ThS. Nguyễn Văn Bảy - PP TÍNH TÍCH PHÂN

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
TOÏM TÀÕT PHÆÅNG PHAÏP TÊNH TÊCH
PHÁN
NGUYÃN HAÌM
1. Định nghĩa: F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên D nếu
F’(x) = f(x), ∀ x ∈ D
2. Các tính chất:
1) (
∫
dxxf )(
)’ = f(x)
2)
∫
dxxaf )(
= a
∫
dxxf )(

3)
∫ ∫∫
+=+
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([(
4)
∫ ∫
+=⇒+=
CuFduufCxFdxxf )()()()(

3. Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp:
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp

tương ứng
(dưới đây u = u(x))
∫
+=
Cxdx
∫
+
+
=
+
C
x
dxx
1
1
α
α
α
( α ≠-1)
∫
+=
Cxdx
x
ln
1
(x ≠ 0)
∫
+= Cedxe
xx
∫

+=
C
a
a
dxa
x
x
ln
(0 < a ≠ 1)
∫
+=
Cxxdx sincos
∫
+−=
Cxxdx cossin
∫
+=
Cxdx
x
tan
cos
1
2
∫
+−=
Cxdx
x
cot
sin
1

2
∫
+=
Cudu
∫
+
+
=
+
C
u
duu
1
1
α
α
α
( α ≠ -1)
∫
+=
Cudu
u
ln
1
(u ≠ 0)
∫
+=
Cedue
uu
∫

+=
C
a
a
dua
u
u
ln
(0 < a ≠ 1)
∫
+=
Cuudu sincos
∫
+−=
Cuudu cossin
∫
+=
Cudu
u
tan
cos
1
2
∫
+−=
Cudu
u
cot
sin
1

2
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Hệ quả:
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp
∫
+
+
+
=+
+
C
1
)bax(
.
a
1
dx)bax(
1
α
α
α
(α ≠ -1)
∫
++=
+
Cbaxln

a
1
dx
bax
1

∫
+=
++
Ce
a
1
dxe
baxbax
∫
+=
+
+
C
aln
a
.
m
1
dxa
nmx
nmx


∫

++=+
C)baxsin(
a
1
dx)baxcos(
∫
++−=+
C)baxcos(
a
1
dx)baxsin(
∫
++=
+
Cbax
a
dx
bax
)tan(
1
)(cos
1
2
∫
++−=
+
Cbax
a
dx
bax

)cot(
1
)(sin
1
2
ÂËNH NGHÉA TÊCH PHÁN
I. Định nghĩa tích phân:
∫
−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(
II. Các tính chất:
(1)
∫
=
a
a
dxxf 0)(
(2)
∫ ∫
−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
(3)

∫ ∫
=
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
(4)
∫ ∫ ∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
(5)
∫ ∫ ∫
+=
c
a
b
a
c
b
dxxfdxxfdxxf )()()(
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 2- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
(6) f(x)

≥
0,
∀
x
∈
[a; b]
⇒
∫
≥
b
a
dxxf 0)(
(7) f(x)
≥
g(x),
∀
x
∈
[a; b]
⇒
∫ ∫
≥
b
a
b
a
xgdxxf )()(
(8) m
≤
f(x)

≤
M ,
∀
x
∈
[a; b]
⇒
∫
−≤≤−
b
a
abMdxxfabm )()()(
PHÆÅNG PHAÏP TÊNH TÊCH PHÁN
I. Phương pháp đổi biến số:
1. Đổi biến dạng 1:
Dạng : Tính tích phân:
∫
=
b
a
dxxfI )(
+ Đặt x = u(t)
⇒
dx = u’(t)dt.
+ Đổi cận: x = a
⇒
t =
α
và x = b
⇒

t =
β
Khi đó:

∫∫
==
β
α
dttutufdxxfI
a
a
)(')]([)(
Các dạng toán thường gặp :
Bài toán 1:
2 2
I a x dx
β
α
= −
∫
Đặt x = asint, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 
 

Bài toán 2:
2 2
1
I dx
a x
β
α
=
−
∫
Đặt x = asint, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 3- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài toán 3:
2 2
1
( )
I dx
a x b
β
α

=
− −
∫
Đặt x – b = asint, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
Bài toán 4:
2 2
1
I dx
a x
β
α
=
+
∫
Đặt x = atant, t
∈

;
2 2
π π
 

−
 ÷
 
Bài toán 5:
2
1
' ' '
I dx
a x b x c
β
α
=
+ +
∫

với phương trình a’x
2
+ b’x + c’ = 0 vô nghiệm.
Ta viết lại :
2 2
1 1
' ( )
I dx
a a x b
β
α
=
+ +
∫
Đặt x+b = atant, t

∈

;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
2. Đổi biến dạng 2:
Dạng : Tính tích phân:
( ). '
b
a
I f u u dx
=
∫

+ Đặt t = u(x)
⇒
dt = u’(x)dx
+ Đổi cận: x = a
⇒
t =
α
và x = b
⇒
t =
β

∫
=⇒
β
α
dttfI )(
2. Phương pháp tích phân từng phần:
a) Công thức vi phân:
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .

trong đó u, v là các hàm số ẩn x có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b].
b) Phương pháp giải toán bằng phương pháp tích phân từng phần:
Tính tích phân:
∫
=
b
a
dxxgxfI )]()([
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 4- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
+ Đặt:




=
=
⇒



=
=
)(
)('
)(
)(
xGv
dxxfdu
dxxgdv
xfu
+ Khi đó:

∫∫
−==
b
a
b
a
b
a
vduvudxxgxfI .)().(

∫

−=
b
a
b
a
dxxfxGxGxf )(')()().(
c) Một số dạng toán áp dụng thuật toán tích phân từng phần:
Xét P(x) là một đa thức biến x, ta có các dạng toán áp dụng công
thức tích phân tứng phần sau đây
Dạng 1:
dx
x
x
e
xpI
b
a
x
∫
=
cos
sin).(

PP: Đặt: u = P(x) và dv =
xcos
xsin
e
x
dx
Dạng 2:

dx
x
x
eI
b
a
x
∫
=
cos
sin
.


PP: Đặt u = e
x
và dv =
xsin
xcos
dx và thực hiện hai lần tích phân từng
phần.
Dạng 3:
∫
=
b
a
xdxxPI ln).(
PP: Đặt u = lnx và dv = P(x).
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 5- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC

PHÁN LOAÛI PHÆÅNG PHAÏP GIAÍI TOAÏN
TÊCH PHÁN
TÊCH PHÁN HAÌM HÆÎU TYÍ
I. Tích phân hàm phân thức máùu bậc nhất:
Dạng 1: A =
dx
bax
∫
+
β
α
1

PP:
β
α
β
α
β
α
bax
abax
baxd
a
dx
bax
+=
+
+
=

+
∫∫
ln
1)(11
Dạng 2:
( )
ax
f x
B dx
b
β
α
=
+
∫
PP:
Cách 1: Ta thực hiện phép chia đa thức để viết tích phân về dạng:
( )
( ( ) )
ax ax
f x c
B dx g x dx
b b
β β
α α
= = +
+ +
∫ ∫
Cách 2: Đổi biến bằng cách đặt t = ax + b
Dạng 3: C =

dx
bax
k
∫
+
β
α
)(
1
( k ≠ 1)
PP:
Cách 1:
∫∫∫
++=
+
+
=
+
−
β
α
β
α
β
α
)()(
1
)(
)(1
)(

1
baxdbax
a
bax
baxd
a
dx
bax
k
kk
=
1
1 1 1
.
1 (ax )
k
a k b
β
α
−
− +
Cách 2: Đổi biến bằng cách đặt: t = ax + b
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 6- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
II. Tích phân hàm phân thức mẫu là tam thức bậc hai:
TH1: Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x = x
1
và x = x

2
.
Dạng 1:
∫
++
β
α
dx
bxax ))((
1

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
∫∫∫






+
−
+−
=
++
+−+
−
=
++
β
α

β
α
β
α
dx
bxaxab
dx
bxax
axbx
ab
dx
bxax
111
))((
)()(1
))((
1
Dạng 2:
dx
cbxax
nmx
∫
++
+
β
α
2

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
dx

xx
B
xx
A
a
dx
xxxxa
nmx
dx
cbxax
nmx
∫∫∫
−
+
−
=
−−
+
=
++
+
β
α
β
α
β
α
)(
1
))((

2121
2

Dạng 3:
dx
cbxax
)x(f
2
∫
++

với f(x) là đa thức bậc lớn hơn 1.

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
2
1 2 1 2
( ) ' ' 1
( ( ) ) ( ) ( )
( )( )
f x m x n A B
dx h x dx h x dx dx
ax bx c a x x x x a x x x x
β β β β
α α α α
+
= + = + +
+ + − − − −
∫ ∫ ∫ ∫

TH2: Phương trình ax

2
+ bx + c = 0 có nghiệm kép x = x
0
.
Bằng cách viết lại: ax
2
+ bx + c = a(x - x
0
)
2
. Ta có:

2
( )f x
I dx
ax bx c
β
α
=
+ +
∫

2
0
1 ( )
( )
f x
dx
a x x
β

α
=
−
∫
Dùng phương pháp đổi biến đặt t = x – x
0
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 7- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
TH3: Phương trình ax
2
+ bx + c = 0 vô nghiệm.
Dạng 1:
dx
cbxax
∫
++
β
α
2
1

Bài toán 1:
2 2
1
I dx
a x
β
α
=
+

∫

Đặt x = atant, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
Bài toán 2:
2
1
' ' '
I dx
a x b x c
β
α
=
+ +
∫

Ta viết lại :
2 2
1 1
' ( )
I dx
a a x b

β
α
=
+ +
∫
Đặt x+b = atant, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
Dạng 2:
dx
cbxax
nmx
∫
++
+
β
α
2

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
dx
cbxax
M

cbxax
cbxaxd
dx
cbxax
nmx
∫∫∫
++
+
++
++
=
++
+
β
α
β
α
β
α
22
2
2
)(

Dạng 3:
dx
cbxax
)x(f
2
∫

++

với f(x) là đa thức bậc lớn hơn 1.
PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
2 2
( ) ' '
( ( ) )
f x m x n
dx h x dx
ax bx c ax bx c
β β
α α
+
= +
+ + + +
∫ ∫

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 8- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
TÊCH PHÁN HAÌM VÄ TYÍ
I. Các dạng toán dùng phương pháp đổi biến:
1. Dưới căn thức là nhị thức bậc nhất:
Dạng :
( , )
n
I f x ax b dx
β
α
= +
∫

Biểu thức
( , )
n
f x ax b
+
chỉ chứa các lũy thừa của x và các lũy thừa của
n
ax b
+
PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t =
n
bax +
2. Dưới căn thức là biểu thức có bậc lớn hơn một:
Dạng :
1
( , ).
k n k k
I f x ax b x dx
β
α
−
= +
∫
Biểu thức
( , )
k n k
f x ax b
+
chỉ chứa các lũy thừa của x
k

và các lũy thừa của
n k
ax b
+
.
PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t =
n k
ax b+
2. Có nhiều dấu căn thức của cùng một biểu thức:
Dạng :
1
( , ).
m k n k k
I f ax b ax b x dx
β
α
−
= + +
∫
Biểu thức
( , )
m k n k
f ax b ax b
+ +
chỉ chứa các lũy thừa của
m k
ax b
+
và các
lũy thừa của

n k
ax b
+
.
PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t =
mn k
ax b+
II. Một số bài toán đặc biệt cần nhớ:
Bài toán 1:
2 2
I a x dx
β
α
= −
∫

PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 
 
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 9- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài toán 2:
2 2

1
I dx
a x
β
α
=
−
∫

PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
Bài toán 3:
2 2
1
( )
I dx
a x b
β
α
=
− −
∫

PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x – b = asint, t
∈

;
2 2
π π
 
−
 ÷
 
Bài toán 4: I =
∫
+
β
α
dx
kx
2
1
PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt
kxxt
++=
2
Bài toán 5: I =
∫
++
β
α
dx

cbxax
2
1
, với a > 0.
PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
∫
++
β
α
dx
cbxax
2
1
=
∫
++
β
α
dx
k)mx(
1
a
1
2
PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t = x + m đưa về bài toán 4.
Bài toán 6: I =
∫
+
β
α

dxkx
2
PP: Dùng phương pháp tích phân từng phần:
Đặt
2
2
x
du dx
u x k
x k
dv dx
v x

=

 
= +
⇒
+
 
=



=

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 10- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2

2 2
2
2 2
2
x
I x kdx x x k dx
x k
k
x x k x kdx dx
x k
α α
β
α
α α
α α
β
α
α α
⇒ = + = + −
+
= + − + +
+
∫ ∫
∫ ∫
2
2
2
2
1
( )

2
k
x x k I dx
x k
k
I x x k dx
x k
α
β
α
α
β
α
α
α
= + − +
+
⇒ = + +
+
∫
∫
Bài toán 7: I =
∫
++
β
α
dxcbxax
2
Ta viết lại:
2 2

( )ax bx cdx a x m ndx
β β
α α
+ + = + +
∫ ∫
Đặt t = x + m đưa tích phân về bài toán 6.
III. Các dạng toán phải nhân thêm lượng liên hiệp:
Dạng 1. I =
∫
+±+
β
α
dx
b)x(pa)x(p
1
Dạng 2. I =
[ ]
∫
+±
β
α
dx
b)x(p)x(p
1
2
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 11- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
TÊCH PHÁN HAÌM LÆÅÜNG GIAÏC
I. Phương pháp biến đổi thông thường:
1. Các công thức nguyên hàm cơ bản:

∫
+=
Cxxdx sincos
∫
++=+
C)baxsin(
a
1
dx)baxcos(
∫
+−=
Cxxdx cossin
∫
++−=+
C)baxcos(
a
1
dx)baxsin(
∫
+=
Ctgx
x
dx
2
cos
∫
++=
+
C)bax(tg
a

1
)bax(cos
dx
2
∫
+−=
Cgx
x
dx
cot
sin
2
∫
++−=
+
C)bax(gcot
a
1
)bax(sin
dx
2
2. Các dạng thường gặp:
Dạng 1: I =
∫
β
α
axdxsin
n
J =
∫

β
α
axdx
n
cos

Phương pháp:
+ Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc:
2
2cos1
sin
2
x
x
−
=
và
2
2cos1
cos
2
x
x
+
=

+ Nếu n lẻ thì:
•
Tích phân I ta biến đổi:
sin

n
ax = sin
2k
ax.sinax = (1 – cos
2
ax)
k
.sinax
và dùng phương pháp đổi biến, đặt t = cosax.
•
Tích phân J ta biến đổi:
cos
n
ax = cos
2k
ax.cosax = (1 – sin
2
ax)
k
.cosax
và dùng phương pháp đổi biến, đặt t = sinax.
Dạng 2: I =
∫
β
α
bxdxax cossin
J =
cos .cosax bxdx
β
α

∫
K =
sin .sinax bxdx
β
α
∫
Phương pháp:
Dùng các công thức sau biến đổi từ tích sang tổng:
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 12- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
[ ]
)cos()cos(
2
1
coscos bababa
++−=

[ ]
)cos()cos(
2
1
sinsin bababa
+−−=
[ ]
)sin()sin(
2
1
cossin bababa
++−=

sau đó áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.
Một số công thức giúp hạ bậc các biểu thức lượng giác:

3 3
1
1 1 2
2
sin x cos x (sin x cos x )( sin xcos x ) (sin x cos x )( sin x )
+ = + − = + −

3 3
1
1 1 2
2
sin x cos x (sin x cos x )( sin xcos x ) (sin x cos x )( sin x )
− = − + = − +

xxx 2sin
2
1
1cossin
244
−=+
II. Phương pháp đổi biến:
Bài toán 1:
(sinx).cosf xdx
β
α
∫
PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx

Bài toán 2:
(cos ).sinf x xdx
β
α
∫
PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = cosx
Bài toán 3:
2
1
(t anx).
os
f dx
c x
β
α
∫
PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = tanx
Bài toán 4:
2
1
(cot x).
sin
f dx
x
β
α
∫
PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = cotx
Bài toán 5:
(sin 2x,sinx cos )(sinx cos )f x x dx

β
α
+ −
∫
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 13- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx + cosx và sin2x = t
2
- 1
Bài toán 6:
(sin 2x,sinx-cos )(sinx+cos )f x x dx
β
α
∫
PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx - cosx và sin2x = 1- t
2


Chú ý: Một số dạng tích phân hàm lượng giác f(sinx, cosx) phức tạp,
nếu khó biến đổi thành các tích phân đặc biệt thì dùng phương pháp đổi
biến đặt:
t = tan
2
x
và áp dụng các công thức: sinx =
2
1
2
t
t

+
và cosx =
2
2
1
1
t
t
+
−
III. Phương pháp tích phân từng phần:
Bài toán 1:
sin
( ).
cos
b
a
x
I p x dx
x
=
∫
PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = P(x) và dv =
sinx
cos
dx
x

Bài toán 4:
sin

.
cos
b
x
a
x
I e dx
x
=
∫
PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u =
sinx
cos x
và dv = e
x
dx
Bài toán 3:
2
sin x
ax b
I dx
β
α
+
=
∫
PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = ax + b và dv =
2
1
sin x

dx

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 14- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài toán 4:
2
cos x
ax b
I dx
β
α
+
=
∫
PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = ax + b và dv =
2
1
cos x
dx

IV. Một số dạng toán đặc biệt cần nhớ:
Bài toán 1: I =
∫
β
α
xdxx
mn
cossin
J=
∫

β
α
dx
x
x
m
n
cos
sin
Phương pháp:
+ Nếu mũ lẻ đối với sinx thì đặt t = cosx. Nếu mũ lẻ đối với cosx thì
đặt t = sin x.
+ Nếu mũ lẻ đối với cả sinx và cosx thì nên đặt t = sinx.
Bài toán 2:
1
cos
dx
x
β
α
∫
PP: Viết lại:
I =
2 2
1 cos cos
cos cos 1 sin
x x
dx dx dx
x x x
β β β

α α α
= =
−
∫ ∫ ∫
sau đó đổi biến t = sinx
Bài toán 3:
1
cos sinx
dx
x
β
α
+
∫
PP: Viết lại:
I =
2 2
cos( ) cos( )
1 1
4 4
cos sinx
cos( ) cos ( ) 1 sin ( )
4 4 4
x x
dx dx dx dx
x
x x x
β β β β
α α α α
π π

π π π
− −
= = =
+
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫
sau đó đổi biến t = sin
( )
4
x
π
−
Bài toán 4:
1
sinx
dx
β
α
∫
PP: Viết lại:
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 15- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
I =
2 2
1 sin sin
sin sin 1 os
x x
dx dx dx
x x c x
β β β

α α α
= =
−
∫ ∫ ∫
sau đó đổi biến t = cosx
Bài toán 5:
4
1
cos x
dx
β
α
∫
PP: Viết lại:
I =
2
4 2
1 1
(1 tan )
cos x cos x
dx x dx
β β
α α
= +
∫ ∫
sau đó đổi biến t = tanx
Bài toán 5:
4
1
sin x

dx
β
α
∫
PP: Viết lại:
I =
2
4 2
1 1
(1 cot )
sin x sin x
dx x dx
β β
α α
= +
∫ ∫
sau đó đổi biến t = cotx
Bài toán 6:
dx
xx
I
∫
=
β
α
22
cossin
1
PP: Viết lại:
2

2 2 2 2 2
1 1 1 1
(1 cot ) (1 )
sin x.cos os x tan os x
dx x dx dx
x c x c
β β β
α α α
= + = +
∫ ∫ ∫
sau đó đổi biến t = tanx
Bài toán 7:
∫
++
++
β
α
dx
cxbxa
cxbxa
'cos'sin'
cossin
PP: Đổi biến đặt : t = tan
2
x
, sinx =
2
1
2
t

t
+
và cosx =
2
2
1
1
t
t
+
−
TÊCH PHÁN HAÌM MUÎ VAÌ LÄGARIT
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 16- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
I. Tích phân hàm số mũ:
1. Các công thức nguyên hàm cơ bản:
∫
+= Cedxe
xx
∫
+=
++
Ce
a
1
dxe
baxbax
∫
+= C
a

a
dxa
x
x
ln
∫
+=
+
+
C
aln
a
.
m
1
dxa
nmx
nmx
2. Phương pháp đổi biến:
Bài toán 1:
1
( ).
x x
I f e e dx
β
α
=
∫
PP: Đổi biến t = e
x

.
Bài toán 2:
ax
2
( , ).
ax ax
I f e e c e dx
β
α
= +
∫
PP: Đổi biến t =
ax
e c
+
.
Bài toán tổng quát:
2
( ).( ' )
u u
I f e u e dx
β
α
=
∫
PP: Đổi biến t = e
u
.
3. Phương pháp tích phân từng phần :
Bài toán 1 : I =

∫
β
α
dxxfe
x
)(.
.
PP: Đặt



=
=
dxedv
xfu
x
)(
tính tích phân từng phần.
Bài toán 2 : I =
∫
β
α
xdxe
x
sin.

PP: Đặt




=
=
dxedv
xu
x
sin
tính tích phân từng phần hai lần để tìm I.
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 17- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài toán 3 I =
∫
β
α
xdxe
x
cos.
.
PP: Đặt



=
=
dxedv
xu
x
cos
tính tích phân từng phần hai lần để tìm I.
II. Tích phân hàm lôgarit:
1. Phương pháp đổi biến:

Bài toán 1:
∫
=
β
α
dx
x
xfI
1
).(ln
1
PP: Đổi biến t = lnx
Bài toán 2:
1
1
(ln , ln ).
n
I f x a x b dx
x
β
α
= +
∫
PP: Đổi biến t =
ln
n
a x b+
Bài toán 3:
∫
−

=
β
α
dx
x
x
xfI
k
k
1
1
ln
).(ln
PP: Đổi biến t = ln
k
x
2. Phương pháp tích phân từng phần:
Bài toán 1: I
1
=
∫
+
β
α
dxxfbax )().ln(
PP: Đặt



=

+=
dxxfdv
baxu
)(
)ln(
tính tích phân từng phần.
Bài toán 2: I
2
=
∫
+
β
α
dxbax
k
)(ln
Đặt



=
+=
dxdv
baxu
k
)(ln
tính tích phân từng phần k lần.
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 18- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
DIÃÛN TÊCH HÇNH PHÀÓNG

A. TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP:
BÀI TOÁN 1: Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng: x = a, x = b.

∫
=
b
a
dxxfS |)(|
Để tính tích phân này, ta thực hiện:
+ Tìm nghiệm x
1
, x
2
, của phương
trình f(x) = 0 trên đoạn [a; b].
+ Lập bảng xét dấu. Dựa và dấu của
f(x) trên các khoảng để tính diện tích S.

BÀI TOÁN 2: Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường cong
y = f(x),y = g(x) và hai đường thẳng
x = a, x = b.

∫
−=
b
a
dxxgxfS |)()(|

THÃØ TÊCH CUÍA VÁÛT THÃØ TROÌN XOAY
A. TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP:
BÀI TOÁN 1: Tính thể tích vật thể tròn
xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi
đường cong (C): y = f(x), trục Ox, x = a
và x = b khi xoay quanh trục Ox.
Xác định bởi công thức:
∫∫
==
b
a
b
a
dxxfdxyV
22
)]([
ππ
BÀI TOÁN 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 19- ThS. Nguyễn Văn Bảy
y = f(x)
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong
(C): y = f(x) và y = g(x) khi xoay quanh trục Ox.
+ Tìm nghiệm x
1
và x
2
của phương
trình f(x) = g(x)
+ Thể tích khối trụ tròn xoay xác định

bởi công thức:
[ ] [ ]
∫
−=
2
1
22
)()(
x
x
dxxgxfV
π
BÀI TOÁN 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới
hạn bởi đường cong (C): x = f(y), y = a, y = bvà trục Oy khi xoay quanh
trục Oy. Xác định bởi công thức:

∫
=
b
a
dyyfV
2
)]([
π
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 20- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 21- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 22- ThS. Nguyễn Văn Bảy
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 23- ThS. Nguyễn Văn Bảy