HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

Vũ Viết Tiệp Trung tâm giáo dục thờng xuyên và Dạy nghề Việt Yên
1
Chơng 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai
CHNG 2. HM S BC NHT V BC HAI

I. HM S
1. nh ngha
Cho D R, D . Hm s f xỏc nh trờn D l mt qui tc t tng ng mi s x D vi mt v
ch mt s y R.
x: bin s (i s), y: giỏ tr ca hm s f ti x. Kớ hiu: y = f(x).
D: tp xỏc nh ca hm s.
T =

y f x x D
( )
: tp giỏ tr ca hm s.
2. Cỏch cho hm s
Cho bng bng Cho bng biu Cho bng cụng thc y = f(x).
Tp xỏc nh ca hm s y = f(x) l tp hp tt c cỏc s thc x sao cho biu thc f(x) cú ngha.
3. th ca hm s
th ca hm s y = f(x) xỏc nh trờn tp D l tp hp tt c cỏc im

M x f x; ( )
trờn mt phng
to vi mi x D.
Chỳ ý: Ta thng gp th ca hm s y = f(x) l mt ng. Khi ú ta núi y = f(x) l phng trỡnh
ca ng ú.
4. S bin thiờn ca hm s
Cho hm s f xỏc nh trờn K.
Hm s y = f(x) ng bin (tng) trờn K nu
x x K x x f x f x

1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )


Hm s y = f(x) nghch bin (gim) trờn K nu
x x K x x f x f x
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )


5. Tớnh chn l ca hm s
Cho hm s y = f(x) cú tp xỏc nh D.
Hm s f c gi l hm s chn nu vi x D thỡ x D v f(x) = f(x).
Hm s f c gi l hm s l nu vi x D thỡ x D v f(x) = f(x).
Chỳ ý: + th ca hm s chn nhn trc tung lm trc i xng.
+ th ca hm s l nhn gc to lm tõm i xng.

BI TP
1. Dng 1: Tỡm tp xỏc nh ca hm s.


Tỡm tp xỏc nh D ca hm s y = f(x) l tỡm tt c nhng giỏ tr ca bin s x sao cho biu thc
f(x) cú ngha: D =

x R f x coự nghúa
( )
.


iu kin xỏc nh ca mt s hm s thng gp:

1) Hm s y =
P x
Q x
( )
( )
: iu kin xỏc nh: Q(x)

0.
2) Hm s y =
R x( )
: iu kin xỏc nh: R(x)

0.
Chỳ ý: + ụi khi ta s dng phi hp cỏc iu kin vi nhau.
+ iu kin hm s xỏc nh trờn tp A l A

D.
+ A.B

0


A
B
0
0

.
Baứi 1.
Tỡnh giỏ tr ca cỏc hm s sau ti cỏc im ó ch ra:
a)
f x x( ) 5
. Tớnh f(0), f(2), f(2), f(3).
b)
x
f x
x x
2
1
( )
2 3 1



. Tớnh f(2), f(0), f(3), f(2).
Vũ Viết Tiệp Trung tâm giáo dục thờng xuyên và Dạy nghề Việt Yên
2
Chơng 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai
c)
f x x x
( ) 2 1 3 2
. Tớnh f(2), f(2), f(0), f(1).
d)
khi x
x
f x x khi x

x khi x
2
2
0
1
( ) 1 0 2
1 2











. Tớnh f(2), f(0), f(1), f(2) f(3).
e)
khi x
f x khi x
khi x
1 0
( ) 0 0
1 0

. Tớnh f(2), f(1), f(0), f(2), f(5).
Baứi 2.
Tỡm tp xỏc nh ca cỏc hm s sau:
a)
x
y
x
2 1
3 2



b)
x
y
x
3
5 2



c)
y
x
4
4

d)
x
y
x x
2
3 2



e)
x
y
x x
2
1
2 5 2



f)
x
y
x x
2
3
1

g)
x
y
x
3
1
1



h)
y
x x
4 2
1
2 3



i)
x
y
x x x
2
2 1
( 2)( 4 3)

Baứi 3.
Tỡm tp xỏc nh ca cỏc hm s sau:
a)
y x
2 3
b)
y x
2 3
c)
y x x4 1

d)
y x
x
1
1
3


e)
y
x x
1
( 2) 1


f)
y x x
3 2 2

g)
x
y
x x
5 2
( 2) 1



h)
y x
x
1
2 1
3


i)
y x
x
2
1
3
4



Baứi 4.
Tỡm a hm s xỏc nh trờn tp K ó ch ra:
a)

x
y
x x a
2
2 1
6 2



; K = R. S: a > 11
b)
x
y
x ax
2
3 1
2 4



; K = R. S: 2 < a < 2
c)
y x a x a2 1
; K = (0; +). S: a

1
d)
x a
y x a
x a

2 3 4
1



; K = (0; +). S:
a
4
1
3


e)
x a
y
x a
2
1



; K = (1; 0). S: a

0 hoc a

1
f)
y x a
x a
1

2 6

; K = (1; 0). S: 3

a

1
e)
y x a
x a
1
2 1

; K = (1; +). S: 1

a

1
2. Dng 2: Xột s bin thiờn ca hm s.
Cho hm s f xỏc nh trờn K.


y = f(x) ng bin trờn K
x x K x x f x f x
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )



f x f x

x x K x x
x x
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
, : 0






y = f(x) nghch bin trờn K
x x K x x f x f x
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )



f x f x
x x K x x
x x
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
, : 0

Vũ Viết Tiệp Trung tâm giáo dục thờng xuyên và Dạy nghề Việt Yên
3
Chơng 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai
Cỏc bc xột s bin thiờn ca hm s:
Cho hm s

y f x

xỏc nh trờn khong

;a b

Bc 1: Ly

1 2 1 2
, ; ;
x x a b x x

Bc 2: Tớnh

2 1
,
f x f x

Bc 3: Lp t s

2 1
2 1

f x f x
T
x x




Nu T > 0 thỡ hm s ng bin trờn (a; b).
Nu T < 0 thỡ hm s nghch bin trờn (a; b).
Nu T = 0 thỡ hm s l hm hng.

Baứi 1.
Xột s bin thiờn ca cỏc hm s sau trờn cỏc khong ó ch ra:
a)
y x2 3
;

. b)
y x 5
;

.
c)
y x x
2
4
; (; 2), (2; +). d)
y x x
2
2 4 1

; (; 1), (1; +).
e)
y
x
4
1


; (; 1), (1; +). f)
y
x
3
2


; (; 2), (2; +).
Baứi 2.
Vi giỏ tr no ca m thỡ cỏc hm s sau ng bin hoc nghch bin trờn tp xỏc nh (hoc trờn
tng khong xỏc nh):
a)
y m x( 2) 5
b)
y m x m( 1) 2

c)
m
y
x
2

d)
m
y
x
1



3. Dng 3: Xột tớnh chn l ca hm s.
xột tớnh chn l ca hm s y = f(x) ta tin hnh cỏc bc nh sau:


Tỡm tp xỏc nh D ca hm s v xột xem D cú l tp i xng hay khụng.


Nu D l tp i xng thỡ so sỏnh f(x) vi f(x) (x bt kỡ thuc D).
+ Nu f(x) = f(x),

x

D thỡ f l hm s chn.
+ Nu f(x) = f(x),

x

D thỡ f l hm s l.
Chỳ ý: + Tp i xng l tp tho món iu kin: Vi

x

D thỡ x

D.
+ Nu

x

D m f(x)



f(x) thỡ f l hm s khụng chn khụng l.
Baứi 1.
Xột tớnh chn l ca cỏc hm s sau:
a)
y x x
4 2
4 2
b)
y x x
3
2 3
c)
y x x
2 2

d)
y x x
2 1 2 1

e)
y x
2
( 1)
f)
y x x
2


g)
x
y
x
2
4
4

h)
x x
y
x x
1 1
1 1



i)
y x x
2
2

II. HM S BC NHT
1. Hm s bc nht y = ax + b (a

0)
Tp xỏc nh: D = R.
S bin thiờn: + Khi a > 0, hm s ng bin trờn R.
+ Khi a < 0, hm s nghch bin trờn R.
th l ng thng cú h s gúc bng a, ct trc tung ti im B(0; b).
Chỳ ý: Cho hai ng thng (d): y = ax + b v (d

): y = a

x + b

:
+ (d) song song vi (d

)

a = a

v b

b

.
+ (d) trựng vi (d

)

a = a

v b = b

.
+ (d) ct (d

)

a

a

.
Vũ Viết Tiệp Trung tâm giáo dục thờng xuyên và Dạy nghề Việt Yên
4
Chơng 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai
2. Hm s
y ax b
(a 0)

b
ax b khi x
a
y ax b
b
ax b khi x
a

( )











Chỳ ý: v th ca hm s
y ax b
ta cú th v hai ng thng y = ax + b v y = ax b,
ri xoỏ i hai phn ng thng nm phớa di trc honh.

Baứi 1.
V th ca cỏc hm s sau:
a)
y x2 7
b)
y x3 5
c)
x
y
3
2

d)
x
y
5
3



Baứi 2.
Tỡm to giao im ca cỏc cp ng thng sau:
a)
y x y x3 2; 2 3
b)
y x y x3 2; 4( 3)

c)
y x y x2 ; 3
d)
x x
y y
3 5
;
2 3



Baứi 3.
Trong mi trng hp sau, tỡm giỏ tr k th ca hm s
y x k x2 ( 1)
:

a) i qua gc ta O b) i qua im M(2 ; 3)
c) Song song vi ng thng
y x2.


Baứi 4.
Xỏc nh a v b th ca hm s
y ax b
:
a) i qua hai im A(1; 20), B(3; 8).
b) i qua im M(4; 3) v song song vi ng thng d:
y x
2
1
3

.
c) Ct ng thng d
1
:
y x 2 5
ti im cú honh bng 2 v ct ng thng d
2
:
y x 3 4
ti
im cú tung bng 2.
d) Song song vi ng thng
y x
1

2

v i qua giao im ca hai ng thng
y x
1
1
2

v
y x3 5
.
Baứi 5.
Trong mi trng hp sau, tỡm cỏc giỏ tr ca m sao cho ba ng thng sau phõn bit v ng qui:
a)
y x y x y mx2 ; 3; 5

b)
y x y mx y x m 5( 1); 3; 3

c)
y x y x y m x2 1; 8 ; (3 2 ) 2

d)
y m x m y x y x(5 3 ) 2; 11; 3

e)
y x y x y m x m
2
5; 2 7; ( 2) 4

Baứi 6.
Tỡm im sao cho ng thng sau luụn i qua dự m ly bt c giỏ tr no:
a)
y mx m2 1
b)
y mx x3
c)
y m x m(2 5) 3

d)
y m x( 2)
e)
y m x(2 3) 2
f)
y m x m( 1) 2

Baứi 7.
Vi giỏ tr no ca m thỡ hm s sau ng bin? nghch bin?
a)
y m x m(2 3) 1
b)
y m x m(2 5) 3

c)
y mx x3
d)
y m x( 2)

Baứi 8.
Tỡm cỏc cp ng thng song song trong cỏc ng thng cho sau õy:

a)
y x3 6 1 0
b)
y x0,5 4
c)
x
y 3
2


d)
y x2 6
e)
x y2 1
f)
y x0,5 1

Baứi 9.
Vi giỏ tr no ca m thỡ th ca cỏc cp hm s sau song song vi nhau:
a)
y m x m y x(3 1) 3; 2 1
b)
m m m m
y x y x
m m m m
2( 2) 3 5 4
;
1 1 3 1 3 1

Vũ Viết Tiệp Trung tâm giáo dục thờng xuyên và Dạy nghề Việt Yên
5
Chơng 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai
c)
y m x y m x m( 2); (2 3) 1

Baứi 10.
V th ca cỏc hm s sau:
a)
x khi x
y khi x
x khi x
1
1 1 2
1 2








b)
x khi x
y khi x
x khi x
2 2 1

0 1 2
2 2









c)
y x
3 5
d)
y x
2 1
e)
y x
1 5
2 3
2 2


f)
y x x
2 1

g)
y x x

1
h)
y x x x
1 1


III. HM S BC HAI
y ax bx c
2

(a

0)
Tp xỏc nh: D = R
S bin thiờn:
Vi a > 0 Vi a < 0
x


2
b
a






x

2
b
a




y








4a



y

4a

th l mt parabol cú nh
b
I
a a
;
2 4





, nhn ng thng
b
x
a2

lm trc i xng, hng
b lừm lờn trờn khi a > 0, xuụng di khi a < 0.
Chỳ ý: v ng parabol ta cú th thc hin cỏc bc nh sau:
Xỏc nh to nh
b
I
a a
;
2 4

.
Xỏc nh trc i xng
b
x
a2

v hng b lừm ca parabol.
Xỏc nh mt s im c th ca parabol (chng hn, giao im ca parabol vi cỏc trc to
v cỏc im i xng vi chỳng qua trc trc i xng).
Cn c vo tớnh i xng, b lừm v hỡnh dỏng parabol v parabol.

Baứi 1.
Xột s bin thiờn v v th ca cỏc hm s sau:
a)
y x x
2
2
b)
y x x
2
2 3
c)
y x x
2
2 2

d)
y x x
2
1
2 2
2

e)
y x x
2
4 4
f)
y x x
2
4 1

Baứi 2.
Tỡm to giao im ca cỏc cp th ca cỏc hm s sau:
a)
y x y x x
2
1; 2 1
b)
y x y x x
2
3; 4 1

c)
y x y x x

2
2 5; 4 4
d)
y x x y x x
2 2
2 1; 4 4

e)
y x x y x x
2 2
3 4 1; 3 2 1
f)
y x x y x x
2 2
2 1; 1

Baứi 3.
Xỏc nh parabol (P) bit:
a) (P):
y ax bx
2
2
i qua im A(1; 0) v cú trc i xng
x
3
2

.
Vũ Viết Tiệp Trung tâm giáo dục thờng xuyên và Dạy nghề Việt Yên
6

Chơng 2. Hàm số bậc nhất và bậc hai
b) (P):
y ax bx
2
3
i qua im A(1; 9) v cú trc i xng
x 2
.
c) (P):
y ax bx c
2

i qua im A(0; 5) v cú nh I(3; 4).
d) (P):
y ax bx c
2

i qua im A(2; 3) v cú nh I(1; 4).
e) (P):
y ax bx c
2

i qua cỏc im A(1; 1), B(1; 3), O(0; 0).
f) (P):
y x bx c
2

i qua im A(1; 0) v nh I cú tung bng 1.
Baứi 4.
Chng minh rng vi mi m, th ca mi hm s sau luụn ct trc honh ti hai im phõn bit

v nh I ca th luụn chy trờn mt ng thng c nh:
a)
m
y x mx
2
2
1
4

b)
y x mx m
2 2
2 1

Baứi 5.
V th ca hm s
y x x
2
5 6
. Hóy s dng th bin lun theo tham s m, s im
chung ca parabol
y x x
2
5 6
v ng thng
y m
.
Baứi 6.
V th ca cỏc hm s sau:
a)

y x x
2
2 1
b)

y x x
2
c)
y x x
2
2 1

d)
x neỏu x
y
x x neỏu x
2
2
2 1
2 2 3 1








e)
x neỏu x

y
x x neỏu x
2
2 1 0
4 1 0






f)
x khi x
y
x x khi x
2
2 0
0









BI TP ễN TP

Bi 1.

Tỡm tp xỏc nh ca cỏc hm s sau:
a)
y x
x
4
2
4


b)
x x
y
x
1 1


c)
x x
y
x x x
2
2
3
1




d)
x x

y
x
2
2 3
2 5



e)
x x
y
x
2 3 2
1



f)
x
y
x x
2 1
4




Bi 2.
Xột s bin thiờn ca cỏc hm s sau:
a)

y x x
2
4 1
trờn (; 2) b)
x
y
x
1
1



trờn (1; +) c) y
x
1
1



d)
y x3 2

e) y
x
1
2


f)
x

y
x
3
2



trờn (2; +
)

Bi 3.
Xột tớnh chn l ca cỏc hm s sau:
a)
x x
y
x
4 2
2
2
1



b)
y x x
3 3

c)
y x x + x
2

( 2 )


d)
x x
y
x x
1 1
1 1



e)
x x
y
x
3
2
1


f)
y x
2

Bi 4.
Gi s y = f(x) l hm s xỏc nh trờn tp i xng D. Chng minh rng:
a) Hm s

F x f x f x

1
( ) ( ) ( )
2

l hm s chn xỏc nh trờn D.
b) Hm s

G x f x f x
1
( ) ( ) ( )
2

l hm s l xỏc nh trờn D.
c) Hm s f(x) cú th phõn tớch thnh tng ca mt hm s chn v mt hm s l.
Bi 5.
Cho hm s
y ax bx c
2

(P). Tỡm a, b, c
Tỡm a, b, c tho iu kin c ch ra.
Kho sỏt s bin thiờn v v th (P) ca hm s va tỡm c.
Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ D¹y nghÒ ViÖt Yªn
7
Ch¬ng 2. Hµm sè bËc nhÊt vµ bËc hai
 Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Xác định toạ độ trung điểm I của
đoạn AB.
a) (P) có đỉnh
S
1 3

;
2 4
 
 
 
và đi qua điểm A(1; 1); d:
y mx
.
b) (P) có đỉnh S(1; 1) và đi qua điểm A(0; 2); d:
y x m2 
.
Bài 6. Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a.
 
4 2
2 1
f x x x
  
b.
5 3
y x x 
c.
1 1
y x x   

d.
1 1
y x x   
e.
3

2 5y x x 
f.
y x x


Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm
     
1;3 , 2; 5 , ;A B C a b
 
. Hãy tính tọa độ các điểm có
được khi tịnh tiến các điểm đã cho:
a) Lên trên 5 đơn vị
b) Xuống dưới 3 đơn vị
c) Sang phải 1 đơn vị
d) Sang trái 4 đơn vị.
Bài 8. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
2 3y x 

b)
1
3
2
y x 

c)
2
y


d)
1
2 4
x
y
x




 


Bài 9. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị của k sao cho đồ thị của hàm số
 
2 1
y x k x
   

a) Đi qua gốc tọa độ O
b) Đi qua điểm
 
2;3
M 

c) Song song với đường thẳng
2y x


Bài 10. Vẽ đồ thị của các hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:

a)
3 5
y x
 

b)
2 1y x  

Bài 11. Trong mỗi trường hợp sau, xác định a và b sao cho đường thẳng
y ax b 

a) Cắt đường thẳng
2 5y x 
tại điểm có hoành độ bằng - 2 và cắt đường thẳng
3 4
y x
  
tại điểm
có tung độ bằng - 2.
b) Song song với đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng
1
1
2
y x  
và
3 5y x 

Bài 12. Viết phương trình
y ax b 
của đường thẳng

a) Đi qua hai điểm
 
2;4
A
và
 
6;6
B

b) Đi qua
 
5;2
M
và song song với trục Ox.
Bài 13. Tìm các giá trị của m để đường thẳng
 
5 2
y m x m
   

a) Song song với đường thẳng
3
y


b) Vuông góc với đường thẳng
1
1
10
y x 

Bài 14. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)
2
3 2 1y x x  
b)
2
5 3y x x  
c)
2
3 2 1y x x   

Bài 15. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)
2
2
3
y x

b)
2
1y x x  
c)
2
2 2y x x   

Bài 16. Xác định parabol
2
5y ax bx  
biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm
 
1;8
M
và
 
2;5
N 

b) Đi qua điểm
 
1;2
A 
và có trục đối xứng
1x 

với
1x 

với
1x 

Vò ViÕt TiÖp Trung t©m gi¸o dôc thêng xuyªn vµ D¹y nghÒ ViÖt Yªn
8
Ch¬ng 2. Hµm sè bËc nhÊt vµ bËc hai
c) Có đỉnh là
1 39
;
4 8
I

 

 
 

d) Đi qua điểm
 
1;3
B
và tung độ của đỉnh là
21
4

Bài 17.
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
5 6
y x x
   

b) Dựa vào đồ thị ở câu a) hãy biện luận số giao điểm của parabol
2
5 6
y x x
   
với đường thẳng
y m
(với m là tham số)
Bài 18. Xác định hàm số
 

2
0
y ax bx c a
   

a) Đi qua điểm
     
0;2 ; 3;2 ; 1;0
A B C

b) Đi qua điểm
 
5;4
M
có đỉnh
5 9
;
2 4
I
 

 
 

c) Đi qua điểm
   
1;0 , 4;5
N P 
có trục đối xứng
2

x
 

d) Đi qua
 
1; 1
D

hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại
2
x
 