Kien thuc co ban va nang cao

Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
PHẦN A
ĐẠI SỐ
_____________________________________________________________________
Chương I
CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
1/ Hằng đẳng thức đáng nhớ
1.1)
( )
2
2 2
2A B A AB B
+ = + +
1.2)
( )
2
2 2
2A B A AB B
− = − +
1.3)
( ) ( )
2 2
A B A B A B
− = + −

1.4)
( ) ( )
3
3 2 2 3 3 3
3 3 3A B A A B AB B A B AB A B
+ = + + + = + + +

1.5)
( ) ( )
3
3 2 2 3 3 3
3 3 3A B A A B AB B A B AB A B
− = − + − = − − −
1.6)
( )
( )
3 3 2 2
A B A B A AB B+ = + − +
1.7)
( )
( )
3 3 2 2
A B A B A AB B
− = − + +
Ngoài ra: .
( )
2
2 2 2
2 2 2A B C A B C AB BC CA+ + = + + + + +
.
( )
2
2 2 2
2 2 2A B C A B C AB BC CA
− − = + + − − −
2/ Một số hằng đẳng thức tổng quát
5.1)

( )
( )
1 2 2 1

n n n n n n
A B A B A A B AB B
− − − −
− = − + + + +
5.2) Khai triển của dạng
( )
n
A B
+
(gọi là Nhị thức Newton)
Các hệ số của khai triển được sắp xếp theo bảng sau (gọi là tam giác Paxcan)
n = 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
……………………………………………………………………………….
Chẳng hạn, với n = 4 thì
( )
4
4 3 2 2 3 4
4 6 4A B A A B A B AB B+ = + + + +
với n = 5 thì
( )
5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 10 10 5A B A A B A B A B AB B

+ = + + + + +

( )
5
5 4 3 2 2 3 4 5
5 10 10 5A B A A B A B A B AB B− = − + − + −
3/ Căn thức bậc hai
Cho A là một biểu thức đại số. Ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A.
. Biểu thức
A
có nghĩa (hay xác định) khi và chỉ khi
0A
≥
.
1
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
. Biểu thức
1
A
có nghĩa (hay xác định) khi và chỉ khi
0A
≠
.
. Biểu thức
1
A
có nghĩa (hay xác định) khi và chỉ khi
0A

>
.
. Biểu thức
3
A
có nghĩa (hay xác định) với mọi A.
4/ Các công thức biến đổi căn thức
3.1)
2
, 0
, 0
A A
A A
A A
≥

= =

− <

(Hằng đẳng thức)
3.2)
AB A B=
, với
0A
≥
và
0B
≥
3.3)

A A
B
B
=
, với
0A
≥
và
0B
>
3.4)
2
A B A B=
, với
0B
≥
3.5) .
2
A B A B=
, với
0A
≥
và
0B
≥
.
2
A B A B= −
, với
0A

<
và
0B
≥
3.6)
1A
AB
B B
=
, với
0AB
≥
và
0B
≠
3.7)
A A B
B
B
=
, với
0B
>
3.8)
( )
2
C A B
C
A B
A B

=
−
±
m
, với
0A
≥
và
2
A B≠
3.9)
( )
C A B
C
A B
A B
=
−
±
m
, với
0A
≥
;
0B
≥
và
A B≠
3.10)
3

3
A A=
, với mọi A.
5/ Lưu ý: Một số công thức biến đổi thường dùng
4.1)
( )
2
2
.a a a a a= = =
, với
0a
≥
4.2)
1
;
a a
a
a
a a
= =
, với
0a
>
4.3)
( )
2
2 . ( , 0)a b a b a b a b
± = + ± ≥
4.4)
( ) ( )

( )
, 0a b a b a b a b− = − + ≥
4.5) Với
, 0a b ≥
thì:
.
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
a a b b a b a b a ab b
± = ± = ± +
m
2
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
.
( ) ( ) ( )
3
3
1 1 1 1a a a a a a
± = ± = ± +
m
6/ Các công thức tổng quát biến đổi căn thức
6.1)
( )
n
n
A A=
, với
0A
≥
.

6.2)
2
2
n
n
A A=
;
2 1
2 1
n
n
A A
+
+
=
, với mọi A.
7/ Bất đẳng thức chứa căn thức
7.1) Với hai biểu thức
, 0A B ≥
, ta có:
A B A B+ ≤ +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0
0
A
B
=


=


.
7.2) Với hai biểu thức
0A B
≥ ≥
, ta có:
A B A B− ≥ −
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0
A B
B
=


=

.
___________________________
3
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
Chương II
HÀM SỐ BẬC NHẤT
1/ Cho hàm số dạng:
y ax b= +
. là hàm số bậc nhất khi
0a ≠
.
. là hàm số đồng biến trên R khi
0a
>

.
. là hàm số nghịch biến trên R khi
0a <
.
2/ Đồ thị hàm số bậc nhất
y ax b= +
là một đường thẳng
( )
d
.
Trong đó:
. a là hệ số góc.
. b là tung độ gốc.
.
( )
d
cắt trục hoành Ox tại điểm
P ;0
b
a
−
 
 ÷
 
và cắt trục tung Oy tại điểm
( )
Q 0;b
.
.
( )

d
song song với đường thẳng
( )
'd
:
y ax=
nếu
0b ≠
; trùng với
( )
'd
nếu
0b =
(trong đó:
( )
'd
là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O).
3/ Cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất
y ax b= +
Bước 1: Lập bảng giá trị:
x 0
b
a
−
hoặc
x * *
y ax b= +
b 0
y ax b= +
? ?

Bước 2: Vẽ đường thẳng (một trong hai dạng sau)
a > 0 a < 0
4/ Điểm
( )
0 0
A ;x y
∈
( )
d

⇔
tọa độ của điểm A thỏa mãn công thức của hàm số
y ax b= +
, nghĩa là :
0 0
y ax b= +
.
5/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng
( ) ( )
: 0d y ax b a= + ≠
và
( ) ( )
' : ' ' ' 0d y a x b a= + ≠

( )
d
cắt
( )
'd

⇔

'a a≠
4
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9

( )
d
//
( )
'd
⇔

'a a
=
và
'b b
≠

( )
d
trùng
( )
'd
⇔

'a a
=
và
'b b

=

( )
d
⊥
( )
'd
⇔

. ' 1a a
= −
6/ Hệ số góc a và góc
α
tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox.
a > 0 a < 0
. Nếu
0a >
thì
α
là góc nhọn (
0 0
0 90
α
< <
) và
tan a
α
=
.
. Nếu

0a <
thì
α
là góc tù (
0 0
90 180
α
< <
) và
( )
0
tan 180 a
α
− =
. Lưu ý: Cho hai đường thẳng (d):
y ax b= +
và (d’):
' 'y a x b= +
.
Khi đó :
' 'a a
α α
> ⇔ >
, với
; '
α α
lần lượt là góc tạo bởi
đường thẳng (d); (d’) và trục Ox.
________________________
Chương III

5
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
ax by c+ =
. Phương trình này có vô số
nghiệm, tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng
ax by c+ =
.
2/ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
( ) ( )
I , , , ', ', ' 0
' ' '
ax by c
a b c a b c
a x b y c
+ =

≠

+ =

Nếu cặp số
( )
0 0
;x y
là nghiệm của hệ (I) thì
0 0
0 0
' ' '

ax by c
a x b y c
+ =


+ =

Giả sử rằng phương trình đường thẳng (d):
ax by c+ =
và (d’):
' ' 'a x b y c+ =

( )
d
cắt
( )
'd

⇔

( )
I
có nghiệm duy nhất
⇔

' '
a b
a b
≠


( )
d
//
( )
'd

⇔

( )
I
vô nghiệm
⇔

' ' '
a b c
a b c
= ≠

( )
d
trùng
( )
'd
⇔

( )
I
vô số nghiệm
⇔
' ' '

a b c
a b c
= =
3/ Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
. Ví dụ. Giải hệ phương trình:
2 3
2 4
x y
x y
− =


+ =

(I)
. Phương pháp thế
( )
2 3
2 3 2 3
(I)
2 2 3 4
2 4 2 4
y x
x y y x
x x
x y x y
= −

− = = −
 


⇔ ⇔ ⇔
  
+ − =
+ = + =

 


2 3 2 3 2 2
4 6 4 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= − = − = =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ − = = = − =
   
Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
( ) ( )
; 2;1x y =
. Phương pháp cộng đại số
2 3 2 3 2 3
(I)
2 4 2 4 8 5 5
x y x y x y
x y x y y
− = − = − =
  

⇔ ⇔ ⇔
  
+ = + = =
  

2 1 3 2 4 2
1 1 1
x x x
y y y
− = = =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
= = =
  
Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
( ) ( )
; 2;1x y =
. Phương pháp dùng đồ thị (Vẽ các đường thẳng trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy,
rồi dựa vào đồ thị để tìm nghiệm chung, nếu có)
4/ Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
 Lập hệ phương trình:
. Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
6
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
. Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
 Giải hệ phương trình.
 Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm của hệ phương trình có thỏa mãn điều kiện
của ẩn không, rồi kết luận.

______________________
Chương IV
7
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
HÀM SỐ Y = AX
2
(A
≠
0).
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1/ Cho hàm số dạng:
2
y ax=

( )
0a ≠
. là hàm số bậc hai khi
0a ≠
.
. Nếu
0a
>
thì hàm số đồng biến khi
0x
>
, nghịch biến khi
0x
<
.
. Nếu

0a <
thì hàm số đồng biến khi
0x <
, nghịch biến khi
0x >
.
2/ Đồ thị hàm số
2
y ax=

( )
0a ≠
là một đường cong Parabol
. Có đỉnh là gốc tọa độ O.
. Nhận trục Oy làm trục đối xứng.
. Có một trong hai dạng sau:
0a
>
0a
<
3/ Các bước vẽ Parabol:
Bước 1: Lập bảng giá trị:
x -2 -1 0 1 2
hoặc
* * 0 * *
2
y ax=
4
a
a 0 a

4
a
? ? 0 ? ?
Bước 2: Vẽ Parabol (một trong hai dạng nêu trên)
4/ Phương trình bậc hai một ẩn có dạng:
2
0ax bx c+ + =
(1)
Trong đó : x là ẩn số; a, b, c là các hệ số và
0a
≠
.
5/ Công thức nghiệm:
Biệt thức
2
4b ac∆ = −
.
.
0
∆ >
: (1) có hai nghiệm phân biệt :
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
.

0
∆ =
: (1) có nghiệm kép :
1 2
2
b
x x
a
−
= =
.
.
0∆ <
: (1) vô nghiệm.
6/ Công thức nghiệm thu gọn:
Biệt thức
2
' 'b ac∆ = −
, với
' : 2b b=
(Trong trường hợp này b thường là chẵn)
8
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
.
' 0
∆ >
: (1) có hai nghiệm phân biệt :
1 2
' ' ' '
;

b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
.
' 0
∆ =
: (1) có nghiệm kép :
1 2
'b
x x
a
−
= =
.
.
' 0∆ <
: (1) vô nghiệm.
7/ Các bước giải phương trình bậc hai
. Bước 1: Xác định các hệ số: a, b và c (hoặc a;
'b
và c).
. Bước 2: Tính biệt thức
2
4b ac∆ = −
(hoặc
2
' 'b ac∆ = −
).

. Bước 3: Xét dấu của
∆
(hoặc
'∆
).
. Bước 4: Kết luận.
8/ Hệ thức Vi-ét
. Nếu
1 2
;x x
là hai nghiệm của phương trình thì :
1 2
1 2
S
P
b
x x
a
c
x x
a
−

= + =




= =



. Ngược lại, nếu
1 2
1 2
S
P
x x
x x
+ =


=

thì
1 2
;x x
là hai nghiệm của phương trình
2
S P 0x x− + =
.
9/ Lưu ý :
. Nếu
0ac <
(hay a, c trái dấu) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
và trái dấu.
. Nếu phương trình (1) có :
0a b c
+ + =
thì phương trình (1) có hai nghiệm là
1 2

1;
c
x x
a
= =
.
. Nếu phương trình (1) có :
0a b c− + =
thì phương trình (1) có hai nghiệm là
1 2
1;
c
x x
a
−
= − =
.
. Nếu phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
;x x
thì ta phân tích vế trái của (1)
thành nhân tử :
( ) ( )
2
1 2
ax bx c x x x x+ + = − −a
(BT33/54 – SGK TOÁN 9 - TẬP II).
10/ Phương trình quy về phương trình bậc hai
a) Phương trình trùng phương :
4 2

0ax bx c+ + =
(*)
Cách giải:
. Đặt
2
t , t 0x= ≥
. Khi đó (*) trở thành :
2
t t 0a b c+ + =
(**)
. Giải phương trình (**) để tìm t (chỉ nhận t thỏa
t 0
≥
)
. Thay các giá trị của t vào
2
t x=
và tìm x.
. Kết luận.
b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
9
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
Cách giải:
. Tìm ĐKXĐ của pương trình.
. Quy đồng và khử mẫu hai vế phương trình.
. Giải phương trình thu được.
. So sánh với ĐKXĐ và kết luận nghiệm.
c) Phương trình tích dạng :
( ) ( ) ( )
. . 0A x B x C x =

Cách giải:
. Ta giải mỗi phương trình :
( )
0A x =
hoặc
( )
0B x =
hoặc
( )
0C x =
hoặc …
. Nghiệm của phương trình tích đã cho là tất cả các nghiệm thu được.
11/ Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
 Lập phương trình:
. Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
. Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
. Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
 Giải phương trình.
 Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa
mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.
______________________
PHẦN B
10
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
HÌNH HỌC
_____________________________________________________________________
Chương I
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1/ Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Cho

ABC∆
vuông tại A (hình bên). Ta có:
1.1)
2 2 2
a b c= +
(Định lí Pytago)
1.2)
2
. 'b a b=
;
2
. 'c a c=
1.3)
2
'. 'h b c=
1.4)
. .a h b c
=
1.5)
2 2 2
1 1 1
h b c
= +
2/ Tỉ số lượng giác của góc nhọn
2.1) Định nghĩa các tỉ số lượng giác
2.2) Một số tính chất cơ bản của tỉ số lượng giác
a/ Giả sử hai góc
;
α β
là hai góc nhọn phụ nhau (nghĩa là

0
90
α β
+ =
). Ta có:
.
sin cos
α β
=
; .
sin cos
β α
=
;
.
tan cot
α β
=
; .
tan cot
β α
=
b/ Với góc nhọn
α
bất kỳ. Ta có:
.
0 sin 1
α
< <
;

.
0 cos 1
α
< <
;
.
2 2
sin cos 1
α α
+ =
;
.
tan .cot 1
α α
=
;
.
sin
tan
cos
α
α
α
=
;
.
cos
cot
sin
α

α
α
=
11
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
2.3) Bảng lượng giác của các góc đặc biệt
α
Tỉ số lượng giác
0
30
0
45
0
60
sin
α
1
2
2
2
3
2
cos
α
3
2
2
2
1
2

tan
α
3
3
1
3
cot
α
3
1
3
3
3/ Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
3.1) Các hệ thức:
Cho
ABC∆
vuông tại A (hình bên).
Ta có:
. b = a.sinB = a.cosC
. c = a.sinC = a.cosB
. b = c.tanB = c.cotC
. c = b.tanC = b.cotB
3.2) Giải tam giác vuông, nghĩa là tìm tất cả các số đo về góc và cạnh của tam giác
vuông đó.
Một số dạng toán Giải tam giác vuông thường gặp:
. biết cạnh góc vuông + góc nhọn.
. biết hai cạnh góc vuông.
. biết cạnh góc vuông + cạnh huyền.
. biết cạnh huyền + góc nhọn.
_________________________

Chương II
ĐƯỜNG TRÒN
12
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
1/ Các khái niệm cơ bản liên quan đến đường tròn
1.1) Đường tròn tâm O, bán kính R (R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O một
khoảng bằng R. Kí hiệu (O; R).
1.2) Vị trí điểm M đối với đường tròn (O; R):
. M thuộc đường tròn (O; R)
⇔
OM = R
. M nằm ngoài đường tròn (O; R)
⇔
OM > R
. M nằm trong đường tròn (O; R)
⇔
OM < R
1.3) Hình tròn tâm O, bán kính R (R > 0) là hình gồm tất cả các điểm thuộc đường
tròn và nằm bên trong đường tròn (O; R).
1.4) Đường tròn được xác định khi biết:
. tâm và bán kính của nó, hoặc
. đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó, hoặc
. ba điểm phân biệt (không thẳng hàng) thuộc đường tròn.
1.5) Tâm đối xứng của đường tròn là tâm của đường tròn đó.
1.6) Trục đối xứng của đường tròn là đường kính của đường tròn đó.
2/ Đường kính và dây của đường tròn
2.1) Định lí về độ dài của dây:
AB là dây của đường tròn (O; R) thì AB
≤
2R (nghĩa là, đường kính là dây lớn

nhất).
2.2) Định lí về Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:
Hình vẽ Giả thiết Kết luận
AB là dây của (O); OI
⊥
AB tại I IA = IB
AB là dây của (O); O
∉
AB; I là trung điểm của
AB
OI
⊥
AB tại I
2.3) Định lí về Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
Hình vẽ Giả thiết Nội dung tính chất
. AB, CD là hai dây của (O);
. OI là khoảng cách từ O đến AB;
. OH là khoảng cách từ O đến CD
 Nếu OI = OH thì AB = CD
 Nếu OI > OH thì AB < CD
3/ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho đường thẳng a và đường tròn (O; R). Gọi d = OH là khoảng cách từ O đến a.
Hình vẽ Vị trí tương đối Số điểm Hệ thức Lưu ý
13
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
chung
a và (O) cắt nhau 2 d < R
a gọi là cát
tuyến của (O)
a và (O) tiếp xúc nhau 1 d = R

a gọi là tiếp
tuyến của (O)
và H gọi là tiếp
điểm.
a và (O) không giao
nhau
0 d > R
4/ Tiếp tuyến của đường tròn
4.1) Tính chất tiếp tuyến của đường tròn
Hình vẽ Giả thiết Kết luận
a là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm H a
⊥
OH tại H
4.2) Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn:
Đường thẳng a là tiếp tuyến của (O; R) khi và chỉ khi:
. a và (O) có 1 điểm chung, hoặc
. d = R (với d là khoảng cách từ O đến a), hoặc
. a
⊥
OA tại A và A thuộc (O).
4.3) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
Hình vẽ Giả thiết Kết luận
AB và AC là hai tiếp
tuyến của (O) cắt
nhau tại A.
 AB = AC (hay A cách đều hai
tiếp điểm)

·
·

OAB OAC=
(hay AO là tia
phân giác của
·
BAC
)

·
·
AOB AOC=
(hay OA là tia
phân giác của
·
BOC
)
5/ Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp tam giác
Hình vẽ Tên gọi đường tròn Cách xác định tâm
14
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
Ngoại tiếp tam giác
Giao điểm ba đường trung trực của tam
giác
Nội tiếp tam giác
Giao điểm ba đường phân giác của tam
giác
Bàng tiếp tam giác
Giao điểm hai đường phân giác các góc
ngoài
6/ Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r)

Hình vẽ Vị trí tương đối
Số điểm
chung
Hệ thức
(O) và (O’) cắt nhau 2 OO’ < R + r
(O) và (O’) tiếp xúc
trong
1 OO’ = R - r > 0
(O) và (O’) tiếp xúc
ngoài
1 OO’ = R + r
(O) và (O’) ở ngoài
nhau
0 OO’ > R + r
15
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
(O) đựng (O’) 0 OO’ < R – r
_______________________
Chương III
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1/ Góc ở tâm. Số đo cung
16
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
1.1) Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm.
 Góc AOB là góc ở tâm.

¼
AmB
là cung nhỏ,
¼

AnB
là cung lớn.

¼
AmB
là cung bị chắn bởi góc AOB. Ngược lại, ta nói góc AOB chắn cung
nhỏ
¼
AmB
.
1.2) Số đo cung
 Số đo cung nhỏ: sđ
¼
AmB
=
·
AOB
α
=
.
 Số đo cung lớn: sđ
¼
AnB
=
·
0 0
360 AOB 360
α
− = −
.

 Số đo nửa đường tròn bằng
0
180
.
 Số đo cung không bằng
0
0
.
 Số đo cung cả đường tròn bằng
0
360
.
1.3) So sánh hai cung
Ta chỉ so sánh hai cung trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng
nhau:

»
»
AB CD= ⇔
sđ
»
AB
= sđ
»
CD
.

»
»
AB CD> ⇔

sđ
»
AB
> sđ
»
CD
.
1.4) Định lí: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđ
»
AB
= sđ
»
AC
+ sđ
»
CB
.
1.5) Liên hệ giữa cung và dây
Ta chỉ so sánh hai cung trong một đường tròn hay trong
hai đường tròn bằng nhau:

»
»
AB CD= ⇔
AB = CD.

»
»
AB CD> ⇔
AB > CD.

2/ Góc nội tiếp
2.1) Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên
đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
 Các góc BAC, CBA, ACB là các góc nội tiếp của
đường tròn (O).

·
BAC
;
·
ACB
là các góc nội tiếp lần lượt chắn các
cung nhỏ BsC; AmB;
·
ABC
là góc nội tiếp chắn cung lớn
AnC.
2.2) Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp
bằng nửa số đo cung bị chắn.
Ta có:
·
BAC
=
1
2
sđ
¼
BmC
2.3) Hệ quả: Xét trong một đường tròn, thì:
17

Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
Hình vẽ Tính chất
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung (hoặc chắn các cung
bằng nhau) thì bằng nhau.
·
·
DAC DBC=
(hai góc nội tiếp cùng chắn
»
DC
)
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng
0
90
) có số đo bằng nửa số
đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
·
·
1
BAC BOC
2
=
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ BC)
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
·
0
BAC 90=
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
3/ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

3.1) Định nghĩa: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là tia tiếp
tuyến với đường tròn, còn cạnh kia là dây cung của đường
tròn đó.
 Các góc BAx, BAy là các góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung.
 Góc BAx chắn cung nhỏ AmB; góc BAy chắn cung
lớn AB của đường tròn (O).
3.2) Định lí: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Ta có:
·
1
BAx
2
=
sđ
¼
AmB
3.3) Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Ta có:
·
·
BAx ACB=
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng
chắn cung AmB)
4/ Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
4.1) (Định nghĩa trực quan) Các góc AEC; BED; BEC; AED
là các góc có đỉnh ở bên trong đường tròn (O).

18
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
4.2) Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai
cung bị chắn.
Ta có:
·
BED
=
1
2
(sđ
¼
AmC
+ sđ
¼
BnD
)
5/ Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
5.1) (Định nghĩa trực quan) Góc BED là góc có đỉnh ở
bên ngoài đường tròn (O).
5.2) Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường
tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn (số đo cung lớn
trừ số đo cung nhỏ)
Ta có:
·
BED
=
1
2
(sđ

¼
BnD
- sđ
¼
AmC
)
6/ Quỹ tích cung chứa góc
6.1) Với đoạn thẳng AB và góc
α
(
0 0
0 180
α
< <
) cho
trước thì quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M luôn thỏa mãn
·
AMB
α
=
là hai cung chứa góc
α
dựng trên đoạn thẳng AB.
6.2) Chú ý:
 Hai cung chứa góc
α
là hai cung tròn đối xứng
nhau qua AB.
 Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
 Đặc biệt, khi

0
90
α
=
thì: Quỹ tích các điểm M
nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường
tròn đường kính AB.
7/ Tứ giác nội tiếp
7.1) Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một
đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
7.2) Định lí: Một tứ giác nội tiếp được trong một đường
tròn khi và chỉ khi tổng số đo hai góc đối nhau của nó bằng
0
180
.
Ta có: ABCD nội tiếp
⇔

µ
µ
µ
µ
0
0
A C 180
B D 180

+ =



+ =

7.3) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Hình vẽ Dấu hiệu nhận biết
19
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
a) Tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng
0
180
.
 Xét tứ giác ABCD có:
µ
µ
µ
µ
0
0
A C 180
B D 180

+ =


+ =

⇒
ABCD nội tiếp
b) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai
đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau (hoặc dưới một góc
α

)
 Xét tứ giác ABMN có:
·
·
AMB ANB
α
= =
⇒
ABMN nội tiếp.
c) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại
đỉnh đối diện của đỉnh đó.
 Xát tứ giác ABDC có:
·
·
CAx BDC=
⇒
ABDC nội tiếp.
d) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà điểm này có
thể xác định được)
 Xát tứ giác ABCD có:
OA = OB = OC = OD
⇒
ABCD nội tiếp.
7.4) Tính chất: Hình thang nội tiếp được đường tròn là hình thang cân và ngược lại.
8/ Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
8.1) Định nghĩa:
 Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại
tiếp đa giác và đa giác đó được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.
 Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn
nội tiếp đa giác và đa giác đó được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn.

8.2) Định lí: Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp,
có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.
8.3) Một số đa giác đều thường gặp:
20
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
 Hai đường tròn (O; R), (O; r) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam
giác đều ABC (cạnh bằng a) và
a 3 a 3
R ; r
3 6
= =
 Hai đường tròn (O; R), (O; r) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp hình
vuông ABCD (cạnh bằng a) và
a 2 a
R ; r
2 2
= =
9/ Độ dài đường tròn, cung tròn
 Độ dài đường tròn (hay chu vi hình tròn):
C 2πR πd= =
 Độ dài cung tròn
0
n
:
0
n
πRn
180
l =
Trong đó: C là độ dài đường tròn

R là bán kính của đường tròn
d là đường kính của đường tròn
0
n
là số đo cung tròn cần tính độ dài
10/ Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
 Diện tích hình tròn:
2
SπR=
 Diện tích hình quạt tròn
0
n
:
0 0
2
n n
πR n R
S
360 2
l= =
Trong đó: S là diện tích hình tròn, R là bán kính hình
tròn
0
n
là số đo cung tròn của hình quạt
0
n
l
là độ dài cung tròn của hình quạ
__________________________

Chương IV
21
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
1/ Hình trụ
 Diện tích xung quanh :
xq
S 2πrh=
 Diện tích toàn phần :
2
tp
S 2πrh 2πr= +
 Thể tích :
2
V Shπr h= =
Trong đó:
xq
S
là diện tích xung quanh hình trụ
tp
S
là diện tích toàn phần hình trụ
V là thể tích hình trụ
r là bán kính mặt đáy hình trụ
h là chiều cao hình trụ (hay độ dài đường sinh)
S là diện tích mặt đáy hình trụ
2/ Hình nón
 Diện tích xung quanh:
xq
Sπr l=

 Diện tích toàn phần:
2
tp
Sπr πrl= +
 Thể tích:
2
1
Vπr h
3
=
 Liên hệ giữa h; r; l:
2 2 2
r hl = +
Trong đó:
xq
S
là diện tích xung quanh hình nón
tp
S
là diện tích toàn phần hình nón
V là thể tích hình nón
r là bán kính mặt đáy hình nón
h là chiều cao hình nón
l là độ dài đường sinh của hình nón
3/ Hình nón cụt
 Diện tích xung quanh:
( )
xq 1 2
Sπ r r l= +
 Thể tích:

( )
2 2
1 2 1 2
1
Vπh r r r r
3
= + +
Trong đó:
xq
S
là diện tích xung quanh hình nón cụt
V là thể tích hình nón cụt
1 2
r ; r
lần lượt là bán kính hai đáy hình nón cụt
h là chiều cao hình nón cụt
l là độ dài đường sinh của hình nón cụt
4/ Hình cầu
22
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
 Diện tích mặt cầu:
2 2
S 4πR πd= =
 Thể tích hình cầu:
3
4
VπR
3
=
Trong đó: S là diện tích mặt cầu

V là thể tích hình cầu
R là bán kính mặt cầu
d là đường kính mặt cầu
____________________
PHẦN C
23
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9
MỘT SỐ NỘI DUNG BỔ TRỢ
_____________________________________________________________________
Nội dung 1
BẤT ĐẲNG THỨC
1. Định nghĩa:
0A B A B
> ⇔ − >
(tương tự đối với các dấu “
; ; < ≤ ≥
”)
2. Tính chất:
STT Nội dung
(0)  a < b và b < c thì a < c
(1)
 a > b ⇔ a + c > b + c
(2) 
; 0
; 0
ac bc c
a b
ac bc c
> >


> ⇒

< <

(3) 
a b
a c b d
c d
>

⇒ + > +

>

(4) 
0
. .
0
a b
a c b d
c d
> >

⇒ >

> >

(5)
 a > b ⇔ a
2n+1

> b
2n+1
,
*n N∈
 Với n = 1 thì : a > b ⇔
>
3 3
a b
 a > b > 0 ⇔ a
2n
> b
2n
,
*n N∈
 Với n = 1 thì : a > b > 0 ⇔
>
2 2
a b
(6)

2 2
0
n n
a b a b> > ⇔ >
,
*n N
∈
 Với n = 1 thì : a > b > 0 ⇔
>a b


2 1 2 1n n
a b a b
+ +
> ⇔ >
,
*n N
∈
 Với n = 1 thì : a > b ⇔
>
3 3
a b

(7) 
0
1 1
0
a b
a b
a b
> >

⇒ <

> >

(8)
Với
, *m n N∈
thì:


0 1
m n
m n
a a
a
>

⇒ <

< <


1
m n
m n
a a
a
>

⇒ >

>

3. Một số bất đẳng thức quan trọng
a, Các bất đẳng thức thường gặp

2
0A ≥
;

2
0A− ≤
(với mọi A). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A = 0.

2 2
0A B+ ≥
(với mọi A, B). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0A B
= =
.
24
Kiến thức cơ bản và nâng cao Toán 9

2
m A m+ ≥
(với mọi A). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0A
=
.

2
m A m− ≤
(với mọi A). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0A
=
.
b, Bất đẳng thức Côsi
 Bất đẳng thức Côsi cho 2 số thực a, b không âm:
2
a b

ab
+
≥
(Trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b=
.
Một số dạng khác:
2a b ab+ ≥
;
( )
2
4a b ab+ ≥
;
2 2
2a b ab+ ≥
;…
 Bất đẳng thức Côsi cho 3 số thực a, b, c không âm:
3
3
a b c
abc
+ +
≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b c
= =
.
 Tổng quát: Bất đẳng thức Côsi cho n số thực không âm
1 2

; ; ;
n
a a a
:
1 2
1 2

.
n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2

n
a a a= = =
.
 Hệ quả:
. Với hai số A và B khác 0 thì
2
A B
B A
+ ≥
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

A B
A B
=


= −

.
.
1
2, 0a a
a
+ ≥ ∀ ≠
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
1
a
a
=


= −

.
c, Bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối

≥ ≥ ≥ −0; ; x x x x x
, với mọi x. 
( )
≤ ⇔ − ≤ ≤ >, 0x a a x a a


( )
≤ −

≥ ⇔ >

≥

, 0
x a
x a a
x a

− ≤ + ≤ +a b a b a b
 Với hai số thực a, b. Ta có:
a b a b+ ≤ +
;
a b a b− ≤ −
Dấu “=” của hai bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi
0ab ≥
.
 Tổng quát: Cho n số thực
1 2 3
; ; ; ;
n
a a a a
. Thế thì:
1 2 3 1 2

n n

a a a a a a a+ + + + ≤ + + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số
1 2 3
; ; ; ;
n
a a a a
cùng dấu.
d, Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
 Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
. a, b, c > 0.
25