Chuyên đề toán 7 (Một số bài toán về lũy thừa)

NhiÖt liÖt chµo mõng
•
C¸c thÇy c« gi¸o
•
C¸c em häc sinh

ĐẾN THAM DỰ TIẾT HỌC HÔM NAY

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA
*Quy ước:
* (với ) x
1
= x
n thừa số
* Vì x= ( ) nên x
0
= 1 ( x≠ 0)
1 4 442 4 4 43
n
x =x.x.x x
=
n
n
a a
n
a,b Z;b 0 :x =
n
b b
 
 ÷

 ÷
 
∈ ≠
A.Cơ sở lí thuyết:
1.Định nghĩa:
2. Tính chất:
Với
m n m+n m n m-n
x .x =x x :x =x (x 0;m n)
m n m.n m m m
(x ) =x (x.y) =x .y
n
n
x x 1
-n *
= (y 0) x = (n N ;x 0)
y
n n
y x
 
 ÷
 ÷
 
≠ ≥
≠ ∈ ≠
x Q;n N;n 1∈ ∈ >
a
b
x,y Q ; m,n N:∈ ∈
( ) ( )

2n 2n+1
2n 2n+1
-x =x -x =-x

B.Các dạng bài tập:
I. Dạng 1: Tính toán trên lũy thừa:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức sau:


Đáp án:
5 9 5 6 9 3 7 10 13
4 12 2 2
4 . 9 -2.6 2 . 3 - 4 .9 3 -2 .3 +2 .3 -2
A= B= C=
10 8 8 6 5 10 7 10 32 4 2 12
2 . 3 +6 .20 (2 .3) +8 .3 3 -2 .3 +2 .3 -3
2 5 2 4 9 10 8
5 4 9 10 8 10 9
(2 ) .(3 ) -2.(2.3) 2 .3 (1-3)
4 .9 -2.6 2 .3 -2 .3 -2 1
A= = = = = =-
10 8 8 10 8 8 2 10 8 10 8 10 8 6 2
2 .3 +6 .20 2 .3 +(2.3) .2 .5 2 3 +2 .3 .5 2 .3 (1+5)
12 5 2 6 2 2 12 4
12 5 6 2 12 5 12 4
2 .3 -(2 ) .(3 ) 2 .3 (3-1)
2 .3 -4 .9 2 .3 -2 .3 2 1
B= = = = = =
2 6 4 5 12 6 3 4 5 12 6 12 5 12 5 12 6
(2 .3) +8 .3 2 .3 +(2 ) .3 2 .3 +2 .3 2 .3 (3+1)

7 2 3 10 2 3
9 3 7 10 2 13 7 10
3 (3 -2 )+2 (3 -2 )
3 -2 .3 +2 .3 -2 3 +2 1
C= = = =
10 2 7 10 3 12 7 3 2 10 3 2 7 10 3 2 23
3 -2 .3 +2 .3 -2 3 (3 -2 )+2 (3 -2 ) (3 +2 )(3 -2 )

II. Dạng 2: So sánh hai lũy thừa:
Bài 1: So sánh: a. 2007
10
và 2008
10
b. 3
500
và 7
300

c. 202
303
và 303
202
d.(-30)
9
và (16)
13


e.(-5)
30

và (-3)
50
Đáp án: a. Vì 2007 < 2008 nên 2007
10
< 2008
10

b. Vì 3
500
= (3
5
)
100
= 243
100
và 7
300
= (7
3
)
100
= 343
100

mà 243
100
< 343
100
nên 3
500

< 7
300

c. Vì 202
303
=(2 .101)
3.101
=(2
3
.101
3
)
101
=(8 .101 .101
2
)
101
= ( 808 . 101
2
)
101

và 303
202
= ( 3 . 101)
2.101
= ( 3
2
. 101
2

)
101
=(9 . 101
2
)
101

mà ( 808 . 101
2
)
101
> ( 9 . 101
2
)
101
nên 202
303
> 303
202

d. Vì (-32)
9
= - (2
5
)
9
= - (2)
45
và (-16)
3

= - (2
4
)
13
= -(2)
52
mà 2
52
> 2
45

nên – (2)
45
> - (2)
52
e. Vì (-5)
30
= 5
30
=(5
3
)
10
=125
10
và (-3)
50
=3
50
=(3

5
)
10
= 243
10
mà 243
10
>125
10
nên (-5)
30
< (-3)
50


III.Dạng 3:Tìm số chưa biết:
1.Tìm cơ số và thành phần cơ số trong lũy thừa:
Bài 1: Tìm x biết rằng:
a.x
3
= -27 b.(2x - 1)
3
= - 8
c.(x – 2)
2
=16 d.( 2x – 3 )
2
= 9
Đáp án:
a. x

3
= -27 → x
3
= (-3)
3
→ x = -3 Vậy x = -3
b. (2x - 1)
3
= - 8 →( 2x – 1)
3
= ( -2)
3
→ 2x – 1 = -2
→ 2x = -2 + 1 → 2x = -1 →x = - Vậy x = -
c.(x – 2)
2
=16 →( x – 2)
2
= (- 4)
2
= 4
2
→ ( x - 2)
2
=( -4)
2
hoặc ( x – 2)
2
= 4
2

→ x – 2 = - 4 x – 2 = 4
→ x = - 4 + 2 x = 4 + 2
→ x = - 2 x = 6
Vậy x = -2 hoặc x = 6
1
2
1
2

Bài 2: Tìm số hữu tỉ x,y biết:
a. x
2
=

x
5


b. ( 3y – 1)
10
= ( 3y – 1)
20
c.( x – 5 )
2
=( 1 – 3x )
2
Đáp án:
a.x
2
=x

5
→x
5
– x
2
=0

→x
2
( x
3
-1)=0→x
2
=0 hoặc x
3
–1=0 → x = 0 hoặc x
3
= 1
Vậy x = 0 hoặc x = 1
b.( 3y – 1)
10
= ( 3y – 1)
20
(*)
Đặt 3y – 1 = x khi đó (*) trở thành: x
10
=x
20
→ x
20

– x
10
= 0 → x
10
( x
10
– 1) = 0
→ x
10
= 0 hoặc x
10
-1 =0 → x = 0 hoặc x
10
= 1
Vậy x =0 hoặc x = 1 và x = -1
→ Với x =0: 3y – 1 = 0 → 3y = 1 → y =
→ Với x = 1: 3y – 1 = 1 → 3y = 2 → y =
→Với x = - 1: 3y – 1 = - 1 → 3y = 0 → y =0
c. Ta có: ( x – 5 )2 = ( 1 – 3x )2
→ x – 5 = 1 – 3x hoặc x – 5 = 3x – 1
→ 4x = 6 hoặc 2x = - 4
→x = 6 : 4 = hoặc x = - 4 : 2 = - 2
1
3
2
3

2.Tìm số mũ và thành phần trong số mũ của lũy thừa:
Bài 1: Tìm n biết:
a, 5

n
+ 5
n+2
= 650 b. 32
-n
. 16
n
= 1024
c. 3
-1
. 33
n
+5 . 3
n-1
=162
N∈
Đáp án:
n n+2 n n 2 n 2
a. 5 +5 =650 5 +5 .5 =650 5 (1+5 )=650
n n 2
5 =650:26 5 =25=5 n 2
-n 5 -n 4 n -5n 4n 10
b. 32 .16=1024 (2 ) .(2 ) 1024 2 .2 =2
-n 10
2 =2 n=-10
-1 n n-1 n-1 n-1
c. 3 .3 +5.3 =162 3 +5.3 =162
n-1 n-1 3
6.3 =162 3 =27=3 n-1=3 n=4
⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒ =
⇒ = ⇒
⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Bài 2: Tìm hai số tự nhiên m,n biết:
a. 2
m
+ 2
n
= 2
m+n
b. 3 < 3
n
≤ 234
Đáp án:
a. 2
m
+ 2
n
= 2
m+n →
2
m+n
-2
m
-2
n
= 0 →2

m
. 2
n
– 2
m
-2
n
+ 1 = 1
→ 2
m
( 2
n
-1) – ( 2
n
– 1) = 1 → ( 2
m
-1) ( 2
n
-1) = 1
→ 2
m
– 1 = 1 hoặc 2
n
– 1 = 1
→ 2
m
= 2 2
n
= 2
→ m = 1 n = 1

b. 3 < 3
n
≤ 243 → 3
1
< 3
n
≤ 3
5
→

n
{ }
2,3,4,5∈

IV.Dạng 4 :Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa:
1: Tìm một chữ số tận cùng :
Chú ý: * Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0;1;5 ;6 khi nâng lên lũy
thừa nào (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính số đó.
* Những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có
chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng
là 4.
* Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có
chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng
là 9.
* 2
4
= 16 7
4
= 2401 3
4

= 81 8
4


= 4096
Chú ý:* Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0;1;5 ;6 khi nâng lên
lũy thừa nào (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính số đó.
* Những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ
có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số
tận cùng là 4.
* Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ
có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số
tận cùng là 9.
* 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số: 2000
2008
; 2007
2008
;
1111
2008
; 98765
4321
; 2046
81012
; 1358
2008
;2
3456
; 204

208
Đáp án:
2000
2008
có chữ số tận cùng là 0.
1111
2008
có chữ số tận cùng là 1.
98765
4321
có chữ số tận cùng là 5.
2046
81012
có chữ số tận cùng là 6.
2007
2008
= (2007
4
)
502
=
nên có chữ số tận cùng là:1
1358
2008
= ( 1358
4
)
502
=
nên có chữ số tận cùng là:6

502
( 1) = 1
502
( 6) = 6


2
3456
= (2
4
)
864
= (16)
864
=
nên có chữ số tận cùng là:6
204
208
=(204
2
)
104
=
nên có chữ số tận cùng là:6
6
104
( 6) 6=
Bài 2: Cho A = 17
25
+24

4
– 13
21
.Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10.
Đáp án:
17
25
= 17
24
. 17 = (17
4
)
6
. 17=
24
4
=(24
2
)
2
= 576
2
=
13
21
=(13
4
)
5
. 13 =

Vậy A =
6
( 1) .17= 1.17= 7
6
5
( 1) .13 1 .13 3= =
7 + 6 - 3= 0 A 10⇒ M

Bài 2: Chứng tỏ rằng:
a. M = 8
8
+ 2
20
17 b. N = 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ … + 3
2007
13
M
Đáp án:
a. M = 8
8
+ 2
20
= ( 2
3

)
8
+ 2
20
= 2
24
+ 2
20
= 2
20
( 2
4
+ 1 ) = 2
20
. (16 +1 )
= 2
20
. 17 17
b. N = ( 3 +3
2
+ 3
3
) + ( 3
4
+ 3
5
+ 3
6
) + … + ( 3
2005

+ 3
2006
+ 3
2007
)
= 3 ( 1 + 3 + 3
2
) + 3
4
( 1 + 3 + 3
2
) + … + 3
2005
( 1 + 3 + 3
2
)
= 3 . 13 + 3
4
.13 + … + 3
2005
.13 = 13 ( 3 + 3
4
+ … + 3
2005
) 13
M
M
M

- Häc thuéc quy t¾c tÝnh các bài toán v l y th a .ề ũ ừ

HíngdÉnvÒnhµ:

Hoa đi'm
10