Mặt cầu ngoại tiếp

CHUYÊN ĐỀ MẶT
CẦU NGOẠI TIẾP
HÌNH CHÓP
I/Khái niệm :
Mặt cầu ngoại tiếp đa diện là mặt cầu
đi qua tất cả các đỉnh của đa diện.
II/ Điều kiện để hình chóp có
mặt cầu ngoại tiếp :
•
Đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp được
trong một đường tròn.
•
Chú ý : hình chóp tam giác ( tứ diện ) luôn có mặt
cầu ngoại tiếp.
II/Kiến thức cũ :
a/Trục của đường tròn:
- Trục đường tròn là đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng chứa đường
tròn và đi qua tâm của đường tròn đó.
- Một điểm bất kì trên trục đường tròn
thì cách đều các điểm thuộc đường tròn.
b/Mặt phẳng trung trực của một đoạn
thẳng :
-Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng
cho trước là mặt phẳng qua trung điểm và
vuông góc với đoạn thẳng đó.
-Các điểm trên mặt phẳng trung trực thì
cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng đó.
III/ Phương pháp xác định tâm
và bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp:

*Cách 1:
-Dựng trục (d) của đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy.
-Dựng mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung
trực của 1 cạnh bên (hoặc dựng trục (d’) của
đường tròn ngoại tiếp 1 mặt bên).
- Lúc đó, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
có :
+ Tâm I là giao điểm của (d) với mặt
phẳng (P) (hoặc I là giao điểm của (d’) với
(d))
+ Bán kính R = IA (với A là một đỉnh
của hình chóp hoặc đa giác đáy).
*Đặc biệt : Nếu hình chóp có một
cạnh bên đồng phẳng với trục của
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
thì trong mặt phẳng chứa cạnh
bên đó và trục của đường tròn đã
nêu, ta chỉ cần dựng đường trung
trực của cạnh bên đó.
O
M
C
S
A
B
H
Lúc đó giao điểm của đường trung trực
của cạnh bên và trục chính là tâm của mặt cầu
ngoại tiếp.

*Cách 2:
•
Tâm I là trung điểm MN
•
Bán kính : R = MN/2
Chứng minh các đỉnh của hình chóp
cùng nhìn đoạn MN cố định dưới một góc
vuông. Lúc đó, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
đó có :
Bài tập áp dụng :
Cho hình tứ diện ABCD có AD (ABC); ⊥
tam giác ABC vuông tại B. xác định tâm và bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Giải:
*Cách 1:
AD (ABC)⊥
=> AD AC => Tam giác⊥
ACD vuông tại A.
Gọi I là trung điểm của CD
=> IA=IC=ID (1)
A
B
C
D
I
{
A
B
C

D
I
BC AB⊥
BC AD(AD (ABC))⊥ ⊥
BC (ABD) => BC BD⊥ ⊥=>
=>
Tam giác BCD vuông tại B => IB=IC=ID (2)
Từ (1),(2), suy ra : I cách đều tất cả
các đỉnh của hình chóp => I là tâm của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp => bán
kính : R= CD/2
A
B
C
D
Cách 2:
AD (ABC)=>AD AC(1)⊥ ⊥
{
BC AB⊥
BC AD(AD (ABC))⊥ ⊥
=>BC (ABD)=>BC BD(2)⊥ ⊥
Từ (1) và (2) suy ra: Hai điểm A,
B cùng nhìn đoạn CD dưới 1 góc
vuông => tứ diện ABCD nội tiếp mặt
cầu đường kính CD có bán kính là :
R = CD/2
A
B
C
D

I
O
M
d
Cách 3:
Tam giác ABC vuông tại B nên nội tiếp đường tròn đường
kính AB, có tâm O là trung điểm AC.
Dựng trục d của tam giác ABC => d đi qua O và d (ABC)⊥
AD (ABC) => d // AD (d nằm ⊥
trong (ACD))
Gọi M là trung điểm của AD.
Đường trung trực của cạnh AD đi qua
M, vuông góc với d và cắt d tại I.
=> ID=IA(1)
Lại có : IA=IB=IC (I thuộc trục d
của tam giác ABC)(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
I cách đều các đỉnh của hình chóp
ABCD => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp, bán kính là : R=CD/2.
BÀI BÁO CÁO ĐẾN ĐÂY LÀ HẾT
CẢM ƠN CÔ VÀ CÁC BẠN ĐÃ
CHÚ Ý LẮNG NGHE