TÍCH PHÂN TOÀN TẬP LTDH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.37 MB, 108 trang )
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
TÍCH PHÂN
LUYỆN THI ĐẠI HỌC
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN
0909 230 970
108/53b,Trần Văn Quang,F10,Tân Bình.
1
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
TÍCH PHÂN
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
1. Đổi biến số dạng 1
b
Để tính tích phân
f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau:
/
a
Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt u/ (x)dx .
Bước 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) .
b
Bước 3.
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt .
/
a
e2
dx
.
x ln x
Ví dụ 7. Tính tích phân I
e
Giải
dx
Đặt t ln x dt
.ĐỔI CẬN : x e t 1, x e2 t 2
x
2
I
1
dt
ln t
t
2
1
ln 2 . Vậy I ln 2 .
4
cos x
(sin x cos x)
Ví dụ 8. Tính tích phân I
3
dx .
0
Hướng dẫn:
4
I
cos x
(sin x cos x)
3
4
dx
0
1
(tan x 1)
3
.
0
3
Ví dụ 9. Tính tích phân I
dx
3
. Đặt t tan x 1 ;ĐS: I .
2
8
cos x
dx
.
2x 3
(1 x)
1
2
Hướng dẫn:
Đặt t
2x 3
ĐS: I ln
1
Ví dụ 10. Tính tích phân I
0
3
.
2
3x
dx .
1x
Hướng dẫn:
3
3x
t2 dt
Đặt t
8 2
; đặt t tan u
1x
(t 1)2
1
ĐS: I 3 2 .
3
2
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
Chú ý:
1
Phân tích I
3x
dx , rồi đặt t
1x
0
1 x sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 2
b
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính
f ( x)dx
ta thực hiện các bước sau:
a
Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx u / (t )dt .
Bước 2. Đổi cận: x a t , x b t .
b
Bước 3.
/
f ( x)dx f [u(t )]u (t )dt g (t )dt .
a
1
2
Ví dụ 1. Tính tích phân I
1
dx .
1 x2
0
Giải
Đặt x sin t, t ;
dx cos tdt
2 2
1
ĐỔI CẬN : x 0 t 0, x t
2
6
6
I
0
cos t
dt
1 sin2 t
6
0
6
cos t
dt
cos t
6
dt t 0
0
0 . Vậy I .
6
6
6
2
Ví dụ 2. Tính tích phân I
4 x 2 dx .
0
Hướng dẫn:
Đặt x 2 sin t
ĐS: I .
1
Ví dụ 3. Tính tích phân I
dx
1 x
2
.
0
Giải
; dx (tan2 x 1)dt
2 2
x 0 t 0, x 1 t
4
Đặt x tan t, t
4
I
tan t 1
dt
2
t
1 tan
0
3 1
Ví dụ 4. Tính tích phân I
2
0
dx
.
x 2 2x 2
Hướng dẫn:
3
4
dt 4 .
0
Vậy I
.
4
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
3 1
I
0
3 1
dx
2
x 2x 2
0
dx
. Đặt x 1 tan t ; ĐS: I
.
2
12
1 (x 1)
2
Ví dụ 5. Tính tích phân I
dx
. ĐS: I .
2
2
4x
0
3 1
Ví dụ 6. Tính tích phân I
dx
. ĐS: I
.
12
x 2x 2
2
0
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lượng giác
2
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I
cos
2
x sin3 xdx .
0
Hướng dẫn:
Đặt t cos x
ĐS: I
2
.
15
2
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I
cos
5
xdx .
0
Hướng dẫn:
Đặt t sin x
ĐS: I
8
.
15
2
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I
cos
4
x sin2 xdx .
0
2
I
cos
4
x sin2 xdx
0
1
2
2
cos x sin 2xdx
4 0
2
Giải
2
2
1
1
2
(1 cos 4x)dx 4 cos 2x sin 2xdx
16 0
0
2
2
x
1
sin3 2x 2
1
1
.
sin 4x
(1 cos 4x)dx sin2 2xd(sin 2x)
16 64
16 0
8 0
24 0
32
Vậy I
.
32
2
Ví dụ 14. Tính tích phân I
dx
cos x sin x 1 .
0
Hướng dẫn:
Đặt t tan
x
.
2
ĐS: I ln 2 .
4
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
Biểu diễn các hàm số LG theo t tan
2t
1 t 2
2t
a
; cos a
; tan a
.
: sin a
2
2
2
1 t
1 t
1t2
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân I
xdx
sin x 1 .
0
Giải
Đặt x t dx dt .ĐỔI CẬN x 0 t , x t 0
0
I
0
2
0
( t)dt
sin( t) 1
sin t 1 sin t 1 dt
t
0
dt
dt
I I
sin t 1
2 0 sin t 1 2
0
dt
sin
t
t
cos
2
2
2
dt
2 t
4 0 cos
2 4
t
d
2 4
t
. Vậy I .
tan
2 4
2
2 t
0
cos
2 4
Tổng quát:
0
2
Ví dụ 16. Tính tích phân I
0
xf(sin x)dx f(sin x)dx .
2 0
sin2007 x
dx .
sin2007 x cos2007 x
Giải
Đặt x t dx dt .ĐỔI CẬN: x 0 t , x t 0
2
2
2
0
2
sin2007
t
cos2007 t
2
I
dx
dx J (1).
sin2007 t cos2007 t
sin2007
t cos2007
t
0
2
2
2
2
Mặt khác I J
dx 2
(2). Từ (1) và (2) suy ra I
0
Tổng quát:
2
0
n
sin x
dx
n
sin x cosn x
2
0
.
4
cosn x
dx , n .
n
n
sin x cos x
4
5
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
6
Ví dụ 17. Tính tích phân I
0
2
sin x
dx và J
sin x 3 cos x
6
0
cos2 x
dx .
sin x 3 cos x
Giải
I 3J 1 3 (1).
6
6
dx
1
dx
IJ
dx
2 0 sin x
sin x 3 cos x
0
3
1
Đặt t x dt dx I J ln 3 (2).
3
4
3
1 3
1
1 3
Từ (1) và (2) I
.
ln 3
, J
ln 3
16
4
16
4
1
Ví dụ 18. Tính tích phân I
0
ln(1 x)
dx .
1 x2
Giải
Đặt x tan t dx (1 tan 2 t)dt . ĐC: x 0 t 0, x 1 t
4
4
ln(1 tan t)
1 tan2 t dt ln(1 tan t)dt .
2
1 tan t
0
0
Đặt t u dt du .ĐC: t 0 u , t u 0
4
4
4
I
4
I
0
4
1 tan u
2
ln 1 1 tan u du ln 1 tan u du
0
0
4
4
0
4
0
4
ln(1 tan t)dt ln 1 tan 4 u du
0
ln 2du ln 1 tan u du 4 ln 2 I .Vậy I 8 ln 2 .
4
Ví dụ 19. Tính tích phân I
cos x
dx .
x
1
2007
4
Hướng dẫn:
Đặt x t .ĐS: I
2
.
2
6
4
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
Tổng quát:
Với a > 0 , 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn ; thì
f(x)
a x 1 dx
f(x)dx .
0
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f(x) 2f(x) cos x .
2
Tính tích phân I
f(x)dx .
Giải
2
t
2
2
2
f(t)dt J 3I J 2I f(x) 2f(x) dx
2
2
2
2
cos xdx 2 cos xdx 2 .
x
2
2
f(x)dx , x t dx dt .ĐC: x 2 t 2 ,
Đặt J
I
2
2
Vậy I
0
2
.
3
3.3. Các kết quả cần nhớ
a
i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
f(x)dx 0 .
a
a
ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a
f(x)dx 2 f(x)dx .
a
0
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
2
cos
2
n
0
xdx
0
(n 1)!!
, nếu n lẻ
n
.
sin xdx n !!
(n 1)!!
. , nếu n chẵn
n !!
2
Trong đó
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:
0 !! 1; 1!! 1; 2 !! 2; 3 !! 1.3; 4 !! 2.4; 5 !! 1.3.5;
6 !! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8 !! 2.4.6.8; 9 !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10 .
2
Ví dụ 21.
cos
11
xdx
10 !!
2.4.6.8.10
256
.
11!! 1.3.5.7.9.11 693
sin
10
xdx
9 !!
1.3.5.7.9
63
.
.
.
10 !! 2
2.4.6.8.10 2
512
0
2
Ví dụ 22.
0
7
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Công thức
Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
uv / u/ v uv/ uv / dx u/ vdx uv/ dx
b
d uv vdu udv
b
d(uv) vdu udv
a
b
uv
b
a
b
a
b
a
b
b
vdu udv udv uv
a
a
a
b
a
vdu .
a
Công thức:
b
b
udv uv
b
a
a
vdu (1).
a
Cơng thức (1) cịn được viết dưới dạng:
b
b
f(x)g (x)dx f(x)g(x)
/
b
a
a
f / (x)g(x)dx (2).
a
2. Phương pháp giải tốn
b
Giả sử cần tính tích phân
f(x)g(x)dx ta thực hiện
a
Cách 1.
Bước 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi
b
phân du u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
/
vdu phải tính được.
a
Bước 2. Thay vào cơng thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
b
i/ Nếu gặp
b
b
P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e
a
a
ax
.P(x)dx
a
Với P(x) là đa thức thì đặt u P(x) .
b
ii/ Nếu gặp
P(x) ln xdx thì đặt u ln x .
a
Cách 2.
b
Viết lại tích phân
b
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx
/
a
và sử dụng trực tiếp cơng thức (2).
a
1
Ví dụ 1. Tính tích phân I
xe dx .
x
0
du dx
u x
Đặt
dv e x dx
v ex
Giải
1
1
xe dx xe
x
0
8
x 1
0
e x dx (x 1)e x
0
1
0
1.
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
e
x ln xdx .
Ví dụ 2. Tính tích phân I
1
Giải
du dx
u ln x
x
Đặt
dv xdx
x2
v
2
e
1
e
e
x2
1
e2 1
x ln xdx
ln x xdx
.
2
2 1
4
1
2
e
Ví dụ 3. Tính tích phân I
x
sin xdx .
0
u sin x
du cos xdx
Đặt
x
dv e dx
v ex
Giải
2
I
2
0
e x sin xdx ex sin x
0
2
0
du sin xdx
u cos x
Đặt
dv e x dx
v ex
2
J
e
x
e x cos xdx e 2 J .
cos xdx ex cos x
2
0
2
0
e
x
sin xdx 1 I
0
2
e2 1
.
I e (1 I) I
2
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
2
4
Ví dụ 7. Tính tích phân I
cos
xdx .
0
Hướng dẫn:
2
Đặt t
x I 2 t cos tdt 2 .
0
e
Ví dụ 8. Tính tích phân I
sin(ln x)dx .
ĐS: I
1
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
Phương pháp giải tốn:
1. Dạng 1:
9
(sin1 cos1)e 1
.
2
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
b
Giả sử cần tính tích phân I
f(x) dx , ta thực hiện các bước sau
a
Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
b
Bước 2. Tính I
x1
0
a
x
f(x)
x2
0
b
x1
f(x) dx
a
x2
f(x)dx f(x)dx
a
b
x1
f(x)dx .
x2
2
Ví dụ 9. Tính tích phân I
x 2 3x 2 dx .
3
Giải
Bảng xét dấu
x
x 3x 2
2
1
I
x
3
1
0
2
2
3
3x 2 dx x 2 3x 2 dx
1
2
0
59
.
2
Vậy I
59
.
2
2
Ví dụ 10. Tính tích phân I
5 4 cos2 x 4 sin xdx . ĐS: I 2 3 2
0
.
6
2. Dạng 2
b
Giả sử cần tính tích phân I
f(x)
g(x) dx , ta thực hiện
a
Cách 1.
b
Tách I
b
f(x)
g(x) dx
a
b
f(x) dx
a
g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
a
Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2
Ví dụ 11. Tính tích phân I
x
x 1 dx .
1
Giải
2
Cách 1.
I
2
x
x 1 dx
1
0
xdx
1
1
2
1
2
x dx x 1 dx
1
2
xdx (x 1)dx (x 1)dx
0
1
10
1
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
0
x2
2
1
2
x2
2
1
2
x2
x2
x x 0 .
2
2
1
1
0
Cách 2.
Bảng xét dấu
x
x
x–1
–1
0
0
–
–
0
I
+
+
2
x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
1
x
2
1
0
1
0
x x x
2
0
1
1
+
–
0
2
1
0.
1
Vậy I 0 .
3. Dạng 3
b
Để tính các tích phân I
b
max f(x),
g(x) dx và J
a
min f(x),
g(x) dx , ta thực
a
hiện các bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) f(x) và min f(x), g(x) g(x) .
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) g(x) và min f(x), g(x) f(x) .
4
Ví dụ 12. Tính tích phân I
max x
2
1, 4x 2 dx .
0
Giải
Đặt h(x) x2 1 4x 2 x 2 4x 3 .
Bảng xét dấu
x
h(x)
0
1
0
+
1
I
x
3
0
–
4
+
3
2
1 dx
0
4
4x 2 dx x
1
2
1 dx
3
Vậy I
80
.
3
80
.
3
2
Ví dụ 13. Tính tích phân I
min 3 ,
x
4 x dx .
0
Giải
Đặt h(x) 3 4 x 3 x x 4 .
x
Bảng xét dấu
x
h(x)
1
I
0
2
3 dx
x
1
0
–
1
0
2
+
2
4 x dx
3x 1
x2
2
5
2
5
4x
.Vậy I
.
ln 3 0
2 1
ln 3 2
ln 3 2
11
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phương pháp giải tốn
1. Dạng 1
b
Để chứng minh
b
f(x)dx 0 (hoặc f(x)dx 0 ) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) 0
a
a
) với x a; b .
1
Ví dụ 14. Chứng minh
3
1 x 6 dx 0 .
0
Giải
1
Với x 0; 1 : x 1
6
3
1x 0
6
3
1 x 6 dx 0 .
0
2. Dạng 2
b
Để chứng minh
b
f(x)dx g(x)dx ta chứng minh f(x) g(x) với x a;
a
b .
a
2
Ví dụ 15. Chứng minh
2
dx
1 sin
0
10
x
dx
1 sin
11
0
x
.
Giải
Với x 0;
: 0 sin x 1 0 sin11 x sin10 x
2
1
1
1 sin10 x 1 sin11 x 0
.
10
1 sin x 1 sin11 x
2
Vậy
2
dx
1 sin
10
0
x
dx
1 sin
11
0
x
.
3. Dạng 3
b
Để chứng minh A
f(x)dx B ta thực hiện các bước sau.
a
Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M .
b
Bước 2. Lấy tích phân A m(b a)
f(x)dx M(b a) B .
a
1
Ví dụ 16. Chứng minh 2
4 x 2 dx
5.
0
Giải
Với x 0; 1 : 4 4 x 2 5 2
4 x2
1
Vậy 2
4 x 2 dx
0
12
5.
5.
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
4
Ví dụ 17. Chứng minh
3
4
dx
3 2 sin
4
2
x
.
2
Giải
2
1
3
;
sin x 1 sin2 x 1
:
4 2
2
4
1
1
1 3 2 sin2 x 2
1
2 3 2 sin2 x
Với x
1 3
2 4
4
3
4
dx
3
1
. Vậy
2
4
4
4
3 2 sin x
4
3
12
Ví dụ 18. Chứng minh
3
4
3
4
dx
3 2 sin
4
2
x
.
2
cotx
1
dx .
x
3
Giải
Xét hàm số f(x)
cotx
ta có
, x ;
4 3
x
x
cotx
2
f / (x) sin x 2
0 x ;
4 3
x
3
cotx
4
f
f(x) f
x ;
x ;
4 3
3
4
4 3
x
3
3 4
3
4
cotx
4
3
dx . Vậy
x
3 4
12
3
4
cotx
1
dx .
x
3
4. Dạng 4 (tham khảo)
b
Để chứng minh A
f(x)dx B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
a
f(x) g(x) x a; b
b
b
Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho
f(x)dx B .
g(x)dx B
a
a
h(x) f(x) x a; b
b
b
Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho
A f(x)dx .
h(x)dx A
a
a
13
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
Ví dụ 19. Chứng minh
2
2
2
2
dx
.
4
1 x 2007
0
Giải
Với x 0;
2
1
: 0 x 2007 x 2
2
2
1
1
1 x 2 1 x 2007 1 1
2
1 x 2007
2
2
2
2
2
2
dx
.
1 x2
0
0
0
2
Đặt x sin t dx cos tdt .ĐC: x 0 t 0, x
t
2
4
2
2
0
dx
1 x2
4
0
Ví dụ 20. Chứng minh
dx
1 x 2007
1
1 x2
dx
2
2
cos tdt
2
. Vậy
cos t
4
2
3 1
4
1
0
dx
.
2007
4
1x
0
xdx
x 2 1
2
2 1
.
2
Giải
Với x 0; 1 :
2 1 x2 2 1 3 1
x
x
x
3 1
2 1
x2 2 1
1
0
Vậy
xdx
3 1
3 1
4
1
xdx
2
x 2 1
0
1
xdx
x 2 1
2
0
1
0
xdx
.
2 1
2 1
.
2
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
b
y f(x), x a, x b và trục hoành là S
f(x) dx .
a
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
b
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) dx .
a
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e và Ox.
Giải
14
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
Do ln x 0 x 1; e nên
e
S
e
ln x dx
1
ln xdx x ln x 1
e
1
1 . Vậy S 1 (đvdt).
1
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4x 3, x 0, x 3 và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x 0
y
1
1
0
–
3
0
+
3
S x 4x 3 dx
2
0
x
2
4x 3 dx
1
1
3
x3
x3
8
8
2x2 3x 2x2 3x . Vậy S (đvdt).
3
3
0
1
3
3
2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
b
y f(x), y g(x), x a, x b là S
f(x) g(x) dx .
a
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b].
b
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx .
a
2.2. Trường hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x) là S
f(x) g(x) dx . Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn
nhất của phương trình f(x) g(x) a b .
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình f(x) g(x) .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn ; .
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
f(x) g(x) dx .
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 3 11x 6, y 6x2 ,
x 0, x 2 .
Giải
Đặt h(x) (x 11x 6) 6x2 x 3 6x2 11x 6
h(x) 0 x 1 x 2 x 3 (loại).
3
Bảng xét dấu:
15
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
x 0
h(x)
–
1
0
2
0
+
1
2
S x 6x 11x 6 dx
3
2
0
1
x
3
6x 2 11x 6 dx
1
2
x
x
11x
11x2
5
5
2x 3
6x 2x3
6x . Vậy S (đvdt).
4
4
2
0
2
1
2
2
4
2
4
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 3 11x 6, y 6x2 .
Giải
Đặt h(x) (x 11x 6) 6x2 x 3 6x2 11x 6
h(x) 0 x 1 x 2 x 3 .
3
Bảng xét dấu
x
h(x)
1
0
+
2
0
2
S
3
0
–
3
x
3
1
6x 11x 6 dx x 3 6x 2 11x 6 dx
2
2
3
2
x
11x
3
x 2x 3 11x 6x 1 . Vậy S 1 (đvdt).
2x
6x
4
1 4
2
2
2
2
2
Chú ý:Nếu trong đoạn ; phương trình f(x) g(x) khơng cịn nghiệm nào nữa thì ta có thể
4
2
2
4
dùng cơng thức
f(x) g(x) dx
f(x) g(x) dx
.
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x 3 , y 4x .
Giải
Ta có x 3 4x x 2 x 0 x 2
0
S
x
2
3
4x dx
2
0
0
Vậy S 8 (đvdt).
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4 x 3 và trục hoành.
Giải
Ta có x 4 x 3 0 t2 4t 3 0, t x 0
2
t 1
x 1
x 1
t3
x 3
x 3
3
S
3
2
3
x 4 x 3 dx 2 x 2 4x 3 dx
2
0
1
x
3
2
2
x4
x4
x 4x dx 2x 2
2x 2 8 .
4
4
2
0
3
4x 3 dx
0
x
1
16
2
4x 3 dx
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
2
1
3
x3
x3
2x 2 3x 2x 2 3x
3
3
0
1
16
16
. Vậy S
(đvdt).
3
3
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4x 3 và y x 3 .
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
x2 4x 3 x 3
x 3 0
2
x 4x 3 x 3
2
x 4x 3 x 3
x 0
x 5 .
Bảng xét dấu
x
0
x 4x 3
2
1
S
x
5x
3
2
2
3
0
–
5
+
3
x
2
5x dx
0
3
1
0
+
5
x
3x 6 dx
2
1
1
2
2
5x dx
3
3
x 3x 6x x 5x
0 3
1 3
2
2
3
x
3
2
5
109 . Vậy S 109 (đvdt).
3
6
6
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 1 , y x 5 .
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
x2 1 x 5 t2 1 t 5, t x 0
t x 0
t x 0
2
t 1 t 5
x 3
t 3
2
t 1 t 5
3
S
3
3
x 1 x 5 dx 2 x 2 1 x 5 dx
2
0
Bảng xét dấu
X
0
x 1
2
–
1
0
3
+
1
S2
x
3
2
x 4 dx
0
1
x
2
x 6 dx
1
3
x 3
x3
x2
x2
73
.
2
4x
6x
3
3
0
1
2
2
3
Vậy S
73
(đvdt).
3
Chú ý:
Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì khơng có).
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY:
1. Trường hợp 1.
17
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x) 0 x a; b ,
b
y 0 , x a và x b (a b) quay quanh trục Ox là V f 2 (x)dx .
a
Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình trịn (C) : x y R quay quanh Ox.
2
2
2
Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x 2 R 2 x R .
Phương trình (C) : x2 y2 R 2 y2 R 2 x2
R
R
V R x dx 2 R 2 x 2 dx
2
2
R
0
R
x
4R
2 R2 x
.
3 0
3
3
3
Vậy V
4 R 3
(đvtt).
3
2. Trường hợp 2.
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y) 0 y c; d ,
d
x 0 , y c và y d (c d) quay quanh trục Oy là V g2 (y)dy .
c
2
Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (E) :
2
x
y
2 1 quay quanh Oy.
2
a
b
Giải
y2
1 y b .
b2
x2
y2
a 2 y2
Phương trình (E) : 2 2 1 x2 a 2 2
a
b
b
b
2 2
2 2
2 ay
a 2 dy 2 a 2 a y dy
2
b
b
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là
b
V
b
0
a y
2 a 2 y
3b2
2
3
R
4a b .
0
3
2
Vậy V
4 a 2 b
(đvtt).
3
3. Trường hợp 3.
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x) , x a và
x b (a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b ) quay quanh trục Ox là
b
V f 2 (x) g2 (x) dx .
a
Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 , y2 x quay
quanh Ox.
Giải
x 0
x 0
.
x 1
x4 x
Hoành độ giao điểm
18
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
1
1
V x x dx
4
0
1 x
5
5
1 2
x
2
1
3
.
10
0
Vậy V
x
4
x dx
0
3
(đvtt).
10
4. Trường hợp 4.
Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x g(y) , y c và
y d (c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d ) quay quanh trục Oy là
d
V f 2 (y) g2 (y) dy .
c
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x y2 5 ,
x 3 y quay quanh Oy.
Giải
y 1
y 2 .
Tung độ giao điểm y2 5 3 y
2
2
V y2 5 3 y 2 dy
2
1
y
4
11y 2 6y 16 dy
1
2
y 5 11y3
153
3y2 16y
.
5
1
3
5
Vậy V
153
(đvtt).
5
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
Dấu hiệu
Cách chọn
;
2 2
hoặc x = |a| cost; với t 0;
Đặt x = |a| sint; với t
a2 x2
x2 a2
a 2 x2
ax
hoặc
ax
a
; \ 0
sint
2 2
a
hoặc x =
; với t 0; \
cost
2
Đặt x = |a|tant; với t ;
2 2
hoặc x = |a|cost; với t 0;
Đặt x =
ax
ax
; với t
Đặt x = acos2t
19
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
x a b x
Đặt x = a + (b – a)sin2t
;
2 2
1
a x2
Đặt x = atant; với t
2
1
Bài 1: Tính I
1 x2
dx
x2
2
2
Giải:
; . dx = - sint d.
2 2
Đặt x = cost, t
Đổi cận:
x
2
2
4
t
1
0
0
1
I
Khi đó:
2
2
4
1 x2
1 cos2t .sint
dt =
dx =
x2
cos 2t
4
0
sin t .sin t
cos 2t
4
dt =
sin 2 t
cos 2t dt =
0
4
= tan t t 4 = 1 . (vì t 0; nên sint 0 sin t sin t )
4
4
0
1
cos 2t 1dt
0
a
Bài 2: Tính I x 2 a 2 x 2 dx
0
Giải:
; . dx = acostdt
2 2
Đặt x = asint, t
Đổi cận:
X
0
0
T
A
2
2
a
Khi đó: I x 2 a 2 x 2 dx =
0
0
4 2
a
4
sin
0
a
2
2
sin 2 t a 2 1 sin 2 t .acostdt = a 4 sin 2 tcos 2tdt =
0
4 2
2
2tdt
a
=
8
a4 1
a4
1 cos 4t dt = t sin 4t 2 =
8 4
16
0
0
1
Bài 3: Tính I x 2 1 x 2 dx
0
Giải:
20
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
; . dx = costdt.
2 2
Đặt x = sint, t
Đổi cận:
x
0
0
t
1
2
2
1
Khi đó: I x 2 1 x 2 dx =
2
sin
2
t 1 sin 2 t .costdt =
0
0
2
2
1
1
2
2
2
sin tcos tdt = 4 sin 2tdt =
40
0
1 1
1
= 1 cos 4t dt = t sin 4t 2 =
8 4
80
0 16
1
Bài 4: Tính I x 3 1 x 2 dx
0
Giải:
2
Đặt t = 1 x t2 = 1 – x2 xdx = -tdt
Đổi cận:
x
0
1
t
1
0
1
1
1
Khi đó: I x 3 1 x 2 dx = I x 2 1 x 2 xdx =
0
3
0
t t 1 2
= .
3 5 0 15
Bài 5: Tính I
dx
x ln
5
e
Giải:
x
Đặt t = lnx dt =
Đổi cận:
x
t
e2
Khi đó: I
dx
x
e2
2
e
1
e
dx
=
x ln 5 x
1
2
dt
t
1
5
1 2 15
.
4
4t 1 64
=
4
Bài 6: Tính I x 3 x 4 1 dx
0
Giải:
Đặt t = x4 + 1 dt = 4x3dx x 3 dx
Đổi cận:
x
t
0
1
t
0
5
e2
1
2
1 t .t.tdt =
dt
4
1
2
21
0
2
t 4 dt =
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
1
2
1
1 5 2 31
Khi đó: I x x 1 dx = t 4 dt
t .
41
20 1 20
0
3
4
4
2
Bài 7: Tính I sin 5 xcoxdx
0
Giải:
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
Đổi cận:
0
t
2
0
x
1
2
1
Khi đó: I sin 5 xcoxdx t 5 dt
0
0
1
.
6
12
Bài 8: Tính I
tan
4
xdx
0
Giải:
12
Ta có:
12
sin 4 x
tan 4 xdx cos4 x dx
0
0
Đặt t = cos4x ; dt 4s in 4 xdx sin 4 xdx
dt
4
Đổi cận:
x
t
12
1
2
0
1
12
12
1
2
1
1
sin 4 x
1 dt 1 dt 1
1
Khi đó: I tan 4 xdx
dx ln t 1 ln 2.
cos 4 x
41 t 41 t 4
4
0
0
2
2
2
Bài 9: Tính I cos 5 xdx
0
Giải:
2
2
0
Ta có:
2
0
0
2
5
4
2
cos xdx cos xcoxdx 1 sin x coxdx
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
Đổi cận:
x
0
t
0
2
1
22
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
Khi đó:
2
2
0
2
0
2
I cos 5 xdx 1 sin 2 x coxdx 1 t
0
4
Bài 10: Tính I
2 2
1
cos
4
0
x
2
2t 3 t 5 1 5
dt 1 2t 2 t 4 dt t
.
3
5 0 18
0
dx Giải: Đặt t = tanx ; dt
1
dx
cos 2 x
Đổi cận:
x
0
t
0
4
Khi đó: I
4
1
4
1
t3 1 4
1
1
dx 1 tan 2 x
dx 1 t 2 dt t .
cos 4 x
cos 2 x
30 3
0
0
0
2
Bài 11: Tính I
cos3 x
2 dx Giải:
s in x
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
6
Đổi cận:
6
1
2
x
t
2
1
Khi đó:
2
2
1
1
1
cos x
(1 s in 2 x )
1 t 2
1
1
1
I
dx
cosxdx 2 dt 2 1 dt t 1 .
2
2
s in x
2
t
s in x
1 t
1t
2
6
6
2
2
3
2
Bài 12: Tính I sin 3 xcos 3 xdx
0
Giải:
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
Đổi cận:
x
0
2
t
0
1
Khi đó:
2
2
1
1
t4 t6 1 1
I sin 3 xcos 3 xdx sin 3 x 1 sin 2 x cosxdx t 3 1 t 2 dt t 3 t 5 dt .
4 6 0 12
0
0
0
0
23
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
2
2
Bài 13: Tính I esin x sin 2 xdx
0
Giải:
Đặt t = sin2x ; dt s in2 xdx
Đổi cận:
0
t
2
2
0
x
1
1
2
Khi đó: I esin x sin 2 xdx et dt et
0
2
Bài 14: Tính I
0
sin 2 x
1 cos
0
2
x
1
e 1.
0
dx
Giải:
Đặt t = 1 + cos2x ; dt s in2 xdx s in2 xdx dt
Đổi cận:
0
t
2
2
x
1
2
Khi đó: I
1
2
2
sin 2 x
dt
dt
dx ln t ln 2.
2
1 cos x
1
0
2 t
1 t
4
Bài 15: Tính I tan 3 xdx
0
Giải:
Đặt t = tanx ; dt 1 tan 2 x dx 1 t 2 dt dx
dt
t 1
2
Đổi cận:
x
0
4
t
0
1
Khi đó:
4
2
1
1
1
1
t3
t
1 2t
t 2 1 1 d t 1
I tan xdx 2
dt t 2 dt tdt 2
dt
t 1
t 1
2 0 t 1
2 0 2 t 2 1
0
0
0
0
0
1
3
1 1 1
1 1
1
ln t 2 1 ln 2 1 ln 2 .
0 2 2
2 2
2
1
Bài 16: Tính I
1
1
0
x
dx
24
THẦY NGUYỄN QUANG SƠN.ĐT 0909 230 970
Giải:
Đặt t = x ; t 2 x dx 2tdt
Đổi cận:
x
1
0
t
0
1
1
Khi đó: I
1
1
1
0
x
1
1
t
1
dt 2 1
dt 2 t ln 1 t 0 2 1 ln 2 .
1 t
0 1 t
0
dx 2
1
Bài 17: Tính I x 3 3 1 x 4 dx
0
Giải:
Đặt t =
3
3
1 x 4 t 3 1 x 4 x 3 dx t 2 dt
4
Đổi cận:
x
t
0
1
0
1
1
Khi đó: I x 3 3 1 x 4 dx
0
0
Bài 18: Tính I
x
2
1
1
3 3
3 41 3
t dt 16 t 0 16 .
40
1
dx
2x 4
Giải:
0
0
1
1
Ta có: 2
dx
2
x 2x 4
1
1 x 1
3
2
dx
; . dx 3 1 tan 2 t dt
2 2
Đặt x 1 3 tan t với t
Đổi cận:
x
-1
0
t
0
6
6
1
3
3
3
Khi đó: I 2
dx
dt 3 t 6 18 .
x 2x 4
3 0
1
0
0
1
Bài 19: Tính I
x3
1 x8 dx
0
Giải:
1
1
x3
x3
Ta có:
dx
dx
8
4 2
0 1 x
0 1 x
1
; . x 3 dx 1 tan 2 t dt
4
2 2
Đặt x 4 tan t với t
25
