bai 4. Cap so nhan

TrêngTHPTTrÇnQuangKh¶i
D
Ạ
Y
T
Ố
T
H
Ọ
C
T
Ố
T
Gi¸o viªn: Hoµng Thanh Toµn
Cấp
số
cộn
g
Tổng n số hạng
đầu của CSC
Kiểm tra bài cũ
Tính chất
Số hạng tổng
quát
(u
n
): u
n+1
= u
n
+q

1
( 1).
n
u u n d= +
1 1
2
k k
k
u u
u
+
+
=
[ ]
1
2 ( 1)
2
n
n
S u n d= +
Định nghĩa
HĐ1: Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ thứ nhất đến thứ 6
của bàn cờ?
- Do đó ta có dãy số (u
n
) với u
1
= 1, u
n+1

= 2u
n
với n ≥ 1
Trả lời:
- Số hạt thóc ở các ô từ ô thứ 1 đến ô thứ 6 là:
1, 2, 4, 8, 16, 32
Dãy số này có gì đặc biệt ?
- Ta có: u
2
= 2u
1
, u
3
= 2u
2
, u
4
=2u
3
, ,u
n+1
= 2u
n
Đây là một cấp số nhân với công bội q = 2
Dựa vào trên em hãy phát biểu đònh nghóa
cấp số nhân
cấp số nhân
Mối liên hệ giữa u
2
với u

1
, u
3
với u
2
, u
4
với u
3
, ,u
n+1
với u
n
?
8
7
6
5
4
3
2
1
a b c d e f g h
32
8
16
2
4
1
u

1
, u
2
, u
3
, u
4
, u
5
, u
6

Bµi 4: CÊp sè nh©n
§4. CẤP SỐ NHÂN
I - ĐỊNH NGHĨA: (SGK)
a, 1, 1, 1, 1, , 1,
Ví dụ 1: Dãy số nào trong các dãy số sau
là cấp số nhân ?
•
c, 2, -4, 8, -16, 32.
b, 0, 0, 0 , 0, , 0,
•
e, 1, 2, 3, 4, 5,
d, u
1
, 0, 0, 0, 0,
( )
+
= ∈
*

1
.q víi n 1
n n
u u N
u
1
, u
1
, u
1
, , u
1
,
•
Khi q = 1 thì ta có CSN:

•
Khi u
1
= 0 thì ta có CSN:
q : công bội

Đặc biệt:
n 1
n
n
u
q , u 0
u
+

= ≠
Khi q = 0 thì ta có CSN:

u
1
, 0, 0, , 0,
0 , 0, 0, , 0,
§4. CẤP SỐ NHÂN
HĐ2: Tìm số thóc ở ô thứ 11 của bàn cờ?
Giải:
Ta có : u
2
= 2u
1
II- SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

( )
1
1
.q víi n 2 2
n
n
u u
−
= ≥
- Số hạt ở ô thứ 11 của bàn cờ ứng với số hạng
thứ mấy của dãy số? Liệu có biểu diễn được số
hạng thứ n bất kỳ theo số hạng thứ nhất được
không?
u

4
= 2u
3
= 2.2
2
. u
1
=2
3
.u
1
u
3
= 2u
2
= 2.2u
1
=2
2
.u
1

u
5
= 2u
4
= 2.2
3
. u
1

=2
4
.u
1
u
11
= 2
10
.u
1
=2
10
=1024
…
u
11
= ?.u
1
nh lí 1: (SGK tr 99)Đị
u
n
= 2
n-1
.u
1
Một cách
tổng quát
u
n
=?.u

1
§4. CẤP SỐ NHÂN
= −
19
20
2, 3.2u
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u
n
) với :
Giải: Ví dụ 2:
Nhóm 5, 6
Nhóm 1, 2
Nhóm 3, 4
= = − ⇒ =
= − = ⇒ =
1 12
1 20
1
1, 3, ?
3
2, 3, 2 ?
u q u
u q u
− −
 
= − = =
 ÷
 
11
12

11 10
1 3 1
1, 3.
3
3 3
u
1, -192 là số hạng thứ bao nhiêu?
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u
n
) với :
2, Viết 5 số hạng đầu của cấp số nhân trên
3, So sánh u
2
2
với u
1
.u
3,
và u
3
2
với u
2
.u
4
= − =
1
3, 2u q
§4. CAÁP SOÁ NHAÂN
§4. CẤP SỐ NHÂN

− + − +
= ≥ =
2
1 1 1 1
. , 2 .
k k k k k k
u u u k hay u u u
−
= − = −
1
3.2 192
n
n
u
= − =
1
3, 2u q
1, -192 là số hạng thứ bao nhiêu?
III- TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u
n
) với :
Giải: 1, Áp dụng công thức (2), ta có:
( )
= − =
2
2
2
6 36; u
3, 6, 12, 24, 48− − − − −

−
⇔ = =
1 6
2 64 2
n
 n-1 = 6 hay n = 7.
2, 5 số hạng đầu của cấp số nhân trên là:
3, Ta có:
( ) ( )
= − − =
1 3
. 3 . 12 36u u
2, Viết 5 số hạng đầu của cấp số nhân trên
3, So sánh u
2
2
với u
1
.u
3,
và u
3
2
với u
2
.u
4
Vậy số -192 là số hạng thứ 7.
( )
= − =

2
2
3
12 144; u
( ) ( )
= − − =
2 4
. 6 . 24 144u u
⇒ =
2
2 1 3
.u u u
⇒ =
2
3 2 4
.u u u
nh lí 2 (sgk tr 101)Đị
Hãy nêu
nhận xét
tổng quát
về kết quả
trên?
§4. CẤP SỐ NHÂN
HĐ3: Tìm tổng số thóc ở 11 ô đầu của bàn cờ?
Giải:
Ta có tổng số thóc ở 11 ô đầu là:
S
11
= u
1

+u
2
+…+u
11
=1+2
1
+2
2
+…+2
10
- Có cách nào để tính tổng của n số hạng đầu
của một cấp số nhân không?
= 2047
ònh lí 3 (sgk tr 102)Đ
Gọi tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân là S
n
,
ta có:
S
n
= u
1
+u
2
+…+u
n
= u
1
+q
1

.u
1
+q
2
.u
1
+ …+q
n-1
.u
1
(*)
q.S
n
=q.u
1
+q
2
.u
1
+q
3
.u
1
+ …+q
n
.u
1
(**)
Lấy (*) trừ (**) ta được:
( )

( )
n
n 1
1 q S u . 1 q⇔ − = −
S
n
-q.S
n
=u
1
-q
n
.u
1
IV- TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ NHÂN
(
)
−
= ≠
−
1
1
, 1
1
n
n
u q
S q
q
Nếu q = 1 thì cấp số nhân có dạng gì?

Khi đó S
n
=?
Nếu q = 1 thì ta có cấp số nhân u
1
, u
1
, , u
1
,…
Khi đó : S
n
=n.u
1
.
Một cách
tổng quát
S
n
=? theo
u
1
và q ?
§4. CẤP SỐ NHÂN
Ví dụ 4: Cho cấp số nhân (u
n
), biết:
Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên.
Ta có :
•

ta có:
1 3
u 3, u 27= − = −
Giải:
( )
2 2
3 1
u q .u q . 3 27= = − = −
2
q 9⇒ =
q 3=
( )
( )
8
8
3 . 1 3
S 9840
1 3
− −
= = −
−
ta có:
q 3= −
( ) ( )
( )
( )
8
8
3 . 1 3
S 4920

1 3
− − −
= =
− −
q 3⇒ = ±
§4. CẤP SỐ NHÂN
Ví dụ 5: Tính tổng:
Giải:
2 3 100
2 3 100
S 10 1 10 1 10 1 10 1
10 10 10 10 100
= − + − + − + + −
= + + + + −
100 101
10 1 10 910
S 10. 100
9 9
− −
⇒ = − =
S 9 99 999 99 9 (100 CS 9)= + + + +
Bài toán: Ngày nay nhiều người lao vào các trò đỏ đen và phải vay
lãi với: lãi 10% sau 10 ngày. Nếu không cắt đuôi thì 10 ngày sau số
tiền lãi được tính vào tiền gốc. Hỏi sau 2 tháng (60 ngày) một người
vay 200 triệu đồng sẽ phải trả bao nhiêu tiền gốc và lãi. (trả một lần)
Trả lời:
Bµi 4: CÊp sè nh©n
Số
ngày
0 10 20 30 (n-1)10

Dãy số u
1
Số tiền
(triệu đồng)
2 1
u 1,1.u=
3 2
2
1
u 1,1.u
(1,1) u
=
=
4 3
3
1
u 1,1.u
(1,1) u
=
=
n n 1
n 1
1
u 1,1.u
(1,1) u
−
−
=
=
n 1

(1,1) .200
−
Vậy sau 2 tháng, số tiền phải trả là:
6
7
u (1,1) .200 354,3122= =
triệu đồng
200 220 242 226,2
Cấp
số
nhâ
n
Tổng n số hạng
đầu của CSN
Sơ đồ t duy


Baứi taọp ve nhaứ: 2, 3, 5 trang 103, 104 sgk.
Tính chất
Số hạng tổng
quát
(u
n
): u
n+1
=u
n
.q
1
1

. ( 2)
n
n
u u q n

=
2
1 1
. , ( 2)
k k k
u u u k
+
=
1
1
. ( 1)
1
n
n
q
S u q
q

=

Định nghĩa