slike bài giảng toán học 11 bài phương pháp quy nam toán học

SỞ GD & ĐT ĐIỆN BIÊN
TRƯỜNG THPT HUYỆN ĐIỆN BIÊN
Cuộc thi thiết kế bài giảng E – learning
……………………



Họ Và Tên: Trần Thế Dũng
Môn : Toán
Lớp : 11
Bài giảng:
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Tiết theo ppct: 37- Ban cơ bản
Huyện Điện Biên, ngày 10 tháng 1 năm 2014

CHƯƠNG III
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
§1. Phương pháp quy nạp toán học
§2. Dãy số
§3. Cấp số cộng
§4 Cấp số nhân

§
1.
Tiết : 37

MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU
-
Hiểu nội dung của phương pháp quy nạp toán học
bao gồm hai bước (bắt buộc) theo một trình tự quy

định.
- Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp
toán học để giải các bài toán một các hợp lí.
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP
TOÁN HỌC

Hoạt động 1:( SGK Tr – 80)

a) Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai
b) ∀n∈N* thì P(n), Q (n) đúng hay sai
P(n): “ < n +100 ” và Q(n): “
3
n
> n ” với n∈N*
2
n
Xét hai mệnh đề chứa biến:
HOẠT ĐỘNG 1:

Xét hai mệnh đề chứa biến
Xét hai mệnh đề chứa biến
( ) :"3 100"< +
n
P n n
( ) :"2 ">
n
Q n n
và
và
với n

với n
∈
∈
N*
N*
b. Với mọi n ∈*
P(n) sai;
Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn.
Trả lời:
a. Q(n) P(n)
n 3
n
1
2
3
4
5
3
9
27
81
243
ss
n+100
101
102
103
104
105
<

Kq
Đ
Đ
Đ
Đ
S
n
2
n
1
2
3
4
5
2
4
8
16
32
ss
n
1
2
3
4
5
>
>
>
>

>
Kq
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
<
<
<
>
Hoạt động 1

Việc chứng tỏ cho Q(n) đúng với mọi số tự nhiên n ∈*
bằng cách thử với 1 số giá trị của n “ Cho dù làm được với
số lượng lớn” cũng không thể được coi là chứng minh
hơn nữa tập số tự nhiên là vô hạn nên việc thử là không
thể thực hiện được
Vì vậy: chúng ta cần có một phương pháp cụ thể để
chứng minh những mệnh đề đó. Một phương pháp chứng
minh hiệu quả đó là phương pháp quy nạp toán học.

I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên
bất kì: n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với
n = k + 1.
Trường hợp mệnh đề liên quan đến số tự nhiên

n∈N
*
ta thực hiện:
Đó là phương pháp quy nạp toán học
( phương pháp quy nạp)
I.
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:

II. VÍ DỤ ÁP DỤNG

*,
( 1)
1 2 3 4 (1)
2
n n
n
n

+
+ + + + + =
Ơ: Chứng minh rằng với mọi ta luôn cóVD 1
) 1.
)
Hãy kiểm tra đẳng thức (1) khi
Em có thể kiểm tra đẳng thức (1) với mọi giá trị nguyên d'ơng
của hay
H
g?
1

khôn
a n
b
n
=
*?
Vậy làm thế nào để khẳng định đ'ợc
đẳng thức (1) đúng với mọi nƠ
( )
* ".1Nếu (1) đúng khi thì (1
Hãy chứng minh
) cũng đúng khi
rằn

g:
" n k n kk = = +Ơ

*,
( 1)
1 2 3 4 (1)
2
n n
n
n

+
+ + + + + =
Ơ: Chứng minh rằng với mọi ta luôn cóVD 1
( )
1.

2) *
*
1.
(1) đúng khi
Nếu (1) đúng khi thì (1) cũng
Với hai khẳng định:
1)
Ta có thể suy ra đ'ợc (1) đúng với mọi hay không?
đú
Vì
ng khi
s ?

ao
k
n
n
n k n k
=
+

= =
Ơ
Ơ
( )
( )
.
*,
2)
" *

1 Bằng cách kiểm tr
Nh' vậy, để chứng minh (1) đún
Chứng minh (1) đúng khi
Chứng minh khẳng địn
g với mọi ta có th
h:
Nếu (1) đúng kh
ể làm nh' s
i
au:
1)
thì (1) cũng đúng khi
a trực tiếpn
n
n
n kkk

=
= + =
Ơ
Ơ 1".
*.: (1) đúng với mọi Kết luận n

Ơ

Ví dụ 1:
Chứng minh rằng với mọi n
Chứng minh rằng với mọi n
∈
∈

N*, ta có:
N*, ta có:
( 1)
1 2 3 4 (1)
2
n n
n
+
+ + + + + =

( 1)
1 2 3 4 (1)
2
n n
n
+
+ + + + + + =
Lời giải:
+) Với n = 1, ta có
VT(1) 1,
=
+) Giả sử (1) đúng đến n = k ≥ 1, nghĩa là
(GTQN)
( 1)
1 2 3 4
2
k k
k
+
+ + + + + =

Xét khi n = k+1, Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1,
( 1)[( 1) 1]
1 2 3 4 ( 1) (2)
2
( 1)( 2)
2
k k k k
k k
+ + +
+ + + + + + +
+
=
+
=
Thật vậy:
(2) 1 2 3 4 ( 1 (1 2 3) 4 ( ) 1)VT k k kk= + + + + ++ + + + + = + ++ +
( 1)
2
( 1)k
k k +
= + +
[ ]
( )
( 1) ( 1) 1
(
2
1) 2
2
k k
k k+ + +

=
+
=
+
Vậy với mọi n ∈N*, ta có:
( 1)
1 2 3 4 (1)
2
n n
n
+
+ + + + + =
(2) (2)VT VP⇒ =
Vậy: (1) đúng với mọi n∈N*.
, vậy đẳng thức (1) đúng.
=> Đẳng thức (1) đúng khi n = k+1
1(1 1)
VP(1) = 1
2
+
=
,VT=VP=1

Ví dụ 2:Chứng minh rằng với n∈N* thì :
2
1 3 5 (2 1)n n
+ + + + − =

1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n
2

(1)
Giải:
1) Khi n = 1:
2) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 ta có:
1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k
2
(gt quy nạp)
Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh

1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)
2
(2)
Thật vậy:
VT (2)= [(1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) ] + [2(k + 1) – 1]

Vậy: (1) đúng với mọi n∈N*.
VT = 1,

VP = 1
2
= 1.VT = VP = 1.
Vậy (1) đúng.

= k
2
= ( k + 1)
2
= VP.
+ 2k + 1

n =2 VT=1+3=4, VP =4
n =3 VT=1+3+5=9, VP = 9
Vậy (1) đúng khi n = k+1

Ví dụ 3. Cho hai số 3
n
và 8n với n ∈N
*

a) So sánh 3
n
và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng qui nạp.
n 3
n
? 8n
1 3 8
2 9 16
3 27 24
4 81 32
5 243 40
Lời giải: a,
n 3
n
? 8n
1 3 < 8
2 9 < 16
3 27 > 24
4 81 > 32
5 243 > 40

b, Chứng minh rằng 3
n
> 8n (*)với mọi n ≥ 3.
Giải
Bước 1.Khi n= 3 ta có VT=3
3
= 27,VP = 8.3=24,vậy(*) đúng
Bước 2. Giả sử đẳng thức(*) đúng với n = k ≥ 3,
nghĩa là (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh đẳng thức (*)cũng đúng với n = k + 1,
tức là 3
k+1
> 8(k+1).
Thật vậy, ta có 3
k+1
= 3.3
k
. Mà theo GTQN ta có 3
k
> 8k
nên 3
k+1
> 3.8k = 24k = 8k + 16k. Vì k ≥ 3 nên 16k ≥ 48.
Do đó 3
k+1
> 8k + 16k > 8k + 48 > 8k + 8 = 8(k + 1).
Vậy 3
n
> 8n với mọi n ≥ 3.

3 8
k
k>
Ta thấy chỉ khi n ≥ 3.
3 8
n
n
>

 Chú ý
Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi
số tự nhiên n
≥
p ( p là một số tự nhiên ) thì :
•
Ở bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
•
Ở bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với số tự
nhiên bất kỳ n = k ≥ p, ta phải chứng minh mệnh
đề cũng đúng với n = k+1.

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bài toán : Chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số
tự nhiên n∈N* (hay n ≥ p, p∈N*)
Bước 1:
Bước 2 :
Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 1
Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự
nhiên bất kỳ n = k ≥ 1 (hay n = k ≥ p).
Ta phải Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1

Phương pháp quy nạp :
(hay n = p)
CỦNG CỐ

Dặn dò:
•
Về nhà học bài, làm bài tập: 1, 4,5
(trang 82-83 SGK).
•
Đọc thêm bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”.

Bài tập rèn luyện

HƯỚNG DẪN TỰ HỌC
HƯỚNG DẪN TỰ HỌC
Bài 1 Cho tổng:
với n ∈ *
a. Tính S
1
, S
2
, S
3
b. Dự đoán công thức tính tổng S
n
và chứng minh bằng quy nạp.
1 1 1
1.2 2.3 ( 1)
n
S

n n
= + + +
+
L

Hướng dẫn bài 1- Câu hỏi trắc nghiệm