Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học Ðại số và Giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH




NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG



RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH


Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán
Mã số: 62 14 01 11





LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. TRẦN KIỀU
2. TS. NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN - 2014

QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SỬ DỤNG TRONG LUẬN

Viết tắt Viết đầy đủ
ĐC : Đối chứng
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
NXB : Nhà xuất bản
SGK : Sách giáo khoa
TN : Thực nghiệm
tr. : Trang
THCS : Trung học cơ sở
THPT : Trung học phổ thông

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9

1.1. Một số vấn đề khái quát về tư duy và tư duy toán học 9

1.1.1. Khái niệm tư duy 9

1.1.2. Đặc điểm của tư duy 9

1.1.3. Một số vấn đề về tư duy toán học 11

1.2. Thao tác tư duy 12

1.2.1. Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy 12

1.2.2. Phân tích - Tổng hợp 15

1.2.3. So sánh 22

1.2.4. Tương tự hóa 24

1.2.5. Trừu tượng hóa - Khái quát hóa 28

1.2.6. Đặc biệt hóa 37

1.2.7. Mối liên hệ giữa các thao tác tư duy 39

1.3. Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy 41

1.3.1. Kỹ năng 41

1.3.2. Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy 44

1.3.3. Các cấp độ của kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy 44

1.4. Một số đặc điểm của học sinh Trung học phổ thông 45

1.4.1.Đặc điểm hoạt động học tập 45

1.4.2. Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ 46

1.4.3. Một số đặc điểm nhân cách chủ yếu 46

1.5. Khảo sát thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy trong dạy học ở
trường Trung học phổ thông 47

1.5.1. Mục đích 47

1.5.2. Đối tượng khảo sát 47

1.5.3. Hình thức khảo sát 47

1.5.4. Kết quả khảo sát thực trạng 47

1.6. Kết luận chương 1 58

Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ
NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG
DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 60

2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp 60
2.2. Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư
duy cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích 60

2.2.1. Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh phân tích nội hàm và ngoại diên của
khái niệm toán học, cũng như khả năng vận dụng các khái niệm đó vào việc giải
quyết các vấn đề toán học 60

2.2.2. Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh làm rõ ý nghĩa của từng yếu tố được
cho trong giả thiết và tìm các khả năng vận dụng của định lý 69

2.2.3. Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh diễn đạt các định nghĩa, định lý và giải
các bài toán theo những cách khác nhau 80

2.2.4. Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh tìm ra dấu hiệu chung và bản chất của các
yếu tố và quan hệ trong một hoặc một lớp bài toán 97

2.2.5. Biện pháp 5: Tạo cơ hội cho học sinh luyện tập kỹ năng tương tự hóa trong
quá trình giải toán 111

2.2.6. Biện pháp 6: Khuyến khích học sinh đề xuất bài toán mới trên cơ sở khai thác
bài toán đã cho 117

2.2.7 Biện pháp 7: Xây dựng một số tình huống có chứa lời giải các bài toán với
những sai lầm, hướng dẫn học sinh phân tích để giúp họ nhận ra các sai lầm thường
gặp, qua đó tìm các biện pháp dạy học thích hợp để khắc phục 128

2.3. Kết luận chương 2 143

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 145

3.1. Mục đích thực nghiệm 145

3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 145

3.2.1. Tổ chức thực nghiệm 145

3.2.2. Nội dung thực nghiệm 146

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 152

3.3.1. Đánh giá định tính 152

3.3.2. Đánh giá định lượng 154

3.4. Kết luận chương 3 160

KẾT LUẬN 161

TÀI LIỆU THAM KHẢO 163

PHẦN PHỤ LỤC 171

1

MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Để tồn tại và phát triển, con người có nhu cầu và yêu cầu phải nhận thức các
sự vật, hiện tượng và kể cả chính mình. Nói cách khác, con người cần phải tư duy.
Mỗi sự vật và hiện tượng đều có những dấu hiệu, thuộc tính, cần phải biết phân tích,
so sánh và tổng hợp để tìm được các dấu hiệu, thuộc tính bản chất của các sự vật và
hiện tượng hướng tới mục đích nhận thức. Quá trình nhận thức trên cũng phải tiến
hành các thao tác tư duy khác như tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc
biệt hóa để có được các tri thức đầy đủ, chính xác về các sự vật hay hiện tượng ấy.
Quá trình nhận thức nói trên là kết quả của tư duy.
Trong học tập nói chung, học tập toán nói riêng, để hình thành một khái
niệm, người học phải suy nghĩ, phân tích để tìm ra các thuộc tính của khái niệm,
thuộc tính nào là thuộc tính bản chất, thuộc tính nào là đặc trưng, phân chia khái
niệm thành các bộ phận theo các thuộc tính đó để hiểu khái niệm một cách đầy đủ,
sâu sắc hơn, Nhờ phân tích, con người tách ra các thuộc tính của các đối tượng,
còn nhờ tổng hợp, con người hợp nhất các thuộc tính bản chất, tách chúng ra khỏi
các thuộc tính còn lại, không bản chất, đưa các thuộc tính bản chất này vào một thể
thống nhất, đó là khái niệm. Để tiếp thu một định lý, HS phải biết phân tích được
giả thiết và kết luận của định lý, các cách chứng minh định lý và vận dụng định lý

vào giải các bài tập cụ thể, Khi giải một bài tập, HS phải biết phân tích cấu trúc
của bài tập đó, cái đã cho và cái phải tìm, huy động các kiến thức liên quan để tìm
cách giải bài tập, so sánh các cách giải để tìm lời giải tối ưu, từ trường hợp đặc biệt
có thể khái quát hóa để tìm bài toán tổng quát,
Từ đó có thể thấy, quá trình học toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên
thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái
quát hóa, Chính vì vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của việc
giảng dạy toán là dạy cách nghĩ, dạy tư duy, dạy cho học sinh biết các loại thao tác
tư duy, ý nghĩa và tác dụng của từng loại thao tác, mối quan hệ giữa các thao tác,
cách thức phối hợp các thao tác. Tư duy phải được phát triển trong quá trình học
thông qua việc được thường xuyên rèn luyện, mà trước hết là rèn luyện các thao tác
tư duy. Rèn luyện các thao tác tư duy được quan niệm như thế nào là đầy đủ và
đúng đắn, hoạt động đó phụ thuộc những yếu tố nào, về mặt sư phạm nên được tổ



2

chức ra sao là những vấn đề quan trọng cần được nghiên cứu. Đây là những vấn
đề thuộc lĩnh vực phương pháp dạy học.
Vai trò quan trọng của các thao tác tư duy và yêu cầu phải rèn luyện các thao
tác đó cần thiết như đã nêu ở trên, nhưng trong thực tiễn giảng dạy toán ở trường
phổ thông chưa được chú ý thích đáng. Tác giả luận án do công việc phải đảm
nhiệm đã có nhiều cơ hội tiếp cận thực tiễn dạy học toán thông qua dự giờ, trao đổi
ý kiến với giáo viên, học sinh, qua nghiên cứu các báo cáo về tình hình giảng dạy
học tập của một số trường đã rút ra một số nhận xét chung, đó là: Một số giáo viên
nhận thức về vai trò, ý nghĩa, tác dụng của tư duy, của các thao tác tư duy còn hạn
chế. Một số giáo viên khác mặc dù nhận thức đúng về vai trò, ý nghĩa, tác dụng của
các thao tác tư duy nhưng chưa thực hiện một cách có kết quả nhiệm vụ dạy cách tư
duy cho học sinh khi học toán. Đặc biệt, một số giáo viên lúng túng trong quá trình

dạy học khi thực hiện yêu cầu rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh.
Những vấn đề đặt ra về lý luận và từ thực tiễn nói trên cần được nghiên cứu
trong lĩnh vực phương pháp dạy học toán học.
Phân môn toán nào cũng đòi hỏi phải rèn luyện cho HS thực hiện các thao
tác tư duy, tuy nhiên trong luận án này, chúng tôi lựa chọn Đại số và Giải tích vì
những lý do chính sau đây:
- Đại số, đặc biệt là Giải tích ở trường THPT có nhiều khái niệm khó và quan
trọng gắn liền với phạm trù vô hạn, với đại lượng vô cùng bé như khái niệm giới
hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, đạo hàm, nguyên hàm, Để hiểu được các
khái niệm này và mối quan hệ giữa chúng đòi hỏi học sinh phải biết phân tích nội
hàm và xác định rõ ngoại diên của chúng. Điều này cũng liên quan tới việc phát
hiện dấu hiệu chung và bản chất của khái niệm, nhận dạng khái niệm và hình thành
mối quan hệ của các khái niệm trong cùng một hệ thống.
- Một số định lý của Đại số và Giải tích có cấu trúc phức tạp, có nhiều ứng
dụng trong giải toán và trong thực tiễn, chẳng hạn định lý về dấu của tam thức bậc
hai, định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục, các định lý về giới hạn hữu hạn của
dãy số, hàm số, Dạy học những nội dung này đòi hỏi phải làm rõ ý nghĩa của từng
yếu tố được cho trong giả thiết, xác định cấu trúc lôgic và khả năng vận dụng của
định lý.
- Mạch toán ứng dụng đã được tăng cường ở trường THPT, đặc biệt là một
số yếu tố về đại số tổ hợp, xác suất và thống kê. Đối với HS, các khái niệm thuộc
chủ đề này còn mới và khó, các bài toán đếm đa dạng, phong phú trong đời sống



3

thực tiễn, có thể giải theo nhiều cách khác nhau, HS gặp nhiều sai lầm. Do đó, dạy
học chủ đề này thích hợp với việc phát hiện dấu hiệu chung và bản chất của bài
toán, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải và

cách khắc phục,
- Nhìn bề ngoài, Đại số và Giải tích có vẻ giống nhau, thực ra chúng khác
nhau về bản chất. Trong khi Đại số gắn liền với các bất biến, hữu hạn hoặc vô hạn
đếm được thì Giải tích lại nghiên cứu các đại lượng biến thiên, liên tục và gián
đoạn, có lực lượng vô hạn không đếm được. Nếu GV không phân tích kỹ, đầy đủ,
sâu sắc, thì việc dạy Giải tích sẽ bị "Đại số hóa", hạn chế rất nhiều đến khả năng tư
duy của HS ở độ tuổi trưởng thành - chuyển từ việc nhìn thế giới theo quan điểm
"tĩnh" sang quan điểm "động".
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về tư duy, về kỹ năng học toán cho HS
trong đó có bàn đến các thao tác tư duy [6], [8], [36], [44], [50], [52], [61], [103],
nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu một cách tương đối hệ thống và đầy đủ về
việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy trong quá trình học toán, đặc
biệt là đối với Giải tích và Đại số và cách thức rèn luyện các thao tác đó. Vì những
lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: "Rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư
duy cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích" với mong
muốn trình bày một cách có hệ thống về mặt lý luận và thực tiễn vấn đề thao tác tư
duy và nêu một số biện pháp rèn luyện các thao tác đó, góp phần nâng cao chất
lượng dạy học bộ môn Đại số và Giải tích ở trường THPT.
2. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ TÀI
Vấn đề tư duy thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và
nhiều nhà khoa học trên thế giới. Tư duy không chỉ được nghiên cứu ở phương diện
triết học mà còn được nghiên cứu ở nhiều phương diện khác như Lôgic học, Xã hội
học, Sinh lý học, Tâm lý học, Lý luận dạy học, Triết học nghiên cứu tư duy dưới
góc độ lý luận nhận thức. Lôgic học nghiên cứu tư duy dưới góc độ các quy tắc tư
duy đúng. Xã hội học nghiên cứu tư duy ở sự phát triển của quá trình nhận thức
trong các chế độ xã hội khác nhau. Sinh lý học nghiên cứu cơ chế hoạt động thần
kinh cao cấp với tư cách là nền tảng vật chất của các quá trình tư duy ở con người.
Điều khiển học nghiên cứu tư duy để có thể tạo ra “Trí tuệ nhân tạo”. Tâm lý học
nghiên cứu diễn biến của quá trình tư duy, mối quan hệ qua lại cụ thể của tư duy với
các khía cạnh khác của nhận thức.

4

Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lý học X. L. Rubinstein đã
viết: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm
thành chỗ dựa cho tư duy”.
Tư duy là một quá trình tâm lý, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết
thúc. Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau được nhà tâm lý học
K. K. Platônôp minh họa bởi sơ đồ [102, tr. 116]:














Tuy nhiên, tính giai đoạn của quá trình tư duy chỉ phản ánh được mặt bên ngoài,
cấu trúc bên ngoài của tư duy, còn nội dung bên trong mỗi giai đoạn của quá trình tư
duy lại là một quá trình phức tạp, diễn ra trên cơ sở của những thao tác tư duy, còn gọi
là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [107, tr. 116].

2.1. Tình hình nghiên cứu ở nước ngoài
Một số tác giả nước ngoài đề cập đến thao tác tư duy, nêu định nghĩa của một
số thao tác và mối quan hệ giữa chúng, chẳng hạn như:
G. Polya cho rằng thao tác tư duy bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh,
tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa [77]. Ông cũng đã đưa ra một số ví dụ về
toán học minh họa cho các thao tác đó.
G. Polya trong [75] đã đưa ra quy trình 4 bước để giải bài toán, trong mỗi
bước tác giả đã đưa ra các gợi ý, đó chính là các thao tác phân tích, tổng hợp liên
tiếp, đan xen nhau để thực hiện được 4 bước của quá trình giải toán. Có thể thấy


Nh
ận
th
ức

v
ấn

đ
ề

S
àng
l
ọc
li
ê
n t
ư

ởng
v
à
h
ình
th
ành
gi
ả
thuy
ết

Ki
ểm
t
ra
gi
ả

thuy
ết

Kh
ẳng

đ
ịnh

Phủ định
Ch

ính
x
ác
h
óa

T
ìm
gi
ả
thuy
ết
m
ới

Gi
ải
quy
ết
v
ấn

đ
ề

H
ành

đ
ộng

t
ư
duy m
ới

Xu
ất

hi
ện
c
ác
li
ê
n t
ư
ởng






5

trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thường gắn bó khăng khít với
nhau. Trong phân tích có tổng hợp (tổng hợp thành phần) và trong quá trình tổng
hợp phải có phân tích (đảm bảo tính lôgic và tính định hướng của quá trình tổng
hợp).
M. N. Sácđacôp cho rằng: tư duy được thực hiện và phát triển trong những

hình thức riêng của nó: phân tích, tổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát
hóa và cụ thể hóa; quy nạp, diễn dịch và tương tự; phát hiện những mối liên hệ và
quan hệ; hình thành những khái niệm, phân loại và hệ thống hóa chúng [82], [83].
Những ví dụ được ông nêu trong [82], [83] đều không thuộc về toán học.
Trong [103], Đào Văn Trung có nói đến năng lực khái quát hóa và đưa ra
một số ví dụ về toán học.
2.2. Tình hình nghiên cứu ở trong nước
Trong nước chưa có công trình nào của các tác giả đề cập đến định nghĩa
thao tác tư duy mà chỉ nêu lên thao tác tư duy bao gồm những thao tác nào, nêu
định nghĩa của một số thao tác và mối quan hệ giữa chúng, chẳng hạn như:
Các nhà tâm lý học trong các công trình [94], [95], [106], [107], [108] cho
rằng thao tác tư duy bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái
quát hóa.
Nguyễn Bá Kim không gọi là thao tác tư duy mà gọi là các hoạt động trí tuệ
cơ bản, bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái
quát hóa, đặc biệt hóa [52], [54].
Hoàng Chúng cho rằng thao tác tư duy bao gồm phân tích, tổng hợp, so sánh,
khái quát hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa [8].
Trong Giáo dục học môn Toán, các tác giả có đề cập đến trừu tượng hóa, khái
quát hóa và đặc biệt hóa [33] .
Qua tìm hiểu một số công trình như đã nêu ở trên, có thể thấy:
- Quan niệm về các thao tác tư duy chưa nhất quán.
- Chưa làm rõ thứ tự để tiến hành các thao tác tư duy.
- Chưa cụ thể hóa các thao tác tư duy biểu hiện trong dạy học Toán như thế
nào.
- Chưa có đánh giá về thực trạng của việc thực hiện các thao tác tư duy ở
trường Trung học phổ thông một cách khá toàn diện và cụ thể.
- Thiếu các biện pháp dạy học cụ thể nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng
thực hiện các thao tác tư duy.

6

2.3. Định hướng nghiên cứu của tác giả
- Đưa ra trật tự để tiến hành một số thao tác tư duy.
- Đưa ra một quan niệm về rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy
cho học sinh Trung học phổ thông.
- Tìm hiểu thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy của GV và HS
Trung học thông qua dạy học môn Đại số và Giải tích.
- Xây dựng một số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao
tác tư duy cho học sinh Trung học phổ thông.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các biện pháp đề xuất
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của luận án là nghiên cứu để làm sáng tỏ các thao tác tư duy về các
khía cạnh: khái niệm, vai trò, tính phổ dụng trong nhận thức nói chung và trong
giáo dục toán học nói riêng, đồng thời nghiên cứu để xây dựng các biện pháp nhằm
rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện thao tác tư duy.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Luận án có nhiệm vụ làm sáng tỏ các vấn đề sau:
- Quan niệm về thao tác tư duy, các loại thao tác tư duy, sự cần thiết phải chú
ý rèn luyện chúng;
- Xem xét thao tác tư duy từ bình diện hoạt động;
- Các thao tác tư duy trong dạy học toán;
- Thực trạng rèn luyện các thao tác tư duy trong dạy học toán ở THPT;
- Đề xuất các biện pháp dạy học để rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các
thao tác tư duy;
- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các
biện pháp đã đề xuất.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm hợp lý, khả thi, có cơ sở khoa
học xác đáng thì có thể phát triển kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS, góp
phần nâng cao chất lượng dạy học môn Đại số và Giải tích ở trường THPT.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
6.1. Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài
nước về các vấn đề có liên quan đến đề tài.
6.2. Điều tra, quan sát: Nhận thức và thực trạng dạy học của giáo viên toán
THPT về bồi dưỡng kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS.
6.3. Thực nghiệm sư phạm.



7

7. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN
7.1. Về mặt lý luận
7.1.1. Làm sáng tỏ tính phổ dụng, vai trò và vị trí của các thao tác tư duy
trong dạy học toán.
7.1.2. Đưa ra một quan niệm về hành động tư duy trong mối quan hệ với thao
tác tư duy.
7.1.3. Đưa ra một quan niệm về kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy và quy
trình rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS THPT trong học tập
toán.
7.1.4. Nêu được một số khó khăn và sai lầm của HS khi đứng trước những
vấn đề toán học mà việc giải quyết những vấn đề đó đòi hỏi phải có kỹ năng về các
thao tác tư duy.
7.1.5. Nêu được cơ sở khoa học cho các biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ
năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh.
7.2. Về mặt thực tiễn
7.2.1. Xây dựng một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực

hiện các thao tác tư duy cho HS THPT.
7.2.2. Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán
nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT.
8. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ
8.1. Quan niệm về các thao tác tư duy, trật tự để tiến hành một số thao tác.
8.2. Quan niệm về rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS
THPT.
8.3. Thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy ở Trường THPT.
8.4. Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các
thao tác tư duy cho HS THPT.
9. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung Luận án gồm
có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Một số vấn đề khái quát về tư duy và tư duy toán học.
1.2. Thao tác tư duy.
1.3. Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy.
1.4. Đặc điểm tâm lý của HS THPT.



8

1.5. Khảo sát thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy trong dạy học ở
trường THPT.
1.6. Kết luận chương 1.
Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực
hiện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp.
2.2. Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các

thao tác tư duy cho HS trong dạy học Đại số và Giải tích.
2.3. Kết luận chương 2.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận chương 3.

9

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Một số vấn đề khái quát về tư duy và tư duy toán học
1.1.1. Khái niệm tư duy
Để tồn tại và phát triển trong cuộc sống, con người cần phải nhận thức các
hiện tượng, các sự vật, các quá trình của tự nhiên, của xã hội và của chính bản thân
để hiểu về bản chất, mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của chúng. Quá trình nhận
thức đó bao gồm nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính. Quá trình nhận thức lý
tính được gọi là tư duy.
Có nhiều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tư duy của các nhà tâm lý
học. X. L. Rubinstein cho rằng: "Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ
thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính
xuất hiện do tác động của khách thể" (dẫn theo [15, tr. 246]). Trong các tài liệu
[95], [106], [107], [108], các tác giả cho rằng: "Tư duy là quá trình nhận thức phản
ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật và
hiện tượng trong hiện thực khách quan". "Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan
chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản
ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó.
Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới
hạn của nó" (dẫn theo [93, tr. 8]).
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Theo [95], [106], [107], [108], tư duy có những đặc điểm cơ bản sau đây:
- Tính "có vấn đề" của tư duy.
Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống "có vấn
đề". Tình huống "có vấn đề" là tình huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề
mới mà những hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũ không đủ sức giải quyết.
Muốn giải quyết vấn đề mới đó, để đạt được mục đích mới đó, con người phải tìm

cách thức giải quyết mới, tức con người phải tư duy.
Ví dụ 1.1: Sau khi HS đã được học cách giải phương trình bậc hai, thầy giáo
yêu cầu các em giải phương trình sau:
(
)
(
)
.03233
22
=−+++ xxxx
Giải phương
trình này là một tình huống có vấn đề với các em tại thời điểm đó vì chưa có một
thuật giải nào có thể giúp các em giải được một phương trình bậc bốn. Do đó, buộc



10

các em phải suy nghĩ để tìm cách giải phương trình trên. Các em tìm thấy hứng thú
trong việc tìm lời giải bởi vì có biểu thức đồng dạng
x
x
3
2
+
giúp các em liên
tưởng tới đặt ẩn phụ. Và sau khi đặt ẩn phụ
x
x
t

3
2
+=
thì phương trình ban đầu trở
thành phương trình
0
3
2
2
=−+
t
t
đã có thuật giải.
- Tính gián tiếp của tư duy.
Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy. Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử
dụng các kết quả nhận thức (khái niệm, phán đoán, quy luật, ) vào quá trình tư duy
để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật, hiện tượng. Trong quá trình tư
duy, con người sử dụng những công cụ, phương tiện (đồng hồ, nhiệt kế, máy móc, )
để nhận thức đối tượng mà không thể trực tiếp tri giác chúng.
- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy.
Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính,
những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính chung, bản chất cho
nhiều sự vật và hiện tượng. Trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượng
riêng lẻ, nhưng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một
phạm trù.
Ví dụ 1.2: Công thức tính diện tích tam giác
a
ahS
2
1

=
, trong đó
a
h
là độ dài
đường cao hạ từ đỉnh A,
a
là độ dài cạnh đối diện đỉnh A (diện tích tam giác bằng
một nửa đường cao nhân với cạnh đáy). Để có được công thức tổng quát trên, chúng
ta đã gạt bỏ những chi tiết không quan trọng như tam giác gì, làm bằng chất liệu
nào, độ dài các cạnh có mối quan hệ như thế nào, đặt trong phẳng hay trong không
gian, mà chỉ giữ lại yếu tố bản chất là độ dài đường cao và độ dài cạnh đáy để có
được công thức mang tính khái quát trên.
- Tư duy liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ.
Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra
được, đồng thời các sản phẩm của tư duy (khái niệm, phán đoán, quy luật, ) cũng
không được chủ thể và người khác tiếp nhận. Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của
tư duy, là vỏ vật chất của tư duy và là phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy.
Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là chuỗi âm thanh vô nghĩa. Tuy
nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy.
- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính.



11

Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lý học X. L. Rubinstein đã
viết: "Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm
thành chỗ dựa cho tư duy".
Tư duy là một quá trình tâm lý, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc.

1.1.3. Một số vấn đề về tư duy toán học
Cũng như những lĩnh vực khác của đời sống xã hội, toán học với tư cách là
một khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng vô cùng đa dạng, phong
phú trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng và phương pháp nghiên cứu
cũng là một đối tượng của tư duy, và như là một tất yếu, xuất hiện tư duy toán học.
"Để nhận thức được mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng,
và để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có tư duy lôgic. Do đó, tư duy
toán học là sự thống nhất giữa tư duy biện chứng và tư duy lôgic. Theo đó, tư duy
toán học cũng có những cặp phạm trù quan trọng: cụ thể - trừu tượng, nhận thức
cảm tính - nhận thức lý tính, cái chung - cái riêng, cái bản chất - cái không bản
chất" [33, tr. 60-61]. Luận điểm nói trên cần được vận dụng một cách cụ thể và
thích hợp vào việc dạy học nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinh.
Giáo dục toán học cho HS nhằm đạt các mục tiêu:
- Truyền thụ cho HS những kiến thức cơ bản được chọn lựa cho phù hợp với
đặc điểm của đối tượng Toán học một cách có hệ thống;
- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo toán học;
- Phát triển tư duy toán học cho HS (dẫn theo [93, tr. 12]).
Tư duy toán học là một mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của
HS, nhưng nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không thể đạt
được mức độ mong muốn về kiến thức và kỹ năng trong quá trình dạy học toán.
Nhiều nhà toán học đã bày tỏ ý kiến về tư duy toán học như sau:
Viện sĩ B. V. Gơnhedencô đưa ra một số yêu cầu đối với tư duy toán học, đó
là:
- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận;
- Thấy được sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
- Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;
- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, sự cô đọng, sự chính xác của các ký
hiệu (dẫn theo [93, tr. 15]).
Nhà toán học A. Ia. Khinsin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tư
duy toán học là:

12

- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;
- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia
rành mạch các bước suy luận;
- Sử dụng chính xác các ký hiệu;
- Tính có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận
những khái quát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ sở (dẫn theo
[33, tr. 127]).
A. I. Marcusêvich nhấn mạnh đến những kỹ năng cần được bồi dưỡng cho
HS trong dạy học Toán là:
- Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản chỉ để giữ lại bản chất của
vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa;
- Kỹ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho;
- Kỹ năng phân tích vấn đề thành những trường hợp riêng;
- Kỹ năng khái quát hóa kết quả nhận được và đặt ra vấn đề mới ở dạng khái
quát;
- Kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tượng sao cho chỉ giữ lại những yếu tố
cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học;
- Kỹ năng xây dựng các kết luận được rút ra từ các suy luận, đối chiếu kết
quả đó với các điều được dự kiến;
- Kỹ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến sự tin
cậy, (dẫn theo [93, tr. 16]).
1.2. Thao tác tư duy
1.2.1. Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy
Về mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy, có hai cách giải
thích như sau:

Nhiều nhà tâm lý học (trong đó có J. Piaget) cho rằng:
- Hành động (Action) là các ứng xử của cá nhân đối với sự tác động của các
yếu tố môi trường bên ngoài;
- Thao tác (Operations) là các hành động đã được chuyển vào bên trong (hành
động bên ngoài được nội hiện) và đã được rút gọn.
Đối tượng của thao tác tư duy không phải là sự vật có thực như của hành
động, mà là những hình ảnh, biểu tượng, ký hiệu. Như vậy, thao tác tư duy là hành
động tinh thần, chứ không phải là hành động thực, vật chất ở bên ngoài [68, tr. 73].



13

Cách giải thích của A. N. Lêônchiep và các nhà tâm lý học cùng xu hướng có
phần khác với cách hiểu trên khi xem xét tư duy từ bình diện hoạt động. Các nhà
tâm lý học này giải thích hành động và thao tác trong cấu trúc chung của hoạt động.
Sự giống nhau và khác nhau giữa chúng thể hiện như sau:
- Hành động tư duy được hiểu là hành động tâm lý trọn vẹn, chịu sự chi phối
bởi một mục đích được ý thức (hành động tâm lý có thể hiểu là làm một việc nào đó
có mục đích);
- Thao tác là phương tiện, là cơ cấu kỹ thuật, là phương thức hành động để
triển khai đến mục đích đó. Thao tác không có mục đích tâm lý riêng, nó chỉ là
phương tiện để thực hiện mục đích của một hành động nào đó;
- Thao tác và hành động có chung lôgic;
- Cấu trúc của thao tác được định hình trong các phương tiện (công cụ) kỹ
thuật. Vì vậy, quá trình hình thành thao tác thực chất là quá trình học cách sử dụng
các công cụ đó. Thời kỳ đầu, quá trình học này chính là hành động tâm lý. Sau đó,
hành động được luyện tập và kỹ thuật hoá để trở thành thao tác.
- Cùng một mục đích nhưng trong những điều kiện khác nhau, chủ thể hành
động phải có các thao tác khác nhau.

Như vậy, mặc dù thao tác khác hành động, nhưng nó được sinh ra từ hành
động, kỹ thuật hoá nó, tước bỏ mục đích và chuyển nó vào trong một hành động
khác. Khi chuyển thành thao tác, hành động được rút gọn và thuần thục [68]. Vì vậy,
thao tác gắn bó chặt chẽ với kỹ năng.
Quá trình tư duy nảy sinh khi con người có nhu cầu giải quyết một nhiệm vụ
nhận thức nào đó, không thể tách tư duy ra khỏi tâm lý nói chung trong việc giải
quyết nhiệm vụ nhận thức. Bởi vì, tâm lý về bản chất là hoạt động, cho nên tham gia
vào tâm lý với tư cách yếu tố cấu thành nó, không chỉ có các đối tượng tinh thần (các
biểu tượng, các khái niệm), mà còn có các hành động tinh thần (hành động tri giác,
hành động tưởng tượng, hành động xúc cảm, ). Với ý nghĩa đó, có thể xem xét tư
duy với tư cách là một hoạt động của con người, là một hoạt động trí tuệ với các hành
động và thao tác đặc trưng. Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến
quá trình tư duy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức. Mỗi hành
động trí tuệ bao hàm trong nó một loạt các thao tác được thực hiện trong một trật tự
xác định và phù hợp với những quy tắc nhất định. Từ đó, một tập hợp các hành động
trí tuệ như là một chỉnh thể để giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó gọi là hoạt
động trí tuệ trong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức ấy [33].



14

Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn, tuy nhiên tính giai đoạn của quá
trình tư duy chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy, còn
nội dung bên trong mỗi giai đoạn của quá trình tư duy lại là một quá trình phức tạp,
diễn ra trên cơ sở của những thao tác tư duy, và như quan điểm đã nêu trên, còn gọi
là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [107, tr. 116].
Xét về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác tư duy
để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra. Cá nhân có tư duy hay không chính là ở
chỗ họ có tiến hành các thao tác tư duy trong đầu mình hay không. Do vậy, thao tác

tư duy còn được gọi là quy luật bên trong của tư duy [107, tr. 116].
Thao tác tư duy không đồng nhất với tư duy. Quá trình tư duy là quá trình
thực hiện các thao tác tư duy để đạt được mục đích. Việc rèn luyện các thao tác tư
duy cuối cùng cũng nhằm vào mục đích chung là phát triển tư duy cho HS, một
trong các mục tiêu chính của việc dạy học. Có thể liệt kê, mô tả một số thao tác tư
duy cụ thể dưới đây của các nhà khoa học:
Theo M. N. Sácđacôp [82], tư duy được thực hiện và phát triển trong những
hình thức riêng của nó: phân tích, tổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát
hóa và cụ thể hóa; quy nạp, diễn dịch và tương tự; phát hiện những mối liên hệ và
quan hệ; hình thành những khái niệm, phân loại và hệ thống hóa chúng.
Theo G. Polya [77], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh,
tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa.
Trong [95], [106], [10], [108], các tác giả cho rằng thao tác tư duy bao gồm:
phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa.
Nguyễn Bá Kim trong [54] không gọi là thao tác tư duy mà gọi là các hoạt
động trí tuệ cơ bản, bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng
hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa.
Theo tác giả Hoàng Chúng [8], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp,
so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa.
Từ phân tích và tổng hợp các ý kiến nêu trên, có thể hiểu rằng thao tác tư
duy là một hành động tư duy được kỹ thuật hóa và đã rút gọn, có thể rèn luyện để
đạt được các mức độ nhất định. Việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh
chính là việc tập luyện các hành động tư duy. Trong luận án, chúng tôi tập trung
nghiên cứu các thao tác tư duy sau: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa,
trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa.



15

Tương ứng với các thao tác tư duy trên, cũng có thể nói là có các hành động
tư duy, đó là các hành động phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng
hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa xét từ bình diện hoạt động trí tuệ.
1.2.2. Phân tích - Tổng hợp
1.2.2.1. Phân tích
Thế giới vật chất khách quan là một tổng thể các sự vật, hiện tượng, biến cố
và các quá trình nguyên vẹn mà mỗi sự vật, biến cố và quá trình đó bao gồm nhiều
bộ phận riêng biệt với các dấu hiệu và thuộc tính riêng. Việc nhận thức các sự vật
và hiện tượng của thế giới đòi hỏi phải nghiên cứu, phân tích các bộ phận theo các
dấu hiệu và thuộc tính của chúng. Các bộ phận của bất kỳ một sự vật nguyên vẹn
nào cũng có những mối quan hệ và liên hệ nhất định với nhau. Cho nên để nhận
thức một sự vật nguyên vẹn cần phải phân tích, nghiên cứu các mối quan hệ và liên
hệ giữa các bộ phận đó. Nghiên cứu một sự vật nguyên vẹn với các bộ phận của nó,
cũng như các mối liên hệ, quan hệ giữa các bộ phận càng chi tiết bao nhiêu thì càng
nhận thức nó một cách sâu sắc bấy nhiêu.
Việc nghiên cứu có phân tích không phải là sự liệt kê đơn giản hoặc chỉ là
việc lần lượt nghiên cứu các yếu tố của sự vật nguyên vẹn với các dấu hiệu của
chúng và các mối liên hệ giữa chúng. Phân tích luôn luôn là một việc làm có mục
đích, được thực hiện theo một định hướng nào đó. Ý nghĩa tổng hợp ban đầu của sự
vật nguyên vẹn và mục đích hoạt động sẽ xác định phương hướng và góc độ của sự
nghiên cứu có phân tích. Ví dụ, việc phân tích một định lý để tìm cách chứng minh
nó có thể được tiến hành bằng cách phân tích cấu trúc lôgic của định lý, giả thiết
của định lý, kết luận của định lý, các phương pháp chứng minh một định lý,
Xét từ bình diện của triết học thì: "Phân tích là phương pháp phân chia cái
toàn thể ra thành từng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên cứu và hiểu được
các bộ phận, mặt, yếu tố đó" [100, tr. 86].
Ngoài ra,còn có rất nhiều định nghĩa khác nhau về phân tích của các nhà khoa
học, chẳng hạn như: "Phân tích là quá trình dùng trí óc để tách đối tượng nhận thức
thành những bộ phận, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan hệ giữa chúng để
nhận thức đối tượng sâu sắc hơn" [95], [106], [10], [108]. "Phân tích là tách (trong tư

tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ"
[54, tr. 46]. "Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận của những sự vật hoặc
hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như các mối
liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định. Quá trình đó nhằm mục



16

đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính vì vậy mới nhận thức được
trọn vẹn các sự vật và hiện tượng" [82, tr. 88]. "Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn
thể ra thành từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm
trong cái toàn thể đó" [8, tr. 16]. "Phân tích là chia cái toàn thể ra từng phần, là phân
cái toàn thể ra từng bộ phận, là chia nhỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hóa đi một mặt nào
đó những dấu hiệu và những phần riêng lẻ nào đó" [33, tr. 109]. "Phân tích là chia
một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận.
Sau khi đã chia ra như vậy, mỗi bộ phận đều phải được nghiên cứu để cho sự hiểu
biết sâu hơn, chi tiết hơn" [97, tr. 122].
Mỗi một đối tượng, mỗi một quan hệ mà chúng ta nghiên cứu đều có những
thuộc tính, trong số các thuộc tính này có những thuộc tính bản chất, thuộc tính
không bản chất, thuộc tính chung, thuộc tính đặc trưng. Trong [18], nhóm tác giả cho
rằng: Thuộc tính bản chất là thuộc tính gắn liền với một đối tượng. Nếu mất thuộc
tính bản chất thì đối tượng đã cho sẽ trở thành một đối tượng khác. Thuộc tính bản
chất là điều kiện cần thiết để phân biệt đối tượng này với đối tượng khác. Thuộc tính
đặc trưng là thuộc tính chỉ đối tượng đó mới có. Thuộc tính đặc trưng là điều kiện cần
và đủ của khái niệm. Thuộc tính chung là thuộc tính mà nhiều đối tượng cùng có.
Ví dụ 1.3: Phân tích khái niệm hình chữ nhật.
Nhìn hình chữ nhật là một tứ giác từ các thuộc tính của cạnh, góc, đường
chéo ta thấy:
- Nhìn từ yếu tố cạnh: Đa giác lồi có 4 cạnh (tứ giác); tứ giác có các cặp cạnh

đối song song với nhau; tứ giác có các cặp cạnh đối diện bằng nhau; tứ giác có hai
cạnh kề nhau vuông góc với nhau.
- Nhìn từ yếu tố góc: Tứ giác có 4 góc bằng nhau; tứ giác có 4 góc vuông; tứ
giác có tổng các góc đối diện bằng
0
180
.
- Nhìn từ yếu tố đường chéo: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường; tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.
Tất cả các thuộc tính trên đều là thuộc tính bản chất của hình chữ nhật, còn
độ lớn của các cạnh, vị trí của hình, chất liệu làm nên hình, màu sắc của hình, là
các thuộc tính không bản chất. Tuy nhiên, không phải thuộc tính bản chất nào cũng
là thuộc tính đặc trưng của hình chữ nhật. Chẳng hạn, thuộc tính "tứ giác có các cặp
cạnh đối song song với nhau" không phải là thuộc tính đặc trưng vì không phải "tứ
giác có các cặp cạnh đối song song với nhau" nào cũng đều là hình chữ nhật. Phân
tích mối quan hệ giữa các thuộc tính chúng ta thấy các thuộc tính "tứ giác có các



17

cặp cạnh đối song song với nhau", "tứ giác có các cặp cạnh đối diện bằng nhau",
"tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường" có thể kéo theo
nhau (đó chính là các thuộc tính đặc trưng của khái niệm hình bình hành); "tứ giác
có các cặp cạnh đối song song với nhau" có thể kéo theo "tứ giác có một cặp cạnh
đối song song và bằng nhau" và ngược lại; "tứ giác có một cặp cạnh đối song song
và bằng nhau" cùng với "tứ giác có hai cạnh kề nhau vuông góc với nhau" có thể
kéo theo "tứ giác có 4 góc vuông" và ngược lại; "tứ giác có 4 góc vuông" có thể
kéo theo "tứ giác có hai đường chéo bằng nhau" và ngược lại (đây chính là các
thuộc tính đặc trưng của khái niệm hình chữ nhật).

Từ các quan niệm đã nêu, tuy có một vài điểm khác, nhưng tựu trung lại
phân tích thực chất là tìm cho ra cấu trúc của sự vật và hiện tượng bao gồm những
thành phần chủ yếu nào, quan hệ giữa các thành phần đó như thế nào, mỗi một
thành phần như vậy với tư cách là một bộ phận của cái chung lại bao gồm những gì.
Phân tích là làm nhiệm vụ tách cấu trúc, nhận thức cấu tạo của bộ phận, mối quan
hệ giữa các bộ phận, nhiệm vụ cuối cùng là hiểu được bản chất của đối tượng, sự
vật, hiện tượng. Trên cơ sở phân tích các định nghĩa đó, có thể quan niệm về phân
tích như sau: Phân tích là quá trình dùng trí óc tách cái toàn thể ra từng bộ phận
theo các dấu hiệu và thuộc tính của chúng nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ
và sâu sắc hơn.
Chúng ta có thể xem có hai hình thức phân tích như sau:
Hình thức thứ nhất, đó là tách vấn đề thành các bộ phận theo một tiêu chí.
Chẳng hạn như phân tích khái niệm số nguyên thành hai bộ phận: số chẵn và số lẻ;
phân tích khái niệm số nguyên thành ba bộ phận: chia cho 3 dư 1, chia cho 3 dư 2 và
chia hết cho 3; phân tích biệt thức
ac
b
4
2
−=∆
của tam thức bậc hai
(
)
(
)
0
2
≠++= acbxaxxf
(trong tập số thực) thành ba trường hợp:
0

,
0
<
∆
>
∆
và
0
=
∆
, Việ
c tách nh
ư
th
ế
nào tùy t
ừ
ng
đặ
c
đ
i
ể
m, yêu c
ầ
u, m
ụ
c
đ
ích c

ủ
a bài toán.
Hình th
ứ
c phân tích th
ứ
hai,
đ
ó là tách ra m
ộ
t thành ph
ầ
n, t
ậ
p trung chú ý
vào thành ph
ầ
n
đ
ó, thu th
ậ
p các thông tin t
ừ
vi
ệ
c nghiên c
ứ
u thành ph
ầ
n v

ừ
a tách
ra. Ch
ẳ
ng h
ạ
n, trong m
ộ
t ph
ươ
ng trình, tách v
ế
ph
ả
i c
ủ
a ph
ươ
ng trình, quan sát,
xem xét các phép toán, các con s
ố
trong bi
ể
u th
ứ
c v
ế
ph
ả
i, t

ừ

đ
ó
đư
a ra các thông
tin v
ề
bi
ể
u th
ứ
c này. Ti
ế
p t
ụ
c tách v
ế
trái c
ủ
a ph
ươ
ng trình và rút ra các thông tin
thu nh
ậ
n
đượ
c t
ừ
v

ế
trái.




18

1.2.2.2. Tổng hợp
Xét từ bình diện của triết học thì: "Tổng hợp là phương pháp dựa vào sự
phân tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố, để nhận thức được cái
toàn thể" [100, tr. 86].
Ngoài ra, còn có rất nhiều định nghĩa khác nhau về tổng hợp của các nhà
khoa học, chẳng hạn như: "Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận
thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống" [54, tr. 46]. "Tổng hợp là một
hoạt động nhận thức, phản ánh của tư duy, biểu hiện trong việc xác lập tính chất
thống nhất của các phẩm chất và thuộc tính của các yếu tố trong một sự vật nguyên
vẹn có thể có được, trong việc xác định phương hướng thống nhất và xác định các
mối liên hệ và các quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó, trong việc liên
kết và kết hợp chúng và chính như vậy là đã thu được một sự vật và hiện tượng
nguyên vẹn mới" [82, tr. 97]. "Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn
thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn
thể" [8, tr. 16]. "Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất những bộ phận,
những thuộc tính, những thành phần đã được phân tách nhờ phân tích thành một
chỉnh thể" [107, tr. 116]. "Tổng hợp là kết các phần riêng lẻ lại, là khái quát các dấu
hiệu, là tạo lập một cái toàn vẹn" [33, tr. 110]. "Tổng hợp là nhìn bao quát lên một
chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, cố mô tả được bức tranh toàn cảnh của cả chỉnh thể,
các mối quan hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chỉnh thể với môi trường
xung quanh" [97, tr. 125].
Ví dụ 1.4: Từ việc phân tích các thuộc tính của hình chữ nhật nhìn từ các góc

độ cạnh, góc, đường chéo và mối quan hệ giữa các đối tượng đó, tổng hợp lại chúng
ta có định nghĩa về khái niệm hình chữ nhật dựa trên các thuộc tính đặc trưng của
nó: "Hình chữ nhật là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau"; "hình chữ nhật
là hình bình hành có một góc vuông"; "hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông".
Mặc dù có nhiều định nghĩa khác nhau về tổng hợp nhưng đều thống nhất
rằng tổng hợp là kết hợp các thành phần đã được tách nhờ phân tích thành một
chỉnh thể nguyên vẹn, cuối cùng nhìn nhận lại để biết được các thuộc tính của đối
tượng, dấu hiệu bản chất của đối tượng. Trên cơ sở các định nghĩa trên, có thể thống
nhất quan niệm về tổng hợp: Tổng hợp là quá trình dùng trí óc liên kết những bộ
phận, những thuộc tính, những thành phần đã được tách nhờ phân tích thành một
chỉnh thể theo một mục đích xác định nhằm đem lại một kết quả mới, một sự hiểu
biết mới nào đó về hiện thực.



19

Tương ứng với hai hình thức của phân tích, có hai hình thức tổng hợp sau:
Hình thức tổng hợp thứ nhất đó là nhập các đối tượng vừa phân tích, chẳng
hạn như hợp nhất hai đối tượng số chẵn và số lẻ sẽ được khái niệm số nguyên. Hình
thức thứ hai là gắn một thông tin vừa thu nhận được từ việc tách một bộ phận ra
nghiên cứu vào cái toàn thể, chẳng hạn như từ việc nghiên cứu vế trái của phương
trình có thể đưa ra thông tin về vế trái là hàm số đồng biến, gắn thông tin này vào
cái toàn thể là phương trình, ta thu nhận được phương trình này có vế trái là một
hàm số đồng biến.
Ngoài hai hình thức tổng hợp trên, có thể có một hình thức khác của tổng
hợp, đó là trước tiên nhìn nhận sự vật hay hiện tượng trong sự toàn vẹn của nó một
cách bao quát để định hướng cho sự phân tích.
1.2.2.3. Mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp
Có nhiều luận điểm nói về mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp, chẳng

hạn như: "Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại
là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động cơ bản của quá
trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều được diễn ra trên nền tảng phân tích
và tổng hợp" [54, tr. 46]. "Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ qua lại mật thiết
với nhau, tạo thành sự thống nhất không tách rời được: Sự phân tích được tiến
hành theo hướng tổng hợp, còn sự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của phân
tích" [107, tr. 116]. "Là những thao tác trái ngược nhau, phân tích và tổng hợp
đồng thời lại liên hệ chặt chẽ với nhau, là hai mặt của một quá trình thống nhất"
[8, tr. 16]. F. Engels viết: " Trước hết, chúng ta thấy bức tranh tổng quát, trong đó
các chi tiết còn mờ nhạt ít nhiều. Nhưng dù đã nắm được toàn bộ tính chất chung
của bức tranh các hiện tượng đến thế nào đi nữa, cách nhìn ấy vẫn không đủ để giải
thích những chi tiết kết thành toàn bộ bức tranh ấy, và chừng nào chúng ta chưa giải
thích nổi các chi tiết thì chúng ta cũng chưa thể có một quan niệm rõ rệt về bức
tranh chung được" (dẫn theo [82, tr. 105]). Đây chính là lý do để tiến hành thao tác
phân tích nhằm hướng tới tổng hợp ở mức độ nhận thức cụ thể và sâu sắc hơn.
Nhận thức luôn luôn bắt đầu từ sự tri giác và sự thông hiểu cái nguyên vẹn,
từ sự tổng hợp, bởi vì hiện thực cụ thể tồn tại trong các sự vật và hiện tượng nguyên
vẹn. Những tri giác tổng hợp ban đầu cung cấp cho chúng ta tri thức tổng quát, tản
mạn về các sự vật hiện tượng. Nhưng sự tổng hợp ban đầu đó thường xác định được
phương hướng nghiên cứu phân tích các sự vật hoặc hiện tượng. Sự phân tích ban
đầu xuất phát từ tri thức tổng hợp, nó chỉ có ý nghĩa trong mối tương quan với tổng



20

hợp [82, tr. 102]. I. P. Páplốp viết: "Trong thực tế, trước khi phân tích thì đã có một
hiện tượng thần kinh đặc biệt, một loại hoạt động tổng hợp" (dẫn theo [82, tr. 102]).
Về sau, chúng ta nghiên cứu các bộ phận của một sự vật nguyên vẹn với các phẩm
chất và thuộc tính của nó trong các mối quan hệ giữa chúng theo một phương hướng

nhất định sẽ giúp ta có một nhận thức tổng hợp đầy đủ hơn và sâu sắc hơn về sự vật
và hiện tượng đó.
Đồng thời với sự tổng hợp trên, sự phân tích đi càng xa và càng sâu bao
nhiêu, thì sự tổng hợp càng trở nên đầy đủ bấy nhiêu, tri thức về sự vật hoặc hiện
tượng hoàn chỉnh càng được hiểu rõ và phong phú bấy nhiêu. Sự tổng hợp được
hoàn thiện sẽ ảnh hưởng đến chất lượng của sự phân tích tiếp sau và giúp cho việc
nghiên cứu đầy đủ và sâu sắc hơn sự vật và hiện tượng với các bộ phận của nó và
mối quan hệ giữa chúng. Như vậy, sự phân tích được hoàn thiện cùng với sự phát
triển tổng hợp của học sinh và việc hoàn thiện sự phân tích cũng dẫn đến hoàn thiện
sự tổng hợp [82].
Trong dạy học giải bài tập toán, Hoàng Chúng cho rằng: Trước tiên, phải tìm
hiểu bài toán một cách tổng hợp, tránh thói quen không tốt của một số học sinh là đi
vào ngay các chi tiết trước khi nhìn bài toán một cách tổng quát, hiểu bài toán một
cách toàn bộ. Sau đó, phân tích bài toán: cái gì chưa biết, phải tìm? những cái gì đã
cho? mối liên hệ giữa cái chưa biết và cái đã cho là gì? [8].
Từ các luận điểm trên, chúng ta có thể thống nhất rằng:
- Bất cứ hoạt động học tập nào cũng được thực hiện thông qua phân tích và tổng
hợp, vì suy cho cùng đó là việc thực hiện một nhiệm vụ nhận thức;
- Sự phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp, còn sự tổng hợp được
thực hiện theo kết quả của phân tích;
- Trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là
tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm
mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy. Phân tích cái
toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn.
- Phân tích và tổng hợp là hai thao tác trái ngược nhau, không tách rời nhau
của một quá trình thống nhất vì chúng cùng một mục đích là phục vụ quá trình tư
duy. Sự thống nhất này còn thể hiện ở chỗ: cái toàn thể ban đầu (tổng hợp I) định
hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào. Kết quả của phân
tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp II).

21

Trên cơ sở định nghĩa cùng với mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp, có
thể đưa ra quy trình chung thực hiện các thao tác đó đối với một nhiệm vụ nhận
thức như sau:
Bước 1: Quan sát cái toàn thể một cách tổng quát, xác định vấn đề cần giải quyết;
Bước 2: Xác định các đối tượng, quan hệ cần thiết cho việc giải quyết vấn
đề. Tách cái toàn thể thành các bộ phận theo các quan hệ đã được xác định;
Bước 3: Xác định, nghiên cứu tính chất của các bộ phận vừa phân tách;
Bước 4: Gắn thông tin thu nhận được ở bước 3 vào cái toàn thể ban đầu, kết
hợp các bộ phận vừa tách thành cái toàn thể hoàn chỉnh hơn.
Trong quy trình của phân tích - tổng hợp ở trên, bước 1 là sự tổng hợp sơ bộ
ban đầu về cái toàn thể, định hướng cho việc phân tích ở bước 2 (hình thức phân
tích thứ nhất). Sau khi tách cái toàn thể thành các bộ phận thì tiếp tục bước 3, phân
tích mỗi bộ phận để tìm hiểu thông tin từ mỗi bộ phận đó (hình thức phân tích thứ
2). Bước 4 gắn thông tin vừa thu nhận được từ việc phân tích mỗi bộ phận vào cái
toàn thể (hình thức tổng hợp thứ nhất), đồng thời kết hợp các bộ phận thành cái toàn
thể hoàn chỉnh (hình thức tổng hợp thứ 2).
Ví dụ 2.5: Phân tích - tổng hợp thể hiện trong bài toán: Giải bất phương trình:

5624534
222
+−≥+−++− xxxxxx
.
Bước 1: Quan sát cái toàn thể một cách tổng quát, xác định vấn đề cần giải quyết.
Cái toàn thể ở đây là một bất phương trình vô tỷ, vấn đề cần giải quyết là tìm
cách giải bất phương trình đó.
Bước 2: Xác định các đối tượng, quan hệ cần thiết cho việc giải quyết vấn

đề. Phân tách cái toàn thể thành các bộ phận theo các quan hệ đã được xác định.
Các đối tượng, quan hệ cần thiết cho việc giải bất phương trình đó là: các
phương pháp thường dùng để giải bất phương trình vô tỷ, tập xác định của bất
phương trình, vế trái của bất phương trình, vế phải của bất phương trình, Phân
tích bất phương trình đã cho thành các thành phần theo các yếu tố vừa chỉ ra ở trên.
Bước 3: Xác định, nghiên cứu tính chất của các bộ phận vừa phân tách.
Các phương pháp thường dùng để giải bất phương trình vô tỷ là: bình
phương hai vế một cách thích hợp, đặt ẩn phụ, phân chia tập xác định của bất
phương trình thành các bộ phận và giải trên mỗi bộ phận đó, đánh giá,
Tập xác định của bất phương trình là
(
]
[
)
+∞
∪
∞
−
=
;51;D
.