skkn p dụng phép biến hình để giải toán tỉnh đồng nai

Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
ÁP DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở bậc trung
học cơ sở và trung học phổ thông có tác dụng phát triển tư duy hàm cho học sinh.
Đó là một phương thức tư duy đòi hỏi phải biết nhận thức các đối tượng toán học
trong sự chuyển động, thay đổi, phụ thuộc lẫn nhau và biết sự dụng các quan hệ
nhân quả ấy.
Hơn nữa, học sinh được học phép biến hình với những điểm, những hình,
liên hệ giữa ảnh và tạo ảnh, nghiên cứu các quan hệ biến thiên trong mối liên hệ
nhân quả, nghiên cứu hình học trong trạng thái động. Điều đó góp phần bồi dưỡng
quan điểm duy vật biện chứng cho học sinh.
Các phép biến hình còn mang lại một công cụ hiệu quả để giải quyết bài
toán, đặc biệt là loại toán dựng hình, tìm quỹ tích. Kiến thức về phép biến hình cần
thiết cho nhiều hoạt động thực tế cũng như cho một số ngành khoa học khác như
hội họa, kiến trúc và các ngành kĩ thuật.
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận:
Lịch sử hình thành khái niệm phép biến hình gắn liền với những giai đoạn khác
nhau của sự tiến triển trong quan niệm về các đối tượng hình học. Như chúng ta đã
biết, lí thuyết nhóm ra đời từ những nghiên cứu của Galois(1811-1832) về vấn đề
giải các phương trình đại số. Với khái niệm nhóm, Galois đã phân loại các phương
trình đại số và thiết lập nên những điều kiện để chúng có thể giải được bằng căn
thức. Chính từ công trình của Galois mà nhà toán Đức Felix Klein (1849-1925) đã
nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình. Trong tác phẩm
“chương trình Erlangen” xuất bản năm 1872 ông đã trình bày mỗi nhóm biến hình
trong hình học gắn liền với hình học của nhóm đó. Ở bậc trung học cơ sở học sinh
đã học các phép biến hình: đối xứng trục, đối xứng tâm, tuy nhiên chương trình
không giới thiệu các phép đối xứng trục, đối xứng tâm như các phép biến hình mà
chỉ được giới thiệu gắn với một số hình hình học: hình thang cân, hình bình hành,
hình chữ nhật, hình thoi, đường tròn, ở bậc trung học cơ sở biến hình không phải

1
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
là kiến thức trọng tâm, chưa được xem là công cụ giải toán. Ở bậc trung học phổ
thông, các phép biến hình trong mặt phẳng được trình bày ở lớp 11 gồm: các phép
dời hình (phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến), các phép
biến hình đồng dạng (phép vị tự, phép đồng dạng) với những định hướng chính:
loại những kiến thức không cơ bản, giảm những yếu tố kinh viện, học thuật và
tăng cường yếu tố thực hành, bỏ qua những chứng minh phức tạp, phương pháp
tiếp cận khái niệm đơn giản hơn, không dùng thuật ngữ biến hình định nghĩa khái
niệm mà sử dụng các thuật ngữ như ”phép đặt tương ứng, quy tắc…”
Khi nghiên cứu tính chất của phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến,
quay, vị tự, đồng dạng cần phải hình thành cho học sinh một số tri thức về phương
pháp để ứng dụng vào giải toán. Trong quá trình giải bài tập cần củng cố những tri
thức đó, đúc kết thành những phương pháp chung cho từng lớp bài toán. Chẳng
hạn:
- Muốn chứng minh sự bằng nhau của hai hình, thì có thể tìm một phép dời
biến hình này thành hình kia. Nếu chỉ cần chứng minh hai góc bằng nhau thì có thể
nghĩ đến cả phép đồng dạng.
- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng có thể chứng minh chúng là ảnh
của ba điểm thẳng hàng đã biết qua một phép biến hình nào đó, hoặc chứng minh
có một điểm là ảnh của điểm thứ hai qua một phép vị tự (mà đối xứng tâm được
xem là trường hợp đặc biệt) nhận điểm thứ ba làm tâm.
- Muốn chứng minh sự đồng quy của ba đường thẳng có thể tìm một phép
biến hình thích hợp nhận chúng làm ảnh của các đường thẳng đồng quy đã biết
hoặc tìm một phép vị tự có ba cặp điểm tạo ảnh -ảnh thuộc ba đường thẳng đang
xét.
- Muốn chứng minh sự song song của hai đường thẳng có thể tìm một phép
tịnh tiến hay phép vị tự biến đường thẳng này thành đường thẳng kia.
- Muốn tìm tập hợp các điểm M có tính chất nào đó ta tìm mối quan hệ ảnh-
tạo ảnh qua một phép biến hình giữa M với điểm A nào đó mà tập hợp các điểm A

đã biết (hoặc dễ tìm hơn). Tập hợp các điểm M sẽ là ảnh của tập hợp các điểm A
qua phép biến hình đã chọn.
2
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
- Để dựng hình H có thể dựng hình H’ thỏa mãn các điều kiện của bài toán,
trừ một điều kiện nào đó, rồi tìm phép biến hình biến hình H’ thành một hình H
thỏa mãn thêm điều kiện này.
Khi giải một bài toán bằng công cụ biến hình thì khâu khó nhất là lựa chọn
phép biến hình có thể sử dụng. Chính ở khâu này ta có thể rèn luyện tư duy logic
và tư duy hàm cho học sinh. Xuất phát từ giả thiết đã cho và yêu cầu của bài toán,
ta hướng dẫn học sinh tìm cách trả lời cho các câu hỏi: những yến tố nào có thể là
ảnh và tạo ảnh của nhau qua một phép biến hình nào đó, phép biến hình ấy có
những bất biến gì, trong bài toán cần giải các bất biến ấy được thể hiện ra sao,
chúng có quan hệ thế nào với điều cần giải quyết? Những câu hỏi đó sẽ giúp học
sinh tìm ra phép biến hình có thể sử dụng để giải toán.
2. Nội dung:
Ở dây ta chỉ xét những phép biến hình được nghiên cứu ở trường phổ thông:
phép dời hình và phép đồng dạng.
2.1. Định nghĩa phép dời hình
Quy tắc đặt tương ứng một điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định
duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
2.2.Tính chất của phép dời hình
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm: AB=A’B’ với mọi điểm A,B (A’,B’
là ảnh của A,B)
- Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng. Biến
đường thẳng d thành đường d’ song song hoặc trùng với nó.
- Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’, A’B’=AB, biến tam giác
ABC thành tam giác A’B’C’:
' ' 'ABC A B C

∆ = ∆

- Biến đường tròn (O, r) thành đường tròn (O’, r) với O’ là ảnh của O qua
phép biến hình.
- Biến hình H thành hình H’ bằng nó
- Biến góc thành góc bằng nó
2.3.Các phép dời hình trong mặt phẳng
3
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
a) Phép đối xứng trục:Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm
M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là
đường trung trực của đoạn thẳng MM’, được gọi là phép đối xứng qua đường
thẳng d hay phép đối xứng trục d. Kí hiệu Đ
d
, d gọi là trục đối xứng
- Biểu thức tọa độ: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Ox trùng với đường
thẳng d.
( ) ( , )' ' '
d
M Đ M x y==
với M(x,y) ta có
'
'
x x
y y
=


= −


b) Phép đối xứng tâm : Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành
chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn
thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I. Kí hiệu Đ
I
, I gọi là tâm đối xứng
- Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ O : Trong hệ tọa độ
Oxy cho M=(x ; y),
( ) ( ; )' ' '
O
M Đ M x y==
. Khi đó :
'
'
x x
y y
= −


= −


c) Phép tịnh tiến :
- Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ
v
r
. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M’ sao cho
'MM v=
uuuuur r

được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
v
r

- Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho
( ; )v a b=
r
,
' ( ) ( '; ')
v
M T M x y= =
r
với M(x;y). Khi đó
'
'
'
x x a
MM v
y y b
= +

= ⇔

= +

uuuuur r
d) Phép quay:
- Cho điểm O và góc lượng giác
α
. Phép biến hình biến O thành chính nó,

biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho OM’=OM và góc lượng giác
(OM; OM’) bằng
α
được gọi là phép quay tâm O góc
α
2.4.Khái niệm hai hình bằng nhau
Hai hình gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành
hình kia.
2.5.Định nghĩa phép đồng dạng:
Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với hai điểm
M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có:M’N’=kMN
4
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi

2.6.Tính chất:
- Bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa hai điểm.
- Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng. Biến
đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song hoặc trùng với d.
- Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’, A’B’=kAB
- Biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’:
' ' 'ABC A B C
∆ ∆
∽
- Biến đường tròn (O, r) thành (O’, kr) với O’ là ảnh của O
- Biến hình H thành hình H’ ,H’∽H
-Biến góc thành góc bằng nó
2.7. Phép vị tự:
Cho điểm O và số
0k
≠

. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho
' .OM k OM=
uuuuur uuuur
được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k
3. Sử dụng phép biến hình để giải các bài toán hình học
3.1. Xác định ảnh của một hình qua phép biến hình
Phương pháp chung
- Sử dụng định nghĩa
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép biến hình
- Sử dụng các tính chất của phép biến hình
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng
'∆
là ảnh của đường
thẳng
: 2 3 0x y∆ + − =
qua mỗi phép biến hình sau:
a) Phép tịnh tiến theo vectơ
(3; 2)v = −
r

b) Phép đối xứng tâm I với
(2; 1)I −

c) Phép đối xứng trục d với
: 3 0d x y− − =

Giải:
a) Cách 1:
'∆

là ảnh của
∆
qua phép tịnh tiến vectơ
(3; 2)v = −
r
nên phương trình
'∆
có
dạng
2 0x y c+ + =
.Lấy
(1;1)M ∈∆
.Gọi M’(x;y) là ảnh của M qua
v
T
r
, khi đó
1 3 4
'
1 2 1
x x
MM v
y y
− = =
 
= ⇔ ⇔
 
− = = −
 
uuuuur r

Vậy
'(4; 1), '(4; 1) 'M M− − ∈∆
nên
2c = −
.Vậy
': 2 2 0x y∆ + − =

Cách 2: Gọi
'( '; ')M x y
là ảnh của
( ; )M x y
qua
v
T
r
. Khi đó
' 3 ' 3
' (*)
' 2 ' 2
x x x x
MM v
y y y y
= + = −
 
= ⇔ ⇔
 
= − = +
 
uuuuur r
Thay

(*)
vào phương trình của
∆
ta được
' 3 2( ' 2) 3 0 ' 2 ' 2 0x y x y− + + − = ⇔ + − =

Vậy phương trình đường thẳng
': 2 2 0∆ + − =x y

5
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Cách 3:Lấy hai điểm A, B phân biệt trên đường thẳng
∆
, ta tìm tọa độ các ảnh A’,
B’ tương ứng của chúng qua
v
T
r
, khi đó
'∆
là đường thẳng A’B’
b)
'∆
là ảnh của
∆
qua Đ
I
nên phương trình
'∆
có dạng

2 0x y c+ + =
. Lấy
(1;1)M ∈∆
.Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua Đ
I
, khi đó
' 1
2
' 3
2
' 1 ' 3
1
2
x
x
y y
+

=

=


⇔
 
+ = −


− =



Vậy
'(3; 3)−M
.
' 'M ∈∆
nên
3 2( 3) 0 3c c+ − + = ⇔ =

Vậy phương trình
': 2 3 0x y∆ + + =

c) Ta có
∆
cắt d tại
(3;0)I
.Lấy
(1;1)M ∈∆
.Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
d ta có
: 0, 1 1 0 2⊥ ⇒ + + = ∈ ⇔ + + = ⇒ = −MH d MH x y c M MH c c

Vậy phương trình
: 2 0MH x y+ − =
. Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:
5
3 0
2
2 0 1
2
x

x y
x y
y

=

− − =


⇔
 
+ − = −


=


. Vậy
5 1
( ; )
2 2
H −

Gọi M
1
là điểm đối xứng của M qua d, suy ra H là trung điểm MM
1
1
(4; 2)M⇒ −

Đường thẳng
'∆
đi qua
(3;0)I
và
1
(4; 2)M −
có phương trình
2x 6 0y+ − =

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn
( )C
có phương trình:
2 2
2x 2 2 0x y y+ − − − =
. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua
phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay
45
0
và phép vị tự tâm O tỉ số
2k =

Giải:
Đường tròn (C) có tâm
(1;1)I
, bán kính
2R =

Gọi I
1

là ảnh của I qua phép quay tâm O, góc quay 45
0
thì
1
(0; 2)I

Gọi
'I
là ảnh của I
1
qua phép vị tự tâm O, tỉ số
2k =
khi đó
1
' 2 '(0;2)= ⇒
uuur uur
OI OI I

Do đó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O
góc quay 45
0
và phép vị tự tâm O tỉ số
2k =
thì I có ảnh là
'(0;2)I

Gọi
( ')C
là ảnh của
( )C

qua phép đồng dạng nói trên thì
( ')C
có tâm
'I
và bán kính
' 2 2R k R= =
. Vậy phương trình
2 2
( ') : ( 2) 8+ − =C x y

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình
5x 3 15 0y− + =
.Hãy
viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O, góc quay 90
0

Giải :
Cách 1: Phép quay tâm O, góc quay 90
0
biến đường thẳng d thành đường thẳng d’
có phương trình
3x 5 0y c+ + =
. Lấy
(0;5)M d∈
.Khi đó đường thẳng d’ đi qua ảnh
'( 5;0)M −
của M qua
0
( ;90 )O
Q

' ' 3( 5) 5.0 0 15M d c c∈ ⇒ − + + = ⇔ =
. Vậy phương trình
d ': 3x 5 15 0y+ + =

Cách 2: Đường thẳng d qua
(0;5), ( 3;0)A B −
.
0 0
( ;90 ) ( ;90 )
( ) '( 5;0); ( ) '(0; 3)
O O
Q A A Q B B= − = −
Đường thẳng d’ là đường thẳng
A' 'B
có phương trình
3x 5 15 0y+ + =

6
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình
2x+ 4 0y − =
. Hãy
viết phương trình đường thẳng d
1
là ảnh của d qua phép vị tự tâm I (-1;2), tỷ số
2k = −

Giải
Cách 1: d

1
là ảnh của d qua
( ; 2)I
V
−
nên phương trình đường thẳng d
1
có dạng
2x 0y c+ + =
.
Lấy
A(0;4) d∈
. Gọi
( ; 2)
'( '; ') ( )
−
=
I
A x y V A
ta có :
' 3
' 2
' 2
x
IA IA
y
= −

= − ⇔


= −

uuur uur
Vậy
A'( 3; 2)− −

Do
1
A'( 3; 2) 2( 3) 2 0 8− − ∈ ⇒ − − + = ⇒ =d c c
Vậy
1
d : 2x 8 0y+ + =

Cách 2 : Gọi
'( '; ')M x y
là ảnh của
( ; )M x y
qua
( ; 2)I
V
−
ta có
' 3
' 1 2( 1)
2
' 2
' 2 2( 2) ' 6
2
x
x

x x
IM IM
y y y
y
+

= −

+ = − +


= − ⇔ ⇔
 
− = − − −


= −


uuuur uuur

Điểm M thuộc d nên
' 3 ' 6
2 4 0 2x ' ' 8 0
2 2
x y
y
+ −
 
− − − = ⇔ + + =

 ÷
 
Vậy
1
d : 2x 8 0+ + =y

Cách 3 : Lấy M, N bất kỳ trên d. Tìm ảnh của M’, N’ qua phép vị tự tâm I, tỷ số -2.
Khi đó d’ là đường thẳng M’N’
3.2 Sử dụng phép biến hình để giải các bài toán quỹ tích
Giả sử cần tìm quỹ tích những điểm M có tính chất
α
. Từ các dữ kiện của
bài toán ta cần xem xét điểm M là ảnh của một điểm chuyển động N nào đó qua
một phép biến hình
f
(M=
f
(N)). Nếu N thuộc vào một hình H thì
'M H∈
là ảnh
của H qua phép biến hình đó.
Sử dụng phép biến hình giải bài toán quỹ tích cần chú ý hướng dẫn học sinh
lựa chọn các phép biến hình.
Phép biến hình được sử dụng để giải toán quỹ tích khi trong giả thiết của bài
toán quỹ tích điểm cần tìm thuộc vào điểm chuyển động trên một tập hợp xác
định.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
7
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Bài 1: Cho nửa đường tròn (O, R), đường kính AB cố định. Điểm C di động

trên nửa đường tròn. Dựng về phía ngoài đường tròn (O, R) hình vuông BCDE.
Tìm quỹ tích điểm E
Giải
Vì BCDE là hình vuông nên BC=BE,
µ
0
90B =

Xét phép quay
0
( ; 90 )B
Q
−
:
B Ba


C Ea
Mà
»
C AB∈
do đó
¼
'E A B∈
là ảnh
của
»
AB
qua
0

( ; 90 )B
Q
−
Bài 2: Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên
đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D.
Giải
Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho AM=AB=AD
Khi đó, ta có
2
2
AM AB
AC AC
= =

Ngoài ra,
( ) ( )
0 0
, 45 , , 45AM AB AM AD= = −

Suy ra phép vị tự V tâm A, tỉ số
2
2
k =
biến điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A, góc quay 45
0
biến điểm M
thành điểm B. Vậy nếu gọi F là phép hợp thành của V và Q thì F biến C thành B.
Vì quỹ tích của điểm C là đường tròn (O), nên quỹ tích của B là ảnh của đường
tròn đó qua phép đồng dạng F. Đường tròn quỹ tích B có thể xác định như sau:
Gọi AR là đường kính của đường tròn (O) và PQ là đường kính của đường tròn

(O) vuông góc với AR(ta kí hiệu các điểm P,Q sao cho (AR,AP)=45
0
). Khi đó ta
thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích điểm B là đường tròn
đường kính AP. Tương tự ta có quỹ tích điểm D là đường tròn đường kính AQ.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) (R>R’) tiếp xúc trong tại A.
Đường kính AB của (O) cắt (O’) tại điểm C khác A. Đường thẳng d di động qua A
cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N. Tìm tập hợp các giao điểm I của CM và BN
Giải
8
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Ta có
·
·
0
90ANC AMB= =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên CN//MB
' '
'
IC NC AC R CI R
k
IM MB AB R CM R R
⇒ = = = ⇒ = =
+
(không đổi)
Vì
,CM CI
uuuur uur
cùng hướng nên
CI kCM=

uur uuuur
. Vậy I là ảnh của M
qua phép vị tự tâm C, tỉ số
'
'
R
k
R R
=
+
. Ta lại có tập hợp
điểm M là đường tròn (O) (bỏ điểm A),
nên tập hợp điểm I là đường tròn (O
1
) là ảnh
của (O) qua
( )
;C k
V
, bỏ đi điểm
( ; )
' ( )
C k
A V A=

Bài 4:Cho hai điểm M và N chuyển động trên đường thẳng chứa cạnh AB của tam
giác ABC sao cho MN=AB, tia MN và tia AB cùng chiều. Gọi D và E lần lượt là
hình chiếu của M lên BC và của N lên CA. Gọi S là trung điểm của AN và O là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE. Chứng minh rằng
a/ OS có độ dài không đổi

b/ O thuộc một đường thẳng cố định
Giải
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
Ta có
MN AB MB BN AM MB BN AM v= ⇒ + = + ⇒ = =
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r

Xét phép tịnh tiến
v
T
r
, ta có:
:
v
T A M
r
a


B Na

Mà AH//MD, BH//NE nên
v
T
r
biến đường
thẳng AH thành MD, biến BH thành NE.
Do đó
v
T

r
biến H thành giao điểm K
của MD và NE. Vậy
HK v AM MK AH= = ⇒ =
uuur r uuuur uuuur uuur
Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE có đường kính CK nên có tâm O là trung
điểm của đoạn CK.
Mà S là trung điểm của AN nên cũng là trung điểm của BM. Vậy
( ) ( )
1 1
2 2
SO BC MK BC AH= + = +
uuur uuur uuuur uuur uuur
không đổi. Do đó SO có độ dài không đổi. Đặt
9
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
( )
1
2
w BC AH= +
ur uuur uuur
. O là ảnh của S qua phép tịnh tiến
w
T
ur
. Do đó O thuộc đường thẳng
∆
cố định là ảnh của AB qua
w
T

ur
Bài 5: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định. Tìm tập hợp trực tâm H của
tam giác khi đỉnh A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Có thể hướng dẫn học sinh giải bằng những câu hỏi như: H thuộc ba đường cao
của tam giác vậy H có quan hệ gì với các đỉnh của tam giác ABC? B,C cố định
nên vị trí của H phụ thuộc vào vị trí của A. Quỹ tích của điểm A đã biết(là đường
tròn tâm O). Vậy để giải bài toán cần phải tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh giữa H và
A. H và A có thể liên hệ với nhau qua phép biến hình nào?
Đối với bài tập này, ta có các cách giải sau
- Sử dụng phép đối xứng trục
Gọi H’ là giao điểm của AH với đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆

Ta có
µ
µ
1 1
A C=
(cùng phụ với góc B)
µ
¶
1 2
A C=
(cùng chắn cung
¼
'BH
)
⇒
µ

¶
1 2
C C=

Từ đây suy ra H là ảnh của H’ qua phép đối xứng trục BC.
Khi A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
thì H’
cũng di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
.
Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn (O’) là ảnh của
đường tròn (O) ngoại tiếp
ABC∆
qua phép đối xứng trục BC.
Từ những yếu tố cố định đã cho có thể tìm thêm những yếu tố cố định nào
khác để tìm mối liên hệ giữa A và H? Trả lời cho câu hỏi này sẽ dẫn đến chỗ kẻ
các đường kính BB’ (hoặc CC’), AA’ và lấy trung điểm I của đoạn thẳng BC. Các
yếu tố mới tạo nên có cho biết gì về mối liên hệ giữa H và A không? Và từ đường
kính AA’ sẽ có thêm một số góc vuông mà giả thiết ban đầu đã có ba đường cao,
vì thế còn có thêm những cặp đoạn thẳng song song , rồi còn có hai trung điểm I
và O. Trong các yếu tố mới vẽ thêm chỉ có A’ thay đổi khi A thay đổi. Nhưng quỹ
tích điểm A’ là đường tròn nên còn có thể tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh giữa H và
A’. Cứ phân tích như vậy sẽ dẫn đến chỗ tìm ra phép đối xứng tâm I biến A’ thành
10
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
H (I là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành A’BHC) và phép tịnh tiến
theo vectơ
2OI

uur
biến A thành H. Như thế đã có thể giải bài toán bằng hai cách nữa:
- Sử dụng phép đối xứng tâm
Kẻ đường kính AA’. Dễ thấy A’B//HC, BH//A’C nên tứ giác A’BHC là hình bình
hành, suy ra H và A’ đối xứng với nhau qua trung điểm I của đoạn thẳng BC. Khi
A di chuyển trên đường tròn (O) thì A’ cũng di chuyển trên đường tròn (O) và do
đó H di chuyển trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng
tâm I.
- Sử dụng phép tịnh tiến
Kẻ đường kính AA’, gọi I là trung điểm đoạn thẳng BC.
Tứ giác A’BHC là hình bình hành nên I là
trung điểm đoạn A’H.
Trong
∆
AHA’ thì OI là đường trung bình nên OI//AH
và
1
2
OI AH=
hay
2AH OI=
uuur uur
. Chứng tỏ H là ảnh của A
qua phép tịnh tiến theo vectơ
2OI
uur
. Vậy khi A di
chuyển trên đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC thì H di chuyển

trên (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ
2OI
uur
.
Qua bài toán trên, ta thấy tập hợp của trực tâm H cũng là
đường tròn ngoại tiếp
∆
HBC. Như vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là ảnh
của đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC hoặc qua phép đối xứng trục BC, hoặc qua phép
đối xứng tâm I là trung điểm cạnh BC hoặc qua phép tịnh tiến theo vectơ
2OI
uur
.
Tương tự, ta có đường tròn ngoại tiếp
∆
HAB là ảnh của đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC qua phép đối xứng trục AB, hoặc qua phép đối xứng tâm J là trung điểm của
AB và đối với đường tròn ngoại tiếp
∆
HCA cũng tương tự.
Bài 6: Cho
∆
ABC đều. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong tam giác sao cho

2 2 2
MA MB MC
+ =

Giải
∆
ABC đều nên
BA BC
=
và
·
0
60ABC =
, xét phép quay
( )
0
; 60B
Q
−
:
'M Ma

A Ca
11
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Do đó MA=M’C, BM=BM’
⇒
BM=MM’ . Vì
2 2 2 2 2
' 'M M M C MB MA MC+ = + =
nên
∆
MM’C vuông tại M’.
Từ đó suy ra

·
0
' 150BM C =

∆
AMB=
∆
CM’B, suy ra
·
0
150AMB =
. Chứng tỏ
M thuộc cung chứa góc 150
0
dựng trên dây AB.
Tập hợp các điểm M là cung 150
0
nằm trong
∆
ABC dựng trên dây AB, trừ hai điểm A,B
Nếu M là điểm thuộc cung đó, thì phép quay
( )
0
; 60B
Q
−
biến M thành M’ và
cung
¼
AMB

thành cung
¼
'CM B
có số đo 150
0
. Vì tam giác BMM’ đều, do đó
·
0 0 0
' 150 60 90MM C = − =
. Tam giác MM’C vuông tại M’, do đó
2 2 2
' 'M M M C MC+ =
. Do MA=M’C, MM’=MB nên
2 2 2
MA MB MC
+ =

3.3. Sử dụng phép biến hình để giải bài toán dựng hình
Giả sử trong một bài toán dựng hình cần dựng một điểm M nào đó. Trong
bước phân tích ta xem xét M là ảnh của một điểm N qua một phép biến hình , do
đó việc dựng điểm M đưa về dựng ảnh của điểm N trong phép biến hình đó. Cách
thứ hai xác định điểm M thuộc một đường (C ) và thỏa mãn một tính chất T nào
đó. Khi đó ta cần dựa vào tính chất T để thấy rằng M sẽ là ảnh của một điểm N
nào đó qua một phép biến hình
f
hoàn toàn xác định, trong khi đó N thuộc một
đường (H) hoàn toàn xác định. Vậy điểm M thuộc đường (H ‘ ) là ảnh của (H )
qua
f
, do đó M là giao điểm của (H ’ ) và (C )

Bài 1: Cho hai đường tròn đồng tâm (O, R) và (O, r) với r<R và một điểm A
cho trước trên (O, r). Hãy dựng qua A một đường thẳng xy cắt (O, r) tại B, cắt
(O,R) tại C,D, theo thứ tự C,A,B,D sao cho CA=AB=BD
Giải
- Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng xy thỏa đề. Chỉ cần xác
định một trong ba điểm B (hoặc C), (hoặc D); chẳng hạn cần dựng điểm
D, một mặt D thuộc (O; R), mặt khác AD=2AB
2AD AB⇒ =
uuur uuur
do đó
( ;2)
( )
A
D V B=
mà B thuộc (O; r) nên D thuộc (O’; 2r) với
( )
;2
' ( )
A
O V O=
, từ
đó suy ra cách dựng
12
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
- Cách dựng:
• Dựng
( )
;2
' ( )
A

O V O=
• Vẽ (O’; 2r)
• Dựng
( ) ( )
; ';2= ID O R O r

• Dựng đường thẳng xy qua A, D. Ta có đường thẳng xy cần dựng.
- Chứng minh: Gọi
( ; )B O r xy= I
,
( ; ) ( )C O R xy C D= ≠I
. Chứng minh
AC=AB=BD
Thật vậy, xét phép vị tự
( ;2)
:
A
V B Da
, suy ra AD=2AB nên
AB+BD=AD=2AB
AB BD⇒ =

Kẻ
,( ).⊥ ∈ ∆OH xy H xy OAB
cân tại O
HA HB
⇒ =
tương tự HC=HD
⇒
HC-HA=HD-HB

⇒
CA=BD
- Biện luận:
• Nếu OO’=R-2r
3r R⇔ =
, bài toán có một nghiệm hình
• Nếu R<3r, bài toán có hai nghiệm hình
• Nếu R>3r, bài toán không có nghiệm
Bài 2: Cho đường thẳng d và hai đường tròn (O), (O’) nằm về hai phía đối
với d. Hãy dựng hình vuông ABCD sao cho đường chéo BD nằm trên d, đỉnh A
nằm trên đường tròn (O), đỉnh C nằm trên đường tròn (O’)
- Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vuông thỏa yêu cầu, A và C đối xứng
nhau qua đường thẳng d, xét phép đối xứng trục d biến A thành C và biến đường
tròn (O) thành đường tròn (O’’) đi qua C. Vì vậy C là điểm chung của hai đường
tròn (O’) và (O’’). Mặt khác AC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình
vuông, do đó B,D là giao điểm của đường tròn đường kính AC và đường thẳng d
- Cách dựng:
• Dựng đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng
trục d.
Gọi C là giao điểm của (O’’) và (O’)
• Dựng ảnh của C qua phép đối xứng trục d. Đó chính là điểm A.
• Dựng đường tròn đường kính AC.
13
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Gọi B,D là giao điểm của đường tròn đó với d,
ABCD là hình vuông phải dựng.
- Chứng minh: Theo cách dựng, điểm C
thuộc (O’’) nên ảnh A của C qua phép đối xứng
trục Đ
d

thuộc (O). Tứ giác ABCD có hai đường
chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung
điểm mỗi đường, do đó ABCD là hình vuông.
- Biện luận: số nghiệm hình bằng số giao điểm
của đường tròn (O’) và (O’’). Nếu hai đường tròn đó trùng nhau
thì bài toán có vô số nghiệm
Bài 3: Cho ba đường thẳng song song a,b,c. Hãy dựng một tam giác đều
ABC có đỉnh A thuộc a, đỉnh B thuộc b và đỉnh C thuộc c
Giải
- Giả sử a, b, c song song với nhau (b ở giữa a và c) và ta dựng được tam
giác đều ABC như hình bên. Ta có phép quay tâm A, góc 60
0
biến B
thành C, nên C là giao điểm của c với b’ là ảnh của b qua phép quay
( )
0
;60A
Q

- Cách dựng:
• Dựng điểm A thuộc a
• Dựng
( )
0
;60
' ( )
A
b Q b=

• Dựng giao điểm C của c và b’

• Dựng điểm
( )
( )
0
; 60A
B Q C
−
=
.
Ta được tam giác ABC là tam giác đều cần dựng.
- Chứng minh: Ta có
AB AC
=
và
·
0
60BAC =
nên tam giác ABC đều
- Biện luận: Bài toán có vô số nghiệm hình.
Bài 4: Cho tam giác ABC. Hãy dựng đường thẳng d song song với BC sao
cho d cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại M, N và AM=CN
Giải
14
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
- Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài
toán. Khi đó nếu gọi
( )
NM
K T C=
uuuur

thì tứ giác NMKC là hình bình hành nên
MK=CN=AM
AMK⇒ ∆
cân tại M
·
·
MAK MKA⇒ =
. Mặt khác:
·
·
·
·
MKA KAC MAK KAC AK= ⇒ = ⇒
là tia phân giác của góc BAC.Vì
MN//BC nên K nằm trên BC. Vậy K là chân đường phân giác trong của
góc BAC.
- Cách dựng:
• Dựng đường phân giác Ax của góc BAC
• Dựng giao điểm K của BC và Ax
• Dựng M trên AB sao cho MK//AC
• Dựng N thuộc cạnh AC sao cho MN//BC
Khi đó đường thẳng d qua M, N là đường thẳng cần dựng.
- Chứng minh: Ta có d//BC
Theo cách dựng thì
·
·
MAK KAC=
, mà
·
·

MKA KAC=
nên
·
·
MAK MKA=
nên
AM=MK .Mặt khác tứ giác MNCK là hình bình hành nên MK=CN từ đó
suy ra AM=CN. Vậy d là đường thẳng cần dựng.
- Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình
Bài 5: Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b, một điểm C. Tìm trên a,b các
điểm A,B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A.
Giải
- Giả sử đã dựng được hai điểm A,B thỏa mãn điều kiện đề bài, ta thấy
·
0
45ACB =
,
2
CB
CA
=

⇒
B là ảnh của A qua phép đồng dạng F có được bằng cách
thực hiện liên tiếp phép quay tâm C, góc quay -45
0
, phép vị tự tâm C tỉ số
2
.
Gọi a’’ là ảnh của a qua phép đồng dạng F. Ta có B là giao điểm của b và a’’.

- Cách dựng:
• Dựng a’ là ảnh của a qua phép quay tâm C, góc quay -45
0
.
• Dựng a’’ là ảnh của a’ qua phép vị tự tâm C tỉ số
2
.
15
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
B là giao điểm của a’’và b
• Dựng B’ là ảnh của B qua phép quay
tâm C, góc quay 45
0
.
• Dựng A là ảnh của B’ qua phép
vị tự tâm C, tỉ số
1
2

Theo cách dựng trên cặp điểm A,B là duy nhất.
3.4. Sử dụng phép biến hình giải bài toán cực trị
Bài 1 :Cho tam giác ABC. Tìm trên mặt phẳng chứa tam giác điểm M trong
tam giác sao cho tổng MA+MB+MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
- Xét phép quay
( )
0
;60B
Q
. Gọi

( )
( )
0
;60
'
B
M Q M=
,
( )
( )
0
;60
'
B
C Q C=
suy ra
M’C’=MC. Phép quay tâm B, góc quay
α
=60
0
nên
∆
BMM’ đều
⇒
MM’=BM
nên MA+MB+MC=AM+MM’+M’C’ (hình 1)
C cố định nên C’ cố định. Với mọi điểm M, M’
luôn có
' ' ' 'AM MM M C AC+ + ≥
. Dấu đẳng thức xảy ra

khi A,M,M’,C’ thẳng hàng.
Vậy min(MA+MB+MC)=AC’
- Ta xác định vị trí điểm M: Giả sử M là
điểm thỏa AM+MM’+M’C’=AC’
(hình 2). Do
α
=60
0
nên góc giữa hai đường thẳng MC và M’C’ bằng 60
0
hay
·
0
' 60CMC =

'BMM∆
đều nên
·
·
0 0
' 60 120BMB BMC= ⇒ =
, mặt khác
·
·
0 0
180 ' 120AMB BMM= − =
, do đó
·
0
120AMC =

.
Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của ba cung chứa
góc 120
0
dựng trên các cạnh AB. BC, CA
của tam giác ABC
- Ta có thể dựng điểm M như sau:
• Về phía ngoài
∆
ABC dựng tam giác đều BCC’
( )
( )
0
;60
'
B
C Q C⇒ =
• Dựng đường tròn (C) ngoại tiếp
∆
BCC’
16
Hình 1
Hình 2
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
• AC’ cắt (C) tại M . Ta có M là điểm cần tìm
Hoặc có thể dựng điểm M bằng cách sau : Về phía ngoài
∆
ABC dựng các
tam giác đều BCC’, AB’B, ACA’ thì các đường thẳng AC’, CB’, BA’ đồng quy.
Điểm đồng quy là điểm cần tìm.

Trong lịch sử toán học, bài toán này do nhà toán học người Pháp Pierre
Fermat (1601-1665)đưa ra cho các nhà toán học đương thời. Cách xác định điểm
M đơn giản là dựng về phía ngoài tam giác ABC, ba tam giác đều ABC’, ACB’,
BCA’ . Ba đường thẳng AA’,BB’, CC’ đồng quy tại điểm M cần tìm.Cách giải đơn
giản này lần đầu tiên do Evanglista Torricelli (1608- 1647), nhà vật lí, nhà toán
học Italia, giáo sư trường Đại học Florence tìm ra nhưng mãi đến năm 1659, sau
khi ông mất, một học trò của ông là Vivianni mới công bố.
·
·
·
AMB BMC CMA= =
nghĩa là M nhìn các đoạn thẳng AB, BC, CA dưới các
góc bằng nhau và bằng 120
0
và điểm M được gọi là tâm đẳng giác của tam giác
ABC. Ta có thể dựng điểm M bằng cách lấy giao điểm của ba cung chứa góc
120
0
dựng trên các cạnh AB, BC, CA.
Bài 2 : Cho trước một điểm A và đường thẳng d không đi qua A. Trên d ta
đặt một đoạn thẳng BC
a=
(a là độ dài cho trước). Tìm vị trí của đoạn BC để
AB+AC nhỏ nhất
Giải
Thực hiện phép tịnh tiến
u
T
r
, phương của

u
r
song song với d,
u a=
r
. Phép tịnh tiến
u
T
r
biến B thành C, A thành A’ nên AB=A’C, khi đó
AB+AC=A’C+AC. Thực hiện phép đối xứng
trục Đ
d
biến A’ thành A’’, A’ cố định nên A’’
là điểm cố định và
''AA b=
là một số không đổi.
Ta có CA’+AC=CA’’+AC
b
≥
. Dấu ‘’=’’trong bất đẳng thức
xảy ra khi C là giao điểm của
''AA
với d. Vậy AB+AC nhỏ nhất khi
C là giao điểm của d và
''AA
, B là ảnh của C qua phép tịnh tiến
u
T
−

r

Bài 3 : Hai làng nằm ở vị trí A và B cách nhau một con sông( xem hai bờ
con sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một cái cầu MN
bắc qua sông (cố nhiên cầu phải bắc vuông góc với bờ sông) và đắp hai đoạn
17
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
đường thẳng từ A đến M và từ B đến N. Hãy xác định vị trí cây cầu MN sao cho
khoảng cách AM+BN ngắn nhất.
Giải
Kí hiệu a, b là hai bờ sông
- Trường hợp 1 : Coi con sông rất hẹp.
Bài toán trở thành :
Cho hai điểm A,B nằm ở hai phía khác nhau so với
đường thẳng a. Tìm vị trí M trên a để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M
là giao điểm của AB với a
- Trường hợp 2 : a//b
Nhận xét : a,b cố định
MN⇒
uuuur
cố định.
( )
' '
MN
T A A A N AM= ⇒ =
uuuur
. Ta có
AM+BN=A’N+NB=A’B
Dựng
( )

' =
uuuur
MN
A T A
. Nối A’ với B cắt b tại N.
Từ N hạ đường thẳng vuông góc với a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu.
3.5. Sử dụng phép biến hình để giải các dạng toán khác
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC=a. Từ A kẻ các
đường thẳng
AE BC
⊥
và
AF CD
⊥
(
,E BC F CD∈ ∈
). Tính khoảng cách từ A đến
trực tâm H của tam giác AEF biết EF=b (b<a)
Giải
Vì
AF CD⊥
,
AF EH⊥
nên DC//EH hay FC//EH. Tương tự ta có FH//CE
⇒
FCEH
là hình bình hành.
Phép tịnh tiến
:
FC

T F C
uuur
a

H Ea

'A Aa

Suy ra AH=A’E. Tứ giác AA’CF là hình chữ nhật nên AC=A’F=a.
∆
A’EF vuông
tại E (vì AH//A’E,
AH EF⊥
), ta có
2 2 2 2
' 'A E A F EF a b= − = −
. Vậy
2 2
'AH A E a b= = −

18
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Bài 2 : Cho hai phép vị tự V
1
có tâm O
1
, tỉ số k
1
và V
2

có tâm O
2
tỉ số k
2
.
Gọi F là hợp thành của V
1
và V
2
. Chứng minh rằng F là một phép vị tự nếu k
1
.k
2
≠
1. Hãy xác định tâm và tỉ số của phép vị tự đó. Áp dụng : Cho tam giác ABC. M,
N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. S là điểm thay đổi trên
đường tròn (ABC). Gọi I,J,K lần lượt là điểm đối xứng của S qua M,N,P. Hãy tìm
phép vị tự biến A, B, C lần lượt thành I,J,K
Giải
Lấy một điểm M bất kì, nếu V
1
biến M thành M
1
và V
2
biến M
1
thành M
2
thì

1 1 1 1
O M k O M=
uuuuur uuuur
và
2 2 2 2 1
O M k O M=
uuuuuur uuuuur
. Khi đó, phép hợp thành F biến M thành M
2
. Gọi I
là ảnh của O
1
qua phép vị tự V
2
, tức là
2 2 2 1
O I k O O=
uuur uuuuur
. Khi đó
2 2 1 1 1 2 1
IM k O M k k O M= =
uuuur uuuuur uuuur

Nếu k
1
.k
2
≠
1ta chọn điểm O
3

sao cho
3 1 2 3 1
O I k k O O=
uuur uuuur
.
Khi đó
3 2 3 2 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3
O M O I IM k k O O k k O M k k O M= + = + =
uuuuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuuur
.
Vậy F là phép vị tự tâm O
3
, tỉ số k
1
k
2
.
Tâm O
3
của phép vị tự đó được xác định
bởi đẳng thức
3 1 2 3 1
O I k k O O=
uuur uuuur
hay
3 1 1 2 2 1 2 3 1
O O O O O I k k O O+ + =
uuuur uuuuur uuur uuuur
suy ra
( )

1 2 2 2 1 1 2 1 3
1O O k O O k k O O+ = −
uuuuur uuuuur uuuur
. Do
đó
2
1 3 1 2
1 2
1
1
k
O O O O
k k
−
=
−
uuuur uuuuur
(Tâm của ba phép vị tự V
1
, V
2
và F là ba điểm thẳng hàng O
1
,
O
2
, O
3
)
Áp dụng : Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có

1
, 2
2
GM GA SI SM
−
= =
uuuur uuur uur uuur
nên
phép vị tự V tâm G, tỉ số
1
2
−
biến điểm A thành điểm M và
( )
;2S
V
biến điểm M
thành điểm I
Tương tự
1
;
2
:
G
V B N
−
 
 ÷
 
a

C Pa

( )
;2
:
S
V N Ja


P Ka
19
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Ta thấy
1 2
1
.2 1 1
2
k k
−
= = − ≠
nên nếu gọi F là hợp thành của hai
phép vị tự
1
;
2
G
V
−

 
 ÷
 
và
( )
;2S
V
thì F gọi là phép vị tự tâm O,
tỉ số -1. Trong đó O được xác định
1
2
GO GS
−
=
uuur uuur
.
Vậy phép vị tự tâm O, tỉ số -1 biến A,B,C lần lượt thành I, J, K.
Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông ở C. Kẻ
CD AB
⊥
tại D. Gọi AM,CN theo
thứ tự là trung tuyến của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh
AM CN⊥
Giải
Ta có
DCB
∆
∽
DAC
∆

DC DB CB
k
DA DC CA
⇒ = = =

Phép vị tự
( )
1
;
:
D k
V A Aa


1
C Ca

Suy ra
1 1
,DA DC DC DB= =

Xét phép quay
0
( ;90 )D
Q
:
1
A Ca

1
C Ba

Xét phép đồng dạng :
( )
( )
0
;
;90
. :
D k
D
Q V A Ca

C Ba


AM CNa

Do đó góc giữa AM và CN bằng 90
0
tức là
AM CN⊥
4. Bài tập áp dụng :
Bài 1 :Cho hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng d. Hãy dựng
điểm M trên d sao cho AM+MB nhỏ nhất
Bài 2 : Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm M chuyển động
trên đường tròn. Trên tia AM, ta lấy một điểm P sao cho AP=BM. Tìm tập hợp các
điểm P khi M thay đổi.

Qua khảo sát với hai bài tập trên nhìn chung các em biết vận dụng khá linh
hoạt, biết nhận biết vấn đề và đặc biệt đã bắt đầu làm quen với kiểu tư duy mới,
20
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
công cụ mới có hiệu quả để giải quyết bài toán, đặc biệt là loại toán dựng hình, tìm
quỹ tích. Tôi thực hiện khảo sát trên hai lớp 11A3, 11A7. Kết quả khảo sát qua hai
bài tập như sau:
Kết quả :
Bài Số HS làm bài Số HS đạt yêu cầu Đạt tỷ lệ %
1 86 71 82,5
2 87 68 78,2
III. Kết luận
Khái niệm hàm phản ánh thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể.
Nghiên cứu các quan hệ hàm là một trong những trọng tâm của môn toán ở trường
trung học phổ thông. Trong hình học, quan điểm hàm thể hiện tường minh qua chủ
đề “ phép biến hình ”. Với các phép biến hình, học sinh được biết một quan hệ
hàm không phải là hàm số. Đây cũng là một cơ hội cho học sinh thấy tính thống
nhất của toán học. Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở
bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông không những chỉ nhằm cung cấp cho
học sinh những công cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với
các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng
xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu,
tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh và sáng tạo trong
tương lai. Môn toán ở trường phổ thông vừa có tính trừu tượng, vừa có tính thực
tiễn. Môn toán vừa là môn học cơ bản, vừa là môn học công cụ nhằm cung cấp
những tri thức và kĩ năng toán học, những phương pháp, phương thức tư duy và
hoạt động cần thiết để học tập các môn học khác. Môn toán góp phần phát triển
năng lực trí tuệ, rèn luyện phẩm chất của người lao động bao gồm những kĩ năng
sống cơ bản : Tính kiên trì, cẩn thận, chính xác, tinh thần vượt khó, thói quen tự
kiểm tra. Vì thế, trước hết cần bồi dưỡng cho học sinh về mục đích, động cơ học

tập môn toán, hứng thú học toán. Cho học sinh nắm vững những kiến thức cơ bản
về toán học một cách chính xác, tự giác và có hệ thống, đặc biệt là các tri thức
phương pháp. Nắm vững kiến thức là hiểu-nhớ-biết vận dụng các kiến thức đó.
Học sinh cần được tạo điều kiện để độc lập, tìm tòi phát hiện vấn đề, gây cho các
21
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
em hứng thú suy nghĩ độc lập phải thường xuyên bồi dưỡng cho học sinh phương
pháp học tập bộ môn. Nhà sinh lý học Pháp –Penna : ‘’phương pháp học tập tốt
giúp ta phát huy được tài năng vốn có, phương pháp học dở sẽ cản trở phát triển
tài năng’’
IV. Tài liệu tham khảo
• Hình học 11(sách giáo khoa)- Văn Như Cương (chủ biên)-NXB Giáo
dục,2000
• Bài tập hình học nâng cao 11- Văn Như Cương(chủ biên)-NXB Giáo
dục
• Phương pháp dạy- học hình học ở trường trung học phổ thông -Lê Thị
Hoài Châu
• Các phép biến hình trong mặt phẳng-Nguyễn Mộng Hy-NXB Giáo dục
• Tài liệu giáo khoa chuyên toán hình học 11-Đoàn Quỳnh (chủ biên)-
NXB Giáo dục
NGƯỜI THỰC HIỆN
Nguyễn Thị Hương Thi
MỤC LỤC
I. Lý do chọn đề tài 1
22
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
II.Nội dung đề tài 1
1. Cơ sở lý luận 1
2. Nội dung 3
3. Sử dụng phép biến hình để giải các bài toán hình học 5

3.1.Xác định ảnh của một hình qua phép biến hình 5
Bài toán 1 5
Bài toán 2 6
Bài toán 3 6
Bài toán 4 7
3.2.Sử dụng phép biến hình để giải các bài toán quỹ tích 7
Bài toán 1 8
Bài toán 2 8
Bài toán 3 9
Bài toán 4 9
Bài toán 5 10
Bài toán 6 11
3.3. Sử dụng phép biến hình để giải bài toán dựng hình 12
Bài toán 1 12
Bài toán 2 13
Bài toán 3 14
Bài toán 4 15
Bài toán 5 15
3.4.Sử dụng phép biến hình giải bài toán cực trị 16
Bài toán 1 16
Bài toán 2 17
Bài toán 3 18
3.5.Sử dụng phép biến hình để giải các dạng toán khác 18
Bài toán 1 18
Bài toán 2 19
Bài toán 3 20
4. Bài tập áp dụng 20
23
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
III. Kết luận 21

IV.Tài liệu tham khảo 22
Mục lục 23
24