Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

PHẦN: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT:
1. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG\:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; b) và
có đồ thị là (C)
Một đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm
M=(x;y) và M
0
=(
0
x
;y
0
)
Nếu khi x
→
0
x
thì M
→
M
0
Khi đó đường thẳng MM
0
→
M
0
T.
Thì M
0
T gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M

0
và
phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
0
là: M
0
T: y=f’(
0
x
)(x-
0
x
)+ y
0
2. ĐIỀU KIỆN ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên D có đồ thị là đường cong (C) và đường thẳng
d: y=a.x+b. Khi đó d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có
nghiệm:

( )
( )
'
f x ax b
f x a
= +


=



(I)
II. CÁC DẠNG TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN:
DẠNG 1: TIẾP TUYỄN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
PHƯƠNG PHÁP:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
o
; y
o
) của (C) là (d):
( ) ( )
0 0 0
' .y y x x x y= − +
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
có hệ số góc
( )
0
'k f x=
A. MỘT SỐ VÍ DỤ
ư
Ví dụ 1: Cho hàm số:
3
y x x= −

có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ
thị (C) tại các giao điểm của nó với trục hoành.
Lời giải
+ Ta có:
3 2
' 3 1y x x y x= − ⇒ = −
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có dạng:
( ) ( )
0 0 0
' .y y x x x y= − +
+ Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình:
Trang 23
ϕ
α
ϕ
α
f(x
o
)
f(x)
y
(C)
M
T
M
o
0
x
o
x

H
3
1
0 0
1
x
x x x
x
=


− = ⇔ =


= −

+ Với x=1 ta có
( )
( )
1 0
' 1 2
y
y
=


=


.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; 0) có dạng:
( )
2 1 0 2 2y x y x= − + ⇔ = −
+ Với x=0 ta có
( )
( )
0 0
' 0 1
y
y
=


= −


.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại B(0; 0) có dạng:
( )
1 0 0y x y x= − − + ⇔ = −
+ Với x=-1 ta có
( )
( )
1 0
' 1 2
y
y
− =



− =


.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại C(-1; 0) có dạng:
( )
2 1 0 2 2y x y x= + + ⇔ = +
Ví dụ 2: Cho hàm số:
2
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
tại điểm M(3; 5).
Lời giải
+ Ta có:
( )
2
2 4
'
2
2
x
y y
x
x

+ −
= ⇒ =
−
−
( )
( )
2
4
' 3 4
3 2
y
−
⇒ = = −
−
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(3; 5) có dạng:
( )
4. 3 5 4 17y x y x= − − + ⇔ = − +
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số:
23
23
+−= xxy
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
trên tại điểm M(1; 0).
Bài 2: Cho hàm số
3 4
2 3
x
y
x

+
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên
tại điểm M(1; -7).
Bài 3: Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − −
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
trên tại điểm có hoành độ bằng 2
Bài 4: Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
−
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên
tại điểm có tung độ
0
5
2
y =
.
Bài 5: Cho hàm số
2
3 4
1

x x
y
x
− −
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
trên tại giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Trang 24
Bài 6: Cho hàm số
2
2 1
1
x x
y
x
+ −
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
trên tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
Bài 7: Cho hàm số
2
1
2 1
y x
x
= + −
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

trên tại điểm A(0;3).
DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIỂM
BÀI TOÁN:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C)
biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
a
; y
a
) cho trước .
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Gọi d là đường thẳng đi qua A(x
a
; y
a
) có hệ số góc k.
Đường thẳng d có phương trình: y=k(x–x
a
)+y
a

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
( )
( )
'

= − +


=



a a
f x k x x y
f x k
Cách 2 : Gọi điểm M(x
0
; y
0
)
∈
(C) khi đó phương trình tiếp tuyến của (C)
tại điểm M(x
0
; y
0
) là d: y = f’(x
0
) (x – x
0
) + y
0
(*)
Theo giả thiết ta có d đi qua A nên (*)
(**)))((
000
/
yxxxfy
aa
+−=⇔

Giải phương trình (**) tìm x
o
từ đó suy ra y
o
thay vào pt (*) ta có phương
trình tiếp tuyến d.
Chú ý: Số nghiệm x
o
của phương trình (2) bằng số tiếp tuyến kẻ được từ A đến đồ thị (C).
A. MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
23
; 2
9
A
 
−
 ÷
 
Lời giải: (áp dụng cách 1)
+ Đường thẳng (d) đi qua
23
; 2
9
A
 

−
 ÷
 
có phương trình:
23
2
9
y k x
 
= − −
 ÷
 
+ Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm:
( )
( )
3 2
2
23
3 2 2 1
9
3 6 2
x x k x
x x k

 
− + = − −
  ÷
 



− =

Thế (2) vào (1) ta có :
Trang 25
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 2 2 3 2 2
2 2 2
23 23
3 2 3 6 2 3 4 3 6
9 9
1
3
23
2 2 2 3 2 3 10 3 0 2
3
3
x x x x x x x x x x
x
x
x x x x x x x x x
x
   
− + = − − − ⇔ − + = − −
 ÷  ÷
   


=


 
⇔ − − − = − − ⇔ − − + = ⇔ =
 ÷

 

=


+ Với
1
3
x =
ta có
5
3
k = −
. Đồ thị (C) có tiếp tuyến (d
1
):
5 23 5 61
2
3 9 3 27
y x y x
 
= − − − ⇔ = − +
 ÷

 
+ Với
2x =
ta có
0k =
. Đồ thị (C) có tiếp tuyến (d
2
):
23
0 2 2
9
y x y
 
= − − ⇔ = −
 ÷
 
+ Với
3x =
ta có
9k =
. Đồ thị (C) có tiếp tuyến (d
1
):
23
9 2 9 25
9
y x y x
 
= − − ⇔ = −
 ÷

 
Ví dụ 2: Cho hàm số
4 2
y x x= −
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm B(-1;0)
Lời giải: (áp dụng cách 2):
+ Ta có:
4 2 3
' 4 2y x x y x x= − ⇒ = −
+ Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm M(x
0
;y
0
). Khi đó phương
trình tiếp tuyến (d) có dạng:
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 4 2
0 0 0 0 0 0 0
' . 4 2 1
o
y y x x x y y x x x x x x= − + ⇔ = − − + −
+ Do điểm B(-1;0) thuộc tiếp tuyến (d) nên:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )

( )
( )
( )
3 4 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
3 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 4 2 1 4 2 1 1 1 0
0
1 3 2 0 1 3 2 0 1
2
3
o o
x x x x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x
x
= − − − + − ⇔ − − − + − + =


=

⇔ + + − = ⇔ + + − = ⇔ = −


=



+ Với
0
0x =
thay vào phương trình (1) ta có tiếp tuyến (d
1
):
0y =
+ Với
0
1x = −
thay vào phương trình (1) ta có tiếp tuyến (d
2
):
2 2y x= − −
Trang 26
+ Với
0
2
3
x =
thay vào phương trình (1) ta có tiếp tuyến (d
3
):
4 4
27 27
y x= − −
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số
3 2
4 6 1y x x= − −

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên biết tiếp tuyến đi qua M(0;-3)
Bài 2: Cho hàm số
3
3y x x= −
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên biết tiếp tuyến đi qua A(1;3)
Bài 3: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên
biết tiếp tuyến đi qua A(-1;3)
Bài 4: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên
biết tiếp tuyến đi qua A(0;-2)
Bài 5: Cho hàm số
2
1

1
x x
y
x
− + +
=
+
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
trên biết tiếp tuyến đi qua
5
0;
2
M
 
 ÷
 
Trang 27
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VỚI HỆ
SỐ GÓC CHO TRƯỚC
BÀI TOÁN 1:
Cho hàm số:
)(xfy =
(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
PHƯƠNG PHÁP:
Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=f’(x
0
)(x–x
0
)+y

0
(1) với
)();(
00
CyxM ∈=
Vì tiếp tuyến (d) có hệ số góc k nên ta có: f’(x
0
)=k giải tìm được x
0
(là hoành độ
tiếp điểm)
⇒
y
0
= f(x
0
). Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến
cần lập.
BÀI TOÁN 2:
Cho hàm số:
)(xfy =
có đồ thị (C), cho 2 đường thẳng
( )
1 1 1
:d y a x b= +
và
( )
2 2 2
:d y a x b= +
(

1
a
,
2
a
: gọi là hệ số góc).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến d song song
1
d
hoặc d vuông góc
2
d
PHƯƠNG PHÁP:
Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=f
’
(x
0
)(x–x
0
)+y
0
(1)
Theo giả thiết ta có d song song
1
d
khi: f
’
(x
0
)=

1
a
(*)
hay d vuông góc
2
d

khi: f’

(x
0
)=
2
1
a
−
(**)
Giải phương trình (*) hoặc (**) tìm được x
0
(là hoành độ tiếp điểm)

⇒
y
0
= f(x
0
).
Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập
BÀI TOÁN 3:
Cho hàm số:

)(xfy =
(C) và đường thẳng d: y = k
1
.x + b.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó tạo
với đường thẳng d một góc có số đo là
ϕ
cho trước.
PHƯƠNG PHÁP:
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d’ và điểm
)();(
00
CyxM ∈=

khi
đó ta có phương trình đường thẳng d’: y=k(x – x
0
) + y
0
(1)
Giả sử d’ là tiếp tuyến của đồ thị (C ), d’ tạo với d góc
ϕ
nên ta có:
1
1
tan
1 .
k k
k k
ϕ

−
=
+
. Giải tìm k khi đó ta lại có: f’(x
0
)= k giải tìm được x
0
(là hoành độ tiếp điểm)
⇒
y
0
= f(x
0
).
Trang 28
Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập .
Chú ý: Đường thẳng song song Ox có hệ số góc k=0
A. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho hàm số:
3 2
1
2 3 1
3
y x x x= − + +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc k=3.
Lời giải
+ Ta có:
3 2 2
1

2 3 1 ' 4 3
3
y x x x y x x= − + + ⇒ = − +
+ Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm M(x
0
;y
0
). Khi đó phương
trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
' .y y x x x y= − +
+ Do tiếp tuyến đó có hệ số góc k=3 nên:
( )
0
2
0 0 0
0
0
' 3 4 3 3
4
x
y x x x
x
=

= ⇔ − + = ⇔

=


+ Với
0
0x =
ta có
( )
0 1y =
. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
( )
0;1E
có dạng:
( )
3 0 1 3 1y x y x= − + ⇔ = +
+ Với
0
4x =
ta có
( )
7
0
3
y =
. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
7
4;
3
F
 
 ÷
 
có dạng:

( )
7 29
3 4 3
3 3
y x y x= − + ⇔ = −
Ví dụ 2: Cho hàm số:
3 2
3 2y x x= − +
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d):
3 5 4 0x y− − =
Lời giải
+ Đường thẳng (d) có hệ số góc
3
5
k =
+ Ta có:
3 2 2
3 2 ' 3 6y x x y x x= − + ⇒ = −
+ Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm M(x
0
;y
0
). Khi đó phương
trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
' .y y x x x y= − +
+ Do tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d) nên:
( )

( )
0
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
0
5
3 5
3
' . 1 3 6 . 1 3 6 9 18 5 0
1
5 3
3
x
y x k x x x x x x
x

=

= − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔


=


Trang 29
+ Với
0
5
3
x =

ta có
5 46
3 27
5 5
'
3 3
y
y

 
= −
 ÷

  

 

= −
 ÷

 

.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
5 46
;
3 27
M
 
−

 ÷
 
có dạng:
5 5 46 5 29
3 3 27 3 27
y x y x
 
= − − − ⇔ = − +
 ÷
 
+ Với
0
1
3
x =
ta có
1 46
3 27
1 5
'
3 3
y
y

 
=
 ÷

  


 

= −
 ÷

 

.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
1 46
;
3 27
N
 
 ÷
 
có dạng:
5 1 46 5 61
3 3 27 3 27
y x y x
 
= − − + ⇔ = − +
 ÷
 
Ví dụ 3: Cho hàm số
3
3y x x= −
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) biết tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng (d):
2 3y x= +

một góc 45
0
Lời giải
+ Đường thẳng (d) có hệ số góc
2k =
+ Ta có:
3 2
3 ' 3 3y x x y x= − ⇒ = −
+ Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm M(x
0
;y
0
). Khi đó phương
trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
' .y y x x x y= − +
+ Do tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng (d) một góc 45
0
nên:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( )
( )
2
0 0
0
0 0
2
0 0
0 0
0
2
0 0
0
' 4 ' 4
' 2 ' 2
tan 45 1 1
1 ' .2 1 2 '
4 ' 4 ' 1
' 3
3 ' 8 ' 3 0
1
'
3
y x y x
y x y x
y x y x
y x y x

y x
y x y x
y x
− +
− −
= ⇔ = ⇔ =
+ +
+ +
 = −

⇔ + − = ⇔

=


+ Với
( )
0
' 3y x = −
ta có
2
0 0 0
3 3 3 0 0x x y− = − ⇔ = ⇒ =
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
( )
0;0I
có dạng:
( )
3 0 0 3y x y x= − − + ⇔ = −

+ Với
( )
0
1
'
3
y x =
ta có
2 2 2
0 0 0 0
1 10 10 10
3 3 3
3 3 9 3
x x x x− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
Trang 30
• Với
0
10
3
x =
ta có
0
17 10
27
y = −

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
10 17 10
;
3 27

J
 
−
 ÷
 
có dạng:
1 10 17 10 1 20 10
3 3 27 3 27
y x y x
 
= − − ⇔ = −
 ÷
 
• Với
0
10
3
x = −
ta có
0
17 10
27
y =

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại
10 17 10
;
3 27
K
 

−
 ÷
 
có dạng:
1 10 17 10 1 20 10
3 3 27 3 27
y x y x
 
= + + ⇔ = +
 ÷
 
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số:
1
43
2
−
+−
=
x
xx
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
tuyến đó có hệ số góc
1
−=
k
.
Bài 2: Cho hàm số:
132

3
2
3
++−= xx
x
y
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song
song với (d):
3 1 0y x− + =
.
Bài 3: Cho hàm số:
2
3 1
2
x x
y
x
− +
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
trên biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=2x+10
Bài 4: Cho hàm số:
2
4 1x x
y
x
+ +
=
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

trên biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
4
2
15
y x
−
= +
Bài 5: Cho hàm số:
3
)1(
3
1
−=
xy
(C).Viết ptrình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó
hợp với trục hoành một góc
0
45
Bài 6: Cho hàm số:
2
x 2x 1
y
x 1
+ -
=
-
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông
góc với tiệm cận xiên của hàm số.
Bài 7: Cho hàm số:
x

xx
y
−
+−
=
2
96
2
(C). Tìm tất cả các điểm ở trên trục tung sao cho từ
đó kẻ tiếp tuyến với đồ thị (C) song song với đường thẳng:
xy
4
3
−=
.
Trang 31
Bài 8: Cho hàm số:
1
1
+
−=
x
xy
( C). Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị hàm số (C)
mà các tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
Bài 9: Cho hàm số:
1
22
2
+

++
=
x
xx
y
(C). Tìm trên đồ thị (C) các điểm sao cho tiếp
tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của hàm số.
Bài 10: Cho hàm số:
3 2
2 3 12 5y x x x= − − −
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) biết tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng (d):
2 5 0x y+ − =
Trang 32
MỘT SÔ DẠNG MỞ RỘNG KHÁC:
BÀI TOÁN 1:
Cho hàm số y=f(x) (C). Tìm những điểm M(x
M
; y
M
) từ đó kẻ được n tiếp
tuyến với đồ thị hàm số (C)
PHƯƠNG PHÁP :
Phương trình đường thẳng (d) với hệ số góc k qua M(x
M
; y
M
) có dạng:
( ) ( )
M M

y g x k x x y= = − +
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
' ' '
f x g x f x g x
hay
f x g x f x k
= = 
 
 
= =
 
 

Qua điểm M kẻ được n tiếp tuyến tới (C)
⇔
hệ (1) có n nghiệm x
BÀI TOÁN 2:
Cho hàm số y=f(x) (C). Tìm những điểm M(x
M
; y
M
) từ đó kẻ được 2 tiếp
tuyến với đồ thị hàm số (C) sao cho hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
PHƯƠNG PHÁP:

Gọi M
0
= (x
0
; y
0
) là toạ độ tiếp điểm.
Tiếp tuyến (d) qua M có dạng: y
M
=f’(x
0
) (x
M
– x
0
) + y
0
(1)
Qua điểm M kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau
⇔
(1) có hai nghiệm x
1
, x
2
sao cho f’(x
1
). f’(x
2
)=-1 (2)
Từ (2) suy ra tọa độ điểm M cần tìm.

A. MỘT SỐ VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Cho hàm số:
3
3 2y x x= − + +
có đồ thị (C). Tìm trên trục hoành các điểm
mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Lời giải
+ Gọi điểm bất kỳ thuộc trục hoành có tọa độ A(a; 0). Đường thẳng (d) qua A với hệ
số góc k có dạng:
( )
y k x a= −
.
+ Do (d) tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ phương trình sau có nghiệm:
Trang 33
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
3 2
3
2
2
2
2

2
2
2
3 2
3 2 3 3
3 2 '
3 3
1 2 1 3 3
3 3
1
1 2 3 2 3 2 0
2 3 2 3 2 0 1
3 3
3 3
x x k x a
x x x x a
x x k
x k
x x x x x x a
x k
x
x x a x a
x a x a
x k
k x
− + + = −

− + + = − + −
 
⇔

 
− + + =
− + =





+ − + + = + − + −

⇔

− + =



= −


+ − + + + = 



 
− + + + =
⇔ ⇔
 

− + =




= − +

+ Từ điểm A(a; 0) kẻ được 3 tiếp tuyến đế đồ thị (C) khi và chỉ khi phương trình (1)
có 2 nghiệm phân biệt khác -1
+ Đặt
( ) ( )
2
2 3 2 3 2g x x a x a= − + + +
.
Phương trình g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 khi và chỉ khi:
( )
0
1 0g
∆ >


− ≠

( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
3 2 3 6 0
3 2 8 3 2 0
2
2
1

3
1
6 6 0
3
1
a
a
a a
a a
a
a
a
a
a
 >

>




 + − >
+ − + >
 


⇔ ⇔ ⇔ ⇔
< −
  


− ≠ < −

≠ −
+ ≠






≠ −

Vậy với
2
2
1
3
a
a
>



− ≠ < −

thì từ A(a; 0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số đã cho.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2
1x
y

x
+
=
. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ
đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc.
Lời giải
+ Điều kiện xác định của hàm số:
0x ≠
+ Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm M(x
0
;y
0
). Khi đó phương
trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
' .y y x x x y= − +
+ Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình:
( ) ( )
2
0 0
1
, 0
x
k x x y k x
x
+
= − + ≠
( ) ( ) ( )
2

0 0
1 1 0 *k x y kx x⇔ − − − + =
+ Do (d) tiếp xúc với (C) nên
Trang 34
( ) ( )
2
0 0
1
4 1 0
k
y kx k
≠



∆ = − − − =


( ) ( )
2 2 2
0 0 0 0
0 0
1
2 2 4 0 1
k
x k x y k y
y kx
≠



⇔ + − + − =


≠

+ Từ M kẻ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với nhau khi (1) có hai nghiệm phân biệt
thỏa mãn:
1 2
1 2
, 1
1
k k
k k
≠


= −


( )
0
2
0
2
0
2
0 0
0
4
1

0
x
y
x
y x

≠

−

⇔ = −



− ≠

0
2 2
0 0
0 0
0
4
x
x y
y x
≠


⇔ + =



≠

.
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn:
2 2
4x y+ =
loại
bỏ bốn giao điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 có đồ thị (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt d: y = – x + 1
tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông
góc với nhau.
Lời giải
+ Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (C
m
) là nghiệm của phương trình:
x
3
+ mx
2

+ 1 = – x + 1
⇔
x.(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
+ Đặt g(x)= x
2
+mx+1. Đường thẳng (d) cắt đồ thị (C
m
) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ
khi phương trình g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0
( )
2
4 0
2
2
0 1 0
g m
m
m
g
∆ = − >

>


⇔ ⇔


< −

= ≠



.
+ Do x
B
, x
C
là nghiệm của phương trình g(x) = 0 nên ta có:
1
B C
B C
S x x m
P x x
= + = −


= =

.
+ Tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi
( ) ( )
1
C B
f x f x
′ ′
= −

( ) ( )
3 2 3 2 1
B C B C
x x x m x m⇔ + + = −
( )
2
9 6 4 1
B C B C B C
x x x x m x x m⇔ + + + = − 
 
( )
2
1 9 6 4 1m m m⇔ + − + = − 
 

2
2 10m⇔ =
5m⇔ = ±
(thỏa mãn điều kiện)
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hàm số
3 2
y x 3x 2= − +
(C). Tìm trên đường thẳng d:
y 2= −
các điểm mà từ
đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
Bài 2. Cho hàm số
3
y 2x x 3= − + −

(C). Tìm trên đường thẳng d:
y x 3= −
các điểm mà
từ đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
Bài 3. Cho đồ thị hàm số
( )
2
4
:
1
x
C y
x
−
=
+
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao
cho từ đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C).
Trang 35
Bài 4: Cho đồ thị hàm số
( )
3 2
: 3 4C y x x= − +
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành
sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
Bài 5: Cho đồ thị hàm số
( )
4 2
: 2 1C y x x= − +
. Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho

từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).
Bài 6: Cho đồ thị hàm số
( )
3
: 3 2C y x x= − +
. Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4
sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
Bài 7. Cho hàm số
3 2
y 2x 3x 5= + −
(C). Chứng minh rằng từ D(1; -4) kẻ được đúng 3
tiếp tuyến đến (C).
Bài 8. Tìm những điểm trên Ox mà từ điểm đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị
(C):
3
y x 3x 2= − −
Bài 9. Tìm những điểm trên đường thẳng d:
y 1= −
mà từ điểm đó kẻ được đúng 2
tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
3 2
y x 3x 3= − +
.
Bài 10. Cho hàm số
x 3
y
x 1
+
=
−

(C). Tìm những điểm trên d:
y 2x 1= −
sao cho từ các
điểm đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C).
Bài 11. Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ điểm đó kẻ được 4 tiếp tuyến đến (C):
4 2
y x x 1= − +
BÀI TOÁN 3: TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG HYPEBOL
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị là đường Hypebol (H).
Chứng minh rằng: Tiếp tuyến tại M bất kỳ của Hypebol
(H) luôn cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm A, B thỏa
mãn:
1. M là trung điểm của AB
2. Diện tích tam giác IAB với I là giao điểm của hai
đường tiệm cận, không phụ thuộc vào M
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
• Xác định:Tọa độ giao điểm I của hai tiệm cận
x
y
I
A
B
M
O
•
( ) ( )
( )
;M H M a y a∈ ⇔
và phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

( ) ( ) ( ) ( )
'y y a y a x a∆ − = −
• Xác định tọa độ giao điểm A của tiếp tuyến
( )
∆
và tiệm cận thứ nhất
• Xác định tọa độ giao điểm B của tiếp tuyến
( )
∆
và tiệm cận thứ hai.
1. Nhận xét rằng x
A
+x
B
=2x
M
. Vậy M là trung điểm của AB.
2. Diện tích tam giác IAB được xác định bởi công thức:
1 1
.
2 2
A I B I
S IA IB y y x x= = − −
= hằng số.
A. MỘT SỐ VÍ DỤ
Trang 36
Ví dụ 1: Cho Hypebol (H):
2 1
1
x

y
x
−
=
−
và điểm M bất kỳ thuộc (H ). Gọi I là giao
điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B
a) Chứng minh: M là trung điểm của AB.
b) CMR: diện tích tam giác IAB không đổi.
c) Tìm m để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Lời giải
a) Ta có
( )
2
1 1
2 '
1
1
y y
x
x
−
= + ⇒ =
−
−
Vì
1
lim
x
y

+
→
= +∞
nên x=1 là tiệm cận đứng.
Vì
lim 2
x
y
→+∞
=
nên y=2 là tiệm cận ngang.
Giao điểm của hai tiệm cận là I(1;2)
M là điểm bất kỳ thuộc (H), giả sử M có hoành độ a, khi đó M
1
;2
1
a
a
 
+
 ÷
−
 
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
1 1
' 2

1
1
y y a y a x a y x a
a
a
−
∆ − = − ⇔ = − + +
−
−
Tọa độ giao điểm A của
( )
∆
và tiệm cận đứng là nghiệm của hệ pt:
( )
( )
2
1
1
2
1 1
1;2
2
2
1
2
1
1
1
x
x

A
y x a
a
y
a
a
a
=

=

 
 
−
⇔ ⇒ +
 
 ÷
= − + +
−
= +
 
 
−
−
−


Tọa độ giao điểm B của
( )
∆

và tiệm cận ngang là nghiệm của hệ pt:
( )
( )
( )
2
2
2 1
1 1
2 1;2
2
2
1
1
y
x a
B a
y x a
y
a
a
=

= −


−
⇔ ⇒ −
 
= − + +
=



−
−

Ta có x
A
+x
B
=2x
M
và A, B, M thẳng hàng nên M là trung điểm của AB
b) Diện tích tam giác IAB là
( )
1 1 1 2
. 2 1 2
2 2 2 1
A I B I
S IA IB y y x x a
a
= = − − = − =
−
c) Ta có IA.IB=4
Chu vi (IAB)= IA+IB+AB=
( )
2 2
2 . 2 . 2 2 2IA IB IA IB IA IB IA IB= + + + ≥ + = +
Trang 37
Vậy chu vi tam giác IAB nhỏ nhất bằng
4 2 2+

đạt được khi

( )
( )
1
2
0 0; 1
2 1 1
2 2;3
a M
IA IB a
a M
= ⇒ −
= = ⇔ − = ⇔

= ⇒


B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho Hypebol (H):
4 1
2
x
y
x
+
=
−
và điểm M bất kỳ thuộc (H ). Gọi I là giao điểm
của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B

a) Chứng minh: M là trung điểm của AB.
b) CMR: diện tích tam giác IAB không đổi.
c) Tìm m để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Bài 2: Cho Hypebol (H):
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
và điểm M bất kỳ thuộc (H ). Gọi I là giao
điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B
a) Chứng minh: M là trung điểm của AB.
b) CMR: diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của M
Bài 3: Cho hàm số y=
2
3 4
2 2
x x
x
− +
−
a) Khảo sát hàm số trên.
b) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng
và tiệm cận xiên tại A,B. CMR: M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện
tích không phụ thuộc vào M ( I là giao điểm của hai đường tiệm cận).
Bài 4: Cho hàm số y=

2
1
x
x −
có đồ thị là (C)
Và đường thẳng d có phương trình ax-y+b=0
a) Tìm mối liên hệ giữa a, b để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đường thẳng d
b) Giả sử d tiếp xúc với (C) tại M. A, B là giao điểm của (d) với các tiệm cận của
đồ thị. CMR: M là trung điểm của AB.
Bài 5: Cho hàm số y=
( )
3 1
1
3
x
x
+
−
a) Tìm một hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị hàm số (1) qua đường
thẳng x+y-3=0.
Trang 38
b) Gọi C là một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số (1). Tiếp tuyến với đồ thị hàm số
tại C cắt 2 tiệm cận tại A,B. CMR: C là trung điểm của A, B và tam giác tạo
bởi tiếp tuyến đó với hai tiệm cận có diện tích không đổi.
Bài 6 : Cho hàm số y=
2
2 1
1
x x
x

+ +
+
Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x
M
= m. Chứng tỏ rằng tích các
khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận không phụ thuộc vào M.
Trang 39
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC
BÀI 1: (Đề thi đại học – cao đẳng khối A năm 201.)
Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A và B. Gọi k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C)
tại A và B. Tìm m để tổng k
1
+ k
2
đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : y = x +m
1
2 1
x
x m
x
− +
= +
−
⇔ (2x – 1) (x + m) = -x + 1 (Vì x =
1
2
không là nghiệm)
⇔ 2x
2
+ 2mx – (m + 1) = 0 (1)
Phương trình (1) có
2 2
2 2 ( 1) 1 0,m m m m∆ = + + = + + > ∀
∈ R
⇒ Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm nên d luôn cắt (C) tại hai điểm A, B.
Hoành độ tiếp điểm tại A, B là x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (1)
⇒ x
1
+ x

2
= - m và x
1
.x
2
=
1
2
m +
−
(AD hệ thức Viét với (1))
Ta có:
1 2
2 2
1 2
1 1
(2 1) (2 1)
k k
x x
+ = − −
− −
=
[ ]
2 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
4( ) 4( ) 2
4 2( ) 1
x x x x

x x x x
+ − + +
−
− + +
=
2 2
(4 8 6) 4( 1) 2m m m− + + = − + −
⇒
k
1
+ k
2
đạt giá trị lớn nhất bằng -2 ⇔ m = -1.
BÀI 2. Cho hàm số y =
4
2
5
3
2 2
x
x− +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số.
2. Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x
M
= a. Viết phương trình tiếp tuyến của
(C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân
biệt khác M.
Lời giải
2. Vì
4

2
5
( ) ; 3
2 2
a
M C M a a
 
∈ ⇒ − +
 ÷
 
Ta có: y’ = 2x
3
– 6x
3
'( ) 2 6y a a a⇒ = −
Vậy tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình :
4
3 2
5
(2 6 )( ) 3
2 2
a
y a a x a a= − − + − +
.
+ Xét pt :
Trang 40
4 4
2 3 2
2 2 2
2 2

5 5
3 (2 6 )( ) 3
2 2 2 2
( ) ( 2 3 6) 0
( ) 2 3 6 0
x a
x a a x a a
x a x ax a
x a
g x x ax a
− + = − − + − +
⇔ − + + − =
=

⇔

= + + − =

2 2
( ) 2 3 6 0
x a
g x x ax a
=

⇔

= + + − =

Phương trình g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khác a
2

2
' 0 3 0
| | 3
( ) 0
1
1
a
a
g a
a
a


∆ > − >

>
 
⇔ ⇔ ⇔
  
≠
≠ ±
≠





BÀI 3. Cho hàm số
2 1
1

x
y
x
−
=
+

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm
( 1;2)I −
tới tiếp tuyến của (C)
tại M là lớn nhất .
Lời giải
2. Nếu
0
0
3
; 2 ( )
1
M x C
x
 
− ∈
 ÷
+
 
thì tiếp tuyến tại M có phương trình
0
2
0 0

3 3
2 ( )
1 ( 1)
y x x
x x
− + = −
+ +
hay
2
0 0 0
3( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0x x x y x− − + − − + =
Khoảng cách từ
( 1;2)I −
tới tiếp tuyến là
( )
0 0 0
4 4
2
0
0
0
2
0
3( 1 ) 3( 1) 6 1
6
9
9 ( 1)
9 1
( 1)
( 1)

x x x
d
x
x
x
x
− − − + +
= = =
+ +
+ +
+ +
+
.
Theo bất đẳng thức Côsi
2
0
2
0
9
( 1) 2 9 6
( 1)
x
x
+ + ≥ =
+
. Vậy
6d ≤
.
Khoảng cách d lớn nhất bằng
6

khi

( )
2
2
0 0 0
2
0
9
( 1) 1 3 1 3
( 1)
x x x
x
= + ⇔ + = ⇔ = − ±
+
.
Vậy có hai điểm M là
( )
1 3;2 3M
− + −
hoặc
( )
1 3;2 3M
− − +
BÀI 4. Cho hàm số
2
1
x
y
x

+
=
−
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Cho điểm A(0;a). Xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai
tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục Ox.
Trang 41
Lời giải
2. Phương trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1)
Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A:
2
2
(2)
1
3
(3)
( 1)
x
kx a
x
k
x
+

= −

−



−

=
−


có nghiệm
1x
≠
Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được:
2
( 1) 2( 2) 2 0 (4)a x a x a− − + + + =
Để (4) có 2 nghiệm
1x
≠
là:
1
1
(1) 3 0
2
' 3 6 0
a
a
f
a
a
≠

≠



= − ≠ ⇔
 
> −


∆ = + >

Hoành độ tiếp điểm
1 2
;x x
là nghiệm của (4)
Tung độ tiếp điểm là
1
1
1
2
1
x
y
x
+
=
−
,
2
2
2
2
1

x
y
x
+
=
−
Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục Ox là:
1 2
1 2
1 2
( 2)( 2)
. 0 0
( 1)( 2)
x x
y y
x x
+ +
< ⇔ <
− −
1 2 1 2
1 2 1 2
2( ) 4 9 6 2
0 0
( ) 1 3 3
x x x x a
a
x x x x
+ + + +
⇔ < ⇔ < ⇔ > −
− + + −

Vậy
1a
3
2
≠<−
thoả mãn điều kiện bài toán.
BÀI 5. Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C).
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2.Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận
của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất .
Lời giải
2. Lấy điểm
1
M m;2
m 2
 
+
 ÷
−
 
( )

C∈
. Ta có:
( )
( )
2
1
y' m
m 2
= −
−
.
Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình:
( )
( )
2
1 1
y x m 2
m 2
m 2
= − − + +
−
−
Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là:
2
A 2;2
m 2
 
+
 ÷
−

 
Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là: B(2m – 2 ; 2)
Ta có :
( )
( )
2
2
2
1
AB 4 m 2 8
m 2
 
= − + ≥
 
−
 
 
. Dấu “=” xảy ra khi m = 2
Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2)
Trang 42
BÀI 6. Cho hàm số
3 2
2 5
( 1) (3 2)
3 3
y x m x m x= − + − + − −
có đồ thị
( ),
m
C

m là tham
số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
2.m
=
2. Tìm m để trên
( )
m
C
có hai điểm phân biệt
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )M x y M x y
thỏa mãn
1 2
. 0x x
>
và tiếp tuyến của
)(
m
C
tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng
: 3 1 0.d x y
− + =
Lời giải
2. Ta có hệ số góc của
: 3 1 0d x y− + =
là
1
3
d

k =
.
Do đó
1 2
,x x
là các nghiệm của phương trình
' 3y = −
hay
2
2 2( 1) 3 2 3x m x m− + − + − = −
2
2 2( 1) 3 1 0x m x m⇔ − − − − =
(1)
Yêu cầu bài toán
⇔
phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
. 0x x >

2
3
' ( 1) 2(3 1) 0
1
3 1
1 .
0
3

2
m
m m
m
m

< −

∆ = − + + >


⇔ ⇔

− −

− < < −
>



Vậy kết quả của bài toán là
3m < −
và
1
1 .
3
m− < < −
BÀI 7. Cho hàm số
3 2
(1 2 ) (2 ) 2y x m x m x m= + − + − + +

(1) m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m=2.
2. Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:
7 0x y+ + =
góc
α
, biết
1
cos
26
α
=
.
Lời giải
2. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
⇒
tiếp tuyến có một véctơ pháp tuyến
1
( ; 1)n k= −
ur
, d: có véctơ pháp
2
(1;1)n =
uur
Ta có
1
1 2
2
2
1 2

2
3
.
1
1
2
cos 12 26 12 0
2
26
2 1
3
k
n n
k
k k
n n
k
k
α

=

−
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔

+ 
=


ur uur

ur uur
Yêu cầu của bài toán thỏa mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình:
'
1
y k=
(1) và
/
2
y k=
(2) có nghiệm x
Trang 43
⇔
2
2
3
3 2(1 2 ) 2
2
2
3 2(1 2 ) 2
3
x m x m
x m x m

+ − + − =



+ − + − =



⇔
/
1
/
2
0
0

∆ ≥

∆ ≥



⇔
2
2
8 2 1 0
4 3 0
m m
m m

− − ≥

− − ≥


⇔
1
4

1
2
3
4
1
m
m
m
m


≤ −






≥






≤ −





≥


⇔
1
4
1
2
m
m

≤ −



≥



BÀI 8.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
−
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp

tuyến bằng
2
.
Lời giải
2. Tiếp tuyến của (C) tại điểm
0 0
( ; ( )) ( )M x f x C∈
có phương trình

0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x= − +
Hay
2 2
0 0 0
( 1) 2 2 1 0x x y x x+ − − + − =
(*)
* Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng
2

0
4
0
2 2
2
1 ( 1)
x
x
−
⇔ =
+ −

Giải được nghiệm
0
0x =
và
0
2x =
* Các tiếp tuyến cần tìm :
1 0x y+ − =
và
5 0x y+ − =
BÀI 9. Cho hàm số
3
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị là (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành
tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB
Lời giải
2. OA =4OB nên
∆
OAB có
1
tan

4
OB
A
OA
= =
⇒
Tiếp tuyến AB có hệ số góc k =
1
4
±
Phương trình y’ = k
2
3
4 1

5
( 1) 4
x
x
x
=

⇔ = ⇔ ⇔

= −
+

Trang 44
có nghiệm
có nghiệm

+) x = 3
⇒
y=0, tiếp tuyến có phương trình
1
( 3)
4
y x= −
+) x= -5
⇒
y= 2, tiếp tuyến có phương trình
1 1 13
( 5) 2
4 4 4
y x y x= + + ⇔ = +
BÀI 10. Cho hàm số
3 2
2
x
y
x
+
=
+
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Gọi M là điểm bất kỳ trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm
cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ
M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Lời giải
2.Gọi

3 2
( ; ) ( ), 2
2
a
M a C a
a
+
∈ ≠ −
+

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
2
4 3 2
( )
( 2) 2
a
y x a
a a
+
= − +
+ +
(∆)
Đường thẳng d
1
: x+2=0 và d
2
: y-3=0 là hai tiệm cận của đồ thị hàm số
∆∩d
1
=A(-2;

3 2
)
2
a
a
−
+
, ∆∩d
2
=B(2a+2;3)
Tam giác IAB vuông tại I ⇒AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB ⇒diện tích hình tròn S=
2
2
2
64
4( 2) 8
4 4 ( 2)
AB
a
a
π
π π
 
= + + ≥
 
+
 
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi
2

2
0
16
( 2)
4
( 2)
a
a
a
a
=

+ = ⇔

= −
+

Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán M(0;1) và M(-4;5)
BÀI 11. Cho hàm số:
1
2( 1)
x
y
x
−
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục
tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.

Lời giải
2. Gọi
0
0
0
1
;
2( 1)
x
M x
x
 
−
 ÷
+
 
( )C∈
là điểm cần tìm. Gọi
∆
là tiếp tuyến với (C) tại M ta
có phương trình
Trang 45
∆
:
'
0
0 0
0
1
( )( )

2( 1)
x
y f x x x
x
−
= − +
+
( )
0
2
0
0
0
1 1
( )
2( 1)
1
x
y x x
x
x
−
⇒ = − +
+
+
Gọi A =
∆ ∩
Ox
⇒
A(

2
0 0
2 1
2
x x− −
−
;0)
B =
∆ ∩
Oy
⇒
B(0;
2
0 0
2
0
2 1
2( 1)
x x
x
− −
+
).
Khi đó
∆
tạo với hai trục tọa độ
∆
OAB có trọng tâm là:
2 2
0 0 0 0

2
0
2 1 2 1
;
6 6( 1)
x x x x
G
x
 
− − − −
−
 ÷
+
 
.
Do G nằm trên đường thẳng: 4x + y = 0
⇒
2 2
0 0 0 0
2
0
2 1 2 1
4. 0
6 6( 1)
x x x x
x
− − − −
− + =
+
⇔

( )
2
0
1
4
1x
=
+
(vì A, B
≠
O nên
2
0 0
2 1 0x x− − ≠
)
0 0
0 0
1 1
1
2 2
1 3
1
2 2
x x
x x
 
+ = = −
 
⇔ ⇔
 

 
+ = − = −
 
 
Với
0
1 1 3
( ; )
2 2 2
x M= − ⇒ − −
; với
0
3 3 5
( ; )
2 2 2
x M= − ⇒ −
.
BÀI 12.Cho hàm số y = x
3
– 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y=mx+m+3.
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P
vuông góc nhau.
Lời giải
2. Phương trình hòanh độ giao điểm của (C) và (d): x
3
– (m + 3)x – m – 2 = 0
Hay : (x + 1)(x
2
– x – m – 2) = 0

2
1, 3
2 0 (*)
x y
x x m
= − =


− − − =

(*) phải có hai nghiệm phân biệt ( m >
)
4
9
−
, x
N
và x
P
là nghiệm của (*)
Theo giả thiết:
( ) ( )
2 2
3 3 1
N P
x x− − = −

2
3 2 2
3

9 18 1 0
3 2 2
3
m
m m
m

− +
=


⇔ + + = ⇔

− −
=



BÀI 13. Cho hàm số
2 3
2
x
y
x
−
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Trang 46
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm

cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ
điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Lời giải
2. Ta có:
0
0 0
0
2 3
; , 2
2
x
M x x
x
 
−
≠
 ÷
−
 
,
( )
2
0
0
1
'( )
2
y x
x
−

=
−
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng
( )
0
2
0
0
0
1 2 3
( ) : ( )
2
2
x
y x x
x
x
− −
∆ = − +
−
−
Toạ độ giao điểm A, B của
( )
∆
và hai tiệm cận là:
( )
0
0
0
2 2

2; ; 2 2;2
2
x
A B x
x
 
−
−
 ÷
−
 
Ta thấy
0
0
2 2 2
2 2
A B
M
x x x
x x
+ + −
= = =
,
0
0
2 3
2 2
A B
M
y y x

y
x
+ −
= =
−

suy ra M là trung điểm của AB.
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có diện tích
S =
2
2 2 2
0
0 0
2
0 0
2 3 1
( 2) 2 ( 2) 2
2 ( 2)
x
IM x x
x x
π π π π
 
   
−
= − + − = − + ≥
 
 ÷
 

− −
 
   
 
Dấu “=” xảy ra khi
0
2
0
2
0
0
1
1
( 2)
3
( 2)
x
x
x
x
=

− = ⇔

=
−

Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
BÀI 14. Cho hàm số y =
1

x
x −

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc
với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1).
Lời giải
2. Với
0
1x ≠
, tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x
0
;
0
0
1
x
x −
) có phương trình :
0
0
2
0 0
1
( )
( 1) 1
x
y x x
x x
= − − +

− −
2
0
2 2
0 0
1
0
( 1) ( 1)
x
x y
x x
⇔ + − =
− −

(d) có một vectơ chỉ phương
2
0
1
( 1; )
( 1)
u
x
= −
−
r
,
0
0
1
( 1; )

1
IM x
x
= −
−
uuur
Để (d) vuông góc IM điều kiện là :
Trang 47