Bài tập tính tấm phẳng phương pháp phần tử hữu hạn

Bài tập 49
I- Tính tấm phẳng.
- Số liệu:
+ Kích thớc hình học: a = 3m.
+ Bề dày tấm: t = 10 cm = 0,1 m.
+ Vật liệu: E = 1,2.10
6
N/cm
2
= 1,2.10
7
kN/m
2
,
= 0,18.
+ Tải trọng: P = 20 kN/m,
q = 5 kN/m
2
.
Vậy tải trọng tác dụng lên toàn bộ bề dày tấm:
P = 2 kN,
q = 0,5 kN/m.
- Yêu cầu:
+ Chia kết cấu thành ít nhất 8 phần tử tam giác.
+ Tính chuyển vị các nút.
+ Xác định vectơ ứng suất trong các phần tử.
Bài làm
a
a
t
Hình vẽ đề bài

Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ. Chia kết cấu thành 8 phần tử tam giác, nh
vậy kết cấu có 9 nút. Lực phân bố q đợc phân tích thành 2 thành phần q
x
và q
y
với giá trị:
q
x
= q
y
= q.sin45
0
.
Rời tải trọng trên biên các phần tử về các nút.
C¸c phÇn tö ®Òu thuéc 1 trong 3 lo¹i sau ®©y:
- Lo¹i I (phÇn tö 1, 4), cã ma trËn ®é cøng:
[k]
I
=
437164.1 -182927 182926.8 -71310.5 -620091 254237.3
-182927 437164.1 71310.46 -182927 111616.4 -254237
182926.8 71310.46 437164.1 182926.8 -620091 -254237
-71310.5 -182927 182926.8 437164.1 -111616 -254237
-620091 111616.4 -620091 -111616 1240182 0
254237.3 -254237 -254237 -254237 0 508474.6
- Lo¹i II (phÇn tö 2, 5, 6, 8), cã ma trËn ®é cøng:
[k]
II
=
508474.6 0 -254237 -254237 -254237 254237.3

0 1240182 -111616 -620091 111616.4 -620091
-254237 -111616 437164.1 182926.8 -182927 -71310.5
-254237 -620091 182926.8 437164.1 71310.46 182926.8
-254237 111616.4 -182927 71310.46 437164.1 -182927
254237.3 -620091 -71310.5 182926.8 -182927 437164.1
- Lo¹i III (phÇn tö 3, 7), cã ma trËn ®é cøng:
[k]
III
=
437164.1 -182927 -254237 111616.4 -182927 71310.46
-182927 437164.1 254237.3 -620091 -71310.5 182926.8
-254237 254237.3 508474.6 0 -254237 -254237
111616.4 -620091 0 1240182 -111616 -620091
-182927 -71310.5 -254237 -111616 437164.1 182926.8
71310.46 182926.8 -254237 -620091 182926.8 437164.1
Ma trËn ®é cøng tæng thÓ: [K]
tt
=
437164.12 -182926.83 182926.83 -71310.46 -620090.95 25423 7.29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-182926.83 437164.12 71310.46 -182926.83 111616.37 -254237.29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
182926.83 71310.46 1748656.47 0 -874328.23 -365853.66 -365853.66 0 -874328.23 365853.66 182926.83 -71310.46 0 0 0 0 0 0
-71310.46 -182926.83 0 1748656.47 -365853.66 -874328.23 0 365853.66 365853.66 -874328.23 71310.46 -182926.83 0 0 0 0 0 0
-620090.95 111616.37 -874328.23 -365853.66 1748656.47 0 -254237.29 254237.29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
254237.29 -254237.29 -365853.66 -874328.23 0 1748656.47 111616. 37 -620090.95 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -365853.66 0 -254237.29 111616.37 1382802.81 0 -508474.58 -365853.66 0 0 0 0 -254237.29 254237.29 0 0
0 0 0 365853.66 254237.29 -620090.95 0 2114510.13 -365853.66 -1240181.89 0 0 0 0 111616.37 -620090.95 0 0
0 0 -874328.23 365853.66 0 0 -508474.58 -365853.66 3131459.28 0 -874328.23 -365853.66 -508474.58 365853.66 -365853.66 0 0 0
0 0 365853.66 -874328.23 0 0 -365853.66 -1240181.89 0 3863166. 6 -365853.66 -874328.23 365853.66 -1240181.89 0 365853.66 0 0
0 0 182926.83 71310.46 0 0 0 0 -874328.23 -365853.66 874328.23 365853.66 -182926.83 -71310.46 0 0 0 0
0 0 -71310.46 -182926.83 0 0 0 0 -3658 53.66 -874328.23 365853.66 874328.23 71310.46 182926.83 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 -508474.58 365853.66 -182926.83 71310.46 1382802.81 0 -508474.58 -365853.66 -182926.83 -71310.46
0 0 0 0 0 0 0 0 365853.66 -1240181.89 -71310.46 182926.83 0 2114510.13 -365853.66 -1240181.89 71310.46 182926.83
0 0 0 0 0 0 -254237.29 111616.37 -365853.66 0 0 0 -508474.58 -365853.66 1382802.81 0 -254237.29 254237.29
0 0 0 0 0 0 254237.29 -620090.95 0 365853.66 0 0 -365853.66 -1240181.89 0 2114510.13 111616.37 -620090.95
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -182926.83 71310.46 -254237.29 111616.37 437164.12 -182926.83
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -71310.46 182926.83 254237.29 -620090.95 -182926.83 437164.12
Ma trËn ®é cøng rót gän: [K] =
1748656 0 -254237 254237.3 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1748656 111616.4 -620091 0 0 0 0 0 0 0 0
-254237 111616.4 138280 3 0 -508475 -365854 0 0 -254237 254237.3 0 0
254237.3 -620091 0 2114510 -365854 -1240182 0 0 111616.4 -620091 0 0
0 0 -508475 -365854 3131459 0 -508475 365853.7 -365854 0 0 0
0 0 -365854 -12 40182 0 3863167 365853.7 -1240182 0 365853.7 0 0
0 0 0 0 -508475 365853.7 1382803 0 -508475 -365854 -182927 -71310.5
0 0 0 0 365853.7 -1240182 0 2114510 -365854 -1240182 71310.46 182926.8
0 0 -254237 111616.4 -365854 0 -50 8475 -365854 1382803 0 -254237 254237.3
0 0 254237.3 -620091 0 365853.7 -365854 -1240182 0 2114510 111616.4 -620091
0 0 0 0 0 0 -182927 71310.46 -254237 111616.4 437164.1 -182927
0 0 0 0 0 0 -71310.5 182926.8 254237.3 -620091 -182927 437164.1
Vectơ tải trọng nút:
P
1x
=
0.1875
P
1y
-0.1875
P
2x
0

P
2y
0
P
3x
0.375
P
3y
-0.375
P
4x
0.375
P
4y
-0.375
P
5x
0
P
5y
0
P
6x
0
P
6y
0
P
7x
0

P
7y
0
P
8x
0.375
P
8y
-0.375
P
9x
0.1875
P
9y
-2.1875
Giải hệ phơng trình:
[K]{} = {P} + {R}
trong đó [K], {}, {P} và {R} đã đợc rút gọn, ta đợc:
Vectơ chuyển vị nút:
u
1
=
0
v
1
0
u
2
0
v

2
0
u
3
0.0000019479
v
3
-0.0000034406
u
4
0.0000034451
v
4
-0.0000084776
u
5
-0.0000003618
v
5
-0.0000029284
u
6
0
v
6
0
u
7
-0.0000066126
v

7
-0.0000088712
u
8
0.0000009121
v
8
-0.0000178303
u
9
-0.0000092190
v
9
-0.0000320496
Thay các chuyển vị nút vào hệ phơng trình sau để xác định các phản lực:
{P} + {R} = [K]
pl
.{}
trong đó {P}, {R}, {} đã đợc rút gọn, [K]
pl
đợc lấy từ [K]
tt
:
[K]
pl
=
-620091 254237.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
111616.4 - 2 54237 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-874328 -365854 -365854 0 -874328 365853.7 0 0 0 0 0 0
-365854 -874328 0 365853.7 365853.7 -874328 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -874328 -365854 -182927 -71310.5 0 0 0 0
0 0 0 0 -365854 -874328 71310.46 182926.8 0 0 0 0
Giải hệ phơng trình này ta đợc:
Rx1 = -2.2700988302
Ry1 = 1.2796430733
Rx2 = -2.4598023396
Ry2 = 1.6219884682
Rx6 = 3.2299011698
Ry6 = 0.5983684586 (kN)
Để tính ứng suất trong phần tử ta sử dụng công thức sau:
{} = [S].{}
e
Trong đó: {}
e
- vectơ chuyển vị nút của phần tử,
[S] - ma trận tính ứng suất.
Ma trận tính ứng suất của phần tử loại I:
[S]
I
=
-8267879 1488218 -8267879 -1488218 16535759 0
-1488218 8267879 -1488218 -8267879 2976437 0
3389831 -3389831 -3389831 -3389831 0 6779661
Ma trận tính ứng suất của phần tử loại II:
[S]
II
=
0 2976437 -8267879 -1488218 8267879 -1488218
0 16535759 -1488218 -8267879 1488218 -8267879
6779661 0 -3389831 -3389831 -3389831 3389831

Ma trận tính ứng suất của phần tử loại III:
[S]
III
=
-8267879 1488218 0 -2976436.54 8267879 1488218
-1488218 8267879 0 -16535758.6 1488218 8267879
3389831 -3389831 -6779661 0 3389831 3389831
Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 1:
σ
x
=
32.2099433156
σ
y
5.7977897968
τ
xy
-23.32602549
Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 2:
30.8598125840
18.3260254900
-27.2099433156
Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 3:
24.5835743096
-16.5419649232
-14.6063971576
Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 4:
-5.9822799645
-1.0768103936
-19.8532504587

Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 5:
-50.1862588980
15.0824771640
-10.1089085399
Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 6:
16.1924728564
33.3421654432
-29.0234665258
Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 7:
6.0433730729
-23.0417222426
-3.8180379031
Vect¬ øng suÊt trong phÇn tö 8:
-13.7206372760
39.6126960574
-18.7206372760