BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (457.44 KB, 55 trang )
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos
2
a – sin
2
a
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos
2
a –1
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin
2
a
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa
tan(a + b) = tan2a =
tan(a - b) =
3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos
2
a =
1 2
2
cos a+
sin
2
a =
4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2.cos .cos
cosa - cosb = -2.sin .sin
sina + sinb = 2.sin .cos
sina - sinb = 2.cos .sin
sin( )
tan tan
osacosb
a b
a b
c
+
+ =
sin( )
tan tan
osacosb
a b
a b
c
−
− =
5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)]
[ ]
1
sin osb= sin( ) sin( )
2
ac a b a b
+ + −
[ ]
1
os sinb= sin( ) sin( )
2
c a a b a b
+ − −
6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x
r
a
d
-π
- - - - - - -
0
π
đ
ộ
-
18
0
o
-
150
o
-
135
o
-
120
o
-
90
o
-
60
o
-
45
o
-
30
o
0
30
o
45
o
60
o
90
o
12
0
o
13
5
o
15
0
o
180
o
si
n
0 -
- -
-1
- -
- 0 1 0
co
s
-1
- -
- 0 1 0 -
- -
-1
1
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
ta
n
0 1 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0
co
t
|| 1 0 - -1 - || 1 0 - -1 - ||
II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1.Phương trình sinx=a.( -1≤ a ≤ 1)
sinx = a ⇔
arcsina+k2
arcsina+k2
x
x
π
π π
=
= −
; k ∈ Z +sinx = sinα ⇔
+k2
+k2
x
x
α π
π α π
=
= −
; k ∈ Z ( a = sinα)
sinx = 0 ⇔ x = kπ; k ∈ Z
sinx = 1 ⇔ x = + k2π; k ∈ Z
sinx = -1 ⇔ x = -+ k2π; k ∈ Z
2.Phương trình cosx=a.( -1≤ a ≤ 1)
cosx = a ⇔
arccosa+k2
arccosa+k2
x
x
π
π
=
= −
; k ∈ Z +cosx = cosα ⇔
+k2
+k2
x
x
α π
α π
=
= −
; k ∈ Z ( a = cosα)
cosx = 0 ⇔ x = + kπ; k ∈ Z
cosx = 1 ⇔ x = k2π; k ∈ Z
cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z
3.Phương trình tanx=a.
TXĐ:
\ ,
2
k k
π
π
+ ∈
¡ ¢
+
t anx=a x=arctana+k ,k
π
⇔ ∈¢
+
tanx=tan x= +k ,k
α α π
⇔ ∈¢
tanx=1 x= ,
4
tanx=-1 x=- ,
4
t anx=0 x= ,
k k
k k
k k
π
π
π
π
π
⇔ + ∈
⇔ + ∈
⇔ ∈
¢
¢
¢
4.Phương trình cotx=a.
TXĐ:
{ }
\ ,k k
π
∈¡ ¢
+
t x=a x=arccota+k ,kco
π
⇔ ∈¢
+
cotx=cot x= +k ,k
α α π
⇔ ∈¢
cotx=1 x= ,
4
cotx=-1 x=- ,
4
t x=0 x= ,
2
k k
k k
co k k
π
π
π
π
π
π
⇔ + ∈
⇔ + ∈
⇔ + ∈
¢
¢
¢
III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
1.Phương trình a.sinx+bcosx=c (
2 2
0a b+ ≠
)
2 2 2 2 2 2
sinx+ osx=
a b c
c
a b a b a b
⇔
+ + +
đặt:
2 2
2 2
os =
sin
a
c
a b
b
a b
α
α
+
=
+
2
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
phương trình trở thành:
2 2
sinx os osx sin
c
c c
a b
α α
+ =
+
2 2
sin( )
c
x
a b
α
⇔ + =
+
*Chú ý
+Phương trình có nghiệm khi
2 2 2
c a b≤ +
+Nếu
. 0, 0a b c≠ =
thì:
sin cos 0 tan
b
a x b x x
a
+ = ⇔ = −
2.Phương trình :
2 2
asin sinxcosx+ccos 0x b x+ =
(1)
+Nếu a = 0:
2
sinxcosx+ccos 0b x =
osx(bsinx+ccosx)=0c⇔
osx=0
bsinx+ccosx=0
c
⇔
+Nếu c = 0:
2
asin sinxcosx=0x b+
sinx(asinx+bcosx)=0⇔
sinx=0
asinx+bcosx=0
⇔
+Nếu
0, 0,cos 0a c x≠ ≠ ≠
:
2 2
2 2 2
sin sinxcosx cos
(1) 0
cos cos cos
x x
a b c
x x x
⇔ + + =
2
tan t anx+c=0a x b⇔ +
BÀI TẬP.
Bài 1.Giải các phương trình:
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
π
− =
b)
2
2cos 3 cos 0x x+ =
c)
3 sin3 cos3 2x x− =
d)
2 2
sin sin 2 2cos 2x x x
+ + =
Giải.
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
π
− =
⇔
5
8 2
x k
π π
π
− = +
⇔
5
k
x
π
π
= +
b)
2
2cos 3 cos 0x x+ =
cos 0
2
,
3
5
cos
2
2
6
x
x k
k
x
x k
π
π
π
π
=
= +
⇔ ⇔ ∈
= −
= ± +
¢
c)
3 sin3 cos3 2x x− =
3 1
sin 3 cos3 1
2 2
x x⇔ − =
⇔
sin
(3 )
6
x
π
−
= 1
⇔
3 2
6 2
x k
π π
π
− = +
⇔
2 2
9 3
k
x
π π
= +
d)
2 2
sin sin 2 2cos 2x x x
+ + =
⇔
sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0
sin 0
tan 2 arctan 2
x x k
x x k
π
π
= =
⇔ ⇔
= = +
Bài 2.Giải các phương trình:
a)
3
3 tan(3 ) 0
5
x
π
+ =
⇔
3
3
5
x k
π
π
+ =
⇔
5 3
k
x
π π
= − +
3
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
b)
2
2sin sin 1 0x x
− − =
2
2
sin 1
2 ,
1
6
sin
2
7
2
6
x k
x
x k k
x
x k
π
π
π
π
π
π
= +
=
⇔ ⇔ = − + ∈
= −
= +
¢
c)
sin 5 cos5 2x x
+ = −
1 1
sin 5 cos5 1
2 2
x x⇔ + = −
⇔
sin
(5 )
4
x
π
+
= - 1
⇔
5 2
4 2
x k
π π
π
+ = − +
⇔
3 2
20 5
k
x
π π
= − +
d)
2 2
3sin sin 2 cos 3x x x+ + =
2
2sin cos 2cos 0 2cos (sin cos ) 0x x x x x x⇔ − = ⇔ − =
2
cos 0
2
tan 1
4
x k
x
x
x k
π
π
π
π
= +
=
⇔ ⇔
=
= +
e.
cos2 3sin 2 0x x+ − =
2 2
1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0x x x x⇔ − + − = ⇔ − + =
2
2
sin 1
2 ,
1
6
sin
2
5
2
6
x k
x
x k k
x
x k
π
π
π
π
π
π
= +
=
⇔ ⇔ = + ∈
=
= +
¢
f.
3sin cos 2x x+ =
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x⇔ + =
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x
π π
⇔ + =
sin( ) sin
6 4
x
π π
⇔ + =
⇔
2
2
6 4
12
,
3 7
2 2
6 4 12
x k
x k
k
x k x k
π π
π
π
π
π π π
π π
+ = +
= +
⇔ ∈
+ = + = +
¢
g.
3sin cos 2x x− =
3 1 2
sin cos
2 2 2
x x⇔ − =
2
sin cos cos sin
6 6 2
x x
π π
⇔ − =
sin( ) sin
6 4
x
π π
⇔ − =
5
2
2
6 4
12
,
3 11
2 2
6 4 12
x k
x k
k
x k x k
π π
π
π
π π π
π π
− = +
= +
⇔ ⇔ ∈
− = + = +
¢
4
-Ti liu ụn tp phng trỡnh lng giỏc-
h.
2cos2 3cos 1 0x x + =
2
4cos 3cos 1 0x x =
cos 1 2
,
1 1
cos arccos( ) 2
4 4
x x k
k
x x k
= =
= = +
Â
i.
2 2
2sin 3sin cos 5cos 0x x x x+ =
2
2 n 3 n 5 0ta x ta x + =
tan 1
4
,
5
5
tan
arctan( )
2
2
x
x k
k
x
x k
=
= +
=
= +
Â
Bi 3.Gii cỏc phng trỡnh:
a.
3sin sin 2 0x x+ =
b.
2 2cos 2sinx x =
c.
sin sin3 sin5 0x x x+ + =
d.
sin sin3 sin5 cos cos3 cos5x x x x x x+ + = + +
e.
2 2
2sin 5sin cos 4cos 2x x x x =
f.
2 2
2cos 2 3sin 2x x+ =
g.
2 2
sin 2 cos 3 1x x+ =
h.
tan .tan5 1x x =
i.
5cos2 12sin 2 13x x =
j.
2sin 5cos 4x x =
k.
2cos 3sin 2x x+ =
Bi 4.Gii cỏc phng trỡnh:
a.
tan cot 2x x+ =
b.
2
(3 cot ) 5(3 cot )x x+ = +
c.
3(sin3 cos ) 4(cos3 sin )x x x x =
d.
2 2
4sin 3 3sin 2 2cos 4x x x+ =
e.
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x+ + + =
f.
4 2
4sin 12cos 7x x+ =
Bi 5. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
=
b)
2
2cos 3 cos 0x x+ =
c)
3 sin3 cos3 2x x =
d)
2 2
sin sin 2 2cos 2x x x
+ + =
Baứi giaỷi :
a)
2 cot(5 ) 0
8
x
=
5
8 2
x k
= +
5
k
x
= +
b)
2
2cos 3 cos 0x x+ =
cos 0
3
cos
2
x
x
=
=
2
5
2
6
x k
x k
= +
= +
c)
3 sin3 cos3 2x x =
3 1
sin3 cos3 1
2 2
x x
=
Sin
(3 )
6
x
= 1
3 2
6 2
x k
= +
2 2
9 3
k
x
= +
d)
2 2
sin sin 2 2cos 2x x x
+ + =
sinx ( 2 cosx sinx ) = 0
sin 0
tan 2
x
x
=
=
5
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
⇔
arctan 2
x k
x k
π
π
=
= +
Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc :
a)
3
3 tan(3 ) 0
5
x
π
+ =
⇔
3
3
5
x k
π
π
+ =
⇔
5 3
k
x
π π
= − +
b)
2
2sin sin 1 0x x
− − =
⇔
sin 1
1
sin
2
x
x
=
= −
⇔
2
2
2
6
7
2
6
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
= +
= − +
= +
c)
sin 5 cos5 2x x
+ = −
1 1
sin 5 cos5 1
2 2
x x+ = −
⇔
Sin
(5 )
4
x
π
+
= - 1
⇔
5 2
4 2
x k
π π
π
+ = − +
⇔
3 2
20 5
k
x
π π
= − +
d)
2 2
3sin sin 2 cos 3x x x
+ + =
⇔
cos 0
tan 1
x
x
=
=
⇔
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a.
2sin 1 0
− =
x
b.
2cos 3 0− =x
c.
cos2 3sin 2 0x x
+ − =
d.
3 sin cos 2− =x x
a)
sin sin
6
=x
π
2
6
5
2
6
= +
⇔
= +
x k
x k
π
π
π
π
b)
cos cos
6
=x
π
2
6
⇔ = ± +x k
π
π
c)
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x
sin 1
1
sin
2
=
=
x
x
2
2
2
6
5
2
6
π
π
π
π
π
π
= +
= +
= +
x k
x l
x l
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
− =x x
5
2
12
11
2
12
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a.
2sin 3 0− =x
b.
2cos 1 0− =x
c.
cos2 3sin 2 0x x+ − =
d.
3 sin cos 2+ =x x
a)
sin sin
3
=x
π
2
3
2
2
3
= +
⇔
= +
x k
x k
π
π
π
π
b)
cos cos
3
=x
π
2
3
⇔ = ± +x k
π
π
c)
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x
2
2
2
6
5
2
6
= +
= +
= +
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
6
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
sin 1
1
sin
2
=
=
x
x
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
+ =x x
2
12
7
2
12
= +
= +
x k
x k
π
π
π
π
Bài 9. Giải các phương trình sau:
a.
2sin 1 0− =x
b.
2cos 2 0− =x
c.
2 cos2x -3cosx +1 =0
d.
3 sin cos 2− =x x
a)
sin sin
6
=x
π
2
6
5
2
6
= +
⇔
= +
x k
x k
π
π
π
π
b)
cos cos
4
=x
π
2
4
⇔ = ± +x k
π
π
c)
2
4cos 3cos 1 0− − =x x
cos 1
1
cos
4
=
= −
x
x
2
1
arccos 2
4
=
= ± − +
÷
x k
x k
π
π
d)
3 1 2
sin cos
2 2 2
− =x x
5
2
12
11
2
12
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
Bài 10. Giải Phương trình
a.
3 sin cos 2x x− =
b.
cos2 3sin 2 0x x
+ − =
c. cos
2
x + sinx +1=0
a/
3 1 2
sin cos
2 2 2
− =x x
sin sin
6 4
π π
− =
÷
x
⇔
5
2
12
11
2
12
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
b
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x
sin 1
1
sin
2
=
=
x
x
⇔
2
2
2
6
5
2
6
π
π
π
π
π
π
= +
= +
= +
x k
x l
x l
c.
4
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
= +
Bài 11. Giải các pt.
a.
cos2 3sin 2 0x x+ − =
b.sin
2
x +3sinx cosx -5 cos
2
x= 0
c.2 cos
2
x -3cosx +1 =0
Đáp án
7
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
a
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x
⇔
sin 1
1
sin
2
=
=
x
x
⇔
2
2
2
6
5
2
6
π
π
π
π
π
π
= +
= +
= +
x k
x l
x l
b
sin cos , 2 2t x x t= − − ≤ ≤
=>
2
1
sin .cos
2
t
x x
−
=
PT ⇔
2
12 11 0t t− + − =
=>
( )
1
11
t
t loaïi
=
=
=>
2
2
2
x k
x k
π
π
π π
= +
= +
c.
π
π
π
=
= ± +
2
2
3
x k
x k
Bài 12. a. Giải các Phương trình sau:
2cos x 1 0
3
π
+ + =
÷
b.sin
2
x +3sinx cosx -5 cos
2
x= 0
a/
1 2
2cos x 1 0 cos x cos
3 3 2 3
π π π
+ + = ⇔ + = − =
÷ ÷
x k2
3
x k2
π
= + π
⇔
= −π + π
b/
sin cos , 2 2t x x t= − − ≤ ≤
2
1
sin .cos
2
t
x x
−
=
PT ⇔
2
12 11 0t t− + − =
( )
1
11
t
t loaïi
=
=
=>
2
2
2
x k
x k
π
π
π π
= +
= +
Bài 13. Giải các phương trình sau
a.
2
2sin x 3sin x 1 0− + =
b.
3sin x sin 2x 0+ =
c.
2sin x 2cos x 2− =
Đs a.
π
π
π
π
= +
= +
2
2
2
6
x k
x k
b. x=k360
0
c.
π
π
π
π
= +
= +
5
24
13
24
x k
x k
Bài 13. Giải Phương trình
a. tan(x +20
0
) =
2
1
b. sinx + sin2x = cosx + cos3x
c.4sin
2
x -5sinx cosx -6 cos
2
x= 0
ĐS.a. x=10
0
+k180
0
b.
π π
π π
= +
= +
2
2
6 3
x k
x k
c.
π
π
= +
= − +
arctan2
1
arctan( )
2
x k
x k
8
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
Bài 14. Giải Phương trình
a.
3 sin cos 2x x− =
b.
cos2 3sin 2 0x x+ − =
1a)
3 1 2
sin cos
2 2 2
− =x x
sin sin
6 4
π π
− =
÷
x
⇔
5
2
12
11
2
12
π
π
π
π
= +
= +
x k
x k
1b)
2
2sin 3sin 1 0− + − =x x
sin 1
1
sin
2
=
=
x
x
⇔
2
2
2
6
5
2
6
π
π
π
π
π
π
= +
= +
= +
x k
x l
x l
Bài 15. Giải pt: a.
2
4 tan 7 tan 3 0x x− + =
b.sin(2x +
3
π
) = -
2
2
Đáp án : a.
sin(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5)
6 6 18 3
k
x x k x
π π π π
π
− ≠ ⇔ − ≠ ≠ +
b.
7
2 2
3 4
24
(0.25*4)
5 11
2 2
3 4 24
x k
x k
x k x k
π π
π
π
π
π π π
π π
+ = − +
= − +
⇔
+ = + = +
Bài 16. Giải pt: a.
2
2cot 5 t 3 0x co x− + =
b.cos(2x +
3
π
) = -
2
2
c. 2
2 2
cos 2 3sin 2x + =
Đáp án : a.
2
cos(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5)
6 6 2 18 3
k
x x k x
π π π π π
π
− ≠ ⇔ − ≠ + ≠ +
cos 1
4
3
3
cot
cot
2
2
x
x k
x
x arc k
π
π
π
=
= +
=
= +
b.
7
2 2
3 4
24
(0.25*4)
2 2
3 4 24
x k
x k
x k x k
π π
π
π
π
π π π
π π
+ = − +
= − +
⇔
+ = + = − +
c.
2
cos2 1
4cos 2 3cos2 1 0
1
cos2
4
2 2
1 1 1
2 arccos( ) 2 arccos( )
4 2 4
x
x x
x
x k x k
k Z
x k x k
π π
π π
=
− − = ⇔
= −
= =
⇔ ⇔ ∈
= ± − + = ± − +
5
5sin sin 0x x− =
h.
cos7 sin5 3(cos5 sin7 )x x x x− = −
Phương trình asinx + bcosx = c
9
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
Bài 1.
5 2
84 7
cos7 3sin7 2
11 2
84 7
x k
x x
x k
π π
π π
= +
− = − ⇔
= +
Bài 2.
3(sin5 cos ) 4(sin cos5 )x x x x− = +
3sin5 4cos5 4sin 3cosx x x x⇔ − = +
3 4 4 3
sin5 cos5 sin cos
5 5 5 5
x x x x⇔ − = +
sin5 cos cos5 sin sin sin cos cosx x x x
α α α α
⇔ − = +
,
3 4
( cos , sin )
5 5
α α
= =
sin(5 ) cos( )x x
α α
⇔ − = −
sin(5 ) sin( )
2
x x
π
α α
⇔ − = − +
5 2
12 3 3
2
5 2
2 8 2
x k
x x k
x x k x k
π α π
π
α α π
π π π
α π α π
= + +
− = − + +
⇔ ⇔
− = − + − + = +
Bài 3.
3
3sin3 3cos9 1 4sin 3x x x− = +
3
(3sin3 4sin 3 ) 3 cos9 1x x x⇔ − − =
sin9 3cos9 1x x⇔ − =
sin(9 ) sin
3 6
x
π π
⇔ − =
2
18 9
7 2
54 9
x k
x k
π π
π π
= +
⇔
= +
Bài 4.
1
tan sin 2 cos2 2(2cos ) 0
cos
x x x x
x
− − + − =
(1)
Điều kiện:
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
sin 2
(1) sin 2 cos2 4cos 0
cos cos
x
x x x
x x
⇔ − − + − =
2 2
sin 2sin cos cos2 cos 2(2cos 1) 0x x x x x x⇔ − − + − =
2
sin (1 2cos ) cos2 cos 2cos2 0x x x x x⇔ − − + =
sin cos2 cos2 cos 2cos2 0x x x x x⇔ − − + =
cos2 (sin cos 2) 0x x x⇔ + − =
cos2 0
sin cos 2( )
4 2
x
x k
x x vn
π π
=
⇔ ⇔ = +
+ =
Bài 5.
3 1
8sin
cos sin
x
x x
= +
(*)
Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
2
(*) 8sin cos 3sin cosx x x x⇔ = +
4(1 cos2 )cos 3sin cosx x x x⇔ − = +
4cos2 cos 3sin 3cosx x x x⇔ − = −
2(cos3 cos ) 3sin 3cosx x x x⇔ − + = −
10
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
1 3
cos3 cos sin
2 2
x x x⇔ = −
cos3 cos( )
3
x x
π
⇔ = +
6
12 2
x k
x k
π
π
π π
= +
⇔
= − +
C2
2
(*) 8sin cos 3sin cosx x x x⇔ = +
2
8(1 cos )cos 3sin cosx x x x⇔ − = +
3
8cos 8cos 3sin 3cosx x x x⇔ − = −
3
6cos 8cos 3sin cosx x x x⇔ − = −
3
1 3
4cos 3cos cos sin
2 2
x x x x⇔ − = −
cos3 cos( )
3
x x
π
⇔ = +
6
12 2
x k
x k
π
π
π π
= +
⇔
= − +
Bài 6.
9sin 6cos 3sin 2 cos2 8x x x x+ − + =
2
6sin cos 6cos 2sin 9sin 7 0x x x x x⇔ − + − + =
6cos (sin 1) (sin 1)(2sin 7) 0x x x x⇔ − + − − =
(sin 1)(6cos 2sin 7) 0x x x⇔ − + − =
sin 1
6cos 2sin 7
x
x x
=
⇔
+ =
2
2
x k
π
π
⇔ = +
Bài 7.
sin 2 2cos2 1 sin 4cosx x x x+ = + −
2
2sin cos 2(2cos 1) 1 sin 4cos 0x x x x x⇔ + − − − + =
2
sin (2cos 1) 4cos 4cos 3 0x x x x⇔ − + + − =
sin (2cos 1) (2cos 1)(2cos 3) 0x x x x⇔ − + − + =
(2cos 1)(2sin 2cos 3) 0x x x⇔ − + + =
1
cos
2
2sin 2cos 3,( )
x
x x vn
=
⇔
+ = −
2
3
x k
π
π
⇔ = ± +
Bài 8.
2sin 2 cos2 7sin 2cos 4x x x x− = + −
2
4sin cos (1 2sin ) 7sin 2cos 4 0x x x x x⇔ − − − − + =
2
2cos (2sin 1) (2sin 7sin 3) 0x x x x⇔ − + − + =
2cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 3) 0x x x x⇔ − + − − =
(2sin 1)(2cos sin 3) 0x x x⇔ − + − =
2sin 1 0
2cos sin 3,( )
x
x x vn
− =
⇔
+ =
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= +
Bài 9.
sin 2 cos2 3sin cos 2x x x x− = + −
2
2sin cos (1 2sin ) 3sin cos 2 0x x x x x⇔ − − − − + =
11
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
2
(2sin cos cos ) (2sin 3sin 1) 0x x x x x⇔ − + − + =
cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 1) 0x x x x⇔ − + − − =
(2sin 1)(cos sin 1) 0x x x⇔ − + − =
2sin 1
cos sin 1
x
x x
=
⇔
+ =
2
6
2sin 1
5
2
6
x k
x
x k
π
π
π
π
= +
+ = ⇔
= +
2
2
cos sin 1 cos( )
4 2
2
2
x k
x x x
x k
π
π
π
π
=
+ + = ⇔ − = ⇔
= +
Bài 10.
2
(sin 2 3cos2 ) 5 cos(2 )
6
x x x
π
+ − = −
Ta có:
1 3
sin 2 3 cos2 2( sin 2 cos2 ) 2cos(2 )
2 2 6
x x x x x
π
+ = + = −
Đặt:
sin 2 3 cos2 , 2 2t x x t= + − ≤ ≤
Phương trình trở thành:
2
5
2
t
t − =
2
2 10 0t t⇔ − − =
2
5
2
t
t
= −
⇔
=
5
:
2
t+ =
loại
7
2: 2cos(2 ) 2
6 12
t x x k
π π
π
+ = − − = − ⇔ = +
Bài 11.
3
2cos cos2 sin 0x x x+ + =
3 2
2cos 2cos 1 sin 0x x x⇔ + − + =
2
2cos (cos 1) (1 sin ) 0x x x⇔ + − − =
2
2(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0x x x⇔ − + − − =
2(1 sin )(1 sin )(cos 1) (1 sin ) 0x x x x⇔ − + + − − =
(1 sin )[2(1 sin )(cos 1) 1] 0x x x⇔ − + + − =
(1 sin )[1 2sin cos 2(sin cos )] 0x x x x x⇔ − + + + =
sin 1
1 2sin cos 2(sin cos ) 0
x
x x x x
=
⇔
+ + + =
sin 1 2
2
x x k
π
π
+ = ⇔ = +
1 2sin cos 2(sin cos ) 0x x x x+ + + + =
2
(sin cos ) 2(sin cos ) 0x x x x⇔ + + + =
(sin cos )(sin cos 2) 0x x x x⇔ + + + =
sin cos 0x x⇔ + =
tan 1
4
x x k
π
π
⇔ = − ⇔ = − +
12
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
Bài 12.
2
1 cos2
1 cot 2
sin 2
x
x
x
−
+ =
(*) Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
2
1 cos2
(*) 1 cot2
1 cos 2
x
x
x
−
⇔ + =
−
1
1 cot2
1 cos2
x
x
⇔ + =
+
cos2 1
1
sin 2 1 cos2
x
x x
⇔ + =
+
sin 2 (1 cos2 ) cos2 (1 cos2 ) sin 2x x x x x⇔ + + + =
sin 2 cos2 cos2 (1 cos2 ) 0x x x x⇔ + + =
cos2 (sin 2 cos2 1) 0x x x⇔ + + =
cos2 0
sin 2 cos2 1
x
x x
=
⇔
+ = −
cos2 0
4 2
x x k
π π
+ = ⇔ = +
sin 2 cos2 1x x+ + = −
sin(2 ) sin( )
4 4
x
π π
⇔ + = −
4
2
x k
x k
π
π
π
π
= − +
⇔
= +
Vậy,phương trình có nghiệm:
4 2
x k
π π
= +
Bài 13.
4 4
4(sin cos ) 3sin4 2x x x+ + =
2 2 2 2 2
4[(sin cos ) 2sin cos ] 3sin 4 2x x x x x⇔ + − + =
2
1
4(1 sin 2 ) 3sin4 2
2
x x⇔ − + =
cos4 3sin4 2x x⇔ + = −
4 2
12 2
x k
x k
π π
π π
= +
⇔
= − +
Bài 14.
3 3
1
1 sin 2 cos 2 sin 4
2
x x x+ + =
2 sin 4 2(sin 2 cos2 )(1 sin 2 cos2 ) 0x x x x x⇔ − + + − =
(2 sin 4 ) (sin 2 cos2 )(2 sin4 ) 0x x x x⇔ − + + − =
(2 sin 4 )(sin 2 cos2 1) 0x x x⇔ − + + =
sin 2 cos2 1x x⇔ + = −
2
sin(2 )
4 2
x
π
⇔ + = −
4
2
x k
x k
π
π
π
π
= − +
⇔
= +
Bài 15.
tan 3cot 4(sin 3cos )x x x x− = +
(*) Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
sin cos
(*) 3 4(sin 3cos )
cos sin
x x
x x
x x
⇔ − = +
2 2
sin 3cos 4sin cos (sin 3 cos ) 0x x x x x x⇔ − − + =
(sin 3cos )(sin 3cos ) 4sin cos (sin 3cos ) 0x x x x x x x x⇔ − + − + =
13
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
(sin 3 cos )(sin 3cos 4sin cos ) 0x x x x x x⇔ + − − =
sin 3cos 0
sin 3cos 4sin cos 0
x x
x x x x
+ =
⇔
− − =
sin 3cos 0 tan 3
3
x x x x k
π
π
+ + = ⇔ = − ⇔ = − +
sin 3cos 4sin cos 0x x x x+ − − =
2sin 2 sin 3cosx x x⇔ = −
1 3
sin 2 sin cos
2 2
x x x⇔ = −
sin 2 sin( )
3
x x
π
⇔ = −
2
3
4 2
9 3
x k
x k
π
π
π π
= − +
⇔
= +
Vậy,phương trình có nghiệm là:
;
3
x k
π
π
= − +
4 2
9 3
x k
π π
= +
Bài 16.
3 3
sin cos sin cosx x x x+ = −
2 3
sin (sin 1) cos cos 0x x x x⇔ − + + =
2 3
sin cos cos cos 0x x x x⇔ − + + =
2
cos ( sin cos cos 1) 0x x x x⇔ − + + =
2
cos 0
sin cos cos 1
x
x x x
=
⇔
− + = −
cos 0
2
x x k
π
π
+ = ⇔ = +
2
sin cos cos 1x x x+ − + = −
1 1 cos2
sin 2 1
2 2
x
x
+
⇔ − + = −
sin 2 cos2 3,( )x x vn⇔ − =
Vậy,phương trình có nghiệm là:
,
2
x k k
π
π
= + ∈¢
Bài 17.
4 4
1
cos sin ( )
4 4
x x
π
+ + =
2 2
1 1 1
(1 cos2 ) [1 cos(2 )]
4 4 2 4
x x
π
⇔ + + − + =
2 2
(1 cos2 ) (1 sin 2 ) 1x x⇔ + + + =
sin 2 cos2 1x x⇔ + = −
3
cos(2 ) cos
4 4
x
π π
⇔ − =
2
2
4
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= − +
Bài 18.
3 3
4sin cos3 4cos sin3 3 3cos4 3x x x x x+ + =
3 3 3 3
4sin (4cos 3cos ) 4cos (3sin 4sin ) 3 3cos4 3x x x x x x x⇔ − + − + =
3 3
12sin cos 12cos sin 3 3cos4 3x x x x x⇔ − + + =
2 2
4sin cos (cos sin ) 3 cos4 1x x x x x⇔ − + =
2sin 2 cos2 3 cos4 1x x x⇔ + =
sin 4 3cos4 1x x⇔ + =
14
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
1 3 1
sin 4 cos4
2 2 2
x x⇔ + =
sin(4 ) sin
3 6
x
π π
⇔ + =
24 2
,
8 2
x k
k
x k
π π
π π
= − +
⇔ ∈
= +
¢
Bài 19.Cho phương trình:
2 2
2sin sin cos cosx x x x m− − =
(*)
a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.
b.Giải phương trình khi m = -1.
Giải.
1 1
(*) (1 cos2 ) sin 2 (1 cos2 )
2 2
x x x m⇔ − − − + =
sin 2 3cos2 2 1x x m⇔ + = − +
a. (*)có nghiệm khi:
2 2 2
c a b≤ +
2
(1 2 ) 1 9m⇔ − ≤ +
2
4 4 9 0m m⇔ − − ≤
1 10 1 10
2 2
m
− +
⇔ ≤ ≤
b.Khi m = -1 phương trình trở thành:
sin 2 3cos2 3x x+ =
1 3 3
sin 2 cos2
10 10 10
x x⇔ + =
sin 2 cos cos2 sin sin ,x x
α α α
⇔ + =
1 3
( cos , sin )
10 10
α α
= =
sin(2 ) sinx
α α
⇔ + =
2 2
2 2
x k
x k
α α π
α π α π
+ = +
⇔
+ = − +
2
x k
x k
π
π
α π
=
⇔
= − +
Bài 20. Cho phương trình:
2
3
5 4sin( )
6tan
2
sin 1 tan
x
x
π
α
α
+ −
=
+
(*)
a.Giải phương trình khi
4
π
α
= −
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Giải.
Ta có:
3
sin( ) sin( ) cos
2 2
x x x
π π
− = − − = −
2
2
6tan
6tan cos 3sin 2 ,cos 0
1 tan
α
α α α α
α
= = ≠
+
5 4cos
(*) 3sin 2
sin
x
x
α
−
⇔ =
3sin 2 sin 4cos 5x x
α
⇔ + =
(**)
a. khi
4
π
α
= −
phương trình trở thành:
3sin 4cos 5x x− = −
3 4
sin cos 1
5 5
x x⇔ − = −
3 4
sin cos cos sin 1,( cos , sin )
5 5
x x
α α α α
⇔ − = − = =
15
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
sin( ) 1x
α
⇔ − = −
2
2
x k
π
α π
⇔ = − +
b.Phương trình có nghiệm khi:
2
cos 0
(3sin 2 ) 16 25
α
α
≠
+ ≥
2
cos 0
sin 2 1
α
α
≠
⇔
≥
2
cos 0
sin 2 1
α
α
≠
⇔
=
cos2 0
4 2
k
π π
α α
⇔ = ⇔ = +
Bài 21.Giải các phương trình:
a.
2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x+ = +
b.
(2cos 1)(sin cos ) 1x x x− + =
c.
2cos2 6(cos sin )x x x= −
d.
3sin 3 3cosx x= −
e.
2cos3 3sin cos 0x x x+ + =
f.
cos 3sin sin2 cos sinx x x x x+ = + +
g.
3
cos 3sin
cos 3sin 1
x x
x x
+ =
+ +
h.
sin cos cos2x x x+ =
i.
3
4sin 1 3sin 3cos3x x x− = −
j.
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
x x
x x
+ + =
+ +
k.
cos7 cos5 3sin 2 1 sin 7 sin5x x x x x− = −
l.
4 4
4(cos sin ) 3sin4 2x x x+ + =
m.
2 2
cos 3sin2 1 sinx x x− = +
n.
4sin 2 3cos2 3(4sin 1)x x x− = −
p.
2
(2 3)cos 2sin ( )
2 4
1
2cos 1
x
x
x
π
− − −
=
−
q.
2
tan sin 2 cos2 4cos
cos
x x x x
x
− − = − +
Bài 22. Cho phương trình:
sin 2 cos 2
2cos 2sin
m x m x
m x m x
− −
=
− −
(*)
a.Giải phương trình khi m = 1
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Bài 23. Cho phương trình:
sin cos 2x m x+ =
(*)
a.Giải phương trình khi
3m =
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm
Bài 24. Cho phương trình:
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
m
x x
+ +
=
− +
(*)
a.Giải phương trình khi
1
3
m =
b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1.
cos3 sin3
5(sin ) 3 cos2
1 2sin2
x x
x x
x
+
+ = +
+
(1)
Điều kiện:
1
12
sin 2 ,
7
2
12
x k
x k
x k
π
π
π
π
≠ − +
≠ − ⇔ ∈
≠ +
¢
16
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
Ta có:
cos3 sin3 sin 2sin 2 sin cos3 sin3
5(sin ) 5
1 2sin2 1 2sin2
x x x x x x x
x
x x
+ + + +
+ =
+ +
sin cos cos3 cos3 sin3
5
1 2sin2
x x x x x
x
+ − + +
=
+
(sin3 sin ) cos
5
1 2sin2
x x x
x
+ +
=
+
2sin2 cos cos
5
1 2sin2
x x x
x
+
=
+
(2sin 1)cos
5
1 2sin2
x x
x
+
=
+
5cos x=
(1) 5cos cos2 3x x⇔ = +
2
2cos 5cos 2 0x x⇔ − + =
1
cos
2
x⇔ =
2
3
x k
π
π
⇔ = ± +
Bài 2.
2 2
cos 3 cos2 cos 0x x x− =
1 1
(1 cos6 )cos2 (1 cos2 ) 0
2 2
x x x⇔ + − + =
cos6 cos2 1 0x x⇔ − =
(*)
Cách 1:
3
(*) (4cos 2 3cos2 )cos2 1 0x x x⇔ − − =
4 2
4cos 2 2cos 2 1 0x x⇔ − − =
2
cos 2 1x⇔ =
sin 2 0x⇔ =
2
x k
π
⇔ =
Cách 2:
1
(*) (cos8 cos4 ) 1 0
2
x x⇔ + − =
cos8 cos4 2 0x x⇔ + − =
2
2cos 4 cos4 3 0x x⇔ + − =
cos4 1x⇔ =
2
x k
π
⇔ =
Cách 3:
cos6 cos2 1
(*)
cos6 cos2 1
x x
x x
= =
⇔
= = −
Cách 4:
1
(*) (cos8 cos4 ) 1 0
2
x x⇔ + − =
cos8 cos4 2x x⇔ + =
cos8 cos4 1x x⇔ = =
Bài 3.
4 4
3
cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x
π π
+ + − − − =
2 2 2 2 2
1 3
(sin cos ) 2sin cos [sin(4 ) sin 2 ] 0
2 2 2
x x x x x x
π
⇔ + − + − + − =
2
1 1 3
1 sin 2 ( cos4 sin 2 ) 0
2 2 2
x x x⇔ − + − + − =
2 2
1 1 1 1
sin 2 (1 2sin 2 ) sin 2 0
2 2 2 2
x x x⇔ − − − + − =
2
sin 2 sin 2 2 0x x⇔ + − =
sin 2 1x⇔ =
4
x k
π
π
⇔ = +
Bài 4.
2
5sin 2 3(1 sin )tanx x x− = −
(1)
Điều kiện:
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
17
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
2
2
sin
(1) 5sin 2 3(1 sin )
cos
x
x x
x
⇔ − = −
2
2
sin
5sin 2 3(1 sin )
1 sin
x
x x
x
⇔ − = −
−
2
3sin
5sin 2
1 sin
x
x
x
⇔ − =
+
2
2sin 3sin 2 0x x⇔ + − =
1
sin
2
x⇔ =
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= +
Bài 5.
1 1
2sin3 2cos3
sin cos
x x
x x
− = +
(*)
Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
1 1
(*) 2(sin3 cos3 )
sin cos
x x
x x
⇔ − = +
3 3
1 1
2[3(sin cos ) 4(sin cos ]
sin cos
x x x x
x x
⇔ + − + = +
2 2
sin cos
2(sin cos )[3 4(sin sin cos cos )]
sin cos
x x
x x x x x x
x x
+
⇔ + − − + =
sin cos
2(sin cos )( 1 4sin cos ) 0
sin cos
x x
x x x x
x x
+
⇔ + − + − =
1
(sin cos )( 2 8sin cos ) 0
sin cos
x x x x
x x
⇔ + − + − =
2
(sin cos )(4sin 2 2) 0
sin 2
x x x
x
⇔ + − − =
2
(sin cos )(4sin 2 2sin 2 2) 0x x x x⇔ + − − =
2
sin cos 0
4sin 2 2sin 2 2 0
x x
x x
+ =
⇔
− − =
tan 1
sin 2 1
sin 2 1/ 2
x
x
x
= −
⇔ =
= −
4
12
7
12
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
= ± +
⇔ = − +
= +
Bài 6.
2
cos (2sin 3 2) 2cos 1
1
1 sin 2
x x x
x
+ − −
=
+
(*)
Điều kiện:
sin 2 1
4
x x k
π
π
≠ − ⇔ ≠ − +
2
(*) 2sin cos 3 2 cos 2cos 1 1 sin2x x x x x⇔ + − − = +
2
2cos 3 2 cos 2 0x x⇔ − + =
2
cos
2
x⇔ =
4
x k
π
π
⇔ = ± +
18
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm:
,
4
x k k
π
π
= + ∈¢
Bài 7.
3 3 1
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
x x− =
1 1 1
cos (cos2 cos ) sin (cos2 cos )
2 2 2
x x x x x x⇔ + + − =
2
cos cos2 cos sin cos2 sin cos 1x x x x x x x⇔ + + − =
2
cos2 (sin cos ) 1 sin sin cos 1 0x x x x x x⇔ + + − − − =
cos2 (sin cos ) sin (sin cos ) 0x x x x x x⇔ + − + =
(sin cos )(cos2 sin ) 0x x x x⇔ + − =
2
(sin cos )( 2sin sin 1) 0x x x x⇔ + − − + =
2
sin cos 0
2sin sin 1 0
x x
x x
+ =
⇔
+ − =
tan 1
sin 1
sin 1/ 2
x
x
x
= −
⇔ = −
=
4
2
2
5
2 2
6 6
x k
x k
x k x k
π
π
π
π
π π
π π
= − +
⇔ = − +
= + ∨ = +
Bài 8.
3
4cos 3 2sin 2 8cosx x x+ =
3
4cos 6 2 sin cos 8cos 0x x x x⇔ + − =
2
2cos (2cos 3 2sin 4) 0x x x⇔ + − =
2
2cos (2sin 3 2sin 2) 0x x x⇔ − + =
cos 0
2
sin
2
x
x
=
⇔
=
2
2
4
3
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
= +
⇔ = +
= +
Bài 9.
cos(2 ) cos(2 ) 4sin 2 2(1 sin )
4 4
x x x x
π π
+ + − + = + −
2cos2 cos 4sin 2 2 2 sin 0
4
x x x
π
⇔ + − − + =
2
2(1 2sin ) 4sin 2 2 2 sin 0x x x⇔ − + − − + =
2
2 2sin (4 2)sin 2 0x x⇔ − + + =
1
sin
2
x⇔ =
2
6
5
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= +
19
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
Bài 10.
2 2
3cot 2 2sin (2 3 2)cosx x x+ = +
(1)
Điều kiện:
sin 0x x k
π
≠ ⇔ ≠
2
4 2
cos cos
(1) 3 2 2 (2 3 2)
sin sin
x x
x x
⇔ + = +
Đặt:
2
cos
sin
x
t
x
=
phương trình trở thành:
2
2
3 (2 3 2) 2 2 0
2
3
t
t t
t
=
− + + = ⇔
=
2
2 cos 2
:
3 sin 3
x
t
x
+ = =
2
3cos 2(1 cos )x x⇔ = −
2
2cos 3cos 2 0x x⇔ + − =
1
cos
2
x⇔ =
2
3
x k
π
π
⇔ = ± +
2
cos
2 : 2
sin
x
t
x
+ = =
2
cos 2(1 cos )x x⇔ = −
2
2 cos cos 2 0x x⇔ + − =
2
cos
2
x⇔ =
2
4
x k
π
π
⇔ = ± +
Vậy,phương trình có nghiệm:
2 , 2
3 4
x k x k
π π
π π
= ± + = ± +
Bài 11.
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
x x x
x
+ − −
=
(*)
Điều kiện:
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
2
(*) 4(1 cos 2 ) 3(1 cos2 ) 9 3cos 0x x x⇔ − + − − − =
2
4cos 2 6cos 2 0x x⇔ + + =
cos2 1
1
cos2
2
x
x
= −
⇔
= −
2
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= ± +
Vậy,phương trình có nghiệm:
3
x k
π
π
= ± +
Bài 12.
cos cos3 2cos5 0x x x+ + =
(cos5 cos ) (cos5 cos3 ) 0x x x x⇔ + + + =
2cos3 cos2 2cos4 cos 0x x x x⇔ + =
3 2
(4cos 3cos )cos2 (2cos 2 1)cos 0x x x x x⇔ − + − =
2 2
cos [(4cos 3)cos2 2cos 2 1] 0x x x x⇔ − + − =
2
cos {[2(1 cos2 ) 3]cos2 2cos 2 1} 0x x x x⇔ + − + − =
2
cos (4cos 2 cos2 1) 0x x x⇔ − − =
20
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
cos 0
1 17
cos
8
1 17
cos
8
x
x
x
=
−
⇔ =
+
=
2
1 17
arccos 2
8
1 17
arccos 2
8
x k
x k
x k
π
π
π
π
= +
−
⇔ = ± +
+
= ± +
Bài 13.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x+ =
(*)
8 8 4 4 2 4 4
sin cos (sin cos ) 2sin cosx x x x x x+ = + −
2 2 2 2 2 2 4
1
[(sin cos ) 2sin cos )] sin 2
8
x x x x x= + − −
2 2 4
1 1
(1 sin 2 ) sin 2
2 8
x x= − −
2 4
1
1 sin 2 sin 2
8
x x= − +
2 4 2
1
(*) 16(1 sin 2 sin 2 ) 17(1 sin 2 )
8
x x x⇔ − + = −
4 2
2sin 2 sin 2 1 0x x⇔ + − =
2
1
sin 2
2
x⇔ =
2
1 2sin 2 0x⇔ − =
cos4 0x⇔ =
8 4
x k
π π
⇔ = +
Bài 14.
5
3
sin 5cos sin
2 2
x x
x=
(*)
Ta thấy:
cos 0 2 cos 1
2
x
x k x
π π
= ⇔ = + ⇔ = −
Thay vào phương trình (*) ta được:
5
sin( 5 ) sin( )
2 2
k k
π π
π π
+ = − +
không thỏa mãn với mọi k
Do đó
cos
2
x
không là nghiệm của phương trình nên:
5
3
(*) sin cos 5cos sin cos
2 2 2 2
x x x x
x⇔ =
1 5
3
(sin3 sin 2 ) cos sin
2 2
x x x x⇔ + =
3 3
3sin 4sin 2sin cos 5cos sin 0x x x x x x⇔ − + − =
2 3
sin (3 4sin 2cos 5cos ) 0x x x x
⇔ − + − =
3 2
sin (5cos 4cos 2cos 1) 0x x x x⇔ − − + =
sin 0
cos 1
1 21
cos
10
1 21
cos
10
x
x
x
x
=
=
− +
⇔
=
− −
=
2
1 21
arccos 2
10
1 21
arccos 2
10
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π
=
=
− +
⇔
= ± +
− −
= ± +
21
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
Vậy,phương trình có nghiệm:
2x k
π
=
,
1 21
arccos 2
10
x k
π
− +
= ± +
1 21
arccos 2
10
x k
π
− −
= ± +
Bài 15.
2
sin 2 (cot tan 2 ) 4cosx x x x+ =
(1)
Điều kiện:
sin 0
cos2 0
4 2
x k
x
x
x k
π
π π
≠
≠
⇔
≠
≠ +
Ta có:
cos sin 2
cot tan 2
sin cos2
x x
x x
x x
+ = +
cos2 cos sin 2 sin
sin cos2
x x x x
x x
+
=
cos
sin cos2
x
x x
=
cos
2
(1) 2sin cos 4cos
sin cos2
x
x x x
x x
⇔ =
2
cos
2
2cos
cos2
x
x
x
⇔ =
2
cos (1 2cos2 ) 0x x
⇔ − =
cos 0
cos2 1/ 2
x
x
=
⇔
=
2
6
x k
x k
π
π
π
π
= +
⇔
= ± +
Vậy,phương trình có nghiệm:
2
x k
π
π
= +
,
6
x k
π
π
= ± +
Bài 16.
6 8
2
2cos 1 3cos
5 5
x x
+ =
12 4
2
(1 cos ) 1 2(2cos 1)
5 5
x x
⇔ + + = −
4 4 4
3 2
2 4cos 3cos 2(2cos 1)
5 5 5
x x x
⇔ + − = −
Đặt:
4
cos , 1 1
5
x
t t= − ≤ ≤
phương trình trở thành:
3 2
4 6 3 5 0t t t− − − =
1
1 21
4
t
t
=
⇔
−
=
4 5
cos 1
5 2
x
x k
π
+ = ⇔ =
4 1 21 5 1 21 5
cos arccos
5 4 4 4 2
x
x k
π
− −
+ = ⇔ = ± +
Vậy,phương trình có nghiệm:
5
2
x k
π
=
,
5 1 21 5
arccos
4 4 2
x k
π
−
= ± +
Bài 17.
3
tan ( ) tan 1
4
x x
π
− = −
(1)
22
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
Điều kiện:
cos 0
2
3
cos( ) 0
4
4
x
x k
x
x k
π
π
π
π
π
≠
≠ +
⇔
− ≠
≠ +
3
(tan 1)
(1) tan 1
3
(1 tan )
x
x
x
−
⇔ = −
+
3 3
(tan 1) (tan 1)(1 tan )x x x
⇔ − = − +
3 2
(tan 1)[(1 tan ) (tan 1) ] 0x x x⇔ − + − − =
3 2
(tan 1)(tan 2tan 5tan ) 0x x x x
⇔ − + + =
2
tan (tan 1)(tan 2tan 5) 0x x x x
⇔ − + + =
tan 0
tan 1
x
x
=
⇔
=
4
x k
x k
π
π
π
=
⇔
= +
C2: Đặt:
4
t x
π
= −
Bài 18.
4 4
sin 2 cos 2
4
cos 4
tan( )tan( )
4 4
x x
x
x x
π π
+
=
− +
(1)
Điều kiện:
sin( )cos( ) 0
4 4
sin( )cos( ) 0
4 4
x x
x x
π π
π π
− − ≠
+ + ≠
sin( 2 ) 0
4
cos2 0
sin( 2 ) 0
4
x
x
x
π
π
− ≠
⇔ ⇔ ≠
+ ≠
1 tan 1 tan
tan( )tan( ) . 1
4 4 1 tan 1 tan
x x
x x
x x
π π
− +
− + = =
+ −
4 4 4
(1) sin 2 cos 2 cos 4x x x⇔ + =
2 2 4
1 2sin 2 cos 2 cos 4x x x⇔ − =
1
2 4
1 sin 4 cos 4
2
x x⇔ − =
1
2 4
1 (1 cos 4 ) cos 4
2
x x⇔ − − =
4 2
2cos 4 cos 4 1 0x x⇔ − − =
2
cos 4 1x⇔ =
2
1 cos 4 0x⇔ − =
sin 4 0x⇔ =
4
x k
π
⇔ =
Vậy,phương trình có nghiệm:
2
x k
π
=
Bài 19.
1 2
48 (1 cot 2 cot ) 0
4 2
cos sin
x x
x x
− − + =
(*)
Điều kiện:
sin 2 0
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
Ta có:
cos2 cos
1 cot2 cot 1
sin 2 sin
x x
x x
x x
+ = +
cos2 sin sin 2 sin
sin 2 cos
x x x x
x x
+
=
23
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
cos
2
2sin cos
x
x x
=
1
2
2sin x
=
1 1
(*) 48 0
4 4
cos sinx x
⇔ − − =
1 1
48
4 4
cos sinx x
⇔ = +
4 4 4 4
48sin cos sin cosx x x x⇔ = +
1
4 2
3sin 2 1 sin 2
2
x x⇔ = −
4 2
6sin 2 sin 2 2 0x x⇔ + − =
1
2
sin 2
2
x⇔ =
2
1 2sin 2 0x⇔ − =
cos4 0x⇔ =
8 4
x k
π π
⇔ = +
Vậy,phương trình có nghiệm:
8 4
x k
π π
= +
Bài 20.
5
8 8 10 10
sin cos 2(sin cos ) cos2
4
x x x x x+ = + +
5
8 2 8 2
sin (1 2sin ) cos (2cos 1) cos2
4
x x x x x⇔ − − − =
5
8 8
sin cos2 cos cos2 cos2
4
x x x x x⇔ − =
8 8
4cos2 (cos sin ) 5cos2 0x x x x⇔ − + =
4 4 4 4
4cos2 (cos sin )(cos sin ) 5cos2 0x x x x x x
⇔ − + + =
2 2 2 2 4 4
4cos2 (cos sin )(cos sin )(cos sin ) 5cos2 0x x x x x x x x⇔ − + + + =
1
2 2 2
4cos2 (cos sin )(1 sin 2 ) 5cos2 0
2
x x x x x⇔ − − + =
1
2 2
4cos 2 (1 sin 2 ) 5cos2 0
2
x x x⇔ − + =
2
4cos2 (4cos2 2cos2 sin 2 5) 0x x x x
⇔ − + =
2
4cos2 [4cos2 2cos2 (1 cos 2 ) 5] 0x x x x⇔ − − + =
3
4cos2 (2cos 2 2cos2 5) 0x x x⇔ + + =
cos2 0x⇔ =
4 2
x k
π π
⇔ = +
MỘT SỐ KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN:
1. Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua
cùng một hàm số lượng giác:
1.1 Kiến thức cơ sở:
24
-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-
Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau:
Công thức nhân đôi
Công thức hạ bậc
Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác
Từ đó ta có các kết quả cần chú ý sau
sin 0
2 0
cos 0
a
sin a
a
=
= ⇔
=
sin 0
2 0
cos 0
a
sin a
a
≠
≠ ⇔
≠
2
sin 0 cos 1a a= ⇔ = ±
;
2
sin 1 cos 0a a
= ⇔ =
2
os 0 sin 1c a a= ⇔ = ±
;
2
os 1 sin 0c a a
= ⇔ =
sin 0 os 1a c a
≠ ⇔ ≠ ±
;
os 0 sin 1c a a
≠ ⇔ ≠ ±
1.2 Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A)
Giải phương trình
( )
1 sin os2 sin
1
4
cos
1 t anx
2
x c x x
x
π
+ + +
÷
=
+
Lời giải:
Điều kiện:
cos 0 sin 1
tan x 1 t anx 1
x x≠ ≠ ±
⇔
≠ − ≠ −
Khi đó
( )
1 sin os2 sin
1
4
cos
1 t anx
2
x c x x
x
π
+ + +
÷
=
+
( ) ( )
cos 1 sinx cos 2 2.sin cos sin cos
4
x x x x x x
π
⇒ + + + = +
÷
⇔
( ) ( )
1 sinx cos2 2.sin sin cos
4
x x x x
π
+ + + = +
÷
(do
cos 0x
≠
)
25
