Tổng hợp các công thức lượng giác

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đ
Lượng Giác
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1) Hệ thức cơ bản :
;
22
sin cos 1
αα
+=
sin
tan
cos
α
α
α
=
;
cos
cot
sin
α
α
α
=


tan .cot 1
α
α
=

1
cot
tan
1
tan
cot
α
α
α
α
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=
⎪
⎩


2
2
1
1tan
cos
α
α

=+
;
2
2
1
1cot
sin
α
α
=+

2) Các cung liên kết :
t : 0914449230 Email : n
1
A/ Hai cung đối nhau :
&
x
x−
, ta có
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x
x
x
x
x
x
x

x
−
=
−=−
−=−
−=−


sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x
x
π
−
x
x
π
π
π
B/ Hai cung bù nhau :
&
x
x
π
−
, ta có
x
x

x
x
=
−=−
−=−
−=−

C/ Hai cung phụ nhau :
&
2
x
x
π
−
: ………………………….

D/ Hai cung hơn
2
π
:
&
2
x
x
π
+
…………………………….…………………………….
…………………………….…………………………….
…………………………….…………………………….
…………………………….…………………………….

Chú ý : …………………………………………………………………….…………………………….
…………………………………………………………………….…………………………….…………
………………………………………………………….…………………………….……………………
Rút gọn các biểu thức sau :

()()
21π
A cos x cos 1000π x cos 2013π x
2
⎛⎞
=++ −+ +
⎜⎟
⎝⎠


()()
7π 3π
B2cos12π x3cosπ x5sin x cot x
22
⎛⎞⎛
=+−−+−+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
−
⎟
⎠

()
π 3π 5π
C

2sin x sin 5π xsin x cot x
222
⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
=++−++++
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠


GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
2
B. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC :
1/ CÔNG THỨC CỘNG :

…………………………………………………………………
HỆ QUẢ :
sin cos 2 sin
4
cos sin 2 cos
4
aa a
aa a
π
π
⎧

⎛⎞
±= ±
⎜⎟
⎪
⎪
⎝⎠
⎨
⎛⎞
⎪
±=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
m




…………………………………………………………
…………………………………………………………
………………………………………………………
…………………………………………………………
…………………………………………………………

2/
CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI :

3/ Tổng thành Tích :
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
cos cos 2cos .cos
22
cos cos 2sin .sin
22
sin sin 2sin .cos
22
sin sin 2cos .sin
22
ab ab
ab
ab ab
ab
ab ab
ab
ab ab
ab
+
−
+=
+
−
−=−

+−
+=
+−
−=



nhận xét : …………………………………………………………………………….
VD :
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
4/ Tích Thành Tổng :
1
cos .cos [cos( ) cos( )]
2
1
sin .sin [cos( ) cos( )]
2
1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
1
cos .sin [sin( ) sin( )]
2
α
βαβαβ
α
βαβα

αβ αβ αβ
αβ αβ αβ
=++−
=− + − −
=++−
=+−−
β

nhận xét : …………………………………………………………………………….
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
3
VD :
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

5/ Hạ Bậc :
2
1 cos2u
sin u
2
=
;
2
1 cos2u
cos u
2

=

VD :
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I/ Phương trình Lượng Giác cơ bản
;
2
sin sin ( )
2
uvk
uv k
uvk
π
ππ
=+
⎡
=⇔ ∈
⎢
=−+
⎣
Z
Z
2
cos cos , ( )

2
uvk
uv k
uvk
π
π
=+ +
⎡
=⇔ ∈
⎢
=− +
⎣

tan tan
;( )
cot cot
uv
uvk kZ
uv
π
=
⎫
⇒=+ ∈
⎬
=
⎭
khi giải ta cần qui về cơ bản nếu ko gặp các dạng này
v
cos cos( )uv
đưa về

π
=+
v

sin sinu
=
−
đưa về
sin sin( )uv=−
cos cosu=−
tan tanu=− v
v
v
đưa về
tan tan( )u=−
cot cotu
=
−
đưa về
cot cot( )uv=−
Chú ý 1 :







Chú ý 2 :
……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
4
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
A.Phương trình cơ bản :
1)
1
sin(2 )
32
x
π
−= 2)
3
cos(2 )
32
x
π
−= 3)
2
sin(2 )
42
x
π
−=−
4)
sin 5 sin 3

x
x= 5)
1
sin( 20 )
2
o
x + 6= )
2
1
sin ( )
42
x
π
−
=
7)
1
tan 3
3
x
=− 8) 9) tan(3 12 ) tan 60
oo
x +=
tan(4 ) 3 0
5
x
π
+
+=

10)
si 11) n(2 1) sin( 3)xx−= +
3
sin 1
5
x
=
12)
3
cot 2 1
x
=
13)
2sin7 3 0x −= 14) cos 4 cos3 0xx
+
= 15) sin(2 ) sin
3
x
x
π
−=−
16)
sin
17)
2 cos3 0xx−=
4
cos 1
x
=
18) 2sin3 3 0x −=

19)
cos 2 sin
x
x= 20) 3tan2 3 0x
−
= 21)
1
sin(2 )
32
x
π
−=
22)
c 23) os3 sin4 0xx−= 4sin .cos .cos 2 1
x
xx
=
24) 16 sin .cos .cos 2 cos 4 2xx x x=
25)
2
1
sin 2
4
x = 26) 27)
2
cos ( 30 ) 1
o
x −=
2
3

cos ( )
64
x
π
−
= 28) 2sin( ) 3
34
x
π
+=
II/ Phương trình bậc 2 ( hoặc cao hơn ) đối với hàm số LG :
Dạng : ,
2
2
2
2
.sin .sin 0
.cos .cos 0
.tan .tan 0
.cot .cot 0
axbxc
axbxc
axbxc
axbxc
⎧
++=
⎪
++
⎪
⎨

++
⎪
⎪
++=
⎩
=
=
Cách giải : đặt
sin ,( 1 1)
cos ,( 1 1)
tan ,( )
cot , ( )
tx t
txt
txtR
txtR
=
−≤≤
⎧
⎪
=
−≤≤
⎪
⎨
=∈
⎪
⎪
=∈
⎩

Pt cho sẽ trở thành :
2
a.t b.t c 0++=
tx⇒⇒
Ví dụ . Giải phương trình:
2
x
cos2x 3cosx 4cos
2
−=

Giải : phương trình đã cho
2
x
1cos2
2
2cos x 3cosx 4
2
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
⇔−=
2
2cos x 5cosx 3 0
⇔
−−=

()
12π

cosx x k2π kZ
23
⇔=−⇔ =±+ ∈
B.Đặt ẩn phụ :
1) 2)
2
2cos 3cos 5 0xx+−=
2
2cos 3cos 5 0xx
+
−=
3)
2
4sin 4 cos
x
x=− 4)
2
2sin 2 5sin2 3 0xx
−
−=
5) 6)
2
tan 2 tan 3 0xx+−= 2cos2 cos 1
x
x
+
=
7)
2
8)

6sinx.cosx cos 4x−=
2
2cos 5 3cos5 1 0xx
−
+=
9)
2
4cos 2( 3 1) cos 3 0xx−+ +=
10)
2
tan (1 3) tan 3 0xx
+
−−=

11)
5cos 2sin 3 0
2
x
x −+= 12)
2
cot 4 cot 3 0xx
−
+=
13) 14)
cos
42
tan 4 tan 3 0xx−+=
2 9cos 5 0xx
+
+=

15) 16)
2
cos sin 1 0xx−−−=
2
cos2xsinx2cosx10
+
++= (CĐ SPHN – 97)
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
5
17)
22
1
sin 2 sin
2
x
x−= 18)
44
5
cos x sin x cos 2x
4
+=
19) 20)
4cos x cos2x++=10
3
43228cos x sin x cos x+=

21)
44 2

1
222
4
sin x cos x cos x sin x+−+ −=0
20=
22) (D1 – 2008)
()
44
44sin x cos x cos x sin x+++
III/ Phương trình đối xứng với sinx và cosx :

a.sinu b.cosu c±=
; đk có nghiệm :
22
abc
2
+
≥

Cách giải : chia 2 vế phương trình cho
22
ab
+

Phương trình cho trở thành :
22 22 22
.sin cos
ab
uu
ab ab ab

±=
c
+
++

Đặt
22 22
cos sin
ab
ab ab
ϕ
ϕ
=⇒ =
++
, bằng tư duy ta đưa về
Công thức :
sin( ) sin .cos cos .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
ab a b a b
ab a b a b
±= ±
±= m
sau đó giải bình thường
tức là
22 22
sin .cos cos .sin sin( )
cc
uu u
ab ab
ϕϕ ϕ

±=⇔±=
+
+

BT 3 : Giải các phương trình LG
1)
sinx 3cosx 1+= 2) cos2x 3sin2x 2−=
3)
sin3x cos3x 2−= 4) 3sin3x cos3x 2
−
=
5)
2
xx
sin cos 3cosx 2
22
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
=
(ĐH Khối D – 2006)
6) 3sin2 cos2 2xx+= (ĐH Huế - KD – 99)
7)
22
cos x 3sin2x 2cosx sin x−=+
8)
cos 7 .cos 5 3 sin 2 1 sin 7 .sin 5
x
xxx−=− x ( ĐH Mỹ Thuật Hà Nội – 96)

9) sin 3 3 cos3 2sin 2
x
x−=x (CĐ – 2008 ) 10) sin 2 3 cos 2 2sin
x
xx+=
x 12)
(
)
sin 3 cos 3 cos3 sin
x
xx−= +11) 3 sin 4 cos 4 sin 3 cos
x
xx−=− x
13)
44
cos x 3sin2x 2sin x sin x+=+ 14)
(
)
44
4 sin x cos x 3sin4x 2
+
+= (ĐH Văn Lang – 98)
15)
(Dự Bị Khối B – 2006)
()( )
cos2x 1 2cosx sinx cosx 0++ − =

(soạn)
2
cos 3 sin 2 1 sin

2
x
x−=+x ( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ - 2000)

(soạn) sinx 3cosx 1−=
Ví dụ . Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0
Giải : 3 sin cos 2 cos3 0xx x++ =
⇔ cosx cos
3
π
+ sinx sin
3
π
= – cos3x.
⇔ cos
cos3
3
x
x
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠
⇔ cos
cos( 3 )
3
x
x
π

π
⎛⎞
−= −
⎜⎟
⎝⎠
⇔
32
(
3
k
x
k
xk
ππ
π
π
⎡
=+
⎢
)
∈
⎢
⎢
=+
⎣
Z
⇔ x =
32
k
π

π
+ (k∈Z)

GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
6
IV/ Phương trình đẳng cấp đối với sinx & cosx :
(1)
22
a.sin u b.sinu.cosu c.cos u d++=

Cần nhớ :
2
2
sin 2 2sin .cos
1
1tan
cos
uu
u
u
=
⎧
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
u

Cách giải :
TH 1 : Xét
2
cos 0 sin 1
x
x=⇒ =
, nếu VT = VP thì cosx = 0 là 1 nghiệm của pt, nếu ko thỏa thì cosx =
0 ko fải là nghiệm
TH 2 : Xét , chia 2 vế phương trình (1) cho
cos 0x ≠
2
cos
x
và nhớ
2
2
.(1 tan )
cos
d
dx
x
=+
hay
22
cos )x x+(sindd= , sau đó đưa về phương trình bậc 2 theo tanx và giải

Ví dụ 4 . Giải phương trình:
−
+=
22

sin x 6sinxcosx cos x 2− (*)
Giải :
Thi 1 : xét cosx = 0 hay
π
x π
2
=+k
thay vào phương trình (*) ta được : 1 = -2
(vô lý) nên
π
x π
2
=+kkhông phải là nghiệm của phương trình (*)
Thi 2 :
cosx
hay
0≠
π
x π
2
≠+k, chia 2 vế của phương trình (*) cho ta được :
2
cos x

22
222
sin x sinx.cosx cos x 2
(*) 6
cos x cos x cos x cos x
⇔− +=−

2


()
22
tan x 6tanx 1 2 1 tan x⇔−+=−+
()
2
π
3tan x 6tanx 3 0 tanx 1 x kπ kZ
4
⇔−+=⇔=⇔=+∈

BT 4 : Giải các phương trình LG
1) 2)
2
sin x sin2x 3cos 3x++ =
2
22
6sin x 7 3sin2x 8cos x 6
+
−=
3) 4)
22
2sin 2 5sin 2 cos 2 cos 2 2xxxx−−=−
22
1
sin sin 2 2cos
2
xx x

+
−=
5)
2
2cos 3 3sin2 4sin 4xxx−−
2
=− 6)
22
4sin x 3sin2x 2cos x 4
+
−=

7)
22
2sin (3 3)sin cos ( 3 1)cos 1xxx++ + − =−x
=
)

8)
4224
3cos 4sin cos sin 0xxxx−+
9)
ĐHQG Hà Nội – 1998
(
33 55
2sin x cos x cos x sin x+= +
10)
( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM – KB,D – 98)
32
cos sin 3sin .cos 0xx xx+− =

11)
33 22
sin 3 cos sin cos 3 sin cos
x
xxx x−= − x (ĐH Khối B – 2008)

F.Bài tập tổng hợp :
Bài 1 : giải các phương trình LG sau
1)
2cos2
0
x
= ; 2)
cos 2 .tan 0xx
=

1sin2x−
3)
sin
; 4)
3 cos 5 0xx−=
2
1sin2
1tan2
cos 2
x
x
x
−
+=

5) ; 6)
32
tan tan 3tan 3xx x+− =
22
sin 2 cos 2 3 7 cos 0xx x
+
−+ = ;
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
7
7)
c
8)
os9 2cos6 2xx−=
32 2
cos cos 4cos 0
2
x
xx
+
−=
9)
3
cos 2 sin( ).cos
2
x
xx
π
π
⎛⎞

+= +
⎜⎟
⎝⎠
10)
3
2sin cos2 sin 0xxx
−
−=
Bài 2 : Tổng hợp các đề thi ĐH gần đây :
5)
1
os2 8cos 7
cos
xx2c
x
−+= ( ĐH Nông Nghiệp – 2000 )
6)
sin ( ĐH Bách Khoa Hà Nội – 2001 ) 2 2 tan 3xx+=
22 2
sin sin 3 3cos 2
7)
x
x+=x
( ĐH Tài Chính Kế Toán Hà Nội – 2001 )
10) tìm nghiệm
[;3]
2
x
π
π

∈ của phương trình :
57
sin 2 3cos 1 2sin
22
x
xx
ππ
⎛⎞⎛⎞
+− −=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

14)
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1tan 2
x
x
x
x
−= + −
+
x( KA – 2003 )
15)
2
cot tan 4sin 2
sin 2
xx x
x

−+ =
( KB – 2003 )
16)
222
sin .tan cos 0
24 2
x
x
π
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
x
= ( KD – 2003 )
17)
2
5sin 2 3(1 sin ).tan
x
x−= − x ( KB – 2004 )
19) ( KA – 2005 )
2
cos 3 .cos 2 cos 0xx x−
2
=
sin cos sin 2 cos 2 0xx x x+++ + =
20)
1 ( KB – 2005 )
21)
44

3
cos sin cos .sin 3 0
44
xx x x
ππ
⎛⎞⎛ ⎞
++ − −−=
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
2
( KD – 2005 )
22)
66
2(cos sin ) sin cos
0
22sin
xxxx
x
+−
=
−
( KA – 2006 )
24)
22
(1 sin ) cos (1 cos ) sin 1 sin 2
x
xxx+++=+x ( KA – 2007 )
26)
11 7
4sin

3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
⎛
+=
⎜
⎛⎞
⎝⎠
−
⎜⎟
⎝⎠
⎞
−
⎟
( KA – 2008 )
29)
cos
33
sin sin cos
x
xx−=−x
( ĐH Đà Nẵng – Khối A + D – 99 )
30)
2

2 tan cot 3
sin 2
xx
x
+=+ ( ĐH Ngoại Thương TPHCM – KD – 97)
31) ( ĐH An Ninh + ĐH Cảnh Sát – KA – 97)
tan cot 4xx+=
32)
2
53sin 4cos 12cos
x
x−−=−x
=
( ĐH Hàng Hải – Cơ Sở 2 – 96)
34)
sin ( ĐH Đà Nẵng – KA – 97) 3 2cos 2 2 0xx+−
35)
1
3sin cos
cos
xx
x
+=
( ĐH An Ninh – 98)
37)
sin 3 sin 2 5sin
x
x+=x (ĐH Y Hải Phòng – 2000)
41)
3

3sin3 3cos9 1 4sin 3
x
x−=+
in2 cos2 7sin 2cos 4
x( ĐH Mỏ - Địa Chất – 95)
42)
2s
x
xxx−=+−
43)
)cot(tan
2
1
2
cossin
44
xx
x
sìn
xx
+=
+

Bài 3 : định tham số m để pt sau đây có nghiệm :
1) (
22
os 0xx+=
−
+
3)sin ( 3)sin cos cmxmx+++

2
2) cos ( 1) sin 2 1mxmx−−+ 2) (5 =
22 2
2)sin 4sin cos 3mxxxm++ = 3) ( (đưa về bậc nhất đối với sin, cos và dùng đk có nghiệm)
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
8
Bài 5 : bài tập chỉ thuần về các công thức tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc :
1) cos .cos5 cos 2 .cos 4
x
xx= x 2) cos5 .sin 4 cos3 .sin 2
x
xxx
=

3)
sin 2 sin 4 sin 6
x
x+=x 3) sin sin 2 cos cos 2
x
xx x
+
=+
4)
222
sin 4 sin 3 sin 2 sin
2
x
xx+=+x
Bài 6 : Đề thi ĐH – CĐ năm 2009 và 2010

1)
(1 2 sin ). cos
3
xx−
=
(1 2sin )(1 sin )xx+−

( Khối A – 2009 ) Đs :
2
18 3
k
π
π
−+
2)
3
cos .sin 2 3 cos3 2(cos 4 sin )xx x x x++=+ ( Khối B – 2009 ) Đs :
2
2;
642
kk
7
π
ππ
π
−+ +
x
sin
3 cos5 2 sin 3 cos 2 sin 0xxx−−x=
2

2 sin ) cos 1 sin cos

( Khối D – 2009 ) 3)
4) (1
x
xxx+=++ ( Cao Đẳng – 2009 ) Đs :
5
2; ;
21212
kkk
π
ππ
π
ππ
−+ + +

5)
(1 sin cos 2 ). sin( )
1
4
cos
1tan
2
xxx
x
x
π
++ +
=
+

( Khối A – 2010 ) Đs :
7
2; 2
66
kk
π
π
π
π
−+ +

6)
(si ( Khối B – 2010 ) n 2 cos 2 )cos 2cos 2 sin 0xxx xx++−=
=
7)
sin ( Khối D – 2010 ) Đs : 2 cos 2 3sin cos 1 0xxxx−+−−
5
2; 2
66
kk
π
π
π
π
++
8)
53
4cos cos 2(8sin 1) cos 5
22
xx

xx+−=
( Cao Đẳng – 2010 )
Bài 8 : Giải phương trình
Câu 5:
44
11
2
52 2 82
sin x cos x
cot x
sin x sin x
+
=− 0=
Dự bị A2 - 2002
Câu 6:
44
11
2
52 2 82
sin x cos x
cot x
sin x sin x
+
=− 0=
Dự bị A2 – 2002
Câu 7: Tìm các nghiệm trên khoảng
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
2
;0
π
của pt :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
4
3
cos212

2
sin3
2
sin4
22
ππ
π
xx
x

Bài 9 : phương trình lượng giác trong đề thi cao đẳng các năm trước
Câu 1 : CĐKTế Cần Thơ_2005 sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x
Câu 2 : CĐSP Vĩnh Long_2005
Giải phương trình: x
x
x
xx
2tan
2
1
sincos
sincos
22
66
=
−
+

Câu 3 : Giải phương trình: sin3x + sinx = sin2x.cosx – cos2x
Câu 4 : CĐSP Hà Nam_2005 Giải phương trình: cos3x + sin7x = 2sin

2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
42
5
π
x
– 2cos
2
2
9x

Câu 5 : CĐ Kinh tế-Tài chính_2005
Giải phương trình: 1+ sinx + cosx + tanx = 0
Câu 6 : CĐSP Hà Nội_2005 Cho phương trình: 4cos3x + (m-3)cosx – 1 = cos2x
Giải phhương trình khi m = 1
Câu 8 : CĐSP Quảng Nam_2005 3cosx + 2cos2x = cos3x + 2sinx.sin2x – 1
Câu 9 : CĐYT Thanh Hoá_2005 tan
2
x + 8cos2x.cot2x = cot
2
x
Câu 10 : CĐSP Quảng Bình_2005
(2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos
2

x
Các Ví Dụ có lời giải
Ví dụ 1. Giải phương tình: sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x (1).
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
9
Phương trình (1) tương đương với:
1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos8
22 22
x
xx−−++
+=+
x

⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 ⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0
5
10 5
2
cos5 0
cos 2 0 2 , ( , , )
242

cos 0
22

π kπ
π
x
xkπ
x
ππlπ
xxkπ xkl
x
ππ
xkπ xnπ
⎡
⎡
=+
=+
⎢
⎢
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔=⇔=+⇔=+ ∈
⎢
⎢
⎢

⎢
=
⎢
⎢
⎣
⎢
⎢
=+ =+
⎢
⎢
⎣
⎣
n


Ví dụ 3. Giải phương trình lương giác: 2sin
3
x – cos2x + cosx = 0 (5)
Ta có (5) ⇔ 2(1− cos
2
x)sinx + 2 – 2 cos
2
x + cosx – 1 = 0
⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0
⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos 1 2 , ( )
2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)
xxkπ k
xxxx
=⇔ = ∈

⎡
⇔
⎢
++ +=
⎣


Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
|| 2t ≤
, khi đó phương trình (*) trở thành:
2t + t
2
– 1 + 1 = 0 ⇔ t
2
+ 2t = 0
0
sin - cos ,( )
2(
4
t
π
xxx nπ n
tlo
=
⎡
⇔⇔=⇔=−+
⎢
=−
⎣


¹i)
∈
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
4
π
xnπ=− + ;
2, (, ) xkπ nk
=
∈


Ví dụ 4. Giải phương trình:
63 4
82cos 22sin sin3 62cos 1 0xxx x+−−=
(3).
33 3
22
2
(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0
2cos .2cos cos 3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2
2
2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )
2
22
cos 2 .cos 2 cos 2
428
xxx xx
xxx xxxx
xx x xx x

xxx x x
π
xx x x
⇔−+−
⇔+=
⇔+ + +− − =
⇔+ =⇔ +=
⇔=⇔=⇔=±,( )kπ k
=
+
∈


Ví dụ 6. 2sinx(1 + cos2x) + sin2x=1 + 2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS:
2
2( )
43
xkx kk
π
π
ππ
=+ ∨=± + ∈

Ví dụ 7. sin2x + cos2x = 1 + sin x– 3cosx (1).
(1) ⇔2sinxcosx+2cos
2
x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos
2
x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.

⇔2cos
2
x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t = cosx, ĐK
1t ≤ , ta được: 2t
2
+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. Δ=(2sinx+3)
2
+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)
2
.
⇒
()
1
1
2
cos
2
sin - 2
t
x
tx
⎡
=
⎢
⇒=
⎢
=
⎢
⎣

loaïi
…(biết giải)
Ví dụ 8. 2sinx + cot x= 2sin2 x+ 1. HD: 2(1–2cosx)sin
2
x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK
1t ≤ . 2(1–2cosx)t
2
–t+cosx=0 … Δ=(4cosx–1)
2
.
Ví dụ 9.
()
2cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x
x
xx x
−
=
+−
Điều kiện:
(
)
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
xxxx x
x
+≠⎧

⎪
⎨
≠
⎪
⎩

GV : Nguyễ Tài Liệu Lượng Giácn Vũ Minh
Đt : 0914449230 Email :
10
Từ (1) ta có:
()
2cos sin
1cos.sin
2sin
sin cos 2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
xx
xx2
x
xx x
x
xx x
−
=⇔=
+−

2sin .cos 2sin
x

xx⇔=

()
2
2
4
cos
2
2
4
xk
xk
xk
π
π
π
π
⎡
=+
⎢
⇔=⇔ ∈
⎢
⎢
=− +
⎢
⎣


So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
()

2
4
xkk
π
π
=− + ∈
Ví dụ 10. Giải phương trình:
()
44
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
xx
x
x
x
+
=+

Giải
(
44
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
xx
)
x
x
x

+
=+
(1) Điều kiện: sin 2 0x
≠


2
1
1sin2
1sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x
x
x
x
xx
−
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
⎝⎠
2
2
1
1sin2
11
2
1sin21sin2

sin 2 sin 2 2
x
xx
xx
−
⇔=⇔−=⇔0=
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 11. Giải phương trình: cosx = 8.sin
3
6
x
π
⎛⎞
⎟
+
⎜
⎝⎠

⇔
cosx=8sin
3
6
x
π
⎛⎞
⎟
+
⎜
⎝⎠
⇔

cosx =
()
3
3sin cos
x
x+
⇔
32 23
3 (3) 3 sin 9sin cos 3 3 sin cos cos cos 0xxx xxxx++ +−=
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3) ⇔
32
3 3 tan 8 tan 3 3 tan 0xx x+=
+

tan 0
x
xk
π
⇔=⇔=
Ví dụ 12. Giải phương trình lượng giác:
(
)
2cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x
x
xx x
−
=

+−

Giải
Điều kiện:
()
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
xxxx x
x
+≠⎧
⎪
⎨
≠
⎪
⎩
Từ (1) ta có:
()
2cos sin
1cos.sin
2sin
sin cos 2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
xx
xx2
x
xx x
x
xx x

−
=⇔=
+−

2sin .cos 2sin
x
xx⇔=
()
2( )
2
4
cos
2
2
4
x k loai
xk
xk
π
π
π
π
⎡
=+
⎢
⇔=⇔ ∈
⎢
⎢
=− +
⎢

⎣


Ví dụ 13. Giải phương trình: cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )
x
xx+= − − x
Giải Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
xx
x x loai vi x x
−=−
⎡
⇔
⎢
−= −≤
⎣
(
)
(
)
2
2
2sin 1 sin sin ( )
444
2
xk
x

xk
xk
Z
π
π
πππ
ππ
⎡
=+
⎢
⇔−=⇔−=⇔
⎢
=+
⎣
∈

Ví dụ 16. Giải phương trình: 4.sin
2
x + 1 = 8sin
2
x.cosx + 4cos
2
2x
HD : 4sin
2
x + 1 = 8sin
2
xcosx + 4cos
2
2x ⇔ 5 – 4cos

2
x = 8cosx – 8cos
3
x + 16cos
4
x – 16cos
2
x + 4
⇔ 16cos
4
x – 8cos
3
x − 12cos
2
x + 8cosx - 1 = 0
⇔ (2cosx – 1)(8cos
3
x – 6cosx + 1) = 0 ⇔ (2cosx – 1)(2cos3x + 1) = 0
Ví dụ 17. Giải phương trình: 1 + 3 (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = 0
GV : Nguyễn Vũ Minh Tài Liệu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
11
Phương trình đã cho tương đương với
(3sinx sin2) 3cos (1 os2) 0xxcx
⎡⎤
+
+++
⎣⎦
=
⇔

2
( 3 sinx 2s inx.cos ) ( 3 cos 2 os ) 0xxcx+++= ⇔ sinx( 3 2 cos ) cos ( 3 2cos ) 0xx x
+
++=
⇔
( 3 2cos )(sinx cos ) 0xx++= ⇔
3
cos
2
sinx cos
x
x
⎡
=−
⎢
⎢
=−
⎢
⎣
⇔
5
5
6
6
4
2
2
,
tanx 1
xk

xk
kZ
xk
π
π
π
π
π
π
⎡
=± +
⎡
⎢
=± +
⎢
⇔
∈
⎢
⎢
⎢
=−
=− +
⎣
⎢
⎣

Ví dụ 18. Giải phương trình: )
2
sin(2
cossin

2sin
cot
2
1
π
+=
+
+ x
xx
x
x .
Điều kiện : sin
Pt cho trở thành .0cossin,0 ≠+≠ xxx 0cos2
cossin
cossin2
sin2
cos
=−
+
+ x
xx
xx
x
x


2
cos 2cos
0 cos sin( ) sin 2 0
4

xx
xx x
xx
π
⎛⎞
⇔− =⇔ +−=
⎜⎟
⎝⎠

sin cos
2sinx
+
+) .,0cos Z∈+=⇔= kkxx
π
π

2
+)
2
22
4
4
sin 2 sin( ) , Z
2
4
22
43
4
xm
xx m

xx mn
n
x
xxn
π
π
π
π
π
ππ
π
ππ
⎡
⎡
=+
=+ +
⎢
⎢
=+⇔ ⇔ ∈
⎢
⎢
⎢
⎢
=+
=−−+
⎢
⎢
⎣
⎣
.,

3
2
4
Z∈+=⇔ t
t
x
π
π

so với đk đã cho ta có nghiệm
π
π
kx +=
2
;
.,,
3
2
4
Z∈+= tk
t
x
π
π

Ví dụ 19. Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx ( đk : cosx
≠
0 )
Phương trình cho ⇔ (cosx – sinx)(cosx + sinx)
2

= cosx + sinx
(hiển nhiên cosx = 0 không là nghiệm)
⇔ cosx + sinx = 0 hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) = 1
⇔
tgx = -1 hay cos2x = 1⇔ x =
4
π
−
+ kπ hay x = kπ, k
∈


Ví dụ 20. Giải phương trình:
2
2cos x + 2 3sinx.cosx + 1= 3(sinx + 3cosx) (1)
(1)
⇔ 2 cos2x 3sin2x 3(sinx 3 cosx)++ = + ⇔
13 13
2 2 cos2x sin2x 6 sinx cosx
22 22
⎛⎞⎛
++=+
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎠

⇔ 2 2cos 2x 6cos x
36
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⎟
⎠
+−=−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
⇔
1 cos 2x 3cos x
36
π
π
⎛⎞ ⎛
+−=−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠


⇔
2
2cos x 3cos x
66
ππ
⎛⎞ ⎛

−= −
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝⎠
⎞
⎟

⇔
3
cos x 0vcos x (loaïi)
662
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
−= −=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

⇔
π+
π
=⇔π+
π
=
π
− k
3
2
xk
26
x
, k ∈ Z.

Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là
,
2
x
kkZ
π
=
∈


Ví dụ 23. Giải phương trình lượng giác:
2
2sin sin2 sin cos 1 0xxxx
−
++ −=
.
Phương trình cho
2
2sin (2cos 1) sin cos 1 0xxxx⇔−−+−=
2
2()1 =− 5,0sin . VËy
2
)3cos −x)1(cos8 −− xcos2(=Δ x
=
x 1cossin −
=
hoÆc xx
5,0=x
.

sin ta cã
π
π
kx 2
6
+=
hoặc
π
π
kx 2
6
5
+=

GV : Nguyễn Vũ Mi Tài ệnh Liu Lượng Giác
Đt : 0914449230 Email :
12
ta có
1cossin −= xx
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−=
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
−⇔−=−
4
sin
2
2
4
sin1cossin
ππ
xxx suy ra
π
kx 2=
hoặc
π
π
kx 2
2
3
+=

Ví dụ 24. Giải phương trình lượng giác: 2sin 2 3sin cos 2
4
xx
π
⎛⎞
x
+
=+
⎜⎟

⎝⎠
+.
PT sin 2 cos 2 3sin cos 2xxxx⇔+=++
2
2sin cos 3sin 2 cos cos 3 0xx x x x
⇔
−+ −−=.

()()()
(
)
(
)
2cos 3 sin cos 1 2 cos 3 0 sin cos 1 2cos 3 0xxx x xx x⇔−++ −=⇔++ −=

Khi:
3
cos ( )
x
2
VN
=
.
Khi :
2
1
sin cos 1 sin
2
4
2

2
x
k
xx x
xk
π
π
π
π
π
⎡
=− +
⎛⎞
⎢
+=−⇔ +=−⇔
⎜⎟
⎢
⎝⎠
=+
⎣
.
KL: nghiệm PT là
2, 2
2
x
kx k
π
π
ππ
=− + = + .

Ví dụ 25. Giải phương trình:
1cos44cos32
4
cos2
22
−=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− xxx
π
.
Phương trình tương đương với
2
1 cos 4 3 cos 4 4cos 1
2
x
xx
π
⎛⎞
⇔+ − + = −
⎜⎟
⎝⎠

()
2

13
sin 4 3 cos 4 2 2cos 1 sin 4 cos 4 cos 2
22
12
cos 4 cos 2
6
36 3
x
xx xx
xk
xx
k
x
π
π
π
ππ
⇔+ = −⇔ + =
⎡
=+
⎢
⎛⎞
⇔−=⇔
⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎢
=+
⎢
⎣

x
2cos5 .cos3 sin cos8

Ví dụ 26. Giải phương trình :
x
xx x= , (x ∈ R)
+
PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x⇔ 1- 2sin
2
x + sinx = 0 ⇔ sinx = 1 V
1
sin x =−
2
=

Ví dụ 27. Giải phương trình:
2
cos 2 sin 2cos 1 0xx x++ +=


()
22 2
2 1 1 2 cos 1 0 2 cos 1 0
12,
PT cos x cos x x cos x x
cosx x k k Z
ππ
⇔ −+−++=⇔++
⇔=−⇔=+ ∈
Ví dụ 28. Giải phương trình :

()
()
2
cos . cos 1
21 sin .
xx
sin cos
x
xx+
()
−
=+

ĐK: sin Khi đó cos 0xx+≠
(
)
1 sin 1 cos sin sin .cos 0xxxxx⇔+ + + + =


()( )()
1sin 1cos 1sin 0xxx⇔+ + + =
sin 1
cos 1
x
x
=
−
⎡
⇔
⎢

=
−
⎣
(thoả mãn điều kiện)
2
2
2
x
k
xm
π
π
π
π
⎡
=− +
⎢
⇔
⎢
=+
⎣

(
)
,km∈Z
Ví dụ 29. Giải phương trình:
()
2
1 2cos3 .sin sin 2 2sin 2 0
4

xx x x
π
⎛⎞
++−+
⎜⎟
⎝⎠
=.
Phương trình đã cho tương đương với
sin sin 4 sin 2 sin 2 1 cos 4 0
2
xxxx x
π
⎛⎞
+
−+−+ +=
⎜⎟
⎝⎠


sin sin 4 1 sin 4 0 sin 1 2 , .
2
x
xx xxkkZ
π
π
⇔+ −+ =⇔ =⇔=+ ∈
Ví dụ 31. Giải phương trình:
22
2sin 2sin t anx
4

xx
π
⎛⎞
−= −
⎜⎟
⎝⎠

Điều kiện: cosx
≠ 0

GV : Nguy ài Liệu Lượng Giácễn Vũ Minh T
Đt : 0914449230 Email :
13
22 2
sinx
pt cho 2sin 2sin t anx 1 cos 2 2sin
42
xx xx
cos
x
ππ
⎛⎞ ⎛ ⎞
⇔−=−⇔−−=−
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠


(
)
2

cos sin 2 .cos 2sin .cos sinx cos sinx sin 2 cos sinx 0
sinx cos
4
(sinx cos )(1 sin 2 ) 0
sin 2 1 2 2
24
xxx xx x xx
xx k
xx
xxlxl
π
π
ππ
ππ
⇔− − +⇔+− + =
⎡
=− ⇔ =− +
⎢
⇔+ − =⇔
⎢
⎢
=⇔ = + ⇔ = +
⎢
⎣

Ví dụ 30. Giải phương trình:
sin 2 1
2os
sin cos
2.tan

x
cx
xx
x
+=
+
.
ĐK : Pt Cho tương đương :sin 0, cos 0,sin cos 0.xxxx≠≠+≠
0cos2
cossin
cossin2
sin2
cos
=−
+
+ x
xx
xx
x
x


2
cos 2cos
0 cos sin( ) sin 2 0
cos 4
xx
xx x
xx
π

⎛⎞
=⇔ +−=
⎜⎟
+
⎝⎠
sin
2sinx
⇔−

.,0cos Z∈+=⇔= kkxx
π
π

2

Z∈
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
+=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

⎡
+−−=
++=
⇔+= nm
n
x
mx
nxx
mxx
xx ,
3
2
4
2
4
2
4
2
2
4
2
)
4
sin(2sin
ππ
π
π
π
π
π

π
π
π
.,
3
2
4
Z∈+=⇔ t
t
x
π
π

Đối chiếu đk ta có nghiệm của phương trình là :
π
π
kx +=
2
; .,,
3
2
4
Z∈+= tk
t
x
π
π

Ví dụ 31. Giải phương trình:
(

32
cos cos
21 sin .
sin cos
xx
)
x
xx
−
=+
+
ĐK: sin cos 0xx+≠

()
()()
(
)
2
1 sin cos 1 2 1 sin sin cosPT x x x x x⇔− −= + +

()( )
1 sin 1 cos sin sin .cos 0xxxxx⇔+ + + + =
(
)
(
)
(
)
1sin 1cos 1sin 0xxx
⇔

++ +=
sin 1
cos 1
x
x
=−
⎡
⇔
⎢
=−
⎣
2
2
2
x
k
xm
π
π
π
π
⎡
=− +
⎢
⇔
⎢
=+
⎣

(

)
,km∈Z

Ví dụ 32. Giải phương trình
34
2(cot 3)
2
sin 2
cos
x
x
x
+= +

Điều kiện
sin 2 0
2
k
xx
π
≠⇔≠ . Pt cho tương đương
(
)
4
2
31 2 3 2
sin 2
x
x
x

++−=tan cot

22
2(sin cos )
2
332
sin cos
xx
x
x
x
x
+
⇔+ −=tan cotg
2
32 3xx 0
⇔
+−=tan tan
3x =−tan
3
x
k
π
⇔=−+π
1
3
x =
tan
6
x

k
π
⇔
=+π
Ví dụ 33. Tìm nghiệm x thuộc khỏang (0; π) của phương trình

22
x π 3π
4sin π 3sin 2x 1 2cos x
22
⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛
−− − =+ −
⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝
4
⎞
⎟
⎠

Giải : pt cho tương đương :
GV : Nguy ng Giácễn Vũ Minh Tài Liệu Lượ
Đt : 0914449230 Email :
14

()
()
() () ()
3π
1 cos 2x
1cos2π x

2
43cos2x12
22
ππ
2 1 cos x 3 cos 2x 2 cos 2x 2 cos x 3 cos 2x cos 2x
22
13
sin 2x 3 cos 2x 2 cos x sin 2x cos 2x cos x
22
ππ ππ
sin 2x.cos cos 2x.sin cos x sin 2x sin x
33 32
⎛⎞
+−
⎜⎟
−−
⎝⎠
−=+
⎛⎞ ⎛⎞
⇔− − =− −⇔− − =− −
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⇔− = ⇔ − =
⎛⎞⎛⎞
⇔−=⇔−=−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
()
5π
xk2π

6
kZ
5π 2π
xk
18 3
⎡
=+
⎢
⇔∈
⎢
⎢
=+
⎢
⎣

Vì
()
5517
0; ; ;
61818
xS
π
ππ
π
⎧⎫
∈⇒=
⎨⎬
⎩⎭

Ví dụ 34. Giải phương trình:

3cos
4
2 cos (cos sin )
4c
x
xxx
xot1
π
π
⎛⎞
+
⎜⎟
⎛⎞
⎝⎠
−+ +=
⎜⎟
−
⎝⎠
.
Với ĐK sinx ≠ 0 và cotx ≠ 1, biến đổi phương trình thành

3
(cos sin )
1
2
2 (cos sin )(cos sin )
cos sin
2
sin
x

x
xxxx
x
x
x
−
−− +=
−
2cos2 3sin
x
x
⇔
−=
2
2sin 3sin 1 0xx
⇔
−+=

Giải tiếp được sinx = 1 và sinx = 0,5. Đều thỏa mãn ĐK .
Với sinx = 1
2
2
x
k
π
π
⇔= +
Với sinx = 0,5 ⇔
5
2; 2

66
x
kx k
ππ
π
π
=+ = + . Vậy PT đã cho có 3 họ nghiệm nói trên.
Ví dụ 35. Giải phương trình:
2
3
cos 2 2cos sin 3 2
44
0
2cos 2
xx x
x
ππ
⎛⎞⎛⎞
−+ −−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=
−

ĐK:
2cos 2 0 2
4
x
xk
π

−≠⇔≠±+π

Với điều kiện đó phương trình
2
3
cos 2 2cos sin 3 2 0
44
xx x
ππ
⎛⎞⎛⎞
⇔−+ −−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=


()
2
1
cos 2 2 sin 4 sin 2 2 0
22
xx x
⎡⎤π
⎛⎞
⇔− ++−π−=
⎜⎟
⎢⎥
⎣⎦

2

1 sin 2x sin 4x sin 2x 2 0
2
⎛⎞
π
⎛⎞
⇔
−−π−−+−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
=

⎝⎠

2
1 sin 2x cos 4x sin 2x 2 0⇔− − + − =
(
)
22
1 sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 2 0
⇔
−−− +−=
=

2
sin 2x sin 2x 2 0⇔+−= hoặc sin 2x 1⇔ sin 2x 2
=
− (loại)
Với
sin 2x 1 x k

4
π
=⇔ = +π. So điều kiện phương trình có nghiệm
5
xk2(k
4
Z)
π
=
+π ∈