tuyển tập phương pháp giải phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.67 MB, 24 trang )
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
1
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
P
P
H
H
Ầ
Ầ
N
N
1
1
:
:
C
C
Ô
Ô
N
N
G
G
T
T
H
H
Ứ
Ứ
C
C
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
1
1
.
.
B
B
ả
ả
n
n
g
g
g
g
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
c
c
ủ
ủ
a
a
c
c
á
á
c
c
g
g
ó
ó
c
c
đ
đ
ặ
ặ
c
c
b
b
i
i
ệ
ệ
t
t
Góc
GTLG
0
0
(0)
30
0
6
45
0
4
60
0
3
90
0
2
Sin
0
1
2
2
2
3
2
1
Cos
1
3
2
2
2
1
2
0
2
2
.
.
C
C
á
á
c
c
h
h
ệ
ệ
t
t
h
h
ứ
ứ
c
c
c
c
ơ
ơ
b
b
ả
ả
n
n
H
H
ệ
ệ
q
q
u
u
ả
ả
:
:
2 2 2 2
sin 1 cos , cos 1 sin
1 1
tan , tan
cot cot
3
3
.
.
G
G
i
i
á
á
t
t
r
r
ị
ị
l
l
ư
ư
ợ
ợ
n
n
g
g
g
g
i
i
á
á
c
c
c
c
ủ
ủ
a
a
c
c
á
á
c
c
c
c
u
u
n
n
g
g
l
l
i
i
ê
ê
n
n
q
q
u
u
a
a
n
n
đ
đ
ặ
ặ
c
c
b
b
i
i
ệ
ệ
t
t
“Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, Tan Cot lệch ”
3
3
.
.
C
C
ô
ô
n
n
g
g
t
t
h
h
ứ
ứ
c
c
l
l
ư
ư
ợ
ợ
n
n
g
g
g
g
i
i
á
á
c
c
Công thức cộng:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) =
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
tan(a + b) =
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
1
sin a.cosa = sin2a
2
cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1
= 1 – 2 sin
2
a
tan2a =
2
2tan
1 tan
a
a
Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin
3
a
cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
Công thức hạ bậc:
cos
2
a =
1 cos2
2
a
sin
2
a =
1 cos 2
2
a
tg2a =
1 cos 2
1 cos 2
a
a
Công thức tính sinx, cosx, tanx, cotx theo
tan
2
x
t
:
sinx =
2
2
1
t
t
cosx =
2
2
1
1
t
t
tanx =
2
2
1
t
t
cotx =
2
1
2
t
t
Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
sin( )
tan tan ( , , )
cos .cos 2
a b
a b a b k k Z
a b
sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
a b
a b a b k k Z
a b
sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
a b
a b a b k k Z
a b
sin cos 2sin( ) 2 ( )
4 4
a a a cos a
sin cos 2sin( ) 2 ( )
4 4
a a a cos a
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
2
cos sin 2 ( ) 2sin( )
4 4
a a cos a a
Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
b a a b a b
P
P
H
H
ầ
ầ
N
N
2
2
:
:
C
C
Á
Á
C
C
H
H
À
À
M
M
S
S
Ố
Ố
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
1
1
.
.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
y
y
=
=
s
s
i
i
n
n
x
x
1) Tập xác định
D
.
2) Tập giá trị là [–1; 1].
3) Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ
T 2
.
4) Đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
và nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2 ,
2 2
k k k
.
5) Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua gốc tọa độ O.
2
2
.
.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
y
y
=
=
c
c
o
o
s
s
x
x
1) Tập xác định
D
.
2) Tập giá trị là [–1; 1].
3) Là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kỳ
T 2
.
4) Đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2k k
và nghịch biến trên mỗi khoảng
2 ; 2 ,k k k
.
5) Đồ thị là một đường hình sin, đối xứng qua trục tung Oy.
3
3
.
.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
y
y
=
=
t
t
a
a
n
n
x
x
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
3
1) Tập xác định
D \ k , k
2
.
2) Tập giá trị là
.
3) Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ
T
.
4) Đồng biến trên mỗi khoảng
; ,
2 2
k k k
.
5) Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng
2
x k k
làm một
đường tiệm cận.
4
4
.
.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
y
y
=
=
c
c
o
o
t
t
x
x
1) Miền xác định
D \ k , k
.
2) Tập giá trị là
.
3) Là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ
T
.
4) Nghịch biến trên mỗi khoảng
; ,k k k
.
5) Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và nhận mỗi đường thẳng
x k k
làm một
đường tiệm cận.
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
4
5
5
.
.
C
C
h
h
u
u
k
k
ỳ
ỳ
c
c
ủ
ủ
a
a
h
h
à
à
m
m
s
s
ố
ố
l
l
ư
ư
ợ
ợ
n
n
g
g
g
g
i
i
á
á
c
c
5.1. Định nghĩa:
Ta nói hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa f(x + T) = f(x).
Ví dụ 1: Hàm số y = sin5x có chu kỳ
2
T
5
vì:
2
sin 5 x sin(5x 2 ) sin 5x
5
. Hơn nữa,
2
T
5
là số nhỏ nhất do hàm số y = sint,
t = 5x có chu kỳ
2
.
5.2. Chú ý:
Hàm số
siny ax b
và
cosy ax b
đều là những hàm số tuần hoàn với cùng
chu kì
2
T
a
.
Hàm số
tany ax b
và
coty ax b
đều là những hàm số tuần hoàn với cùng
chu kì
T
a
.
Ví dụ 2:
o Hàm số y = cos7x có chu kỳ
2
T
7
.
o Hàm số
x
y sin
3
có chu kỳ
T 6
.
o Hàm số y = cotg6x có chu kỳ
T
6
.
o Hàm số
x
y tg
3
có chu kỳ
T 3
.
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
5
P
P
H
H
Ầ
Ầ
N
N
3
3
.
.
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
A
A
.
.
B
B
I
I
Ể
Ể
U
U
D
D
I
I
Ễ
Ễ
N
N
C
C
U
U
N
N
G
G
–
–
G
G
Ó
Ó
C
C
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
T
T
R
R
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ò
Ò
N
N
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
Nếu cung (hoặc góc) lượng giác
AM
có số đo là
k2
n
(hoặc
0
k.360
a
n
) với
k
,
n
thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau.
Ví dụ 1. Nếu sđ
AM k2
3
thì có 1 điểm M tại vị trí
3
(ta chọn k = 0).
Ví dụ 2. Nếu sđ
AM k
6
thì có 2 điểm M tại các vị trí
6
và
7
6
(ta chọn k = 0, k = 1).
Ví dụ 3. Nếu sđ
2
AM k
4 3
thì có 3 điểm M tại các vị trí
4
,
11
12
và
19
12
(ta chọn k = 0,
k = 1 và k = 2).
Ví dụ 4. Tổng hợp hai cung
x k
6
và
x k
3
.
Giải
Biểu diễn 2 cung
x k
6
và
x k
3
trên
đường tròn lượng giác ta được 4 điểm
6
,
3
,
5
6
và
4
3
cách đều nhau.
Vậy cung tổng hợp là:
x k
3 2
.
B
B
.
.
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
C
C
Ơ
Ơ
B
B
Ả
Ả
N
N
1)
cos x m m 1, m cos cos x cos
x k2
, k
x k2
2)
sin x m m 1, m sin sin x sin
x k2
, k
x +k2
3)
tan x m m tan x tan x tan x k , k
4)
cotx m m cot cot x cot x k , k
Phương trình cơ bản đặc biệt cần nhớ:
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
6
1)
cos x 0 x k , k
2
2)
cos x 1 x k2 , k
3)
cos x 1 x k2 , k
4)
sin x 0 x k , k
5)
sin x 1 x k2 , k
2
6)
sin x 1 x k2 , k
2
7)
2
sin x 1 cos x 0
8)
2
cos x 1 sin x 0
Ví dụ. Giải phương trình:
(cos x 1)(2 cos x 1)(tgx 3)
0
2 cos x 1
(2).
Giải
Điều kiện:
2
2 cos x 1 0 x k2
3
.
Ta có:
cos x 1
x k2
1
(2) cos x x k2
2 3
tgx 3
x k
3
.
So với điều kiện và tổng hợp nghiệm (hình vẽ), phương trình (2) có họ nghiệm là:
2
x k , k
3 3
.
Chú ý: Các họ nghiệm
2
x k
3 3
và
2
x k
3
cũng là các họ nghiệm của (2).
M
M
Ộ
Ộ
T
T
S
S
Ố
Ố
D
D
Ạ
Ạ
N
N
G
G
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
T
T
H
H
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G
G
G
Ặ
Ặ
P
P
1. Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác:
1) acos
2
x + bcosx + c = 0 2) asin
2
x + bsinx + c = 0
3) atg
2
x + btgx + c = 0 4) acotg
2
x + bcotgx + c = 0
Phương pháp giải toán:
Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu có).
Bước 2. Đưa phương trình về dạng at
2
+ bt + c = 0.
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
2 sin x sinx 2 0
(1).
Giải
Đặt t = sinx,
1 t 1
ta có:
2
(1) 2t t 2 0
1
t t 2
2
(loại)
sin x sin
4
3
x k2 x k2
4 4
.
Vậy (1) có các họ nghiệm
x k2
4
, k
3
x k2
4
.
Ví dụ 2. Giải phương trình
2
cot 3 cot 3 2 0x x
(2)
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
7
Giải
Đặt t = cot3x, ta có phương trình :
2
3
1 cot 3 1
3
4 3
2 0
4
2 cot 3 2 1
3
3 2
cot 2
cot 2
k
x
t x
x k
t t
t x k
x k
x
arc
arc
Vậy (2) có các họ nghiệm là
4 3
k
x
và
1
cot 2
3 2
k
x arc
,
k
.
Ví dụ 3. Giải phương trình
2
3
2 3tgx 6 0
cos x
(3).
Giải
Điều kiện
x k
2
, ta có:
2 2
(3) 3(1 tg x) 2 3tgx 6 0 3tg x 2tgx 3 0
.
Đặt t = tgx, ta được:
2
3t 2t 3 0
1
t t 3
3
tgx tg
x k
6
6
x k
tgx tg
3
3
(thỏa
điều kiện).
Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau.
Vậy (3) có họ nghiệm là
x k , k
6 2
.
2. Dạng bậc nhất theo sinx và cosx :
asinx + bcosx + c = 0 (*)
(a và b khác 0)
Phương pháp giải toán:
Cách 1:
Bước 1. Chia hai vế (*) cho a và đặt
b
tg
a
.
Bước 2. Biến đổi (*)
c c
sin x tg cos x sin(x ) cos
a a
.
Cách 2:
Bước 1. Chia hai vế (*) cho
2 2
a b
và đặt:
2 2 2 2
a b
cos , sin
a b a b
.
Bước 2. Biến đổi (*)
2 2
c
sin x cos cos x sin
a b
2 2
c
sin(x )
a b
.
Chú ý: Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
a
2
+ b
2
c
2
Ví dụ 1. Giải phương trình
3 sin x cosx 2
(1).
Giải
Cách 1
1 2 2
(1) sin x cos x sin x tg cos x
6
3 3 3
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
8
2
sin x cos sin x 1
6 6 6
3
2
x k2 x k2 , k
6 2 3
.
Cách 2
3 1
(1) sin x cos x 1 sin x 1
2 2 6
2
x k2 x k2 , k
6 2 3
.
Vậy (1) có họ nghiệm
2
x k2 , k
3
.
Ví dụ 2. Giải phương trình
sin 5x 3 cos5x 2 sin 7x
(2).
Cách 1
(2) sin 5x tg cos 5x 2 sin 7x
3
sin 5x 2cos sin 7x
3 3
7x 5x k2
3
sin 5x sin7x
2
3
7x 5x k2
3
x k
6
, k
x k
18 6
.
Cách 2
1 3
(2) sin5x cos5x sin 7x sin 7x sin 5x
2 2 3
7x 5x k2
3
2
7x 5x k2
3
x k
6
, k
x k
18 6
. Vậy (2) có các họ nghiệm
x k
6
, k
x k
18 6
.
3. Dạng đẳng cấp (thuần nhất) theo sinx và cosx :
3.1. Đẳng cấp bậc hai:
asin
2
x + bsinxcosx + ccos
2
x = 0 (*)
Phương pháp giải toán:
Cách 1:
Bước 1. Kiểm tra
x k
2
có là nghiệm của (*) không.
Bước 2. Với
x k
2
, chia hai vế của (*) cho cos
2
x ta được: (*)
atg
2
x + btgx + c
= 0.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa (*) về phương trình bậc nhất theo sin2x và
cos2x.
Ví dụ 1. Giải phương trình:
2
( 3 1)sin x ( 3 1)sin x cos x 3 0
(1).
Giải
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
9
Nhận thấy
x k
2
không thỏa (1).
Với
x k
2
, chia hai vế của (1) cho cos
2
x ta được:
2 2
(1) ( 3 1)tg x ( 3 1)tgx 3(1 tg x) 0
2
tg x ( 3 1)tgx 3 0
x k
tgx 1
4
tgx 3
tgx k
3
. Vậy các họ nghiệm của (1) là
x k
4
, k
tgx k
3
.
Ví dụ 2. Giải phương trình sin
2
x + 2
3
sinxcosx + 1 = cos
2
x (2).
Giải
(2) 3 sin2x cos2x 1 sin 2x sin
6 6
x k
2x k2
6 6
2
7
x k
2x k2
3
6 6
Cách khác:
2
(2) sin x 3 sin x cos x 0
sin x 0
sin x 3 cos x 0
x k
sin x 0
tgx 3
x k
3
.
Vậy (2) có các họ nghiệm là
x k
, k
2
x k
3
.
Chú ý:
Đối với mỗi cách giải khác nhau, ta có thể thu được nghiệm ở các dạng khác nhau nhưng sau khi
tổng hợp nghiệm thì chúng giống nhau.
3.2. Đẳng cấp bậc cao:
Phương pháp giải toán:
Cách 1:
Bước 1. Kiểm tra
x k
2
có là nghiệm của phương trình không.
Bước 2. Với
x k
2
, chia hai vế cho cos
n
x (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về
phương trình bậc n theo tgx.
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và nhân đôi, ta đưa về phương trình bậc cao theo sin2x hoặc
cos2x hoặc phương trình tích.
Ví dụ 3. Giải phương trình 2(cos
5
x + sin
5
x) = cos
3
x + sin
3
x (3).
Giải
Cách 1
Nhận thấy
x k
2
không thỏa (3).
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
10
Với
x k
2
, chia hai vế của (3) cho cos
5
x ta được:
5 2 3 2
(3) 2 2tg x 1 tg x tg x(1 tg x)
5 3 2
tg x tg x tg x 1 0
2 2
(tgx 1) (tgx 1)(tg x tgx 1) 0
tgx 1 x k k
4 4 2
.
Cách 2
3 2 3 2
(3) cos x(2 cos x 1) sin x(1 2 sin x)
3 3
cos x cos2x sin x cos2x
cos2x 0
tgx 1
x k
4 2
x k
4 2
x k
4
.
Vậy (3) có họ nghiệm là
x k , k
4 2
.
Chú ý:
5 5 3 3
2 cos x sin x cos x sin x
5 5 3 3 2 2
2 cos x sin x (cos x sin x)(cos x sin x)
5 5 3 2 2 3
cos x sin x cos x sin x cos x sin x 0
(đẳng cấp).
4. Dạng đối xứng đối với sinx và cosx:
a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*)
Phương pháp giải toán:
Bước 1. Đặt t = sinx + cosx =
2 sin x
4
2 t 2
và
2
t 1
sin x cos x
2
.
Bước 2. Thay vào (*) rồi ta giải phương trình bậc hai theo t.
Chú ý:
Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 cũng có cách giải tương tự bằng cách đặt t =
sinx – cosx.
Ví dụ 1. Giải phương trình: (
2
+ 1)(sinx + cosx) + sin2x +
2
+ 1 = 0 (1).
Giải
Đặt t = sinx + cosx
2 t 2
và sin2x = t
2
– 1.
Thay vào (1) ta được:
2
t ( 2 1)t 2 0 t 1 t 2
.
2 sin x 1 sin x sin
4 4 4
(1)
2 sin x 2 sin x 1
4 4
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
11
x k2
x k2
4 4
2
5
x k2 x k2
4 4
3
x k2
x k2
4 2
4
.
Vậy (1) có các họ nghiệm:
x k2
,
x k2
2
,
3
x k2
4
(k )
.
Ví dụ 2. Giải phương trình sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) (2)
Giải
Đặt t = sinx – cosx
2 t 2
và
2
1 t
sin x cos x
2
.
Thay vào (2) ta được:
2
2
t 1
1 t
6t 6 t 12t 13 0
2
t 13
(2) 2 sin x 1 sin x sin
4 4 4
x k2
x k2
4 4
2
5
x k2
x k2
4 4
Vậy (2) có các họ nghiệm
x k2
,
x k2
2
(k )
.
5. Dạng phương trình khác:
Không có cách giải tổng quát, tùy từng bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi để đưa về các
dạng đã biết cách giải.
Ví dụ 1. Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1).
Giải
1 1 1 1
(1) cos 8x cos 6x cos 8x cos 2x
2 2 2 2
x k
6x 2x k2
2
cos 6x cos 2x
6x 2x k2
x k
4
.
Vậy (1) có họ nghiệm là
x k , k
4
.
Ví dụ 2. Giải phương trình sin2x + sin4x = sin6x (2).
Giải
(2) 2 sin 3x cos x 2 sin 3x cos 3x sin 3x(cos 3x cos x) 0
x k
sin 3x 0 3x k
3
cos 3x cos x
3x x k2
x k
2
.
Vậy (2) có họ nghiệm là
x k
2
,
x k (k )
3
.
Ví dụ 3. Giải phương trình
2 2 2
sin sin 3 2sin 2x x x
(3)
C
C
H
H
U
U
Y
Y
ấ
ấ
N
N
P
P
H
H
N
N
G
G
T
T
R
R
è
è
N
N
H
H
L
L
N
N
G
G
G
G
I
I
C
C
L
L
u
u
y
y
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
-
-
H
H
12
Gii
1 cos 2 1 cos6
3 1 cos 4 cos 2 cos6 cos 4 2cos 4 cos 2 2cos 4 0
2 2
x x
x x x x x x x
cos 4 0
2cos 4 cos 2 1 0 ,
8 4
cos 2 1
k
x
x
x x k
x
x k
C. CC DNG PHNG TRèNH LNG GIC
I. Phơng trình bậc nhất đối với một hàm số lợng giác:
Bài 1. Giải các phơng trình sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
h)
i)
j)
II. Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác:
Bài 2. Giải các phơng trình sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
l)
m)
n)
p)
q)
Bài 3. Giải các phơng trình sau:
C
C
H
H
U
U
Y
Y
ấ
ấ
N
N
P
P
H
H
N
N
G
G
T
T
R
R
è
è
N
N
H
H
L
L
N
N
G
G
G
G
I
I
C
C
L
L
u
u
y
y
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
-
-
H
H
13
a)
b)
c)
d)
e)
f)
III. Phơng trình đẳng cấp bậc nhất đối với sinx và cosx:
Bài 4. Giải các phơng trình sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau:
a)
b)
Bài 6. Giải các phơng trình sau:
a)
b)
c)
d)
IV. Phơng trình đẳng cấp bậc Hai đối với sinx và cosx:
Bài 7. Giải các phơng trình sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
V. Phơng trình đối xứng và nửa đối xứng đối với sinx và cosx:
Bài 8. Giải các phơng trình sau:
a)
b)
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
14
c)
d)
e)
f)
g)
Bµi 9. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Bµi 10. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c
Bµi 1: T×m c¸c nghiÖm x(0;2) cña ph¬ng tr×nh:
Bµi 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh
Bµi 3: T×m c¸c nghiÖm
cña ph¬ng tr×nh:
Bµi 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
a.
b.
c.
d.
e.
C
C
H
H
U
U
Y
Y
ấ
ấ
N
N
P
P
H
H
N
N
G
G
T
T
R
R
è
è
N
N
H
H
L
L
N
N
G
G
G
G
I
I
C
C
L
L
u
u
y
y
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
-
-
H
H
15
Bài 5: Tìm tổng các nghiệm của phơng trình sau:
Bài 6: Giải các phơng trình
a.
b.
c.
d.
e.
Bài 7: Tìm mọi nghiệm của phơng trình:
thoả
mãn bất phơng trình
Bài 8: Giải các phơng trình
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Bài 9: Giải các phơng trình
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Bài 10: Giải các phơng trình
a.
b.
Bài 11: Tìm tổng các nghiệm x của phơng trình:
2;40xvới
Bài 12: Giải các phơng trình
a.
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
16
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Bµi 13: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
a.
b.
c.
d.
Bµi 14: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
a.
b.
c.
d.
Bµi 15: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Bµi 16: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Bµi 17: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
a.
C
C
H
H
U
U
Y
Y
ấ
ấ
N
N
P
P
H
H
N
N
G
G
T
T
R
R
è
è
N
N
H
H
L
L
N
N
G
G
G
G
I
I
C
C
L
L
u
u
y
y
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
-
-
H
H
17
b.
c.
Phơng trình lợng giác trong các đề thi đại học
(Trích trong đề thi tuyển sinh vào các trờng Đại học từ 1996 tới nay)
Bài 1: Giải các phơng trình sau
a. ĐHBK97:
b. ĐHBK98:
c. ĐHBK 2000:
Bài 2: Giải các phơng trình sau
a. PVBC 98:
b. ĐHCS 99: Tìm tất cả các nghiệm của phơng trình:
thoả
mãn
Bài 3: ĐHCS 2001 Tìm tất cả các nghiệm của phơng trình:
thoả mãn hệ bất phơng trình
Bài 4: Giải các phơng trình
a. BCVT 98:
b.CVT 99:
c. BCVT 01:
d. Dợc 98:
e. Dợc 99:
f. Dợc 01:
g. Đà Nẵng 97:
h. ĐH Đà Nẵng 2001:
;
Bài 5: Giải các phơng trình
C
C
H
H
U
U
Y
Y
ấ
ấ
N
N
P
P
H
H
N
N
G
G
T
T
R
R
è
è
N
N
H
H
L
L
N
N
G
G
G
G
I
I
C
C
L
L
u
u
y
y
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
-
-
H
H
18
a. ĐHGT 97:
;
b. ĐHGT 98:
c. ĐHGT 99:
d. ĐHGT 2000:
e. ĐHGT 2001:
Bài 6: Giải các phơng trình
a. HVHC 2001:
b. ĐH Huế 98:
c. ĐH Huế 2000:
Bài 7: ĐH Huế 2001 Cho phơng trình lợng giác
a. Giải phơng trình khi m = 1.
b. Chứng minh rằng với mọi tham số m thoả mãn điều kiện
thì phơng trình trên
luôn có nghiệm.
Bài 8: Giải các phơng trình:
a. ĐHKTQD 97:
b. ĐHKTQD 98:
c. ĐHKTQD 99:
d.KTQ00:
e. ĐHKTQD 2001:
Bài 9: Giải các phơng trình:
a. ĐHKT 97:
b. ĐHKT 99:
c. ĐHKT 2000:
Bài 10: ĐHKT 97 Cho phơng trình
a. Giải phơng trình với
2k
.
b. Với giá trị nào của k thì phơng trình có nghiệm?
Bài 11: ĐHKT 2001-Giải và biện luận theo m phơng trình:
Bài 12: Giải các phơng trình:
C
C
H
H
U
U
Y
Y
ấ
ấ
N
N
P
P
H
H
N
N
G
G
T
T
R
R
è
è
N
N
H
H
L
L
N
N
G
G
G
G
I
I
C
C
L
L
u
u
y
y
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
-
-
H
H
19
a. HVKTQS 98:
b. HVKTQS 99:
c. HVKTQS 2000:
- Giải phơng trình với m = 1.
- Tìm m để phơng trình có nghiệm trong đoạn
d. HVKTQS 2001:
Bài 13: Giải phơng trình:
a. ĐH Luật 98:
b. ĐH Luật 99:
Bài 14: ĐH Luật TPHCM 2001: Cho phơng trình:
- Giải phơng trình khi m = 2. - Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc
.
Bài 15: ĐH Mỏ ĐC:
a.97: Giải phơng trình:
b.98: Cho phơng trình
+ Giải phơng trình khi
. +Tìm tất cả các giá trị của m để mọi nghiệm của phơng
trình trên đều là nghiệm của phơng trình
.
c.99: Giải phơng trình
d.00: Giải phơng trình
e.01: e.1)Giải phơng trình
e.2)Chứng minh rằng không tồn tại tam giác mà cả ba góc của nó đều là nghiệm của phơng
trình:
Bài 17: HVNHTPHCM.Giải phơng trình
Bài 18: N.Thơng a. 1998: GPT
b. 1999: GPT
c. 2000: GPT
Bài 19 ĐHNN a. 1997: Cho phơng trình
. Xác định
các giá trị của tham số m để phơng trình đã cho có nghiệm và tìm nghiệm của nó khi m=-1.
C
C
H
H
U
U
Y
Y
ấ
ấ
N
N
P
P
H
H
N
N
G
G
T
T
R
R
è
è
N
N
H
H
L
L
N
N
G
G
G
G
I
I
C
C
L
L
u
u
y
y
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
-
-
H
H
20
b. 1998: GPT
c. 2000:
Bài 20. ĐHNLâmHCM 2001: GPT
Bài 21. HVQHQT
a.97: GPT
b.98:
c. 00: Cho hàm số
. Tính đạo hàm f'(x) và giải PT f'(x)=0
Bài 22.HVQY2000 GPT
Bài 23.ĐHQG
a.97 GPT
b.98 GPT
c.99:
d.00.
e. 01:
Bài 24.ĐHQGHCM
a. 97: Cho PT
+Biết
x
là một nghiệm của pt trên. Hãy giải phơng trình trong trờng hợp đó.
+Cho biết
là một nghiệm của pt trên. Hãy tìm tất cả các nghiệm của pt trên thỏa
mãn:
b.99: Cho
+GPT f(x)=0 với m=-3.
+ Tính theo m giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x). Từ đó tìm m sao cho
c.00: Cho pt
+ Gpt khi m=-1. +Tìm m sao cho pt trên có đúng hai nghiệm
.
Bài 25. ĐHSPHN
a.00: Tìm nghiệm của pt
thỏa mãn
b.01: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
Bài 26. ĐHSP2 a.99: Gpt
b.00. Tìm
Zx
của pt
C
C
H
H
U
U
Y
Y
ấ
ấ
N
N
P
P
H
H
N
N
G
G
T
T
R
R
è
è
N
N
H
H
L
L
N
N
G
G
G
G
I
I
C
C
L
L
u
u
y
y
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
-
-
H
H
21
Bài 27. SPHCM 00: Gpt
Bài 28. SPVinh a.97. Giải hệ
b.98.
c.99:
d.00:
Bài 29.TCKT
a.97.
b.99.
c.00.
Bài 30. TNguyên a.97.
b.00. +Giải pt
+ Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình trên tơng đơng với phơn trình
Bài 31. ĐHT.Mại. a.97:
b.99.
c.00.
d.01.
Bài 32. Thủy Lợi a.97. Cho
+ Tính
)
24
('
f
+ Giải phơng trình
+ Tìm điều kiện để pt
có
nghiệm.
b.98.
c.99.
d.00.
e.01.
Bài 33.Xây dựng a. 97.
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
22
b.98. Gi¶i vµ BL
c.99.
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
D. PHẦN ĐỀ THI CAO ĐẲNG – ĐẠI HỌC TỪ 2002 – 2009
Đ
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
1 cos8
2
x
4
1
4
2
4
2
x
4
3
cos212cos3
2
xx
x
x
xtg
2
2
cos
12cos
3)
2
0
sin22
cos.sin)sin(cos2
66
x
xxxx
4)
2
x
2
cos1
sin
)
2
3
x
x
x
2 3 2
8
2
6
x
cos3 sin3
(sin ) cos2 3
1 2sin2
x x
x x
x
(0;2 )
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
2
2sin x
2 2 2
sin ( ) tan cos 0
2 4 2
x x
x
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x
sin 2 cos2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
2 2 sin .cos 1
12
x x
3
3
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
23
2
5 3sin x 4cosx 1 2cosx
2 2
tan x.sin x 2sin x 3(cos2x sinx.cosx)
3 3
(1 tan x)cos x (1 cot x)sin x 2sin2x
5 2sin
sin sin
2 2
cos
2
x x x
x
cos 2 cos
cot 4 cot
sin .sin 4
x x
x x
x x
cos3 .cos sin 2 0
6 3
x x x
2
sin(2 ) sin( )
4 4 2
x x
1
( ) sin(2 )
3 6 2
x x
2
x
C
C
H
H
U
U
Y
Y
Ê
Ê
N
N
Đ
Đ
Ề
Ề
P
P
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
T
T
R
R
Ì
Ì
N
N
H
H
L
L
Ư
Ư
Ợ
Ợ
N
N
G
G
G
G
I
I
Á
Á
C
C
L
L
u
u
y
y
ệ
ệ
n
n
t
t
h
h
i
i
C
C
Đ
Đ
-
-
Đ
Đ
H
H
24
2
3 3
2 ( )
2
2
k
x
x k k
x k
2
3
k
k
3
4
x k
x k
( )
4
k
x k
x k
2
,
3
x k k
( )
4 2
x k k
x k2
x k ; x m
4 3
x k
4
5
2 ; 2
6 6
x k x k
;
4 2 8 2
x k x k
; 2
4 3
x k x k
3
k
2
6 3
k
4
k
ối A – 2009)
3
)sin1).(sin21(
cos).sin21(
xx
xx
64(Khối B – 2009)
)sin4(cos2
3.32sin.cossin
3
xx
xcoxxx
65) (Khối D – 2009)
0sin2cos.3sin25cos.3 xxxx
