CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN ppt

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A. Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng

2
ax bx c 0
  

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và
a 0


II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai :
Phương trình bậc hai
2
ax bx c 0(a 0)
   


2
b 4ac
  
*) Nếu
0
 
phương trình có hai nghiệm phân biệt :

1 2
b b
x ; x

2a 2a
     
 
*) Nếu
0
 
phương trình có nghiệm kép :
1 2
b
x x
2a

 
*) Nếu
0
 
phương trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phương trình bậc hai
2
ax bx c 0(a 0)
   
và
b 2b '



2
' b' ac
  

*) Nếu
' 0
 
phương trình có hai nghiệm phân biệt :

1 2
b ' ' b ' '
x ; x
a a
     
 
*) Nếu
' 0
 
phương trình có nghiệm kép :
1 2
b '
x x
a

 

*) Nếu
' 0
 
phương trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - et và ứng dụng :
1. Nếu x
1

; x
2
là hai nghiệm của phương trình
2
ax bx c 0(a 0)
   
thì :

1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

  








2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình :

2
x Sx P 0

  

(Điều kiện để có u và v là
2
S 4P 0
 
)
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình
2
ax bx c 0(a 0)
   
có hai nghiệm :

1 2
c
x 1; x
a
 

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình
2
ax bx c 0(a 0)
   
có hai nghiệm :

1 2
c
x 1; x
a
   

V. Một số quy tắc, phép biến đổi :
- Quy tắc nhân, chia đa thức.
- Hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
- Phương pháp quy đồng mẫu thức của hai hay nhiều phân thức. Các phép tính cộng, trừ,
nhân, chia các phân thức đại số.
- Quy tắc biến đổi phương trình, bất phương trình.
- Khái niệm căn bậc hai và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.
- Phương pháp giải hệ phương trình.

B. Phương pháp học và làm
- Nắm được các đơn vị kiến thức cần nhớ.
- Khi làm bài tập cần đọc kĩ đề bài, xác định đúng dạng bài. Từ đó có phương pháp phù
hợp để giải.
C. Các dạng bài hay gặp trong bộ môn Toán
I. Phương trình bậc hai không có tham số (Bài tập về giải phương trình)
1. Phương trình bậc hai dạng khuyết :
a/ Phương trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất :
Phương pháp giải :
- Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.
- Chia cả hai vế cho hệ số bậc hai đưa về dạng : x
2
= a
+) a > 0 phương trình có nghiệm
x a
 
+) a = 0 phương trình có nghiệm x = 0
+) a < 0 phương trình vô nghiệm
b/ Phương trình bậc hai khuyết hạng tử tự do :

Phương pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân
tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải.
2. Phương trình bậc hai đầy đủ :
Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải.
- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với một số phương trình đặc biệt.
3. Phương trình đưa được về phương trình bậc hai :
a/ Phương trình trùng phương :
4 2
ax bx c 0(a 0)
   


Phương pháp giải : Đặt t = x
2
(
t 0

) đưa về dạng :
2
at bt c 0
  

b/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu :
Phương pháp giải :
- Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.
- Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
- Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
- Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện
xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

c/ Phương trình tích.
4. Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức nghiệm (áp dụng định lý Vi-et).
II. Phương trình bậc hai có tham số
1. Giải phương trình khi biết giá trị của tham số.
2. Tìm tham số biết số nghiệm của phương trình (có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm
kép, có nghiệm hoặc vô nghiệm).
3. áp dụng định lý Vi-et.
a/ Tìm tham số khi biết nghiệm của phương trình.
b/ Tìm tham số khi biết dấu của nghiệm (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương
hoặc cùng âm)
c/ Tìm tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm :
- Hệ thức đối xứng.
- Hệ thức không đối xứng.
d/ Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số.
e/ Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phương trình không phụ vào tham số.
f/ Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình.

D. Một số ví dụ
Bài 1. Giải các phương trình sau :
2
a / 2x 8 0
 

2
b / 3x 5x 0
 

2
c / 2x 3x 5 0
   

4 2
d / x 3x 4 0
  

3 2
e / x 3x 2x 6 0
   

x 2 6
f / 3
x 5 2 x

 
 

Giải
2 2 2
a / 2x 8 0 2x 8 x 4 x 2
        

Vậy phương trình có nghiệm
x 2
 

2
x 0
x 0
b / 3x 5x 0 x(3x 5)
5

3x 5 0
x
3





     


 




Vậy phương trình có nghiệm
5
x 0;x
3
 

2
c / 2x 3x 5 0
   

*) Cách 1 : Sử dụng công thức nghiệm :

2
3 4.( 2).5 9 40 49 0; 9

         

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt :

1 2
3 7 3 7 5
x 1; x
2.( 2) 2.( 2) 2
   
   
 

*) Cách 2 : Nhẩm nghiệm :

Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phương trình có nghiệm :
1 2
5 5
x 1; x
2 2
    


4 2
d / x 3x 4 0
  

Đặt
2
t x (t 0)
 

. Ta có phương trình :
2
t 3t 4 0
  

a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
=> phương trình có nghiệm :
1
t 1 0
 
(thỏa mãn);
2
4
t 4 0
1
    
(loại)

2
t 1 x 1 x 1
     

Vậy phương trình có nghiệm
x 1
 

3 2 3 2 2 2
2 2
e / x 3x 2x 6 0 (x 3x ) (2x 6) 0 x (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x 2) 0
x 3

x 3 0 x 3
x 2 0 x 2
x 2
                 
 
   

 
  

 
  
 
 


Vậy phương trình có nghiệm
x 3;x 2
   
x 2 6
f / 3
x 5 2 x

 
 
(ĐKXĐ :
x 2; x 5
 
)
Phương trình :

x 2 6
3
x 5 2 x

 
 

2 2
2
2
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
(x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x)
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
4 x 6x 3x 30 15x 6x 30
4x 15x 4 0
15 4.( 4).4 225 64 289 0; 17
    
  
     
       
       
    
         

=> phương trình có hai nghiệm :

1
15 17 1
x
2.( 4) 4

 
  

(thỏa mãn ĐKXĐ)

2
15 17
x 4
2.( 4)
 
 

(thỏa mãn ĐKXĐ)

Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m :
2
x mx m 3 0
   
(1)
a/ Giải phương trình với m = - 2.
b/ Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình. Tính
2 2 3 3
1 2 1 2
x x ; x x
 
theo m.

c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
2 2
1 2
x x 9
 
.
d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
= - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của
m.
Giải
a/ Thay m = - 2 vào phương trình (1) ta có phương trình :

2
2

x 2x 1 0
(x 1) 0
x 1 0
x 1
  
  
  
 

Vậy với m = - 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phương trình :
2
x mx m 3 0
   
(1)

2 2
m 4(m 3) m 4m 12
      

Phương trình có nghiệm
1 2
x ; x 0
  

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
1 2
1 2
x x m (a)
x x m 3 (b)

  


 


*)
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 2x x ( m) 2(m 3) m 2m 6
          

*)
3 3 3 3 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 3x x (x x ) ( m) 3(m 3)( m) m 3m 9m
             
c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm
1 2
x ; x 0
  


Khi đó
2 2 2
1 2
x x m 2m 6
   

Do đó

2 2 2 2
1 2
x x 9 m 2m 6 9 m 2m 15 0
         


2
(m) (m)
' ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; 4
          

=> phương trình có hai nghiệm :
1 2
1 4 1 4
m 5;m 3
1 1
 
    

Thử lại : +) Với
m 5 7 0
     
=> loại.
+) Với
m 3 9 0
     
=> thỏa mãn.
Vậy với m = - 3 thì phương trình có hai nghiệm x
1
; x

2
thỏa mãn :
2 2
1 2
x x 9
 
.
d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm
1 2
x ; x 0
  

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
1 2
1 2
x x m (a)
x x m 3 (b)
  


 


Hệ thức : 2x
1
+ 3x
2
= 5 (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình :

1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 2 1 2
x x m 3x 3x 3m x 3m 5 x 3m 5
2x 3x 5 2x 3x 5 x m x x 2m 5
           
   
  
   
        
   

Thay
1
2
x 3m 5
x 2m 5
  


 

vào (b) ta có phương trình :

2
2
2
2
(m)
( 3m 5)(2m 5) m 3
6m 15m 10m 25 m 3

6m 26m 28 0
3m 13m 14 0
13 4.3.14 1 0
    
      
    
   
    

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt :


1
2
13 1
m 2
2.3
13 1 7
m
2.3 3
 
  
 
  

Thử lại : +) Với
m 2 0
    
=> thỏa mãn.
+) Với

7 25
m 0
3 9

    
=> thỏa mãn.
Vậy với
7
m 2; m
3
   
phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Phương trình (1) có nghiệm
2
1
x 3 ( 3) m.( 3) m 3 0 2m 12 0 m 6
              

Khi đó :
1 2 2 1 2 2
x x m x m x x 6 ( 3) x 3
              

Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x
1
= x
2
= - 3.
f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
ac 0 1.(m 3) 0 m 3 0 m 3
          

Vậy với m < - 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :

1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x m m x x
x x x x 3
x x m 3 m x x 3
     
 
     
 
   
 

E. Các bài đã gặp trong các đề thi học kì lớp 9, tuyển sinh vào lớp 10 trong những
năm gần đây
1. Các bài tập trong tài liệu ôn thi vào lớp 10.
Bài 1. Giải các phương trình :
2
4 2
2
2
2
2
a / x 2 5x 4 0
b / x 29x 100 0
c / x 3x x 1 2 0
d / 11x 2 8x 9 18x 6 0
1 4
e / 4x 7 8x
x x
  
  
    
    
   

Bài 2. Cho phương trình x
2
+ px - 5 = 0 có nghiệm x
1
; x
2
.

Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau :
1
a / x

và
2
x


2
1
b / x
và
2
2
x

Bài 3. Cho phương trình :
2 2
x 3y 2xy 2x 10y 4 0 (1)
     
a/ Tìm nghiệm (x; y) của phương trình (1) thỏa mãn x
2
+ y
2
= 10.
b/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1).
Bài 4. Cho phương trình :
2

(x k 3) x 2(k 3)x 3k 9 0 (1)
 
      
 

a/ Giải phương trình (1) khi k = 3.
b/ Tìm các giá trị của k để phương trình (1) có hai nghiệm dương và một nghiệm âm.
Bài 5. Giải phương trình :
2 2
2 2 2
a / x 2x 1 x 2x 1 2
b / 6x 15x 2x 5x 1 1
c / 8x 8x 3 12x 12x 7 2( 2x 2x 1)
     
    
        

Bài 6. Cho phương trình ẩn x, tham số t :
2 2
x 2(t 1)x t 3 0 (1)
    
a/ Tìm t để phương trình (1) có nghiệm.
b/ Tìm t để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích hai
nghiệm.
Bài 7. Cho phương trình ẩn x, tham số m :
2
mx 5x (m 5) 0 (1)
   
a/ Giải phương trình (1) khi m = 5.
b/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

c/ Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
. Hãy tính theo m
giá trị của biểu thức
2 2
1 2 1 2
A 16x x 3(x x ).
    Tìm m để A = 0.
Bài 8. Cho phương trình ẩn x, tham số m :
2 2 3
(m 3)x 2(m 3m)x m 12 0 (1)
     

a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho
2 2
1 2
x x

là một số nguyên.
2. Các bài tập trong đề thi vào lớp 10 của Bắc Ninh.
Bài 1. (Bắc Ninh 1997 - 1998)
Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
2

2( 3) 2 7 0
x m x m
    
(1)
a/ Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là
1 2
;
x x
. Hãy tìm m để
1 2
1 1
1 1
m
x x
 
 

Bài 2. (Bắc Ninh 1998 - 1999)
1. Cho
1 1
;
2 3 2 3
a b 
 

a/ Hãy tính :
ab
và
a b

 .
b/ Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là
1 2
;
1 1
a b
x x
b a
 
 
.
2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
2
3 3 4 0
x mx m
   
(1)
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có hai nghiệm
phân biệt ?
b/ Hãy tìm m để phương trình (1) có một nghiệm
1
4 2 3
x   . Khi đó hãy tìm
nghiệm
2
x
của phương trình đó
Bài 3. (Bắc Ninh 1999 - 2000)
1. Cho biểu thức :
a b a b

P
ab b a ab a b b a
 

 
 
 
  
 
(với 0, 0,
a b a b
  
)

a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tính số trị của biểu thức P khi biết a và b là hai nghiệm của phương trình
2
8 4 0
x x
  
.
2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
2
2 0 (1)
x x m  
a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b/ Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) không thể có hai nghiệm cùng là
số âm.
c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1

, x
2
thỏa mãn x
1
- 2x
2
= 5.
Bài 4. (Bắc Ninh 1999 - 2000)
Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (a là tham số) :
2
2
3 2 0 (1)
1 0 (2)
x x a
x ax
   
  

a/ Giải các phương trình (1) và (2) trong trường hợp a = -1.
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai phương trình trên luôn có ít
nhất một trong hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Bài 5. (Bắc Ninh 2000 - 2001)
Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) :
2 2 2
( ) ( ) 0
x m n x m n
    
(1)
a/ Giải phương trình (1) khi m = n = 1.
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phương trình (1) luôn có nghiệm.

c/ Tìm m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình
2
5 0
x x
  
.
Bài 6. (Bắc Ninh 2001 - 2002)
Cho phương trình :
2
2( 1) 2 5 0
x m x m
    


a/ Giải phương trình khi
5
2
m


b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 7. (Bắc Ninh 2001 - 2002)
Cho phương trình bậc hai :
2 2
2( 1) 3 2 0
x m x m m
     
(1)
a/ Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn

2 2
1 2
12
x x
 
(Trong đó
1 2
,
x x
là hai nghiệm của
phương trình) ?

Bài 8. (Bắc Ninh 2002 - 2003)
Cho hai phương trình :
2
3 2 6 0 (1)
x x m   
và
2
2 10 0 (2)
x x m   
a/ Giải hai phương trình trên với m = - 3.
b/ Tìm các giá trị của m để hai phương trình trên có nghiệm chung.
c/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phương trình trên
có nghiệm.
Bài 9. (Bắc Ninh 2003 - 2004)
a/ Chứng minh rằng : Nếu phương trình bậc hai
2
0
ax bx c

  
có hai nghiệm là
1 2
,
x x
thì
1 2
b
x x
a
  
và
1 2
.
c
x x
a

.
b/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng - 5.
c/ Tìm số nguyên a để phương trình
2 2
7 0
x ax a
   
có nghiệm.

Bài 10. (Bắc Ninh 2004 - 2005)
Cho phương trình: x
2

- ( m + 1)x + m
2
- 2m + 2 = 0

1. Giải phương trình với m = 2
2. Tìm m để phương trình có nghiệm kép; vô nghiệm; có hai nghiệm phân biệt.
Bài 11. (Bắc Ninh 2005 - 2006)
Cho phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1) (m là tham số)
1) Giải phương trình (1) với m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
3) Với x
1
, x
2
là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức:
A = x
1
(1 - x
2
) + x
2
(1 - x
1
).
Bài 12. (Bắc Ninh 2006 - 2007)
Cho phương trình (ẩn x) : 2x
2
+ mx + m - 3 = 0 (1)

1) Giải phương trình (1) khi m = -1.
2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của m.
3) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
Bài 13. (Bắc Ninh 2007 - 2008)
Cho phương trình bậc hai
2 2
2(2 1) 3 4 0
x m x m
    
(x là ẩn) (1)
a/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Hãy tìm m để
1 2
2 2
x x
  

Bài 14. (Bắc Ninh 2008 - 2009)
Cho phương trình x
2
- 2x - 1 = 0 có hai nghiệm là x
1
, x
2

.
Tính giá trị của biểu thức :
2 1
1 2
x x
S
x x
 


Bài 15. (Bắc Ninh 2009 - 2010)
Cho phương trình :
2
( 1) 2( 1) 2 0
m x m x m
     
(1) (m là tham số).
a/ Giải phương trình (1) với m = 3.
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thỏa mãn :
1 2
1 1 3
2
x x
 
.
F. Tài liệu ôn thi đã đáp ứng được những dạng bài nào, ở mức độ khó dễ như thế

nào ?
- Tài liệu ôn thi đã cung cấp được một số đơn vị kiến thức cần nhớ, một số bài tập.
- Tuy nhiên có nhiều bài tập ở mức độ khó, dạng bài tập cơ bản chưa phong phú để học
sinh luyện tập.
G. Đề xuất
Năm tới, Sở soạn thảo một bộ tài liệu ôn tập riêng của Tỉnh, phù hợp với học sinh hơn.