Các bài toán tích phân (Bài tập và hướng dẫn giải)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (341.54 KB, 11 trang )
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 14 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hồng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BTVN NGÀY 14-04
Tính các tích phân sau:
Bài 1
π
2
0
4sin 3 x
dx
1 + cos x
I =∫
Bài 2:
I =∫
xdx
1
( x + 1)
0
3
Bài 3:
1
I = ∫ x x 2 + 1dx
0
Bài 4:
π
2
π
4
s inx − cos x
dx
1 + sin 2 x
I =∫
Bài 5:
I =∫
e x dx
ln 3
0
( e x + 1)
3
Bài 6:
π
2
0
I =∫
s inxdx
1 + 3cos x
Bài 7:
dx
0 1 + ex
I =∫
1
Bài 8:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 14 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
0
I = ∫ x 3 x + 1dx.
−1
Bài 9:
I =∫
ln 5
ln 2
e 2 x dx
e −1
x
.
Bài 10:
I = 2∫
2
1
6
1 − cos3 x .s inx.cos5 xdx
Bài 11:
1
x 2 dx
I = 2∫
0 ( x + 1) x + 1
Bài 12:
ln 2
I=
∫
e x − 1dx .
0
Bài 13:
π
x sin x
I =∫
dx
2
1 + cos x
0
Bài 14:
1
I = ∫ x ( 1− x
5
0
)
3 6
dx
Bài 15:
Page 2 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 14 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
π
2
I = ∫ esinx .sin 2 xdx
0
Bài 16:
e
I = ∫ x 2 ln xdx
1
Bài 17:
1
I=
( 7x − 1 ) 99
∫ ( 2x + 1)
101
dx
0
Bài 18:
π
2
∫
I = (x + 1)sin 2xdx
0
Bài 19:
2
I=
ln(x + 1)
dx
2
x
1
∫
Bài 20:
2
I=
∫
0
dx
dx
2
4+ x
………………….Hết…………………
BT Viên mơn Tốn hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 3 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 14 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
HDG CÁC BTVN
BTVN NGÀY 14-04
Tính các tích phân sau:
Bài 1
π
2
0
4sin 3 x
dx
1 + cos x
I =∫
HDG:
4sin 3 x 4sin 3 x(1 − cos x)
Ta co' :
=
= 4sin x − 4sin x cos x = 4sin x − 2sin 2 x
1 + cos x
sin 2 x
π
π
⇒ I = ∫ 2 ( 4sin x − 2sin 2 x ) dx = ( cos 2 x − 4 cos x ) 2 = 2
0
0
Bài 2:
I =∫
1
0
xdx
( x + 1)
3
HDG
Ta co' :
x
( x + 1)
1
3
=
⇒ I = ∫ ( x + 1)
0
x + 1 −1
( x + 1)
−2
3
= ( x + 1)
− ( x + 1)
−3
−2
− ( x + 1)
−3
( x + 1) −2
1
−1 1
dx =
− ( x + 1) =
2
0 8
Bài 3:
1
I = ∫ x x 2 + 1dx
0
HDG
Page 4 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 14 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Coi : t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇔ x 2 = t 2 − 1 ⇒ dx =
2
⇒I =∫
1
tdt
x
t 3 2 2 2 −1
t dx =
=
31
3
2
Bài 4:
π
2
π
4
I =∫
s inx − cos x
dx
1 + sin 2 x
HDG
Coi : t = 1 + sin 2 x ⇒ t 2 = 1 + sin 2 x ⇒ 2tdt = 2 cos 2 xdx
⇒ dx =
21
tdt
1
2
⇒ I = ∫ dt = ln t
= ln( 2) = ln 2
1 t
t ( cos x − s inx )
2
1
Bài 5:
I =∫
e x dx
ln 3
0
( e x + 1)
3
HDG
Coi : t = e x + 1 ⇔ t 2 = e x + 1 ⇔ 2tdt = e x dx ⇒ dx =
2tdt
ex
tdt
12
⇒ I = 2 ∫ 3 = −2.
= 2 −1
2 t
t 2
2
Bài 6:
π
2
0
I =∫
s inxdx
1 + 3cos x
HDG
Page 5 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 14 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Coi : t = 1 + 3cos x ⇒ dt = −3sin xdx ⇒ dx =
⇒I=
− dt
3sin x
ln t 1
1 41
dt =
= ln 4
∫1 t
3
3
3
Bài 7:
dx
0 1 + ex
I =∫
1
HDG
x
1
1 d ( 1+ e )
1
1
ex
Vì :
= 1−
⇒ I = ∫ dx − ∫
= 1 − ln 1 + e x
0
0
0
1 + ex
1 + ex
1+ ex
2e
= 1 − ln(1 + e) + ln 2 = ln
÷
e +1
Bài 8:
0
I = ∫ x 3 x + 1dx.
−1
HDG
Coi : t = 3 x + 1 ⇒ t 3 = x + 1 ⇒ dx = 3t 2 dt
t7 t4 1
9
I = ∫ 3(t − 1)dt = 3 − ÷ = −
0
28
7 40
1
3
Bài 9:
I =∫
ln 5
ln 2
e 2 x dx
e −1
x
.
HDG
Page 6 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 14 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
2tdt
ex
2
t 3 2 20
2
⇒ I = 2 ∫ ( t + 1) dt = 2 + t ÷ =
1
3 1 3
Coi : t = e x − 1 ⇔ t 2 = e x − 1 ⇒ dx =
Bài 10:
I = 2∫
2
1
6
1 − cos3 x .s inx.cos5 xdx
HDG
Coi : t = 6 1 − cos 3 x ⇔ t 6 = 1 − cos3 x ⇒ 6t 5 dt = 3cos 2 x sin xdx
1
t 7 t13 1 12
2t 5 dt
6
6
⇒ dx =
⇒ I = 2 ∫ t ( 1 − t ) dt = 2 − ÷ =
2
0
cos x sin x
7 13 0 91
Bài 11:
1
x 2 dx
I = 2∫
0 ( x + 1) x + 1
HDG
Coi : t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx
2
⇒I=
∫
1
(t
2
− 1)
t3
2
2
t3
1 2 16 − 11 2
1
.2tdt = 2 ∫ t − ÷ dt = 2 − 2t − ÷
=
t
t 1
3
3
1
2
Bài 12:
ln 2
I=
∫
e x − 1dx .
0
HDG
Page 7 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 14 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Coi : t = e x − 1 ⇒ t 2 = e x − 1 ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx =
2td
2td
= 2
ex
t +1
2t 2
1
4 −π
⇒ I = ∫ 2 dt = 2∫ 1 − 2 ÷ =
dt
t +1
t +1
2
0
0
1
1
Bài 13:
π
x sin x
dx
2
1 + cos x
0
I =∫
HDG
π
Coi : x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫
0
π
( π − t ) sin t dt = π π
1 + cos 2t
sin t
∫ 1 + cos 2t dt − I
0
π
sin t
d (cos t )
π2
π π
⇒ 2I = π ∫
dt = −π ∫
= π + ÷⇒ I =
1 + cos 2t
1 + cos 2t
8
4 4
0
0
Bài 14:
1
I = ∫ x ( 1− x
5
0
)
3 6
dx
HDG
− dt
3x 2
1
1
1 6
1 6 7
1 t 7 t8
1
I = ∫ t ( 1 − t ) dt = ∫ ( t − t ) dt = − ÷ =
30
30
3 7 8 168
Coi : t = 1 − x 3 ⇒ dt = −3x 2 dx ⇒ dx =
Bài 15:
Page 8 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 14 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
π
2
I = ∫ esinx .sin 2 xdx
0
HDG
π
2
Ta có : I = 2 ∫ esinx .sin x cos xdx
0
u = sinx
u = cos xdx
Coi :
⇒
⇒ I = 2sin xesinx
sinx
sinx
dv = e .cos x dv = e
= 2e − 2esin x
π
π 2
sinx
2 − ∫ e .cos xdx
0 0
π
2 = 2e − 2e + 2 = 2
0
Bài 16:
e
I = ∫ x 2 ln xdx
1
HDG
dx
u=
e
u = ln x
x 3 ln x e 1 2
2e 3 + 1
x
Coi :
⇒
⇒I=
−
x dx =
3 1 3∫
9
dv = x 2 dx
x3
1
v=
3
Bài 17:
1
I=
( 7x − 1 ) 99
∫ ( 2x + 1)
101
dx
0
HDG
Page 9 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 14 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
99
1
99
1
dx
1 7x − 1 7x − 1
7x − 1
Ta có : I =
=
÷
÷ d
÷
2x + 1 ( 2x + 1) 2 9 0 2x + 1 2x + 1
0
∫
100
1 1 7x 1
= ì
ữ
9 100 2x + 1
1
0
∫
=
1
2100 − 1
900
Bài 18:
π
2
∫
I = (x + 1)sin 2xdx
0
HDG
π
π
du = dx
2
u = x + 1
cos2x
1
π
Coi :
⇒
⇒−
( x + 1) 2 + cos2xdx = + 1
cos2x
2
20
4
dv = sin 2xdx v = −
0
2
∫
Bài 19:
2
I=
ln(x + 1)
dx
2
x
1
∫
HDG
dx
u = ln(x + 1)
du = x + 1
2 2 dx
1
3
Coi :
⇔
⇒ I = − ln(x + 1) +
= 3ln 2 − ln 3
dx
x
2
1
1 1 (x + 1)x
dv = 2
v=−
x
x
∫
Bài 20:
2
I=
∫
0
dx
dx
4 + x2
HDG
Page 10 of 11
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
Hà Nội, ngày 14 tháng 04 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
2
1
x2 π
Coi : x = 2 tan t ⇒ dx =
⇒ I = arctan ÷ =
2
2
cos t
20 8
Page 11 of 11
