đề thi học sinh giỏi môn toán

ĐỀ CHÍNH THỨC
UBND TỈNH QUẢNG NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 18 tháng 11 năm 2013
================
Câu 1:(5 điểm)
1/ Cho hàm số
3
y x 3x 2= − +
có đồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng
hàng trên (T), tiếp tuyến của (T) tại các điểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các
điểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng
hàng.
2/ Cho hàm số
2n 1
y x 2011x 2012 (1)
+
= + +
, chứng minh rằng với mọi số nguyên
dương n đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm.
Câu 2:(5 điểm)
1/ Giải phương trình:
( )
2 4 6 3 5 7
log x log x log x log x log x log x x+ + = + + ∈¡
.
2/ Giải phương trình:

( ) ( )
2
2
1 1
5x 6 x x
5x 7 x 1
− − = − ∈
− −
¡
.
Câu 3:(3 điểm)
Kí hiệu
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử
( )
0 k n; k,n≤ ≤ ∈¢
, tính tổng sau:
0 1 2 2009 2010
2010 2010 2010 2010 2010
S C 2C 3C 2010C 2011C= + + + + +
.
Câu 4:(5 điểm)
1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành,
( )
AD 4a a 0= >
, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng
a 6
. Tìm cosin

của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích của khối chóp
S.ABCD là lớn nhất.
2/ Cho tứ diện ABCD có
·
·
0 0
BAC 60 ,CAD 120= =
. Gọi E là chân đường phân giác
trong góc A của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông.
Câu 5:(2 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
2 2
x y+ ≤ π
. Chứng minh rằng:
( )
cos x cos y 1 cos xy+ ≤ +
.
…………………… HẾT……………………
(Đề thi gồm có 01 trang)