quan hệ năng lượng và động lượng tương đối, vì vậy
16
(1.17)
Do đó phần năng lượng của photon mất đi cho electron được xác định như
sau:
(1.18)
(1.19)
Theo định luật bảo toàn động lượng
(1.20)
Trong đó là động lượng của electron bay ra sau tán xạ, là động lượng của tia
gamma đi vào vàlà động lượng của tia gamma tán xạ. Do đó
(1.21)
Với θ là góc giữa tia gamma tới và tia gamma tán xạ.

Nhân cả hai vế của phương trình (1.21) với c
2
(1.22)
Mà
(1.23)
Từ những phương trình (1.19) và (1.23) suy ra
(1.24
)
(1.25
)
Chia cả hai vế phương trình trên cho 2hυυ
’
m
e
c ta thu được
(1.26)
(1.27)
Năng lượng của tia gamma tán xạnhư là một hàm của góc tán xạ
θ
và năng
lượng của tia gamma tới E
γ
[10]
(1.28)
Với m
e
c
2
là năng lượng nghỉ của electron bằng 511keV.
Công thức (1.28) có thể được viết dưới dạng

(1.29)
Nếu năng lượng của photon tán xạ Compton đo được ở một góc tán xạ xác
định được thực hiện từ thực nghiệm, sử dụng phương trình (1.29) ta có thể hoàn
toàn đi xác định được năng lượng của tia gamma đi vào cũng như năng lượng nghỉ
của electron m
e
c
2
[10].
17
Công thức để tính toán tiết diện tán xạ vi phân của tán xạ Compton của
photon gamma lên electron được đưa ra bởi Klein-Nishina, và độc lập với Tamm.
Phương trình này có dạng như sau
(1.30
)
Trong đó
2
e
E
β =
m c
γ
là tỉ số năng lượng.
2
e
2
e
e
r =
m c

là bán kính cổ điển của electron.
Tiết diện tán xạ Compton toàn phần của một electron nhận được bằng cách
lấy tích phân biểu thức (1.30) theo tất cả góc tán xạ [3]
(1.3
1)
Chúng ta xem xét hai trường hợp sau
 Với β<<1, tức là khi E
γ
<<m
e
c
2
công thức (1.31) có dạng gần đúng
(1.32)
Trong đó
4
Th
2 4
e
8 e
3 m c
π
σ =
là tiết diện tán xạ do Thomson tính cho trường hợp
năng lượng tia gamma rất bé. Như vậy đối với năng lượng gamma rất bé, β<<0,05,
tiết diện tán xạ Compton tăng tuyến tính khi giảm năng lượng và đạt giá trị tới hạn
σ
Th
.
 Với β>>1, tức là khi E

γ
>>m
e
c
2
công thức (1.31) có dạng gần đúng
(1.33)
Công thức (1.33) cho thấy khi năng lượng gamma rất lớn, tiết diện tán xạ
Compton biến thiên tỉ lệ nghịch với năng lượng E
γ
. Vì nguyên tử có Z electron nên
tiết diện tán xạ Compton đối vớimột nguyên tử sẽ gấp lên Z lần tiết diện tán xạ đối
với một electron.
(1.34)
18
Công thức khi bức xạ gamma có năng lượng tới E
γ
tán xạ lên electron chuyển
động có thể thu được khi chuyển các công thức từ hệ quy chiếu gắn với electron
sang hệ quy chiếu phòng thí nghiệm [10].
(1.35)
Trong đó, θ
1
là góc giữa chiều chuyển động của electron và hướng của
photon tới, θ
2
là góc giữa chiều chuyển động của electron và hướng của photon tán
xạ, T
e
là động năng của electron, trong công thức (1.35) thì .

Khi θ
1
= π, θ= π và θ
2
= 0 năng lượng lớn nhất của tia gamma tán xạ có thể
đạt được
(1.36)
Bên cạnh electron, các hạt mang điện khác, ví dụ như positron, proton cũng
gây ra hiện tượng tán xạ Compton. Giá trị gần đúng của σ
C
cho proton có thể dựa
trên công thức (1.31) bằng việc thay m
e
bằng m
p
[10].
1.2.1.2. Hiệu ứng tạo cặp
Đối với lượng tử gamma có năng lượng rất cao, còn tồn tại một hình thức
tương tác của lượng tử gamma với vật chất bên cạnh những hiệu ứng quang điện và
tán xạ Compton đó là sự hình thành các cặp electron-positron trong trường hạt
nhân. Điều này được phát hiện bởi Dirac vào năm 1928 từ một phân tích của
phương trình cơ học lượng tử tương đối tính cho electron.
19
Hình 1.3.Cơ chế hiệu ứng tạo cặp của gamma
Một tia gamma có năng lượng ít nhất 1,022 MeV có thể tạo ra một cặp
electron-positron khi nó chịu ảnh hưởng của trường điện từ mạnh mẽ trong vùng lân
cận của hạt nhân. Trong sự tương tác này, hạt nhân nhận được một phần nhỏ năng
lượng để bảo toàn động lượng và sau đó tia gamma biến mất. Sự tương tác này có
một ngưỡng năng lượng là 1,022 MeV bởi vì đó là năng lượng tối thiểu cần thiết để
tạo ra khối lượng các electron và positron. Nếu năng lượng tia gamma vượt quá

1,022 MeV, năng lượng dư thừa được chia sẻ giữa các electron và positron dưới
dạng động năng của chúng. Quá trình tạo cặp này không thể xảy ra trong chân
không [10].
Theo định luật bảo toàn năng lượng
(1.37)
Trong đó E
γ
là năng lượng của tia gamma tới,
+
e
E
là năng lượng của positron,
-
e
E
là năng lượng của electron và
a
E
là động năng của hạt nhân giật lùi.
Khi hai hạt sinh ra bay theo hướng vuông góc với gamma tới và tạo với nhau
một góc 180
0
, theo định luật bảo toàn động lượng thì
(1.38)
20
Trong đó là động lượng của tia gamma tới và là động lượng của hạt nhân
giật lùi.
(1.39)
(1.40)
Tiết diện của quá trình tạo cặp electron-positron trong trường hạt nhân là khá

phức tạp, nó phụ thuộc vào năng lượng của tia gamma tới và điện tích của hạt nhân.
Nó có thể được viết cho những khoảng giới hạn của giá trị năng lượng tia gamma
tới [2].
 Đối với khi không tính đến hiệu ứng màn che chắn
2
γ
2
pair e
2
e
2E
Z 28 218
σ = r ln -
137 9 m c 27
 
 ÷
 
(1.41)
 Đối với khi tính đến hiệu ứng màn che chắn toàn phần
2
2 1/3
pair e
Z 28 2
σ = r ln(183Z ) -
137 9 27
−
 
 
 
(1.42)

Trong miền năng lượng 5m
e
c
2
< E
γ
< 50m
e
c
2
tiết diện tạo cặp tỉ lệ với Z
2
và
lnE
(1.43)
Trong công thức (1.43) thì tiết diện tạo cặp electron-positron gần tỉ lệ với Z
2
nên có giá trị lớn đối với chất hấp thụ với số nguyên tử lớn.[3]
1.2.2. Sự suy giảm của gamma trong vật chất
Sự suy giảm tia gamma đi qua các môi trường khác với sự suy giảm của các
hạt tích điện. Các hạt tích điện có tính chất hạt nên chúng có quãng chạy hữu hạn
trong vật chất, nghĩa là chúng có thể bị hấp thụ hoàn toàn. Trong khi đó, tia gamma
chỉ bị suy giảm về cường độ chùm tia khi tăng bề dày vật chất mà không bị hấp thụ
hoàn toàn. Do đó, khái niệm quãng chạy không có đối với lượng tử gamma.[3]
Năng lượng tia gamma suy giảm theo một quy luật hàm mũ e.
(1.43)
Trong đó, I là cường độ của chùm tia gamma ngay sau bề dày x, I
0
là cường
độ chùm tia gamma ban đầu trước khi đi vào lớp vật liệu, μ là hệ số suy giảm tuyến

tính.
21
Người ta dựa vào một đại lượng đặc trưng cho xác suất xảy ra của các quá
trình đó là tiết diệntoàn phần σ
total
. Nếu chúng ta giả sử rằng mỗi sự kiện tương tác
dẫn đến việc loại bỏ một photon từ chùm tia gamma song song, chúng ta có thể biểu
hiện cho sự suy giảm của chùm bởi một lớp vật liệu độ dày x (cm) như sau
(1.44)
Trong đó n là số nguyên tử hoặc hạt nhân trong 1cm
3
của vật liệu được tính
như sau
(1.45)
Với ρ là mật độ của vật liệu đơn vị là (g/cm
3
), M là khối lượng Mol của
nguyên tử cấu tạo nên vật liệu và N
A
là số Avogadro bằng 6,02x10
23
hạt/mol.
Hệ số suy giảm tuyến tính với đơn vị là (cm
-1
) cho tia gamma được định
nghĩa là
(1.46)
Các phép đo với những nguồn khác nhau và vật liệu hấp thụ khác nhau cho
thấy hệ sốsuy giảm tuyến tính μphụ thuộc vào năng lượng của tia gamma tới, số
nguyên tử Z và mật độ

ρ
của môi trường hấp thụ.
Ngoài hệ số suy giảm tuyến tính, người ta còn sử dụng hệ số suy giảm khối
μ
m
(cm
2
/g).
(1.47)
Hệ số suy giảm khối không phụ thuộc vào mật độ ρ. Do đó hệ số suy giảm
khối có phần thuận lợi hơn hệ số suy giảm tuyến tính. Mối liên hệ giữa hệ số suy
giảm khối và tiết diện toàn phần của vật liệu đơn chất là
(1.48)
Phương trình (1.49) dưới đây được sử dụng cho việc tính toán hệ số suy
giảm khối cho một vật liệu nhiều thành phần nguyên tố [3].
(1.49)
(1.50)
Với, , và lần lượt là hệ số suy giảm khối, tiết diện tán xạ toàn phần, khối
lượng mol trung bình và thành phần phần trăm về khối lượng của nguyên tố thứ i
bên trong vật liệu.
22
1.2.3. Tổng hợp các hiệu ứng gamma khi tương tác với vật chất
Như đã trình bày ở trên, gamma tương tác với vật chất qua ba hiệu ứng chính
là hiệu ứng quang điện, hiệu ứng Compton và hiệu ứng tạo cặp.Khi xét đến tiết diện
tán xạ, ta cần chú ý đến tâm tán xạ của hiệu ứng quang điện và tạo cặp là nguyên tử
còn của hiệu ứng quang điện là electron.[2]
Tiết diện tương tác tổng cộng của các hiệu ứng này cho một nguyên tử là
(1.51)
Do đó, hệ số hấp thụ tuyến tính μ của vật chất là tổng của từng hệ số tạo bởi
các hiệu ứng có thể [3]

(1.52
)
(1.53
)
Trong đó, quá trình quang điện trội hơn ở năng lượng thấp, hiệu ứng
Compton ở năng lượng trung bình, còn sự tạo cặp ở năng lượng cao. Do đó, tiết
diện tương tác toàn phần và hệ số hấp thụ tổng cộng có cực tiểu trong khoảng hiệu
ứng Compton đạt giá trị cực đại. Cực tiểu này đặc biệt khác đối với hạt nhân nặng
vì σ
photo
, σ
pair
tỉ lệ tương ứng với Z
5
và Z
2
, còn σ
com
tỉ lệ với Z.
23
Hình 1.4. Biểu diễn tiết diện của các quá trình tương tác gamma trên nhôm [16]
Đối với các hạt nhân nặng, hiệu ứng quang điện đóng vai trò quan trọng
trong miền năng lượng thấp cỡ 0,2 MeV – 2 MeV, hiệu ứng Compton từ 0,5 MeV –
5 MeV còn hiệu ứng tạo cặp từ 5 MeV trở đi. Đối với nhôm và các hạt nhân nhẹ, sự
hấp thụ quang điện chỉ có tác dụng trong miền năng lượng cỡ 100 keV – 150 keV,
hiệu ứng tạo cặp có ảnh hưởng chỉ trong miền năng lượng cỡ 10 MeV như hình 1.4.
Do đó, đối với các đồng vị phóng xạ tự nhiên và nhân tạo với năng lượng tia
gamma thường và cỡ 0,25 MeV – 2,6 MeV, tiết diện tương tác và hệ số suy giảm
tuyến tính chủ yếu do hiệu ứng Compton đóng góp.[3]
24

(α)
(β)
k
p
p
p
p
CHƯƠNG 2: CÔNG THỨC KLEIN-NISHINA VÀ TIẾT DIỆN TÁN XẠ
COMPTON CHO HỢP CHẤT
Giản đồ Feynman cho phép biểu diễn quá trình tương tác và từ đó cho thấy
rõ được cơ chế của quá trình. Quy tắc Feynman giúp ta tìm đỉnh tương tác của các
hạt, đồng thời xác định hàm truyền của các trường lượng tử.Như vậy, chúng ta có
thể vận dụng quy tắc Feynman để nghiên cứu tương tác giữa các hạt vô hướng
mang điện. Tìm hiểu lý thuyết tán xạ, quy tắc Feynman được vận dụng để tính biên
độ tán xạ cho tán xạ Compton, từ đó tìm ra công thức tiết diện tán xạ theo công thức
Klein-Nishina.
2.1. Giản đồ Feynman và quy tắc Feynman trong điện động lực học lượng tử
Trong giản đồ Feynman, các dòng hạt chuyển động được mô hình hóa bằng
các đường, đỉnh là vị trí mà tại đó các hạt tương tác với nhau. Các đường nối giữa
hai đỉnh là đường trong, các đường chỉ nối liền với một đỉnh là đường ngoài. Ứng
với mỗi hạt trong trạng thái đầu nhất thiết phải có đường ngoài tận cùng ở một đỉnh
gọi là đường vào. Ứng với mỗi hạt trong trạng thái cuối nhất thiết phải có một
đường ngoài xuất phát từ đỉnh gọi là đường ra.[7]
Tại mỗi đỉnh ta viết một hệ số, ví dụ tại đỉnh α ta viết hệ số ieγ
α
. (2.1)
Đối với mỗi dòng photon trong, biễu diễn theo xung lượng k, viết thêm một
hệ số
(2.2)
Đối với mỗi đường fermion trong, biễu diễn theo động lượng p, ta viết một

hệ số
( )
F
1
iS p = i
p m + iε−
%
(2.3)
Đối với mỗi đường ngoài cho quá trình hủy electron ta viết thêm hệ số
(2.4)
Đối với mỗi đường ngoài cho quá trình sinh electron ta viết thêm hệ số
(2.5)
Đối với mỗi đường ngoài cho quá trình hủy positron ta viết thêm hệ số
25