SKKN toán 9 căn bậc HAI

Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
Phần I : Mở đầu
A - Lý do chọn đề tài

Hin nay vi s phỏt trin mnh m ca t nc, c bit l s phỏt trin
nh v bo ca khoa hc k thut. Theo hng ú, ngnh giỏo dc phi thay i
tm nhỡn v phng thc hot ng l yờu cu tt yu vỡ sn phm ca giỏo dc
l nhõn cỏch ca con ngi. Nú quyt nh vn mnh tng lai ca mt t nc,
iu ny th hin rừ: Coi giỏo dc v o to l quc sỏch hng u cựng vi
khoa hc cụng ngh l yu t quyt nh gúp phn phỏt trin khoa hc v xó hi.
Do ú cn phi i mi cn bn, ton din nn giỏo dc v o to ca Vit Nam
theo hng chun húa, hin i húa, xó hi húa, dõn ch húa v hi nhp quc t.
Trong giỏo dc, mụn toỏn cú mt v trớ quan trng. Trong nh trng cỏc
tri thc toỏn giỳp hc sinh hc tt cỏc mụn hc khỏc, trong i sng hng ngy
thỡ cú c cỏc k nng tớnh toỏn, v hỡnh, c, v biu , o c, c lng,
t ú giỳp con ngi cú iu kin thun li tin hnh hot ng lao ng
trong thi kỡ cụng nghip húa v hin i húa t nc.
Thc t, a s hc sinh u rt ngi hc toỏn so vi cỏc mụn hc khỏc, c
bit l hc sinh u cp THCS. Do ln u tiờn tip xỳc vi mụi trng mi, khi
hc a s cỏc em vn dng kin thc t duy cũn nhiu hn ch, kh nng suy
lun cha nhiu, kh nng phõn tớch cha cao do ú vic gii toỏn ca cỏc em
gp nhiu khú khn. Vỡ th ớt hc sinh gii ỳng, chớnh xỏc, gn v hp lớ.
Mc khỏc trong quỏ trỡnh ging dy do nng lc, trỡnh giỏo viờn mi ch
dy cho hc sinh mc truyn th trờn tinh thn ca sỏch giỏo khoa m cha
cú phõn loi dng toỏn, cha khỏi quỏt c cỏch gii mi dng toỏn cho hc
sinh. Do ú mun bi dng nng lc gii toỏn cho hc sinh phi din t mi
quan h nhng dng toỏn ny n dng toỏn khỏc. Vỡ vy nhim v ca ngi
thy giỏo khụng phi l gii bi tp cho hc sinh m vn t ra l ngi thy
l ngi nh hng, hng dn cho hc sinh cỏch tin hnh gii bi toỏn, vi
nhng lớ do ú tụi mnh dng chn ti: Mt s bin phỏp bi dng nng
lc gii toỏn phn Phõn s ca hc sinh lp 6

.
B - Thời gian nghiên cứu

Đợc chia làm 3 giai đoạn chính :


Trờng THCS Cẩm Xá Trang -1
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
1. Giai đoạn 1 :
Bắt đầu từ tháng 2 năm 2011 đến tháng 5 năm 2011. (Tìm hiểu thực
trạng thực tiễn, phát hiện nguyên nhân và đề ra biện pháp bồi dỡng)
2. Giai đoạn 2 :
Bắt đầu từ tháng 2 năm 2012 đến tháng 5 năm 2011.
3 Giai đoạn 3 :
Hoàn thành và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm 15 tháng 11 năm 2011.
C - Mục đích nghiên cứu

- Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với
mục đích nh sau :
+ Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phơng pháp dạy học
tích cực rất rễ thực hiện khi lên lớp.
+ Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán 9 THCS Cẩm Xá
nói riêng, có thêm thông tin về PPDH tích cực này, nhằm giúp họ rễ ràng phân
tích để đa ra biện pháp tối u. Khi áp dụng phơng pháp vào dạy học và trong sáng
kiến này cũng tạo cơ sở để các GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và
quy mô xuyên suốt hơn.
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải
trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chơng căn bậc hai để từ đó có thể giúp học
sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc
trong thi cử, kiểm tra. . . Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán 9 có

thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải
toán về căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ
t duy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con ng-
ời học sinh.
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh
nghiệm để làm luận cứ cho phơng pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo.
D - Phạm vi nghiên cứu

Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số Nhóm sai lầm mà học sinh th-
ờng mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chơng I - Đại số 9.
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy đợc những
lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác.
Từ đó định hớng cho học sinh phơng pháp giải bài toán về căn bậc hai nhằm
nâng cao chất lợng học của học sinh lớp 9.
E - Đối tợng nghiên cứu

Nh đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai
nhóm đối tợng cụ thể sau :
1. Giáo viên dạy toán 9 và học sinh lớp 9 THCS Cẩm xá năm học 2010
2011 và 2011 - 2012
2. Kiến thức phần CĂN BậC HAI trong chơng I, Toán Đại số lớp 9.


Trờng THCS Cẩm Xá Trang -2
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
F - Phơng pháp nghiên cứu

- Đọc sách, tham khảo tài liệu.
- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp.
- Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm.

- Thông qua học tập BDTX các chu kỳ.
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinh
nghiệm của trờng trong những năm học trớc và vốn kinh nghiệm của bản thân đã
rút ra đợc một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến.
Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà
học sinh mắc phải. Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm
tra dới các hình thức khác nhau, bớc đầu tôi đã nắm đợc các sai lầm mà học sinh
thờng mắc phải khi giải bài tập. Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm
cơ bản.
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những
phơng pháp sau :
- Quan sát trực tiếp các đối tợng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà
học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó.
- Điều tra toàn diện các đối tợng học sinh trong 4 lớp 9 (136 học sinh) trong
năm học 2010 2011 và 3 lớp 9 (112 học sinh) trong năm học 2011 2012 để
thống kê học lực của học sinh. Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn toán,
quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan đến
căn bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm ).
- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độ nhận
thức, phơng pháp và chất lợng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lợng
giáo dục.
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết
trả bài kiểm tra. . . tôi đã đa vấn đề này ra hớng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo
luận bằng nhiều hình thức khác nhau nh hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi
mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh đợc những sai lầm trong khi giải bài tập.
Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đa
thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận
thức và suy luận của học sinh.
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đang
nghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà

học sinh thờng mắc phải khi giải toán. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các
giờ dạy tiếp theo.
G - Tài liệu tham khảo

1. Sách " Một số vấn đề về đổi mới PPDH ở trờng THCS môn toán" của Bộ
giáo dục và Đào tạo
2. Tài liệu bồi dỡng thờng xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007)
môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo.
3. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở môn toán của
Bộ giáo dục và Đào tạo.
4. Giáo trình " Phơng pháp dạy học toán"


Trờng THCS Cẩm Xá Trang -3
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
Tác giả Hoàng Chúng - BGD&ĐT
5. Cẩm nang dạy và học toán THCS
Tác giả Vũ Hữu Bình, nhà xuất bản GD
6. Dạy Học toán THCS theo hớng đổi mới
Tác giả Tôn Thân Vũ Hữu Bình, nhà xuất bản GD.
7. SGK và SGV toán 6, 7, 8, 9. (BGD&ĐT)
Phần II : nội dung
A. Chơng I
:
cơ sở lý luận

I - Quan điểm về đổi mới phơng pháp dạy học và phơng
pháp dạy học tích cực
1. Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học :
Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phơng pháp giáo dục phải phát

huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ngời học; bồi dỡng cho
ngời học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn
lên".
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã
hội chủ nghĩa, xây dựng t cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh
tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc"; Chơng trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số
16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng
đã nêu : "Phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù
hợp với đặc trng môn học, đặc điểm đối tợng học sinh, điều kiện của từng đối t-
ợng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dỡng cho học sinh phơng pháp tự
học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác
động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho HS".
- Quan điểm dạy học : là những định hớng tổng thể cho các hành động ph-
ơng pháp, trong đó có sự kết hợp giữa các nguyên tắc dạy học làm nền tảng,
những cơ sở lý thuyết của lý luận dạy học, những điều kiện dạy học và tổ chức
cũng nh những định hớng về vai trò của GV và HS trong quá trình dạy học. Quan
điểm dạy học là những định hớng mang tính chiến lợc, cơng lĩnh, là mô hình lý
thuyết của PPDH. Những quan điểm dạy học cơ bản : DH giải thích minh hoạ,
DH gắn với kinh nghiệm, DH kế thừa, DH định hớng HS, DH định hớng hành
động, giao tiếp; DH nghiên cứu, DH khám phá, DH mở.
2. Phơng pháp dạy học tích cực
Việc thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi mới
đồng bộ từ mục tiêu, nội dung, phơng pháp, PTDH đến cách thức đánh giá kết
quả dạy học, trong đó khâu đột phá là đổi mới PPDH.
Mục đích của việc đổi mới PPDH ở trờng phổ thông là thay đổi lối dạy học
truyền thụ một chiều sang dạy học theo phơng pháp dạy học tích cực(PPDHTC)
nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện

thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào
những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềm


Trờng THCS Cẩm Xá Trang -4
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
vui, hứng thú trong học tập. Làm cho "Học" là quá trình kiến tạo; HS tìm tòi,
khám phá, phát hiện luện tập khai thác và sử lý thông tin

HS tự hình thành hiểu
biết, năng lực và phẩm chất. Tổ hoạt động nhận thức cho HS, dạy HS cách tìm ra
chân lý. Chú trọng hình thành các năng lực(tự học, sáng tạo, hợp tác,

) dạy ph-
ơng pháp và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học. Học để đáp ứng những
yêu cầu của cuộc sống hiện tại và tơng lai. Những điều đã học cần thiết, bổ ích
cho bản thân HS và cho sự phát triển xã hội.
PPDH tích cực đợc dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không
hoạt động, thụ động. PPDHTC hớng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức
của HS, nghĩa là hớng vào phát huy tính tích cực, chủ động của ngời học chứ
không chỉ hớng vào phát huy tính tích cực của ngời dạy.
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy quyết định cách
học, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng ảnh hởng đến cách dạy
của thầy. Mặt khác, cũng có trờng hợp HS mong muốn đợc học theo PPDHTC nh-
ng GV cha đáp ứng đợc. Do vậy, GV cần phải đợc bồi dỡng, phải kiên trì cách
dạy theo PPDHTC, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ
thấp đến cao, hình thành thói quen cho HS. Trong đổi mới phơng pháp phải có sự
hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới có
kết quả. PPDHTC hàm chứa cả phơng pháp dạy và phơng pháp học.
* Đặc trng của phơng pháp dạy học tích cực :

a) dạy học tăng cờng phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo
thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh.
b) Dạy học trú trọng rèn luyện phơng pháp và phát huy năng lực tự học của
HS.
c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác.
d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá.
e) Tăng cờng khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện
thực tế về cơ sở vật chất, về đội ngũ GV
3. Căn cứ vào mục tiêu của ngành giáo dục Đào tạo con ngời phát triển
toàn diện căn cứ vào nhiệm vụ năm học 2010 2011 và nhiệm vụ đầu năm học
2011 -2012 là tiếp tục đổi mới chơng trình SGK, nội dung phơng pháp giáo dục ở
tất cả các bậc học, cấp học, ngành học Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán bộ quản
lý giáo dục có đủ phẩm chất giáo dục chính trị, đạo đức, đủ về số lợng, đồng bộ
về cơ cấu, chuẩn hoá về trình độ đào tạo

Nhằm nâng cao chất lợng giáo dục.
II - Cơ sở thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm
1. Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng
nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hớng dẫn học sinh
giải toán Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái
niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học.
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh cha linh
hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự t duy thì học sinh
không xác định đợc phơng hớng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không
làm đợc bài.
Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một
số học sinh còn rất yếu.
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chơng

Trờng THCS Cẩm Xá Trang -5
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
I đại số 9 thì ngời thầy phải nắm đợc các khuyết điểm mà học sinh thờng mắc
phải, từ đó có phơng án Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán
về căn bậc hai
2. Chơng Căn bậc hai, căn bậc ba có hai nội dung chủ yếu là phép khai
phơng(phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi
biểu thức lấy căn bậc hai. Giới thiệu một số hiểu biết về căn bậc ba, căn thức bậc
hai và bảng căn bậc hai.
3. Cách trình bày và đa ra định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai ở chơng trình
SGK cũ năm học 2004-2005 :
a) Nhắc lại một số tính chất của luỹ thừa bậc hai :
- Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm.
- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau có bình phơng bằng nhau và ngợc lại nếu
hai số có bình phơng bằng nhau thì chúng bằng nhau hoặc đối nhau.
- Với hai số a,b : Nếu a>b thì a
2
> b
2
và ngợc lại nếu a
2
> b
2
thì a >b.
- Bình phơng của một tích(hoặc một thơng) bằng tích(hoặc thơng) các bình
phơng các thừa số(hoặc số bị chia với bình phơng số chia).
b) Căn bậc hai của một số :
* Xét bài toán : Cho số thực a. Hãy tìm số thực x sao cho x
2
= a. Ta thấy :

- Nếu a< 0 thì không tồn tại số thực x nào thoả mãn x
2
=a
- Nếu a > 0 có hai số thực x mà x
2
=a, một số thực dơng x
1
>0 mà x
1
2
=a và
một số thực âm x
2
<0 mà x
2
2
=a, hơn nữa đó là hai số đối nhau.
* Công nhận : Ngời ta chứng minh đợc rằng với mọi số thực a
0
luôn luôn
tồn tại số thực duy nhất x

0 mà x
2
=a. Ta ký hiệu x =
a
và gọi là căn bậc hai số
học của a.
* Từ đó đa ra định nghĩa : căn bậc hai số học (CBHSH) của một số a

0 là
số không âm x =
a

0 có bình phơng bằng a :



==

=
aax
x
ax
22
)(
0
* Đa ra chú ý : a) Số
a
<0, số đối của CBHSH
a
của a (a>0) đợc gọi là
căn bậc hai âm của a. Nh vậy mỗi số thực a> 0 có 2 căn bậc hai là hai số đối nhau
:
0>a
gọi là CBHSH hay còn gọi là căn bậc hai dơng của a.
0< a
gọi là căn bậc hai âm của a.
b) Căn bậc hai số học có thể coi là kết quả của phép toán sau :
:)(

R
+


R
+
a


a
sao cho
aa =
2
)(
phép toán đó gọi là phép khai phơng
hay phép khai căn bậc hai trên R
+
, đó là phép toán ngợc của phép bình phơng trên
R
+
.
4. Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9 (SGK mới) :


Trờng THCS Cẩm Xá Trang -6
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
a) Đa ra kiến thức đã biết ở lớp 7 :
- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
=a.

- Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdơng kí hiệu là
a
và số âm kí hiệu là -
a
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
0
= 0
.
b) Đa ra định nghĩa : Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số học
của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0.
c) Đa ra chú ý : Với a

0, ta có :
Nếu x=
a
thì x 0 và x
2
=a;
Nếu x 0 và x
2
=a thì x=
a
. Ta viết :

2
0x
x a
x a

=

=


d) Đa ra nội dung về phép khai phơng : Phép toán tìm căn bậc hai số học
của số không âm gọi là phép khai phơng.
e) Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định đợc các căn
bậc hai bậc hai của nó.
III - Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai
1. Kiến thức :
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phơng(phép tìm căn bậc
hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai.
* Nội dung của phép khai phơng gồm :
- Giới thiệu phép khai phơng(thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai
số học của số không âm)
- Liên hệ của phép khai phơng với phép bình phơng(với a0, có
( )
aa =
2
;
với a bất kỳ có
||
2
aa =
)
- Liên hệ phép khai phơng với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về
so sánh các căn bậc hai số học : Với a 0, b 0, ta có : a < b

ba <
)
- Liên hệ phép khai phơng với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý
Với a 0, b 0, ta có :
baab =
và định lý Với a 0, b > 0, ta có :
b
a
b
a
=
)
* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi
các công thức sau :
2
A
= | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức )
BAAB =
( với A, B là hai biểu thức mà A 0, B 0)


Trờng THCS Cẩm Xá Trang -7
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
B
A
B
A
=
( với A, B là hai biểu thức mà A 0, B > 0)
BABA ||

2
=
( với A, B là hai biểu thức mà B 0 )
AB
BB
A 1
=
( với A, B là hai biểu thức mà AB 0, B 0 )
B
BA
B
A
=
( với A, B là biểu thức và B > 0)
2
)(
BA
BAC
BA
C

=


(với A, B, C là biểu thức mà A 0 và A B
2
)
BA
BAC
BA

C

=

)(
(với A, B, C là biểu thức mà A 0, B 0 và A B)
* Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và
chủ yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu
thức( một số phép chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ. Một số phép gắn với
trình bày tính chất phép tính khai phơng).
2. Kỹ năng :
Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức.
* Có thể kể các kỹ năng về tính toán nh :
- Tìm khai phơng của một số (số đó có thể là số chính phơng trong khoảng
từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thơng của chúng, đặc biệt là tích hoặc thơng của số
đó với số 100)
- Phối hợp kỹ năng khai phơng với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số (tính
theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai
phơng )
* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức nh :
- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tơng ứng với các công thức nêu ở phần trên (
với công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B
thành A). Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn (thức) bậc hai có thể coi là vận dụng
công thức
BAAB =
theo chiều từ phải qua trái.
- Phối hợp các kỹ năng đó( và cả những kỹ năng có trong những lớp trớc) để
có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Chẳng hạn kỹ năng
trục căn thức ở mẫu.
Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính

mục đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng
sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn
nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả
mãn điều kiện nào đó.)
Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng đợc hình thành
và củng cố trong phần này nh :
- Giải toán so sánh số
- Giải toán tìm x
- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho


Trờng THCS Cẩm Xá Trang -8
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
- Một số lập luận trong giải toán so sánh số(củng cố tính chất bất đẳng thức
nêu ở toán 8)
- Một số kỹ năng giải toán tìm x ( kể cả việc giải phơng trình tích)
- Kỹ năng tra bảng số và sử dụng máy tính.
Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu
của phần kiến thức này ( ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ
năng tơng ứng và nhiều khi, chẳng hạn nh giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua
hình thành kỹ năng ).
B. Chơng II : Nội dung thực hiện
I - Các bớc tiến hành
1. Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm.
2. Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp.
3. Đăng ký sáng kiến, làm đề cơng.
4. Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến.
Qua khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập.
5. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn bậc
hai thành từng nhóm.

6. Đa ra định hớng, các phơng pháp tránh các sai lầm đó. Vận dụng vào các
ví dụ cụ thể.
7. Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm.
II - Khảo sát đánh giá
Những giờ giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm tra đầu giờ, qua luyện tập, ôn
tập. GV cần lu ý đến các bài toán về căn bậc hai, xem xét kĩ phần bài giải của học
sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra những sai sót (nếu có) trong bài giải, từ đó giáo
viên đặt ra các câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa phần bài giải cho chính
xác.
Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong khi giải toán
tìm căn bậc hai của 136 học sinh lớp 9 năm học 2010-2011 là : 58/136 em chiếm
42,64%.
Trong bài kiểm tra chơng I - Đại số 9 năm học 2010-2011 của 136 học sinh
thì số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn bậc hai là 68/136 em chiếm
50 %( nghiên cứu tổng hợp qua giáo viên dạy toán 9 năm học 2010-2011)
Nh vậy số lợng học sinh mắc sai lầm trong khi giải bài toán về căn bậc hai
là tơng đối cao, việc chỉ ra các sai lầm của học sinh để các em tránh đợc khi làm
bài tập trong năm học 2011 - 2012 này là một công việc vô cùng quan trọng và
cấp thiết trong quá trình giảng dạy ở trờng THCS Cẩm Xá.
III - Phân tích những điểm khó và mới trong kiến thức về
căn bậc hai
So với chơng trình cũ thì chơng I - Đại số 9 trong chơng trình mới này có
những điểm mới và khó chủ yếu sau :
1. Điểm mới :
- Khái niệm số thực và căn bậc hai đã đợc giới thiệu ở lớp 7 và tiếp tục sử
dụng qua một số bài tập ở lớp 8. Do đó, SGK này chỉ tập trung vào giới thiệu căn


Trờng THCS Cẩm Xá Trang -9
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9

bậc hai số học và phép khai phơng.
- Phép tính khai phơng và căn bậc hai số học đợc giới thiệu gọn, liên hệ giữa
thứ tự và phép khai phơng đợc mô tả rõ hơn sách cũ (nhng vẫn chỉ là bổ sung
phần đã nêu ở lớp 7)
- Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình bày nhẹ hơn (nhẹ
căn cứ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp của các bài tập)
- Cách trình bày phép tính khai phơng và phép biến đổi biểu thức chứa căn
thức bậc hai đợc phân biệt rạch ròi hơn (Tên gọi các mục Đ3 và Đ4 và các chuyển
ý khi giới thiệu các phép biến đổi sau khi nêu tính chất phép khai phơng thể hiện
điều đó)
- Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng đợc SGK chú ý để HS có
thể tham gia chủ động nhiều hơn thông qua hệ thống câu hỏi ?n có ngay trong
phần bài học mỗi bài.
2. Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chơng với số
tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành
kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà
không giải thích (nh biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc
hai, phơng pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn )
- Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều và rễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu
khái niệm (chẳng hạn nh căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phơng, biểu thức
lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức).
IV - Những sai lầm thờng gặp khi giải toán về căn
bậc hai
Nh đã trình bày ở trên thì học sinh sẽ mắc vào hai hớng sai lầm chủ yếu
sau :
1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học :
a) Định nghĩa về căn bậc hai :
* ở lớp 7 : - Đa ra nhận xét 3
2

= 9; (-3)
2
= 9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc
hai của 9.
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
=a.
- Số dơng a có đúng hai căn bậc hai, một số dơng ký hiệu là
a
và một số
âm ký hiệu là (-
a
).
* ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đa ra định nghĩa căn bậc hai số học.
b) Định nghĩa căn bậc hai số học :
Với số dơng a, số
a
đợc gọi là căn bậc hai số học của a.
Sau đó đa ra chú ý : với a 0, ta có :
Nếu x =
a
thì x 0 và x
2
= a;
Nếu x 0 và x
2
= a thì x =
a
. Ta viết
x=

a




=


ax
x
2


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-10
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phơng
(gọi tắt là khai phơng).
Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ căn bậc
hai và"căn bậc hai số học.
Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra đợc số 16 có hai căn bậc hai là hai số
đối nhau là 4 và - 4.
Ví dụ 2 : Tính
16
Học sinh đến đây sẽ giải sai nh sau :

16
= 4 và (- 4) có nghĩa là
16

=

4
Nh vậy học sinh đã tính ra đợc số
16
có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là :

16
=4 và
16
= - 4
Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.
Lời giải đúng :
16
= 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 4
2
= 16)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích.
c) So sánh các căn bậc hai số học :
Với hai số a và b không âm, ta có a < b

ba <
Ví dụ 3 : so sánh 4 và
15
Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì
theo định nghĩa số
15
chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh
với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và (-2) cho nên với suy nghĩ đó học
sinh sẽ đ a ra lời giải sai nh sau : 4 <

15
(vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều
nhỏ hơn
15
).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay
sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới
thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
Lời giải đúng : 16 > 15 nên
16
>
15
. Vậy 4 =
16
>
15
ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!
d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học :
với a 0, ta có :
Nếu x =
a
thì x 0 và x
2
=a;
Nếu x 0 và x
2
=a thì x =
a
.
Ví dụ 4 : Tìm số x, không âm biết :

x
= 15
Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai nh sau :
Nếu x =
a
thì x 0 và x
2
=a; vì phơng trình x
2
= a có 2 nghiệm là x


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-11
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
=
a
và x =-
a
học sinh đã đợc giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên nh
sau :
Do x 0 nên
2
x
= 15
2
hay x = 225 và x = -225.
Vậy tìm đợc hai nghiệm là x
1
=225 và x

2
= -225
Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 15
2
.
Vậy x =225.
e) Sai trong thuật ngữ khai phơng :
Ví dụ 5 : Tính -
25
- Học sinh hiểu ngay đợc rằng phép toán khai phơng chính là phép toán tìm
căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ (-
25
) là một căn bậc
hai âm của số dơng 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai nh sau :
-
25
= 5 và - 5
Lời giải đúng là : -
25
= -5
g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A
= | A|
Căn thức bậc hai :
Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, còn
A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn.
A

xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.
Hằng đẳng thức :
2
A
= | A|
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phơng và phép bình phơng.
Ví dụ 6 : Hãy bình phơng số (- 8) rồi khai phơng kết quả vừa tìm đợc.
Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau ( lời giải sai) :
(-8)
2
= 64 , nên khai phơng số 64 lại bằng (-8)
Lời giải đúng : (-8)
2
= 64 và
64
= 8.
Mối liên hệ
2
a
= | a| cho thấy Bình phơng một số, rồi khai phơng kết quả
đó, cha chắc sẽ đợc số ban đầu
Ví dụ 7 : Với a
2
= A thì
A
cha chắc đã bằng a
Cụ thể ta có (-5)
2
= 25 nhng
25

= 5; rất nhiều ví dụ tơng tự đã khảng định
đợc kết quả nh ở trên.
2. Sai lầm trong các kỹ năng tính toán :
a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :
Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A = x +
x


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-12
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
* Lời giải sai : A= x +
x
= (x+
x
+
4
1
) -
4
1
= (
x
+
2
1
)
2
-

4
1

Vậy min A = -
4
1
.
* Phân tích sai lầm :
Sau khi chứng minh f(x) -
4
1
, cha chỉ ra trờng hợp xảy ra f(x) = -
4
1
. Xảy ra
khi và chỉ khi
x
= -
2
1
(vô lý).
* Lời giải đúng :
Để tồn tại
x
thì x 0. Do đó A = x +
x
0 hay min A = 0 khi và chỉ khi
x=0
Ví dụ 9 : Tìm x, biết :
2

)1(4 x
- 6 = 0
* Lời giải sai :
2
)1(4 x
- 6 = 0
6)1(2
2
= x

2(1-x) = 6

1- x = 3

x = - 2.
* Phân tích sai lầm : Học sinh có thể cha nắm vững đợc chú ý sau : Một
cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có
2
A
= | A|, có nghĩa là :
2
A
= A nếu A 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
2
A
= -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Nh thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
* Lời giải đúng :
2
)1(4 x

- 6 = 0
6)1(2
2
= x


| 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phơng
trình sau : 1) 1- x = 3

x = -2
2) 1- x = -3

x = 4. Vậy ta tìm đợc hai giá trị của x là x
1
= -2 và x
2
= 4.
Ví dụ 10 : Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B =
1616 +x
-
99 +x
+
44 +x
+
1+x
với x -1
* Lời giải sai :
B = 4
1+x

-3
1+x
+ 2
1x
+
1x
B = 4
1+x
16 = 4
1+x


4 =
1+x


4
2
= (
1+x
)
2
hay 16 =
2
)1( +x

16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phơng trình sau : 1) 16 = x + 1

x = 15

2) 16 = -(x+1)

x = - 17.
* Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta đợc hai giá trị của x là x
1
= 15 và
x
2
=-17 nhng chỉ có giá trị x
1
= 15 là thoả mãn, còn giá trị x
2
= -17 không đúng.


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-13
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào
công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x -1 thì các
biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đa ra biểu thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng :
B = 4
1+x
-3
1+x
+ 2
1x
+

1x
B = 4
1+x
16 = 4
1+x


4 =
1+x
(do x -1)

16 = x + 1. Suy ra x = 15.
b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu
của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 11 : Tìm x, biết :
(4-
)174(32).17 <x
.
* Lời giải sai :
(4-
)174(32).17 <x


2x <
3
( chia cả hai vế cho 4-
17
)

x <
2
3
.
* Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn
đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ
quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : Khi nhân hoặc chia cả hai vế của
bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và
17
cho nên
mới bỏ qua biểu thức 4 -
17
là số âm, dẫn tới lời giải sai.
* Lời giải đúng : Vì 4 =
16
<
17
nên 4 -
17
< 0, do đó ta có
(4-
)174(32).17 <x


2x >
3


x >

2
3
.
Ví dụ 12 : Rút gọn biểu thức :
3
3
2
+

x
x
* Lời giải sai :
3
3
2
+

x
x
=
3
)3)(3(
+
+
x
xx
= x -
3
.
* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = -

3
thì x +
3
= 0, khi đó biểu thức
3
3
2
+

x
x
sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải đợc của học sinh đó không sai, nhng
sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không
tồn tại thì làm sao có thể có kết quả đợc.
* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần
phải có x +
3
0 hay x -
3
. Khi đó ta có


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-14
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
3
3
2
+

x
x
=
3
)3)(3(
+
+
x
xx
= x -
3
(với x -
3
).
Ví dụ 13 : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
M =
12
1
:
1
11
+
+

+
aa
a
aaa
với a > 0.
* Lời giải sai :
M =
12
1
:
1
11
+
+









+
aa
a
aaa
=

:
)1(
1









+
aa
a
2
)1(
1

+
a
a
M =

+
)1(
1
aa
a
.
1
)1(
2
+

a
a
M =
a
a 1
Ta có M =
a
a 1
=
a
a
-
a
1
= 1-
a
1

, khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
* Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai,
nhng sai ở chỗ học sinh lập luận và đa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại
sai.
Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì
a
= 1 do đó
a
- 1=
0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức.
* Lời giải đúng :
M =
12
1
:
1
11
+
+









+

aa
a
aaa
có a > 0 và
a
- 1 0 hay a >0 và a 1.
Với điều kiện trên, ta có :
M =









+
)1(
1
aa
a
.
1
)1(
2
+

a
a

=> M =
a
a 1
khi đó ta nhận thấy M < 1 vì a >0. Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1(mâu
thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0< a <1.
Ví dụ 14 : Cho biểu thức : Q =
1
3
11


+








+
+

x
x
x
x
x
x

với x 1, x > 0
a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q > -1.
Giải : a) Q =
1
3
11


+








+
+

x
x
x
x
x
x


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-15

Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
Q =






+
++
)1)(1(
)1()1(
xx
xxxx
-
x
x


1
3
Q =

++
x
xxxx
1
x
x


1
3
Q =

x
x
1
2
x
x


1
3
=
x
xx


1

)3(2
Q =
x
x


1
33
=
x+

1
3
Q = -
x+1
3
b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có
-
x+1
3
> -1

3 > 1+
x


2 >
x

4 > x hay x < 4.
Vậy với x < 4 thì Q < -1.
* Phân tích sai lầm : Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm ở cả
hai vế của bất đẳng thức vì thế có luôn đợc bất đẳng thức mới với hai vế đều dơng
nên kết quả của bài toán dẫn đến sai.
* Lời giải đúng :
Q > -1 nên ta có
-
x+1
3
> -1


x+1
3
< 1

1+
x
> 3


x
> 2

x > 4.
Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
V - Những phơng pháp giải toán về căn bậc hai
1. Xét thuật ngữ toán học: Vấn đề này không khó dễ dàng ta có thể khắc
phục đợc nhợc điểm này của học sinh.

2. Xét biểu thức phụ có liên quan :
Ví dụ 1 : Với a > 0, b > 0 hãy chứng minh
ba +
<
ba +
Giải : Ta đi so sánh hai biểu thức sau : a + b và (
a
+
b
)
2
Ta có : (
a
+
b
)
2
= a+ b + 2
ab
Suy ra a + b < (
a
+
b
)
2
do đó ta khai căn hai vế ta đợc :

ba +
<
2

)( ba +
vì a > 0, b > 0 nên ta đợc :

ba +
<
ba +
* Nh vậy trong bài toán này muốn so sánh đợc
ba +
với
ba +
thì ta
phải đi so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biết đợc quan hệ thứ tự


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-16
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
của chúng, do đó biểu thức liên quan đó ta gọi là biểu thức phụ.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A : A =
2
32
1
x
Giải :
Ta phải có |x| 3. Dễ thấy A > 0 . Ta xét biểu thức phụ sau :
B =
=
A
1
2-

2
3 x
Ta có : 0
2
3 x

3
=> -
3
-
2
3 x
0
2-
3
2 -
2
3 x
2
giá trị nhỏ nhất của B = 2-
3



3
=
2
3 x

x = 0
Khi đó giá trị lớn nhất của A =
32
1

= 2+
3
.
Giá trị lớn nhất của B = 2 khi và chỉ khi
2
3 x
= 0

x =
3
, khi đó
giá trị nhỏ nhất của A =
B
1
=
2
1
.
* Nhận xét : Trong ví dụ trên, để tìm đợc giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A, ta phải đi xét một biểu thức phụ
A
1
.
3. Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học :
Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài toán về căn bậc

hai bằng cách sử dụng các hệ thức và công thức đã học : Hằng đẳng thức, Quy tắc
khai phơng một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, quy tắc khai phơng một thơng,
quy tắc chia hai căn bậc hai, đa thừa số ra ngoài dấu căn, đa thừa số vào trong dấu
căn, Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu
Ngoài các hệ thức đã nêu ở trên, trong khi tính toán học sinh gặp những bài
toán có liên quan đến căn bậc hai ở biểu thức, nhng bài toán lại yêu cầu đi tìm giá
trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức đã cho. Hay yêu cầu đi tìm giá trị của
một tham số nào đó để biểu thức đó luôn âm hoặc luôn dơng hoặc bằng 0 hoặc
bằng một giá trị nào đó thì giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến thức sao
cho khi hớng dẫn học sinh thực hiện nhẹ nhàng mà học sinh vẫn hiểu đợc bài toán
đó .
Ví dụ 3 : Cho biểu thức :
P =









+

+

1
1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
với a > 0 và a 1.
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm giá trị của a để P < 0
Giải : a)


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-17
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
P =

)1)(1(
)1()1(
.
2
1.
22
2
+
+









aa
aa
a
aa
=
1
1212
.
2
1
2

+









a
aaaa
a
a
=
2
)2(
)4)(1(
a
aa
=
a
aa
4
4).1(
=
a
a1
.
Vậy P =

a
a1
với a > 0 và a 1.
b) Do a > 0 và a 1 nên P < 0 khi và chỉ khi

a
a1
< 0

1- a < 0

a > 1.
Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A :
A =
1x
+
2y
biết x + y = 4
Giải : Ta có A
2
= ( x-1) + (y - 2) + 2
)2)(1( yx

= (x + y) - 3 + 2
)2)(1( yx
= 1+ 2
)2)(1( yx
Ta lại có 2
)2)(1( yx
(x -1) + (y- 2) = 1

Nên A
2
2
=> Giá trị lớn nhất của A =
2
khi và chỉ khi



=
=




=+
=
5,2
5,1
4
21
y
x
yx
yx
.
Trên đây là một số phơng pháp giải toán về căn bậc hai và những sai lầm mà
học sinh hay mắc phải, xong trong quá trình hớng dẫn học sinh giải bài tập, giáo
viên cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm đợc phơng pháp giải phù hợp, tránh
lập luận sai hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác.

VI- Kết quả thực hiện
Qua thực tế giảng dạy chơng I - môn đại số 9 năm học 2011-2012 này. Sau
khi xây dựng đề cơng chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm đợc rút ra từ năm học
2010 - 2011 tôi và đồng nghiệp đã vận dụng vào các giờ dạy ở các lớp 9A, 9B,
9C, 9D chủ yếu vào các tiết luyện tập, ôn tập. Qua việc khảo sát chấm chữa các
bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học sinh giải đúng tăng lên.
Cụ thể :
- Bài kiểm tra 15 phút : Tổng số 112 em của lớp 9 năm 2011 2012.


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-18
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 92 em chiếm 82,1%. (ở năm học 2010-
2011 là 43%) Tuy mới dừng lại ở các bài tập chủ yếu mang tính áp dụng nhng
hiệu quả đem lại cũng đã phản ánh phần nào hớng đi đúng.
- Bài kiểm tra chơng I : Tổng số 112 em của lớp 9 năm học 2011 - 2012
Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 96 em chiếm 85,7% (ở năm học 2010-
2011 là 50%) các bài tập đã có độ khó, cần suy luận và t duy cao.
Nh vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thờng mắc phải
trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số
học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lợng dạy
và học môn Đại số 9 nói riêng và môn Toán nói chung đợc nâng lên.
theo dõi thực hiện
.
Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy thực tế từ tuần 1
đến tuần 9 (dạy chơng I- Đại số 9) năm học 2011-2012 đợc kết quả nh sau :
Tuần Kết quả thực hiện Tồn tại Điểu chỉnh- bổ xung
1
-Học sinh có ý thức

học tơng đối tốt, chuẩn
bị bài đầy đủ, có đủ đồ
dùng học tập.
- Có sự hào hứng khi
bớc vào môn học.
- Học sinh bị hổng
kiến thức cũ, kiến thức
cơ bản từ lớp dới tơng
đối nhiều do thời gian
hè dài học sinh cha có
điều kiện ôn và cập
nhật lại.
- Yêu cầu học sinh ôn
tập lại bài cũ, củng cố
lại các kiến thức về
căn bậc hai đã đợc
học từ lớp 7.
2
- áp dụng các phơng
pháp 1 và 2 trong một
số bài tập ban đầu,
nhận thấy tỉ lệ học
sinh giải bài tập đúng
tăng lên.
- Còn nhiều học sinh
cha vận dụng tốt các
phơng pháp hoặc cha
nắm vững ngay kiến
thức cơ bản của bài
học do đó còn cha

theo kịp bạn bè.
- Cho học sinh làm
nhiều bài tập, trong
khi luyện tập, GV cần
nêu rõ các bớc giải
khi sử dụng phơng
pháp.
- Tìm nhiều bài tập t-
ơng tự để học sinh về
nhà làm tạo thói quen
và hiểu kĩ về cách
làm.
3
- áp dụng phơng pháp
2 trong giải bài tập thì
tỉ lệ học sinh giải bài
tập đã tăng lên rất
nhiều. Cụ thể là tổng
số học sinh tham gia
kiểm tra 15 phút là
112, số học sinh giải
đúng là 92 em.
- Còn một số học sinh
giải bài tập sai hoặc
không giải đợc một bài
tập nào. Một phần là
học sinh yếu từ trớc,
một phần cha cập nhật
và tiếp cận ngay với
phơng pháp.

- Tổ chức ôn tập riêng
để hớng dẫn những
học sinh này giải bài
tập đơn giải hơn để
học sinh tiếp cận dần
dần với các bài tập đi
từ mức độ dễ đến mức
độ khó.
4
- Củng cố các phơng
pháp giải toán chứa
căn bậc hai.
- Trình độ mặt bằng
chung giữa các học
sinh đang có sự phân
hoá rõ nét. Nhóm đối
tợng học sinh yếu
đang có su thế chán và
bỏ bễ bài tập.
- Tiếp tục tổ chức học
ôn thêm cho đối tợng
những học sinh yếu.
- Kịp thời tìm hiểu
nguyên nhân, gia cảnh
của học sinh, động


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-19
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9

viên kịp thời tới
những học sinh còn
yếu.
5
- Thảo luận cùng đồng
nghiệp để kịp thời
đánh giá về phơng
pháp tạo đồng thuận
và tâm lý yên tâm.
- Các học sinh yếu đã
dần dần theo kịp và
giải bài tập đã tiến bộ
lên rõ rệt.
- Điều kiện học thêm,
phòng học thêm cha
có hoặc ít nên cha thể
bố trí để các học sinh
còn yếu theo học.
- Đa phần học sinh
nghèo do đó thiếu
trang thiết bị học tập
nh máy tính điện tử bỏ
túi
- Đa ra các ví dụ minh
họa để học sinh tự làm
ở nhà thay vì đến lớp
ôn tập vì không có
lớp.
6
- Tiếp tục tìm các sai

lầm và phân tích các
sai lầm của học sinh
để giúp học sinh tránh
các sai lầm đó.
- Tỉ lệ học sinh mắc
sai lầm và hiểu cha sâu
vẫn còn cao
- Hớng dẫn học sinh
giải các bài tập đơn
giải để học sinh nắm
đợc phơng pháp làm
bài và tự tìm ra những
sai lầm trong bài làm
của mình để bài sau
làm chính xác hơn.
7
- Đa ra một số dạng
bài tập tổng quát có
liên quan đến nhiều
kiến thức để học sinh
thực hiện, các bài tập ở
mức độ khó hơn.
- Đa số học sinh đã
nắm đợc phơng pháp,
hiểu kỹ và sâu về các
phơng pháp thì khoảng
50% trên tổng số học
sinh/.
- Nhìn chung học sinh
trung bình và yếu làm

bài tập còn chậm và
sai sót nhiều.
- Những bài tập ở dạng
tổng hợp thì học sinh
trung bình cha làm
hoàn thiện.
- Nên chuyển hớng
các bài tập tổng hợp
có độ khó và độ phức
tạp sang đối tợng học
sinh khá giỏi.
- Những bài tập mang
tính t duy mà học sinh
rất dễ mắc sai lầm thì
cha đa ra cho học sinh
trung bình và yếu.
8
- Củng cố toàn bộ các
phơng pháp về giải
toán căn bậc hai.
- Phân tích kỹ các sai
lầm mà học sinh mắc
phải và tránh những
sai lầm đó.
- Một số học sinh yếu
vẫn cha nhớ và cha
hiểu sâu phơng pháp.
- Một số học sinh khác
đã quên kiến thức của
phần đầu chơng.

- Động viên khích lệ
kịp thời học sinh học
đợc và cha học đợc.
- Nghiêm khắc với
những học sinh còn cố
tình chây lời trong
học tập.
9
- Theo dõi và thu thập
kết quả qua bài kiểm
tra cuối chơng.
- Kết quả bài kiểm tra
cuối chơng I :
Tổng số 112 học sinh
Số học sinh giải bài
tập đúng là 96 em
- Còn 10% học sinh
giải bài sai một phần.
- Số học sinh giải bài
sai toàn bộ là 13,4%
nguyên nhân là do học
sinh nhận thức chậm,
lời làm bài tập ở nhà
- trong năm học sau,
khi áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm này cần
phân loại học sinh và
lựa chọn phơng pháp
phù hợp với từng đối
tợng học sinh.

Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-20
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
bằng 85,7%. và lên lớp cha chú ý.
VII- Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu các phơng án
giúp học sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong chơng I - Đại số 9,
tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nh sau :
* Về phía giáo viên :
- Ngời thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm
đến chất lợng của từng học sinh, nắm vững đợc đặc điểm tâm sinh lý của từng đối
tợng học sinh và phải hiểu đợc gia cảnh cũng nh khả năng tiếp thu của học sinh,
từ đó tìm ra phơng pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tợng học sinh. Đồng
thời trong khi dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần chỉ rõ những sai
lầm mà học sinh thờng mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ
và rút kinh nghiệm trong khi làm các bài tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng
hợp đa ra phơng pháp giải cho từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn.
- Thông qua các phơng án và phơng pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm
khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời
khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi
cuốn đợc đại đa số các em khác hăng hái vào công việc.
- Giáo viên cần thờng xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra
kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phơng pháp dạy học phù hợp với nhận thức
của học sinh, không ngừng đổi mới phơng pháp giảng dạy để nâng cao chất lợng
dạy và học.
- Giáo viên phải chịu hy sinh một số lợi ích riêng đặc biệt về thời gian để bố
trí các buổi phụ đạo cho học sinh.
* Về phía học sinh

- Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì và
chịu khó trong quá trình học tập.
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu đợc bản chất của
vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới có
thể tránh đợc những sai lầm khi giải toán.
- Phải có đầy đủ các phơng tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy
tính điện tử bỏ túi Caisiô f(x) từ 220 trở lên; giành nhiều thời gian cho việc làm
bài tập ở nhà thờng xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức
cho bản thân.
Phần IIi : kết luận
I. một số ý kiến đề xuất
Phần kiến thức về căn bậc hai trong chơng I - Đại số 9 rất rộng và sâu, tơng
đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao,
bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy
học đợc tốt phần chơng I - Đại số 9 thì cần phải nắm vững những sai lầm của học
sinh thờng mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ,
phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học
phần kiến thức này.


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-21
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
Để nâng cao chất lợng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán
nói chung và phần chơng I- Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến
thức, phải có phơng pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh
và là cây cầu nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến
Nâng cao chất lợng học môn Toán 9 phần căn bậc hai
của học sinh lớp 9 tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thờng mắc

phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó
trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có
khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hớng và đa ra đợc
hớng cũng nh biện pháp khắc phục các sai lầm đó.
Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi.
Vì vậy tôi chỉ đa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này
qua sự đúc rút của các năm học trớc đã dạy.
Tôi xin đợc đề xuất một số ý nhỏ nh sau nhằm nâng cao chất lợng dạy và
học của giáo viên và học sinh :
1. Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chơng trình sách giáo khoa, soạn
giáo án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học và TBDH sao cho sinh động và
thu hút đối tợng học sinh tham gia.
2. GV cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm và
nhà trờng, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dỡng thờng xuyên.
3. Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp.
4. Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
5. Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa
và trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.
II. hớng tiếp của đề tài
Đề tài này nếu đợc chấp nhận, tôi dự kiến sẽ tiếp tục nh sau:
- Phổ biến đề tài ở cấp trờng vào năm học 2012 2013 tại trờng THCS
Cẩm Xá cho giáo viên và học sinh khối 9
- Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, tìm và soạn cụ thể các giáo án lên lớp, giáo án
ôn luyện về phần căn bậc hai theo hứng tích cực và giới thiệu, sửa các lỗi cho các
học sinh khối 9, ngay từ đầu năm học 2012 2013.
Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 cha nhiều, tầm
quan sát tổng thể cha cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên khó tránh
khỏi thiếu sót và khiếm khuyết. Rất mong đợc lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo,
giúp đỡ và bổ xung cho tôi để sáng kiến đợc đầy đủ hơn có thể vận dụng đợc tốt
và có chất lợng trong những năm học sau.

Tôi xin chân thành cám ơn !
Cẩm xá, ngày 10 tháng 4 năm 2012
Ngời nghiên cứu

Lê Minh Tân


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-22
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
Mục lục



Nội dung
Trang
Phần I : Mở đầu
A - Lý do chọn đề tài : . .
1
B- Thời gian nghiên cứu : .
2
C - Mục đích nghiên cứu:
2
D - Phạm vi nghiên cứu :
2
E - Đối tợng nghiên cứu :
3
F - Phơng pháp nghiên cứu : .
3
G - Tài liệu tham khảo :

4
Phần II : nội dung
A. Chơng I : cơ sở lý luận

:
4
I - Quan điểm về đổi mới phơng pháp :
4
II - Cơ sở thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm :
6
III - Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai : .
8
B. Chơng II : Nội dung thực hiện
:

10
I - Các bớc tiến hành :
10
II - Khảo sát đánh giá :
10
III - Phân tích những điểm khó và mới kiến thức về căn bậc
hai
10
IV - Những sai lầm thờng gặp khi giải toán về căn bậc hai :
11
V - Những phơng pháp giải toán về căn bậc hai : .
17
VI - Kết quả thực hiện :
20
VII - Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện : .

22
Phần IIi : kết luận
I - Một số ý kiến đề xuất : . . . . . . . . .
23


Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-23
Nâng cao chất lợng học môn Toán phần Căn bậc hai của học sinh lớp 9
II - Hớng tiếp tục của đề tài
24
Nhn xột ỏnh giỏ ca trng THCS Cm Xỏ.
















Nhn xột ỏnh giỏ ca Phũng giỏo dc v o to huyn M
Ho.

Trờng THCS Cẩm Xá Trang
-24
N©ng cao chÊt lîng häc m«n To¸n phÇn “ C¨n bËc hai ” cña häc sinh líp 9







Nhận xét đánh giá của Sở giáo dục và đào tạo Hưng
Yên.

Trêng THCS CÈm X¸ Trang
-25