khóa luận tốt nghiệp về chiều fractal của tập cantor

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học cơ bản, là tổng hòa của nhiều mối quan hệ
với các môn khoa học khác. Toán học ngày càng đi tới những tầm cao mới, đem
lại những ứng dụng thực tế phục vụ cho không chỉ hoạt động sống của con
người mà còn là nền tảng để cùng các môn khoa học khác khám phá sâu hơn thế
giới tự nhiên.
Tập Cantor được giới thiệu đầu tiên bởi nhà toán học người Đức Georg
Cantor vào năm 1883. Nó là một tập hợp điểm nằm trên một đoạn thẳng được
xây dựng bằng thuật toán hết sức đơn giản nhưng có cấu trúc phức tạp tinh tế, có
nhiều tính chất đặc biệt, thú vị. Thông qua xem xét nó, Cantor và nhiều nhà toán
học khác đã đặt nền móng nghiên cứu cấu trúc của nhiều đối tượng.
Vào đầu những năm 70 của thế kỉ 20, một hướng nghiên cứu mới mẻ và
hấp dẫn của toán học hiện đại ra đời đó hình học Fractal. Với những đóng góp
lớn của các nhà Toán học B.N.Mardelbrot, Hutchinson, K.J.Falconer…đã khắc
phục được những hạn chế bị đánh giá là “ khô cứng” và “lạnh lẽo” của hình học
Euclide. Mặt khác, nó có nhiều điểm hấp dẫn và có rất nhiều ứng dụng phong
phú trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống. Công cụ để nghiên cứu hình học fractal
là chiều và độ đo. Trong đó tập Cantor là ví dụ điển hình được dùng để minh
họa cho các phương pháp tính chiều fractal. Với những lý do trên, chúng tôi
chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là "Về chiều fractal của tập
Cantor" để tiến hành nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Giới thiệu về hình học Fractal, tìm hiểu, trình bày một cách hệ thống và
chứng minh chi tiết một số tính chất của tập Cantor và độ đo Hausdorff.
Thông qua việc nghiên cứu các tính chất của tập Cantor và độ đo Hausdorff
để tìm hiểu cách tính chiều fractal dựa vào độ đo Hausdorff.
3. Đối tượng nghiên cứu
Độ đo Hausdorff và tính chiều fractal của tập Cantor dựa vào độ đo

Hausdorff.

2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng hợp các quan điểm và kết quả của các nhà Toán học về độ đo
Hausdorff và chiều fractal của tập Cantor.
6. Đóng góp của khóa luận
- Khóa luận được thực hiện dựa trên việc hệ thống, tổng hợp và làm rõ một
số kết quả của các sách và bài báo có liên quan.
- Khóa luận là một tài liệu tham khảo cho các độc giả bước đầu tìm hiểu về
hình học fractal.
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của đề
tài gồm hai chương:
Chương 1. Hình học Fractal
Khóa luận này trình bày khái quát một số vấn đề về hình học fractal, một số
kiến thức cơ sở cần thiết để hỗ trợ cho chương sau.
Chương 2. Chiều Fractal của tập Cantor
Khóa luận này trình bày các tính chất của tập Cantor C
3
, định nghĩa và một
số tính chất cơ bản về độ đo Hausdorff. Trình bày phương pháp tính chiều
fractal của tập Cantor dựa vào độ đo Hausdorff.

3
Chương 1. HÌNH HỌC FRACTAL
Trong chương này tôi trình bày lại một số kiến thức cơ sở về độ đo, ánh xạ
co, ánh xạ đồng dạng, tập tự đồng dạng, tập compact, tập liên thông. Giới thiệu
về sự ra đời và phát triển lý thuyết, ý nghĩa, một số hình ảnh và ứng dụng của
hình học Fractal. Trình bày cách xây dựng một số tập fractal.
1.1. Một số kiến thức cơ sở
1.1.1. Định nghĩa:
Cho
X
 
và  là một

- đại số các tập con của X. Hàm tập
:




được gọi là một độ đo trên  nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i)
0
)
(


A

với mọi
A


ii)
( ) 0

 

iii)

là

- cộng tính, nghĩa là nếu
i
A

 ,
i j
A A
  

( )
i j

,
1

i
i
A





thì
1
1
( ) ( ).
i i
i
i
A A
 







Độ đo

trên

- đại số L các tập con của X được gọi là độ đo đủ nếu
0

)
(
,
,



B
L
B
B
A

thì
0
)
(
,


A
L
A

.
Hàm

được gọi là một độ đo ngoài trên  nếu thỏa mãn i), ii) và điều
kiện iii) được thay bởi iii') với
iii')


là

- dưới cộng tính, tức là nếu
i
A

 ,
i j
A A
  

( )
i j

,
1
i
i
A





 thì








1
1
)()(
i
i
ii
AA

.
1.1.2. Mệnh đề.
Giả sử

là 1 độ đo trên đại số

. Khi đó:
i)


0

 

ii)
,
A B



,
B A

và
( )
B

 
, thì


| ( ) ( )
A B A B
  
  ( tính chất
trừ được)
iii) Tính đơn điệu
,
A B



,
B A

thì
)
(
)

(
B
A





4
iv) Tính nửa

- cộng tính dưới theo nghĩa, nếu
k
A



,
A




1
k
k
A A






thì
1
( ) ( )
k
k
A A
 





Đặc biệt, nếu thêm điều kiện
( ) 0
k
A


,
1,2,
k
 
thì
( ) 0
A



v) Nếu
k
A



,
k j
A A
  
( )
k j

,
A



,
1
k
k
A A




thì
1
( ) ( )

k
k
A A
 





1.1.3. Định nghĩa.
i) Một điểm x được gọi là điểm tụ của một tập F khi mọi lân cận của x đều
chứa vô số điểm của F.
ii) Cho một tập F trong không gian mêtric X. Một điểm
x F

không phải
là điểm tụ của F được gọi là điểm cô lập của F.
1.1.4. Nhận xét.
i) Một điểm x là điểm tụ của tập F khi và chỉ khi mỗi lân cận của x có chứa
ít nhất một điểm của F khác với x.
ii) Điểm
F
x

là điểm cô lập của F khi và chỉ khi có một lân cận của x
không chứa điểm nào của tập


xF \ .
1.1.5. Định nghĩa

Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu X không thể biểu diễn được
dưới dạng hợp của hai tập con khác rỗng, tách được.
Tập con
X
A

không gian tôpô được gọi là tập liên thông nếu không gian
con A với tôpô cảm sinh là không gian liên thông.
Giả sử X là không gian tôpô,
X
A

. Tập A được gọi là thành phần liên
thông của X nếu A là tập liên thông cực đại.
Không gian tôpô X được gọi là hoàn toàn không liên thông nếu mỗi thành
phần liên thông của X chỉ là một điểm.
1.1.6. Định nghĩa.
i) Không gian tôpô X được gọi là không gian compact, nếu với mọi phủ mở
của X đều chọn ra được một phủ con hữu hạn.

5
ii) Tập con M của không gian tôpô X được gọi là tập compact nếu M là
không gian compact với tôpô cảm sinh ( bởi tôpô của X trên M).
iii) Không gian tôpô X được gọi là không gian compact địa phương nếu với
mọi điểm a thuộc X, tìm được lân cận U của a sao cho
U
compact.
1.1.7. Định nghĩa.
i) Cho
,

n
D D  

. Ánh xạ
:
f D D

được gọi là ánh xạ co trên D nếu
tồn tại hằng số


1;0

c sao cho ( ) ( )
f x f y c x y
  
,
,
x y D
 
và c được gọi
là tỷ số co của f.
ii) Nếu dấu " = " trong bất đẳng thức trên xảy ra với
,
x y D
 
thì f được
gọi là ánh xạ đồng dạng trên D và c được gọi là tỷ số đồng dạng của ánh xạ f.
iii) Một họ hữu hạn gồm m ánh xạ co



1 2
, , ,
m
f f f
được gọi là một hệ hàm
lặp trên D ( viết tắt là IFS – Iterated Function System) .
1.1.8. Mệnh đề.
Cho m ánh xạ co


1
m
i
i
f

trên D. Ta xác định ánh xạ
:
f




bởi

1
( ) ( )
m
i

i
E f E f E



(1.2)
thì
max
( ( ), ( )) ( , )
H H
d f A f B c d A B

, trong đó


ax
1
ax
m i
i m
c m c
 

với c
i
là tỷ số
co của f
i
,



1,2, ,
i m
 .
1.1.9. Mệnh đề.
Cho hệ hàm lặp


1
m
i
i
f

và f là ánh xạ co được xác định bởi (1.1.7). Khi đó
tồn tại duy nhất một tập
F



sao cho f(F) = F.
Hơn nữa. nếu có tập
E


sao cho ( )
i
f E E

với



1,2, ,
i m
 
thì
1
( )
k
k
F f E




với
k
f
là sự lặp lại k lần ánh xạ f.

1.1.10. Định nghĩa.
Tập F được xác định trong Định lý 1.1.9 được gọi là tập bất biến của hệ
hàm lặp.

6
Nếu f
i
,
1
i m

 
là các ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F được gọi là tập
tự đồng dạng ( Self – Similar set).
Các tập bất biến được xem là các tập fractal. Một tính chất vô cùng quan
trọng của các tập Fractal là tự đồng dạng, có ý nghĩa là khi chọn một phần nhỏ
tùy ý nào đó của một tập tự đồng dạng F thì phần được chọn này luôn là " bản
sao" của F.
1.2. Sự ra đời và phát triển lý thuyết về hình học Fractal
Sự ra đời của lý thuyết hình học fractal là kết quả của nhiều thập kỷ nỗ lực
giải quyết các vấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học chính xác, đặc biệt là
vật lý và toán học. Fracral là một thuật ngữ do nhà toán học Mandelbrot đưa ra
khi ông khảo sát những hình hoặc những hiện tượng trong thiên nhiên không có
đặc trưng về độ dài
Năm 1982, nhà toán học thiên tài Mandelbrot nảy sinh ra ý tưởng về sự tồn
tại của một cuốn “ Hình học của tự nhiên”, Fractal Geometry. Fractal là cấu trúc
thể hiện sự gần giống nhau về hình dạng của các hình thể kích thước khác nhau.
Nếu bạn nghiền một củ khoai tây rán giòn bạn sẽ có vô số những mảnh vỏ lớn
nhỏ, các mảnh này có thể gọi là fractal. Fractal là những vật thể hình học có cấu
trúc nhưng quá bất thường để có thể mô tả bằng hình học Euclide.
Lý thuyết hình học fractal được xây dựng dựa trên 2 vấn đề lớn được quan
tâm ở những thập niên ở đầu thế kỷ 20. Các vấn đề bao gồm:
+) Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên.
+) Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Eclide
cổ điển.
Năm 1979, nhà toán học Benoit Mandelbrot áp dụng tập Mandelbrot đầy kì
ảo lên máy tính. Ông đã khám phá ra một lĩnh vực hình học mới đầy thú vị cho
phép phản ánh thế giới thực một cách tự nhiên hơn so với hình học Eclide. Tất
cả những hình ảnh mà ta thường gặp trong tự nhiên như: núi, mây, sông, nước…
nay máy tính đã có khả năng mô tả được bằng phương pháp fractal.
Trong giai đoạn này B. Mandelbrot và các nhà toán học khác như

A.Douady và J.Hubbard đã đặt nền móng và phát triển lý thuyết cho hình học

7
fractal. Các kết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất của các cấu trúc
fractal cơ sở như tập Maldenbrot và tập Julia. Ngoài ra các nghiên cứu khác
cũng cố gắng tìm kiếm mối quan hệ giữa các cấu trúc này, ví dụ như mối quan
hệ giữa Maldenbrot và Julia.
Dựa trên các công trình của Maldenbrot ( trong những năm 1976, 1979,
1982) và Hutchinson(1981), vào các năm 1986, 1988 Michael F.Barnsley và
M.Begger đã phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa trên cơ sở
lý thuyết về các hệ hàm lặp IFS. Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu hạn
các phép biến đổi affine cho phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình ảnh
của các đối tượng trong tự nhiên. Theo lý thuyết này hình học Euclide cổ điển
rất có hiệu lực trong việc biểu diễn các đối tượng nhân tạo như một tòa nhà, một
cổ máy nhưng lại hoàn toàn không thích hợp cho việc biểu diễn các đối tượng
của thế giới thực vì đòi hỏi một lượng quá lớn các đặc tả cần có. Nếu như trong
hình học Euclide các yếu tố cơ sở là đường thẳng, đường tròn, hình vuông… thì
lý thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với các yếu tố cơ sở mới là vô số thuật
toán để vẽ nên các fractal của tự nhiên.
Ngoài các công trình có tính chất lý thuyết , hình học fractal còn được bổ
sung bởi nhiều nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào khoa học máy tính và các
khoa học chính xác khác, ví dụ như dựa trên lý thuyết IFS, Barnsley đã phát
triển lý thuyết biến đổi fractal áp dụng vào công nghệ nén ảnh tự động trên máy
tính, là một lĩnh vực đòi hỏi những kỷ thuật tiên tiến nhất của tin học hiện đại.
Hiện nay nhiều vấn đề về lý thuyết fractal vẫn đang được tiếp tục nghiên
cứu. Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài toán về các độ đo
đa fractal (multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng các khái niệm
số chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời cũng liên quan
đến việc áp dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự nhiên.
1.3. Ý nghĩa của hình học Fractal

Rất nhiều người khi có dịp làm quen với hình học fractal đã nhanh chóng
thích thú có khi đến say mê, bởi nhiều lý do:

8
Một là: Hình học fractal ra đời và phát triển với nhiều ý tưởng mới lạ, độc
đáo gợi cho ta một cách nhìn thiên nhiên khác với cách nhìn quá quen thuộc do
hình học Euclid đưa lại từ mấy nghìn năm nay.
Hai là: Hình học fractal thường được xây dựng với quy tắc khá đơn giản,
nhưng đưa đến những hình ảnh rất lạ mắt, rất đẹp.
Ba là: Hình học fractal có nhiều ứng dụng phong phú, đa dạng, có khi rất
bất ngờ vào rất nhiều lĩnh vực khác nhau, từ các ngành xây dựng, khai thác dầu
khí, chế tạo dụng cụ chính xác… đến sinh lý học, ngôn ngữ học, âm nhạc.
Bốn là: Hình học fractal là một ngành toán học cao cấp, hiện đại nhưng một
số ý tưởng của nó, một số kết quả đơn giản của nó có thể trình bày thích hợp cho
đông đảo người đọc.
Hình học Euclid được giới thiệu ở trường trung học với việc khảo sát các
hình đa giác, hình tròn, hình đa diện, hình cầu, hình nón…Hơn hai nghìn năm
qua hình học Euclid đã có tác dụng to lớn đối với nền văn minh nhân loại, từ
việc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án xây dựng nhà cửa, chế tạo vật dụng và máy
móc, từ việc mô tả quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời đến mô tả cấu
trúc của nguyên tử. Tuy nhiên, qua hình học Euclid ta nhìn mọi vật dưới dạng
“đều đặn”, ”trơn nhẵn”. Với những hình dạng trong hình học Euclid ta không
thể hình dung và mô tả được nhiều vật thể rất quen thuộc xung quanh như quả
núi, bờ biển, đám mây, nhiều bộ phận trong cơ thể như mạch máu… là những
vật cụ thể cực kỳ không đều đặn không trơn nhẵn mà rất xù xì, gồ ghề. Một ví
dụ đơn giản: bờ biển đảo Phú Quốc dài bao nhiêu? Ta không thể có được câu trả
lời. Nếu dùng cách đo hình học quen thuộc dù thước đo có nhỏ bao nhiêu đi nữa
ta cũng đã bỏ qua những lồi lõm giữa hai đầu của thước đo ấy, nhất là chỗ bờ đá
nhấp nhô. Và với thước đo càng nhỏ ta có chiều dài càng lớn và có thể là… vô
cùng lớn.

1.4 Một số hình ảnh về tập fractal.

9

Hình bông tuyết Von Koch



Lá Dương Xỉ
10


Đệm Sierspinski


Hòn đảo Minkowski
11

1.5. Ứng dụng của hình học Fractal
Có 3 hướng ứng dụng lớn của lý thuyết hình học fractal, đó là:
+) Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính.
+) Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh.
+) Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản.
a) Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh bằng máy tính
Cùng với sự phát triển vượt bậc của máy tính cá nhân trong những năm gần
đây, công nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vực như trò chơi,
anmation video… nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó. Công nghệ này đòi hỏi sự
mô tả các hình ảnh của thế giới thực trên máy PC với sự phong phú về chi tiết và
màu sắc với sự tốn kém rất lớn về thời gian và công sức. Gánh nặng đó hiện nay

đã được giảm nhẹ đáng kể nhờ các mô tả đơn giản nhưng đầy đủ của lý thuyết
fractal về các đối tượng tự nhiên. Với hình học fractal khoa học máy tính có
trong tay một công cụ mô tả tự nhiên vô cùng mạnh mẽ.
Ngoài các ứng dụng trong lĩnh vực giải trí, hình học fractal còn có mặt
trong các ứng dụng tạo ra các hệ đồ họa trên máy tính. Các hệ này cho phép
người sử dụng tạo lập và chỉnh sửa hình ảnh đồng thời cho phép tạo các hiệu
ứng vẽ rất tự nhiên, hết sức hoàn hảo và phong phú, ví dụ hệ phần mềm thương
mại fractal Design Painter của công ty fractal Design. Hệ này cho phép xem các
hình ảnh dưới dạng hình họa vectơ cũng như sử dụng các ảnh bitmap như các
đối tượng. Như đã biết, các ảnh bitmap được hiển thị hết sức nhanh chóng, thích
hợp cho các ứng dụng mang tính tốc độ, các ảnh vectơ mất nhiều thời gian hơn
để trình bày trên màn hình(vì phải được tạo ra bằng cách vẽ lại) nhưng đòi hỏi
rất ít vùng nhớ làm việc. Do đó ý tưởng kết hợp ưu điểm của hai loại đối tượng
này sẽ giúp tiết kiệm nhiều thời gian cho người sử dụng các hệ phần mềm này
trong việc tạo và hiển thị các ảnh có độ phức tạp cao.
b) Công nghệ nén ảnh fractal
Một trong những mục tiêu quan trọng hàng đầu của công nghệ xử lý hình
ảnh hiện nay là sự thể hiện hình ảnh thế giới thực với đầy đủ tính phong phú và
sống động trên máy tính. Vấn đề nan giải trong lĩnh vực này chủ yếu do yêu cầu
12

về không gian lưu trữ thông tin vượt quá khả năng của các thiết bị lưu trữ thông
thường. Có thể đơn cử một ví dụ đơn giản: 1 ảnh có chất lượng gần như ảnh
chụp đòi hỏi một vùng nhớ 24 bit cho 1 điểm ảnh, nên để hiện ảnh đó trên một
màn hình máy tính có độ phân giải tương đối cao như 1024x768 cần xấp xỉ
2.25Mb với các ảnh “thực” 24 bit này, để thể hiện được một hoạt cảnh trong thời
gian 10 giây đòi hỏi xấp xỉ 700Mb dữ liệu, tức là bằng sức chứa của một đĩa
CD-ROM. Như vậy khó có thể đưa công nghệ multimedia lên máy PC vì nó đòi
hỏi một cơ sở dữ liệu ảnh và âm thanh khổng lồ.
Đứng trước bài toán này, khoa học máy tính đã giải quyết bằng những cải

tiến vượt bậc cả về phần cứng lẫn phần mềm. Tất cả các cải tiến đó dựa trên ý
tưởng nén thông tin hình ảnh trùng lặp. Phương pháp nén ảnh fractal được phát
triển gần đây bởi Iterated System đáp ứng được yêu cầu này.
Như đã biết, với một ánh xạ co trên một không gian metric đầy đủ, luôn tồn
tại một điểm bất động x
r
sao cho:
( )
r r
x f x

.
Micheal F.Barnsley đã mở rộng kết quả này cho một họ các ánh xạ co
F.Barnsley đã chứng minh được với một họ ánh xạ như vậy vẫn tồn tại một “
điểm” bất động x
r
. Để ý rằng với một ánh xạ co, ta luôn tìm được điểm bất động
của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầu rồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó trên các
kết quả thu được ở mỗi lần lặp. Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm được càng
xấp xỉ chính xác giá trị của điểm bất động. Dựa vào nhận xét này, người ta đề
nghị xem ảnh cần nén là “ điểm bất động” của một họ ánh xạ co. Khi đó đối với
mỗi ảnh chỉ cần lưu thông tin về họ ánh xạ thích hợp, điều này làm giảm đi rất
nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thông tin ảnh.
Việc tìm ra các ánh xạ co thích hợp đã được thực hiện tự động hóa nhờ quá
trình fractal một ảnh số hóa do công ty Iteratad System đưa ra với sự tối ưu về
thời gian thực hiện. Kết quả nén cho bởi quá trình này rất cao, có thể đạt đến tỉ
lệ 10000:1 hoặc cao hơn. Một ứng dụng thương mại cụ thể của kĩ thuật nén
fractal là bộ bách khoa toàn thư multimmedia với tên gọi “Microsoft Encarta”
được đưa ra vào 12 – 1992. Bộ bách khoa này bao gồm hơn 7 giờ âm thanh, 100
hoạt cảnh, 800 bản đồ cùng màu với 7000 ảnh chụp cây cối, hoa quả, con người,

13

phong cảnh, động vật,… Tất cả được mã hóa dưới dạng các dữ liệu fractal và chỉ
chiếm xấp xỉ 600Mb trên 1 đĩa compact.
Ngoài phương pháp nén fractal của Barnsley, còn có một phương pháp
khác cũng đang được phát triển. Phương pháp đó do F.H.Preston, A.F.Lehar,
R.J.Stevens đưa ra dựa trên tính chất của đường cong Hilbert. Ý tưởng cơ sở của
phương pháp là sự biến đổi thông tin n chiều về thông tin một chiều với sai số
cực tiểu. Ảnh cần nén có thể xem là một đối tượng ba chiều, trong đó hai chiều
dùng để thể hiện vị trí điểm ảnh, chiều thứ ba thể hiện màu sắc của nó. Ảnh sẽ
được quét theo thứ tự hình thảnh trên đường cong Hilbert chứ không theo hàng
từ trái sang phải như thường lệ để đảm bảo các dữ liệu nén kế tiếp nhau đại diện
cho các khối ảnh kế cạnh nhau về vị trí trong ảnh gốc. Trong quá trình quét như
vậy, thông tin về màu sắc của mỗi điểm ảnh được ghi nhận lại. Kết quả cần nén
sẽ được chuyển thành một tập tin có kích thước nhỏ hơn rất nhiều vì chỉ gồm
các thông tin màu sắc. Phương pháp này thích hợp cho các ảnh có khối cùng
tông màu lớn cũng như các ảnh dithering.
c) Ứng dụng trong khoa học cơ bản
Có thể nói cùng với lý thuyết tôpô, hình học fractal đã cung cấp cho khoa
học một công cụ khảo sát tự nhiên vô cùng mạnh mẽ. Vật lý học và toán học thế
kỷ XX đối đầu với sự xuất hiện của tính hỗn độn trong nhiều quá trình có tính
quy luật của tự nhiên. Từ sự đối đầu đó, trong những thập niên tiếp theo đã hình
thành một lý thuyết mới chuyên nghiên cứu về các hệ phi tuyến, gọi là lý thuyết
hỗn độn. Sự khảo sát các bài toán phi tuyến đòi hỏi rất nhiều công sức trong việc
tính toán và thể hiện các quan sát một cách trực quan, do đó sự phát triển của lý
thuyết này bị hạn chế rất nhiều. Chỉ gần đây với sự ra đời của lý thuyết fractal và
sự hỗ trợ đắc lực của máy tính, các nghiên cứu chi tiết về sự hỗn độn mới được
đẩy mạnh. Vai trò của hình học fractal trong lĩnh vực này là thể hiện một cách
trực quan các cư xử lỳ dị của các tiến trình được khảo sát, qua đó tìm ra được
các đặc trưng hoặc các cấu trúc tương tự nhau trong các ngành khoa học khác

nhau. Hình học fractal đã được áp dụng vào nghiên cứu lý thuyết từ tính, lý
thuyết các phức chất trong hóa học, lý thuyết tái định chuẩn và phương trình
Yang & Lee của vật lý, các nghiệm của các hệ phương trình phi tuyến được giải
14

dựa trên phương pháp xấp xỉ liên tiếp của Newton trong giải tích số,… các kết
quả thu được giữ một vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực tương ứng.
1.6. Cách xây dựng một số tập Fractal
1.6.1. Cách xây dựng tập Cantor cổ điển và tập kiểu Cantor
1.6.1.1. Tập Cantor cổ điển
Tập cantor C
3
được xây dựng bằng cách lấy đoạn thẳng [0, 1], chia làm ba
phần bằng nhau, bỏ đi khoảng mở
)
3
2
,
3
1
(
1
I
ở giữa và giữ lại hai đoạn ở hai
đầu nghĩa là giữ lại tập
 














 1;
3
2
3
1
;0\1,0
11
IF . Tiếp tục cách làm tương
tự đối với tập F
1
, bỏ đi tập















2222
2
3
8
;
3
7
3
2
;
3
1
I
và giữ lại tập:
 
.1;
3
8
3
7
;
3
6
3
3
;

3
2
3
1
;0)(\1;0
222222
212




























 IIF
Lặp lại cách làm y như vậy đối với mỗi đoạn còn lại và cứ tiếp tục mãi. Tập
còn lại trong cả quá trình đó là tập Cantor C
3
, còn khoảng mở đã bỏ đi trong
đoạn [0;1] ở bước thứ k để tạo ra tập Cantor gọi là khoảng bù cấp k của tập
Cantor C
3
.
Khoảng






3
2
;
3
1
gọi là khoảng bù cấp 1, các khoảng













2222
3
8
;
3
7
,
3
2
;
3
1
là
khoảng bù cấp 2,
Khi đó, ta có




0
310

i
i
CFFF
và tập Cantor
 




1
3
\1;0
n
n
IC









Xây dựng tập Cantor C
3


1

8
9
7
9
2
3
1
3
2
9
1
9
0

15

1.6.1.2. Tập tựa Cantor
Với mỗi
3

n
, ta xây dựng tập
n
C trên

thông qua các bước lặp như sau:
Một đoạn thẳng được chia thành
n
đoạn có độ dài như nhau, ở bước lặp tiếp
theo ta chỉ giữ lại một đoạn đầu tiên và một đoạn cuối cùng của phần chia này.

Gọi
, )3,2,1,0(

kE
k
là bước thứ
k
của quá trình lặp.


0
0
: 0;1
n
E C  ;
1
1
1 1
: 0; ;1
n
n
E C
n n

   

   
   


2
2 2
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
: 0; ; ; ;1
n
n n n n n
E C
n n n n n n
   
    
   

   
   
   
   
  



n
k
nkn
CCE
0
:





Khi đó,
n
C
được gọi là tập tựa Cantor, nó là tập fractal bất biến qua hệ hàm
lặp


2
1i
i
f
với :
i
f

 
,
2
,
1

i
xác định bởi:
x
n
xf
1
)(

1
 ,
n
n
x
n
xf
11
)(
2


Trường hợp n = 3 thì C
3
chính là tập Cantor cổ điển.
1.6.1.3. Bụi Cantor.
Xuất phát từ hình vuông đơn vị, chia nó thành 16 hình vuông nhỏ có độ dài
cạnh là
4
1
, giữ lại 4 hình vuông và bỏ đi 12 hình vuông khác. Cứ tiếp tục như
thế cho đến bước thứ k ta có 4
k
hình vuông cạnh là
k
4
1
. Quá trình này được lặp
lại vô hạn lần, khi đó ta thu được bụi Cantor.
Tương tự như tập Cantor ta cũng chứng minh được bụi Cantor là tập tự

đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp


4
1i
i
f
trên
2

xác định bởi

4
,
4
1
4
),(
1







yx
yxf ,








4
1
4
,
4
3
4
),(
2
yx
yxf

4
3
4
,
2
1
4
),(
3








yx
yxf ,
2
1
4
,
4
),(
4







yx
yxf
16

1.6.1.4. Tập Cantor đều
Cho đoạn


1;0

I

, số nguyên
2

m
và







m
r
1
;0 . Ta thay I bởi m đoạn I
1
,
I
2
, , I
m
cách đều nhau và có độ dài mỗi đoạn là r I sao cho điểm mút bên trái
của I
1
và điểm mút bên trái phải của I trùng với điểm mút bên phải của I
m
. Đặt

m

i
i
IF
1
1


. Tiếp tục cách làm như thế cho mỗi đoạn I
1
, I
2
, , I
m
ta có tập F
2
. Lặp
lại cách làm y như vậy đối với mỗi đoạn con của F
2
và tiếp tục mãi. Khi đó,




0k
k
FF
được gọi là tập Cantor đều
1.6.2. Cách xây dựng đường cong Von koch
Fractal tự đồng dạng mà chúng ta sẽ dựng là “ Đường cong bông tuyết
Koch”, được đặt để vinh danh Helge Von Koch (1870 – 1924), nhà toán học

người Thụy Điển mà người hầu như nổi tiếng đối với đường cong mang tên
ông. Nó là một ví dụ về đường cong liên tục mà không khả vi tại bất kỳ điểm
nào của nó.
Bước 1: Để dựng đường cong mẫu đối với hình bông tuyết Koch, ta bắt đầu
với đoạn thẳng
AB
. Đúng như chúng ta đã loại bỏ đoạn thứ ba ở giữa đối phép
dựng tập Cantor, chúng ta loại bỏ đoạn thứ ba ở giữa của
AB
, nhưng thay nó
bằng hai đoạn thẳng dựng phía trên của tam giác đều có độ dài cạnh bằng độ dài
cạnh thứ ba mà ta đã loại bỏ.

Bước 2: Quá trình vừa được mô tả như một quá trình thay thế, nơi mà
chúng ta lấy đi một đoạn thẳng và thay thế nó bởi một đường cong mới, đường
cong mẫu. Mỗi một đoạn thẳng của đường cong mẫu mới này có thể được thay
17

thế bởi bản sao của mẫu mà hệ số tỉ lệ là
1
3
. Hoàn thành quá trình thay thế này
đối với mỗi một trong bốn đoạn thẳng nhỏ của mẫu này, ta thu được đường cong
cho bởi hình vẽ sau.

Bước 3: Quá trình vừa được phác họa có thể được làm một cách đệ quy.
Chúng ta có thể lấy một trong các đoạn thẳng mới này trong đường cong vừa
được mô tả và thay thế chúng bởi bản sao tỉ lệ giảm của mẫu này. Sau đó chúng
ta có thể lặp lại việc lấy mỗi tập mới của các đoạn thẳng tại cấp n và thay thế
chúng bằng các bản sao của mẫu để thu được đường cong cấp n + 1. Như vậy

việc thay thế các đoạn thẳng bằng các bản sao của mẫu lặp trở lại với chính nó
một cách vô hạn.
Tại điểm mà chúng ta ngừng quá trình thay thế, đường cong này có 16 đoạn
thẳng nhỏ, mỗi một đoạn thẳng có độ dài bằng
1
9
đoạn thẳng ban đầu
AB
. Thay
thế mỗi một trong các đoạn thẳng này với tỉ lệ
1
27
bản sao của mẫu chúng ta, ta
nhận được một đường cong mới với 64 đoạn thẳng, mỗi một đoạn thẳng có độ
dài bằng
1
27
đoạn thẳng ban đầu. Đường cong mới được biểu diễn trong hình vẽ
nơi mà ta đã ẩn tất cả các điểm trừ A và B để cho rõ ràng.

Đường cong Koch là đường cong mà các kết quả từ việc áp dụng quá trình
thay thế mẫu này một số vô hạn lần. Đường cong là tự đồng dạng có nghĩa là
18

nếu bạn lấy một mẫu của đường cong và phóng đại nó với hệ số 3, bạn sẽ thấy
đường cong tương tự một lần nữa.
1.6.3. Cách xây dựng đường cong Minkowski
Ta có hình ban đầu M
0
là đoạn thẳng nằm ngang AB

Bước 1: Chia đoạn thẳng AB thành bốn đoạn nhỏ bằng nhau với các điểm
M, N, P. Trên đoạn thẳng MN dựng lên phía trên một hình vuông MNQR và
trên đoạn thẳng NP dựng xuống phía dưới một hình vuông NPST, sau đó xóa hai
cạnh MN và NP, ta được hình M
1
.

M
1
là tập sinh gồm tám đoạn thẳng trong đó bốn đoạn thẳng song song với
AB (đoạn thẳng AB coi như song song với AB) và bốn đoạn thẳng vuông góc
với AB
Bước 2: Sau đó lặp lại quy tắc cho mỗi đoạn thẳng của M
1
ta có M
2
. Ở đây
đối với mỗi đoạn thẳng song song với AB, áp dụng quy tắc sinh như đối với
đoạn thẳng AB. Đối với mỗi đoạn thẳng vuông góc với AB, thì quay M
0
quanh
A một góc 90
0
ngược chiều kim đồng hồ rồi áp dụng quy tắc sinh như đối với
đoạn AB.
Bước 3: Lặp lại quy tắc sinh như đã mô tả ở bước 1 và bước 2 trên đối với
mọi đoạn thẳng thuộc M
2
ta được M
3

. Sau n bước lặp ta được hình M
n
. Khi
n
 
ta được một đường cong gọi là đường cong Minkowski.
19

Nhận xét:
Dễ thấy rằng đường cong Von Koch cũng như đường cong Minkowski là
những đường cong có hai đầu mút, nhưng có chiều dài vô hạn.
Thật vậy, tập sinh của đường cong Minkowski gồm tám đoạn thẳng, mỗi
đoạn thẳng bằng
1
4
đoạn thẳng ban đầu, tức là tập sinh dài gấp đôi (
1
8 2
4
 
)
đoạn thẳng ban đầu. Sau bước 1, hình có chiều dài bằng 2 (giả sử AB = 1 đơn
vị dài). Sau bước 2, hình có chiều dài
2
2 2 2
 
. Sau bước n thì hình có chiều
dài 2
n
. Khi

n
 
thì
2
n
 
, nghĩa là đường cong Minkowski có chiều
dài vô hạn.
Tập sinh của đường cong Von Koch gồm bốn đoạn thẳng, mỗi đoanh thẳng
bằng
1
2
đoạn thẳng ban đầu tức là tập sinh dài bằng
4
3
đoạn thẳng ban đầu. Như
vậy, sau mỗi bước xây dựng đường cong Von Koch thì hình có chiều dài tăng
lên theo tỉ số
4
3
. Sau n bước hình có chiều dài
4
3
n
 
 
 
(giả sử AB = 1 đơn vị dài)
Mà
4

1
3

nên
4
3
n
 
 
 
 
, nghĩa là đường cong Von Koch dài vô hạn.












20

Chương 2. CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP CANTOR
Trong chương này tôi trình bày chứng minh chi tiết một số các tính chất cơ
bản của tập Cantor cổ điển C
3

. Trình bày định nghĩa, chứng minh chi tiết một số
tính chất về độ đo và chiều Hausdorff . Từ đó trình bày cách tính chiều fractal
của tập Cantor dựa vào độ đo Hausdorff.
2.1. Một số tính chất của tập Cantor cổ điển C
3

2.1.1. Mệnh đề.
Tập Cantor C
3
khác rỗng.
Chứng minh.
Vì
i
F

1,0
với mọi i = 1, 2, nên




1
3
1,0
i
i
CF
. Do đó
3
C

 

2.1.2. Mệnh đề.
Tập Cantor C
3
có độ đo Lebesgue bằng 0.
Chứng minh.
Ta có độ đo Lebesgue của đoạn


1,0
là





.1011;0 
L


Sau bước thứ k của quá trình xây dựng tập Cantor C
3
có 2
k-1
khoảng bị bỏ đi
khoảng đoạn


1;0

, mỗi khoảng có độ dài 3
-k
. Vì thế, tổng độ dài của tất cả các
khoảng bỏ đi của tập Cantor C
3
bằng:

















01
1
1
3
2
1
1

.
3
1
3
2
3
1
3
1
.2
k
k
k
k
k
.
Do đó, phần bù
c
C
3
của tập Cantor C
3
trên đoạn


1;0
có độ đo Lebesgue là







1\1;0
33
 CC
L
c
L

. Từ đó, độ đo Lebesgue của tập Cantor C
3
là
011)(
3



C
L

.
2.1.3. Mệnh đề.
Tập Cantor C
3
không chứa bất kỳ khoảng mở thực sự nào của đoạn


1;0
.

21

Chứng minh.
Giả sử tập Cantor C
3
chứa một khoảng


ba; là khoảng con mở thực sự nào
của đoạn


1;0 . Khi đó ta có độ đo Lebesgue 0)),(()(
3
 abbaC
LL

.
Trái với kết quả của mệnh đề 2.1.2.
2.1.4. Mệnh đề.
Tập Cantor C
3
là tập compact.
Chứng minh.
Theo cách xây dựng tập Cantor C
3
ta có





1
3
i
i
FC
với:










































 1;
3
8
3
7
;
3
6
3
3
;
3

2
3
1
;0,1;
3
2
3
1
;0
222222
21
FF ,
là các tập đóng vì chúng là phần bù của các khoảng mở, dãn đến tập Cantor
C
3
là tập đóng.
Do


1;0
3

C nên C
3
bị chặn. Vì vậy, C
3
là tập compact.
2.1.5. Mệnh đề.
Tập Cantor C
3

là không đâu trù mật.
Chứng minh.
Để chứng minh tập Cantor C
3
không đâu trù mật ta chứng minh
3
intC
 

Thật vậy, theo mệnh đề 2.1.4 ta có tập Cantor C
3
là tập đóng. Do đó,
33
CC  . Vì vậy,
33
intint CC 
Giả sử
3
intC
 
. Khi đó, tồn tại điểm
3
Ct

và tập mở


baU ;

là lân

cận của t sao cho khoảng


3
; Cba

. Điều này trái với kết quả của mệnh đề
1.4.3.
2.1.6. Mệnh đề.
Tập Cantor C
3
không có điểm cô lập.
Chứng minh. Ta cần chứng minh nếu với mỗi
3
Ct

và với mọi
0


bé
tùy ý thì khoảng






tt ; luôn chứa các điểm C
3

khác t.
Thật vậy, giả sử t là điểm bất kì của tập Cantor C
3
, với mỗi
0


bé tùy ý
tồn tại
N
n

sao cho



n
3
. Mặt khác, do t là một điểm thuộc tập Cantor C
3

22

nên t là điểm mút của tập I
n
, trong đó I
n
là tập bị loại bỏ từ tập F
n-1
của quá trình

xây dựng tập Cantor C
3
và I
n
là hợp của n khoảng con rời nhau, mỗi khoảng con
có độ dài bằng 3
-n
. Do t là điểm mút của tập I
n
và mỗi khoảng con cấp n của I
n

có độ dài bằng



n
3
nên tồn tại điểm mút x của tập I
n
khác với t sao cho

 xt . Mặt khác, do x là điểm mút của khoảng con cấp n của tập I
n
nên
3
Cx

. Vì vậy,







.\;
3
tCttx







2.1.7. Mệnh đề.
Tập Cantor C
3
là tập hoàn toàn không liên thông.
Chứng minh.
Để chứng minh C
3
là hoàn toàn không liên thông ta chứng minh thành
phần liên thông của tập Cantor C
3
chỉ gồm một điểm.
Thật vậy, với hai điểm
3
, Cyx


bất kì. Xét hàm số


1;0:
3

Cf
x
được xác
định bởi


xzdzf
x
;)(

. Khi đó,
3
, Cvu


ta có:













vudxuxvxuvfufvfufd
xxxx
,, 

Mặt khác, theo mệnh đề 2.1.3 tập Cantor C
3
không chứa một khoảng mở
nào dẫn đến f
x
(C
3
) không chứa một khoảng mở nào. Từ đó, tồn tại một số
)(
3
Cfr
x

sao cho


yxdr ,0


. Nếu
3
Ct


thì có 3 khả năng xảy ra:
(i) d(t, x) = r
(ii) d(t, x) < r
(iii) d(t, x) > r
Nếu (i) xảy ra có nghĩa là
)()(
3
Cfrtf
xx


( vô lý ). Do đó chỉ có thể xảy
ra (ii) hoặc (iii), nghĩa là




rxtdCtrxtdCtt






),(:),(:
33
. Từ đó, ta
có





rxtdCtrxtdCtC






),(:),(:
333
.
Mặt khác:


rxtdCtx



),(:
3
.


rxtdCty



),(:

3
và




3 3
: ( , ) : ( , )t C d t x r t C d t x r
      
.
Do đó x, y thuộc hai thành phần liên thông khác nhau của tập Cantor C
3
.
.

2.1.8. Mệnh đề.
Tập Cantor C
3
là một tập tự đồng dạng.
23

Chứng minh. Xét hai ánh xạ
 
1
1
: 0;1 0; .
3
3
f
x

x
 

 
 


 
3
2
3
1;
3
2
1;0:
2








x
x
f


Ta có

 
2,1,1;0,
3
1
)()(  iyxyxyfxf
ii
hay f
i
là ánh xạ đồng dạng
với tỉ số đồng dạng .2,1,
3
1
 ic
i

Ta có
)()(
02011
FfFfF


và
)()(
12112
FfFfF


. Bằng quy nạp ta có
)()(
211 iii

FfFfF



với i = 0,1,2,
Ta chứng minh )()(
32313
CfCfC



Trước hết ta chứng minh )()(
32313
CfCfC



Thật vậy, với




0
3
i
i
FCx
thì
1
Fx


, vì vậy







3
1
;0x
hoặc






 1;
3
2
x

Xét trường hợp







 1;
3
2
x . Khi đó NiFfFfFx
iii






)()(
211

Vì
 







3
1
;0)1;0()(
11
fFf
i

nên )(
2 i
Ffx

. Do đó tồn tại
i
Fx

0
sao cho
3
2
)(
0
02


x
xfx hay
i
Fxx



0
23
với mọi

i
N.

Khi đó,




0
3
23
i
i
CFx
dẫn đến tồn tại
31
Cx

sao cho
1
23 xx


hay
)()(
3
2
3212
1
Cfxf
x
x 


 . Trường hợp







3
1
;0x được chứng minh tương tự.
Do đó, ).()(
32313
CfCfC



Bây giờ ta chứng minh
.33231
)()( CCfCf



24

Với mỗi )()(
3231
CfCfx



ta có )(
31
Cfx

hoặc )(
32
Cfx

. Ta xét
trường hợp )(
32
Cfx

. Khi đó, tồn tại
32
Cx

sao cho
3
2
)(
2
22


x
xfx hay
32
23 Cxx




. Do




0
3
i
i
FC
nên với mọi
N
i

ta có
i
Fx


23 dẫn đến tồn
tại
i
Fx

3
sao cho
3
23 xx



hay
1232
3
)()(
3
2




ii
FFfxf
x
x . Trường
hợp
)(
31
Cfx

được chứng minh tương tự. Do đó,
 






0 0

31
.
i i
ii
CFFx
Vì
vậy
).()(
32313
CfCfC



Vậy
3
C bất biến qua hệ hai ánh xạ đồng dạng


21
, ff . Do đó,
3
C là tập tự
đồng dạng.
2.2. Độ đo Hausdorff
2.2.1. Định nghĩa.
i) Cho U là một tập con khác rỗng của
n

, đường kính của U, kí hiệu |U|,
được xác định bởi:



UyxyxU  ,:sup .
ii) Cho


i
U
là một họ đếm được các tập con trong
n

và
n
F


.
Nếu
1
i
i
F U




thì


i

U
được gọi là một phủ của F.
Nếu thêm điều kiện 0
i
U

 
với mọi I, trong đó
0


cho trước thì


i
U
được gọi là một

- phủ F.
Giả sử F là một tập con của

n
và s là một số không âm. Với mỗi
0


ta
định nghĩa :








1
:inf{)(
i
i
s
i
s
UUFH

là một

- phủ của F}
2.2.2. Định nghĩa.
Với mỗi
0


cho trước, độ đo sinh bởi độ đo ngoài
s
H
được gọi là độ đo
Hausdorff trên
n

.

Kí hiệu
s
H

25

2.2.3. Mệnh đề.
+) 0)0( 
s
H
+)
)()( EHFH
ss

nếu
E
F


+)








1
1

)(
i i
s
i
i
s
FHFH

nếu {F
i
} là một họ đếm được của những tập
Borel rời nhau
+) Nếu F là một tập Borel của
n

, thì ta có
)()( FLFHc
nn
n

Trong đó L
n
(F) là độ đo Lebesgue của F trong
n

, c
n
là thể tích của quả
cầu đơn vị trong
n


.
2.2.4. Định lý.
Nếu
F
n


và
, 0
s


thì
)()( FHFH
sss


Với


FxxF  :

.
Chứng minh:
Nếu


i
U là một


- phủ của F thì


i
U

là

- phủ của F

. Do đó






11
)(
i
s
i
s
i
s
i
s
UUFH




Điều này đúng với mọi

- phủ bất kì của F nên
)()(
`
FHFH
sss




Lấy giới hạn 2 vế khi
0



ta có:
)()( FHFH
sss



Bằng cách thay

bởi

1
, F bởi

F

và làm tương tự như trên ta được
)()( FHFH
sss


Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được đpcm.
2.2.5. Định lý.
Cho
n
F


và :
m
f F 

thỏa mãn:
( ) ( )
f x f y c x y

  



Fyx ,

Với c > 0 và 0



. Thì với mỗi 0

s ta có:
( ( )) ( )
s s
s
H f F c H F
 
