chuyên đề về phương trình hàm (phương trình hàm với phép biến đổi đối số)

VINAMATH.COM
Bài 3
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI SỐ
I/ HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC BIẾN ĐỔI TỊNH TIẾN VÀ ĐỒNG DẠNG
Trong I/ này, sẽ khảo sát lớp phương trình hàm sinh bởi các phép biến đổi hình học
cơ bản như phép đồng dạng
,x ax󽞯
phép tịnh tiến
x x b󽞯 󽜬
và các tổ hợp của chúng.
Cụ thể là chúng ta sẽ khảo sát lớp phương trình hàm dạng
( ) ( ) ,f ax b cf x d󽜬 󽜾 󽜬
với
0, 0.a c󽞺 󽞺
Bài toán 1. Cho các số
󽝼 󽝾
, \ 0b c R󽟏
và
.d R󽟏
Tìm các hàm
:f R R󽞯
thỏa mãn điều
kiện
( ) ( ) , .f x b cf x d x R󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
(1)
Giải.
- Xét trường hợp
1.c 󽜾
khi đó (1) có dạng
( ) ( ) , .f x b cf x d x R󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
(i)

Để ý rằng
( ) , .
d d
d x b x x R
b b
󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟏
Vì vậy có thể viết (i) dưới dạng
( ) ( ) ( ) , ,
d d
f x b x b f x x x R
b b
󽜬 󽜮 󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
hay
( ) ( ),g x b g x󽜬 󽜾
với
( ) ( ) , .
d
g x f x x x R
b
󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
(ii)
Vậy,
( ) ( ) ,
d
f x g x x
b
󽜾 󽜬
với
( )g x
là hàm số tùy ý sao cho

( ) ( ),g x b g x󽜬 󽜾
.x R󽜣 󽟏
- Xét trường hợp
1.c 󽞺
Đặt
( ) ( ) .
1
d
f x g x
c
󽜾 󽜬
󽜮
Khi đó ta có
( ) ( ) , ,
1 1
d d
g x b c g x d x R
c c
󽟧 󽟷
󽜬 󽜬 󽜾 󽜬 󽜬 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽜮 󽜮
󽟩 󽟹
hay
( ) ( ),g x b cg x󽜬 󽜾
trong đó
( ) ( ) , .
1
d
g x f x x R

c
󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
󽜮
Đặt
( ) | | ( ),
x
b
g x c h x󽜾
( )h x
với
0,c 󽜿
( )h x b󽜬 󽜾
( )h x󽜮
với
0.c 󽜽
Vậy
( ),
1
x
b
d
c h x
c
󽜬
󽜮
với
( )h x
là hàm tùy ý sao cho
( ) ( ),h x b h x󽜬 󽜾
với

0,c 󽜿
( )f x 󽜾
| | ( ),
1
x
b
d
c h x
c
󽜬
󽜮
với
( )h x
là hàm tùy ý sao cho
( ) ( ),h x b h x󽜬 󽜾 󽜮
với
0.c 󽜽
Kết luận:
VINAMATH.COM
1
VINAMATH.COM
- Nếu
1c 󽜾
thì
( ) ( ) ,
d
f x g x x
b
󽜾 󽜬
với

( )g x
tuần hoàn tùy ý chú ý
| |b
- Nếu
1c 󽞺
thì
( ),
1
x
b
d
c h x
c
󽜬
󽜮
với
( )h x
là hàm tùy ý sao cho
( ) ( ),h x b h x󽜬 󽜾
nếu
0,c 󽜿
( )f x 󽜾
| | ( ),
1
x
b
d
c h x
c
󽜬

󽜮
với
( )h x
là hàm tùy ý sao cho
( ) ( ),h x b h x󽜬 󽜾 󽜮
nếu
0.c 󽜽
Bài toán 2. Cho các số
󽝼 󽝾 󽝼 󽝾
\ 0;1; 1 , \ 0a R b R󽟏 󽜮 󽟏
và
.c R󽟏
Tìm tất cả các hàm
:f R R󽞯
thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) , .f ax bf x c x R󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
(2)
Giải.
- Xét trường hợp
1.b 󽜾
Khi đó (2) có dạng
( ) ( ) , .f ax f x c x R󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
(i)
Thay
0x 󽜾
vào (i) ta được điều kiện cần để (i) có nghiệm là
0.c 󽜾
Khi đó
( )f x
là

hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ
.a
- Xét trường hợp
1.b 󽞺
Khi đó đặt
( ) ( )
1
c
f x g x
b
󽜾 󽜬
󽜮
và viết (2) dưới dạng
( ) ( ), g(0) 0, .g ax bg x x R󽜾 󽜾 󽜣 󽟏
Đặt
0 nếu
0x 󽜾
( )g x 󽜾
| |
log | |
| | ( )
a
b
x h x
nếu
0,x 󽞺
thì
( ), 0h x x󽜣 󽞺
với
0,b 󽜿

( )h ax 󽜾
( ), 0h x x󽜮 󽜣 󽞺
với
0.b 󽜽
Vậy
(i) với
0b 󽜿
thì
1
c
b󽜮
khi
0x 󽜾
( )f x 󽜾
| |
log
| | ( ), 0,
1
a
b
c
x h x x
b
󽜬 󽜣 󽞺
󽜮
với
( )h x
làm hàm tùy ý sao cho
( ) ( ),h ax h x󽜾
(ii) với

0b 󽜽
thì
1
c
b󽜮
với
0x 󽜾
( )f x 󽜾
| |
log | |
| | ( )
1
a
b
c
x h x
b
󽜬
󽜮
nếu
0,x 󽞺
với
( )h x
làm hàm tùy cho
( ) ( ),h ax h x󽜾 󽜮
Kết luận :
- Nếu
1, 0b c󽜾 󽞺
thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu

1, 0b c󽜾 󽜾
thì
( )f x
là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ
a
trên
.R
- Nếu
0 1b󽜽 󽞺
thì
VINAMATH.COM
2
VINAMATH.COM
1
c
b󽜮
khi
0x 󽜾
( )f x 󽜾
| |
log
| | ( ), 0,
1
a
b
c
x h x x
b
󽜬 󽜣 󽞺
󽜮

với
( )h x
làm hàm tùy ý sao cho
( ) ( ),h ax h x󽜾
- Nếu
0 b󽜿
thì
1
c
b󽜮
với
0x 󽜾
( )f x 󽜾
| |
log | |
| | ( ); 0,
1
a
b
c
x h x x
b
󽜬 󽜣 󽞺
󽜮
với
( )h x
làm hàm tùy ý sao cho
( ) ( ),h ax h x󽜾 󽜮
Bài toán 3. Cho
󽝼 󽝾

\ 0b R󽟏
và
.c R󽟏
Tìm tất cả các hàm
:f R R󽞯
thỏa mãn điều
kiện
( ) ( ) , .f x bf x c x R󽜮 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
(3)
Giải.
- Xét trường hợp
1.b 󽜾
khi đó (3) có dạng
( ) ( ) .f x f x c󽜮 󽜾 󽜬
cho
0,x 󽜾
ta được
(0) (0) .f f c󽜾 󽜬
Vậy điều kiện cần để phương trình có nghiệm là
0.c 󽜾
Khi đó, mọi
hàm
( )f x
chẵn xác định tên
R
đều nghiệm.
- Xét trường hợp
1.b 󽜾 󽜮
Khi đó (3) có dạng
( ) ( )f x f x c󽜮 󽜾 󽜮 󽜬

và mọi hàm
( ) ( ) ,
2
c
f x g x󽜾 󽜬
với
( )g x
tùy ý :
( ) ( ), ,g x g x x R󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
xác định trên
R
đều là nghiệm.
- Khi
1b 󽞲
thì dễ thấy rằng
.
1 1
c c
c b
b b
󽜾 󽜮
󽜮 󽜮
Vì vậy có thể (3) dưới dạng
( ) ( ) , ,
1 1
c c
f x b f x x R
b b
󽟧 󽟷
󽜮 󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏

󽟨 󽟸
󽜮 󽜮
󽟩 󽟹
Hay
( ) ( ),g x bg x󽜮 󽜾
trong đó
( ) ( ) , .
1
c
g x f x x R
b
󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
󽜮
(i)
Từ (i) suy ra
2
( ) ( ( )) ( ) ( ).g x g x bg x b g x󽜾 󽜮 󽜾 󽜮 󽜾
Do đó
( ) 0g x 󽞻
và vì vậy
( ) .
1
c
f x
b
󽞻
󽜮
Kết luận:
- Khi
1b 󽜾

và
0c 󽞺
thì phương trình vô nghiệm.
- Khi
1b 󽜾
và
0c 󽜾
thì mọi hàm
( )f x
chẵn xác định trên
R
đều là nghiệm.
- Khi
1b 󽜾 󽜮
thì mọi hàm
( ) ( ) ,
2
c
f x g x󽜾 󽜬
với
( )g x
la hàm tùy ý sao cho
( ) ( ), ,g x g x x R󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
xác định trên
R
đều là nghiệm.
- Khi
1b 󽞺 󽞲
thì
( ) .

1
c
f x
b
󽞻
󽜮
Bài toán 4. Cho
2
, , , , 0; 4 ; 1.a b R aα β α β α β󽟏 󽞺 󽜿 󽜬 󽞺
Tìm tất cả các hàm
:f R R󽞯
thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ) , .f x a f x x a b x Rα β󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜬 󽜣 󽟏
(4)
VINAMATH.COM
3
VINAMATH.COM
Giải.
Nếu α = 0 hoặc β = 0 thì ta có Bài toán 1. Vì vậy ta có thể giả thiết α ≠ 0 và β ≠ 0.
Đặt
(x) g(x)
1
b
f
α β
󽜾 󽜬
󽜮 󽜮
Khi đó (4) có dạng
g(x + a) = αg(x) + βg(x – a ), 󰤁 x 󰤉 R (i)
Gọi p, q là các nghiệm của phương trình

2
0t tα β󽜮 󽜮 󽜾
(ii)
Khi đó
α = p + q, - β = pq, p ≠ q, p ≠ 1, q ≠ 1
và
(i)
( ) ( ) ( ) ( ),g x a p q g x pqg x a x R󽟜 󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜮 󽜣 󽟏
( ) ( ) ( ( ) ( )),g x a pg x q g x pg x a x R󽟜 󽜬 󽜮 󽜾 󽜮 󽜮 󽜣 󽟏
Hay h(x + a) = qh(x), trong đó h(x) = g(x) –pg(x – a ), 󰤁 x 󰤉 R (iii)
Do β ≠ 0 nên q ≠ 0
Trường hợp 1: 0 < q ≠ 1.
Khi đó theo Bài toán 1, phương trình h(x + a) = qh(x) có nghiệm
1 1 1
( ) ( ), ( ) ( ),
x
a
h x q x x a x x Rϕ ϕ ϕ󽜾 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
(iv)
Để ý rằng hàm h(x) xác định theo công thức (iv) có tính chất
1
( ) ( ) ( )(1 )
x
a
p
h x ph x a q x
q
ϕ
󽜮 󽜮 󽜾 󽜮
Hay

1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
x
a
h x ph x a q x h xϕ󽜮 󽜮 󽜾 󽜾
, trong đó
1
( )
( ) ,
qh x
h x x R
p q
󽜾 󽜣 󽟏
󽜮
(v)
So sánh (iii) và (v), ta thu được
1
( ) ( )
g x h x󽜾
. Do đó
( )
( )
1
qh x b
f x
q p α β
󽜾 󽜬
󽜮 󽜮 󽜮
Trong đó h(x) được xác định theo (iv)
Trường hợp 2: 0 > q.

Theo Bài toán 1, phương trình h (x + a) = qh(x) có nghiệm
2
( ) | q |
x
a
h x ϕ󽜾
, với
2
( )xϕ
là hàm tùy ý sao cho
2 2
( ) ( ),
x a x x Rϕ ϕ󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
(vi)
Để ý rằng hàm h(x) xác định theo công thức (vi) có tính chất
VINAMATH.COM
4
VINAMATH.COM
2
( ) ( ) | | ( )(1 )
x
a
p
h x ph x a q x
q
ϕ
󽜮 󽜮 󽜾 󽜬
Hay
2 2 2
( ) ( ) | | ( ) ( )

x
a
h x ph x a q x h xϕ
󽜮 󽜮 󽜾 󽜾
2
( )
( )
qh x
h x
q p
󽜾
󽜬
(vii)
Từ (iii) và (vii) ta thu được
2
( ) ( )g x h x󽜾
. Do đó
( )
( )
1
qh x b
f x
q p α β
󽜾 󽜬
󽜬 󽜮 󽜮
.
Trong đó h(x) được xác định theo (vi)
Kết luận:
Gọi p, q là các nghiệm của phương trình
2

0t tα β󽜮 󽜮 󽜾
. Khi đó
Nếu 0 < q ≠ 1 thì
( )
( )
1
qh x b
f x
q p α β
󽜾 󽜬
󽜬 󽜮 󽜮
trong đó
1
( ) ( )
x
a
h x q xϕ󽜾
với φ
1
(x) là hàm tùy ý sao cho φ
1
(x + a) = φ
1
(x), 󰤁 x 󰤉 R
Nếu q < 0 thì
f(x) =
( )
1
qh x b
q p a β

󽜬
󽜬 󽜮 󽜮
trong đó h(x) = │q│
x
ϕ
φ
2
(x), với φ
2
(x) là hàm tùy ý sao cho φ
2
(x-φ)-φ
2
(x), 󰤁 x 󰤉 R.
Bài toán 5. Cho h(x) là 1 hàm tuần hoàn trên R chu kì (a > 0). Xác định các hàm f(x)
thỏa mãn điều kiện
f(x + a ) – f(x) = h(x), 󰤁 x 󰤉 R. (5)
Giải.
Sử dụng các đẳng thức
h(x) =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,
x a x x a h x a xh x
h x x R
a a a
󽜬 󽜮 󽜬 󽜬
󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
ta có thể viết (5) dưới dạng
f(x+a) – f(x) =
( ) ( ) ( )x a h x a xh x

a a
󽜬 󽜬
󽜮
, (i)
VINAMATH.COM
5
VINAMATH.COM
hay g(x + a) = g(x), g(x) = f(x) -
( )xh x
a
. (i)
Kết luận :
f(x) = g(x) +
( )xh x
a
,
trong đó g(x) là hàm tùy ý sao cho g(x + a) = g(x),
x R󽜣 󽟏
Bài toán 6. Cho h(x) là một hàm phần tuần hoàn trên R chu kỳ a (a > 0). Xác định tất cả
các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện
F(x + a) – f(x) = h(x),
x R󽜣 󽟏
(6)
Giả i.
Sử dụng tính phản tuần hoàn của h(x), ta có các đẳng thức
h(x + a) = - h (x),
h(x) =
( ) ( )
2 2
h x h x a󽜬

󽜮
=
( ) ( )
,
2 2
h x a h x
x R
󽜮 󽜬 󽜮
󽜮 󽜣 󽟏
Vậy có thể viết (6) dưới dạng
f(x + a) – f(x) =
( ) ( )
,
2 2
h x a h x
x R
󽜮 󽜬 󽜮
󽜮 󽜣 󽟏
hay
g(x + a) = g(x), trong đó
g(x) =
( )
( )
2
h x
f x 󽜬
(i)
Kết luận:
( )
( ) ( ) ,

2
h x
f x g x󽜾 󽜮
với g(x) là hàm tùy ý sao cho g(x + a) = g(x).
Bài toán 7. Cho b ≠ -1 và h(x) là một hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a, a > 0. Xác định tất
cả các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện F(x + a) = bf(x) = h(x),
x R󽜣 󽟏
(7)
Giả i.
Sử dụng tính tuần hoàn của h(x), ta co các đẳng thức
( ) ( ),
( ) ( )
( ) ,
1 1
h x a h x
h x a h x
h x b x R
b b
󽜬 󽜾
󽜬
󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
󽜬 󽜬
Do đó có thể viết (7) dưới dạng
( ) ( )
( ) bf(x) ,
1 1
h x a h x
f x a b
b b
󽜬

󽜬 󽜬 󽜾 󽜬
󽜬 󽜬
Hay g(x + a) = - bg(x), trong đó (i)
VINAMATH.COM
6
VINAMATH.COM
( )
( ) ( )
1
h x
g x f x
b
󽜾 󽜮
󽜬
Do b ≠ -1 nên – b ≠ 1. Theo bài toán 1, phương trình (i) có nghiệm
(x a) f(x) h(x)f 󽜬 󽜬 󽜾
g(x) = │ b │
x
a
q(x),
Trong đó q(x) là hàm tùy ý sao cho:
( ) f(x) h(x).f x a󽜬 󽜬 󽜾
( ) ( )
( ) ( ),
q x a q x
q x a q x
󽜬 󽜾
󽟪
󽟫
󽜬 󽜾 󽜮

󽟬
Kết luận:
( )
( )
1
h x
f x
b
󽜾 󽜬
󽜬
│b│
x
a
q(x),
Trong đó q(x) là hàm tùy ý sao cho:
( ) ( )
( ) ( ),
q x a q x
q x a q x
󽜬 󽜾
󽟪
󽟫
󽜬 󽜾 󽜮
󽟬
Bài toán 8. Cho b ≠ -1 và h(x) là một hàm phản tuần hoàn trên R chu kỳ a, a > 0. Xác
định tất cả các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện
( ) bf(x) h(x); x R.f x a󽜬 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
(8)
Giải:
Trường hợp b = 1. Khi đó (8) có dạng

( ) ( ) ( ).f x a f x h x󽜬 󽜬 󽜾
(i)
Sử dụng tính phản tuần hoàn của h(x), ta có các đẳng thức
( ) ( ),
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
, x R.
h x a h x
xh x a x a h x
h x
a a
xh x a x a h x
a a
󽜬 󽜾 󽜮
󽜮 󽜬 󽜮
󽜾 󽜮
󽜮 󽜬 󽜮 󽜮
󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
Do đó có thể viết (i) dưới dạng
( ) ( ) ( )
( ) f(x)
xh x a x a h x
f x a
a a
󽜮 󽜬 󽜮 󽜮
󽜬 󽜬 󽜾 󽜬
Hay
g (x + a) = - g(x), trong đó
g(x) = f(x) +

( ) ( )x a h x
a
󽜮
Vậy
( ) ( )
( ) (x) ,
( ) ( ), .
x a h x
f x g
a
g x a g x x R
󽜮
󽜾 󽜮
󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
Xét trường hợp b ≠ 1.
VINAMATH.COM
7
VINAMATH.COM
Sử dụng tính phản tuần hoàn của h(x), ta có đẳng thức
( ) ( ),
( ) ( )
( )
1 1
( ) ( )
1 1
h x a h x
h x bh x
h x
b b
h x a bh x

b b
󽜬 󽜾 󽜮
󽜮
󽜾 󽜬
󽜮 󽜮
󽜬
󽜾 󽜬
󽜮 󽜮
Do đó có thể viết (8) dưới dạng
( ) ( )
( ) ( ) ,
1 1
h x a bh x
f x a bf x
b b
󽜬
󽜬 󽜾 󽜾 󽜬
󽜮 󽜮
Hay
( ) ( )g x a bg x󽜬 󽜾 󽜮
, trong đó (ii)
(x)
( ) ( )
1
bh
g x f x
b
󽜾 󽜮
󽜮
.

Vậy
( )
( ) ( )
1
bh x
f x g x
b
󽜾 󽜬
󽜮
, trong đó
( ) ( ),g x a bg x x R󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
.
Do b ≠ -1 nên –b ≠ 1. Theo Bài toán 1, phương trình (ii) có nghiệm
( )g x 󽜾
│b│
x
a
q(x),
Trong đó
( ) ( ), 0
( ) ( ), 0
q x a q x khib
q x a q x khib
󽜬 󽜾 󽜽
󽟪
󽟫
󽜬 󽜾 󽜮 󽜿
󽟬
Kết luận
Với b = 1 thì :

( ) ( )
( ) ( )
x a h x
f x g x
a
󽜮
󽜾 󽜮
, với g(x) là hàm tùy ý sao cho
( ) ( ), x R.g x a g x󽜬 󽜾󽜮 󽜣 󽟏
Vậy b ≠ 1 thì:
( )
( ) ( ) ,
1
h x
f x g x
b
󽜾 󽜬
󽜮
( )g x 󽜾
│b│
x
a
q(x),
Trong đó q(x) là hàm tùy ý sao cho
( ) ( ), 0
( ) ( ), 0
q x a q x khib
q x a q x khib
󽜬 󽜾 󽜽
󽟪

󽟫
󽜬 󽜾 󽜮 󽜿
󽟬
Bài toán 9. Cho a
󽟏
R\{0} và tam thức bậc hai P(x) = αx
2
+ βx + γ. Xác định tất cả
các hàm f(x) thỏa mản điều kiện
VINAMATH.COM
8
VINAMATH.COM
( ) ( ) ( ), .f x a f x P x x R󽜬 󽜮 󽜾 󽜣 󽟏
(9)
Giải.
Viết (9) dưới dạng
( ) ( ) ( ),f at a f at P at t R󽜬 󽜮 󽜾 󽜣 󽟏
Hay
( 1) ( ) ( )g t g t Q t󽜬 󽜮 󽜾
, trong đó
g(t) = f(at),
Q(t) = P(at) = αa
2
t
2
+ βat + γ (i)
Để ý rằng
2 2
2 3 2 3 2
1 ( 1) ,

1
( 1) ( 1)] [x ,
2
1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1)
3 2 6 3 2 6
x x
x x x x
x x x x x x x
󽞻 󽜬 󽜮
󽜾 󽜬 󽜮 󽜬 󽜮 󽜮
󽟪 󽟺 󽟪 󽟺
󽜾 󽜬 󽜮 󽜬 󽜬 󽜬 󽜮 󽜮 󽜬
󽟫 󽟻 󽟫 󽟻
󽟬 󽟼 󽟬 󽟼
󽞪 󽞭
󽞫 󽞮
󽞬 󽞯
Vậy có thể viết
Q(t) = F(t + 1) – F(t), với
2 3 2 2
1 1 1 1
( ) [ ] .
3 2 6 2
F x a x x x a x x xα β γ
󽟪 󽟺
󽜾 󽜮 󽜬 󽜬 󽜮 󽜬
󽟫 󽟻
󽟬 󽟼
(ii)

So sánh (i) và (ii) ta có thể chọn
g(t) = F(t) + h(t),
Trong đó h(t) là hàm bất kỳ thỏa mãn h(t + a) = h(t).
Kết luận:
( )
x x
f x F h
a a
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜬
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
Trong đó h(x) là hàm bất kỳ thỏa mãn
( 1) ( ),h x h x x R󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
, và
2 3 2 2
1 1 1 1
( ) [ ] .
3 2 6 2
F x a x x x a x x xα β γ
󽟪 󽟺
󽜾 󽜮 󽜬 󽜬 󽜮 󽜬
󽟫 󽟻
󽟬 󽟼
Bài toán 10. Xác định tất cả các hàm f(x) tboar mãn điều kiện
( 1) ( ) 2 , .
x
f x f x x R
󽜮
󽜬 󽜮 󽜾 󽜣 󽟏

(10)
Giải.
Để ý rằng
1 1 ( 1) 1
2 2 2 2 ( 2 ).
x x x x x󽜮 󽜮 󽜮 󽜮 󽜬 󽜮
󽜾 󽜮 󽜬 󽜾 󽜮 󽜮 󽜮
Vậy có thể viết (10) dưới dạng
1 ( 1) 1
( 1) 2 ( ) 2 , .
x x
f x f x x R
󽜮 󽜬 󽜮
󽜬 󽜾 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
Kết luận:
1
( ) ( ) 2 ,
x
f x g x
󽜮
󽜾 󽜮
Trong đó g(x) là hàm tùy ý thỏa mãn
VINAMATH.COM
9
VINAMATH.COM
( 1) ( ), .g x g x x R󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
Bài toán 11. Tìm tất cả các hàm f(x) xác định, liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
(4 ) (9 ) 2 (6 ), .f x f x f x x R󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
(11)
Giải.

Nhận xét rằng
2 3
(11) 2 ( ),
3 2
f x f x f x x R
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽟜 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
Hay
2 3
( ) ( ) , .
3 2
f x f x f x f x x R
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
(i)
Khi đó có thể viết (i) dưới dạng sau
2
( )
3
g x g x
󽟧 󽟷
󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
, trong đó
3

( ) ( ) .
2
g x f x f x
󽟧 󽟷
󽜾 󽜮
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Do f(x) liên tục trên R nên g(x) cũng liên tục trên R . Ta có
g (0) = f(0) – f(0) = 0.
Mặt khác, với mọi số tự nhiên n , ta có
2
( ) .
3
n
g x g x
󽟧 󽟷
󽟧 󽟷
󽜾
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽟩 󽟹
Do đó
2
( ) lim (0) 0, x R.
3
n
n
g x x g

󽞯󽞦
󽟧 󽟷
󽟧 󽟷
󽜾 󽜾 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽟩 󽟹
Từ đó suy ra
2
( ) ( ),
3
f x f x󽜾
hay
2
( ) ( ).
3
f x f x󽜾
Ta có
2
( ) ( ) ; , .
3
n
f x f x n N x R
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Từ đó suy ra

2
( ) lim ( ) (0).
3
n
n
f x f x f
󽞯󽞦
󽟧 󽟷
󽜾 󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Do đó
( ) ,f x c c R󽞻 󽟏
tùy ý.
Bài toán 12. Cho các hàm số p(x) và q(x) xác định trên R. Tìm tất cả các hám số f(x)
sao cho
( ) (2 ) ( ) ( ), .p x f x f x q x x R󽜮 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
(12)
Giải.
VINAMATH.COM
10
VINAMATH.COM
Nhận xét rằn hàm số ω(x) = 2 – x có tính chất
2
( ): ( ( )) , .x x x x Rω ω ω󽜾 󽜾 󽜣 󽟏
Thay x bởi ω(x) vào (12), ta được
( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )), .p x f x f x q x x Rω ω ω󽜾 󽜾 󽜣 󽟏
(i)
Nhận xét rằng (12) và (i) là hai hệ phương trình tuyến tính đối với hai ẩn hàm f(x) và
f(2 – x). Từ (12) và (i) suy ra

[1 (2 ) ( )] ( ) ( ) ( ) (2 ), .p x p x f x q x p x q x x R󽜮 󽜮 󽜾 󽜮 󽜮 󽜣 󽟏
(ii)
[1 (2 ) ( ) (2 ) (2 ) (2 ) ( ),p x p x f x q x p x q x x R󽜮 󽜮 󽜮 󽜾 󽜮 󽜮 󽜮 󽜣 󽟏
(ii’)
Nếu 1 – p(2 – x )p(x) ≠ 0, 󰤁 x  R thì từ (ii) và (ii’) ta có
( ) ( ) (2 )
( )
1 (2 ) ( )
q x p x q x
f x
p x p x
󽜮 󽜮
󽜾
󽜮 󽜮
(iii)
và
(2 ) (2 ) ( )
(2 ) ,
1 ( ) (2 )
q x p x q x
f x x R
p x p x
󽜮 󽜮 󽜮
󽜮 󽜾 󽜣 󽟏
󽜮 󽜮
(iii’)
Các công thức (iii) và(iii’) tương thích và xác định cùng một hàm số f(x) thoản mãn
(12). Nếu 󰤄x
0
sao cho

0 0
[1 (2 )) ( )] 0p x p x󽜮 󽜮 󽜾
thì điều kiện cần để phương trình có
nghiệm là các đẳng thức sau được thỏa mãn.
0 0 0
0 0 0
( ) ( ) (2 ) 0
(2 ) (2 ) ( ) 0
q x p x q x
q x p x q x
󽜮 󽜮 󽜾
󽜮 󽜮 󽜮 󽜾
Giả sử điều kiện cần vừa nêu được thỏa mãn. Gọi Z
pq
là tập hợp nghiemj của phương
trình (với ẩn là x):
1 – p(2 – x))p(x) = 0.
Nhận xét rằng nếu x  Z
pq
thì 2 – x  Z
pq
. Khi đó có nghiệm của (12) được xác định như
sau
a) Nếu
pq
x Z󽟐
thì
( ) ( ) (2 )
( ) .
1 (2 )p(x)

q x p x q x
f x
p x
󽜮 󽜮
󽜾
󽜮 󽜮
b) Nếu x  Z
pq
thì các giá trị f(x) và f(2 – x) được chọn tùy ý sao cho chúng
thỏa mãn (12).
Kết luận:
Nếu
[1 (2 ) ( )] 0,p x p x x R󽜮 󽜮 󽞺 󽜣 󽟏
thì
( ) ( ) ( ( ))
( ) , .
1 ( ( )) ( )
q x p x q x
f x x R
p x p x
ω
ω
󽜮
󽜾 󽜣 󽟏
󽜮
Nếu 󰤄x
0
sao cho
1 – p(2 – x
0

))p(x
0
) = 0
Thì điều kiện cần để (12) có nghiệm là
q(x
0
) – p(x
0
) q(2 – x
0
) = 0 và
q(2 – x
0
) – p(2 – x
0
)q(x
0
) = 0.
Nếu điều kiện này được thỏa mãn, thì nghiệm của (12) được xác định theo công thức
VINAMATH.COM
11
VINAMATH.COM
( ) ( ) (2 ))
1 (2 ) ( )
( ) ,
,
pq
q x p x q x
p x p x
f x x Z

tuyy
󽜮 󽜮
󽟭
󽟰
󽜮 󽜮
󽜾 󽜣 󽟐
󽟮
󽟰
󽟯
Trong đó
pq
Z
là tập hợp các nghiệm của phương trình
1 – p(2 – x)p(x) = 0
BÀI TẬP
1/ Xác định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện f(x)f(x + 1) = 1, 󰤁x  R.
2/ Xác định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện f(x)f(1 – x) = x(1 – x), 󰤁x  R.
3/ Cho h(x) là hàm tuần hoàn trên R chu kỳ a (a > 0). Xác định các hàm f(x) thỏa mãn
điều kiện f(x + a) = h(x)f(x),󰤁x  R.
4/ Cho h(x) là hàm phản tuần hoàn trên R chu kỳ a (a > 0). Xác định các hàm f(x) thỏa
mãn điều kiện f(x + a) = h(x)f(x),󰤁x  R.
5/ Cho a, b, c, d 󰤉 R. Xác định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện
f(ax + b) = cf(x) + d, 󰤁x  R.
6/ Chứng minh rằng nếu hàm liên tục f : R → R thỏa mãn hệ thức f(f(f(x))) ≡ x, 󰤁x  R.
Thì f(x) ≡ x, 󰤁x  R.
II/ HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH
Cho hàm số
( ) , 0, 0.
ax b
x c ab bc

cx d
ω
󽜬
󽞺 󽜮 󽞺
󽜬
Trong II/ này , ta sẽ nghiên cứu các phương trình dạng f(ω(x)) = pf(x) + q.
Bài toán 1. Tìm tất cả các hàm số f : R → R sao cho
1
( ) 2 ( ) 3, 2.
2
f f x x
x
󽜮
󽜾 󽜮 󽜣 󽞺
󽜮
(1)
Giải.
Nhận xét rằng phương trình
1
2
x
x
󽜮
󽜾
󽜮
Có nghiệm duy nhất x = 1. Thay x = 1 vào (1) ta được f(1) = 3.
Xét x ≠ 1. Đặt
1
1
t

x
󽜾
󽜮
thì t ≠ 0, t ≠ 1, và
1
1 ,x
t
󽜾 󽜬
VINAMATH.COM
12
VINAMATH.COM
1 1
1
2 1.x t
󽜾 󽜬
󽜮 󽜮
Khi đó (1) có dạng
1 1
(1 ) 2 (1 ) 3, \{0,1},
1
f f t R
t t
󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟏
󽜮
(i)
Hay
( 1) 2 ( ), \{0,1}g t g t t R󽜮 󽜾 󽜣 󽟏
(ii)
Suy ra (theo bài toán 1, I/)
( ) 2 ( ),

t
g t h t
󽜮
󽜾
với h(t) là hàm tùy ý sao cho h(t + 1) = h(t), 󰤁t  R \ {0, 1}.
Từ (i) và (ii) ta có
Kết luận :
3,khix 1,
( )
1
( ) 3, 1,
1
f x
g khix
x
󽜾
󽟭
󽟰
󽜾
󽟮
󽜬 󽞺
󽟰
󽜮
󽟯
Trong đó,
( ) 2 ( )
t
g t h t
󽜮
󽜾

, với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn
h(t+1) = h(t), 󰤁t  R \{0, 1}
Bài toán 2. Cho q 󰤉 R và cho hàm số
2
1
( ) , 1, ( 1)
1 4
ax b
x a b a
x
ω
󽜬
󽜾 󽞺 󽜾 󽜮 󽜬
󽜮
.
Tìm tất cả các hàm số f : R \{1} → R sao cho
( ( )) ( ) , 1.f x f x q xω 󽜾 󽜮 󽜾 󽜣 󽞺
(2)
Giải.
Theo giả thiết thì phương trình ω(x) = x có nghiệm duy nhất
1
2
a
x
󽜬
󽜾
.
Thay
1
2

a
x
󽜬
󽜾
vào (2) ta được
1
( )
2 2
a q
f
󽜬
󽜾
Xét
0 0
1
,
2
a
x x x
󽜬
󽞺 󽜾
Đặt
0
1
.
t
x x
󽜾
󽜮
Khi đó t ≠ 0, và

0
1
x x
t
󽜾 󽜬
0
1
( )
2
1
x x
t
a
ω 󽜾 󽜬
󽜬
󽜮
Khi đó có thể viết (2) dưới dạng
0 0
1 1 2
( ) , \{0; },
2
1
1
f x f x q t R
t a
t
a
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽜬 󽜾 󽜮 󽜬 󽜬 󽜣 󽟏

󽟨 󽟸
󽜮
󽟨 󽟸
󽜬
󽜮
󽟩 󽟹
(i)
VINAMATH.COM
13
VINAMATH.COM
Hay
2 2
( ), \{0; },
1 1
g t g t t R
a a
󽟧 󽟷
󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽜮 󽜮
󽟩 󽟹
trong đó
0
1 2
( ) , \{0; }.
2 1
q
g t f x t R
t a
󽟧 󽟷

󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽜮
󽟩 󽟹
(ii)
Tương tự như bài toán 4 (Bài 1, II/ ) ta có
2
( ) ( ) ( ) ,
1
g t h t h t
a
󽟪 󽟺
󽜾 󽜬 󽜮
󽟫 󽟻
󽜮
󽟬 󽟼
với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn
4 2
(t ) ( ), \{0; ).
1 1
h h t t R
a a
󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
󽜮 󽜮
Từ (i) và (ii) ta có
Kết luận :
1
2 2
( )
1 1

( ) , \{1, }
1
2 2
2
q a
khix
f x
q a
g khix R
a
x
󽜬
󽟭
󽜾
󽟰
󽟰
󽜬
󽟮
󽜬 󽟏
󽟰
󽜬
󽜮
󽟰
󽟯
Trong đó
2 2
( ) ( ) h(t) , \{0; }
1 1
g t h t t R
a a

󽟪 󽟺
󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟏
󽟫 󽟻
󽜮 󽜮
󽟬 󽟼
Với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn
4 2
( ) ( ), \{0; }
1 1
h t h t t R
a a
󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
󽜮 󽜮
Bài toán 3. Cho hàm số
w( )
ax b
x
cx d
󽜬
󽜾
󽜬
,
0c 󽞺
, ad - bc
0󽞺
sao cho phương trình ω(x) =
x có nghiệm duy nhất x = x
0
. Tìm tất cả các hàm số
: \{ }

d
f R R
c
󽜮 󽞯
sao cho
( ( )) 2 ( ) 3,
d
f x f x x
c
ω
󽜮
󽜾 󽜮 󽜬 󽜣 󽞺
(3)
Giải.
Theo giả thiết thì phương trình ω(x) = x có nghiệm duy nhất x = x
0
Thay x = x
0
vào (3), ta được f(x
0
) = 1.
Xét x ≠ x
0
Đặt
0
1
x x󽜮
= t thì t ≠ 0 , và
0
1

,
x x
t
󽜾 󽜬
0
0
1
( )
1
x x
t
d
x
c
ω 󽜾 󽜬
󽜬
󽜬
Khi đó có thể viết (3) dưới dạng
VINAMATH.COM
14
VINAMATH.COM
0 0
0
1 1
( ) 2 ( ) 3, t R\{0}
1
f x f x
t
t
d

x
c
󽜬 󽜾 󽜮 󽜬 󽜬 󽜣 󽟏
󽜬
󽜬
(i)
Hay
0
1
( ) 2 ( ),g t g t
d
x
c
󽜬 󽜾 󽜮
󽜬
Trong đó
0
1
( ) ( ) 1, \{0}.g t f x t R
t
󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟏
(ii)
Suy ra
0
( ) 2 ( ),
t
t
g t h t󽜾
trong đó hàm h(t) tùy ý thỏa mãn
0

1
( ) ( ), 0.h t h t t
d
x
c
󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽞺
󽜬
Từ (i) và (ii) ta có
Kết luận :
0
0
0
1, ,
( )
1
( ) 1, \{x , }
khix x
f x
d
g khix R
x x c
󽜾
󽟭
󽟰
󽜾
󽟮
󽜬 󽟏 󽜮
󽟰
󽜮
󽟯

Trong đó
0
( ) 2 ( ), 0,
t
t
g t h t t
󽜾 󽜣 󽞺
Với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn
0
1
( ) ( ), t 0.h t h t
d
x
c
󽜬 󽜾 󽜮 󽜣 󽞺
󽜮
󽜬
Bài toán 4. Cho hàm số
2
( )
3
x
x
ω 󽜾
󽜮
Tìm tất cả các hàm số f : R \{3} → R sao cho
( (x)) 2f(x) 3, x 3.f ω 󽜾 󽜮 󽜣 󽞺
(4)
Giải.
Nhận xét rằng phương trình ω(x) = x có hai nghiệm phân biệt x = 1 và x = 2. Đặt x =

1 và x = 2 vào (4), ta được f(1) = f(2) = 3.
Xét x ≠ 1 và x ≠ 2. Đặt
1
2
x
t
x
󽜮
󽜾
󽜮
VINAMATH.COM
15
VINAMATH.COM
Thì t
{2,1,0}󽟐
. Do đó
2 1 1
2 ,
1 1
2 1
2
3
1
2
t
x
t t
t
x
󽜮

󽜾 󽜾 󽜬
󽜮 󽜮
󽜾 󽜬
󽜮
󽜮
Viết (4) dưới dạng sau
1 1
(2 ) 2 (2 ) 3, {2,1,0},
2
2
2
f f t
t
t
󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟐
󽜮
󽜮
Hay
( ) 2 ( ) 3,
2
1
( ) (2 ), {2,1,0}.
1
t
g g t
g t f t
t
󽜾 󽜮
󽜾 󽜬 󽜣 󽟐
󽜮

(i)
Đặt
1
( ) 3 ( ), {2,1,0},g t t h t t
󽜮
󽜾 󽜬 󽟐
và viết dưới dạng
1 1
3 ( ) ( ) 2[3 ( )] 3, {2,1,0}
2 2
t t
h t h t t
󽜮 󽜮
󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟐
Vậy
( ) ( ), {2,1.0}
2
t
h h t t󽜾 󽜣 󽟐
(ii)
Kết luận :
3, {1;2},
( )
1
( ), {1;2},
2
khix
f x
x
g khix

x
󽟏
󽟭
󽟰
󽜾
󽜮
󽟮
󽟐
󽟰
󽜮
󽟯
trong đó
1
( ) 3 ( )
g t t h t
󽜮
󽜾 󽜬
, với h(t) là hàm tùy ý tỏa mãn
( ) ( ), {2,1,0}.
2
t
h h t t󽜣 󽟐
Bài toán 5. Cho hàm số
( ) , 0,ab bc 0
ax b
x c
cx d
ω
󽜬
󽜾 󽞺 󽜮 󽞺

󽜬
sao cho phương trình
ω(x) = x có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
. Tìm tất cả các hàm số
: \{ }
d
f R R
c
󽜮
󽞯
sao cho
( ( )) 2 ( ) 3f x f xω 󽜾 󽜮
, 󰤁x ≠
d
c
󽜮
(5)
Giải.
Theo giả thiết thì phương trình ω(x) = x có hai nghiệm phân biệt x = x
1
và x = x
2
.
Đặt x = x
1
và x = x
2

vào (5), ta được f(x
1
) = f(x
2
) = 3. Xét x ≠ x
1,
x ≠ x
2
. Đặt
VINAMATH.COM
16
VINAMATH.COM
1
2
x x
t
x x
󽜮
󽜾
󽜮
thì
2
1
1
{ ,0,1},
cx d
t a
cx dα
󽜬
󽟐 󽜾

󽜬
và
2 1
2
2 1
2
1
1
x x
x x
t
x x
ax b
x
cx d tα
󽜮
󽜾 󽜬
󽜮
󽜮
󽜬
󽜾 󽜬
󽜬 󽜮
Khi đó có thể viết (5) dưới dạng sau
2 1 2 1
2 2
1
( ) 2 ( ) 3, { ,0,1}
1 1
x x x x
f x f x t

at t α
󽜮 󽜮
󽜬 󽜾 󽜬 󽜮 󽜣 󽟐
󽜮 󽜮
Hay
1
( ) 2 ( ) 3, { ,0,1}g t g t tα
α
󽜾 󽜮 󽜣 󽟐
trong đó
2 1
2
1
( ) ( ), t { ,0,1}
1
x x
g t f x
t α
󽜮
󽜾 󽜬 󽜣 󽟐
󽜮
(i)
Do x
1
≠ x
2
và c ≠ 0 nên α ≠ 1
Nếu α = - 1 thì (i) cho ta f(x) = g(t) = 3
Do
2

d
x
c
󽞺 󽜮
nên α ≠ 0
Xét trường hợp α ≠ 0 và │α│ ≠ 1
Đặt
2
| |
log
1
( ) 3 | | ( ), { ,1,0}
g t t h t t
α
α
󽜾 󽜬 󽟐
và viết (i) dưới dạng
2 2
| | | |
log log
3 2 | t | ( t) 2[3 | t | (t)] 3h h
α α
α󽜬 󽜾 󽜬 󽜮
Do đó
1
( ) ( ), { ,1,0}
h t h t tα
α
󽜾 󽜣 󽟐
(ii)

Xét -1 ≠ a < 0. Đặt
2
| |
log
( ) 3 | t | (t), {2,1,0}g t h t
α
󽜾 󽜬 󽟐
Và viết (i) dưới dạng
2 2
| | | |
log log
3 | || | ( ) 2[3 | | ( )] 3t h t t h t
α α
α α󽜬 󽜾 󽜬 󽜮
Do đó h(αt) = - h(t), 󰤁t {2,1,0} (iii)
Từ (i), (ii) và (iii), ta có
Kết luận :
Nếu α = - 1 thì (i) cho ta f(x) ≡ 3
Nếu a ≠ 0 và |α| ≠ 1 thì
1 2
1
1 2
2
3, ,
( )
( ), i x { x , - }
khix x x x
f x
x x
d

g kh x
x x c
󽜾 󽜾
󽟭
󽟰
󽜾
󽜮
󽟮
󽟐
󽟰
󽜮
󽟯
trong đó
g(t) = 3 + |t|
log
|a|
2
h(t)
VINAMATH.COM
17
VINAMATH.COM
với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn: h(αt) = h(t), 󰤁 t
󽟐
{
1
α
, 1, 0}
Bài toán 6. Cho hàm số
2 5
( )

2
x
x
x
ω
󽜮
󽜾
󽜮
Tìm tất cả các hàm số f : R\{2} → R sao cho
f(ω(x)) + f(x) = 3, 󰤁x ≠ 2. (6)
Giải.
Nhận xét rằng phương trình ω(x) = x không có nghiệm thực và ω(ω(x)) ≡ x
ta chứng minh mọi hàm dạng
1 3
( ) [ ( ( )) ( )]
2 2
f x g x g xω󽜾 󽜮 󽜬
(i)
với g(x) tùy ý xác định trên R \ {2}, đều là nghiệm của (6).
Thật vậy, nếu f(x) có dạng (i) thì
1 3 1 3
( ( )) ( ) [ ( ) ( ( ))] [ ( ( )) ( )] 3, 2
2 2 2 2
f x f x g x g x g x g x xω ω ω󽜬 󽜾 󽜮 󽜬 󽜬 󽜮 󽜬 󽜾 󽜣 󽞺
Ngược lại, khi f(x) thỏa mãn (6) thì chỉ cần chọn g(x) = f(ω(x)), ta có ngay biểu diễn (i)
Kết luận :
1 3
( ) [ ( ( )) ( )]
2 2
f x g x g xω󽜾 󽜮 󽜬

với g(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {2}.
Bài toán 7. Cho các hàm số h(x), x  R và ω(x) =
2 5
2
x
x
󽜮
󽜮
Tìm tất cả các hàm số f : R \ {2} → R sao cho f(ω(x)) = f(x) + h(x), 󰤁 x ≠ 2, (7)
Giải.
Nhận xét rằng phương trình ω(x) = x không có nghiệm thực và ω(ω(x)) ≡ x
thay x bởi ω(x), từ (7) ta được h(ω(x)) = - h(x), (i)
vậy điều kiện cần để (7) có nghiệm là điều kiện (i) được thỏa mãn.
Giả sử điều kiện (i) được thỏa mãn. Khi đó
1
( ) [ ( ) ( ( ))]
2
h x h x h xω󽜾 󽜮
, 󰤁 x ≠ 2
Ta chứng minh rằng mọi hàm dạng
1
( ) [ ( ( )) ( ) ( )]
2
f x g x g x h xω󽜾 󽜬 󽜮
(ii)
với g(x) là hàm tùy ý trên R \ {2} là các nghiệm của (7)
Thật vậy , nếu f(x) có dạng (ii) thì
VINAMATH.COM
18
VINAMATH.COM

1
( ( )) [ ( ) ( ( )) ( ( ))]
2
1
[ ( ) ( ( )) ( )]
2
1
= [ ( ) ( ( )) ( ) 2h(x)] ( ) ( )
2
f x g x g x h x
g x g x h x
g x g x h x f x h x
ω ω ω
ω
ω
󽜾 󽜬 󽜮
󽜾 󽜬 󽜬
󽜬 󽜮 󽜬 󽜾 󽜬
Ngược lại, khi f(x) thỏa mãn (7) thì chỉ cần chọn g(x) = f(x) ta có ngay biểu diễn (ii),
Kết luận :
1
( ) [ ( ( )) ( ) ( )]
2
f x g x g x h xω󽜾 󽜬 󽜮
,
với g(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {2}.
Bài toán 8. Cho hàm số
1
( )
1

x
x
ω
󽜮
󽜾
󽜬
Tìm tất cả các hàm số f : R \ {-1, 0} → R sao cho
( (x)) ( ( )) ( ) 3f f x f xω ω󽜬 󽜬 󽜾
, 󰤁x ≠ - 1 ; x ≠ 0. (8)
Giải.
Nhận xét rằng phương trình ω(x) = x không có nghiệm thực. Ta có các đẳng thức sau
đây :
2
3
1 1
( ) : ( (x))
1
1
1
1
( ) : ( ( ( )))
1
1
x
x
x
x
x x x
x
x

ω ω ω
ω ω ω ω
󽜮 󽜬
󽜾 󽜾 󽜾 󽜮
󽜮
󽜬
󽜬
󽜮
󽜾 󽜾 󽜾
󽜬
󽜮 󽜬
󰤁 x 󰤉 R \ {-1, 0}
Từ (8) ta thấy f(x) ≡ 1 là một nghiệm của bài toán.
Đặt f(x) = 1 + g(x). Khi đó có thể viết (8) dưới dạng
2
( ( ))) ( ( )) ( ) 0g x g x g xω ω󽜬 󽜬 󽜾
, 󰤁 x ≠ 1; x ≠ 0. (i)
Ta chứng minh rằng mọi nghiệm của (i) đều có dạng
2
1
( ) [2 ( ) h( ( )) ( ( ))]
3
g x h x x h xω ω
󽜾 󽜮 󽜮
(ii)
với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {-1, 0}.
Thật vậy, khi g(x) có dạng (ii) thì
2
( ( )) ( ( )) ( )g x g x g xω ω󽜬 󽜬
2

1
[2 ( ( )) h( (x)) h(x)]
3
h xω ω󽜾 󽜮 󽜮
2
1
[2 ( ( )) h(x) h( (x)]+
3
h xω ω󽜬 󽜮 󽜮
2
1
[2 ( ) h( (x)) h( (x)]=0
3
h x ω ω󽜮 󽜮
󰤁 x 󰤉 R \ {-1, 0}
VINAMATH.COM
19
VINAMATH.COM
Ngược lại, khi g(x) thỏa mãn (i) thì ta chỉ việc chọn h(x) = g(x) sẽ có ngay công thức
biểu diễn (ii).
Kết luận :
2
( ) 1, \{ 1,0}
1
( ) 1 [2 ( ) ( ( )) ( ( ))]
3
f x x R
f x h x h x h xω ω
󽞻 󽜣 󽟏 󽜮
󽟪

󽟫
󽟫
󽜾 󽜬 󽜮 󽜮
󽟬
Với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {-1, 0}.
Bài toán 9. Cho hàm số q(x) xác định trên R và
1
w( )
1
x
x
󽜮
󽜾
󽜬
.
Tìm tất cả các hàm số f : R \ {-1, 0} → R sao cho
f(ω(ω(x))) + f(ω(x)) + f(x) = q(x) , 󰤁 x 󰤉 R \ {-1, 0} (9)
Giải.
Nhận xét rằng phương trình ω(x) = x không có nghiệm thực và ω(x) có các tính chất
2
3
1 1
( ) : ( ( ))
1
1
1
1
1
1
( ) : ( ( ))) , \{ 1,0}

1
1
x
x x
x
x
x
x x x R
x
ω ω ω
ω ω ω ω
󽜮 󽜬
󽜾 󽜾 󽜾 󽜮
󽜮
󽜬
󽜬
󽜮
󽜬
󽜬
󽜾 󽜾 󽜮 󽜾 󽜣 󽟏 󽜮
󽜮
󽜬
Từ các tính chất này của hàm ω(x), suy ra điều kiện cần để phương trình (9) có nghiệm
là q(ω(x)) = q(x), 󰤁 x 󰤉 R \ {-1, 0} (i)
Giả sử điều kiện (i) được thỏa mãn. Khi đó có thể viết
2
1
( ) [ ( ( ) ( ( )) ( )]
3
q x q x q x q xω ω󽜾 󽜬 󽜬

, 󰤁 x 󰤉 R \ {-1, 0} (ii)
Từ (ii) ta thấy
1
( ) ( )
3
f x q x󽞻
là một nghiệm. Đặt
1
( ) ( ) ( )
3
f x q x g x󽜾 󽜬
Khi đó có thể viết dưới (9) dưới dạng
2
( ( )) ( ( )) ( ) 0
g x g x g xω ω󽜬 󽜬 󽜾
, 󰤁 x 󰤉 R \ {-1, 0} (iii)
Ta chứng minh rằng mọi nghiệm của (iii) đều có dạng
2
1
( ) [2 ( ) ( ( )) ( ( ))]
3
g x h x h x h xω ω󽜾 󽜮 󽜮
(iv)
với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {-1, 0}.
Thật vậy, khi g(x) có dạng (iv) thì
2 2
1
( ( ))) ( ( )) ( ) [2h( ( )) h( (x)) h(x)]
3
g x g x g x xω ω ω ω󽜬 󽜬 󽜾 󽜮 󽜮 󽜬

2
1
[2 ( ( )) ( ) ( ( ))]
3
h x h x h xω ω󽜬 󽜮 󽜮 󽜬
VINAMATH.COM
20
VINAMATH.COM
2 2
1
[2 ( ) ( ( ))) ( ( ))) ( ( ))] 0
3
h x h x h x h xω ω ω󽜬 󽜮 󽜮 󽜮 󽜾
Ngược lại, khi g(x) thỏa mãn (iii) thì ta chỉ việc chọn h(x) = g(x) sẽ có ngay công thức
biểu diễn (iv).
Kết luận :
Điều kiện cần để phương trình (9) có nghiệm là
( ( )) ( )g x q xω 󽜾
, 󰤁 x 󰤉 R \ {-1, 0}
Khi đó mọi nghiệm của (7) có dạng
2
1 1
( ) ( ) [2 ( ) ( ( )) ( ( ))]
3 3
f x q x h x h x h xω ω󽜾 󽜬 󽜮 󽜮
,
với h(x) là hàm tùy ý xác định trên R \ {-1, 0}
Bài toán 10. Cho các hàm số p(x) và q(x) các định trên R và
1
( )x

x
ω 󽜾 󽜮
Tìm tất cả các hàm số f : R \ {0} → R sao cho
( ) ( ( )) ( ) ( )p x f x f x q xω 󽜬 󽜾
, 󰤁 x ≠ 0. (10)
Giải. Nhận xét rằng phương trình ω(x) = x không có nghiệm thực và ω(x) có tính chất
2
( ): ( (x)) xxω ω ω󽜾 󽜾
, 󰤁 x ≠ 0
Thay x bởi ω(x) vào (10), ta được
( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ))p x f x f x q xω ω ω󽜬 󽜾
, 󰤁 x ≠ 0 (i)
Nhận thấy rằng (10) và (i) là hệ hai phương trình tuyến tính đối với hai ẩn là f(ω(x)) và
f(x).
Nếu [1 – p(ω(x))p(x)] ≠ 0 , 󰤁 x ≠ 0 thì
( ) ( ( )) ( )
( )
1 ( ) ( ( ))
q x q x p x
f x
p x p x
ω
ω
󽜮
󽜾
󽜮
(ii)
( ( )) ( ( )) ( )
( ( ))
1 ( ) ( ( ))

q x p x q x
f x
p x p x
ω ω
ω
ω
󽜮
󽜾
󽜮
, 󰤁 x ≠ 0 (iii)
Các công thức (ii) và (iii) xác định cùng một hàm số f(x) thỏa mãn phương trình (10)
Nếu
0
0x󽜥 󽞺
sao cho
0 0
[1 ( ( )) ( )] 0p x p xω󽜮 󽜾
thì điều kiện cần để (10) có nghiệm
là
0 0 0
( ) ( ) ( ( )) 0q x p x q xω󽜮 󽜾
(iv)
và
0 0 0
( ( )) ( ( )) ( ) 0q x p x q xω ω󽜮 󽜾
Giả sử điều kiện cần (iv) được thỏa mãn tại mọi điểm
0
0x 󽞺
sao cho
0 0

1 ( ( )) ( ) 0p x p xω󽜮 󽜾
Gọi Z
pq
là tập hợp các nghiệm x ≠ 0 của phương trình (với ẩn là x)
1 ( ( )) ( ) 0p x p xω󽜮 󽜾
Nhận xét rằng nếu x
0
≠ 0 thuộc Z
pq
thì
0
( )xω
cũng thuộc Z
pq
. Khi đó nghiệm của (10)
được xác định theo cách sau.
VINAMATH.COM
21
VINAMATH.COM
a) Nếu x ≠ 0 và x
󽟐
Z
pq
thì
( ) ( ) ( ( ))
( )
1 ( ( )) ( )
q x p x q x
f x
p x p x

ω
ω
󽜮
󽜾
󽜮
b) Nếu x ≠ 0 và
pq
x Z󽟏
thì f(x) được chọn tùy ý sao cho (10) được thỏa mãn.
Kết luận :
a) Nếu 1 – p (x)p(ω(x)) ≠ 0, 󰤁 x ≠ 0 thì
( ) ( ) ( ( ))
( )
1 ( ( )) ( )
q x p x q x
f x
p x p x
ω
ω
󽜮
󽜾
󽜮
b) Nếu tồn tại
0
0x 󽞺
sao cho
0 0
1 ( ) ( ( )) 0p x p xω󽜮 󽜾
thì điều kiện để (10) có
nghiệm là q(x) – p (x)p(ω(x)) = 0 và q(ω(x)) – p(ω(x))p(x) = 0, 󰤁 x 󰤉 Z

pq
với Z
pq
là tập nghiệm khác 0 của phương trình 1 – p(x)q(ω(x)) = 0. Khi đó
( ) ( ) ( ( ))
1 ( ( )) ( )
( )
, , 0
pq
pq
q x p x q x
x Z
p x p x
f x
tuyy x Z x
ω
ω
󽜮
󽟭
󽜣 󽟏
󽟰
󽜮
󽜾
󽟮
󽟰
󽜣 󽟐 󽞺
󽟯
BÀI TẬP
Bài 1: Cho a, b, c, d, p, q 󰤉 R, c ≠ 0. Xác định các hàm f(x) sao cho
(x) q, x R\{- }

ax b d
f pf
cx d c
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽜬
󽟩 󽟹
Bài 2: Tìm f(x) thỏa mãn điều kiện
1
( ) 1
f x f
x
󽟧 󽟷
󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
, 󰤁 x ≠ 0
Bài 3: Tìm f(x) thỏa mãn điều kiện
1
( ) 1
x
f x f
x
󽜮
󽟧 󽟷
󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹

, 󰤁 x ≠ 0, x ≠ 1
Bài 4: Cho hàm số h(x), x 󰤉 R \ {0}. Tìm f(x) thỏa mãn điều kiệ
1
( ) ( )
f xf x h x
x
󽟧 󽟷
󽜾 󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
, 󰤁 x ≠ 0,
Bài 5: Tìm các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện
1
( ) 1
1
f x f x
x
󽟧 󽟷
󽜾 󽜮
󽟨 󽟸
󽜮
󽟩 󽟹
, 󰤁 x ≠ 0, x ≠ 1
Bài 6: Tìm f(x) thỏa mãn điều kiện
1 1
( ) 1
1
x
f x f f
x x

󽜮
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜬 󽜬 󽜾 󽜮
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽜮
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
, 󰤁 x ≠ 0, x ≠ 1
VINAMATH.COM
22
VINAMATH.COM
III/ HÀM SỐ XÁC ĐỊNH BỞI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Bài toán 1. Cho α 󰤉 R, α ≠ ± 1. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R
+
thỏa mãn điều kiện
( ) ( )f x f x
α
󽜾
, 󰤁 x 󰤉 R
+
(1)
Giải.
Nếu |α| < 1, thì từ (1), ta nhận được
( ) ( ) ( )
n
f x f x f x
α α
󽜾 󽜾 󽜾
, 󰤁 x 󰤉 R
+
, 󰤁 n 󰤉 N

Suy ra
( ) lim ( ) (1)
n
n
f x f x f
α
󽞯󽞦
󽜾 󽜾
, 󰤁 x 󰤉 R
+
(i)
Nếu |α| > 1, cũng từ (1), ta nhận được
1 1
( )
( ) ( ) ( )
n
a
f x f x f x
α
󽜾 󽜾 󽜾
, 󰤁 x 󰤉 R
+
, 󰤁 n 󰤉 N
Suy ra
1
( )
( ) lim ( ) (1)
n
n
f x f x f

α
󽞯󽞦
󽜾 󽜾
, 󰤁 x 󰤉 R
+
(ii)
Từ (i) và (ii), ta có
Kết luận :
( )f x c R󽞻 󽟏
bất kỳ, 󰤁 x 󰤉 R
+
Bài toán 2. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
2
( ) ( ) 1f x f x 󽜾
, 󰤁 x 󰤉 R (2)
Giải.
Từ (2) suy ra
( ) 0, ; (0) 1x Rf fx 󽜣 󽟏 󽜾 󽞲󽞺
và f(1) = ± 1. Thay x bởi -x, ta
được
2 2
( ) ( ) 1 ( ) ( )f x f x f x f x󽜾 󽜾 󽜮
, 󰤁 x 󰤉 R
Vậy
( ) ( ),f x f x x R󽜣 󽟏󽜮 󽜾
(i)
Xét 0 ≤ x <1.
Khi đó
4
4 4

2
1
( ) ( ) ( )
( )
f x f x f x
f x
󽜾 󽜾 󽜾 󽜾
Suy ra
( ) (0) 1f x f󽞻 󽜾 󽞲
Tương tự với x ≥ 1, ta thu được
1/4
1/4 1/4
1/2
1
( ) ( ) ( )
( )
f x f x f x
f x
󽜾 󽜾 󽜾 󽜾
Suy ra
( ) (1) 1f x f󽞻 󽜾 󽞲
Từ giả thiết liên tục (i), suy ra
Kết luận :
VINAMATH.COM
23
VINAMATH.COM
( ) 1,
( ) 1, x R
f x x R
f x

󽞻 󽜣 󽟏
󽟪
󽟫
󽞻 󽜮 󽜣 󽟏
󽟬
Bài toán 3. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
2
( ) ( ) ( 1)f x f x x x󽜮 󽜾 󽜮
, 󰤁 x 󰤉 R (3)
Giải.
Đặt
( ) ( )f x x g x󽜾 󽜬
, 󰤁 x 󰤉 R
Khi đó (3) có dạng
2
( ) ( )g x g x󽜾
, 󰤁 x 󰤉 R
Theo Bài toán 1 thì g(x) = c 󰤉 R, 󰤁 x 󰤉 R
Kết luận :
( )f x x c󽜾 󽜬
, 󰤁 x 󰤉 R, c 󰤉 R tùy ý.
Bài toán 4. Cho
n N
󽜬
󽟏
. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thỏa
mãn điều kiện
1
0 1 2 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0

n n
n n
n n n n
C f x C f x C f x C f x
󽜮
󽜮
󽜬 󽜬 󽜬 󽜬 󽜾
(4)
Giải.
Kí hiệu vế trái của (4) là g
n
(x) thì
1
2
0
2
1 1
0
1
2 2 1 2
1 1 1
0 1
( ) ( ) 0,
( ) ( ),
( ) ( ) ( ).
k
k
k k
n
k

n n
k
n
k
n n
k
n n
k k
n n n
k k
g x C f x
g x C f x
g x C f x C f x
󽜬
󽜾
󽜮 󽜮
󽜾
󽜮
󽜮
󽜮 󽜮 󽜮
󽜾 󽜾
󽜾 󽞻
󽜾
󽜾 󽜾
󽟦
󽟦
󽟦 󽟦
Sử dụng đẳng thức
1
1 1

k k k
n n n
C C C
󽜮
󽜮 󽜮
󽜬 󽜾
Ta thu được
2
1 1
( ) ( ) ( ) 0
n n n
g x g x g x
󽜮 󽜮
󽜬 󽜾 󽞻
(i)
Từ (i) suy ra g
n – 1
(x) là hàm liên tục và g
n – 1
(0)
Xét 0 < x < 1. Khi đó (i) cho ta
2 4
1 1 1
( ) ( ) ( ( ))
n n n
g x g x g x
󽜮 󽜮 󽜮
󽜾 󽜮 󽜾 󽜮 󽜮
Suy ra
4

4 4
1 1 1
( ) ( ) ( )
n n n
g x g x g x
󽜮 󽜮 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾
Do đó
1 1
( ) (0) 0
n n
g x g
󽜮 󽜮
󽜾 󽜾
Tương tự xét x > 1. Khi đó (i) cho ta
VINAMATH.COM
24
VINAMATH.COM
1
4
1 1
( )
4 4
1 1 1
( ) ( ) ( )
n n n
g x g x g x
󽜮 󽜮 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾
Do đó

1 1
( ) (1) 0
n n
g x g
󽜮 󽜮
󽜾 󽜾
Vậy
1
( ) 0
n
g x
󽜮
󽜾
, 󰤁 x ≥ 0. Kết hợp với (i) ta được
1
( ) 0
n
g x
󽜮
󽞻
󰤁 x 󰤉 R. Lập luận
trên cho ta
1 2 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
n n
g x g x g x f x
󽜮 󽜮
󽜾 󽜾 󽜾 󽜾 󽜾
Kết luận :
f(x) ≡ 0, 󰤁 x 󰤉 R.

Bài toán 5. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện
2 2
2
2
1 1 1
2( 3)
x x x x
f f x
x x x
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜬 󽜬 󽜮 󽜬
󽜬 󽜾 󽜬 󽜬
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
, 󰤁 x ≠ 0 (5)
Giải.
Đặt
1
,
x t
x
󽜬 󽜾
|t| ≥ 2, thì
2
2
2 2
2
1
1
1

1
1
3 1
x x
t
x
x x
t
x
x t
x
󽜬 󽜬
󽜾 󽜬
󽜮 󽜬
󽜾 󽜮
󽜬 󽜬 󽜾 󽜬
Từ (5) suy ra
2
( 1) ( 1) 2( 1)f t f t t󽜬 󽜬 󽜮 󽜾 󽜬
, với | t | ≥ 2 (ii)
Sử dụng đẳng thức
2 2
( 1) ( 1) 2( 1)t t t󽜬 󽜬 󽜮 󽜾 󽜬
Ta có thể viết (ii) dưới dạng sau
2 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
f t f t t t󽜬 󽜬 󽜮 󽜾 󽜬 󽜬 󽜮
Hay
( 1) ( 1) 0g t g t󽜬 󽜬 󽜮 󽜾
(iii)

trong đó
2
( ) ( ) ,g t f t t󽜾 󽜮
| t | ≥ 1
Viết (iii) dưới dạng
( 2) ( )g t g t󽜬 󽜾 󽜮
(iv)
ta được g(t) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2. Vậy mọi nghiệm của (iv) có dạng
1
( ) [ ( ) ( 2)]
2
g t h t h t󽜾 󽜮 󽜬
trong đó h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn
( 4) ( )h t h t󽜬 󽜾
, 󰤁 t 󰤉 R
VINAMATH.COM
25