Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong quá trình giải toán ở bậc trung học phổ thông

Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
MỞ ĐẦU
1 . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc giải toán hình học ở phổ thông thường được giáo viên giáo viên và
học sinh tiếp cận theo các dạng với từng yêu cầu cụ thể, trong từng bài từng
chương như : chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng, sự đồng phẳng
của các véc tơ, tìm khoảng cách từ điểm đến mặt, viết phương trình đường
thẳng…Tương ứng với dạng trên là các thao tác giải toán được chia nhỏ cụ thể
để dễ vận dụng. Tuy thuận lợi cho việc vận dụng nhưng sẽ giáo viên và học
sinh thiếu cái nhìn tổng quát về các phương pháp giải toán hình học. “Khai
thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong quá trình giải toán ở bậc
trung học phổ thông” là một đề tài thú vị cho thấy cách nhìn nhận tổng quan
về hình học, cũng như các phương pháp giải toán hình học ở phổ thông. Từ đó
xem xét bài toán hình học theo nhiều cách khác nhau và tìm được các cách giải
hay cho bài toán.
Đồng thời việc nghiên cứu đề tài này sẽ giúp bản thân tôi có “góc nhìn”
toàn diện hơn về các bài toán hình học ở phổ thông, các phương pháp giải toán
hình học, từ đó có thể vận dụng chúng để phù hợp với đối tượng học sinh
2 . MỤC TIÊU
Tìm hiểu các phương pháp tiếp cận hình học phổ thông để có thể xem xét
bài toán hình học nhiều khía cạnh góc độ.
Xây dựng quy trình chuyển đổi giữa các ngôn ngữ hình học và một số gợi
ý vận dụng quy trình này, để việc vận dụng được thuận lợi hơn. Tuy nhiên ta có
thể vận dụng linh hoạt tùy theo bài toán không nhất thiết phải theo khuôn mẫu
Khai thác các phương thức chuyển đổi này trong quá trình giải toán hình
học phổ thông, thông qua các bài toán cụ thể, đồng thời phân tích và nhận xét
việc giải các bài toán.
3 . NỘI DUNG CHÍNH
Giới thiệu các phương thức tiếp cận hình học. Từ đó tìm hiểu quá trình
chuyển đổi trong nội bộ một ngôn ngữ hình học: hình học tổng hợp, vec tơ, tọa
độ, phép biến hình. Sau đó tìm cách xây dựng quy trình chuyển đổi giữa ngôn

ngữ hình học tổng hợp với các ngôn ngữ khác. Xem xét các vấn đề trên qua các
ví dụ cụ thể cộng với nhận xét của bản thân.
Trang 1
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
CHƯƠNG 1: BỐN PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN
HÌNH HỌC
Từ khóa: Phương pháp tổng hợp, phương pháp véc tơ, phương pháp vectơ -
tọa độ, phương pháp tọa độ, phương pháp giải tích, phương pháp phép biến
hình, hệ tiên đề Hilbert, hệ tiên đề Weil
1.1. CÁCH TIẾP CẬN THEO PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP
Phương pháp tổng hợp trong nghiên cứu hình học, ở đây, được hiểu là
phương pháp xây dựng hình học bằng một hệ tiên đề mà ở đó không thể hiện ý
đồ đại số hóa hình học như: hệ tiên đề Ơlic, Hilbert…
Đối với hệ tiên đề Hilbert các khái niệm cơ bản gồm:
+ Các đối tượng cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng
+ Các quan hệ cơ bản: thuộc hay nằm trên, ở giữa, toàn đẳng.
+ Các số đo cơ bản: độ dài đoạn thẳng, diện tích mặt, số đo (độ) của góc.
Hình học phẳng được xây dựng bằng hệ tiên đề Hilbert gồm 21 tiên đề,
chia làm 5 nhóm: nhóm tiên đề về liên thuộc, nhóm các tiên đề về thứ tự,
nhóm tiên đề về độ dài đoạn thẳng, nhóm tiên đề về liên tục, nhóm tiên đề về
quan hệ song song
1.2. CÁCH TIẾP CẬN THEO PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
Theo Lê Thị Hoài Châu (2004), khái niệm vectơ có ba cách định nghĩa khác
nhau:
+ Định nghĩa qua hệ tiên đề của không gian vectơ. Như hệ tiên đề Weil trong
đó các đối tượng cơ bản là điểm, véc tơ; các tương quan cơ bản: phép cộng
vectơ, phép nhân vectơ với một số, tích vô hướng và phép đặt vectơ từ các
điểm; các số đo cơ bản: độ dài ( môđun ) vecto, góc giữa 2 vecto
+ Định nghĩa qua lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng
+ Định nghĩa thông qua lớp tương đương các cặp điểm sắp thứ tự.

Trang 2
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
1.3. CÁCH TIẾP CẬN THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
Trước hết, ta cần phải phân biệt phương pháp giải tích, phương pháp vectơ -
tọa độ và phương pháp tọa độ.
Theo Lê Thị Hoài Châu (2004)
+ Phương pháp giải tích là phương pháp “thông qua trung gian là một hệ
tọa độ, ta thay thế các đối tượng và các quan hệ hình học thành những đối
tượng và quan hệ đại số. Rồi ta dịch các tính chất hình học thành tính chất đại
số, quy bài toán hình học về bài toán đại số”.
+ Phương pháp vectơ - tọa độ là cách nghiên cứu hình học với công cụ
vectơ đã được gắn vào hệ tọa độ, từ đó người ta có thể chuyển phép toán trên
vectơ thành phép toán trên số. Phương pháp này cho phép ta thiết lập mối liên
thông giữa phương pháp giải tích với phương pháp vectơ”.
+ Thuật ngữ phương pháp tọa độ sẽ được dùng để chỉ chung cho hai
phương pháp, giải tích và vectơ - tọa độ (có cùng đặc trưng là lấy hệ tọa độ
làm trung gian để chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số)”.
Như vậy, khi sử dụng phương pháp tọa độ để nghiên cứu hình học tức là ta áp
dụng đồng thời hai phương pháp: giải tích và vectơ - tọa độ.
1.4. CÁCH TIẾP CẬN THEO PHƯƠNG PHÁP PHÉP BIẾN HÌNH
Nghiên cứu các đối tượng hình học theo quan điểm biến hình, tức là theo
các song ánh (1 – 1) f: D
a
D hoặc f:
Ψ
a
Ψ
M
→
M’ M

→
M’
( với D là mặt phẳng 2 chiều – đối với hình học phẳng và
Ψ
là không gian 3
chiều – đối với hình học không gian). Nói chính xác hơn là phép biến hình
điểm: M
→
M’ trong mặt phẳng hay không gian.
Các phép biến hình thường xét ở phổ thông:
+ Phép dời:phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay
+ Phép đồng dạng: phép vị tự trong mặt phẳng, phép nghịch đảo .
Trong không gian cũng có các phép biến hình tương tự
Trang 3
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
CHƯƠNG 2: KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG THỨC
CHUYỂN ĐỔI NGÔN NGỮ TRONG QUÁ TRÌNH
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Ở BẬC THPT
Từ khóa: Ngôn ngữ hình học tổng hợp, ngôn ngữ véc tơ, ngôn ngữ tọa độ,
ngôn ngữ phép biến hình, hệ véc tơ cơ sở, hệ trục tọa độ Dêcac vuông góc
2.1. CHUYỂN ĐỔI TRONG NỘI BỘ MỘT NGÔN NGỮ
2.1. CHUYỂN ĐỔI TRONG NỘI BỘ MỘT NGÔN NGỮ
Để chuyển đổi ta thường sử dụng: định nghĩa, các định lý, tính chất, các
cách tiếp cận khác nhau… để có được các “góc nhìn” về bài toán. Từ đó đưa
đến các cách khác nhau để giải quyết bài toán. Nếu xem việc giải bài toán là
quá trình đi từ giả thiết đến kết luận, ta có thể xem việc chuyển đổi đó giống
như sơ đồ sau:
Ngôn ngữ A:
Sơ đồ (I): chuyển đổi trong nội bộ một ngôn ngữ
Qua các “lăng kính” khác nhau ta có các “góc nhìn” khác nhau về bài toán

và đi theo các con đường khác nhau để giải quyết bài toán
2.1.1 NGÔN NGỮ HÌNH HỌC TỔNG HỢP
Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ canh a. Tính khoảng cách
giữa 2 AB và B’D
Cách 1:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và B’D
Dễ dàng thấy MN
⊥
AB
Mặt khác MN là đường trung tuyến của
tam giác cân MB’N nên MN
⊥
B’D
Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của AB và B’D
Xét tam giác vuông BMN có BN =
a 3
2
, BM =
a
2
ta tính được MN=
a 2
2
Do đó d (AB, B’D) = MN =
a 2
2
Trang 4
GT
1
2

3
K
L
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
Cách 2:
Ta thấy mặt phẳng A’B’CD chứa MN và song song AB nên
d (AB, B’D) = d ( AB, (A’B’CD)) = AI
Với I là trung điểm của A’D
Tương tự ta cũng tính được A’D =
a 2
2
Vậy d (AB, B’D) =
a 2
2
Cách 3:
Dựng hình lăng trụ AA’E.BB’D
Ta có
AA’E.BB’D A'B'DE
1
V S .h
2
=
với h = d ( AB, A’B’DE) = d (AB, B’D)
Ta tính được
AA’E.BB’D BB'D
V S .h'=
=
3
a 2.a a 2 a
2 2 2

=
Với h’ = d( (AA’E, BB’D)
Do đó h =
3
AA’E.BB’D
A ' B'DE
2V 2.a a 2
S 2
2.a.a 2
= =
Vậy d( AB, B’D) =
a 2
2
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã chuyển góc nhìn từ khoảng cách của 2
đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung, đến khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng, khoảng các đó cũng chuyển thành đường cao của
hình lăng trụ. Ta còn có thể xét khoảng cách trên là khoảng cách giữa mặt
phẳng và mặt phẳng, điểm và mặt phẳng và cách tìm thì giống như trên.
Trang 5
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
2.1.2 NGÔN NGỮ VÉC TƠ
Ví dụ: Cho tam giac ABC, có I là tâm đường tròn nội tiếp chứng minh rằng :
0+ + =
uur uuur r
uur
aIA bIB cIC
(a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác)
Giải
Ta sẽ phân tích
IC

uur
theo
IA
uur
và
IB
uur
rồi sử dụng tính chất đường phân giác
* Cách 1:
Dựng hình bình hành IA’CB’ như hình vẽ, ta có:

' '
' '= + = − −
uur uuur uuur uur uur
IB IA
IB IA
IC IB IA IB IA

1 1
1 1
== − − − −
uur uur
uur uur
AC B C b a
A B B A c c
IB IA IB IA
Vậy:
suy ra 0= + + =− −
uur uur uur uur uur uur r
b a

a b c
c c
IC IB IA IA IB IC
*Cách 2:
Áp dụng quy tắc 3 điểm ta có:

1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
. . .
. . .





= +
= + = + ⇒
= +
uuur uur uuur
uuur uur uuur uur uuur
uuur uur uuur
CA IA CA IB CA BA
IA IB BA IC CA
BA IA BA IC BA CA

1 1 1 1 1 1 1 1 1
)( ) . . ( . .⇒ + = + + +
uuur uuur uuuur uuuur
uur

CA BA IA CA IB BA IC CA BA BA CA

1 1 1
. . .⇒ − = +
uur uur uur
IABC CA IB BA IC

1 1 1
. . .⇒ − = +
uur uur uur
IA
IA BC BC
CA BA
IA IB IC

1 1 1
. . .⇒ − = +
uur uur uur
BA CA BA
c a a
IA IB IC
(vì BI là phân giác trong của
∆
ABA
1
)

1
1
1 1

.
.
1 1
.
.
0
. .
. .
. .
. .+ =
⇒ − = +
⇒ − = +
⇒ − = +
⇒ +
uur uur uur
uur uur uur
uur uur uur
uur uur uur r
CA
c BA a a
b
c c a a
a b c
a b c
IA IB IC
IA IB IC
IA IB IC
IA IB IC
Trang 6
I

C
C
1
A
1
A
B
A’
B’
B
1
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
Nhận xét: trong ngôn ngữ véc tơ ta thường dùng quy tắc 3 điểm, quy tắc hình
bình hành, trung điểm, trọng tâm, … để biến đổi các biểu thức véc tơ. Ngoài ra
tích vô hướng giữa 2 véc tơ cũng là công cụ hữu hiệu để giải toán bằng véc tơ
2.1.3 NGÔN NGỮ TỌA ĐỘ
Ví dụ: Hãy tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau sau:
x 1 y 1 z 2
( ) :
2 2 1
x 2 y 3 z
( ') :
2 1 2
+ − −
∆ = =
− +
∆ = =
− −
Giải:
Cách 1: Ápdụng trực tiếp công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

chéo nhau : với N ( 2, -2, 0)
∈
'∆
2 1 3 1 0 2
2 2 1
2 1 2
d( , ')
2 2 2
2 1 1 2 2 2
1 2 2 2 2 1
+ − − −
− −
∆ ∆ =
+ +
− − − −
=
21 7
3
81
=
Cách 2 : Ta chuyển về khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng như sau:
Gọi ( P) là mặt phẳng chứa
∆
và song song
'
∆
Phương trình mặt (P) đi qua M (-1, 1, 2)
∈
∆
có vecto chỉ phương

a
r
= (2, -2, 1),
b
r
= (2, -1, -2) (với
a,b
r
r
lần lượt là các vecto chỉ phương của
∆
và
'
∆
) có dạng:
x 1 y 1 z 2
2 2 1 0
2 1 2
+ − −
= ⇔
− −
– 3x + 6y – 6z + 3 = 0 (P)
Ta thấy N (2, - 3, 0 )
∈

'∆
do đó:
d (
∆
,

'
∆
) = d (N, (P)) =
2 2 2
3.2 6( 3) 6.0 3
3 6 6
− + − − +
+ +
=
21 7
3
81
=
Trang 7
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
Cách 3 : Lấy M
∈
∆
, N
∈
'∆
bất kì
suy ra M( - 1 + 2t, 1 + 2t, 2 + t),
N ( 2 + 2k, - 3 - k, - 2k ) do đó

MN
uuuur
= ( 3 + 2k – 2t , - 4 – k – 2t, - 2 – 2k – t)

⇒

MN
2
= 9k
2
+ 9t
2
+ 29 + 14k + 4t

2 2
14 4 49 49
(3k ) (3t )
3 3 9 9
= + + + + ≥
Ta thấy d (
∆
,
'
∆
) = Min MN =
49 7
9 3
=
Cách 4: Gọi MN là đoạn vuông góc chung với M
∈
∆
, N
∈
'
∆
+ Tọa độ của M, N có dạng: M( - 1 + 2t, 1 + 2t, 2 + t),

N ( 2 + 2k, - 3 - k, - 2k )

MN
uuuur
= ( 3 + 2k – 2t , - 4 – k – 2t, - 2 – 2k – t)
Vì MN là đoạn vuông góc chung nên:
MN.a 0
MN.b 0

=


=


uuuur r
uuuur r
( với
a
r
= (2, -2, 1),
b
r
= (2, -1, -2) lần lượt là các vecto chỉ phương của
∆
và
'∆
)
4
t

4 9t 0
9
14 9k 0 14
k
9
−

=

− − =


⇒ ⇒
 
+ = −


=



7 14 14
MN ( , , )
9 9 9
−
⇒ =
uuuur
Suy ra d (
∆
,

'∆
) = MN =
49 7
9 3
=
Nhận xét: Trong ví dụ trên khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
trong ngôn ngữ tọa độ, ta đã chuyển về tính khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng , tính độ dài đoạn MN hay theo định nghĩa khoảng cách là đoạn ngắn
nhất. Đó cũng chính là cách tính khoảng cách trong ngôn ngữ hình học tổng
hợp. Nói cách khác ta thấy có sự chuyển đổi “góc nhìn” từ ngôn ngữ hình học
tổng hợp sang ngôn ngữ tọa độ, ta có thể tạm sơ đồ hóa như sau:
Trang 8
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
Ngôn ngữ A :
Ngôn ngữ B :
Sơ đồ (II): chuyển đổi trong nội bộ một ngôn ngữ với góc nhìn
từ ngôn ngữ khác
Ở đây việc tính tính toán, chứng minh hoàn toàn dựa trên ngôn ngữ tọa
độ. Chỉ có sự chuyển đổi góc nhìn để có được những cách giải phong phú, ấn
tượng. Đây cũng là trường hợp thường gặp khi giải toán, chúng ta có thể có
được ý hay để giải bài toán, khi chúng ta nhìn nó với góc độ khác với góc nhìn
thường sử dụng hoặc giải được bài toán sơ cấp nhờ giải nó bằng toán cao cấp
2.1.4 NGÔN NGỮ PHÉP BIẾN HÌNH
Trong chương trình phổ thông ta hiếm khi gặp các dạng đề bằng ngôn ngữ
này, do tính chất trừu tượng cao của nó. Ở đây tôi xin nêu 1 bài toán để ta cùng
tham khảo:
Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC,
AB. Gọi Z = Đ
A
. Đ

I.
Đ
B
. Đ
J
. Đ
C
. Đ
K
. Chứng minh rằng: Z là phép đồng nhất.
Cách 1: Ta thấy
Đ
A
. Đ
I
=
2AI
T
uur
Đ
B
. Đ
J
=
2BJ
T
uur

Đ
C

. Đ
K
=
2CK
T
uuur
Suy ra Z =
2AI
T
uur
.
2BJ
T
uur
.
2CK
T
uuur
=
0
T
r

(Vì
AI BJ CK 0+ + =
uur uur uuur r
)
Vậy Z là phép đồng nhất
Cách 2 :
Theo tính chất tích của 3 phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm ta có:

Đ
A
. Đ
I.
Đ
B
= Đ
P
,
với
AP IB=
uur uur
(1)
Trang 9
GT
1
2
3
K
L
GT
1
2
3
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
Đ
J
. Đ
C
. Đ

K
= Đ
Q
với
JQ CK=
uur uuur
(2)
Dựa (1) và (2) dễ dàng chứng minh được 2 điểm P và Q trùng nhau
Do đó Z = Đ
P
Đ
P
Vậy Z là phép đồng nhất
2.2 CHUYỂN ĐỔI TỪ NGÔN NGỮ NÀY SANG NGÔN NGỮ KHÁC
2.2 CHUYỂN ĐỔI TỪ NGÔN NGỮ NÀY SANG NGÔN NGỮ KHÁC
Quy trình này được thực hiện theo các bước sau: chuyển giả thiết và kết
luận của bài toán từ ngôn ngữ A sang ngôn ngữ B, giải bài toán bằng cách thực
hiện các phép biến đổi trong ngôn ngữ B, dịch kết luận của bài toán từ ngôn
ngữ B sang ngôn ngữ A. Ta có thể xem việc chuyển đổi này theo sơ đồ sau:
Ngôn ngữ A:
Ngôn ngữ B:
Sơ đồ (III): chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác
Ở đây tôi xin chọn ngôn ngữ hình học tổng hợp làm trung tâm để chuyển
đổi sang các ngôn ngữ hình học khác, vì 1 số nguyên nhân sau:
+ Ngôn ngữ hình học tổng hợp thường gần gũi đối với học sinh phổ thông
hơn, do gắn liền từ khi học THCS đến THPT, các đề bài tập, kiểm tra, thi cử
cũng thường cho bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp.
+ Khi giải quyết vấn đề hình học ta thường có xu hướng chuyển về giải
bài toán hình học tổng hợp hay việc vẽ bài toán theo ngôn ngữ tổng hợp, do đó
nó dễ dàng là trung gian cho việc chuyển đổi ngôn ngữ

+ Bản chất cụ thể, trực quan của nó cũng ưu thế so với các ngôn ngữ
véc tơ, tọa độ, phép biến hình khá trừu tượng. Do đó, việc sử dụng sẽ dễ dàng
hơn, vì ta chuyển từ trực quan sang trừu tượng, rất phù hợp với học sinh
Trang 10
GT
GT
K
L
K
L
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
2.2.1 TỪ NGÔN NGỮ HÌNH HỌC TỔNG HỢP SANG NGÔN NGỮ
VÉC TƠ
a ) Quy trình chung để chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học tổng
hợp sang ngôn ngữ véc tơ
Bước 1.Lựa chọn “hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài
toán đã cho ra “ngôn ngữ véctơ” .
Bước 2. Giải bài toán thông qua ngôn ngữ véc tơ
Bước 3. Chuyển các kết luận của ngôn ngữ vectơ sang các kết luận hình học
tổng hợp tương ứng
Việc lựa chọn hệ vec to cơ sở có thể tiến hành theo gợi ý sau:
+ Chọn 3 vectơ không đồng phẳng trong không gian ( chọn 2 vecto có giá
cắt nhau nếu trong mặt phẳng )
+ Các vecto này có chung điểm gốc, điểm gốc này thường là nơi có nhiều
quan hệ của các đối tượng: vuông góc, song song, bằng nhau, góc cụ thể…
+ Khi phân tích các vecto khác qua hệ vecto cơ sở này được thuận lợi
Sau đây là 1 số hình ảnh gợi ý việc chọn hệ vecto cơ sở :
Hình chóp Hình lăng trụ Hình hộp
{ }
, ,SA a SB b SC c= = =

uur r uur r uuur r

{ }
' , ,AA a AB b AC c= = =
uuur r uuur r uuur r

{ }
' , ' ' , ' 'A A a A B b A D c= = =
uuuur r uuuuur r uuuuur r
b ) Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng
tâm của các tam giác AA’B’, A’B’C’, ABC, BCC’. Chứng minh : MN // EF.
Lời giải:
Bước1:Chọn hệ véc tơ cơ sở
{ }
' , ,= = =
uuur r uuur r uuur r
AA a AB b AC c
Theo đề bài:
+M là trọng tâm của tam giác AA
1
B
1
:

1
( ' ')
3
= +

uuuur uuur uuuur
AM AA AB
(1)
Trang 11
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
+N là trọng tâm của tam giác A
1
B
1
C
1
:

1
( ' ' ')
3
= + +
uuur uuur uuuur uuuur
AN AA AB AC
(2)
+E là trọng tâm của tam giác ABC:

1
( )
3
AE AB AC= +
uuur uuur uuur
(3)
+F là trọng tâm của tam giác BCC
1

:

1
( ')
3
= + +
uuur uuur uuur uuuur
AF AB AC AC
(4)
+
/ /MN EF MN kEF⇔ =
uuuur uuur
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
Từ (1), (2):
( )
1
3
MN AN AM a c= − = +
uuuur uuur uuuur r r
(5)
Từ (3), (4):
( )
1
3
EF AF AE a c= − = +
uuur uuur uuur r r
(6)
Từ (5), (6):
MN EF=
uuuur uuur

(7)
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (7) : MN // EF.
Ví dụ 2
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là các hình thoi bằng
nhau.Các góc phẳng của góc tam diện đỉnh A’ bằng nhau. Gọi M là trung điểm
B’D’
Chứng minh rằng:
' ⊥A C AM
.
Lời giải:
Cách 1:
Chọn hệ véc tơ cơ sở
{ }
' , ' ' , ' '= = =
uuuur r uuuuur r uuuuur r
A A a A B b A D c
Theo giả thiết:
·
·
·
' ' ' ' ' ' '= = =AA D D A B AA B
ϕ
Vậy
' ⊥A C AM
Cách 2:
Ta có:
( )
' ' . '
( ) 0

' ' (1)
= + + ⇒
= + + − =
⇒ ⊥
uuuur r r r uuuur uuuur
r r r r r
uuuur uuuur
A C a b c A C AB
a b c b a
A C AB
Trang 12
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
( )
' . ' ( ) 0
' ' (2)
= + + − =
⇒ ⊥
uuuur uuuur r r r r r
uuuur uuuur
A C AD a b c c a
A C AD
Từ (1) và (2) suy ra
' ( ' ')⊥A C AB D
.
Do đó
' ⊥A C AM
Nhận xét : ở đây có sự kết hợp của sơ đồ (I) và (III), ta thay đổi góc nhìn và
giải bài toán bằng theo ngôn ngữ véc tơ. Điều này cho thấy tính phong phú của
một ngôn ngữ, cũng như một góc nhìn rộng mở hơn, khả năng lớn hơn khi
chuyển đổi bài toán đã cho.

Ngôn ngữ A:
Ngôn ngữ B:
Sơ đồ (IV): chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác với góc nhìn mới
Ta cũng có kết hợp sơ đồ ( II) và (III) như sau:
Ngôn ngữ A:
Ngôn ngữ B
Sơ đồ (V): chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác với góc nhìn cũ
Ở đây sau khi chuyển đổi ngôn ngữ bài toán, ta cũng chuyển luôn các góc
nhìn , phương hướng giải quyết bài toán ở ngôn ngữ A sang ngôn ngữ B. Do đó
ta thực hiện các cách giải thường sử dụng ở ngôn ngữ A gián tiếp thông qua
ngôn ngữ B. Điều này ta sẽ thấy rõ hơn ở ví dụ 2, mục 2.2.2
2.2.2 TỪ NGÔN NGỮ HÌNH HỌC TỔNG HỢP SANG NGÔN NGỮ
TỌA ĐỘ
a) Quy trình chung để chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học tổng
hợp sang ngôn ngữ tọa độ
Bước 1.Lựa chọn “hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc”; “phiên dịch” các giả
thiết, kết luận của bài toán đã cho ra “ngôn ngữ tọa độ”.
Bước 2. Giải bài toán thông qua ngôn ngữ tọa độ
Trang 13
GT
1
2
3
K
L
GT
K
L
GT
1

2
3
K
L
K
L
GT
1
2
3
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
Bước 3. Chuyển các kết luận của ngôn ngữ tọa độ sang các kết luận hình học
tổng hợp tương ứng
Việc chọn hệ trục tọa độ vuông góc có thể tiến hành theo gợi ý sau:
+ Chọn gốc tọa độ tại nơi có nhiều quan hệ vuông góc nhất
+ Chọn gốc tọa tại nơi trung tâm của hình: trực tâm, tâm của đáy, chân
đường cao …
Sau đây là việc chọn hệ trục tọa độ qua 1 số hình ảnh cụ thể gợi ý:
Hình chóp Hình lăng trụ đứng Hình hộp đứng

b) Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB BC a
= =
, cạnh bên
' 2AA a=
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng AM, B’C
Bước 1:
+ Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như hình vẽ

+ Dịch bài toán đã cho
Trang 14
B’
A
D
C
B
D’
A’
C’
y
x
A’
B
C’
x
B’
C
A
y
B
D
C
A
O
S
y
D
A
O

S
x
y
z
D
D’
y
A
B
C
C
A’
B’
O
O’
x
A
B
C
C
1
O
B
1

A1 Z
z
A’
B
C’

M
x
B’
A
y
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
B ( 0, 0, 0), A (0, a, 0), C (a, 0, 0)
B’ ( 0, 0,
2a
), M
;0;0
2
a
 
 ÷
 

; ;0
2
 
 ÷
 
= −
uuuur
a
AM a
;
' ( ;0; 2)= −
uuuur
B C a a

' (0; ; 2)= −
uuuur
AB a a
Bước 2: Ta sẽ chứng minh AM và B’C chéo nhau
Thật vậy ta có:
2
2 2
, ' 2; ;
2
a
AM B C a a
 
 
=
 ÷
 
 
uuuur uuuur
Do đó
3
, ' '
2
a
AM B C AB
 
=
 
uuuur uuuur uuuur

⇒

AM và B’C chéo nhau
( )
, ' '
, '
, '
 
 
 
 
=
uuuur uuuur uuuur
uuuur uuuur
AM B C AB
d AM B C
AM B C
3
7
2
7
1
4 4 4
2
2
= =
+ +
a
a
a a a
Bước 3: Vậy d ( AM, B’C) =
7

7
a
Ví dụ 2. Cho hình lập phương
''''. DCBAABCD
.
Chứng minh rằng đường chéo
CA'
vuông góc với mặt phẳng
)''( DAB
Cách 1
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như hình vẽ:
)0;0;0(AO ≡
B(1, 0, 0) C(1, 1, 0) D(0, 1, 0)
A’(0, 0, 1) B’(1, 0, 1) C’(1, 1, 1) D’(0, 1, 1)
Ta có :
A'C (1;1; 1)
AB' (1;0;1)
AD' (0;1;1)

= −


=


=


uuuur
uuuur

uuuur

Do đó:
2 2
2 2
A'C.AB' 1 0 1 0 A'C AB'
A'C AD'
A'C.AD' 0 1 1 0

= + − = ⊥


⇔
 
⊥

= + − =


uuuur uuuur
uuuur uuuur

Nên
A'C (AB'D')⊥
Cách 2
Mặt phẳng (AB’D’) có 2 véc tơ chỉ phương :
AB' (1,0,1) AD' (0,1,1)= =
uuur uuuur
Do đó (AB’D’) có véc tơ pháp tuyến:
AB',AD'n

 
=
 
r
uuuuruuuur
=( - 1, -1, 1 )
⇒

A'C
uuuur
= (1, 1 – 1) cũng là vecto pháp tuyến của (AB’D’)
Nên
A'C (AB'D')⊥
Trang 15
C
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
Nhận xét: Trong cách 1 ta đã thực hiện gián tiếp phương pháp chứng
minh thường sử dụng trong ngôn ngữ hình học thông qua ngôn ngữ tọa độ. Đó
là “để chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng cần chứng minh đường
thẳng đó vuông góc 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng”.
Điều này cũng nói lên rằng, ta có thể linh hoạt áp dụng việc chuyển đổi
ngôn ngữ bất cứ khi nào trong quá trình giải toán, nhằm mục đích thuận lợi hơn
cho việc giải toán. Vì mỗi ngôn ngữ điều có ưu điểm, nhược điểm riêng của nó,
nên mỗi bước làm, mỗi yêu cầu khác nhau cần linh hoạt lựa chọn sử dụng ngôn
ngữ nào sao cho phù hợp nhất. Nếu chỉ chọn một ngôn ngữ hay phương pháp
nhất định thì trong quá trình giải toán sẽ gặp không ít khó khăn, thậm chí
không giải được theo cách đã chọn.
2.2.3 TỪ NGÔN NGỮ HÌNH HỌC TỔNG HỢP SANG NGÔN NGỮ
PHÉP BIẾN HÌNH
a) Quy trình chung để chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học tổng

hợp sang ngôn ngữ phép biến hình
Bước 1.Lựa chọn “phép biến hình”; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của
bài toán đã cho ra “ngôn ngữ phép biến hình”.
Bước 2. Giải bài toán thông qua ngôn ngữ phép biến hình
Trang 16
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
Bước 3. Chuyển các kết luận của ngôn ngữ phép biến hình sang các kết luận
hình học tổng hợp tương ứng
Việc chọn phép biến hình có thể làm theo gợi ý sau:
+ Chọn phép tịnh tiến nếu có đoạn thẳng (vectơ ) cố định
+ Phép đối xứng trục nếu có đoạn thẳng, đường thẳng cố định
+ Phép đối xứng tâm nếu có các điểm cố định
+ Phép quay nếu có điểm và góc cố định
+ Phép vị tự nếu có điểm cố định và tỷ lệ cạnh không đổi
Tổng quát lên ta tìm các yếu tố cố định của để có thể vận dụng phép biến
hình phù hợp với bài toán
b) Ví dụ minh họa
Ví dụ:
Cho đường tròn tâm O bán kính R, AB là dây cung cố định của (O), điểm
M di động trên đường tròn. Tìm quỹ tích trọng tâm H của tam giác AMB
Cách 1
Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua tâm O.
Ta thấy:
MH // A
1
B ( cùng vuông góc AB)
BH // MA
1

( cùng vuông góc AM)
Do đó MHBA
1
là hình bình hành
Hay
1
MH A B=
uuuur uuuur
( cố định )
Nên
1
A B
T : M H→
uuuur

Mà M
∈
(O)
Vậy quỹ tích của H là đường tròn (O’) với
1
A B
T : (O) (O')
uuuur
a
Cách 2:
Gọi H’ = MH
∩
(O)
Ta dễ dàng chứng minh được AB là đường
trung trực của HH’

Do đó khi M di động trên (O) thì H’ cũng di đông
trên (O) và Đ
AB
: H’
→
H (AB cố định )
Mà H’
∈
(O)
Vậy quỹ tích của H là đường tròn (O’) với
Đ
AB
: (O)
a
(O’)
Cách 3:
Gọi M’ = MO
∩
(O)
I là trung điểm AB
Ta dễ dàng chứng minh được I là trung điểm HM’
Do đó khi M di động trên (O) thì M’ cũng di đông
trên (O) và Đ
I
: M’
→
H (I cố định )
Mà M’
∈
(O)

Vậy quỹ tích của H là đường tròn (O’) với
Trang 17
I.
O.
A
B
M
A
1
H
O’
D
B
H
C
A
O
F
E
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
Đ
I
: (O)
a
(O’)
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta thấy các yếu tố cố định đã cho của bài toán
như: AB, I, A
1
B, do đó ta đã chọn các phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm,
phép tịnh tiến tương ứng. Có những yếu tố cố định có thể thấy ngay được như

AB, I nhưng cũng có yếu tố cố định phải tiến hành phân tích mới thấy như A
1
B
. Tuy vậy ta cũng có thể dự đoán được điều này vì theo giả thiết luôn có
phương MH luôn vuông góc với AB. Ngoài ra ở đây ta thấy có góc không đổi
là
·
AMB
nên có thể giải bài toán theo phép quay
2.3 VÍ DỤ TỔNG HỢP:
2.3 VÍ DỤ TỔNG HỢP:
Bây giờ ta sẽ xét các ví dụ sau: 1 bài hình học phẳng, 1 bài hình học
không gian. Ta sẽ giải các ví dụ này theo những phương thức chuyển đổi đã
học
Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là 1 điểm thay đổi trên
(O) sao cho tam giác ABC không cân tại C. Gọi H là đường cao của tam giác
ABC hạ từ C, hạ HE, HF vuông góc với AC, BC tương ứng. Hai đường thẳng
EF, AB cắt nhau tại K. Gọi D là giao điểm của (O) và đường tròn đường kính
CH,
D ≠ C
CMR C, D, K thẳng hàng

Trang 18
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
Cách 1:
Ta có
·
·
KAD DCB=
(tứ giác ADCB nội tiếp)

Và
·
·
KED DCB=
(tứ giác DECF nội tiếp)
Suy ra
·
·
KAD KEA=
, do đó tứ giác KAED nội tiếp.
Từ đó ta có
·
·
·
KDE EAH EHC= =
Mà
· ·
0
EHC EDC 180+ =
, nên
·
·
0
KDE EDC 180+ =
Suy ra K, D, C thẳng hàng.
Cách 2:
Chúng ta cần chứng minh CD, EF và AB đồng quy.
Ta có tứ giác AEFB nội tiếp, suy ra AB là trục đẳng phương của
(O) và (AEFB)
EF là trục đẳng phương của (I) và (AEFB) và CD là trục đẳng phương

của (O) và (I)
Vậy theo định lý về tâm đẳng phương ta có CD, EF và AB đồng quy tại
tâm đẳng phương của 3 đường tròn
Mà K là giao điểm của AB và EF, suy ra K thuộc CD.
Hay K, C, D thẳng hàng.
Cách 3:
Gọi I là trung điểm CH.
Thực hiện phép nghịch đảo cực C, phương tích CH
2
.
Khi đó E
→
A, F
→
B. (I)
a
AB, (O)
a
EF.
Suy ra D
→
K. Vậy D, K, C thẳng hàng
Cách 4:
Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Trang 19
B(1+a)
H(0,0)
C(0,b)
A(-1+a)
O(0,a)

F
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
H(0;0), O(0;a), A(-1+a), B(0;1+a) và C(0;b).
Khi đó b
2
= |(-1+a)(1+a)| = 1
Khi đó:
Phương trình đường tròn (I): x
2
+ (y -
b
2
)
2
=
2
b
4
Phương trình đường tròn (O):
( )
2
2
x a y 1− + =
Suy ra phương trình đường thẳng CD:
2 2
2 2
b b
2ax a by – 1 – 2ax by b 0
4 4
− + + = ⇔ − + =

Phương trình đường thẳng AC:
( )
( )
x y
1 bx a – 1 y b(a –1)
a – 1 b
+ = ⇔ + =
Phương trình đường thẳng HE: (a – 1)x – by = 0
Suy ra tọa độ điểm E:
2
b b(a 1)
( , )
2 2
− −
Suy ra phương trình đường thẳng EF

2
b
y
x
2
b(a 1) b
b
2 2
2
−
=
−
−
Suy ra tọa độ giao điểm K của EF và AB là K

2
b
( ,0)
2a
−

Dễ thấy tọa độ điểm K thỏa phương trình đường thẳng CD, suy ra K thuộc
Vậy 3 điểm K, C, D thẳng hàng.
Nhận xét:
Đối với ví dụ trên ta thấy:
+ Giải bằng hình học tổng hợp khá gần gũi dễ thấy,
+ Giải bằng ngôn ngữ biến hình tuy ngắn gọn nhưng khó thấy hơn, đòi hỏi
phải hiểu sâu kiến thức,
+ Giải bằng ngôn ngữ tọa độ tuy chỉ tính toán nhưng khá phức tạp, tính
toán dễ sai sót.
+ Một trường hợp đặc biệt của vecto là độ dài đại số của đoạn thẳng, do
đó đối với bài này ta sẽ sử dụng phương tích của điểm với đường tròn, cách
chứng minh đơn giản dễ hiểu nhưng phải có sự vận dụng linh hoạt ngôn ngữ
véc tơ
Trang 20
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
Ví dụ 2
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc (ABCD).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SD, (AMN) cắt SC tại K.
CMR AK
⊥
MN
Cách 1
Ta có:
BD AC

BD SA
⊥


⊥

⇒
BD
⊥
(SAC)
⇒
BD
⊥
AK
MN // BD (vì MN là đường trung bình của
BSDV
)
Suy ra AK
⊥
MN
Cách 2:
Ta có Đ
(SAC)
: S
→
S
B
→
D

⇒
SB
→
SD

⇒
M
→
N
Do đó MN
⊥
(SAC)
⇒
MN
⊥
AK
Cách 3:
Chọn hệ véctơ cơ sở
{ }
, ,AB a AD b AS c= = =
uuur r uuur r uuur r
AM
uuuur
=
1
2
(
a
r
+

c
r
),
AN
uuur
=
1
2
(
b
r
+
c
r
)
1
( )
2
MN AN AM b a⇒ = − = −
uuuur uuur uuuur r r
SC c a b= − + +
uuur uur r r
( ) (1 )AK AS SK c k c a b ka kb k c⇒ = + = + − + + = + + −
uuur uuur uuur r uur r r r r r

MN AK⇒
uuuuruuur
= 0 (vì
0, 0, 0ab ac bc= = =
rr rr uurr

)
Vậy MN
⊥
AK
Cách 4:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
O
≡
A (0, 0, 0) B( a, 0, 0)
C (a, a, 0) D( 0, a, 0) S(0, 0, b)
M(
,0,
2 2
a b
) N(
0, ,
2 2
a b
)
Trang 21
x
y
z
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
MN
uuuur
=(
, ,0
2 2
a a−

)
Phương trình SC:
x y z b
a a b
−
= =
−
K
∈
SC
⇒
K (at, at, b - bt )
⇒
AK (at, at, b - bt )
⇒

.AK MN
uuur uuuur
=
2 2
0
2 2
a t a t−
+ +
= 0
Vậy MN
⊥
AK
Nhận xét:
Trong ví dụ 2 việc chứng minh theo phương pháp hình học tổng hợp và

phương pháp biến hình dễ hiểu và gọn gàng hơn. Còn việc chứng minh bằng
phương pháp tọa độ và phương pháp vécctơ có phần phức tạp hơn.
Nói tóm lại việc chứng minh hình học cần được vận dụng linh hoạt các
phương thức chuyển đổi ngôn ngữ để lời giải được gọn gàng dễ hiểu
CHƯƠNG 3: KẾT LUẬN
Việc chuyển đổi ngôn ngữ trong quá trình giải toán đem đến góc nhìn
toàn diện hơn về bài toán cũng như sự đa dạng phong phú trong lời giải. Khi
chuyển ngôn ngữ mang đến khả năng cao hơn để tìm được lời giải, những ý
tưởng phong phú để giải quyết bài toán đã cho, từ đó kích thích, tạo hứng thú
cho người học và khơi nguồn sáng tạo của học sinh.
Nếu nắm vững các cách thức chuyển đổi ngôn ngữ nghĩa là ta đã nắm
vững cấu trúc tổng thể, toàn diện của các phương pháp giải toán phổ thông điều
Trang 22
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
này tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải toán và giúp cho việc giảng dạy được
phong phú, mới lạ, hấp dẫn.
Mỗi ngôn ngữ điều có ưu và nhược điểm riêng do đó cần vận dụng linh
hoạt, lựa chọn ngôn ngữ phù hợp. Không có ngôn ngữ nào là tuyệt đối để giải
được tất cả các bài toán, điều quan trọng là bạn thấy được sức mạnh và vẻ đẹp
của từng ngôn ngữ để sử dụng chúng hiệu quả nhất.
Đề xuất:
Ở đây tôi chỉ lấy ngôn ngữ tổng hợp làm trung tâm của sự chuyển đổi để
gần gũi với chương trình phổ thông hơn. Tuy nhiên ta có thể sử dụng bất cứ
một trong bốn ngôn ngữ nào kể trên để làm trung tâm của sự chuyển đổi, hay
xem xét sự chuyển đổi toàn diện giữa các ngôn ngữ trên.
Cũng như bất cứ ngôn ngữ nào, để học tốt ngôn ngữ toán học ta cũng cần
biết một lượng “từ vựng” khá, đủ để làm nền tảng cho việc chuyển đổi trong
nội bộ ngôn ngữ và “dịch” từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác. Do đó ta có
thể thành lập một “từ điển con” cho các ngôn ngữ này
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. LÊ THỊ HƯƠNG (2009), Cách khai thác các phương thức chuyển đổi
ngôn ngữ trong quá trình giải bài toán hình học, Tạp chí giáo dục, số
218, trang 28 – 30
2. ĐỖ THANH SƠN (1998), Phương pháp giải toán hình học 12, NXB
ĐHQG Hà Nội, Hà Nội
3. ĐỖ THANH SƠN (2004), Phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo
dục, Hà Nội
Trang 23
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT
4. LÊ HÔNG ĐỨC ( chủ biên), ĐÀO THIỆN KHẢI, LÊ BÍCH NGỌC,
(1998), Phương pháp giải toán hình học – Mặt phẳng – Đường tròn –
Mặt Cầu, NXB Đại học Sư Phạm, TP. HCM
5. TRẦN XUÂN KHANG (2008), Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán
hình học không gian bằng phương pháp véc tơ. website:
6. NGUYỄN THANH LAM, Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán
hình học không gian, website:
7. NGUYỄN VĂN THÀNH, Sử dụng phương pháp vectơ để giải một số bài
toán hình học phẳng, website:
8. BÙI ANH TUẤN, Chuyên đề cơ sở khoa học luận hình học, dự án bồi
dưỡng giáo viên năm 2009, trường đại học Cần Thơ, Cần Thơ.
website:
NHẬN XÉT

Trang 24
Khai thác các phương thức chuyển đổi ngôn ngữ trong qua trình giải toán ở bậc THPT





















Trang 25