khóa luận tốt nghiệp về môđun giả nội xạ và mở rộng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN




ĐẶNG THỊ HÓA



VỀ MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ VÀ MỞ RỘNG


Chuyên ngành : Đại số hiện đại


Chuyên
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Lớp: K3 Sư phạm Toán học Khóa: 2010- 2014



Người hướng dẫn khoa học:
TS. Lê Văn An
LLl
ngNnNN n
ggHà Tĩnh - 2014
LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS. Lê Văn An đã tận tình hướng

dẫn tôi hoàn thành khóa luận này.
Tôi cũng xin cảm ơn các Thầy cô giáo trong khoa Sư phạm Tự nhiên, đặc
biệt là các thầy cô giáo bộ môn Toán đã hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập
và nghiên cứu.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã cỗ vũ, động viên tôi trong suốt
quá trình học tập và làm khóa luận.
Xin chân thành cảm ơn!


Hà Tĩnh, tháng 05 năm 2014
Sinh viên


Đặng Thị Hóa











LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Những kết quả và các số
liệu trong khóa luận chưa được ai công bố dưới bất kì hình thức nào. Tôi hoàn toàn
chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này.

Hà Tĩnh, tháng 05 năm 2014
Sinh viên


Đặng Thị Hóa

















CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

A M

: A là môđun con của môđun M.

e
A M

: A là môđun con cốt yếu của môđun M.
0

: quan hệ thứ tự.
A M

: A là tập hợp con của tập M.
( , )
Hom N M
: tập tất cả các đồng cấu môđun từ N đến M.

: tổng trực tiếp của các môđun.
:
f N M

: phép tương ứng từ N đến M.
M N
: môđun thương của M trên N.
: phép nhúng.
A

: thu hẹp của

trên A.
N M

: môđun N đẳng cấu với M.

 : kết thúc một chứng minh.










MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lý thuyết môđun, hai lớp môđun được các nhà toán học quan tâm
nghiên cứu là lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh. Môđun nội xạ là một trong
những lớp môđun quan trọng của Lý thuyết vành và môđun. Do đó, dựa trên yếu tố
nội xạ người ta đã mở rộng ra nhiều lớp môđun như: môđun giả nội xạ, môđun giả
nội xạ cốt yếu, môđun tựa nội xạ…Các lớp môđun này đã được nghiên cứu bởi
Đinh Quang Hải, Jain và Singh (1967), Teply (1975)… Sau đó các tác giả này cũng
phát triển và xây dựng mối liên hệ giữa các lớp môđun mở rộng với nhau và đã đưa
ra được nhiều kết quả hữu ích trong việc phát triển lý thuyết mô đun.
Tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu và mối quan
hệ giữa lớp môđun giả nội xạ và môđun tựa nội xạ, chúng tôi chọn tên đề tài để
nghiên cứu là: “Về môđun giả nội xạ và mở rộng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm tìm hiểu sâu hơn về tính chất của lớp môđun giả nội xạ,
giả nội xạ cốt yếu, mối liên hệ giữa môđun giả nội xạ và môđun tựa nội xạ. Từ đó
chứng minh được một số tính chất của các lớp môđun này.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng:

Các tính chất của các lớp môđun nội xạ, giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, tựa
nội xạ.
+ Phạm vi:
Nghiên cứu sử dụng các luận văn thạc sỹ, luận văn tiến sỹ Toán học, các bài
báo và một số tài liệu khác.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở tôn trọng và kế thừa những quan điểm và kết quả của các nhà
Toán học, tiến hành nghiên cứu, chứng minh một số kết quả đã có, thì sẽ góp phần
phát triển thêm về lý thuyết môđun.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm tổng hợp các quan điểm và kết quả của các nhà Toán học
về các lớp môđun nội xạ, giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, tựa nội xạ…
6. Đóng góp của luận văn
- Tổng hợp, phân tích các kết quả của các nhà nghiên cứu về tính chất của
lớp môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và tựa
nội xạ.
- Đặc biệt chứng minh được: Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất
(C
2
), hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ,
1 2
M M

là giả
nội xạ thì M
1
và M
2
là nội xạ lẫn nhau.
7. Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở. Các khái niệm được đề cập
đến trong chương này như môđun con cốt yếu, môđun đều, môđun nội xạ…
Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu tính chất của môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt
yếu, mối quan hệ giữa môđun giả nội xạ và môđun tựa nội xạ. Chương này chia hai
tiểu mục:
2.1. Môđun giả nội xạ
2.2. Môđun giả nội xạ cốt yếu









Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ
1.1. Môđun con cốt yếu, môđun nội xạ
Trong luận văn này ta xét tất cả các vành đều là vành kết hợp có phần tử đơn
vị, các môđun đều là môđun trái Unita.
1.1.1. Môđun con cốt yếu
1.1.1.1. Định nghĩa
- Cho M là R - môđun trái, môđun A là môđun con của M được gọi là môđun con
cốt yếu, ký hiệu
e
A M
 , nếu với mọi môđun con
0
X


của M ta đều có
0
A X
 
. (Hay một cách tương tự nếu
0
A X
 
thì
0
X

).

- Môđun được gọi là đều nếu mọi môđun con khác 0 của M đều cốt yếu trong M.
- Môđun con K của M được gọi là phần bù của môđun B trong M nếu môđun K là
môđun tối đại trong những môđun con của M có giao với B bằng không, và K được
gọi là phần bù trong M nếu K là phần bù của môđun con nào đó của M.
- Môđun K được gọi là bao đóng của môđun B nếu K là mở rộng cốt yếu tối đại
của B.
- Môđun con K của M được gọi là môđun con đóng nếu K không có mở rộng cốt
yếu thực sự nào trong M.
1.1.1.2. Tính chất
(1)
e
A M
 khi và chỉ khi
0, , 0
A Rx x M x

    

(2) Cho
A N M
 
thì
e
A M
 khi và chỉ khi
e
A N
 và
e
N M

(3) Cho
e
A M
 và
K M

thì
e
A K K
 

(4) Cho
A N M
 
, nếu

e
N A M A
 thì
e
N M

(5) Cho
:
f M N

và
A N

. Nếu
e
A N

thì
1
( )
e
f A M

 .
Chứng minh:
(1) Giả sử
, 0, .
e
A M x Rx M
    Do

1,
x x Rx
 

nên
0
Rx

. Do đó,
0, , 0.
A Rx x M x
    

Ngược lại,
, 0, 0
x M x A Rx
    
ta chứng minh
e
A M


Xét
0 .
X M
 
Vì
0
X


nên
, 0
x X x
  
ta có
0 .
Rx X M
  
Do đó
0
A Rx
 
và
0
A X A Rx
   
. Vậy
0
A X
 
hay
e
A M

.
(2) Giả sử
e
A M

, lấy môđun con X của N mà

0
A X
 
. Do
X N

nên
X M

và
e
A M

nên X = 0. Vậy
e
A N

. Tương tự, lấy môđun con Y bất kỳ
của M mà
0
N Y
 
. Do
A N

nên
0
A Y
 
và

e
A M

. Suy ra Y = 0 nên
e
N M

.
Ngược lại, nếu
e
A N

và
e
N M

thì với mọi môđun con X bất kỳ của M mà
0
A X
 
. Đặt
B N X
 
, ta có
0
A B A N X A X
      
, do
e
A N



nên B = 0 
0
N X
 
và do
e
N M

 X = 0. Vậy
e
A M

.
(3) Lấy X là môđun con bất kỳ của K sao cho
0
A K X
  
hay
0
A X
 
, do
e
A M

nên X = 0. Vậy
e
A K K

 

(4) Lấy
X M

sao cho
0
N X
 
.
Khi đó,


N A X A
  
, suy ra


0
N A A X A
  
. Do
e
N A M A
 nên


0
A X A
 

hay
A X A
 
. Vậy X = 0, hay
e
N M


(5) Giả sử
, 0
X M X
 
. Ta có:
+ Nếu
( ) 0
f X

thì
1 1
er (0) ( )
X K f f f A
 
   . Suy ra
1
( ) 0
X f A X

  
.
+ Nếu

( ) 0
f X

,
( )
f X N

.Vì
e
A N

nên
( ) 0
A f X
 
.
Suy ra
1 1
0 er ( ( )) ( )
K f f A f X f A X
 
    
. Vậy
1
( )
e
f A M

 . ()
1.1.1.3. Bổ đề: Cho


: →  là đẳng cấu môđun trên R. Khi đó môđun con L của
N cốt yếu trong N khi và chỉ khi

() cốt yếu trong M.
Chứng minh: () Cho
e
L N

, thì
X M
 
sao cho
( ) 0
L X

 
suy ra
1 1 1
( ) ( ( ) ) (0) 0
L X L X
   
  
    
. Do
e
L N

nên
1

( ) 0
X



 X = 0
(do  là đẳng cấu). Vậy ( )
e
L M

 .
() Cho ( )
e
L M

 thì
Y N
 
sao cho
0
L Y
 
. Do  đẳng cấu nên suy ra
1 1 1
( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) 0
L Y L Y L Y
      
  
     


( ) ( ) 0
L Y
 
 
. Do
( )
e
L M

 nên
( ) 0
Y


 Y = 0. Vậy
e
L N

. ()
1.1.1.4. Mệnh đề : Với mọi môđun con A của M luôn tồn tại môđun con B của M
sao cho
e
A B M
 

Chứng minh: Đặt


: 0
S X M X A

   
, vì
0
S

nên
S
 
. Ta sắp thứ tự S
theo quan hệ bao hàm. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho
1 2

n
X X X
   
Khi đó
1
i
i
C X




là môđun con của M và dễ thấy C là
cận trên của dãy đã cho. Lấy
x A C
 
, khi đó tồn tại một số k nào đó sao cho
k

x X

. Ta có
k
x A X
 
. Vậy x = 0, hay
0
A C
 
. Do đó theo bổ đề Zorn S có
phần tử tối đại là B. Ta chứng minh
e
A B M
 
.
Thật vậy,
Y M
 
thỏa mãn
( ) 0
A B Y
  
ta có
0
A Y
 
và
0
B Y

 
. Nếu
a A

và
,
b B y Y
 
sao cho
a b y
 
thì
y a b A B
   
, ta suy ra y = 0 và
0
a b
 
. Như vậy
( ) 0
A B Y
  

B Y S
 
. Do B tối đại nên Y = 0. Suy ra
e
A B M
 
. ()

1.1.1.5. Bổ đề Nếu K là phần bù của B trong mô đun M thì
 
e
K B K M K


.
Chứng minh: Giả sử
X K M K

sao cho


0



KXKBK , ta có
0


B
K
và


KXBK




. Khi đó:


BXBXBK






0 . Do tính
tối đại của K, nên X = K. Vậy
0
X K

hay
 
e
K B K M K


. ()
1.1.2. Môđun nội xạ
1.1.2.1. Định nghĩa Cho M và N là các R – môđun.

- Môđun N được gọi là M – nội xạ nếu với mọi môđun
con A của M, mọi đồng cấu
:
f A N


đều mở rộng
A

M

N


i


f


g

X

M



N






thành đồng cấu

:
g M N

, tức là biểu đồ sau giao hoán:

o
g i f

, trong đó i là phép nhúng đồng cấu.
- Môđun N gọi là tựa nội xạ nếu N là N – nội xạ.
- Môđun N gọi là môđun nội xạ nếu N là M – nội xạ, với mọi môđun M.
- Hai môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau nếu M là N – nội xạ và N là M –
nội xạ.
- Bao nội xạ của môđun M, kí hiệu E(M), là môđun nội xạ bé nhất sao cho M cốt
yếu trong E(M).
1.1.2.2. Mệnh đề Nếu N là M – nội xạ và
A M

thì N là A– nội xạ và N là
M A

– nội xạ.
Chứng minh: Trước hết ta chứng minh N là A– nội xạ. Thật vậy, lấy
X A

và
:
f X N

là đồng cấu. Ta cũng có

X M

, do N là M – nội xạ nên f mở rộng
thành đồng cấu
:
g M N

. Khi đó
A
g là mở rộng của f trên A hay N là A – nội
xạ.
Bây giờ ta chứng minh N là
M A
– nội xạ. Lấy
X
A M A

và
:X
A N


là đồng cấu. Gọi :
M M A


là đồng cấu tự nhiên.
Đặt
X


 . Do N là M – nội xạ nên

mở
rộng thành đồng cấu
:
M N


. Ta có:






00






AA . Suy ra
ker ker
 

.
Do đó, tồn tại đồng cấu :
M A N



sao cho



. Với mọi
X
x

, ta có










AxxxxAx












. Vậy

là mở rộng của

hay N là
M A
– nội xạ.
()
1.1.2.3. Mệnh đề N là M – nội xạ khi và chỉ khi


M N



với mọi






,
Hom E M E N


.
i

Chứng minh: Vì E(M) là mô đun nội xạ, ta chỉ cần chứng minh với mọi




,
Hom M E N


là đủ.
)
(

Giả sử N là M – nội xạ, với





,
Hom M E N


.
Đặt





:
X n M n N

  
. Dễ thấy X là môđun con của M. Vì N là M – nội xạ,
X

mở rộng thành đồng cấu
:
M N


, ta chứng minh




0
N M
 
  
.
Thật vậy, giả sử có
M
m

và
N
n


sao cho




n m
 
  . Khi đó,




m m n N
 
  
nên
m X

.
Như vậy,








0
n m m m m

   
    
. Vậy,




0
N M
 
  
và vì
 
e
N E N

nên




M M N
 
 
.



Giả sử có



M N


với mọi




,
Hom M E N


. Lấy
X M

và
:
f X N

là đồng cấu. Vì E(N) là nội xạ, nên
f
mở rộng thành đồng cấu


:
M E N

 . Theo giả thiết



M N


. Vậy,
:
f X N

mở rộng thành đồng
cấu
:
M N


hay N là M – nội xạ. ()
1.1.2.4. Mệnh đề Giả sử môđun
i
i I
M M

 
là tổng trực tiếp các môđun
i
M . Khi đó
các phát biểu sau là tương đương:
(1) M là tựa nội xạ.
(2)
i
M là tựa nội xạ và



iIM

là
i
M – nội xạ với mọi
I
i

.
1.1.2.5. Bổ đề Cho M
1
và M
2
là các môđun và
21
MMM


. Thế thì, M
2
là M
1
–
nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđun con N của M mà 0
2


MN đều tồn tại
môđun con K của M sao cho

2
MKM


và
N K


Chứng minh.



Giả sử M
2
là M
1
– nội xạ và với mọi môđun con N của M mà
2
0
N M
 
. Gọi
1 1
:
M M


và
2 2
:

M M


là các phép chiếu.
Đặt
NN
21
,

 . Vì 0
2


MN nên

là đơn cấu và do M
2
là M
1
– nội xạ
nên tồn tại đồng cấu
21
: MM


sao cho



.

Lấy




1 1 1 1
:
K m m m M

  
. Với mọi
N
n

thì
21
mmn


. Ta có




nn



hay



1 2
m m


, từ đây ta suy ra


Kmmn



11

. Do đó,
N K

.
Nếu có
11
Mm

và
22
Mm

sao cho


211

mmm



thì


2121
Mmmm




,
nên
1
0
m

và
2
0
m

. Như vậy, 0
2


MK .
Mặt khác,





1 2 1 1 2 1 2
,
m M m m m m m m m K M
 
          .
Vậy
2
MKM


.




Giả sử với mọi môđun con N của M mà 0
2


MN đều tồn tại môđun con
K của M sao cho
2
MKM


và

N K

. Lấy X là môđun con của M
1
và
2
: MXf

là đồng cấu. Đặt




:
H x f x x X
  
. Khi đó H là môđun con của
M và hiển nhiên 0
2


MH . Theo giả thiết, tồn tại môđun con H’ của M sao cho
2
'
M H M
 
và
'
H H


. Lấy
22
': MMHM




là phép chiếu. Đặt
1
M
g

 ,
X
x


thì













xfxfxfxxxg







.
Vậy, g là mở rộng của f, hay M
2
là M
1
– nội xạ. ()
1.1.2.6. Mệnh đề (Tiêu chuẩn Baer) Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mọi
ideal trái I của R, mọi đồng cấu
M
I
f

:
thì tồn tại
M
m

để


Ixxmxf




,
Chứng minh. () Cho M là môđun nội xạ. Lấy I là ideal trái của R,
M
I
:
f

là
đồng cấu môđun. Vì R là R – môđun nên M là R– nội xạ. Do đó, f mở rộng thành
đồng cấu MR:f
*
 .
Đặt


1
*
fm  . Khi đó:
,
I
x


thì





xmxfxfxfxf  )1()1.(1.
**
.
() Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là N – nội xạ, với mọi môđun N.
Lấy X là môđun con tuỳ ý của N,
M
X
g

:
là đồng cấu bất kỳ. Ta chứng minh
tồn tại đồng cấu g
*
là mở rộng của g.
Thật vậy, xét họ


( , ) / , : ,
X
S T X T N T M g
  
    
.
Ta thấy







SSgX , . Sắp thứ tự tập S theo quan hệ như sau:

   
1
1 2
1 1 2 2
2 1
, ,
o
T
T T
T T
 
 



 




. Ta chứng minh S thoả mãn bổ đề Zorn. Lấy
tập con sắp thứ tự tuyến tính của S sao cho:








1 1 2 2
, , ,
o o o n n o
T T T
  
    (a)
Đặt
1
i
i
T T T N


   
. Lấy
M
T

:

, với
k
TxkTx




:
Ta định nghĩa





xx
k



. Dễ dàng kiểm tra được  là đồng cấu. Khi đó



,T
là cận trên của dãy (a). Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại, kí hiệu


SB


, . Ta
chứng minh
N
B

và g* = .
Thật vậy, nếu
B
N
a

N
B
\




. Đặt
Ra
B
H



H
B

(do aB), ta xác
định đồng cấu
M
H
h

:
cho bởi




rmbrabh





, trong đó m được xác định
như sau: Gọi


BraRrI



/ . Ta hoàn toàn kiểm tra được I là ideal trái của R.
Xác định đồng cấu
M
I
g

:
bởi




Ir,rarg



. Theo giả thiết nên
M

m



để


g x xm
 , xI. Như vậy, do
H
B

, và theo cách xác định của h nên h là mở
rộng của . Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của



,B . Vậy,
N
B

và lấy
g* = . Vậy g* là mở rộng của g. ()
1.1.3. Các điều kiện C
i

Cho mô đun M. Ta xét các điều kiện sau:
(C
1
) Với mọi

A M


và X là một hạng tử trực tiếp của M thì
e
A X


(C
2
) Với mọi A, B là các môđun con của M, B là hạng tử trực tiếp của M và
A
B

thì A là hạng tử trực tiếp của M.
(C
3
) Nếu A, B là hạng tử trực tiếp của M và
0
A B
 
thì
A B

là một hạng tử
trực tiếp của M.
Nếu M thỏa mãn (C
1
) thì M là CS môđun.
Nếu M thỏa mãn (C

1
) và (C
2
) thì M là môđun liên tục.
Nếu M thỏa mãn (C
1
) và (C
3
) thì M là môđun tựa liên tục.
Chương 2. MÔ ĐUN GIẢ NỘI XẠ VÀ MÔ ĐUN GIẢ NỘI XẠ CỐT YẾU
2.1. MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ
2.1.1. Định nghĩa Cho M, N là các R – môđun trái. N được
gọi là M – giả nội xạ nếu với mọi môđun con A của M, với
mọi đơn cấu
:
f A N

đều mở rộng thành đồng cấu
:
g M N

. N được gọi là giả nội xạ nếu N là N– giả nội xạ.
2.1.2. Mệnh đề Cho
A M

. Nếu N là M – giả nội xạ thì N
là A – giả nội xạ.
Chứng minh: Lấy
X A


và
:
f X N

là đơn cấu. Khi đó, X cũng là môđun
con của M và do N là M – giả nội xạ nên f mở rộng thành đồng cấu
*
:
f M N
 .
Hiển nhiên
*
:
A
f A N

là mở rộng cần tìm. Vậy N là A – giả nội xạ. ()






2.1.3. Mệnh đề Cho M, N là các môđun và
N
M
X


. Các điều kiện sau là

tương đương:
(i) M là N – giả nội xạ.
(ii) Với bất kỳ môđun con A của X thỏa mãn
0




N
A
M
A
, tồn tại môđun
con T của X chứa A sao cho
X
T
M


.
Chứng minh:




i ii
 Giả sử có (i) và A là môđun thỏa mãn giả thiết (ii). Gọi
NNMMNM
NM





:,:


là các phép chiếu. Ta xác định đồng cấu




AA
MN




: như sau:
A

M

N


i


f

g

A

M

N


f


X


Với mỗi






,
N M
a A a a
  
 
. Do
0



N
A
, nên  là đơn cấu. Theo giả
thiết,

mở rộng thành đồng cấu
M
N
g

:
. Đặt




:
T n n n N

  
. Từ đây, ta
thấy
X
T
M


và

A
a


,




ngnnnnma







, với
M
m
N
n


,
, do
đó
A T

, thỏa mãn (ii).





ii i
 Giả sử có (i). Gọi B là môđun con của N và
M
B
f

:
là đơn cấu.
Đặt




BbbfbA



: , thế thì
0




N
A

M
A
. Theo giả thiết, tồn tại
môđun con T của X chứa A sao cho
X
T
M


. Lấy
M
T
M


:

là phép
chiếu. Khi đó,




bfbbfbBb





, , ta có:











bfbfbbfb
NN


. Vậy,
N

là mở rộng của f cần tìm. ()
2.1.4. Định nghĩa
- Một dãy các đồng cấu R – môđun:

1
1 1

n n
f f
n n n
A A A

 

   
được gọi là khớp tại A
n
nếu
1
Im er
n n
f K f


. Ta nói dãy này là khớp nếu nó khớp tại A
n
với mọi n.
- Một dãy khớp dạng
0
0












K
N

M
gf
được gọi là dãy khớp
ngắn nếu f là đơn cấu, g là toàn cấu và Imf = Kerg.
- Một toàn cấu của các R – mô đun
0






N
M
f
được gọi là chẻ ra nếu tồn
tại một đồng cấu
M
N
g

:
sao cho
N
fg 1

.
- Một đơn cấu của các R – môđun
N
M

f






0
được gọi là chẻ ra nếu tồn
tại một đồng cấu
M
N
g

:
sao cho
M
gf 1


- Dãy khớp ngắn
0
0













K
N
M
gf
được gọi là chẻ ra nếu
f
Im

(hoặc
er
K g
) là hạng tử trực tiếp của N.
2.1.5. Mệnh đề Nếu N là M – giả nội xạ thì mọi đơn cấu
:
f N M

là chẻ ra, và
khi đó
Im
M f X
 
, với X là môđun con nào đó của M.
Chứng minh: Cho
:
f N M


là đơn cấu và
1
: ( )
f f N N

 là nghịch đảo của f.
Giả sử N là M- giả nội xạ, có một đồng cấu
'
:
f M N
 mở rộng đến
1
f

. Đặt
X

M

P





f


g

N






-
1




'
u f f


, rõ ràng u là một phép đồng nhất của N. Vì thế
( )
f N
chẻ ra trong M. Ta
chứng minh
Imf er
M K g
 

Với mọi
m M


, thì


g m N

. Ta có








m f g m m f g m
  
. Hiển nhiên,




Im
f g m f

, ta chứng minh




ker

m f g m g
 
.
Thật vậy,


















0
g m f g m g m g f g m g m g m
     
. Như
vậy, ta có
Im
M f Kerg
 

. Mặt khác, nếu có
g
f
x
ker
Im


, thế thì tồn tại
n N

sao cho


x f n
 và


0

xg .
Từ đây, ta suy ra






0
n g f n g x

  
hay
0

x
. Vậy,
0
ker
Im


g
f
. Do đó,
Im ker
M f g
 
. ()
2.1.6. Mệnh đề Nếu N là M – giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của N thì A là
M– giả nội xạ.
Chứng minh: Giả sử N là M – giả nội xạ và
'
N A A
 
. Cho X là một môđun
con của M và
:
f X A

là đơn cấu. Định nghĩa

: '
g X N A A
  
bởi
( ) ( ( ),0)
g x f x

, do đó g là một đơn cấu, vì N là M - giả nội xạ nên g mở rộng đến
đồng cấu
*:
g M N

. Gọi : '
A
N A A A

  
là phép chiếu tự nhiên. Từ đó ta
có
*
:
A
g M A


là một đồng cấu mở rộng của f. Do đó A là M- giả nội xạ. ()
2.1.7. Mệnh đề Nếu N là M – giả nội xạ và
N P

thì P là M – giả nội xạ.

Chứng minh: Lấy
X M

và
P
X
f

:
là đơn cấu. Do
N P

nên tồn tại đẳng cấu
:
P N


. Khi đó
:
f X N


là đơn cấu, do N là M – giả nội xạ nên
f

mở
rộng thành đồng cấu
:
M N



sao cho fi
X



, trong đó
:
X
i X M

là phép bao hàm. Đặt
1
:
g M P
 

 
, thế
thì ta có


ffiig
XX



11
. Vậy, g là mở rộng
của f cần tìm hay P là M – giả nội xạ. ()

X

A

A



f


g


M



M







2.1.8. Định lí Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất (C
2
).
Chứng minh: Giả sử M là môđun giả nội xạ và A là môđun con của M và

A B

.
Lấy
:
f B A

là đẳng cấu. Khi đó, f cũng là đơn cấu từ B vào M. Vì M là M – giả
nội xạ, theo 2.1.6 thì B là M – giả nội xạ. Theo 2.1.5, đơn cấu f là chẻ ra. Vậy B là
hạng tử trực tiếp của M hay M có tính chất (C
2
). ()
2.1.9. Định lí Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ.
Chứng minh: Giả sử M là môđun giả nội xạ và A là hạng tử trực tiếp của M, tức
là
B
A
M


, với
B M

. Ta chứng minh A là môđun giả nội xạ.
Thật vậy, lấy
X A

và
A
X

f

:
là đơn cấu.
Khi đó MXfi
A

: cũng là đơn cấu, trong đó
MAi
A

: là phép nhúng. Do M là giả nội xạ,
nên fi
A
mở rộng thành đồng cấu
M
M

:

.
Đặt
A

 và
A
B
A
M




:

là phép
chiếu. Lấy
A
A
g


:

, thế thì ta có
ffiigi
AXX





, trong đó AXi
X

: là phép nhúng. Vậy g là mở rộng của
f cần tìm hay A là môđun giả nội xạ. ()
2.1.10. Mệnh đề Nếu N là M - giả nội xạ thì
( )
M N



với mỗi
: ( ) ( )
E M E N


.
Đặc biệt, nếu P là giả nội xạ thì
( )
P P


với mọi đơn cấu
( ( ))
End E P


.
Chứng minh: Giả sử N là M - giả nội xạ và
: ( ) ( )
E M E N


là đơn cấu. Đặt


: ( )
X m M M N

   . Do N là M - giả nội xạ nên

X

mở rộng đến
:
M N


Với
,
n N m M
 
,
( )( )
m n
 
 
ta có
( ) ( )
m m n N
 
  
. Theo
định nghĩa ta có
m X

và
( ) ( ) ( ) ( ) 0
n m m m m
   
    

. Do đó
( )( ) 0
N M
 
  
. Mà
( )
e
N E N
 nên
( )( ) 0
m
 
 
. Bởi vậy,
( ) ( )
M M N
 
 
. ()
2.1.11. Mệnh đề Cho A và B là hai môđun giả nội xạ lẫn nhau. Nếu
( ) ( )
E A E B

thì mỗi đẳng cấu
( ) ( )
E A E B

giảm đến một đẳng cấu
A B


, đặc biệt
A B

.
Do đó A và B là giả nội xạ.
Chứng minh. Cho
: ( ) ( )
f E A E B

là một phép đẳng cấu. Theo 2.1.10,
( )
f A B

Tương tự,
1
( )
f B A


. Do đó
1 1
( )( ) ( ( )) ( )
B ff B f f B f A B
 
   
. Từ định
nghĩa ta có
( )
f A B


. Do đó :
A
f A B
 là một phép đẳng cấu.Vì vậy
A B

. Hơn
nữa, khi A là B - giả nội xạ và
B A

, ta có A là A- giả nội xạ, tức A là giả nội xạ.
Tương tự, B là giả nội xạ. ()
2.1.12. Mệnh đề Nếu
1 2
M M

là giả nội xạ thì M
1
và M
2
là nội xạ lẫn nhau.
Chứng minh: Giả sử
1 2
M M

là giả
nội xạ, ta chứng minh M
1
là M

2
– nội
xạ, M
2
là M
1
– nội xạ chứng minh
tương tự. Thật vậy, gọi
2
A M

và
1
:
f A M

là một đồng cấu. Ta xác
định
1 2
:
g A M M
 
sao cho
( ) ( ( ), )
g a f a a

, (
a A
 
), khi đó g là

một đơn cấu. Theo 2.1.6,
1 2
M M

là M
2
- giả nội xạ, do đó g mở rộng đến
2 1 2
*:
g M M M
 
. Nếu
1 1 2 1
:
M M M

 
là phép chiếu tự nhiên thì
1 2 1
*:
g M M


là một đồng cấu mở rộng của f. Do đó M
1
là M
2
– nội xạ. ()
2.1.13. Bổ đề (Jain and Singh) Nếu M là môđun giả nội xạ thì môđun con của M
đẳng cấu với phần bù trong M cũng là phần bù trong M.

Chứng minh: Cho K là phần bù trong M và A là môđun con của M sao cho
A K

.
Lấy
K
A
f

:
là đẳng cấu môđun. Theo giả thiết, thì f mở rộng thành đồng cấu
M
M
g

:
. Theo bổ đề Zorn, tồn tại phần bù A’ trong M sao cho
'
e
A A
 . Hiển
A


M
2
M
1
f

g

nhiên
A
g là đơn cấu. Vậy




'
e
K g A g A
 
. Vì K là môđun con bù nên
( ')
K g A

. Do đó,
'
A A

. ()
Nhận xét: Môđun M được gọi là có tính biến đổi (hữu hạn) nếu với mọi tập I (hữu
hạn) sao cho
i
Ii
ANM





với N và A
i
là các môđun thì


i
Ii
BMNM


với
i i
B A

. Môđun M gọi là có tính triệt tiêu nếu
Y
M
X
M



thì
Y
X

. M

gọi là có tính triệt tiêu trong nếu
2211
BABAM




mà
21
AA

thì
21
BB

.
Môđun M gọi là hữu hạn trực tiếp nếu M không đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp
thực sự nào của M. Các nhà nghiên cứu chứng minh được một số kết quả: Môđun
nội xạ M có tính triệt tiêu trong khi và chỉ khi M là hữu hạn trực tiếp. Hạng tử trực
tiếp của môđun liên tục là mô đun liên tục và mọi môđun liên tục đều có tính biến
đổi. Từ những kết quả trên, ta chứng minh một số định lí sau:
2.1.14. Định lí M là tựa nội xạ khi và chỉ khi M là giả nội xạ và M
2
là CS – môđun.
Chứng minh: Giả sử M là giả nội xạ và M
2
là CS – môđun. Lấy )2,1(


iMM

i

và
21
MMX


. Theo nhận xét trên, thì M là môđun liên tục. Gọi A là phần bù
trong X sao cho
1
0
A M
 
và
2
e
A M A
  . Tồn tại môđun con V và V’ của M
2

sao cho
2
' MVV


và
2
e
A M V
  . Mặt khác,

2
M
là CS – môđun nên ta cũng
có
'
A A X
 
, với
'
A X

. Do V là hạng tử trực tiếp của môđun liên tục nên V là
mô đun liên tục hay V có tính biến đổi. Vì
e
V A A
  , ta có
' 0
V A
 
. Vậy,
X
A
V


'
. Do đó A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp V của M
2
.
Gọi C là môđun con của X sao cho 0

1


MC . Theo bổ đề Zorn, tồn tại một
phần bù K trong X của M
1
chứa C. Cũng theo bổ đề Zorn, tồn tại phần bù K
1
trong
K của
2
MK

và phần bù K
2
trong K của K
1
chứa
2
MK

. Ta thấy
2 2
e
K M K
  và K
1
và K
2
là phần bù trong X. Theo 2.1.3, tồn tại môđun con T

của X chứa K
1
thỏa mãn XTM


1
. Thế thì
2
MT

và K
1
là phần bù trong T.
Từ đây, suy ra K
1
đẳng cấu với một phần bù trong M
2
. Theo chứng minh trên, ta
cũng có K
2
đẳng cấu với một phần bù của M
2
. Lấy
221
: MMM



là phép
chiếu thông thường. Ta có









211211
KKMKKM







, trong đó


ii
KK


. Do tính liên tục của M
2
và điều kiện ở trên, nên





21
KK



là
hạng tử trực tiếp của M
2
. Vì K là phần bù của M
1
,


1 1
e
M K M K X

   
nên


2
e
K M


. Theo cách chọn K
1
, K

2
và
1 2
e
K K K
  , thế thì






1 2
e
K K K
  
 
. Do đó,




1 2 2
e
K K M
 
 
. Từ đây suy ra







2 1 2
M K K K
  
   . Vậy, XKM


1
. Theo 1.1.2.5, M
1
là M
2
– nội
xạ. ()
2.1.15. Bổ đề
(i) Nếu môđun đều M là giả nội xạ thì M là tựa nội xạ.
(ii) Cho
i
i I
M M

 
là tổng trực tiếp các mô đun đều M
i
. M là tựa nội xạ khi và
chỉ khi M là giả nội xạ.
Chứng minh: (i) Lấy A là môđun con của M và

M
A
f

:
là đồng cấu. Nếu
Kerf = 0, theo giả thiết, thì f mở rộng thành đồng cấu
M
M
g

:
. Nếu
0
ker

f
,
đặt fi
A



, trong đó MAi
A

: là phép bao hàm. Lấy

ker
ker



f
x
, ta có


0

xf và


0


xfx hay
0

x
. Vậy,
0
ker
ker



f
. Vì M đều,
0
ker


f
,
nên ker
e
f M
 . Từ đây, ta suy ra
0
ker


. Do M là giả nội xạ nên

mở rộng
thành đồng cấu
M
M
g

:
. Hiển nhiên, 1 – g là mở rộng của f.
(ii) Cho M là giả nội xạ, thế thì theo 2.1.12, M(I – i) là M
i
– nội xạ, với mọi
I
i

. Theo (i) và hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ, nên
mỗi M
i

là tựa nội xạ. Theo 1.1.2.4, M là tựa nội xạ. ()
2.2. MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ CỐT YẾU
2.2.1. Định nghĩa Cho M, N là các mô đun. M được gọi là N – giả nội xạ cốt yếu
nếu với mọi môđun con A cốt yếu của N, với mọi đơn cấu
M
A
f

:
đều mở rộng
thành đồng cấu
M
N
g

:
. M được gọi là môđun giả nội xạ cốt yếu nếu M là M –
giả nội xạ cốt yếu.
2.2.2. Hệ quả M là N – giả nội xạ thì M là N – giả nội xạ cốt yếu. Điều ngược lại
không đúng.
Ví dụ 1: Cho p là một số nguyên tố. Z - môđun
2
Z p Z
không phải là
3
( )
Z Z p Z
 - giả nội xạ. Vì các đẳng cấu
3 2
:

i pZ p Z Z p Z
 không thể mở
rộng đến bất kỳ đồng cấu nào
3 2
Z Z p Z Z p Z
  , nhưng nó là
3
( )
Z Z p Z
 -
giả nội xạ cốt yếu.
2.2.3. Mệnh đề Cho M, N là các môđun và
N
M
X


. Các phát biểu sau là
tương đương:
(i) M là N – giả nội xạ cốt yếu.
(ii) Với bất kỳ phần bù K của M trong X sao cho
0


N
K
thì
X
K
M




Chứng minh.
( ) ( )
i ii

Gọi K là phần bù của M trong X sao cho
0


N
K
.
Và : , :
M N
M N M M N N
 
   

là các phép chiếu. Dễ thấy,


KMKM
N




, do K là phần bù trong X nên

e
M K X
 


e
N
K N

 
. Ta xác định đồng cấu




KK
MN




: như sau: với mỗi
K
k

thì
)
N
n
,

M
m
(
n
m
k




,


mn


. Do
0


N
K
nên
0
ker


. Vậy

là đơn

cấu và vì M là N – giả nội xạ cốt yếu nên

mở rộng thành đồng cấu
M
N
g

:
.
Đặt




NnngnT



: . Với
X
x

thì




TMngnngmnmx









T
M
X



. Với
T
M
y


thì


ngnmy





Mngmn





, do
0


N
M
nên n = 0
0


y
hay
0


T
M
. Vậy
T
M
X


. Mặt khác, theo
luật modular, thì
e
K T
 . Vì K là môđun con bù nên T = K.

( ) ( )
ii i

. Giả sử đã có (ii). Cho A là môđun con cốt yếu của N và
M
A
f

:
là
đơn cấu. Đặt




AaafaH



: . Hiển nhiên
0


N
H
. Ta cũng có


N
M H M H M A


    
. Do
e e
A N M A X
   
e
M H X
   .
Gọi K là phần bù của M trong X và chứa H. Do
e
M H X
  và theo luật modular
e
H K
 nên
0


N
K
. Theo giả thiết ta có
X
K
M


. Gọi
M
K

M


:

là
phép chiếu và
N

là thu hẹp của

trên N. Với mỗi
A
a

, thì












N
a a a f a f a f a

  
    
. Vậy
N

là mở rộng của f. ()
2.2.4. Mệnh đề Nếu M là N – giả nội xạ cốt yếu thì mọi hạng tử trực tiếp của M
cũng là N – giả nội xạ cốt yếu.
Chứng minh. Đặt
N
M
X


và M
o
là hạng tử trực tiếp của M. Khi đó
o
M M A
 
, với
A M

. Gọi K là phần bù của M
o
trong NM
o

sao cho
0



N
K
.
Do
e
o o
M K M N
  
, ta suy ra
e
o o
A M K A M N
    
hay
e
M K X
 
Theo cách xác định của K , ta cũng có K là môđun con bù của M trong X sao cho
0


N
K
. Theo 2.2.3, ta có
X
K
M



, suy ra NMKM
oo



. Cũng theo
2.2.3, M
o
là N – giả nội xạ cốt yếu. ()
Ví dụ tiếp theo cho thấy N là giả nội xạ cốt yếu nhưng tổng trực tiếp của các
môđun con của nó không phải là giả nội xạ cốt yếu.
Ví dụ 2: Cho F là một trường và
0
F F F
R
F

 

 
 
. Xét các R - môđun
0 0
F F F
N

 

 

 
,
1
0
0 0
F F
S

 

 
 
,
2
0
0 0
F F
S

 

 
 
thì S
1
và S
2
là các N- giả
nội xạ cốt yếu. Nhưng rõ ràng các ánh xạ đồng nhất của
1 2

S S


không thể mở rộng
đến một phần tử của
1 2
( , )
Hom N S S

. Do đó
1 2
S S

không là N- giả nội xạ cốt
yếu.
2.2.5. Mệnh đề Cho M, N là các môđun. Các phát biểu sau là tương đương:

(i) M là N – nội xạ.
(ii) M là LN – giả nội xạ cốt yếu, với mọi môđun con L của N.
Chứng minh:
( ) ( )
i ii

dựa theo kết quả của 1.1.2.2
( ) ( )
ii i

. Giả sử M là LN – giả nội xạ cốt yếu,
L N


. Đặt
N
M
X


và
A X

sao cho
0


M
A
. Gọi K là phần bù của M trong X chứa A. Đặt
N
K
T


. Theo 1.1.1.5,


e
M K K X K
 
nên



e
M K T X T
 
và
0


TNTK . Dễ thấy TK là phần bù của


TTM

trên TX . Theo giả
thiết, M là TN – giả nội xạ cốt yếu, và


TTMM


nên


TTM

là TN –
giả nội xạ cốt yếu. Theo 2.2.3, ta có


TXTKTTM




. Vậy
X
K
M


.
Theo 1.1.2.5, M là N– nội xạ.
2.2.6. Hệ quả M là nội xạ khi và chỉ khi M là N– giả nội xạ cốt yếu với mọi môđun
cyclic N.
Chứng minh: Với mọi môđun N, ta chứng minh M là N– nội xạ. Thật vậy, lấy
N
x


0
, ta có
\y N x
Rx N Ry

 
. Theo giả thiết, M là
Rx
– giả nội xạ cốt yếu nên
M là
RyN
x\Ny


– giả nội xạ cốt yếu. Theo 2.2.5, thì M là N– nội xạ. ()
2.2.7. Định lí Nếu
N
M

là N – giả nội xạ cốt yếu thì M là N – nội xạ.
Chứng minh: Đặt
N
M
X


và lấy
X
A

sao cho
0


M
A
. Gọi K là phần
bù của M trong X chứa A,
N
N
M


:


là phép chiếu.
Ta có


e
M K M K X

   
, từ đây ta suy ra


e
K N


, trong đó


KK


Gọi


KKf


: là đẳng cấu. Theo giả thiết,
f

mở rộng thành đồng cấu
X
N
g

:
. Ta có






e
K g K g N

 
, do K là môđun con bù trong X nên


NgK

và


NK


. Vậy
X

K
M


. Theo 1.1.2.5, M là N– nội xạ. ()
2.2.8. Hệ quả M là tựa nội xạ khi và chỉ khi
2
M
là M – giả nội xạ cốt yếu.
Kí hiệu E
N
(M) là môđun con của E(M) sinh bởi các đẳng cấu của N.
2.2.9. Mệnh đề M là N – giả nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi


MME
N

.
Chứng minh: Giả sử


MME
N

và
e
B N
 ,
M

B
f

:
là đơn cấu. Khi đó,
tồn tại đơn cấu


MENg

: sao cho fg
B
 . Theo giả thiết


g N M
 . Vậy g
là mở rộng của f cần tìm. Do đó, M là N– giả nội xạ cốt yếu.
Ngược lại, giả sử M là N– giả nội xạ cốt yếu. Lấy


MENh

: là đơn
cấu. Đặt


MhA
1
 , thế thì

e
A N
 . Vậy, theo giả thiết, thì
A
h mở rộng thành
đồng cấu
M
N

:

. Nếu tồn tại
N
n

sao cho




nnh


, thì




0




nnhx

Vì


e
M E M

, tồn tại
R
r

sao cho




Mrnrnhrx





0 . Do đó,


ArnMrnh




, điều này mâu thuẫn vì
AA
h

. Vậy


h
hay


N
E M M
 .
()
2.2.10. Hệ quả M là giả nội xạ cốt yếu khi và chỉ khi nó là bất biến với mọi đơn
cấu trong End(E(M)).
2.2.11. Hệ quả Cho


i
A là họ các môđun con của môđun N,


i
AB và M là
A
i

– giả nội xạ cốt yếu, với mỗi i. Khi đó M là B– giả nội xạ cốt yếu.
Chứng minh: Cho


MEBf

: là đơn cấu, thế thì






i
AfBf . Theo giả
thiết và 2.2.7 thì f(B) được chứa trong M và cũng theo 2.2.7 thì M là B – giả nội xạ
cốt yếu. ()
KẾT LUẬN
Luận văn đã đề cập và giải quyết được các vấn đề sau:
1. Khảo sát, nghiên cứu tính chất của các lớp môđun giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu,
chứng minh được một liên hệ giữa mô đun tựa nội xạ và giả nội xạ, giả nội xạ cốt
yếu.
2. Chứng minh được một số tính chất của môđun giả nội xạ
 Mọi môđun giả nội xạ đều thỏa mãn tính chất C
2
.
 Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là mô đun giả nội xạ.

1 2
M M


là giả nội xạ thì M
1
và M
2
là nội xạ lẫn nhau.
3. Chứng minh được một số tính chất của môđun giả nội xạ cốt yếu
Ngoài ra, trong quá trình thực hiện luận văn, chúng tôi nhận thấy một vài
hướng hấp dẫn chúng tôi còn tiếp tục nghiên cứu trong thời gian tới: Điều kiện nào
để một môđun là giả nội xạ, M là tựa nội xạ khi M là giả nội xạ và M
2
là CS, các
tính chất của môđun giả nội xạ và giả nội xạ cốt yếu tương tự nhau…
Lý thuyết mô đun là một lĩnh vực khá mới mẻ đối với bản thân tác giả do đó
trong quá trình tìm hiểu đề tài này tác giả gặp phải một số khó khăn. Những điều
trình bày trong khóa luận này chỉ là những kiến thức mà tác giả bước đầu tìm hiểu
qua sách báo, tài liệu nhằm bổ sung sự hiểu biết của bản thân trên con đường học
tập và tập sự làm công tác nghiên cứu toán.
Mặc dù đã rất cố gắng, song quá trình làm khóa luận không thể tránh khỏi
những thiếu sót, kính mong nhận được sự góp ý của thầy cô giáo và bạn đọc để
khóa luận được hoàn thiện hơn.