khóa luận tốt nghiệp về môđun baer và môđun baer đối ngẫu

Trờng đại học hà tĩnh
khoa s phạm tự nhiên
nguyễn đình nam
về môđun baer và môđun baer đối ngẫu
khóa luận tốt nghiệp đại học
Ngời hớng dẫn khoa học:
TS. lê văn an
Hà tĩnh - 2013
Trờng đại học hà tĩnh
khoa s phạm tự nhiên
nguyễn đình nam
về môđun baer và môđun baer đối ngẫu
khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyờn ngnh: S ph
m Toỏn
L
p: K2
- Toỏn Khúa: 2009 - 2013
Ng
i hng dn khoa hc:
TS. Lờ Vn An
H T
nh
- 2013
L
ỜI CẢM
ƠN
Khóa lu
ận được hoàn thành tại Đại học Hà Tĩnh, dưới sự hướng dẫn tận
tình, nghiêm kh
ắc của TS. Lê Văn An. Qua khóa luận này

tác gi
ả xin bày tỏ
lòng bi
ết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, người đã định
hư
ớng nghiên cứu và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học
t
ập, nghiên cứu.
Tác gi
ả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán đã
dạy dỗ, giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả sớm hoàn thành khóa luận.
M
ặc d
ù đ
ã có cố gắng nhiều, song khóa luận không tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo,
cô giáo và b
ạn đọc để khóa luận được hoàn thiện
hơn.
Xin chân thành c
ảm
ơn!
L
ỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công tr
ình nghiên c
ứu của tôi. Những kết quả và
các s
ố liệu trong khóa luận chưa được ai công bố dưới bất kì hình thức nào.
Tôi hoàn toàn ch

ịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này.
Hà T
ĩnh, ngày 25 tháng 05 năm 2013
Tác gi
ả
Nguy
ễn Đình Nam
M
ỤC LỤC
Trang
M
Ở ĐẦU
1
1. Lý do ch
ọn đề tài
1
2. M
ục đích nghi
ên c
ứu
1
3. Phương pháp nghiên c
ứu
1
4. L
ịch sử
v
ấn đề
1
5. Đ

ối tượng và phạm vi nghiên cứu
2
6. Đóng góp c
ủa
khóa lu
ận
3
7. Bố cục khóa luận 3
Chương 1. KI
ẾN THỨC CHUẨN BỊ
4
1.1. Môđun không phân tích đư
ợc, môđun cốt yếu và môđun hoàn
toàn
b
ất biến
4
1.2. Linh hoá t
ử
4
1.3. Môđun CS, K - nonsingular và K - cononsingular 5
1.4. Môđun con bé, hollow, lifting và T - non - cosingular 5
1.5. K
−môđun
5
1.7. SSP và SSSP 6
1.8. Phần tử lũy đẳng 6
1.10. M
ột số bổ đề
6

1.11. Tâm c
ủa vành
8
Chương 2. MÔĐUN BAER - MÔĐUN BAER Đ
ỐI NGẪU
9
§ 1. Môđun Baer và môđun Baer đ
ối ngẫu
9
1.1. Môđun Baer 9
1.2. Môđun Baer đ
ối ngẫu
17
§ 2. Vành t
ự đồng cấu của môđun Baer và môđun Baer đối
ng
ẫu.
21
2.1. Góc c
ủa vành các tự đồng cấu
21
2.2. Tâm c
ủa vành các tự đồng cấu
23
TÀI LI
ỆU THAM KHẢO
27
CÁC KÝ HI
ỆU DÙNG TRONG ĐỀ TÀI
MN ⊂

: N con M.
MN
e
⊂
: N cốt yếu trong M.
MN 
: N hoàn toàn b
ất biến trong M.
MN
⊕
⊂
: N là h
ạng tử của M.
NM ⊕
: T
ổng trực tiếp.
∑
∈Ji
i
a
: T
ổng xích ma, tổng các phần tử
i
a
l
ấy trên tập J.
Ma∈
: a thu
ộc M.
MN <<

: N bé trong M.
NM ≠
: M khác N.
∀
: M
ọi.
∃
: T
ồn tại.
⇒
: Suy ra.
⇔
: Khi và ch
ỉ khi, nếu và chỉ nếu, tương đương.
1
M
Ở ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự xuất hiện của khái niệm môđun Baer và Baer đối ngẫu trong những
năm g
ần đây đã đặt nền móng cho việc chuyển hướng nghiên cứu từ cấu trúc
vành sang c
ấu trúc môđun. Nhờ đó, các tác giả đã đạt đ
ư
ợc nhiều kết quả hấp
dẫn về hai lớp môđun này và tạo ra những hướng tiếp cận khác có hiệ u quả
trên vành trong bài toán “đ
ặc trưng vành”. Khi tiếp xúc và nghiên cứu về lớp
môđun Baer và Baer đ
ối ngẫu, chúng tôi

đ
ặc biệt
quan tâm đ
ến
tâm và góc
c
ủa nó
. Đây là nh
ững
l
ớp môđun mới mà tâm và góc của vành tự đồn
g c
ấu
c
ủa nó có tính kế thừa
. Vì v
ậy,
chúng tôi quy
ết định chọn đề tài “
V
ề môđun
Baer và môđun Baer đ
ối ngẫu
” đ
ể tiến h
ành nghiên cứu.
2. M
ục đích nghiên cứu
Đ
ề tài thực hiện với mục đích tìm hiểu một số tính chất của

vành t
ự
đ
ồng cấu của
môđun Baer và môđun Bear đ
ối ngẫu
.
3. Phương pháp nghiên c
ứu
(i). Phương pháp nghiên c
ứu lý thuyết:
⊕
Thu thập các bài báo khoa học, các tài liệu của những tác giả nghiên
c
ứu li
ên quan đ
ến
môđun Baer và môđun Baer đ
ối ngẫu.
⊕
Tham gia các bu
ổi seminar để tra
o đ
ổi các kết quả đang nghi
ên
c
ứu.
(ii). Phương pháp phân tích t
ổng hợp, dựa vào các kết quả đã biết để
nghiên cứu và chứng minh kết quả mới.

4. L
ịch sử vấn đề
Khái ni
ệm vành Baer và tựa Baer xuất hiện từ sự kết hợp giữa các
chuyên ngành gi
ải tích h
àm,
*
C
- đ
ại số v
à đại số von
- Neumann. Năm 1955,
I. Kaplansky và S. K. Berberian đ
ã đưa ra khái niệm vành Baer trong quyển
sách “Rings of operators”. M
ột v
ành
R
đư
ợc gọi l
à
Baer n
ếu với mỗi tập con
I
c
ủa
R
ta có
( )

,=
R
l I Re
v
ới
2
= ∈e e R
(trong đó,
( )
{ }
0= ∈ =
R
l I R I
 
là
2
linh hóa t
ử trái của vành
R
). Năm 1967, J. Clack đ
ã mở rộng khái niệm vành
Baer và đưa ra khái ni
ệm vành tựa Baer. Một vành
R
đư
ợc gọi là
t
ựa Baer
n
ếu với mỗi iđêan

I
c
ủa
R
ta có
( )
,=
R
l I Re
v
ới
2
.= ∈e e R
L
ớp vành Baer
và t
ựa Baer đóng vai tr
ò quan trọng trong lý thuyết Vành và Môđun, được sử
d
ụng để đặc tr
ưng vành. Nh
ững năm gần đây, các tác giả G.
F. Birkenmeier,
A. W. Chatters, S. M. Khuri, J. Y. Kim, J. K. Park,… (xem [6], [7], [8], [9])
ti
ếp tục quan tâm, tìm kiếm các
m
ở rộng của hai lớp vành này và đạt được
nhi
ều kết quả suất sắc. Năm 2004, S.

T. Rizvi và C. S. Roman đ
ã chuyể
n khái
ni
ệm vành sang môđun, đưa ra khái niệm môđu
n Baer và môđun t
ựa Baer
(xem [10], [11]). Môđun
M
được gọi là Baer (tựa Baer) nếu với mỗi môđun
con
N
c
ủa
M
(tương
ứng,
N
là hoàn toàn b
ất biến trong
M
) t
ồn tại lũy
đ
ẳng
e
c
ủa
S
sao cho

( )
=
S
l N Se
(trong đó,
( )
S End M=
là vành các t
ự
đ
ồng cấu của
M
và
( ) ( )
{ }
{ }
0 er= ∈ = = ∈ ⊇
s
l N S N S K N
   
là linh
hóa t
ử trái của vành
S
). Năm 2010, hai tác gi
ả D.
K. Tutuncu và R. Tribak đ
ã
s
ử dụng tư tưởng đối ngẫu (hình thức) để đi đến định nghĩa iđêan phải

( )
{ }
Im= ∈ ⊆D N S N
 
c
ủa vành
S
(trong đó,
N
là môđun con c
ủa
môđun
M
). T
ừ đ
ó, hai tác gi
ả đã đưa ra khái n
i
ệm môđun Baer đối ngẫu
(xem [11]), môđun
M
được gọi là Baer đối ngẫu nếu với mỗi môđun con
N
của
M
tồn tại lũy đẳng
e
của
S
sao cho

( )
eS=D N
và bước đầu thu được
một số kết quả thú vị về lớp môđun này. Hiện nay có rất nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên c
ứu các
l
ớp môđun Baer
, t
ựa Bear
và Baer đ
ối ngẫu, cũng
như nh
ữn
g l
ớp môđun đư
ợc xây dựng từ những l
ớp môđun n
ày, ch
ẳng hạn
như môđun Rickart, môđun Rickart đ
ối ngẫu,…
5. Đ
ối tượng và phạm vi nghiên cứu
(i). Đ
ối t
ượng nghiên cứu: đối tượng chính của đề tài là
môđun Baer và
môđun Baer đ
ối

ng
ẫu. Đồng thời nghi
ên c
ứu
vành các t
ự đồng c
ấu của môđun
Baer và môđun Baer đ
ối ngẫu và một số lớp môđun có tính chất liên quan
.
(ii). Ph
ạm vi nghi
ên cứu: Lý thuyết Vành và Môđun.
3
6. Đóng góp c
ủa
khóa lu
ận
⊕
Khóa lu
ận đ
ược thực hiện dựa trên việc hệ thống, tổng hợp và làm
rõ m
ột số kết quả của các sách v
à bài báo có liên quan.
⊕
Khóa lu
ận là một tài liệu tham khảo cho các độc giả n
ghiên c
ứu về

môđun Baer, c
ũng nh
ư một số lớp vành và môđun có liên quan.
7. B
ố cục khóa luận
C
ấu trúc khóa luận được chi
a làm hai chương:
Chương 1. Trình bày m
ột số khái niệm như
môđun K - nonsingular, K
- cononsingular, môđun con bé, hollow, lifting,… Đ
ồng thời, chúng tôi nêu
l
ại một số tính chất cơ bản cần thiết hỗ trợ cho chương sau.
Chương 2. Chúng tôi nghiên cứu các tính chất trên lớp môđun Baer và
môđun Baer đ
ối ngẫu.
Đ
ồng
th
ời nghiên cứu về tâm và góc
trên vành các t
ự
đ
ồng cấu của
môđun Baer và môđun Baer đ
ối n
g
ẫu. Chương hai được chia

làm hai ti
ết:
§ 1. Môđun Baer và môđun Baer đ
ối ngẫu
§ 2. Vành các t
ự đồng cấu của
môđun Baer và môđun Baer đ
ối ngẫu
4
Chương 1
KI
ẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Môđun không phân tích được, môđun cốt yếu và môđun hoàn
toàn b
ất biến
(a). Môđun M ≠ 0 đ
ược gọi là
không phân tích đư
ợc
n
ếu 0 và M là
nh
ững hạng tử trực tiếp duy nhất trong M.
(b). Môđun
MN ⊂≠0
g
ọi là
c
ốt yếu
trong M n

ếu với
0≠∀X
và
MX ⊂
thì
0≠∩ NX
. Ký hi
ệu:
MN
e
⊂
.
(c). Môđun N g
ọi l
à
hoàn toàn b
ất biến
trong M n
ếu với mọi
( )
MEnd∈

thì
( )
NN ⊂

.
1.2. Linh hoá t
ử
Cho R là vành b

ất kỳ:
(a). V
ới
RA ⊆
thì
( ) { }
AabaRbAl
R
∈∀=∈= ,0|
đư
ợc gọi là
linh hoá
t
ử trái
c
ủa A tr
ên vành R,
( ) { }
AaabRbAr
R
∈∀=∈= ,0|
đư
ợc gọi l
à linh hoá
t
ử phải của A trên vành R.
(b). V
ới M
là R - môđun ph
ải thì

( ) { }
MmrmRrMl
R
∈∀=∈= ,0|
g
ọi là
linh hoá t
ử trái
c
ủa môđun M trên vành R.
(c). V
ới M là R
- môđun trái th
ì
( ) { }
MmmrRrMr
R
∈∀=∈= ,0|
g
ọi l
à
linh hoá t
ử phải
c
ủa môđun M tr
ên vành R.
(d). V
ới M l
à R
- môđun ph

ải
thì
( ) { }
IrmrMmIl
M
∈∀=∈= ,0|
v
ới
RI ⊆
g
ọi là
linh hoá t
ử trái
c
ủa môđun M trên I
.
(e). Với M là R - môđun trái thì
( ) { }
IrrmMmIr
M
∈∀=∈= ,0|
v
ới
RI ⊆
g
ọi là
linh hoá t
ử phải
c
ủa môđun M trên I.

5
1.3. Môđun CS, K - nonsingular và K - cononsingular
(a). Môđun M g
ọi là
CS môđun n
ếu với mỗi
MN ⊆
, luôn t
ồn tại hạng
t
ử trực tiếp N’ của M sao cho N
e
⊂
N’.
(b). Cho môđun M. Khi đó M là K - nonsingular n
ếu mọi
( ) ( )
MrS
e
N
⊂=∈

ker,
suy ra
0=

.
(c). Cho môđun M. Khi đó M là K - nonsingular n
ếu mọi
( ) ( )

MrS
e
N
⊂=∈

ker,
suy ra
0=

.
1.4. Môđun con bé, hollow, lifting và T - non - cosingular
(a). Môđun con
N
c
ủa môđun
M
là môđun con bé, kí hi
ệu
N M<<
n
ếu với mọi môđun con
B
c
ủa
M
mà
N B M+ =
thì suy ra
B M=
.

(b). Môđun
M
đư
ợc gọi là
hollow n
ếu với mọi môđun con
X
c
ủa
M
và
X M≠
thì
X
là môđun con bé c
ủa
.M
(c). Môđun
M
là lifting n
ếu vớ
i m
ọi môđun con
N
c
ủa
M
t
ồn tại hạng tử
tr

ực tiếp
K
c
ủa
M
sao cho
K
là môđun con c
ủa
N
và
/ / .N K M K
(d). Môđun
M
được gọi là T - non - cosingular nếu với mọi đồng cấu
:f M M→
và
0f ≠
ta đ
ều có
Im f
không bé trong
.M
1.5. K
−môđun
( )
D N
là m
ột iđêan phải của vành
S

,
v
ới
{ }
( ) Im .D N S N
 
= ∈ ⊆
M
ột môđun
M
đư
ợc gọi là
K −
môđun n
ếu mọi môđun con
N
không
bé c
ủa
M
ta có
( )
0.D N ≠
1.6. SIP và GSIP
(a). Môđun M đư
ợc gọi là có
SIP n
ếu giao của hai hạng tử trực tiếp của
M là m
ột hạng tử trực tiếp của M.

6
(b). Môđun M đư
ợc gọi là có
GSIP n
ế
u giao c
ủa một họ những hạng tử
tr
ực tiếp của M là một hạng tử trực tiếp của M.
1.7. SSP và SSSP
(a). Môđun M đư
ợc gọi là có
SSP n
ếu tổng của hai hạng tử trực tiếp của
M là m
ột hạng tử trực tiếp của M.
(b). Môđun M đư
ợc gọi là có
SSSP n
ếu tổng của một họ
nh
ững hạng tử
tr
ực tiếp của M là một hạng tử trực tiếp của M.
1.8. Ph
ần tử lũy đẳng
Cho R là một vành. Phần tử e gọi là phần tử lũy đẳng của R nếu
Ree ∈=
2
.

1.9. Vành Baer
M
ột vành R gọi là vành
Baer n
ếu
và ch
ỉ nếu
v
ới mỗi tập con
I
c
ủa
R
ta có
( )
Re=Il
R
v
ới e là phần tử lũy đẳng của vành R
, n
ếu và chỉ nếu
v
ới mỗi
t
ập con
I
c
ủa
R
ta có

( )
eRIr
R
=
v
ới e l
à phần tử
l
ũy đẳng của v
ành R
.
Nh
ận xét:
Như v
ậy đối với vành Baer điều kiện trái và phải tương
đương nhau.
1.10. M
ột số bổ đề
B
ổ đề 1
.
SLRJMPSKRIMN
SR
 ,,,,, ⊂⊂⊂
thì
i)
( )( )( ) ( )
IlIlrl
MMRM
=

ii)
( )( )( ) ( )
NrNrl
RRMR
=
iii)
( )( )( ) ( )
NlNlrl
SSMS
=
iv)
( )( )( ) ( )
KrKrlr
MMSM
=
v)
( )
MJl
M

vi)
( )
RPr
R

vii)
( )
SPl
S


viii)
( )
MLr
M

Ch
ứng minh:
i) Ta có
( ) { }
IrmrMmIl
M
∈∀=∈= 0|
.
7
Suy ra
( )( ) ( ){ }
IlmrmRrIlr
MMR
∈∀=∈= '0''|'
. V
ậy ta có
( )
Ilm
M
∈∀
,
Ir ∈∀
( )( )
IlrImr
MR

⊂⇒=⇒ 0
.
V
ậy khi đó
( )( )( )
Ilrlm
MRM
∈
thì
( )( )
Ilrmr
MR
∈∀= '0'
d
ẫn đến
Iimi ∈∀= 0
. Suy ra
( )
Ilm
M
∈
hay
( )( )( ) ( )
IlIlrl
MMRM
⊂
.
Ngư
ợc lại,
( )

IimiIlm
M
∈∀=⇒∈ 0
.
Do
( ) ( )( )
IlrrIlm
MRM
∈∀∈ ,
thì
( )( )
Ilrrmr
MR
∈∀= 0
. Suy ra m là
ph
ần tử của
( )( )( )
Ilrl
MRM
hay
( ) ( )( )( )
IlrlIl
MRMM
⊂
.
V
ậy
( )( )( ) ( )
IlIlrl

MMRM
=
.
Các b
ổ đề ii, iii, iv chứng minh tương tự
.
v) Ta có và nếu
( )
Jlm
M
∈
thì
mJmrJ ⊂
dẫn đến
( )
Jlmr
M
∈
, suy ra
( )
MJl
M

.
Các b
ổ đề vi, vii, vii chứng minh tương tự.
B
ổ đề
2. Cho N là môđun con c
ủa môđun M. Khi đó

MN
⊕
⊂
n
ếu v
à
ch
ỉ nếu
( )
MEndSee =∈=∃
2
sao cho
( )
NMe =
.
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử
'NNMMN ⊕=⇒⊂
⊕
.
Như v
ậy mỗi
Mm∈
thì m phân tích
được duy nhất
( )
'',' NnNnnnm ∈∈+=
. Xét hai đ
ồng cấu
sau:

( ) ( )
nnnpmpNMp =+→ ';: 
và
( )
nniMNi ;: →
khi đó p là
toàn c
ấu và i là đơn cấu.
Xét
( )
nmeMMpie =→= ;:
0
, đây là đ
ồng cấu thoả mãn
ee =
2
và
( )
NMe =
. V
ậy tồn tại
eeSe =∈
2
,
đ
ể
( )
NMe =
.
Đi

ều kiện đủ: Ta chứng minh
MN
⊕
⊂
.
8
Th
ật vậy:
Ta có
( ) ( )( )( ) ( )
MMMeeee ==−+⇒−+= 1111
mà
( )
01 =−∩ ee
nên
( ) ( )( )
MeMeM −⊕= 1
, suy ra
( )
MMe
⊕
⊂
hay
MN
⊕
⊂
.
1.11. Tâm c
ủa vành
Cho R là m

ột v
ành.
Vành con Z c
ủa R
g
ọi l
à
tâm c
ủa R nếu mọi
Rr∈
và
Za∈
ta luôn có
raar =
.
1.12. Góc c
ủa v
ành
Cho R là m
ột vành, e là phần tử lũy đẳng của R. Khi đó eSe gọi là
góc
c
ủa R.
9
Chương 2
MÔĐUN BAER - MÔĐUN BAER Đ
ỐI NGẪU
§ 1. Môđun Baer và môđun Baer đối ngẫu
1.1. Môđun Baer
1.1.1. Đ

ịnh nghĩa
.
M
ột R
- môđun ph
ải M
đư
ợc gọi l
à
Baer n
ếu với mỗi môđun con N của
M thì
( )
SNl
S
S
⊕
⊂
(tương đương v
ới
t
ồn tại lũy đẳng e của S sao cho
( )
SeNl
S
=
).
Theo Bổ đề 1 ta có th
ể chứng minh đ
ược mệnh đề sau:

1.1.2. M
ệnh đề
. Môđun M là Baer n
ếu và chỉ nếu
SI
s
∈∀
thì
( ) ( )
MeIr
M
=
v
ới
e là ph
ần tử lũy đẳng
.
Ch
ứng minh:
Đi
ều kiện
c
ần:
Ta có
( )
MIrSI
MS
⊂⇒⊂∀
.
Mà M là Baer nên

( )( )
SIrl
S
MS
⊕
⊂
hay
( )( )
SeeSeIrl
MS
∈==
2
,
. Theo Bổ
đ
ề 1 ta có
( ) ( )( )( ) ( )
SerIrlrIr
MMSMM
==
D
ễ dàng chứng minh được
( ) ( )
MeSer
M
−= 1
.
Ta có
( )
Mem −∈ 1

, suy ra m có dạng
( )( )
'1 mem −=
. Khi đó
( ) ( )( )( ) ( )
Sssmesemse ∈∀==−= 00'1
.
Suy ra
( )
Serm
M
∈
hay
( ) ( )
MeSer
M
−⊃ 1
.
Ngư
ợc lại:
( ) ( )
SsmseSerm
M
∈∀=⇒∈ 0
. Ch
ọn
es =
, suy ra
( ) ( ) ( )
00

2
=−⇒== mememe
, nên
( )
mmem =−
hay
( )( )
mem −= 1
( )( )
Me−∈ 1
. Suy ra:
( ) ( )
MeSer
M
−⊂ 1
10
V
ậy
( ) ( )
MeSer
M
−= 1
. Nên ta có
( ) ( ) ( )( )
MeSerIr
MM
−== 1
, v
ới
See ∈=

2
, suy ra
( ) ( )
See ∈−=−
2
11
hay
( )
SIr
s
M
⊕
⊂
.
V
ậy
( ) ( )
MeIr
M
=
v
ới
See ∈=
2
.
Đi
ều kiện đủ:
V
ới
MN ⊂∀

thì theo Bổ đề 1 suy ra
( ) ( )( )( )
NlrlNl
SMSS
=
.
Do
( ) ( )
MeIrSI
Ms
=⊂∀ ,
và
( )
SNl
sS
⊂
suy ra
( )( ) ( )
MeNlr
SM
=
hay
( ) ( )
eMlNl
SS
=
.
D
ễ dàng chứng minh được
:

( ) ( )
eSeMl
S
−= 1
Lấy
( ) ( ) ( )
MmmseMmemseMls
S
∈∀=−⇒∈∀=⇒∈ 00
, suy ra
( )
=ms
( )
−ms
( )
mse
Mm∈∀
nên
( )( ) ( )
Mmmsmses ∈∀=−
hay
( )
ess −= 1
thu
ộc
( )
eS −1
.
V
ậy

( ) ( )
eSeMl
S
−⊂ 1
.
Ngư
ợc lại
: L
ấy
( )
eSs −∈ 1
v
ậy s có dạn
g
( )
ess −= 1'
.
Ta có
( ) ( )( ) ( )
Mmsemesems ∈∀==−= 00'1'
nên
( )
eMls
S
∈
hay
( ) ( )
eSeMl
S
−⊃ 1

.
V
ậy
( ) ( )
eSeMl
S
−= 1
. Suy ra
( )
SNl
s
S
⊕
⊂
hay M Baer.
1.1.3. B
ổ đ
ề. Môđun M là K - nonsingular n
ếu và chỉ nếu
SI
s
⊂
và
( )
MIr
e
M
⊂
suy ra
0=I

.
Chứng minh:
Đi
ều kiện cần:
Gi
ả sử M là K
- nonsingular. L
ấy
SI
s
⊂
sao cho
( )
MIr
e
M
⊂
. Xét
I∈

thì
( )


kerker ⊂∩=
∈I
M
Ir
, suy ra
M

e
⊂

ker
hay
0=

.
Do

ch
ọn tuỳ ý n
ên suy ra
0=I
.
11
Đi
ều kiện đủ:
L
ấy
S∈

, v
ới
M
e
⊂

ker
. Ta có


ker∈m
suy ra
( )
0=m

, d
ẫn đến
( )
Ssms ∈∀= 0

hay
( )

Srm
M
∈
nên
( )

Sr
M
⊂ker
(1)
.
Ta c
ũng có
( ) ( )
SsmsSrm
M

∈∀=⇒∈ 0

. Ch
ọn
Ss
S
∈=1
, suy ra
( )
0=m

hay

ker∈m
, nên
( )

Sr
M
⊃ker
(2)
. T
ừ (1) và (2) suy ra
( )

Sr
M
=ker
.
Suy ra

( )
MSr
e
M
⊂

suy ra
0=

s
, suy ra
0=

.
V
ậy M là K
- nonsingular.
1.1.4. M
ệnh đề
. Xét M là m
ột R
- môđun
i) M là K - nonsingular n
ếu và chỉ nếu
m
ọi
( )
eMIrSI
e
MS

⊂⊂ ,
v
ới
e
là ph
ần tử lũy đẳng
. Suy ra
0=∩ SeI
.
ii) M là K - cononsingular n
ếu và chỉ nếu mọi
MN ⊂
th
ỏa mãn
( )( )
MNlr
SM
⊕
⊂
, suy ra
( )( )
NlrN
SM
e
⊂
.
Ch
ứng minh:
i) L
ấy

SI
S
⊂
sao cho
( )
eMIr
e
M
⊂
.
Ta có
( ) ( ){ }
SeImMmSeIr
M
∩∈∀=∈=∩

,0|
và
( ) ( )
MeIr
M
−+ 1
( ) ( ){ }
SsmsmemmMm ∈∀=−+=∈= 0',''1'|
.
Suy ra
( ) ( )
=−⊕ MeIr
M
1

( )
SeIr
M
∩
.
M
ặt khác
,
( )
eMIr
e
M
⊂
và
0 X≠
,
X M⊂
nên
eMX ⊂
ho
ặc
( )
MeX −⊂ 1
. Suy ra, n
ếu
eMX ⊂
thì
( )
0≠∩ IrX
M

.
Nếu
( )
MeX −⊂ 1
thì
( )
01 ≠−∩ MeX
. Vậy
( )
MSeIr
e
M
⊂∩
. Kết
hợp M là K - nonsingular suy ra
0=∩ SeI
.
Ngư
ợc lại,
SI
S
⊂
sao cho
( )
eMIr
e
M
⊂
. T
ừ giả thiết, chọn

s
e 1=
suy
ra
0=∩ SI
. V
ậy
0=I
.
12
ii) Ta có
( )( )
MNlr
SM
⊕
⊂
suy ra
( )( )
eMNlr
SM
=
.
D
ẫn đến
( )
Nl
S
( )( )( ) ( )
eMlNlrl
SSMS

==
. Ta có
( )
eSs −∈ 1
suy ra
( )
Ssess ∈−= ',1'
. Suy ra
( ) ( ) ( )
01' =−= meesmse
hay
( )
eMls
S
∈
.
Vậy
( ) ( )
eMleS
S
⊂−1
.
L
ại có
( ) ( )
0=⇒∈ MseeMls
S
hay
( ) ( ) ( )
01' =−= MeesMse

.
Suy ra
( ) ( )
eSess −∈−= 11'
d
ẫn đến
( ) ( )
eMleS
S
⊃−1
.
Suy ra
( ) ( )
eMleS
S
=−1
.
V
ậy
( ) ( )
eSNl
S
−= 1
.
Ta có
( )( ) ( )
MeNlrN
SM
=⊂
nên

( )( )
01 =−⊕ MeNl
S
. M
ặt khác M là
K - nonsingular, suy ra
( )
MMeN
e
⊂−⊕ 1
nên
( ) ( )( )
NlrMeN
SM
e
=⊂
.
Ngược lại,
MN ⊂
với
( )
0=Nl
S
, suy ra
( )( )
MNlr
SM
=
. Kết hợp
( )( )

NlrN
SM
e
⊂
suy ra
MN
e
⊂
.
1.1.5. M
ệnh đề
. M
ọi môđun M nonsingular là K
- nonsingular
Ch
ứng minh:
Gi
ả
s
ử M không l
à K
- nonsingular. Suy ra
S∈≠∃

0
sao cho
M
e
⊂


ker
.
Khi
0≠

thì t
ồn tại

ker/0 Mm∈≠
. Xét t
ập
{ }

ker| ∈∈= mrRrI
là iđêan phải của R. Do
IrRI
e
∉⊂ ,
suy ra

ker∉mr
nên tồn tại r’ sao cho

ker'0 ∈≠ mrr
.
D
ẫn đến
Irr ∈≠ '0
. Nhưng
( ) ( )

0,0 =≠ Imm

nên mâu thu
ẫn.
V
ậy mọi môđun M nonsingular l
à K
- nonsingular.
13
1.1.6. Đ
ị
nh lý. Môđun M là CS và K - nonsingular khi và ch
ỉ khi M là
môđun Baer và K - cononsingular
Ch
ứng minh:
Ta ch
ứng minh định lý dựa vào các
Bổ đề 1.1.7, B
ổ đề
1.1.8, B
ổ đề
1.1.9, B
ổ đề
1.1.10.
1.1.7. B
ổ đ
ề. M
ột CS môđun là K
- cononsingular.

Ch
ứng minh:
Đ
ặt
MN ⊂
sao cho
( )
SN ∈≠∀≠

0,0
.N
ếu
MN
e
⊄
. B
ởi tính CS
môđun nên
MN ⊂
. Suy ra
MN
⊕
⊂∃ '
đ
ể
'NN
e
⊂
hay
( )

MeN
e
⊂
v
ới
1,
2
≠∈= eSee
.
Suy ra
01 ≠− e
. Mặt khác,
( )
01 =− Ne
nên mâu thuẫn.
V
ậy M là K
- cononsingular.
1.1.8. B
ổ đề
. Môđun M v
ừa là K
- nonsingular v
ừa là CS môđun thì M
là môđun Baer.
Ch
ứng minh:
Gi
ả sử M l
à K

- nonsingular và CS môđun.
Xét
MN ⊂
. Do tính CS môđun nên
See ∈=∃
2
sao cho
( )
MeN
e
⊂
.
Suy ra,
( ) ( ) ( )
eSeMlNl
SS
−=⊃ 1
.
Gi
ả sử mọi điều giả thiết là con thực sự thì tồn tại
( ) ( )
eSNl
S
−∈ 1\

.
M
ặt khác,
( )
eSSeS −⊕= 1

nên
( )
eses −+= 1
21

v
ới
Sss ∈
21
,
,
0
1
=s
.
Ta có
( ) ( ) ( )
NlesNl
SS
∈−∈ 1,
2

nên
( ) ( )
Nleses
S
∈−−= 1
21

. Gi

ả sử
Se∈

thì ta
được
( )
0=N

và
( )
01 =− Me

. Suy ra
( )( )
01 =−⊕ MeN

,
nhưng
eMN
e
⊂
nên
( ) ( )
MMeeMMeN
e
=−⊕⊂−⊕ 11
.
14
V
ậy kết hợp với tính K

- nonsingular c
ủa M thì
0=

mâu thu
ẫn với
gi
ả thiết.
Suy ra
( ) ( )
eSNl
S
−= 1
.
V
ậy M
môđun Baer.
1.1.9. B
ổ đề
. Môđun M là môđun Baer thì M là K - nonsingular.
Ch
ứng minh:
Gi
ả sử M là môđun Bae
r. L
ấy
S∈

là t
ự

đ
ồng cấu
b
ất kỳ của M với
M
e
⊂

ker
. Do M là môđun Baer suy ra
( )
fMSr
M
==

ker
v
ới
Sff ∈=
2
.
Ta có
MKer
e
⊂

nên
MX ⊂≠0
thì
0ker ≠∩


X
. Do
M
⊕
⊂

ker
nên
MN ⊂∃ '
đ
ể
MN =⊕

ker'
suy ra
0ker' =∩

N
. Suy ra
0'=N
hay
M=

ker
. D
ẫn tới
0=

.

V
ậy M là K
- nonsingular.
1.1.10. B
ổ đề
. Môđun M v
ừa là
K - cononsingular v
ừa là môđun Baer
thì M là CS - môđun.
Chứng minh:
Gi
ả sử môđun M là
K - cononsingular và là môđun Baer. Ta c
ần chứng
minh M là CS - môđun. Xét
MN ⊂
, thì
( )
SfNl
S
=
, v
ới
Sff ∈=
2
. Suy ra
( )( ) ( ) ( )
MfSfrNlrN
MSM

−==∈ 1
.
Gi
ả sử
( )
MfN −⊄ 1
suy ra t
ồn tại
( )
MfP −⊂ 1
sao cho. L
ấy
MN
e
⊄
xét
( )
0,0 =∉≠ NsSs
thì
( )
0=Ns
và do
( )
SfNl
S
=
suy ra
( ) ( )( )
01,01 =−=− MfsfS
, d

ẫn đến
( )
0=Ps
và
( )
0=⊕ PNs
nhưng
MNP
e
⊂⊕
suy ra. Do K - cononsingular,
0=S
mâu thu
ẫn,
v
ậy M là CS
-
môđun.
15
1.1.11. Đ
ịnh lý.
M là m
ột môđun B
aer,
MN
⊕
⊂
thì N là môđun Baer.
Ch
ứng minh:

Xét
PNM ⊕=
. L
ấy
( )
NEndS
R
='
. Thì b
ất kỳ
'' S∈

đ
ều tồn tại
S∈

, xác đ
ịnh nh
ư sau
P|
0'+=

. L
ấy
'' SI ⊆
, xét
{ }
P
I
|

0'| ⊕==

, I
không nh
ất thiết là iđêan
trái c
ủa S
. Xét
SII =
là iđêan trái sinh b
ởi tập I.
Chúng ta luôn có r
ằng
( )
0, =∈∀ PI

, khi
( )
∑
∈
⊕=
Ji
Pi
S
|
0'

và
( )
( ) ( )

000'
|
==⊕ SPS
Pi

,
ISS
ii
∈∈ ',

(v
ới J
là t
ập
h
ữu hạn).
Khi M là môđun Baer suy ra
( )
MIr
M
⊕
⊂
và t
ồn tại
MQ
⊕
⊂
sao cho
( )
MQIr

M
=⊕
. C
ũng do
( )
IrP
M
⊆
nên t
ồn tại
( )
IrL
M
⊆
sao cho
( )
PLIr
M
⊕=
suy ra
ML
⊕
⊂
.
Vì v
ậy chúng ta có
( )
QPLQIrM
M
⊕⊕=⊕=

, xét
N

là phép chi
ếu
t
ừ M v
à
o N thì chúng ta có th
ể xem
NLQ
LQN
→⊕
⊕
:
/

là đ
ẳng cấu (
H
ạt
nhân c
ủa nó là
( )
0=⊕∩ LQP
) và chúng ta đư
ợc sự phân tích
( ) ( )
LQN
NN


⊕=
.
Chúng ta sẽ th
ấy rằng
( )
( )
LIr
NN

=
l
ấy
'' I∈

thì
I
P
∈⊕
|
0'

và n
ếu
( )
( )
00'
|
=⊕⊕ LP
P


, suy ra r
ằng
( )
( )
00'
|
=⊕ L
P

.
Nhưng m
ọi phần tử
Ll∈
có th
ể viết là
( ) ( )
lll
PN

+=
. Do
( )
l
P

là
linh hóa t
ử bởi
P|

0'⊕

chúng ta nh
ận được
( )
( )( )
00'
|
=⊕ l
NP

, suy ra
( )
( )( )
00'
|
=⊕ L
NP

.
Suy ra
( )( )
0' =L
N

và n
ếu khi
'' I∈

(ch

ọn tùy ý
)
( ) ( )
'IrL
NN
⊆

.
Ti
ếp đến, xét
( )
LNn
N

/∈
thì
21
nnn +=
v
ới
( )
Ln
N

∈
và
( )
Qn
N


∈≠
2
0
. Do
NQN ⊕|

là đ
ồng cấu
nên t
ồn tại
Q∈
2

sao cho
( )
22
nn
N
=

.
16
Ta có
( )
0=∩ IrQ
M
suy ra t
ồn tại
( )
0,

2
≠∈ nI

.
M
ặt khác
( )
∑
∈
⊕=
Ji
Pii
S
|
0'

nên t
ồn tại
( )
( )
00'
2|
00
≠⊕ ns
Pii

và suy ra
( )
( )
00'

2|
≠⊕ n
Pio

. Phân tích
2
n
trong
( ) ( )
22
nn
PN

⊕
chúng ta có
( )( )
0'
2
0
≠n
Ni

(vì
( )
2
n
P

là ánh x
ạ 0), suy ra

( )
0'
0
≠n
i

. V
ậy
( ) ( )
'IrL
NN
=

.
Do
( )
'Ir
N
là h
ạng tử của N nên N là môđun B
aer.
1.1.12. M
ệnh đề
. M là môđun Baer n
ếu
và ch
ỉ nếu M có
GSIP và
SM ∈∀⊂
⊕


,ker
.
Chứng minh:
Đ
ối với
hai h
ạng tử thì điều này là hiể
n nhiên.
Ta ch
ứng minh cho một họ hạng tử.
L
ấy
JiSee
ii
∈∈= ,
2
và xét
( )
∑
∈
−=
Ji
i
eSI 1
thì
( )( ) ( )
JiIreKer
Mi
∈∀⊇− ,1

.
Cho
( )
i
Ji
eN −∩=
∈
1ker
thì
( )
NIr
M
⊆
.
V
ới bất kỳ đông cấu
( )
∑
∈
∈−
Ji
ii
Ies 1
chúng ta có
( )( )
∑
∈
=−
Ji
ii

Nes 01
và
ta đư
ợc
( )
NIr
M
=
.
Do M là môđun Baer nên suy ra
( ) ( )
MIrNe
Mi
Ji
⊕
∈
⊂==−∩ 1ker
.
V
ậy M có GSIP.
Ngư
ợc lại, lấy
SI
s
⊂∈

,
, ta có
M
⊕

⊂

ker
. K
ết hợp tính GSIP
c
ủa M suy ra
( )
MIr
I
M
⊕
∈
⊂∩=


ker
. V
ậy M là
môđun Baer.
17
1.2. Môđun Baer đ
ối ngẫu
1.2.1. Định nghĩa.
Môđun M được gọi là Baer đối ngẫu nếu với mỗi môđun con N của M
tồn tại lũy đẳng e của S sao cho
( )
eSND =
.
1.2.2. H

ệ quả
. Môđun đơn M là Baer đ
ối ngẫu.
Ch
ứng minh:
M là môđun đơn nên 0 và M là hai môđun con duy nh
ất của M
. Khi đó
ta có
( )
SD 000 ==
và
( )
SiSMD
d
==
v
ới 0 và
d
i
là lu
ỹ đ
ẳng của S. Vậy M
là baer đ
ối ngẫu.
1.2.3. Đ
ịnh lý
. Đ
ối với môđun
M

các đi
ều kiện sau tương đương:
(i)
M
là môđun Baer đ
ối ngẫu;
(ii) V
ới mỗi tập con
∅≠A
c
ủa
S
:
Im ( )
f A
f e M
∈
=
∑
v
ới
2
;e e S= ∈
(iii) V
ới mỗi iđêan
I
c
ủa
S
:

Im ( )
f I
f e M
∈
=
∑
v
ới
2
;e e S= ∈
(iv)
M
có SSSP và v
ới mỗi
,S

∈
Im

là h
ạng tử trực tiếp của
.M
Chứng minh:
(i) (ii).⇒
Xét
A
là tập con của
S
. Đặt
Im ,

f A
N f
∈
=
∑
ta sẽ chứng minh
( )N e M=
v
ới
2
e e S= ∈
. Vì
f S∈
nên
Im f
là môđun con c
ủa
,M
suy ra
Im
f A
f
∈
∑
c
ũng là môđun của
M
(do
A S⊆
). Hay

N
là môđun c
ủa
.M
Vì
M
là môđun Baer đ
ối ngẫu nên tồn tại lũy đẳng
e S∈
sao cho
( ) .D N eS=
Do
eSe∈
nên suy ra
( ),e D N∈
hay
( )e M
là môđun con c
ủa
.N
V
ới mỗi
f A∈
ta có
( )
eSNDf =∈
(do cách đ
ặt
Im
f A

N f
∈
=
∑
). Suy ra
eSf ∈
. Như v
ậy với
mỗi
f A∈
, tồn tại
s S∈
sao cho
eSf =
. Khi đó với mọi
y M∈
và với mọi
18
f A∈
, ta có
( ) es( ) ( ( )) ( )f y y e s y e M= = ∈
(do
( )
Mys ∈
). Suy ra
N
là
môđun con c
ủa
( ).e M

V
ậy
( )N e M=
v
ới
2
e e S= ∈
. Hay
Im ( ).
f A
f e M
∈
=
∑
(ii) (iv).⇒
Với mỗi
S

∈
thì ta có
Im ( )e M

=
(với
2
e e S= ∈
) (theo
(ii)). Suy ra,
Im


là h
ạng tử trực tiếp của
M
(theo B
ổ đề 2
). Gi
ả sử
i
M
là
h
ạng tử trực
ti
ếp của
M
(
i I∈
) ta s
ẽ chứng minh
i
i I
M
∈
∑
là h
ạng tử trực tiếp
c
ủa
.M
Th

ật vậy,
i
M
là h
ạng tử trực tiếp của
M
nên theo B
ổ đề
2, t
ồn tại lũy
đ
ẳng
i
e S∈
sao cho
( ) ( ).
i i
e M M i I= ∈
Do
( )
i
e S i I∈ ∀ ∈
nên
Im ( )
i i
i I i I
M e e M
∈ ∈
= =
∑ ∑

(v
ới
2
e e S= ∈
) (theo ii). Suy ra
i
i I
M
∈
∑
là h
ạng tử
trực tiếp của
.M
(iv) (iii).⇒
Cho
I
là iđêan c
ủa
S
, ta s
ẽ chứng minh
Im ( )
f I
f e M
∈
=
∑
v
ới

2
.e e S= ∈
Th
ật vậy, với mỗi
f I S∈ ⊆
nên theo (iv),
Im f
là h
ạng tử trực
ti
ếp của
.M
Suy ra
Im
f I
N f
∈
=
∑
c
ũng là hạng tử trực tiếp của
M
(do
M
có
SSSP). T
ừ
N
là h
ạng tử trực tiếp của

M
nên theo B
ổ đề 2
, suy ra t
ồn tại lũy
đ
ẳng
e S∈
sao cho
( ) .e M N=
V
ậy ta có
Im ( )
f I
f e M
∈
=
∑
v
ới
2
.e e S= ∈
(iii) (i).⇒
Cho
N
là môđun con c
ủa
,M
ta s
ẽ chứng minh

( ) ,D N eS=
v
ới
2
.e e S= ∈
Do
{ }
( ) ImI D N S N
 
= = ∈ ⊆
là m
ột iđêan của
S
nên
theo giả thiết, ta có
Im ( )
f I
f e M
∈
=
∑
với
2
.e e S= ∈
Với mọi
,f I∈
Im f
là
môđun con c
ủa

N
nên suy ra
Im
f I
f
∈
∑
c
ũng là môđun con của
.N
Hay
( )e M
là môđun con c
ủa
.N
Khi đó
( )e D N∈
và do đó
eS ( ).D N⊆
L
ại do
Im ( )
f I
f e M
∈
=
∑
nên với mỗi
f I∈
thì

Im f
là môđun con của
( ).e M
Hơn nữa
19
eS (1 )S e S= ⊕ −
nên v
ới mỗi
f I∈
, ta có
1 2 1 2
es (1 ) (s , ).f e s s S= + − ∈
Suy
ra
1 2
( ) es ( ) (1 ) ( ) ( ).f M M e s M e M= + − ⊆
M
ặt khác ta có:
1 1 2
2
( ) (1 )( ) 0
es ( ) ( ) es ( ) (1-e)s ( ) 0.
(1-e)s ( ) (1 )( )
∩ − =



⊆ ⇒ ∩ =




⊆ −

e M e M
M e M M M
M e M
V
ậy
t
ừ
1 2
es ( ) (1 ) ( ) ( )M e s M e M+ − ⊆
ta suy ra
2
(1-e)s ( ) 0.M =
Khi đó
1
esf =
hay
eS.f ∈
Do đó
( )
eSND ⊂
. V
ậy
( )
eSND =
v
ới
2

.e e S= ∈
Như
v
ậy
M
là môđun Baer đ
ối ngẫu.
1.2.4. H
ệ qu
ả. (i) M
ỗi môđun Baer đối ngẫu là tổng trực tiếp của
nh
ững môđun không phân tích được.
(ii) M
ỗi môđun Baer đối ngẫu lifting là tổng trực tiếp của những
môđun hollow.
Chứng minh:
(i). Gi
ả sử
M
là môđun Baer đ
ối ngẫu ta chứng minh
i
i I
M M
∈
= ⊕
v
ới
i

M
là nh
ững môđun không phân tích được. Xét họ bất kỳ
{ }
X


∈ Ω
các
môđun con của
M
sao cho
N X X
 


∈Ω
∈Ω
= = ⊕
∑
và
X

là hạng tử trực tiếp
c
ủa
M
v
ới mọi
.


∈Ω
Vì
M
có SSSP nên
N
là h
ạng tử trực tiếp c
ủa
M
.
Theo [9, Theorem 2.17],
i
i I
M M
∈
= ⊕
v
ới
i
M
là nh
ững môđun không phân
tích đư
ợc.
(ii). Theo (i), ta có
i
i I
M M
∈

= ⊕
với
i
M
là những môđun không phân tích
đư
ợc.
Ta ch
ứng minh
i
M
là môđun hollow. Theo [9, Lemma 4.7], ta có
i
M
là
lifting môđun. Xét
N
là môđun th
ực sự của
i
M
khi đó t
ồn tại hạng tử trực
ti
ếp
K
c
ủa
i
M

sao cho
K
là môđun con c
ủa
N
và
/ / .
i
N K M K
Vì
i
M