HSG toan 6 TP Ninh Binh

PHềNG GD&T THNH PH NINH BèNH THI CHN HC SINH GII LP 6
Nm hc 2011 - 2012
Mụn: Toỏn
(Thi gian lm bi: 150 phỳt)
Bi 1 (4 im): Tỡm cỏc s nguyờn x, sao cho:
a) 2
x
+ 2
x + 1
+ 2
x + 2
+ 2
x + 3
= 480.
b) 2 + 4 + 6 + 8 + +2x = 156
c) (x
2
- 49) (x
2
- 81) < 0.
d)
105721 =++++ xxxx
e)
1000
998
)1(
2

10
1
6

1
3
1
=
+
++++
xx
Bài 2 (4 im):
Thc hin so sỏnh:
a. A =
12009
12009
2009
2008
+
+
vi B =
12009
12009
2010
2009
+
+

b. C = 1. 3. 5. 7 99 vi D =
2
100

2
53

.
2
52
.
2
51
c. Chng minh rng
2011
10 8+
chia ht cho 72.
Bài 3 (3 điểm):
1/ Tìm các chữ số x,y sao cho
xy1994
chia hết cho 72.
2/Tìm n

N sao cho (3n +1)

(2n+3)
Bài 4 (3 điểm):
Trong dịp Tết trồng cây, khối 6 phân chia số cây cho các lớp đem trồng nh sau:
Lớp 6A trồng 10 cây và
1
8
số cây còn lại, lớp 6B trồng 15 cây và
1
8
số cây còn lại, lớp
6C trồng 20 cây và
1

8
số cây còn lại,
Cứ chia nh vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa hết số cây và số cây các lớp đợc đem
trồng đều bằng nhau. Hỏi có mấy lớp 6, mỗi lớp đợc chia bao nhiêu cây đem trồng?
Bi 5 (3 im):
Trong 3 s nguyờn a; b; c, cú mt s dng, mt s õm, mt s bng khụng,
ngoi ra cũn bit thờm rng:
( )
cbba
=
2
.
Hi s no dng, s no õm, s no bng khụng?
Bài 6 (3 điểm):
a, Tìm x, y

N, biết 2
x
+ 624 = 5
y
.
b, Với giá trị nào của x, y thì biểu thức : A = | x - y | + | x + 1 | + 2011 đạt giá trị
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Ht
PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2011 - 2012
Bµi
Đáp án Điểm
Bµi 1

a) 2
x
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) = 480.
2
x
= 2
5
=> x = 5. 0,5
b) => 2(1 + 2 + 3+…+ x) = 156
=> 1 + 2 + 3 + …+ x = 78
=> [(x + 1) x] : 2 = 78
⇒ x(x+1) = 156
Vì 156 = 2
2

. 3 . 13 = 12.13
=> x = 12
0,5
c) (x
2
- 49). (x
2
- 81) < 0
=> x
2
- 49 và x

2
- 81 là hai số trái dấu.
Mà x
2
- 81 < x
2
- 49





>
<
⇒





>−
<−
⇒
49
81
049
081
2
2
2

2
x
x
x
x
=> x
2
= 64
Vậy x = 8 hoặc x = -8
0,25
0,25
0,25
0,25
(4 điểm)
d)
105721 −=++−++ xxxx
(1)
Ta có:
Zxxxx ∈∀≥++−++ 0721
=> 5x - 10 ≥ 0 => x ≥ 2.
Với x ≥ 2 thì:
77;22;11 +=+−=−+=+ xxxxxx
Vậy từ ( 1) suy ra:
(x +1) + (x -2) + (x +7) = 5x - 10
=> 3x + 5 = 5x - 10
=> x = 8 (thoả mãn)
0,25
0,25
0,25
0,25

e)
1000
998
)1(
2

10
1
6
1
3
1
=
+
++++
xx
=>
1000
998
)
)1(
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1
(2 =

+
++++
xx
=>
2000
998
1
11

5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
=
+
−++−+−+−
xx
0,25
0,25
=>
2000
998

)1(2
21
2000
998
1
1
2
1
=
+
+
=>=
+

x
x
x
=> 2000 (x - 1) = 2. 998 (x + 1) => x = 999
0,25
0,25
B i 2
4 im
a) Thc hin qui ng mu s:
A =
)12009)(12009(
1200920092009
)12009)(12009(
)12009)(12009(
20102009
200820104018

20102009
20102008
++
+++
=
++
++

B =
)12009)(12009(
1200920092009
)12009)(12009(
)12009)(12009(
20092010
200920094018
20092010
20092009
++
+++
=
++
++

)12009(200920092009
2200820082010
+=+
)20092009(200920092009
200820092009
+=+
Do

)12009(
2
+
>
)20092009( +
nờn A > B.
0,5
0,5
0,5
b)
1. 3. 5. 7 99 .2.4.6 100
C 1. 3. 5. 7 99
2.4.6 100

= =
)2.50) (2.3).(2.2).(2.1(
00.2.4.6 1 99 7 5. 3. 1.
=
2 2.2.2.50 3.2.1
100 53.52.51.50 3.2.1
=
2
100

2
53
.
2
52
.

2
51
=
= D Vy C = D
1,0
c) Vỡ
2011
10 8+
cú tng cỏc ch s chia ht cho 9 nờn tng chia ht
cho 9
Li cú
2011
10 8+
cú 3 ch s tn cựng l 008 nờn chia ht cho 8
Vy
2011
10 8+
chia ht cho 72
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(3điểm)
Mỗi ý
1,5 điểm
1/
72322769.721994 xyxy ++=
Vì 72.2769

72 nên 32+

xy


72
Vì
13199323232 =++ xy
nên
7232 =+ xy
40= xy
. Vậy x= 4 và y= 0.
2/ Ta có (3n +1)

(2n+3)
)32()13(2 ++ nn
và 3(2n+3)

(2n+3)

6n+2

(2n+3) và (6n+9)

(2n+3)

(6n+9 - 6n- 2)

(2n+3)

7

(2n+3)

2n+3

Ư(7) =
{ }
7;1
Nếu 2n+3 = 1

2n = -2

n = -1

N
Nếu 2n+3 = 7

2n = 4

n= 2

N
Vậy n = 2.
1,5
1,5
B i 4
(3
đim)
Xét 2 lớp cuối cùng là lớp thứ n-1 và lớp thứ n.
Gsử lớp thứ n-1 đợc chia x cây + 1/8 số cây còn lại hay x +(1/8)y
(cây). Lớp thứ n đợc chia nốt (7/8)y (cây).

Theo qui luật của bài toán lớp thứ n đợc chia x + 5 (cây) ( Vì không
0,25đ
0,25đ
còn số còn lại).
Vì số cây đem trồng đều bằng nhau nên ta có:
x +
1
8
.y = x + 5
suy ra
1
8
.y = 5

y = 40
tìm ra lớp thứ n đợc chia 35 cây
suy ra mỗi lớp đợc chia 35 cây
Vì lớp 6A trồng 10 cây và 1/8 số cây còn lại nên 1/8 số cây còn lại
là 25 cây
Tổng số cây là 10 + 25.8 = 210(cây)
Số lớp 6 là 210 : 35 = 6(lớp)

0,5đ

0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
Bi 5

(3 im)
+ Gi s a = 0 thỡ b = 0 hoc b = c vụ lý, vỡ a;b;c khỏc nhau
Vy a
0

(1)
+ Ga s b = 0 thỡ a = 0 vụ lý
Vy b
0

(2)
T (1) V (2) suy ra c = 0 khi ú
3
ba
=
suy ra b > o v a < 0
Vy: a < 0; b > 0; c = 0
1.0
0.75
0.75
0.5
B i 6
(3điểm)
a, Nếu x = 0 thì 2
0
+ 624 = 5
y


625 = 5

y


5
y
= 5
4

y = 4
Nếu x

0 thì 2
x
là số chẵn

2
x
+ 624 là số chẵn
Mà 5 là số lẻ

5
y
là số lẻ

Với x, y

N, x

0 thì 2
x

+ 624


5
y
Vậy x = 0, y = 4.
0,5
0,25
0,5
0,25
b, Vì |x - y |

0 với mọi x, y ; |x + 1 |

0 với mọi x


A

2011 với mọi x,y .


A đạt giá trị nhỏ nhất khi
| | 0 0
| 1| 0 1 0 1
x y x y x y
x x x
= = =

+ = + = =

Vậy với x = y = - 1 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 2011
0,5
0,25
0,5
0,25
Lu ý:
- Hc sinh lm cỏch khỏc ỳng cho im ti a.
Ht