HH9 - Bài 3 Liên hệ giữa dây và kc từ tâm đến dây

Thực hiện:
Tiêu Trọng Tú
Tiêu Trọng Tú
Tháng 10-2013
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY
VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
Thöù saùu, 18.10.2013
1. Bài toán:
Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của
đường tròn (O; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là các
khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng:
OH
2
+ HB
2
= OK
2
+ KD
2

Có độ dài cạnh AB, AC. Làm thế nào để tính độ dài
cạnh BC?
BC
2
= AB
2
+ AC
2
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY
VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY

Thöù saùu, 18.10.2013
1. Bài toán:
Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của
đường tròn (O; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là các
khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng:
OH
2
+ HB
2
= OK
2
+ KD
2

Giải:
Áp dụng định lý Pytagore vào các
tam giác vuông OHB và OKD, ta có:
OH
2
+ HB
2
= OB
2
= R
2
(1)
OK
2
+ KD
2

= OD
2
= R
2
(2)
Từ(1) và (2) suy ra OH
2
+ HB
2
= OK
2
+ KD
2
.
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY
VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
Thöù saùu, 18.10.2013
2.
2.
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
:
:
OH
2
+ HB
2
= OK
2
+ KD

2

?1
Cho hình vẽ. Sử dụng kết quả bài toán

chứng minh rằng:
a. Nếu AB = CD thì OH = OK
b. Nếu OH = OK thì AB = CD.
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY
VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
Thöù saùu, 18.10.2013
2.
2.
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
:
:
2 2
2 2
mà
mà
a) OH AB; OK CD
AB
AH = HB =
2
CD
CK = KD =
AB = CD
HB = KD
OH = OK

2
HB = KD
OH = OK
⊥ ⊥

⇒



⇒





⇒
⇒ ⇒
2 2 2 2
OH + HB = OK + KD




§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY
VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
Thöù saùu, 18.10.2013
2.
2.
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

:
:
mà
OH AB; OK CD
AB
AH = HB =
2
CD
CK = KD =
2
HB = KD (cmt
AB
)
= CD
⇒
⇒ ⇒
⊥ ⊥

⇒



⇒





2 2
2 2

OH = Ob) OH = OK
maø
HB = KD HB =
K
KD
2 2 2 2
OH + HB = OK + KD

§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY
VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
Thöù saùu, 18.10.2013
2.
2.
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
:
:
Qua bài toán trên em rút ra được điều gì?
Định lý 1
Định lý 1:
Trong một đường tròn
Trong một đường tròn
a.
a.


Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b.
b.

Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
AB = CD OH = OK⇒
OH = OK⇐
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY
VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
Thöù saùu, 18.10.2013
2.
2.
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
:
:
Định lý 1
Định lý 1:
Trong một đường tròn
Trong một đường tròn
a.
a.


Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b.
b.


Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
AB = CD OH = OK⇔
So sánh:
a) OH và OK, nếu AB > CD.
b) AB và CD, nếu OH < OK.
?2
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
2.
2.
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
:
:
?2
Giải:
Ta có: OH
2
+ HB
2
= OK
2
+ KD
2
(1)
a) Nếu AB > CD thì
⇒ HB > KD ⇒ HB
2
> KD
2
(2)

Từ (1) và (2) ⇒ OH
2
< OK
2
⇒ OH < OK
b) Nếu OH < OK ⇒ OH
2
<OK
2
(3)
Từ (1) và (3) ⇒ HB
2
>KD
2
⇒ HB > KD
⇒
⇒ AB > CD
AB CD
2 2
>
AB CD
2 2
>
Định lý 2
Định lý 2: Trong hai dây của một đường tròn:
a.Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn.
b.Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn.
AB > CD OH < OK⇔
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
Định lý 1

Định lý 1:
Trong một đường tròn
Trong một đường tròn
a.
a.


Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b.
b.


Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
AB = CD OH = OK⇔
Định lý 2
Định lý 2: Trong hai dây của một đường tròn:
a.Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn.
b.Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn.
AB > CD OH < OK⇔
O
K
H
D
A
B
C
Định lý 1:
⇔AB = CD OH = OK

Định lý 2:
⇔AB > CD OH < OK
Cho tam giác ABC, O là giao
điểm của các đường trung
trực của tam giác; D, E, F
theo thứ tự là trung điểm của
các cạnh AB, BC, AC. Cho
biết OD > OE, OE = OF.
Hãy so sánh các độ dài
a. BC và AC
b. AB và AC.
O
F
D
A
B
CE
Vì O là giao điểm của ba
đường trung trực của tam giác
ABC nên O là tâm của đường tròn
đi qua ba điểm A, B, C.
a. OE = OF nên BC = AC
(Định lí 1 liên hệ giữa dây và
khoảng cách từ tâm đến dây)
b. Vì OD > OE và OE = OF (gt)
nên OD >OF.
Do đó AB < AC (Định lí 2 liên hệ
giữa dây và khoảng cách từ tâm
đến dây)
Giải:

?3
BT 13 trang 106
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng
nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E
nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo
thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng
minh rằng:
a) EH = EK;
b) EA = EC.
O
B
A
D
C
E
H
K
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng
nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm
bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là
trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) EH = EK;
b) EA = EC.
O
B
A
D
C
E
H

K
a) Nối OH, OK, OE.
Vì HA = HB, KC = KD nên:
và
ˆ ˆ
) )∆ ∆
0 0
EHO (H = 90 EKO (K = 90
2 2 2
2 2 2 2
mà
(1)

= −

= − ⇒ =



⇒ =
EH OE OH
OE OK EH EK
EH EK
2

EK
OH = OK (vì AB = CD)
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng
nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm
bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là

trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) EH = EK;
b) EA = EC.
O
B
A
D
C
E
H
K
mà
Ta có




⇒





AB
b) HA = HB =
2
CD
KC = KD = HA = KC
2
AB = CD

(2)
và ta có: (1) (2) EH + HA = EK + KC
Cộng
2 2 2
2 2 2 2
mà
(1)

= −

= − ⇒ =



⇒
EH OE OH
OE OK EH EK
2

EK
OH = OK (vì AB = CD)
EH = EK
hay EA = EC
VEÀ NHAØ
1. Học thuộc và chứng minh lại hai định
lý.
2. Làm bài tập 12, 14, 15 trang 106 (SGK)
3. Chuẩn bị tiết sau luyện tập.
1 0

1 0
1 0