khóa luận tốt nghiệp về các phép toán – tập lân cận mở trong không gian tôpô

1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa Toán, các
thầy cô giáo dạy Toán và nhiều người khác quan tâm đến Toán học ngày càng
gia tăng.
Không gian tôpô là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các
khái niệm như sự hội tụ, tính liên thông và tính liên tục. Chúng xuất hiện hầu
như trong tất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm thống nhất
có tính trọng tâm.
Trong không gian tôpô, các tập
p

- mở,
p

- đóng,
p

- bao đóng, lân cận
p

-
mở, lân cận
p

- đóng, không gian
p

- chính quy, lân cận

p

- đóng suy rộng, lân cận
p

- T
i
không gian… mới chỉ biết đến qua một số giáo trình, bài báo, tạp chí khoa học.
Để tìm hiểu sâu hơn về các tính chất và phép toán trên, tôi xin chọn đề tài:
“Về các phép toán – tập lân cận mở trong không gian tôpô” để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Khi nghiên cứu đề tài này, mục đích của tôi là tìm hiểu sâu hơn về các
phép toán, các tính chất của các tập mở rộng trong không gian tôpô.
Đồng thời, giúp tôi tự nâng cao sự hiểu biết của mình, trang bị thêm kiến
thức làm tài liệu tham khảo cho các bạn đọc quan tâm đến vấn đề này.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu chính của đề tài là lân cận
p

- mở, phép toán bao
đóng, lân cận
p

- đóng suy rộng, lân cận
p

- T
i
không gian…
4. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất và phép toán trong không gian tôpô
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trong đề tài này, tôi tập trung tìm hiểu các định nghĩa, làm rõ các định lí,
tính chất liên quan đến lân cận
p

- mở, phép toán bao đóng, lân cận
p

- đóng
suy rộng, lân cận
p

- T
i
không gian…
6. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu.
Tương tự hóa các ý tưởng và kĩ thuật của một số bài báo đã nghiên cứu
trước đó như [2], [3], [4]. Từ đó phân tích, tổng hợp, trao đổi thông tin với giáo
viên hướng dẫn trong lĩnh vực nghiên cứu…

2
7. Đóng góp mới của đề tài
Đề tài cập nhật các kết quả liên quan trong thời gian gần đây để những
người quan tâm có thể tham khảo, cho một vài kết quả mới.
Đề tài có khả năng áp dụng trong lý thuyết độ đo, tích phân, xác suất.
Đề tài còn là tài liệu cho sinh viên, học viên cao học, giảng viên trong dạy
học và nghiên cứu giải tích toán học hiện đại.
8. Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì nội dung chính của
đề tài được trình bày trong 2 chương.
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở liên quan
đến đề tài gồm các tính chất cơ bản và một số loại tập suy rộng trong không gian
tôpô.
Chương 2: Về các phép toán – tập lân cận mở trong không gian tôpô
Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu về các tính chất, các phép toán – tập
lân cận mở trong không gian tôpô.












3
NỘI DUNG
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

Chương kiến thức cơ sở được tổng hợp từ các tài liệu tham khảo [1], [2].
Trong mục này, chúng tôi chỉ giới thiệu một số định nghĩa, tính chất, tập suy
rộng trong không gian tôpô liên quan đến nội dung chính của đề tài.
1.1. Không gian tôpô
Định nghĩa 1.1.1

Cho
X
 
,

là một họ các tập con nào đó của X (
P(X)
 
) thỏa mãn
các điều kiện sau:
i)
,X
 

ii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử của

là phần tử của


Tức là: Nếu A
i

,
i I
 
thì
i
i I
A





iii) Giao của một họ hữu hạn các phần tử thuộc

là thuộc


Tức là: Nếu A
i

,
i 1,n
  thì
n
i
i 1
A




Khi đó,

được gọi là một tôpô trên X
Các phần tử thuộc

được gọi là một tập mở của X đối với tôpô

hoặc là


- mở.
Cặp (X,

) được gọi là một không gian tôpô
Định nghĩa 1.1.2
Cho (X,

) là không gian tôpô,
A X


Tập U được gọi là một lân cận của A nếu U chứa một tập mở chứa A.
Tập
A X

được gọi là tập đóng nếu X\A
 
( tức X\A – mở)
Định nghĩa 1.1.3
Cho (X,

) là không gian tôpô,
A X


+)
x X

được gọi là điểm trong của A nếu U là lân cận của X sao cho

U A


+) Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A.
Kí hiệu:
o
A Int(A)

+) Giao của tất cả các tập đóng của A được gọi là bao đóng của A
Kí hiệu:
A




4
Định nghĩa 1.1.4
+) Không gian tôpô (X,

) được gọi là T
0
– không gian nếu
x,y X
 
,
x y

tồn tại lân cận U
x
của x sao cho

x
y U

hoặc tồn tại lân cận U
y
của y sao
cho
y
x U

.
+) Không gian tôpô (X,

) được gọi là T
1
– không gian nếu
x,y X
 
,
x y

tồn tại lân cận U
x
của x sao cho
x
y U

và tồn tại lân cận U
y
của y sao

cho
y
x U

.
+) Không gian tôpô (X,

) được gọi là T
2
– không gian( không gian
Hausdorff) nếu
x,y X
 
,
x y

đều tồn tại lân cận U
x
, U
y
của y sao cho:
x y
U U
  

T
2
– không gian là T
1
– không gian, điều ngược lại không đúng

1.2. Một số loại tập suy rộng trong không gian tôpô
( X,

) – Không gian tôpô. Giả sử A là tập con bất kì của không gian tôpô
( X,

),
A X

.
Khi đó, Cl(A) – bao đóng của A, Int(A) – phần trong của A
Cho
: P(X)
  
xác định phép toán trên

.
Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập

- mở nếu với mỗi
x A

, tồn tại tập mở U chứa x sao cho
U A



Tập hợp tất cả các tập

- mở trong không gian tôpô ( X,


) được kí hiệu
là


.
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán đi từ PO(X,

) lên P(X).
PO(X,

) là tập hợp tất cả các lân cận mở trong ( X,

).
Tập con A của không gian tôpô ( X,

) được gọi là lân cận mở nếu
A Int(Cl(A))

.
Phần bù của lân cận mở được gọi là lân cận đóng
Giao của tất cả lân cận đóng của ( X,

) chứa A được gọi là lân cận bao
đóng của A. Kí hiệu: pCl(A)
Hợp của tất cả lân cận mở chứa A được gọi là lân cận trong của A. Kí

hiệu: pInt(A)




5
Định nghĩa 1.2.1
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là ánh xạ từ PO(X,

) đến P(X) thỏa mãn tính
chất
p
V (V)
 
,
V PO(X, )
  
.
Ta gọi ánh xạ
p

là một phép toán trên PO(X,

).
p
p

V (V)

 
,
V PO(X, )
  
.
Chú ý 1.2.2
Trong phép toán
p
:PO(X) P(X)
 
. Định nghĩa
p
| : P(X)
   
là hạn
chế của
p

lên

.
PO(X, )
  
và
p
p
( | )(V) V


  
,
V
 

Hạn chế
p
| : P(X)
   
là một phép toán trên

.
Tập hợp A được gọi là tập
p
|
 
- mở của ( X,

) nếu
x A
 
, tồn tại tập
mở U chứa x sao cho
p
|
U A
 

.
Tập hợp A được gọi là tập

p
|
 
- đóng trên ( X,

) nếu X\A là tập
p
|
 
-
mở trên ( X,

)
Tập rỗng là tập
p
|
 
- mở
p
|
 

: Tập tất cả các
p
|
 
- mở của ( X,

)
p

|
{V X,V
 
  
là tập
p
|
 
- mở}
Chú ý:
p p
|
U U , U
  
  

Định nghĩa 1.2.3
Cho ( X,

) là không gian tôpô và
p
:PO(X, ) P(X)
  
là 1 phép toán
trên PO(X,

).
Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập
p


- mở nếu
x A
 
, tồn
tại tập mở U chứa x sao cho
p
U A


.
Tập rỗng là tập
p

- mở
Phần bù của tập
p

- mở là tập
p

- đóng trong ( X,

)
Tập hợp tất cả các tập
p

- mở trong ( X,

) được kí hiệu là:
p




Định nghĩa 1.2.4
Cho phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
,
A X


i) Điểm
x X

gọi là nằm trong
p

- bao đóng của tập A nếu
p
U A

  

với mọi tập con mở của U chứa x.

6
Ta kí hiệu
p
Cl (A)


là
p

- bao đóng của tập A.
p
Cl (A) {x X |

 

p
U A

  
,

tập mở của U chứa x}
ii) Tập con A được gọi là
p

- đóng trong ( X,

) nếu A =
p
Cl (A)


Chú ý 1.2.5
p p
|

Cl (A) Cl (A)
  

,
A X
 

p
|
Cl (A) {x X |
 
 

p
|
U A
 
  
,

tập mở của U chứa x}
Mệnh đề 1.2.6
Cho ( X,

) là không gian tôpô và
p
:PO(X, ) P(X)
  
là 1 phép toán
trên PO(X,


),
A X

.
i) A là tập
p

- mở trong ( X,

) khi và chỉ khi A là tập
p
|
 
- mở . Khi
đó:
p p
|
  
  

ii) A là tập
p

- đóng ( A =
p
Cl (A)

) khi và chỉ khi A là tập
p

|
 
- đóng (
A =
p
|
Cl (A)
 
).
iii) Các tính chất sau đây là tương đương:
(1) A là
p
|
 
- mở trong ( X,

)
(2) X\A là
p
|
 
- đóng (
p
|
Cl (X\ A) X\ A
 

)
(3)
p

|
Cl(X \ A) X \ A
 
  

(4) X\A là
p
|
 
- đóng trong ( X,

)
iv) A là tập
p

- đóng ( A =
p
Cl (A)

) khi và chỉ khi X\A là
p

- mở
v) Mỗi tập
p

- mở là tập mở trong ( X,

) (
p


  
)
vi) Hợp tùy ý các tập
p

- mở là tập
p

- mở.
Chứng minh:
i) Điều kiện cần
Gọi
x A

. A là tập
p

- mở trong ( X,

) nếu tồn tại tập mở U chứa x sao
cho
p
U A


.
Theo chú ý 1.2.2:
p p
|

U U , U
  
  

Suy ra
p
|
U A
 

. Vậy A là tập
p
|
 
- mở .



7
Điều kiện đủ
Gọi
x A

. A là tập
p
|
 
- mở trong ( X,

) nếu tồn tại tập mở U chứa x

sao cho
p
|
U A
 

.
Theo chú ý 1.2.2:
p p
|
U U , U
  
  

Suy ra
p
U A


. Vậy A là tập
p

- mở .
Vậy: A là tập
p

- mở trong ( X,

) khi và chỉ khi A là tập
p

|
 
- mở
p
{V X

  
| V là tập
p

- mở }
p
|
{V X
 
  
| V là tập
p
|
 
- mở }
Khi đó:
p p
|
  
  

ii)
p
Cl (A) {x X |


 

p
U A

  
,

tập mở của U chứa x}
p
|
Cl (A) {x X|
 
 

p
|
U A
 
  
,

tập mở của U chứa x}
Theo chú ý 1.2.5:
p p
|
Cl (A) Cl (A)
  


,
A X
 

Khi đó:
A là tập
p

- đóng ( A =
p
Cl (A)

) khi và chỉ khi A là tập
p
|
 
- đóng ( A =
p
|
Cl (A)
 
).
(iv) Điều kiện cần:
Theo (ii), A là tập
p

- đóng ( A =
p
Cl (A)


) khi và chỉ khi A là tập
p
|
 
-
đóng ( A =
p
|
Cl (A)
 
).
Mặt khác, A là tập
p
|
 
- đóng trên ( X,

) nếu X\A là tập
p
|
 
- mở trên
( X,

).
Theo (i), X\A là tập
p

- mở trong ( X,


) khi và chỉ khi X\A là tập
p
|
 
- mở
Vậy, A là tập
p

- đóng thì X\A là tập
p

- mở
+) Điều kiện đủ:
Theo (iii), X\A là tập
p
|
 
- mở trong ( X,

) thì A là tập
p
|
 
- đóng
Suy ra, X\A là tập
p

- mở trong ( X,

) thì A là tập

p

- đóng
Vậy: A là tập
p

- đóng ( A =
p
Cl (A)

) khi và chỉ khi X\A là
p

- mở

8
v) Gọi A
p


. Khi đó,
x A
 
, tồn tại tập mở U(x) chứa x sao cho




p
A U(x) | x A U(x) |x A


     

A
 

Vậy: Mỗi tập
p

- mở là tập mở trong ( X,

) (
p

  
)
vi) Hợp tùy ý các tập
p
|
 
- mở là tập
p
|
 
- mở.
Theo (i), A là tập
p

- mở trong ( X,


) khi và chỉ khi A là tập
p
|
 
- mở
Vậy: Hợp tùy ý các tập
p

- mở là tập
p

- mở.



9
Chương 2. CÁC PHÉP TOÁN – TẬP LÂN CẬN MỞ TRONG
KHÔNG GIAN TÔPÔ

2.1. Lân cận
p

- mở và phép toán – bao đóng
Định nghĩa 2.1.1
Cho ( X,

) là không gian tôpô và
p
:PO(X, ) P(X)
  

là 1 phép toán
trên PO(X,

).
Tập con A của không gian tôpô X được gọi là lân cận
p

- mở nếu
x A
 
,
tồn tại lân cận mở U sao cho
x U

và
p
U A


.
Tập rỗng cũng là lân cận
p

- mở
Tập hợp tất cả các lân cận
p

- mở trong (X,

) được kí hiệu là:

p
PO(X, )



Ví dụ 2.1.2
(i) Tập con A được gọi là lân cận “id” – mở của (X,

) khi và chỉ khi A là
lân cận mở trong (X,

)
Phép toán “id”:
PO(X, ) P(X)
 
được định nghĩa là V
“id”
=V với
V PO(X, )
 

Phép toán này được gọi là phép toán đồng nhất thức trên PO(X,

).
Tập con A là “id” – mở của (X,

) khi và chỉ khi A – mở trong (X,

)
Do đó ta có:

"id"
"id"
PO(X, ) PO(X, )
  
  

(ii)
(ii-1) Ta mô tả lân cận “ Cl” – mở , trong đó:
“Cl”:
PO(X, ) P(X)
 
là phép toán định nghĩa bởi V
“Cl”
= Cl(V) với
V PO(X, )
 

Tập con A là lân cận “ Cl” – mở trong (X,

)


Với mọi x

A, tồn tại tập con U

PO(X, )

sao cho
x U


và
"Cl"
U A



Với mọi x

X\A, tồn tại tập con V


PO(X, )

sao cho
x V

và
"Cl"
V (X \ A)
  

"Cl"
pCl (X \ A) (X\ A)
 

Với


"Cl"

pCl (B) z X | Cl(W) B , W PO(X, ): z W ,(B X)
         
Do đó, tập A là lân cận “Cl” – mở trong (X,

)

10
"Cl"
pCl (X \ A) (X\ A)
 

Ta luôn có tính chất sau:
Tập A là lân cận “Cl” – mở trong (X,

) khi và chỉ khi A là

- mở trong
(X,

)
Chứng minh:
Gọi A là lân cận “Cl” – mở trong (X,

).
Với mọi x

A, tồn tại tập con U

PO(X, )


sao cho
x U Cl(U) A
  

Đặt O = Int(Cl(U))
Suy ra,
x U O
  
và
Cl(U) Cl(Int(Cl(U))) Cl(O) Cl(U)
  

Do đó, với mỗi x

A, tồn tại O


sao cho
x O Cl(O) A
  

Vậy, A là

- mở trong (X,

)
Ngược lại, A là

- mở trong (X,


)

A là lân cận “Cl” – mở trong (X,

)
(ii -2)
Phép toán “ pCl”:
PO(X, ) P(X)
 
được định nghĩa là: V
“pCl”
= pCl(V)
với
V PO(X, )
 

Chú ý: “ pCl”

Cl:
PO(X, ) P(X)
 

(*) Tập con A là lân cận “pCl” – mở trong (X,

) khi và chỉ khi A là

-
mở trong (X,

)

Bao đóng pCl


(B) của tập con B được định nghĩa:


{y X |pCl(pCl B
V) B ,

    
với mọi lân cận mở V chứa y}
Tập con B được gọi là lân cận

- đóng trong (X,

) nếu B = pCl


(B)
Tập con A được gọi là lân cận

- mở trong (X,

) nếu X\A = pCl

(X\A)
Rõ ràng, A
A pCl (A),(A X)

 

Chứng minh (*)
Tập con A là lân cận “ pCl” – mở trong (X,

)


Với mọi x

A, tồn tại tập con U

PO(X, )

sao cho
x U

và
"pCl"
U A


"pCl"
x U
x X \ A, U PO(X, ):
U (X \ A)


     

  



pCl (X \ A) X \ A

 
và A là

- mở trong (X,

)
(ii-3)
Ví dụ sau cho thấy rằng phép toán “pCl” và “ Cl” khác nhau trên PO(X,

)
Cho X = { a, b, c} và

= {

, {a, b}, X}


11
Trong không gian tôpô (X,

):
PO(X,

) = {

, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, X}

Cl({a}) = X, pCl({a}) = {a}

pCl({a})

Cl({a})
(iii) Phép toán “ Int o Cl”:
PO(X, ) P(X)
 
được định nghĩa là: V
“Int o Cl”
=
Int(Cl(V)) với
V PO(X, )
 

Phép toán này được gọi là phần trong – bao đóng trên
PO(X, )


Trong phép toán này ta cần chú ý rằng:
(**) Tập con A là lân cận “ Int o Cl” – mở trong (X,

) khi và chỉ khi A là
“ Int o Cl” – mở trong (X,

) hay A là

- mở trong (X,

).

Chứng minh (**):
Giả sử tập con A là lân cận “ Int o Cl” – mở trong (X,

)
Với mọi x

A, tồn tại tập con U

PO(X, )

sao cho
x U

và Int(Cl(U))

A


x G
G :
Int(Cl(G)) A


 




Hay A là “ Int o Cl” – mở trong (X,


)
Vì vậy, A là “ Int o Cl” – mở trong (X,

) khi và chỉ khi A là

- mở trong
(X,

).


là tập hợp tất cả

- mở trong (X,

).


là một tôpô của X
Từ (**) suy ra:
"IntoCl" "IntoCl"
PO(X, )

    
với
"IntoCl"
PO(X, )

là một tôpô của X.
(iv) Trong nhiều ví dụ, phép toán từ PO(X,


) đến P(X) định nghĩa như sau:
Phép toán: “ Cl

”, “Cl

”, “pCl

”, “

Cl”, “sCl”, “

-Cl”:
PO(X, ) P(X)
 

"Cl "
"Cl "
"pCl "
" Cl"
"sCl"
" sCl"
V Cl (V)
V Cl (V)
V pCl (V)
V Cl(V)
V sCl(V)
V sCl(V)
V PO(X, )












 

  
  


Trong tập con B của (X,

),

- bao đóng

12
Cl

(B) của B được định nghĩa là:


{y X | Int(Cl(U)Cl
) B ,

B

    
với mọi tập mở U chứa y}
(


{y X | Cl(U)Cl
,
B B

    
với mọi tập mở U chứa y})
Trong tập con B của (X,

),

- bao đóng

Cl(B) của tập B là giao của tất cả tập

- đóng chứa B

Cl(B) là

- đóng trong (X,

)
Trong phép toán trên ta có các tính chất sau:
Cl Cl Cl Cl: PO(X, ) P(X)

 
     

pCl pCl : PO(X, ) P(X)

  

sCl sCl:PO(X, ) P(X)
    

(v) Cho “Cl”|

, “pCl”|

, “

Cl”|

:
P(X)
 
hạn chế đến

của phép
toán Cl, pCl,

Cl:
PO(X, ) P(X)
 

Khi đó: “Cl”|

= “pCl”|

= “

Cl”|

:
P(X)
 

(vi)
Giả sử X = { a, b, c} và

= {

, {a}, {a, b}, X}
Khi đó, PO(X,

) = {

, {a}, {a, b}, {a, c}, X}
Ta định nghĩa phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
sao cho:
p
(A) A

 
nếu
b A


p
(A) pCl(A)
 
nếu
b A


Khi đó, ta có:
p
PO(X, )


= {

, {a, b}, X}
Định lí 2.1.3
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán trên PO(X,

)
(i) Mỗi lân cận
p


- mở của (X,

) là một lân cận mở trong (X,

), nghĩa
là:
p
PO(X, ) PO(X, )

  

(ii) Mỗi tập
p

- mở của (X,

) là một lân cận
p

- mở trong (X,

), nghĩa
là:
p p
PO(X, )
 
  

(iii) Nếu



i
A |i J

là họ các lân cận
p

- mở trong (X,

) thì


i
A |i J

 cũng là lân cận
p

- mở trong (X,

). (J là tập các chỉ số bất kì).
Chứng minh:
(i) Giả sử
p
A PO(X)


. Cho
x A




13
Suy ra, tồn tại lân cận mở U sao cho:
p
x U U A

  

Vì U là lân cận mở nên
x U Int(Cl(U)) Int(Cl(A))
  

p
A Int(Cl(A))
A PO(X)
PO(X, ) PO(X, )

 
 
   

Cách chứng minh khác:
Giả sử
p
A PO(X)


. Cho

x A


Suy ra, tồn tại lân cận mở U(x) chứa x sao cho:
p
U(x) A



Khi đó:




 
p
p
U(x)| x A U(x) |x A A
A U(x) | x A PO(X, )
PO(X, ) PO(X, )


   
   
   
 

(ii) Giả sử A là tập
p


- mở trong (X,

) và
x A


Suy ra, tồn tại tập mở U sao cho:
p
x U U A

  

Từ đó, mỗi tập mở là một lân cận mở

A là lân cận
p

- mở trong (X,

)
p
p
PO(X, )
 
   

(iii) Cho


i

x A |i J
 

i
x A
 
với i

J
Theo giả thiết, A
i
là lân cận
p

- mở trong (X,

) thì tồn tại lân cận mở U
chứa x sao cho


p
i i
U A A |i J

  

Vậy,


i

A |i J

 là lân cận
p

- mở trong (X,

).
Nhận xét 2.1.4
(i) Cho X = { a, b, c, d} và

= {

, {a},{b}, {a, b}}
Khi đó, PO(X,

) = {

, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}}
Phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
cho bởi công thức:
p
(A) A
 
nếu
a A


p
(A) pCl(A)
 
nếu
a A


Khi đó, {b}

PO(X, )

, {b} không là lân cận
p

- mở

14
{ a, b, d} là lân cận
p

- mở nhưng không là
p

- mở
(ii) Giao của hai lân cận
p

- mở chưa hẳn là lân cận
p


- mở
Cho X = { a, b, c} và

= {

, {a},{a, b}, X}
Khi đó, PO(X,

) = {

, {a}, {a, b}, {a, c}, X}
Định nghĩa phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
:
p
(A) A
 
nếu


A a




p
(A) a,b

  nếu A = {a}
Khi đó, A = { a, b} và B = {a, c} là lân cận
p

- mở nhưng A

B = {a}
không là lân cận
p

- mở.
Định nghĩa 2.1.5
Cho không gian tôpô (X,

)và phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  

(X,

) được gọi là không gian lân cận
p

- chính quy nếu với mỗi
x X


và với mỗi lân cận mở V của x, tồn tại lân cận mở U của x sao cho
p

U V



Định lí 2.1.6
Cho ( X,

) là không gian tôpô và
p
:PO(X, ) P(X)
  
là 1 phép toán
trên PO(X,

)
(i) Các tính chất sau là tương đương:
(1)
p
PO(X, ) PO(X, )

  

(2) (X,

) là không gian lân cận
p

- chính quy
(3) Với mỗi
x X


và với mỗi lân cận mở U của x, tồn tại lân cận mở
p

-
mở W của (X,

) sao cho x

W và
W U


(ii) (X,

) là không gian
p

- chính quy khi và chỉ khi (X,

) là không
gian
p

|

- chính quy.
(iii) Các tính chất sau tương đương:
(1)
p


  

(2) (X,

) là không gian
p

- chính quy
(3) Với mỗi
x X

và với mỗi tập mở U của (X,

) chứa x, tồn tại tập
p

-
mở W của (X,

) sao cho x

W và
W U


Chứng minh:
(i) (1)

(2):

15
Giả sử x

X và V là lân cận mở chứa x
Theo định lí 2.1.3 và giả thiết:
p
PO(X, ) PO(X, )

  


V là lân cận
p

- mở

Tồn tại lân cận mở U chứa x:
p
U V



Vậy, (X,

) là không gian lân cận
p

- chính quy
(2)


(3):
Lấy x

X bất kì và U là lân cận mở chứa x
Khi đó, theo (2), tồn tại lân cận mở W chứa x sao cho:
p
W W U

 


W là lân cận
p

- mở
Vậy, W là lân cận
p

- mở chứa x sao cho
W U

.
(3)

(1):
Theo định lí 2.1.3(i), mỗi lân cận
p

- mở là lân cận mở trong (X,


).
p
PO(X, ) PO(X, )

   
(1)
Từ (3) và định lí 2.1.3(iii), mỗi lân cận mở của (X,

) là lân cận
p

- mở .

p
PO(X, ) PO(X, )

   
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
p
PO(X, ) PO(X, )

  

(ii) Theo chú ý 1.2.2:
p p
|
U U , U
  

  

Suy ra, (X,

) là không gian
p

- chính quy khi và chỉ khi (X,

) là không
gian
p

|

- chính quy.
(iii) (1)

(2):
Theo (1) và mệnh đề 1.2.6(i),
p p
|
  
    

Ta có (X,

) là không gian
p


|

- chính quy.
Từ (ii) suy ra: (X,

) là không gian
p

- chính quy
(2)

(3):
Lấy x

X bất kì và U là tập mở chứa x.
Theo (2), tồn tại tập mở W

sao cho x

W và
p
W W U

 


W là tập
p

- mở

Vậy, W là tập
p

- mở chứa x sao cho
W U

.
(3)

(1):

16
Từ mệnh đề 1.2.6, mỗi tập
p

- mở là một tập mở
p

   
(1)
Ngược lại, giả sử U là tập mở ( U

)
Khi đó, với mỗi
x U

, từ (iii), tồn tại tập
p

- mở

p
W(x)


sao cho
W(x)
U

.
Theo mệnh đề 1.2.6 (vi):


U W(x)|x U
  và
p
U



p

   
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
p

  

Định nghĩa 2.1.7
Phép toán

p
:PO(X, ) P(X)
  
được gọi là lân cận chính quy nếu với mỗi
x X

và mỗi cặp lân cận mở U, V của
x X

, tồn tại lân cận mở W chứa x sao
cho
p p p
W U V
  
 
.
Định lí 2.1.8
(i) Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán lân cận chính quy trên
PO(X, )

.
Nếu A và B là lân cận
p

- mở trong (X,


) thì
A B

cũng là lân cận
p

-
mở trong (X,

).
(ii) Phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
là chính quy khi và chỉ khi
p
| : P(X)
   
là chính quy
(iii) Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán chính quy trên
PO(X, )

.
Nếu A và B là tập
p


- mở trong (X,

) thì
A B

cũng là tập
p

- mở trong
(X,

).
(iv) Nếu
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán lân cận chính quy thì
p
PO(X, )


là một tôpô của X.
Chứng minh:
(i) Cho
x A B
 
. A và B là lân cận
p

- mở trong (X,


)

Tồn tại lân cận mở U, V sao cho
x U,x V
 
và
p p
U A,V B
 
 

p

là phép toán lân cận chính quy nên tồn tại lân cận mở W chứa x sao cho
p p p
W U V A B
  
   
.

17
Suy ra,
A B

là lân cận
p

- mở trong (X,


).
(ii) Theo chú ý 1.2.2:
p p
|
U U , U
  
  

Suy ra,
p

là chính quy khi và chỉ khi
p

|

là chính quy.
(iii) Cho
x A B
 
. A và B là tập
p

- mở trong (X,

)

Tồn tại tập mở U, V sao cho
x U,x V
 

và
p p
U A,V B
 
 

p

là phép toán chính quy nên tồn tại tập mở W chứa x sao cho
p p p
W U V A B
  
   
.
Suy ra,
A B

là tập
p

- mở trong (X,

).
(iv)
p
PO(X, )


là tập hợp tất cả các lân cận
p


- mở của (X,

)
+)
p
,X PO(X, )

  

+) Theo (i):
p
A,B PO(X, )

 
thì
p
A B PO(X, )

  

+) Theo định lí 2.1.3(iii):




p p
i i
A |i J PO(X, ) A |i J PO(X, )
 

      


Vậy,
p
PO(X, )


là một tôpô của X.
Định nghĩa 2.1.9
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
và
A X


(i) Tập con A được gọi là
p

- đóng trong (X,

) nếu X\A là
p

- mở.
(ii) Tập con A được gọi là lân cận
p


- đóng trong (X,

) nếu X\A là lân
cận
p

- mở.
(iii)
p
Cl(A)

  

{F| F là tập
p

- đóng: A

F}
p
PO(X) Cl(A)

 

{F| F là lân cận
p

- đóng: A

F}

Định nghĩa 2.1.10
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
và
A X


Điểm
x X

gọi là lân cận
p

- bao đóng của tập A nếu
p
U A

  
với
mọi lân cận mở U chứa x
Lân cận
p

- bao đóng của tập A được kí hiệu là
p
pCl (A)


p
p
pCl (A) {x X |U A


    
với mọi lân cận mở U chứa x}


18
Định lí 2.1.11
Cho A là tập con bất kì trong không gian tôpô (X,

)
Ta có tính chất trên
p
PO(X, )


- bao đóng và
p


- bao đóng
(i)
p p
PO(X) Cl(A) {y X | V A , V PO(X, ) : y V}
 
         

(ii)
p p
Cl(A) {y X|V A , V : y V}
 
         

Chứng minh:
(i) Đặt
p
E {y X | V A , V PO(X, ) : y V}

        

Ta sẽ chứng minh
p
PO(X) Cl(A) E

 

Giả sử
x E

. Khi đó tồn tại lân cận
p

- mở V chứa x sao cho
V A
  

Suy ra, X\V là lân cận

p

- đóng và
A X \ V


Mặt khác, theo định nghĩa 2.1.9:
p
PO(X) Cl(A)

 

{F| F là lân cận
p

- đóng: A

F}
p
PO(X) Cl(A) X\ V

  

p
x PO(X) Cl(A)

  

p
PO(X) Cl(A) E


  
(1)
Ngược lại, giả sử
p
x PO(X) Cl(A)

 


Tồn tại lân cận
p

- đóng F sao cho
A F
x F






p
x X \ F PO(X, )

   
,


X \ F A

  

x E
 

p
E PO(X) Cl(A)

  
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
p
PO(X) Cl(A) E

 

Vậy:
p p
PO(X) Cl(A) {y X | V A , V PO(X, ) : y V}
 
         

(ii)
p
Cl(A)

  

{F| F là tập
p


- đóng: A

F}

19



 
 
 
p
p
p
p
p
|
|
|
F| A F,X \ F
F| A F,X \ F
Cl(A)
y X | V A , V :y V
y X | V A , V : y V

 
 
 


  
  
  
       
       



Định lí 2.1.12
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán trên
PO(X, )

và A, B là các tập
con của không gian tôpô (X,

).
Khi đó, ta có các tính chất trên
p
pCl (A)

và
p
pCl (B)


(i) Tập

p
pCl (A)

là lân cận đóng của (X,

) và
p
A pCl (A)



(ii)
p
pCl ( )

  
và
p
pCl (A) A



(iii) A là lân cận
p

- đóng ( X\A là lân cận
p

-mở) trong (X,


) khi và chỉ
khi
p
pCl (A) A



(iv) Nếu
A B

thì
p p
pCl (A) pCl (B)
 


(v)
p p p
pCl (A) pCl (B) pCl (A B)
  
  

(vi) Nếu
p
:PO(X, ) P(X)
  
là lân cận chính quy thì
p p p
pCl (A) pCl (B) pCl (A B)
  

  

(vii)
p p p
pCl (A B) pCl (A) pCl (B)
  
  

Chứng minh:
Tập
p
pCl (A)

là lân cận
p

- bao đóng của A.
p
p
pCl (A) {x X |U A


    
với mọi lân cận mở U chứa x}
(i) Giả sử
p
x X \ pCl (A)



Theo định nghĩa, tồn tại lân cận mở U(x) chứa x sao cho
p
U(x) A

  

Đặt


p
V U(x)| x X \ pCl (A)

 
Khi đó, ta cần chứng minh
p
V X \ pCl (A)



Thật vậy,
y V
 
, tồn tại tập con
U(x) PO(X, )
 
sao cho

20
p
y U(x)

U(x) A





  



p
y pCl (A)

 
và
p
V X \ pCl (A)


(1)
Ngược lại, giả sử
p
y X \ pCl (A)




Tồn tại tập con
U(y) PO(X, )
 

sao cho
p
y U(x) V
U(y) A

 



  



p
X \ pCl (A) V

 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
p
V X \ pCl (A)



Vậy, tập
p
pCl (A)

là lân cận đóng trong (X,


) vì
V PO(X, )
 

Theo định nghĩa 2.1.10, ta có:
p
A pCl (A)



(ii) Theo định nghĩa 2.1.10:
p
p
pCl ( ) {x X | U


      
với mọi lân cận mở U chứa x}
p
pCl ( )

   

p
p
pCl (X) {x X | U X X


   
với mọi lân cận mở U chứa x}

p
pCl (X) X

 

(iii) Điều kiện cần:
Giả sử X\A là lân cận
p

-mở trong (X,

)
Theo(i):
p
A pCl (A)


(1)
Ta cần chứng minh:
p
pCl (A) A



Giả sử
x A

, tồn tại lân cận mở U chứa x sao cho
p
U X \ A


 nghĩa là
p
U A

  

p
x pCl (A)

 

p
pCl (A) A

 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
p
A pCl (A)



Điều kiện đủ:
Giả sử
p
A pCl (A)


. Gọi

x X \ A


p
x pCl (A)

 

Tồn tại lân cận mở U chứa x sao cho
p
U A

  
nghĩa là
p
U X \ A



Suy ra, X\A là lân cận
p

-mở trong (X,

) hay A là lân cận
p

- đóng.

21

(iv) Theo định nghĩa 2.1.10:
p
p
pCl (A) {x X | U A


    
với mọi lân cận mở U chứa x}
p
p
pCl (B) {x X |U B


    
với mọi lân cận mở U chứa x}
Nếu
A B

thì
p p
(U A) (U B)
 
  
p p
pCl (A) pCl (B)
 
 

(v)
p

p
pCl (A) {x X | U A


    
với mọi lân cận mở U chứa x}

p
p
pCl (B) {x X | U B


    
với mọi lân cận mở U chứa x}
Ta có:
p p p
(U A) (U B) U (A B)
  
       

Suy ra,
p p p
pCl (A) pCl (B) pCl (A B)
  
  

(vi) Giả sử
p p
x pCl (A) pCl (B)
 

 


Tồn tại cặp lân cận mở U và V chứa x sao cho
p
p
U A
U B



  


  



Phép toán
p

là lân cận chính quy nên theo định nghĩa 2.1.7, tồn tại lân cận
mở W chứa x sao cho
p p p
W U V
  
 

Khi đó, ta có:
p p p p p

W (A B) (U V ) (A B) (U ) (V B)
    
           

Nghĩa là:
p
W (A B)

   

p
x pCl (A B)

  

p p p
pCl (A B) pCl (A) pCl (B)
  
   
(1)
Theo(v):
p p p
pCl (A) pCl (B) pCl (A B)
  
  
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
p p p
pCl (A) pCl (B) pCl (A B)
  

  

(vii)
p
p
pCl (A) {x X | U A


    
với mọi lân cận mở U chứa x}
p
p
pCl (B) {x X |U B


    
với mọi lân cận mở U chứa x}
Ta có:
p p p
(U A) (U B) U (A B)
  
       

Suy ra,
p p p
pCl (A) pCl (B) pCl (A B)
  
  

22
Định lí 2.1.13
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán trên
PO(X, )

và A, B là các tập
con của không gian tôpô (X,

).
Khi đó, ta có các tính chất trên
p
PO(X) Cl(A)


và
p
PO(X) Cl(B)



(i) Tập
p
PO(X) Cl(A)



là lân cận
p

- đóng của (X,

) và

p
A PO(X) Cl(A)

 

(ii)
p
PO(X) Cl( )

   
và
p
PO(X) Cl(X) X

 

(iii) Tập con A là lân cận
p

- đóng ( X\A là lân cận
p


-mở) trong (X,

)
khi và chỉ khi
p
PO(X) Cl(A) A

 

(iv) Nếu
A B

thì
p p
PO(X) Cl(A) PO(X) Cl(B)
 
  

(v)




p p p
PO(X) Cl(A) PO(X) Cl(B) PO(X) Cl(A B)
  
     
(vi) Nếu
p
:PO(X, ) P(X)

  
là lân cận chính quy thì




p p p
PO(X) Cl(A) PO(X) Cl(B) PO(X) Cl(A B)
  
     
(vii)




p p p
PO(X) Cl(A B) PO(X) Cl(A) PO(X) Cl(B)
  
     

(viii)
p p p
PO(X) Cl(PO(X) Cl(A)) PO(X) Cl(A)
  
   

Định lí 2.1.14
Cho
p
:PO(X, ) P(X)

  
là phép toán trên
PO(X, )

và A, B là các tập
con trong không gian tôpô (X,

).
Khi đó, ta có các tính chất trên
p
Cl (A)

và
p
Cl (B)


(i) Tập
p
Cl (A)

là tập đóng trong (X,

) và
p
A Cl (A)



(ii)

p
Cl ( )

  
và
p
Cl (A) A



(iii) Tập con A là
p

- đóng ( X\A là tập
p

-mở) trong (X,

) khi và chỉ khi
p
Cl (A)

là
p

- đóng trong (X,

) (
p
Cl (A) A



)
(iv) Nếu
A B

thì
p p
Cl (A) Cl (B)
 


(v)
p p p
Cl (A) Cl (B) Cl (A B)
  
  

(vi) Nếu
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán chính quy thì
p p p
Cl (A) Cl (B) Cl (A B)
  
  


23

(vii)
p p p
Cl (A B) Cl (A) Cl (B)
  
  

Định lí 2.1.15
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán trên
PO(X, )

và A, B là các tập
con của không gian tôpô (X,

).
Khi đó, ta có các tính chất trên
p
Cl(A)

 
và
p
Cl(B)

 

(i) Tập

p
Cl(A)

 
là tập
p

- đóng của (X,

) và
p
A Cl(A)

  

(ii)
p
Cl( )

    
và
p
Cl(X) X

  

(iii) Tập con A là
p

- đóng ( X\A là tập

p

-mở) trong (X,

) khi và chỉ khi
p
Cl(A) A

  

(iv) Nếu
A B

thì
p p
Cl(A) Cl(B)
 
    

(v)




p p p
Cl(A) Cl(B) Cl(A B)
  
        

(vi) Nếu

p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán chính quy thì




p p p
Cl(A) Cl(B) Cl(A B)
  
        

(vii)




p p p
Cl(A B) Cl(A) Cl(B)
  
        
(viii)
p p p
Cl( Cl(A)) Cl(A)
  
      

Định lí 2.1.16
Cho

p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán trên
PO(X, )

và A là tập con bất
kì trong không gian tôpô (X,

) thì:
(i)
p p p
pCl(A) pCl (A) PO(X) Cl(A) Cl(A)
  
     

(ii)
p p
pCl(A) Cl(A) Cl (A) Cl(A)
 
    

Hệ quả 2.1.17
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán trên
PO(X, )


và A là tập con bất
kì trong không gian tôpô (X,

).
(i) Các mệnh đề sau đây là tương đương:
(1) Tập con A là lân cận
p

- mở trong (X,

).
(2)
p
pCl (X\ A) X\ A



(3)
p
PO(X) Cl(X\ A) X\ A

 


24
(4) X\A là lân cận
p

- đóng trong (X,


).
(ii) Các mệnh đề sau đây là tương đương:
(1) Tập con A là
p

- mở trong (X,

).
(2)
p
Cl (X\ A) X\ A



(3)
p
Cl(X\ A) X\ A

  

(4) X\A là tập
p

- đóng trong (X,

).
(5) X\A là tập
p
|
 

- đóng trong (X,

).
Hệ quả 2.1.18
Cho
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán trên
PO(X, )

và A là tập con bất
kì trong không gian tôpô (X,

)
(i) Nếu (X,

) là không gian lân cận
p

- chính quy thì
p p
pCl(A) pCl (A) PO(X) Cl(A)
 
  

(ii) Nếu (X,

) là không gian
p


- chính quy thì
p p
Cl(A) Cl (A) Cl(A)
 
   

Định nghĩa 2.1.19
Phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
được gọi là lân cận mở nếu với mỗi
x X

, mỗi lân cận mở U chứa x, tồn tại lân cận
p

- mở V sao cho
x V

và
p
V U

 .
Định lí 2.1.20
Cho
p
:PO(X, ) P(X)

  
là phép toán trên
PO(X, )

và A là tập con bất
kì trong không gian tôpô (X,

)
(i) Nếu
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán lân cận mở thì
p p
pCl (A) PO(X) Cl(A)
 
 

p p p
pCl (pCl (A)) pCl (A)
  


p
pCl (A)

là lân cận
p

- đóng trong (X,


)
(ii)
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán mở khi và chỉ khi phép toán
p
| : P(X)
   
là mở.
(iii) Nếu
p
:PO(X, ) P(X)
  
là phép toán mở thì:
p p
Cl (A) Cl(A)
 
  


25
p p p
Cl (Cl (A)) Cl (A)
  


p
Cl (A)


là
p

- đóng trong (X,

)
Chứng minh:
(i) Từ định lý 2.1.16(i) ta có:
p p
pCl (A) PO(X) Cl(A)
 
 

Giả sử
p
x pCl (A)



Suy ra, tồn tại lân cận mở U chứa x sao cho
p
U A

  

Từ
p

là lân cận mở, theo định nghĩa 2.1.19, tồn tại lân cận

p

- mở V sao
cho
p
x V U

 
và
V A
  

Từ định lí 2.1.11(i),
p
x PO(X) Cl(A)

 

Vậy, ta có:
p p
pCl (A) PO(X) Cl(A)
 
 

Ngoài ra, sử dụng kết quả ở trên và định lí 2.1.13 ta có:
p p p p p p
p p p
pCl (pCl (A)) PO(X) Cl(PO(X) Cl(A)) PO(X) Cl(A)
pCl (A)
pCl (pCl (A)) pCl (A)

     
  
     
 
và
p
pCl (A)

là lân cận
p

- đóng trong (X,

).
(ii) Phép toán
p
:PO(X, ) P(X)
  
là mở khi và chỉ khi với mỗi
x X

,
mỗi tập mở U chứa x, tồn tại tập
p

- mở V sao cho
x V

và
p

V U

 (*)
Theo chú ý 1.2.2:
p p
|
U U , U
  
  

Suy ra, với mỗi
x X

, mỗi tập mở U chứa x, tồn tại tập
p
|
 
- mở V sao
cho
x V

và
p
|
V U
 

Vây, phép toán
p
| :PO(X, ) P(X)

   
là mở .
(iii) Từ định lý 2.1.16(ii) ta có:
p p
Cl (A) Cl(A)
 
  

Giả sử
p
x Cl (A)



Suy ra, tồn tại tập mở U chứa x sao cho
p
U A

  

Từ
p

là phép toán mở, theo định nghĩa 2.1.19, tồn tại tập
p

- mở V sao
cho
p
x V U


 
và
V A
  

Từ định lí 2.1.11(ii),
p
x Cl(A)

 

Vậy, ta có:
p p
Cl (A) Cl(A)
 
  

Ngoài ra, sử dụng kết quả ở trên và định lí 2.1.15 ta có: