khóa luận tốt nghiệp một số bài toán về hàm số chuyển đổi giữa các cấp số

1
M
Ở ĐẦU
1. Lý do ch
ọn đề tài
Hàm s
ố là m
ột lĩnh vực khó v
à rất rộng, c
ác bài toán v
ề hàm số rất
phong phú và đa d
ạng, thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Olimpic Toán.
Đ
ể giải được các bài toán về hàm số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức
t
ổng hợ
p v
ề số học, đại số và giải tích.
Th
ực tế
cho th
ấy
nhi
ều học sinh, sinh viên gặp rấ
t nhi
ều khó khăn khi
gi
ải
các bài toán liên quan đ
ến hàm số và đặc biệt là các bài toán về hàm số

chuy
ển đổi giữa các cấp số
do đó không th
ể tránh khỏi hiện tượng nhiều học
sinh, sinh viên còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu khi gặp các bài toán dạng này .
Đư
ợc sự góp ý của giáo viên hướng dẫn Th.S Nguyễn Thị Minh Hưng
và muốn tìm hiểu sâu sắc hơn về một số lớp hàm chuyển đổi giữa các cấp số
mà chưa đư
ợc khai thác nhiều nên
tôi chọn đề t
ài:
“M
ột số bài toán về hàm
s
ố chuyển đổi giữa các cấp số”.
V
ới mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp
ph
ần giúp học
sinh, sinh viên có thêm nh
ững
ki
ến thức cần thiết, phân loại các
d
ạng bài toán một cách dễ hiểu về hàm chuyển đổi
gi
ữa
các c
ấp số.

C
ấu
trúc c
ủa khóa luận gồm hai chương:
Chương 1. Cơ s
ở lý thuyết.
Trong ph
ần này trình bày khái quát một số vấn đề cơ bản về lý thuyết
hàm s
ố,
dãy s
ố,
các khái ni
ệm về cấp số cộng, cấp số nhân, cấp số điều hòa và
m
ột số vấn đề liên quan.
Chương 2. M
ột số bài
toán v
ề hàm số chuyển đổi giữa các cấp số.
Trong ph
ần n
ày sẽ mô tả một số lớp hàm chuyển đổi giữa các cấp số
c
ộng, cấp số nhân v
à c
ấp số điều hòa.
2.1. Hàm s
ố chuyển đổi từ cấp số cộng.
2.2. Hàm s

ố chuyển đổi từ cấp số nhân.
2.3. Hàm s
ố chuyển đổi từ cấ
p s
ố điều hòa.
2
M
ặc dù đã tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu cùng nỗ lự
c c
ủa bản
thân nhưng do năng l
ực
hi
ểu biết
có h
ạn nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu
sót. Vì v
ậy rất mong được sự góp ý của thầy cô giáo và các bạn
đ
ọc để đề tài
đư
ợc hoàn thiện
hơn.
2. M
ục đích nghi
ên c
ứu
Tôi nghiên c
ứu đề tài này nhằm mục đích hệ thống một số dạng toán cơ
b

ản ph
ù hợp từ đó giúp học sinh, sinh viên hình thành định hướng, kĩ năng
gi
ải toán v
à không lúng túng khi gi
ải các bài toán về hàm số chuyển đổi giữa
các cấp số.
3. Đ
ối t
ượng nghiên cứu
Đ
ối tượng nghiên cứu
c
ủa đề tài là: “Một số bài toán về hàm
s
ố chuyển
đ
ổi giữa các cấp số”.
4. Giả thiết khoa học
N
ếu hệ thống được những kiến thức và sắp xếp các bài toán hàm số
chuy
ển đổi giữa các cấp
số theo dạng chủ yếu th
ì
s
ẽ khắc phục được những
khó khăn mà h
ọc sinh, sinh viên gặp phải và nâng cao kĩ năng giải toán.
5. Phương pháp nghiên c

ứu
Nghiên c
ứu các cơ sở lý luận, cơ sở khoa học nhằm có một cái nhìn
t
ổng quát nhất về hàm số chuyển đổi giữa các cấp số.
Phân tích và t
ổ
ng h
ợp các dạng b
ài t
ập nhằm xây dựng được một hệ thống
các bài t
ập với đầy đủ các dạng toán về h
àm chuy
ển đổi giữa các cấp số.
3
N
ỘI DUNG
Chương 1. CƠ S
Ở LÝ THUYẾT
1.1. Hàm s
ố
1.1.1. Đ
ịnh nghĩa
hàm s
ố
Đ
ịnh nghĩa.
Cho
,X Y ⊂

, hàm s
ố
f
xác đ
ịnh trên
X, nh
ận giá trị
trong Y là m
ột qui tắc cho tương ứng mỗi số
x thu
ộc
X v
ới một số
y duy nh
ất
thu
ộc
Y.
Kí hi
ệu:
( )
:
x f x
f X Y→

ho
ặc
( )y f x=
1.1.2. Hàm s
ố hợp

Định nghĩa. Cho hai hàm số
1 2
: , :f X Y f Y Z→ →
trong đó
, ,X Y Z ⊂
. Hàm s
ố
h
ợp
c
ủa hàm số
1
f
và
2
f
là:
:f X Z→
đư
ợc định
nghĩa bởi
2 1
( ) ( ( )),f x f f x x X= ∈
.
Ngư
ời ta thường kí hi
ệu h
àm số hợp là:
2 1
f f f

°
=
.
1.1.3. Hàm tu
ần ho
àn
Đ
ịnh nghĩa.
Hàm
:f A → R
đư
ợc gọi là
hàm s
ố
tu
ần hoàn
n
ếu tồn tại
m
ột số d
ương T th
ỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
-
x A x T A∀ ∈ ⇒ + ∈
-
( ) ( ),f x T f x x A+ = ∀ ∈
S
ố d
ương T nhỏ nhất thỏa mãn hai điều kiện trên gọi là
chu k

ỳ
c
ủa h
àm
tu
ần ho
àn.
1.1.4. Hàm liên t
ục
1.1.4.1. Các đ
ịnh nghĩa
.
Đ
ịnh nghĩa 1. (Hàm liên tục tại một điểm)
4
Cho
:f A →
và
0
x A∈
. Ta nói r
ằng h
àm
f
liên t
ục tại điểm
0
x
n
ếu

v
ới bất kì số
0

>
cho trư
ớc có thể tìm được số
0

>
sao cho
x A∀ ∈
mà
0
x x

− <
ta có
0
( ) ( )f x f x

− <
.
N
ếu h
àm
f
không liên t
ục tại điểm
0

x
ta nói r
ằng
f
gián đo
ạn tại
0
x
.
Ta có th
ể phát biểu sự liên tục của hàm
f
t
ại điểm
0
x
như sau:
Đ
ịnh nghĩa 2.
Gi
ả sử
:f A →
và
0
x A∈
khi đó hàm s
ố
f
đư
ợc gọi là

liên t
ục tại điểm
0
x
khi và ch
ỉ khi
:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
.
1.1.4.2. Hàm s
ố li
ên t
ục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn.
Đ
ịnh nghĩa 3
. Cho hàm s
ố
:f A →
và
0
x A∈
. Hàm s
ố
f liên t

ục
ph
ải
t
ại điểm
0
x A∈
n
ếu
0

∀ >
cho trư
ớc,
0

∃ >
sao cho
x A∀ ∈
mà
0 0
x x x

< ≤ +
ta có
0
( ) ( ) 0f x f x− <
.
Kí hi
ệu

:
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
+
→
=
.
Định nghĩa 4. Cho hàm số
:f A →
và
0
x A∈
. Hàm số f liên tục trái
t
ại điểm
0
x A∈
n
ếu
0

∀ >
cho trư
ớc,
0

∃ >

sao cho
x A∀ ∈
mà
0 0
x x x

− < ≤
ta có
0
( ) ( ) 0f x f x− <
.
Kí hiệu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
−
→
=
.
Các hàm s
ố liên tục phải và liên tục trái được gọi là liên tục một phía.
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục tại điểm
0
x A∈
là nó
liên t
ục theo cả hai phía tại
0

x
.
Đ
ịnh nghĩa 5
. (Hàm liên t
ục trong một khoảng, trong một đoạn).
- Cho hàm số
f
xác định trên khoảng
( )
,a b
. Ta nói rằng hàm
f
liên
t
ục trên khoảng
( )
,a b
n
ếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
5
- Gi
ả sử hàm số
f
xác đ
ịnh trên đoạn [a; b]. Hàm số
f
đư
ợc gọi là
liên t

ục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng
(a;b) và liên t
ục
ph
ải
t
ại
đi
ểm a, liên t
ục trái t
ại b.
1.2. Dãy số
1.2.1. Đ
ịnh nghĩa
Đ
ịnh nghĩa
. M
ột h
àm s
ố
x
xác đ
ịnh tr
ên t
ập hợp số tự nhiên
đư
ợc
g
ọi là
dãy s

ố.
Đ
ối với dãy số người ta thường viết
n
x
thay cho ki
ểu
vi
ết thông
thư
ờng của hàm số là
( )x n
, v
ới mỗi
n∈
. Dãy s
ố này được kí hiệu là
{ }
n
x n N∀ ∈
ho
ặc viết gọ
i là
n
x
.
Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó c ũng có các
tính ch
ất của một hàm số.
1.2.2. Dãy s

ố tuần hoàn
Đ
ịnh nghĩa 1.
Dãy s
ố
{ }
n
u
đư
ợc gọi là một
dãy tu
ần hoàn (cộng tính)
n
ếu tồn tại số nguyên dương l sao cho
,
n l n
u u n N
+
= ∀ ∈
(1)
S
ố nguy
ên dương l nhỏ nhất để dãy
{ }
n
u
th
ỏa m
ãn (1) được gọi là chu
kì c

ơ sở của dãy.
Nh
ận xét:
Dãy tu
ần hoàn chu kì 1 khi và chỉ khi dãyđó là một dãy hằng.
Tương t
ự ta cũng có định nghĩa về dãy tuần hoàn nhân tính.
Đ
ịnh nghĩa 2.
Dãy s
ố
{ }
n
u
đư
ợ
c g
ọi l
à m
ột
dãy tu
ần ho
àn nhân tính
n
ếu tồn tại số nguyên s
( )
1s >
sao cho:
,
sn n

u u n N= ∀ ∈
(2)
S
ố nguyên dương s nhỏ nhất để dãy
{ }
n
u
th
ỏa mãn (2) được gọi là chu
kì c
ơ s
ở của dãy.
6
Đ
ịnh nghĩa 3
. Dãy s
ố
{ }
n
u
đư
ợc gọi là một
dãy ph
ản tuần hoàn (cộng
tính) n
ếu tồn tại số nguyên dương l sao cho
,
n l n
u u n N
+

= − ∀ ∈
(3)
S
ố nguy
ên dương l nhỏ nhất để dãy
{ }
n
u
th
ỏa m
ãn (3) được gọi là chu
kì c
ơ
s
ở của dãy.
Đ
ịnh nghĩa 4.
Dãy s
ố
{ }
n
u
đư
ợc gọi là một
dãy ph
ản tuần hoàn nhân
tính n
ếu tồn tại số nguyên s
( )
1s >

sao cho:
,
sn n
u u n N= − ∀ ∈
(4)
S
ố nguyên dương l nhỏ nhất để dãy
{ }
n
u
th
ỏa mãn (4) được gọi là chu
kì c
ơ sở của dãy.
Nh
ận xét.
i) Dãy ph
ản tuần hoàn với chu kì l là một dãy tuần hoàn chu kì 2l.
ii) Dãy ph
ản tuần hoàn với chu kì s là một dãy tuần hoàn chu kì 2s.
1.3. C
ấp số cộng, cấp số nhân và cấp số điều hòa
Trong chương trình toán bậc trung học, các bài toán về cấp số cộng
c
ấp số nhân đã được đề cập khá đầy đủ. Đặc biệt trong sách giáo khoa và
sách b
ồi dưỡng, nâng cao có một số lượng rất lớn các bài toán tính tổng, xác
định số hạng tổng quát, điều kiện để một dãy lập thành một cấp số,… Vì vậy,
trong m
ục này chúng ta chủ yếu tập trung khảo sát một số đặc trưng có liên

quan tr
ực tiếp tới dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân và một vài dạng cấp số
m
ở rộng.
1.3.1. C
ấp số cộng
i) Dãy s
ố
{ }
n
u
(ho
ặc
( )
n
u
) th
ỏa mãn điều kiện
:
1 0 2 1 1n n
u u u u u u
+
− = − = = − = 
đư
ợc gọi l
à một
c
ấp số cộng
.
7

ii) Khi dãy s
ố
{ }
n
u
l
ập thành một cấp số cộng thì hiệu
1 0
d u u= −
đư
ợc
g
ọi
là công sai c
ủa cấp số đã cho.
Nh
ận
xét rằng khi cho một d
ãy số hữu hạn
{ }
0 1
, , ,
s
u u u
th
ỏa mãn
đi
ều kiện
:
1 0 2 1 1s s

u u u u u u
−
− = − = = − = 
thì ta c
ũng
nói r
ằng dãy hữu hạn đã cho lập thành một cấp số cộng với công
sai
1 0
d u u= −
.
1.3.2. C
ấp số nhân
i) Dãy số
{ }
( 0 )
n n
u u n≠ ∀ ∈
thỏa mãn điều kiện:
1 2 1
0 1
n
n
u u u
u u u
+
= = = = 
đư
ợc gọi là
m

ột
c
ấp số nhân.
ii) Khi dãy s
ố
{ }
n
u
l
ập thành một cấp số nhân thì thương
1
0
u
q
u
=
đư
ợc
g
ọi
là công b
ội của cấp số đã cho.
Nh
ận xét rằng
khi cho m
ột dãy số hữu hạn
{ }
0 1
, , ,
s

u u u
th
ỏa mãn
đi
ều kiện
:
1 2
0 1 1
s
s
u u u
u u u
−
= = = = 
thì ta c
ũng
nói r
ằng dãy hữu hạn đã cho lập thành một cấp số nhân với công
sai
1
0
u
q
u
=
.
Chú ý: Ta luôn có m
ối quan hệ giữa cấp số cộn
g và c
ấp số nhân như sau

:
i) N
ếu dãy số
{ }
n
u
là m
ột cấp số cộng thì dãy số
{ }
n
v
v
ới:
, , 0
n
u
n
v a n N a= ∀ ∈ >
s
ẽ lập thành một cấp số nhân.
8
ii) Ngư
ợc lại nếu dãy số
{ }
n
u
là m
ột cấp số
nhân v
ới các số hạng

dương th
ì dãy s
ố
{ }
n
v
v
ới
log , , 0 1
n a n
v u n N a= ∀ ∈ < ≠
s
ẽ lập th
ành một cấp
s
ố cộng.
1.3.3. C
ấp
s
ố
đi
ều hòa.
Dãy s
ố
{ }
( 0 )
n n
u u n≠ ∀ ∈
th
ỏa mãn điều kiện

:
1 1
1 1
2
,
n n
n
n n
u u
u n N
u u
∗
− +
− +
= ∀ ∈
+
đư
ợc gọi là
c
ấp số đ
i
ều hòa.
9
Chương 2. M
ỘT SỐ B
ÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ CHUYỂN ĐỔI
GI
ỮA CÁC CẤP SỐ
2.1. Hàm s
ố chuyển đổi từ cấp số cộng.

2.1.1. Hàm s
ố chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số cộng.
Bài toán 1. Cho dãy s
ố
{ }
n
u
là m
ột cấp số cộng. Chứng minh
dãy s
ố
{ }
n
v
v
ới
,
n n
v au b n N= + ∀ ∈
c
ũng là một cấp số cộng.
Gi
ải.
Gi
ả sử
{ }
n
u
là c
ấp số cộng với công sai bằng d.

Xét dãy s
ố
{ }
n
v
v
ới
,
n n
v au b n N= + ∀ ∈
.
Ta có
0 0
,v au b= +
1 1
,v au b= +
…,
,
n n
v au b= +
1 1n n
v au b
+ +
= +
.
Khi đó
1 0 2 1 3 2 1

n n
v v v v v v v v ad

+
− = − = − = − =
V
ậy dãy
{ }
n
v
là c
ấp số cộng với công sai bằng ad.
V
ấn đề đặt ra l
à tìm t
ất cả các hàm số có t
ính ch
ất chuyển mọi cấp số
cộng th
ành c
ấp số cộng. Xét b
ài toán
sau.
Bài toán 2. Cho c
ấp số cộng
{ }
n
a
và hàm s
ố
:f
+
→R R

th
ỏa mãn
đi
ều kiện
:
( ) ( )
, , 0.
2 2
x y f x f y
f x y
+ +
 
= ∀ >
 
 
Chứng minh rằng dãy
{ }
( )
n
f a
là một cấp số cộng.
Gi
ải
.
Từ giả thiết , ta có các hệ thức:
1 0 2 1 1 1

n n n n
a a a a a a a a
− +

− = − = = − = − =
Suy ra
1 1
2 ,
n n n
a a a n N
∗
− +
= + ∀ ∈
10
Khi đó:
1 1 1 1
( ) ( )
( ) .
2 2
n n n n
n
a a f a f a
f a f
− + − +
+ +
 
= =
 
 
T
ừ đó ta có
{ }
( )
n

f a
là m
ột cấp số cộng.
Bài toán 3. Tìm hàm s
ố
( )f x
xác đ
ịnh và liên tục trên
R
th
ỏa mãn
đi
ều kiện
:
( ) ( )
, , .
2 2
x y f x f y
f x y
+ +
 
= ∀ ∈
 
 
R
Giải.
Đ
ặt
( ) (0) ( )f x f g x− =
, ta có

( )g x
liên t
ục trên
R
, v
ới
( ) 0g x =
và
( ) ( )
, , .
2 2
x y f x f y
f x y
+ +
 
= ∀ ∈
 
 
R
L
ần l
ượt cho y = 0 và x = 0, thì
( )
2 2
x g x
g
 
=
 
 

và
( )
, ,
2 2
y g y
g x y
 
= ∀ ∈
 
 
R
.
Do đó:
, ,
2 2 2
x y x y
g g g x y
+
     
= + ∀ ∈
     
     
R
.
V
ậy
:
( ) ( ) ( ), ,g x y g x g y x y+ = + ∀ ∈R
.
Vì

( )g x
liên t
ục tr
ên
R
nên phương tr
ình trên là ph
ương trình Cauchy
và do đó
( ) axg x =
. Suy ra
( ) ax , ,f x b a b= + ∀ ∈R
.
Th
ử lại dễ thấy hàm số
( ) ax , ,f x b a b= + ∀ ∈R
, th
ỏa mãn tính chất
:
( ) ( )
, , .
2 2
x y f x f y
f x y
+ +
 
= ∀ ∈
 
 
R

11
V
ậy hà
m s
ố
( ) ax , ,f x b a b= + ∀ ∈R
chuy
ển mọi cấp số cộng thành cấp
s
ố cộng.
Chú ý. Nhiều bài toán phương trình hàm khi ta giải cần phải sử dụng
các k
ết quả của “phương trình Cauchy”. Trong các bài toán đó thì giả thiết
c
ủa bài toán đưa ra là hàm số cần tìm
có tính liên t
ục trên một tập hợp nào
đó và thỏa mãn một đẳng thức mà chúng ta có thể biến đổi chúng và chứng
minh đư
ợc hàm cần tìm có tính chất là một hệ chuyển đổi giữa các cấp số.
Nhi
ều trường hợp ta phải dùng phép đặt hàm phụ để đưa phương trình hàm
v
ề
d
ạng phương trình hàm mới theo hàm phụ thỏa mãn “phương trình
Cauchy”.
Bài toán 4. Tìm các hàm s
ố
( )f x

xác đ
ịnh trên
Z
và th
ỏa mãn tính chất
:
( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈
Gi
ải.
Trước hết ta khảo sát hàm số
( )f x
trong tập hợp
+
Z
T
ại x = 0, y = 0 ta được f(0) = 0.
T
ại x = 1, y = 1 ta có
( ) ( )
f 2 2f 1=
đ
ặt
( )
f 1 a=
ta có
( )
f 2 2a=
T
ại x = 2, y = 1 ta có
(3) (2) (1) (3) 3 (1)f f f f f= + ⇒ =

hay
(3) 3f a=
.
B
ằng phép quy nạp ta chứng minh được
( ) (1)f n nf=
hay
*
( ) ,f n na n N= ∀ ∈
.
Ti
ếp theo ta khảo sát hàm số
( )f x
trong t
ập hợp
Z
Thay
y x= −
vào công th
ức
( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈
ta có:
(0) ( ) ( ) ( ) ( )f f x f x f x f x= + − ⇒ = − −
Khi đó ta có hàm s
ố
( )f x
là hàm l
ẻ
.
Xét

, 0 0n n n∈ < ⇒ − >Z
khi đó theo ch
ứng minh ở phần trên ta có
( )f n na− = −
mà
( ) ( )f n f n= − −
nên
( )f n na=
.
12
V
ậy hàm số cần tìm là
( ) ax,f x x= ∀ ∈Z
Bài toán 5. a) Tìm các hàm s
ố
( )f x
xác đ
ịnh
và liên t
ục
trên và th
ỏa
mãn
điều kiện
:
( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈
(2)
Gi
ải
.

T
ừ điều kiện của bài toán
suy ra:
(0) 0, ( ) ( ), (2 ) 2 ( ),f f x f x f x f x x= − = − = ∀ ∈
Tương tự ta chứng minh được:
(3 ) 3 ( ), (4 ) 4 ( ), (5 ) 5 ( ),,,f x f x f x f x f x f x= = =
1. T
ừ đó chúng ta chứ
ng minh quy n
ạp công thức:
*
( ) ( ) ,f nx nf x x n= ∀ ∈ ∈
Thật vậy: Giả sử có
( ) ( )f kx kf x x= ∀ ∈
, với k nguyên dương.
Khi đó có:
( )
( )
( )
1 ( ) ( )f k x f kx x f kx f x+ = + = +
.
Kết hợp với tính chất
( ) ( )f x f x− = −
được:
( ) ( ), ,f mx mf x x m= ∀ ∈ ∀ ∈
.
*
( )
( ) . , ,
x x x f x

f x f m mf f m x
m m m m
     
= = ⇒ = ∀ ∈ ∀ ∈
     
     
2. Ta đi ch
ứ
ng minh:
( ) ( ), ,f px pf x p x= ∀ ∈ ∀ ∈
V
ới
p h
ữu tỷ luôn tồn tại
* *
,m n∈ ∈
sao cho:
m
p
n
=
Khi đó:
. ( )
m x x m
f x f m mf f x
n n n n
     
= = =
     
     

V
ậ
y
( ) ( )
,f px pf x p x= ∀ ∈ ∀ ∈
3. Ta ch
ứ
ng minh:
( ) ( ), ,f rx rf x r x= ∀ ∈ ∀ ∈
.
13
V
ới mọi số thực r luôn tồn tại dãy số hữu tỷ
( )
n
p
sao cho:
lim lim
n n
n n
p r p x rx
→+∞ →+∞
= ⇒ =
Vì hàm liên t
ục trên
nên:
lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )
n n
n n
f p x f rx f rx p f x rf x x

→+∞ →+∞
= ⇔ = = ∀ ∈
4. V
ậ
y
( ) ( .1) (1)f x f x xf x= = ∀ ∈
. Th
ử lại thấy
(x) ax, (1),f a f= =
th
ỏa mãn.
V
ậy hàm số cần tìm là
(x) ax, ,f x a= ∀ ∈ ∈
tùy ý.
Nh
ận xét.
- Chỉ cần giả thiết hàm liên tục tại một điểm nào đó là đủ, vì khi đó
theo tính ch
ất
1 hàm s
ẽ liên tục trên
.
- K
ết quả bài toán không th
ay đ
ổi nế
u thay b
ằng nửa kh
o

ảng
[
) (
]
; ; ;a b+∞ −∞
.
- N
ếu thêm thay điều kiện liên tục bằng điều kiện
f (x) có đ
ạo hàm trên
thì bài toán có th
ể l
àm đơn giản hơn.
Bài toán 5. b) Tìm các hàm số
( )f x
xác định và có đạo hàm trê n và
th
ỏa mãn tính chất
( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈
(1)
Gi
ải
.
L
ần lượt lấy đạo hàm (1)
theo bi
ến x, y ta được
:
( ) ( )
' '

'( ), ; '( ),
'( ) '( ), ,
'( ) ons ( ) ax
x x y y
f x y f x x f x y f y y
f x f y x y
f x c t f x b
+ = ∀ ∈ + = ∀ ∈
⇒ = ∀ ∈
⇒ = ⇒ = +
Th
ử lại vào (1
) suy ra b = 0
V
ậy h
àm số
(x) ax, ,f x a= ∀ ∈ ∈
tùy ý.
14
Nh
ận xét.
N
ế
u thay đi
ều kiện hàm liên tục bằng điều kiện hàm đồng
bi
ến (hoặc nghịch biến trên R) ta vẫn thu được kết quả tương tự.
Bài toán 5. c) Tìm các hàm s
ố f(x) xác định
và đ

ồng biến
trên và
th
ỏa mãn tính chất
( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈
Gi
ải.
Theo bài toán 5, ta có
( )
*
1
, ,
x
f f x x m
m m
 
= ∀ ∈ ∀ ∈
 
 
Do
( )f x
đ
ồng biến trên
nên
( )
0
1 1 1 1
( ) 1 lim 0 (0)
x
f f x f x f

n n n n
→
 
− < < ⇔ − < < ⇒ = =
 
 
V
ậy
( )f x
liên t
ục tại x = 0, theo bài toán 1 suy ra
:
( ) ax, , 0f x x a= ∀ ∈ >
tùy ý.
Nh
ận xét.
N
ếu h
àm s
ố nghịch biến trên
thì
( ) ax, , 0f x x a= ∀ ∈ >
tùy ý.
Bài toán 6. Tìm hàm số
( )f x
xác định trên
Z
thỏa mãn điều kiện :
( ) ( )
, ,

2 2
x y f x f y
f x y
+ +
 
= ∀ ∈
 
 
Z
,
2 , (2)x y k k+ = ∈Z
Giải.
Đ
ặt
(0) , ( ) ( )f b f x b g x= = +
, thì
( ) 0g x =
thay vào công th
ức (2
) trên
ta có:
( ) ( )
, , .
2 2
( ) ( )
2 2
x y b f x b f y
b g x y
x y g x g y
g

+ + + +
 
+ = ∀ ∈
 
 
+ +
 
⇒ =
 
 
R
L
ần l
ượt cho x = 2k và y = 0 hoặc x = 0, y = 2k ta có
15
( ) ( )
2 2
( ) ( ) ( ), ,
x y g x g y
g
g x y g x g y x y
+ +
 
=
 
 
⇒ + = + ∀ ∈Z
Theo k
ết quả của bài toán 3 ta có
( ) ax,f x x= ∀ ∈Z

V
ậy hàm số
( ) ax,f x x= ∀ ∈Z
chuy
ển mọ
i c
ấp số cộng thành cấp số cộng.
Bài toán 7. Ch
ứng minh rằng điều kiện cần v
à đủ để dãy số
{ }
n
a
l
ập
thành c
ấp số cộng là
dãy s
ố đó phải thỏa mãn
h
ệ thức
:
2 , , (3)
m n m n
a a a m n N
+
= + ∀ ∈
Gi
ải.
Đi

ều kiện cần:
Gi
ả sử dãy
{ }
n
a
là m
ột cấp số cộng với công sai bằng d.
Khi đó:
*
0
( 1) , ,
n
a a n d m n N= + − ∀ ∈
V
ậy n
ên
2 2 0
2 (2 2 2) ,
n m
a a a m n d+ = + + −
Và
0
2 2[ ( 1) ]
m n
a a m n d
+
= + + −
T
ừ đó ta có công thức (

3).
Đi
ều kiện đủ
:
Gi
ả sử dãy
{ }
n
a
th
ỏa mãn điều kiện
(3). Ta ch
ứng minh dãy
{ }
n
a
là
m
ột cấp số cộng với công sai
1 0
d a a= −
Thay m = 0 vào công th
ức (3
) ta có:
0 2
2
n n
a a a= +
Thay n = 0 vào công th
ức (3

) ta có:
0 2
2
m m
a a a= +
Thay k
ết quả tr
ên vào công thức (3
) ta thu đư
ợc
16
0
0
2 2 2 2
(*)
m n m n
m n m n
a a a a
a a a a
+
+
= + −
⇔ = + −
Thay m = 1 vào công th
ức
0m n m n
a a a a
+
= + −
ta có

1 1 0
,
n n
a a d d a a
+
= + = −
V
ậy dãy
{ }
n
a
là m
ột cấp số cộng.
Bài toán 8. Ch
ứng minh điều kiện cần v
à đủ để một hàm số chuyển
m
ọi cấp số cộng nguy
ên dương thành cấp số cộng là hàm đó chuyển tập các
s
ố tự nhi
ên thành cấp số cộng.
Gi
ải.
Đi
ều kiện
c
ần:
N
ếu hàm

f
chuy
ển mọi cấp số cộng thành cấp số cộng thì hiển nhiên
hàm
f
chuy
ển tập các số tự nhiên thành một cấp số cộng vì tập các số tự
nhiên là c
ấp số cộng với công sai nhỏ nhất l
à 1.
Đi
ều kiện đ
ủ:
Hàm
f
chuy
ển tập các số tự nhiên thành cấp số cộng, tức là dãy
{ }
( )f n
là c
ấp số cộng
n∀ ∈
. Dãy
{ }
n
a
là c
ấp số cộng nguyên dương, với
công b
ội l

à
d ∈
, ta ph
ải chứng minh d
ãy
{ }
( )
n
f a
là c
ấp số cộng.
Vì dãy
{ }
( )f n
là c
ấp số cộng nên theo công thức
(*) ta có:
( ) ( ) ( ) (0), ,f m n f m f n f m n+ = + − ∀ ∈
Dãy
{ }
n
a
là c
ấp số cộng nguyên dương, với côn
g b
ội là
d ∈
suy ra
1n n
a a d

+
= +
.
Khi đó:
1
( ) ( ) ( ) ( ) (0),
n n n
f a f a d f a f d f
+
= + = + −
hay
1
( ) ( ) ( ) (0)
n n
f a f a f d f
+
− = −
không đổi.
V
ậy dãy
{ }
( )
n
f a
là c
ấp số cộng với công sai là
( ) (0)f d f−
.
17
Bài toán 9. Xác đ

ịnh các hàm số
:f
+
→
chuy
ển mọi cấp số cộng
{ }
,
n n
a a ∈
thành c
ấp số cộng.
Gi
ải.
Đ
ể giải bài toán này theo
bài toán 8 (m
ục 2.1.1.)
, ta ch
ỉ cần xác định
các hàm s
ố chuyển dãy số tự nhiên thành cấp số cộng. Hàm
f
chuy
ển dãy số
t
ự nhiên thành cấp số cộng thì ta có
:
( ) ( ) ( ) (0), ,
( ) (0) ( ) (0) ( ) (0), ,

f m n f m f n f m n
f m n f f m f f n f m n
+ = + − ∀ ∈
+ − = − + − ∀ ∈
Đ
ặt
( ) ( ) (0)g n f n f= −
, ta có:
( ) ( ) ( )g m n g m g n+ = +
.
Khi đó theo bài toán 4 (m
ục 2.1.1.)
ta có
( ) ax,g x x= ∀ ∈
trong đó
(1)a g=
.
Do đó
( ) ( ) (0)f x g x f= +
. Đ
ặt
(0)f b=
thì
( ) ax ,f x b x= + ∀ ∈
.
Kết hợp với bài toán 6 (mục 2.1.1.) ta có hàm số chuyển đổi mọi cấp số
c
ộng thành cấp số cộng trong tập các số nguyên là
( ) ax ,f x b x= + ∀ ∈
.

Th
ử lại hàm số
( ) ax ,f x b x= + ∀ ∈
, th
ỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài toán 10. Xác đ
ịnh hàm số
f
xác đ
ịnh trên
*
và chuy
ển cấp số
c
ộng nguyên dương
{ }
n
a
cho trư
ớc thành cấp số cộng
{ }
n
b
cho trư
ớc.
Gi
ải.
Ta xét hai trư
ờng hợp sau:
i) N

ếu
{ }
*
n
a ≡
, theo k
ết quả b
ài toán 9 ta có
( ) axf x b= +
,
*
, ,x a b∀ ∈ ∈
.
ii) N
ếu
{ }
*
n
a ⊂
, ta có hàm s
ố
*
:f →
đư
ợc xác định nh
ư sau:
{ }
{ }
( )
n n

n n
b khi n a
f n
c khi n a
∈


=

∉


18
Trong đó
n
c
tùy ý trong chuy
ển cấp số cộng nguyên dương
{ }
n
a
cho trư
ớc
thành c
ấp số c
ộng
{ }
n
b
cho trư

ớc.
2.1.2. Hàm s
ố chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số nhân.
Bài toán 1. Ch
ứng minh rằng nếu dãy số
{ }
n
u
là m
ột cấp số cộng thì
dãy s
ố
{ }
n
v
v
ới
, , 0
n
u
n
v a n N a= ∀ ∈ >
s
ẽ lập th
ành m
ột cấp số nhân.
Gi
ải.
Gi
ả sử

{ }
n
u
là c
ấp số cộng với công sai bằng d.
Xét dãy s
ố
{ }
n
v
v
ới
, , 0
n
u
n
v a n N a= ∀ ∈ >
.
Ta có
0 1
1
0 1 1
, , , ,
n n
u u u
u
n n
v a v a v a v a
+
+

= = = =
.
Khi đó:
1 2 3 1
0 1 2
.
d
n
n
v v v v
a
v v v v
+
= = = = =
V
ậy dã
y
{ }
n
v
là c
ấp số nhân với công bội bằng
d
a
.
Bài toán 2. Cho c
ấp số cộng
{ }
n
a

và hàm s
ố
:f
+
→R R
th
ỏa mãn
đi
ều kiện
:
( ) ( ), , 0.
2
x y
f f x f y x y
+
 
= ∀ >
 
 
Ch
ứng minh rằng
dãy
{ }
( )
n
f a
là m
ột cấp số nhân.
Gi
ải

.
T
ừ giả thiết , ta có các hệ thức
:
1 0 2 1 1 1

n n n n
a a a a a a a a
− +
− = − = = − = − =
Suy ra
1 1
2 ,
n n n
a a a n N
∗
− +
= + ∀ ∈
Khi đó
1 1
1 1
( ) ( ) ( ).
2
n n
n n n
a a
f a f f a f a
− +
− +
+

 
= =
 
 
T
ừ đó ta có
{ }
( )
n
f a
là m
ột cấp số nhân.
19
Như v
ậy
ta có hai l
ớp chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số nhân. Vấn
đ
ề đặt ra là đi tìm tất cả các hàm số có tính chất chuyển đổi một cấp số cộng
b
ất kì thành một cấp số nhân. Trước hết ta xét bài toán sau.
Bài toán 3. Tìm hàm s
ố f(x) xác định v
à liên tục trên
R
th
ỏa m
ãnđiều kiện
( ) ( ), , .
2

x y
f f x f y x y
+
 
= ∀ ∈
 
 
R
Gi
ải.
Theo đi
ều kiện của bài toán ta suy ra
( ) 0,f x x≥ ∀ ∈R
.
N
ếu tồn tại
0
x
đ
ể
0
( ) 0f x =
thì:
0
0
( ) ( ) 0, .
2
x y
f f x f y y
+

 
= = ∀ ∈
 
 
R
t
ức là
( ) 0f x ≡
.
Xét trường hợp
( ) 0,f x x> ∀ ∈R
.
Khi đó ta có:
ln ( ) ln ( )
ln , , .
2 2
x y f x f y
f x y
+ +
 
= ∀ ∈
 
 
R
hay:
( ) ( )
, , .
2 2
x y g x g y
g x y

+ +
 
= ∀ ∈
 
 
R
Trong đó
( ) ln ( ).g x f x=
Theo kết quả bài toán 3(2.1.1) thì
( ) axg x b= +
.
Th
ử l
ại h
àm
ax
( ) , ,
b
f x e a b
+
= ∈R
th
ỏa m
ãn
điều kiện
:
( ) ( ) 0, , .
2
x y
f f x f y x y

+
 
= = ∀ ∈
 
 
R
V
ậy hàm số
ax
( ) , ,
b
f x e a b
+
= ∈R
chuy
ển m
ọi cấp số cộng th
ành cấp
s
ố nhân
.
20
Bài toán 4. Xác đ
ịnh các hàm f(x) liên tục trên
R
th
ỏa mãnđiều k
i
ện sau:
( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y+ = ∀ ∈ R

(*)
Giải.
- Nh
ận thấy
( ) 0f x ≡
th
ỏa m
ãn
- N
ếu
0
( ) 0f x∃ ≠
. Khi đó theo đi
ều kiện của bài toán
ta có:
0 0 0 0
( ) ( ( )) ( ) ( )
( ) 0,
f x f x x x f x f x x x
f x x
= + − = − ∀ ∈
⇒ ≠ ∀ ∈
R
R
L
ại có
2
( )
2 2 2
x x x

f x f f x
 
   
= + = ∀ ∈
   
 
   
 
R
Đ
ặt
ln ( ) ( )f x g x=
Khi đó g(x) liên t
ục trên
R
và
( )
( ) ln ( ) ln ( ). ( )
ln ( ) ln ( ) ( ) ( ) ,
g x y f x y f x f y
f x f y g x g y x y
+ = + =
= + = + ∀ ∈ R
Theo bài toán 5.a m
ục 2.1.1
thì
( ) ;g x bx b= ∈R
tùy ý.
V
ậy

( )
bx x
f x e a= =
v
ới a > 0 tùy ý chuyển đổi cấp số cộng thành cấp
s
ố nhân
.
2.1.3. Hàm s
ố chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số điều hòa
.
Bài toán 1. Cho cấp số cộng
{ }
, 0,
n n
u u n N≠ ∀ ∈
và hàm số
:f
+
→R R
th
ỏa mãn điều kiện
:
2 ( ) ( )
, , 0.
2 ( ) ( )
x y f x f y
f x y
f x f y
+

 
= ∀ >
 
+
 
Ch
ứng minh rằng
dãy
{ }
( )
n
f u
là m
ộ
t c
ấp số điều hòa.
Gi
ải.
T
ừ giả thiết bài toán dãy số
{ }
n
u
là c
ấp số cộng nê
n ta có
21
1 1
2
n n

n
u u
u
− +
+
=
Khi đó:
1 1 1 1
1 1
2 ( ) ( )
( ) .
2 ( ) ( )
n n n n
n
n n
u u f u f u
f u f
f u f u
− + − +
− +
+
 
= =
 
+
 
Theo đ
ịnh nghĩa ta có dãy
{ }
( )

n
f u
là m
ột cấp số điều hòa.
Bài toán 2. Tìm hàm s
ố
:f
+
→R R
xác đ
ịnh v
à liên tục trên
R
th
ỏa
mãn
điều kiện
sau:
2 ( ) ( )
, , .
2 ( ) ( )
x y f x f y
f x y
f x f y
+
 
= ∀ ∈
 
+
 

R
Gi
ải.
Theo gi
ả thiết, ta có
2
, , ,
1 1
2
( ) ( )
x y
f x y
f x f y
+
 
= ∀ ∈
 
 
+
R
hay
( ) ( )
, , .
2 2
x y g x g y
g x y
+ +
 
= ∀ ∈
 

 
R
Trong đó
1
( ) .
( )
g x
f x
=
Theo k
ết quả bài toán 2(1.1.2) thì
( ) axg x b= +
.
Vì
( ) 0g x x> ∀ ∈R
nên
0, ( ) , 0a g x b b= = >
và
1
( ) , 0.f x b
b
= >
Th
ử lại ta có hàm số
1
( ) , 0.f x b
b
= >
tùy ý th
ỏa mãn

đi
ều kiện
2 ( ) ( )
, , .
2 ( ) ( )
x y f x f y
f x y
f x f y
+
 
= ∀ ∈
 
+
 
R
22
V
ậy
1
( ) , 0f x b
b
= >
tùy ý chuy
ển đổi một cấp số cộng bất kì thành cấp
s
ố điều hòa.
2.2. Hàm s
ố chuyển đổi từ cấp số nhân.
Trên cơ s
ở các bài toán trên ta tìm các hàm số chuyển các cấp số khác

trên t
ập s
ố nguy
ên
và s
ố thực
. Trư
ớc tiên ta tìm những dãy số thực hiện phép
chuy
ển tiếp một đại lượng trung
bình c
ủa cặp phần tử của hàm số
. Các bài
toán này liên quan ch
ặt chẽ đến việc chuyển
ti
ếp các cấp số, đến sự
ph
ỏng
đoán các cấp số tổng quát.
Dư
ới đây ta xét
m
ột số bài toán chuyển tiếp các đại lượng trung bình
cơ bản trong chương trình phổ thông.
Bài toán 2.1. Xác đ
ịnh dãy số
( )u n
sao cho
( ) ( )

, , , (1)
2 2 2
m n u m u n m n
u m n
+ + +
   
= ∀ ∈
   
   
Gi
ải.
Đ
ặt
( ) ( )
(1) , 2 , 0; 0u u
   
= = ≥ ≥
3 1 (3) (1)
(2)
2 2
u u
u u
+ +
 
= =
 
 
Suy ra
(3) 2 (2) (1) 2 .u u u
 

= − = −
Ti
ếp tục quá trình như vậy ta được
:
4 2 (4) (2)
(3)
2 2
u u
u u
+ +
 
= =
 
 
Suy ra
(4) 2 (3) (2) 2(2 ) 3 2 .u u u
    
= − = − − = −
Bằng phương pháp quy nạp ta thu được:
( ) ( 1) ( 2) , .u n n n n
 
= − − − ∀
23
Vây
( )
( ) ( 1) ( 2) , .
(1) , 2
u n n n n
u u
 

 
= − − − ∀


= =

Đặt
, 2a b a b
 
= + = +
thì
a
 
= −
và
2b
 
= −
.
Do đó nghi
ệm của phương trình là
( ) , ,u n an b a b= +
tùy ý.
Bài toán 2.2. Xác đ
ịnh dãy số
( )
u n
sao cho
( ) ( ), , , (2)
2 2

m n m n
u u m u n m n
+ +
   
= ∀ ∈
   
   
Gi
ải.
Ta có
[ ]
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
m n
u n u u m u n u n u n
+
 
= = = =
 
 
Đ
ặt
( ) ( ) ( ) ( )
(1) , 2 , 0; 0u u
   
= = ≥ ≥
a) N
ếu
0


=
thì
( ) ( ) ( )
*
1 2 1
1 2 1 0,
2
n
u n u u u n n
+ −
 
= = − = ∀ ∈
 
 
V
ậy
( )
0u n ≡
là nghi
ệm duy nhất của ph
ương tr
ình (2
).
b) Nếu
0

>
và
0


=
thì
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 0, 2
2
n
u n u u u n n
+ −
 
= = − = ∀ ≥
 
 
Suy ra:
( )
1
0 2
khi n
u n
khi n

=

=

>

là nghi
ệm của phương trình (2

).
c) Xét trư
ờng hợp
0

>
và
0

>
. Gi
ả sử
0
3n∃ >
sao cho
( )
0
0u n =
Thế th
ì
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0
2
1 2 0
2
n n
u n u u n u n
+ −
 

− = = − =
 
 
Ch
ọn
0
3n =
thì
( )
( )
0
1 2 0u n u− = =
hay
0

=
m
ẫu thuẫn.
Do đó, ta có th
ể giả thiết rằng
( )
0,u n n> ∀ ∈
. Khi đó
24
( ) ( ) ( )
3 1
2 3 1 0
2
u u u u
+

 
= = =
 
 
Suy ra:
( )
( )
( )
2
2
2
3
1
u
u
u


= =
M
ặt khác
:
( ) ( ) ( )
4 2
3 4 2
2
u u u u
+
 
= =

 
 
Suy ra :
( )
( )
( )
3
2
2
2
2
( )
3
4
2
u
u
u





 
 
 
= = =
B
ằng ph
ương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được rằng

:
( )
1
2
, 3
n
n
u n n


−
−
= ∀ ≥
Ta có
1 2
2
. , 3
n
n
n
n
  
 

−
−
 
 
= ∀ ≥
 

 
 
 
Đ
ặt
( )
2
0, 0
ab
ab a b


=



= > >


Suy ra :
2
,a b
 
 
= =
V
ậy nghiệm của phương trình (2
) là
( )
1

0
0 2
khi n
u n
khi n


=

= ∀ ≥

>

ho
ặc
( ) ( )
0, 0
n
u n ab a b= > >
.
Bài toán 2.3. Xác đ
ịnh dãy số
( )u n ∈
sao cho
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
, , , 3
2 2

u m u n
m n m n
u m n
u m u n
+ +
 
= ∀ ∈
 
+
 
25
Gi
ải.
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
u m u n
m n
u
u m u n
+
 
=
 
+
 
( ) ( )
2

1 1
2
m n
u
u m u n
+
 
⇔ =
 
 
+
Đ
ặt
( )
1
( )v n
u n
=
thì ph
ương trình tương đương với:
( ) ( )
2 2
v m v n
m n
v
+
+
 
=
 

 
Theo bài toán 4 m
ục 2.1.1. ta có
( ) ( )
,v n a n b= +
v
ới
, 0, 0a b a b> + >
.
V
ậy nghiệm của
phương tr
ình (3
) là
( )
( )
1
, , 0, 0u n a b a b
a n b
= > + >
+
.
2.2.1. Hàm s
ố chuyển đổ
i c
ấp số nhân thành cấp số cộng
Bài toán 1. Chứng minh rằng nếu dãy số
{ }
n
u

là một cấp số nhân với
các s
ố hạng dương thì dãy số
{ }
n
v
v
ới
log , , 0 1
n a n
v u n N a= ∀ ∈ < ≠
s
ẽ lập
thành m
ột cấp số cộng.
Gi
ải.
Gi
ả sử
{ }
n
u
là m
ột cấp số nhân với công bội bằng q.
Xét dãy s
ố
{ }
n
v
v

ới
log , , 0 1
n a n
v u n N a= ∀ ∈ < ≠
Ta có
0 0 1 1 2 2
log , log , log , , log .
a a a n a n
v u v u v u v u= = = =
Khi đó
1 0 2 1 3 2 1
log .
n n a
v v v v v v v v q
−
− = − = − = − =
V
ậy
{ }
n
v
là c
ấp số cộng với công sai bằng
log
a
q
.