skkn Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần

Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
MỤC LỤC
1. TÓM TẮT ĐỀTÀI Trang 2
2. GIỚI THIỆU Trang 2
3. PHƯƠNG PHÁP Trang 3
3.1. Khách thể nghiên cứu Trang 3
3.2. Thiết kế nghiên cứu Trang 3
3.3. Quy trình nghiên cứu Trang 4
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu Trang 4
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ Trang 4
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Trang 6
TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 7
PHỤ LỤC CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN Trang 8
PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA MỘT TIẾT Trang 20
PHỤ LỤC BẢNG ĐIỂM Trang 25
BẢNG ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC Trang 28
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 1 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
1. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đại học, cao đẳng, trung
cấp chuyên nghiệp của các năm, bài toán tính tích phân hầu như không thể thiếu
nhưng đối với học sinh phổ thông bài toán tích phân là bài toán khó và đặc biệt
khó hơn là bài toán tích phân từng phần.
Học sinh đã cảm thấy khó ngay từ khi học công thức tích phân từng phần,
học sinh cảm thấy rất lúng túng không phân biệt được bài toán tích phân từng phần
cũng như khi đã xác định được là bài toán tích phân từng phần thì lại không biết
đặt như thế nào hợp lý. Các em loay hoay đặt thử cách này cách khác và dĩ nhiên
rất mất thời gian, các em thiếu tự tin ngay cả khi mình giải ra được đáp số.
Trước thực trạng đó, trong quá trình giảng dạy, tôi đã hướng dẫn học sinh
nhận dạng bài toán tích phân từng phần và cách giải đơn giản dễ nhớ từ đó giúp
học sinh hứng thú hơn khi học tích phân và giải được bài toán tích phân từng phần

với độ chính xác cao.
Giải pháp này được tiến hành trên hai lớp: lớp 12B4 (lớp thực nghiệm) và
12B5 (lớp đối chứng) trường THPT Lộc Hưng. Lớp thực nghiệm thực hiện giải
toán có hướng dẫn học sinh nhận dạng cùng cách đặt đơn giản dễ nhớ. Lớp đối
chứng thực hiện theo công thức định nghĩa chỉ với lưu ý đặt sao cho tích phân sau
đơn giản hơn tích phân ban đầu.
Kết quả cho thấy: tác động của giải pháp này có ảnh hưởng lớn đến kết quả
học tập của học sinh, lớp thực nghiệm đã đạt kết quả cao hơn so với lớp đối chứng.
Điểm bài kiểm tra đầu ra của lớp thực nghiệm là 7,285714; lớp đối chứng là
5,742857. Kết quả kiểm chứng t-test cho thấy p = 0,00037797 < 0,001 có nghĩa là
có sự khác biệt lớn giữa điểm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. Điều đó cho
thấy rằng việc giải bài toán tính tích phân từng phần bằng hướng dẫn đặt đơn giản
giúp học sinh nhận được dạng và giải được bài toán chính xác
2. GIỚI THIỆU
Tích phân từng phần là dạng toán hay đòi hỏi người học phải có tư duy cao,
phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục. Đây là dạng toán nằm
trong chương trình thi tốt nghiệp cũng như thi đại học – cao đẳng.
Khi học phần này học sinh thường gặp khó khăn không biết xác định đây có
phải là bài toán tích phân từng phần không và cách đặt như thế nào là đúng
Giải pháp thay thế:
Khi dạy về phần này ngay từ định nghĩa giáo viên hướng dẫn học sinh nhận
dạng biểu thức dưới dấu tích phân là tích của hai hàm và thử xem có giải được
bằng cách đổi biến không. Nếu đã khẳng định bài toán tích phân từng phần thì áp
dụng thứ tự ưu tiên khi đặt
“mũ – lượng – đa – lốc”
dv u
Ở mỗi ví dụ giáo viên giúp học sinh xác định lí do giải bài toán bằng tích
phân từng phần và cách đặt cụ thể, sắp xếp ví dụ cùng dạng, giáo viên soạn bài tập
về nhà từ dễ đến khó có hướng dẫn đối với bài khó, có đáp án; kiểm tra tập bài
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 2 -

Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
làm, phát hiện và chỉnh sửa kịp thời cho học sinh từ đó giúp hình thành thói quen
cho học sinh giải bài toán.
Vấn đề nghiên cứu: Giải pháp “Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học
sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần”
Giả thiết nghiên cứu: Sử dụng cách nhớ ngắn gọn khi giải bài toán tích
phân từng phần sẽ nâng cao kết quả học tập của HS lớp 12 trường THPT Lộc
Hưng.
3. PHƯƠNG PHÁP
3.1. Khách thể nghiên cứu
Chúng tôi lựa chọn hai lớp 12B4 và 12B5 vì có những thuận lợi cho việc áp
dụng giải pháp này.
- Giáo viên: Hai giáo viên dạy lớp có tuổi nghề tương đương, có lòng yêu nghề,
có tinh thần trách nhiệm đối với giảng dạy và giáo dục HS.
1. Nguyễn Thị Phương Toàn – GV dạy lớp 12B4 (lớp thực nghiệm)
2. Huỳnh Nguyễn Hữu Thanh – GV dạy lớp 12B5 (lớp đối chứng)
- Học sinh: Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu cũng có nhiều điểm tương
đồng; cụ thể: hầu hết các em này có học lực trung bình yếu, hay quên, thiếu ý thức
học tập, kỹ năng tính toán yếu.
3.2. Thiết kế nghiên cứu
- Lựa chọn thiết kế: kiểm tra trước và sau tác động với hai lớp tương đương.
- Chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm tra cho
thấy điểm trung bình của hai lớp 12B4 và 12B5 có sự tương đương nhau.Chúng tôi
dùng phép kiểm chứng T-Test độc lập để kiểm chứng sự tương đương điểm số
trung bình của hai lớp trước khi tác động.
 Bảng kiểm chứng để xác định hai lớp tương đương:
Thực nghiệm (Lớp 12B4) Đối chứng (Lớp 12B5)
Trung bình cộng
5,1428571 5,17142857
P

1
=
0,948741
P
1
= 0,948741 > 0.05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai
lớp thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai lớp được coi là tương
đương.
 Thiết kế nghiên cứu:
Lớp
Kiểm tra
trước
tác động
Tác động
Kiểm tra
sau
tác động
Thực nghiệm (Lớp 12B4) O1
Dạy học có hướng
dẫn học sinh nhận
dạng và cách nhớ
ngắn gọn
O3
Đối chứng (Lớp 12B5) O2
Dạy học theo sách
giáo khoa, dùng công
thức tính
O4
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 3 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014

Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập.
3.3. Quy trình nghiên cứu:
 Chuẩn bị bài dạy của giáo viên:
- Giáo viên dạy Toán lớp 12B5 là lớp đối chứng sửa bài tập trong sách giáo
khoa chỉ dùng công thức.
- Giáo viên dạy Toán lớp 12B4 là lớp thực nghiệm, dạy học kết hợp công
thức, giúp học sinh nhận dạng đưa ra cách nhớ ngắn gọn, sắp xếp bài tập
theo dạng từ dễ đến khó, có bài tập tương tự có đáp án giúp học sinh tự
luyện.
 Tiến hành dạy thực nghiệm:
Tuân theo kế hoạch giảng dạy của nhà trường và thời khóa biểu để đảm bảo
tính khách quan:
Với lớp đối chứng dạy chính khoá và tăng tiết bình thường (dùng công thức
giải), còn lớp thực nghiệm ở định nghĩa cũng như ví dụ tôi đều giúp học sinh nhận
dạng, nêu rõ lí do vì sao ta phải đặt như vậy sau đó cho bài tập sắp xếp từ dễ đến
khó các bài giống dạng gần nhau rồi đến tiết tăng tiết tôi giải thêm ví dụ, ôn lại các
dạng bài tập và sửa bài tập cho các em.
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu:
- Bài kiểm tra trước tác động do giáo viên nhóm Toán lớp 12 của trường THPT
Lộc Hưng thống nhất.
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong bài tích phân và
bài tập ôn chương cũng do nhóm giáo viên trên ra đề kiểm tra. Kiểm tra bằng
hình thức tự luận, nội dung gồm 4 bài tập: tính tích phân bằng phương pháp
tích phân từng phần, 1 bài ở mức độ nhận biết, 2 bài thông hiểu, 1 bài vận
dụng.
 Tiến hành kiểm tra và chấm bài
- Sau khi thực hiện dạy xong các nội dung đã nêu ở trên, chúng tôi tiến hành bài
kiểm tra 1 tiết (nội dung kiểm tra như đã trình bày ở trên).
- Sau đó 2 giáo viên tiến hành chấm bài theo hướng dẫn đã thiết kế.
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ

4.1 PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
 Bảng so sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động:
Thực nghiệm (Lớp 12B4) Đối chứng (Lớp 12B5)
ĐTB 7,285714 5,742857
Độ lệch chuẩn
1,582467 1,852548
Giá trị P của T - test 0,00037797
Chênh lệch giá trị TB
chuẩn(SMD)
0,83282994
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 4 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 lớp thực hiện trước tác động là tương
đương.Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T – test cho kết quả
P = 0, 00037797, cho thấy: sự chênh lệch kết quả ĐTB lớp thực nghiệm và lớp
đối chứng rất có ý nghĩa, tức là sự chênh lệch kết quả ĐTB lớp thực nghiệm cao
hơn ĐTB lớp đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả đạt được của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =
7,285714 5,742857
0,83282994
1,852548
−
≈
. Điều đó cho thấy mức độ ảnh hưởng của
dạy học có hướng dẫn học sinh cách nhớ ảnh hưởng đến kết quả học tập của lớp
thực nghiệm là rất lớn.
Giả thuyết của đề tài “Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp
12B4 học tốt tích phân từng phần” đã được kiểm chứng và kết quả đạt được rất
khả quan góp phần làm nâng cao dần chất lượng bộ môn của trường THPT Lộc
Hưng.

Biểu đồ so sánh điểm trung bình trước tác động và sau tác động của lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng
4.2. BÀN LUẬN
Qua kết quả của bài kiểm tra sau tác động: lớp thực nghiệm có TBC =
7,285714 còn lớp đối chứng có TBC = 5,742857. Ta tính được độ chênh lệch điểm
số giữa hai lớp là 1.542857. Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và
thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn
nhiều so với lớp đối chứng.Và chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm
tra là SMD = 0,83282994. Từ đó cho thấy việc tác động này có ảnh hưởng rất lớn
đến kết quả học tập.
Phép kiểm chứng T – test ĐTB sau tác động của hai lớp là
p = 0,00037797 < 0,001. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai lớp
thực nghiệm và đối chứng không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động có ảnh
hưởng rất lớn đến kết quả. Điều này góp phần giúp cho học sinh yêu thích toán
hơn, giúp các em thấy được việc giải toán tích phân cũng như tính tích phân từng
phần không có gì đáng sợ.
Hạn chế:
Đề tài “Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích
phân từng phần” là một trong những giải pháp rất hữu hiệu góp phần nâng cao
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 5 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
dần chất lượng bộ môn Toán của trường THPT Lộc Hưng và một số trường THPT
vùng sâu khác nhưng để sử dụng có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên cần có
lòng yêu nghề, hết lòng với học sinh uốn nắn kịp thời những sai sót của học sinh.
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
5.1. Kết luận:
Trên đây là bài viết về “Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4
học tốt tích phân từng phần” tiến hành giảng dạy có hiệu quả đối với học sinh lớp
12B4 của trường. Khi áp dụng giải pháp này học sinh có thể giải được các bài tập

tính tích phân, biết nhận dạng và áp dụng công thức tính tích phân từng phần với
độ chính xác cao.
5.2. Khuyến nghị:
- Đối với các cấp lãnh đạo:
+ Về phía Sở Giáo Dục: nên mở rộng các đề tài đã đạt giải để các giáo viên
vùng sâu, vùng xa chúng tôi học hỏi kinh nghiệm, áp dụng để dạy tốt hơn.
+ Về phía nhà trường: hỗ trợ mua các loại sách tham khảo có các chuyên đề
về tích phân để các em HS có thể tham khảo, học tập tốt hơn.
- Đối với giáo viên:
+ Tích cực nghiên cứu tài liệu, trao đổi kinh nghiệm dạy học từ đồng nghiệp.
+ Những bài tập đưa ra cho HS phải từ dễ đến khó, có hệ thống, phân dạng để
HS nắm chắc từng dạng bài.
+ Hướng dẫn học sinh nhận dạng, nhận biết loại hàm, chỉ ra cái sai nếu đặt
không đúng và quan trọng hơn là học sinh phải học thuộc bảng nguyên hàm của
một số hàm thường gặp, phân biệt khi nào dùng nguyên hàm khi nào dùng đạo
hàm.
+ Kiểm tra thường xuyên, có hiệu quả phần chuẩn bị bài tập về nhà của HS,
khuyến khích, chỉ dẫn các em cách học nhóm
- Do năng lực và thời gian có hạn, đề tài chưa có nhiều bài tập, bài tập chưa hay,
chưa thực sự điển hình nhưng thấy tính hiệu quả, thiết thực của đề tài nên giới
thiệu với quý thầy cô và các em học sinh. Rất mong nhận được sự đóng góp của
quý thầy cô, của Ban giám hiệu nhà trường để đề tài này được hoàn chỉnh hơn, góp
phần nâng cao chất lượng bộ môn, nâng cao hơn nữa kết quả học tập của học sinh
qua các kỳ thi.
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 6 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12 chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục.
2. Sách Bài tập giải tích 12 chương trình chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo
dục.

3. Sách giáo viên Toán 12 chương trình chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo
dục.
4. Đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng các năm.
5. Mạng Internet: thuvientailieu.bachkim.com.
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 7 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
PHỤ LỤC
CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN
Bài toán dùng phương pháp tính tích phân từng phần
Dựa trên công thức
( ) '( )
b
a
u x v x dx
∫

( ( ) ( )) '( ) ( )
b
b
a
a
u x v x u x v x dx= −
∫
Hay
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫

Giáo viên lưu ý học sinh khi gặp bài toán sử dụng công thức tích phân từng
phần ta phải chọn u, dv sao cho:
- du đơn giản, v dễ tính
- Tích phân sau
b
a
vdu
∫
phải đơn giản hơn tích phân cần tính
b
a
udv
∫
.
Đối với học sinh yếu chắc chắn các em sẽ gặp lúng túng, khó khăn: trước hết
em không biết nhận dạng, nếu có phát hiện bài toán tích phân từng phần các em
không biết đặt ra sao.
Vì vậy tôi đưa ra cách giúp học sinh nhận dạng bài toán tích phân từng phần:
+ Biểu thức dưới dấu tích phân là tích hai hàm.
+ Ta kiểm tra xem có làm được bằng phương pháp đổi biến số không
+ Nếu đã khẳng định dùng phương pháp tích phân từng phần ta áp dụng thứ
tự ưu tiên khi gặp:
“mũ – lượng – đa – lốc”
dv u
GV giải thích: mũ là nói tắt của hàm số mũ, lượng là hàm số lượng giác, đa
là hàm đa thức (có thể là hàm phân thức), lốc là hàm lôgarit. Nếu đề bài chứa hàm
số lôgarit thì ta ưu tiên đặt cho u, nếu không có hàm lôgarit thì mới xét ưu tiên kế
tiếp cho hàm đa thức và tương tự đối với dv.
Lần lượt giáo viên cho ví dụ để học sinh nắm vững thứ tự ưu tiên đã nêu.

Ví dụ 1: Tính I
1
=
2
1
4 lnx xdx
∫
(HKII 2008 - 2009)
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng biểu thức dưới dấu tích phân là tích của
hàm đa thức 4x và hàm lốc là lnx. Nên theo thứ tự ưu tiên ta đặt u = lnx còn lại
là dv với lí do là trong bảng nguyên hàm ta không có nguyên hàm của lnx
Đặt
2
1
ln
4
2
du dx
u x
x
dv xdx
v x

=
=


⇒
 

=


=

Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 8 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
I
1
=
2
1
4 lnx xdx
∫
=
( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2
1
1 1
1
2 ln 2 2 ln 8ln 2 3x x xdx x x x− = − = −
∫
Ví dụ 2: Tính I
2
=
( )
2

2
1
ln
e
x x xdx+
∫

Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng biểu thức dưới dấu tích phân là tích của
hàm đa thức x
2
+ x và hàm lốc là lnx. Nên theo thứ tự ưu tiên ta đặt u = lnx
còn lại là dv.
Đặt
( )
2
3 2
1
ln
3 2
du dx
u x
x
dv x x dx
x x
v

=
=



 
⇒
 
= +



= +


I
2
=
( )
2
2
1
ln
e
x x xdx+
∫


2
2
2
2
3 2 2
1

1
3 2 3 2
1
1
6 4
ln
3 2 3 2
ln
3 2 9 4
5 3 13
9 4 36
e
e
e
e
x x x x
x dx
x x x x
x
e e
 
   
= + − +
 
 ÷  ÷
   
 
 
   
= + − +

 
 ÷  ÷
   
 
= + +
∫
Ví dụ 3: Tính I
3
=
( )
3
2
2
ln x x dx−
∫
(ĐHKD – 2004)
Giải:
Giáo viên hướng dẫn đây là bài toán dùng tích phân từng phần vì nếu đổi biến
thì sẽ không chuyển tích phân cần tính về theo biến mới được. Biểu thức dưới dấu
tích phân chứa lốc nên ta
Đặt
( )
2
2
2 1
ln
x
u x x
du dx
x x

dv dx
v x
−


= −
=
 
⇒
−
 
=



=

I
3
=
3
3
2
2
2
2 1
ln( )
1
x
x x x dx

x
−
− −
−
∫
=
3
3
2
2
2
1
ln( ) 2
1
x x x dx
x
 
− − +
 ÷
−
 
∫
= 3ln3 – 2
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 9 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
Ví dụ 4 : Tính I
4
=
2
3

1
ln x
dx
x
∫
(ĐHKD – 2008)
Giải:
Đặt
3
2
1
ln
1
2
u x
du dx
x
dx
dv
v
x
x

=
=


 
⇒
 

=
 
= −



I
4
=
2 2 2
2 2
3 2 3 2 2
1 1 1
1 1
ln ln ln 1 3 2ln 2
2 2 2 4 16
x x dx x
dx
x x x x x
− − −
= + = − =
∫ ∫
Ví dụ 5: Tính I
5
=
( )
3
2
1
3 ln

1
x
dx
x
+
+
∫
(ĐHKB – 2009)
I
5
=
( )
3
2
1
3 ln
1
x
dx
x
+
+
∫
=
( ) ( )
3 3
2 2
1 1
3 ln
3

1 1
x
dx dx A B
x x
+ = +
+ +
∫ ∫
Tính A =
( )
3
3
2
1
1
1 1 1
1 4
1
dx
x
x
= − =
+
+
∫
B =
( )
3
2
1
ln

1
x
dx
x +
∫
Đặt
2
1
ln
1
(1 )
1
u x
du dx
x
dx
dv
v
x
x

=

=

 
⇒
 
=
 

= −
+


+

⇒
B =
( )
3
2
1
ln
1
x
dx
x +
∫
=
3
3 3
1
1 1
ln ln3 1 1
1 ( 1) 4 1
x dx
dx
x x x x x
− −
 

+ = + −
 ÷
+ + +
 
∫ ∫
3
1
ln3 3ln3
ln ln2
4 1 4
x
x
−
= + = −
+
Vậy I
5
=
3 3ln3
ln2
4 4
+ −
Ví dụ 6: Tính I
6
=
1
3
2 ln
e
x xdx

x
 
−
 ÷
 
∫
(ĐHKD – 2010)
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 10 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
I
6
=
1
3
2 ln
e
x xdx
x
 
−
 ÷
 
∫
=
1 1
ln
2 ln 3 2 3
e e
x
x xdx dx A B

x
− = −
∫ ∫
Tính A =
1
ln
e
x xdx
∫
Đặt
2
1
ln
2
du dx
u x
x
dv xdx
x
v

=

=


⇒
 
=



=


2
1
1
ln 1
2 2
e
e
x x
A xdx⇒ = −
∫
=
2
1
4
e +
Tính B =
1
ln
e
x
dx
x
∫
Đặt t = lnx
1
dt dx

x
⇒ =
Đổi cận x = 1, t = 0; x = e, t = 1
B =
1
1
2
0
0
1
2 2
t
tdt = =
∫
Do đó I
6
= 2
2
1
4
e +
-
3
2
=
2
2
2
e −
Ví dụ 7: Chẳng hạn: I

7
=
3 2
1
ln
e
x xdx
∫
(ĐHKD – 2007)
Đặt
2
4
3
1
2 ln
ln
4
du xdx
u x
x
x
dv x dx
v

=


=
 
⇒

 
=



=


I
7
=
3 2
1
ln
e
x xdx
∫
4
2 3
1
1
1
(ln . ) ln
4 2
e
e
K
x
x x xdx= −
∫

14 2 43
Tính K =
3
1
ln
e
x xdx
∫
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 11 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
Đặt
3
4
1
ln
4
du dx
u x
x
dv x dx
x
v

=

=


⇒
 

=


=


K =
3
1
ln
e
x xdx
∫
4 3
1
1
(ln . )
4 4
e
e
x x
x dx= −
∫

4 4 4
1 3 1
4 16 16 16 16
e e e
 
= − − = +

 ÷
 
Do đó I
7
=
4
5 1
32
e −
Nhận xét: do không có công thức nguyên hàm của lnx nên mục đích đặt là
khử lnx, nên số lần tính tích phân phụ thuộc vào số mũ của lnx
GV chốt lại các ví dụ trên là tích của hàm đa thức (có thể là hàm phân thức) và
hàm lôc nên ta phải đặt u = lốc và dv là hàm đa thức (hoặc hàm phân thức)
Bài tập tự luyện: 1. Tính M =
1
2
0
ln( 1)
( 2)
x
dx
x
+
+
∫
.
Hướng dẫn đặt
( )
2
ln( 1)

2
u x
dx
dv
x
= +



=

+

. Kết quả:
1 4
ln2 ln
3 3
− +
2. Tính N =
2
1
( ln )
e
x x dx
∫
. Kết quả:
3
5 2
27
e −

3. Tính P =
2
0
cos ln(1 cos )x x dx
π
+
∫
.
Hướng dẫn đặt
ln(1 cos )
cos
u x
dv xdx
= +


=

. Kết quả:
1
2
π
−
4. Tính Q =
( )
1
3
0
2 1 ln( 1)x x dx− +
∫

.
Hướng dẫn đặt
2 2
3
3 2
2
3 3
ln( 1)
1 ( 1)( 1)
(2 1)
1
x x
du dx dx
u x
x x x x
dv x dx
v x x

= =

= +

+ + − +
⇒
 
= −


= − +


.
Kết quả:
3
2ln 2
2
−
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 12 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
Ví dụ 8: Tính
2
8
0
(2 1)cos ( 2008)I x xdx TN
π
= −
∫
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng bằng cách nhận xét biểu thức dưới dấu
tích phân là tích của hàm đa thức 2x – 1 và hàm lượng giác cosx. Do đó dựa vào
thứ tự ưu tiên
Ta đặt
2 1 2
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= − =
 
⇒
 
= =

 
Do đó:
2 2
2
8
0
0 0
(2 1)cos (2 1)sin 2 sinI x xdx x x xdx
π π
π
= − = − −
∫ ∫
2 2
0 0
(2 1)sin 2cos 3x x x
π π
π
= − + = −
Nếu đặt ngược lại:
2
sin
cos
(2 1)
du xdx
u x
dv x dx
v x x
= −
=



⇒
 
= −
= −


2
2 2
2
8
0
0
( )cos ( )sinI x x x x x xdx
π
π
⇒ = − + −
∫
Rõ ràng tích phân
2
2
0
( )sinx x xdx
π
−
∫
phức tạp hơn I
8
nên ta phải đặt theo thứ
tự ưu tiên như đã giải

Ví dụ 9: Tính I
9
=
2
2
0
sinx xdx
π
∫

Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng bằng cách nhận xét biểu thức dưới dấu
tích phân là tích của hàm đa thức x
2
và hàm lượng giác sinx.
Đặt
2
2
cos
sin
du xdx
u x
v x
dv xdx
=

=

⇒
 

= −
=


Do đó I
9
=
2
2
0
sinx xdx
π
∫
=
2
2
0
cosx x
π
−
+
2
0
2 cosx xdx
π
∫
Ta thấy J =
2
0
cosx xdx

π
∫
đơn giản hơn I
9
nhưng vẫn còn là tích của hàm đa
thức và hàm lượng giác nên tiếp tục tính tích phân từng phần
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
 
⇒
 
= =
 
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 13 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
J =
2
0
cosx xdx
π
∫
=
2
2 2 2
0 0 0
0
sin sin sin cos 1

2
x x dx x x x
π
π π π
π
− = + = −
∫
Nên I
9
=
2
π
−
Ví dụ 10: Tính I
10
=
3
2
0
1 sin
cos
x x
dx
x
π
+
∫
(ĐHKB – 2011)
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng bằng cách nhận xét biểu thức dưới dấu

tích phân là tích của hàm đa thức x và hàm lượng giác nhưng ta phải tách ra
thành tổng hai tích phân.
I
10
=
3
2
0
1 sin
cos
x x
dx
x
π
+
∫
=
3 3
2 2
0 0
1 sin
cos cos
x x
dx dx A B
x x
π π
+ = +
∫ ∫
Tính A =
3

3
2
0
0
1
tan 3
cos
dx x
x
π
π
= =
∫
Tính B =
3
2
0
sin
cos
x x
dx
x
π
∫
Đặt
2
sin 1
cos cos
u x du dx
x

dv dx v
x x
= =
 
 
⇒
 
= =
 
 
B =
3
0
cos
x
x
π
-
3
0
1
cos
dx
x
π
∫
=
2
3
I

π
−
Với I =
3
0
1
cos
dx
x
π
∫
Đặt t =sinx, dt = cosxdx
Đổi cận x = 0, t = 0; x =
3
,
3 2
t
π
=
I =
3
3 3
2
2 2
0 0 0
1 cos
cos 1 sin 1
x dt
dx dx
x x t

π π
= = −
− −
∫ ∫ ∫

=
3
2
0
1 1
ln ln(2 3)
2 1
t
t
−
− = − −
+
2
ln(2 3)
3
B
π
⇒ = + −
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 14 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
Do đó I
10
=
2
3 ln(2 3)

3
π
+ + −
Ví dụ 11: Tính I
11
=
4
0
(1 sin2 )x x dx
π
+
∫
(ĐHKD – 2012)
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng bằng cách nhận xét biểu thức dưới dấu
tích phân là tích của hàm đa thức x và hàm ( 1+ sin 2x) ta có thể áp dụng cách
nhớ tính tích phân từng phần bằng cách đặt

cos2
(1 sin2 )
2
du dx
u x
x
dv x dx
v x
=

=



⇒
 
= +
= −



Hoặc giải bằng cách tách thành tổng hai tích phân
I
11
=
4 4
0 0
sin 2xdx x xdx
π π
+
∫ ∫
=
2 2
4
0
2 32
x
I I
π
π
+ = +
Tính I =
4

0
sin 2x xdx
π
∫
Đặt
cos2
sin 2
2
du dx
u x
x
dv xdx
v
=

=


⇒
 
=
= −



I =
4
4
4
0

0
0
sin 2
cos2 cos2 1
2 2 4 4
x
x x x
dx
π
π
π
− + = =
∫
Do đó I
11
=
2 2
1 8
32 4 32
π π
+
+ =
Ví dụ 12: Tính I
12
=
( )
2
2
0
2 1 osx c xdx

π
−
∫
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng bằng cách nhận xét biểu thức dưới dấu
tích phân là tích của hàm đa thức 2x – 1 và hàm lượng giác
2
cos x
. Nhưng ta
không thể giải ngay được vì nếu theo thứ tự ưu tiên ta đặt dv = cos
2
xdx và việc tìm
v rất khó khăn. Do đó ta phải dùng công thức biến đổi trước
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 15 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
I
12
=
( ) ( )
2 2
2
0 0
1 os2x
2 1 os 2 1
2
c
x c xdx x dx
π π
+
 

− = −
 ÷
 
∫ ∫
( )
2 2
0 0
1 1
2 1 os2xdx
2 2
x dx x c
π π
 
= − + −
 ÷
 
∫ ∫
• Tính :
2
2
2
0
1 1 1 1
2
2 2 2 2 4 2
0
x dx x x
π
π
π π

 
   
− = − = −
 ÷
 ÷  ÷
   
 
∫
• Tính : H =
( )
2
0
2 1 os2xdxx c
π
−
∫
Ta đặt
2
2 1
1
cos2
sin 2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
=

= −



⇒
 
=
=



H =
( )
2
0
2 1 os2xdxx c
π
−
∫
=
( )
2
2 2
0 0
0
1 1
2 1 sin 2 sin2 cos2 1
2 2
x x xdx x
π
π π
− − = = −

∫
Vậy I
12
=
2
1
2 4 2
π π
 
−
 ÷
 
-
1
2
Ví dụ 13: Tính I
13
=
2
0
sin cos2x x xdx
π
∫
=
( )
2
0
3 sin
2
x

sin x x dx
π
−
∫
Giải:
Đặt
( )
1
2
2
1
sin3 sin
cos3 cos
3
x
du dx
u
dv x x dx
v x x


=

=
 
⇒
 
 
= −
= − +




2
2
13
0
0
1 1 1
cos3 cos cos3 cos
2 3 2 3
x
I x x x x dx
π
π
−
   
= + − − +
 ÷  ÷
   
∫
= 0 +
2
0
1 1 5
sin3 sin
18 2 9
x x
π
 

− = −
 ÷
 
GV chốt lại từ ví dụ 8 đến ví dụ 13 là tích phân của tích hàm đa thức và
hàm lượng giác ta đặt u là hàm đa thức và dv là hàm lượng giác vì nếu đặt ngược
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 16 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
lại khi áp dụng công thức
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
thì
b
a
vdu
∫
sẽ phức tạp hơn
b
a
udv
∫
và
dĩ nhiên là tính tiếp không được.
Bài tập tự luyện:
1.
2
0

(2 sin )I x x dx
π
= +
∫
Kết quả
2
1
4
π
+
2.
2
0
sinJ x xdx
π
=
∫
Hướng dẫn đổi biến đặt t =
x
sau đó tích bằng
tích phân từng phần. Kết quả
2
2 8
π
−
3.
4
0
1 cos2
x

K dx
x
π
=
+
∫
Kết quả:
1
ln2
8 4
π
−
4.
6
2
0
sin cosL x x xdx
π
=
∫
Kết quả:
3 11
48 72
π
−
+
Ví dụ 14: Tính I
14
=
( )

1
2
0
1
x
x e dx+
∫
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng đây là tích của hàm đa thức (x+ 1)
2
và
hàm mũ e
x
nên ta đặt
( )
2
2 1
( 1)
x
x
du x dx
u x
dv e dx
v e
 = +

= +
 
⇒
 

=
=




Do đó:
( ) ( )
1
1
2
14
0
0
1 2 1
x x
I x e x e dx= + − +
∫
Tiếp tục tính tích phân từng phần
( ) ( )
1
1 1
0 0
0
1 1
x x x
x e dx x e e e+ = + − =
∫
Vậy I
14

=2e – 1
Ví dụ 15: Tính I
15
=
2
1
3
0
x
x e dx
∫
(Dự bị 1 Khối D - 2003)
Giải:
Đặt
2
2
2
2
1
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv xe dx
=


=

 
⇒
 
=
=




Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 17 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
Do đó I
15
=
2
1
3
0
x
x e dx
∫
=
2 2 2
1 1
1
2
0 0
0
1 1 1 1
2 2 2 2

x x x
x e xe dx e e− = − =
∫
Ví dụ 16: Tính I
16
=
0
1
.2
x
x dx
−
∫
Đặt
2
2
ln2
x
x
du dx
u x
dv dx
v
=

=


⇒
 

=
=



Do đó
I
16
=
0
0
0
2 2 2
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1
.2 2 2
ln2 ln 2 2.ln 2 ln 2 2.ln2 ln 2 2.ln 2
x x x
x dx
−
−
−
− = − = − +
∫
Giáo viên chốt lại từ ví dụ 14 đến ví dụ 16 biểu thức dưới dấu tích phân là tích
của hàm đa thức và hàm mũ nên ta đặt u là hàm đa thức, dv là hàm mũ
Bài tậptự luyện: 1.
2

2
0
(3 4).
x
x e dx
−
−
∫

Hướng dẫn: Ñaët
2
3 4
x
u x
dv e dx
−
= −


=

Kết quả
4
7 5
4
e
−
− −
2.
1

2 2
0
( 1).
x
x e dx+
∫
. Hướng dẫn tích phân từng phần 2 lần Kết quả
2
3 3
2
e −
3.
ln3
0
1
x
x
xe
dx
e +
∫

Hướng dẫn: Ñaët
2 1
1
x
x
x
u x
du dx

e
dv dx
v e dx
e
=

=

 
⇒
 
=
= +



+

Kết quả
6ln3 8 4 2 4ln( 2 1− + + −
)
Ví dụ 17: Tính I
17
=
2
0
.cos
x
e xdx
π

∫
Gi ải:
Đặt
cos sin
x x
u e du e dx
dv xdx v x
 
= =
⇒
 
= =
 
Do đó
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 18 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
I
17
=
2
2
0
0
.sin sin
x x
e x e xdx
π
π
−
∫

Tính I =
2
0
.sin
x
e xdx
π
∫
Đặt
sin cos
x x
u e du e dx
dv xdx v x
 
= =
⇒
 
= = −
 
Nên I =
2
2
0
0
.cos cos
x x
e x e xdx
π
π
− +

∫
Vì vậy: I
17
=
2
2
0
0
.sin sin
x x
e x e xdx
π
π
−
∫
=
2
0
.sin
x
e x
π
−
2
2
0
0
( .cos cos )
x x
e x e xdx

π
π
− +
∫
2
2
17
0
2
17
2 (sin cos ) 1
1
2
x
I e x x e
e
I
π
π
π
⇒ = + = −
−
⇒ =
Giáo viên lưu ý ở ví dụ trên ta đặt u là hàm mũ, dv là hàm lượng giác ở cả hai lần
tính tích phân từng phần và có thể đặt ngược lại tức u là hàm lượng giác, dv là hàm
mũ nhưng phải cho cả hai lần đặt.
Bài tậptự luyện: 1. I =
2
0
.sin

x
e xdx
π
∫
Kết quả:
2
1
2
e
π
+
2.
2
2
0
.cos3
x
e xdx
π
∫
Kết quả:
3 2
13
e
π
− −
3.
2 2
0
.sin

x
e xdx
π
∫
Kết quả:
2
1
8
e
π
−
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 19 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
PHỤ LỤC
ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG
BÀI 1: Giải các phương trình (8 điểm)
a.
3 1
1
3
3
x−
=
 
 ÷
 
b.
1
9 8.3 1 0
x x−

− − =

c.
2 2
2 2 15
x x+ −
− =
d.
6 3
3. 2
x x
e e− = −
e.
( )
( )
2
2 2
log 6 log 3 6x x− = −
f.
2 1
2
2
2log log log 9x x x+ + =
g.
( )
( )
2
log 3 log 6 10 0
2 2
1x x− − =

− +
h.
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
BÀI 2: Giải các bất phương trình(2 điểm)
a.
2
2 3
7 9
9 7
x x−
≥
 
 ÷
 
b.
( )
log log 2 log 3
5
0,2 0,2
x x− − <
Hướng dẫn chấm
Bài 1: a.
3 1
1
3
3

x−
=
 
 ÷
 

3 1
33
x− +
=⇔
0,25 điểm
13 1x =⇔ − +
0,25 điểm
0x⇔ =
0,25 điểm
Vậy nghiệm của phương trình x= 0 0,25 điểm
b.
1
9 8.3 1 0
x x−
− − =

3
9 8. 1 0
3
x
x
⇔ − − =
0,25 điểm
3 3

1
3 ( )
3
x
x
ptvn

=

⇔

= −


0,5 điểm
1x⇔ =
Vậy nghiệm của phương trình x =1 0,25 điểm
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 20 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
c.
2 2
2 2 15
x x+ −
− =
4
2 .4 15
2
x
x
⇔ − =

0,25 điểm
2
(2 ) .4 15.2 4 0
x x
⇔ − − =
0,25 điểm
2 4
1
2 ( )
4
x
x
ptvn

=

⇔

= −


0,25 điểm
2x⇔ =
Vậy nghiệm của phương trình x =2 0,25 điểm
d.
6 3
3. 2
x x
e e− = −
3

1
3
2
x
e
x
e

=


=

⇔
0,25 điểm
3 0
3 ln 2
x
x

=

=

⇔
0,25 điểm
0
ln 2
3
x

x

=


=


⇔
0,25 điểm
Vậy nghiệm của phương trình x = 0, x =
ln2
3
0,25 điểm
e.
( )
( )
2
2 2
log 6 log 3 6x x− = −
Điều kiện:
6x >
0,25 điểm
Pt
2
6 3 6x x⇔ − = −
0,25 điểm
0
3
x

x
=

⇔

=

0,25 điểm
So sánh điều kiện nghiệm của phương trình x = 3 0,25 điểm
f.
2 1
2
2
2log log log 9x x x+ + =
Điều kiện:
0x >
0,25 điểm
Pt:
2 2 2
2log 2log log 9x x x+ − =
0,25 điểm
2
3log 9x⇔ =
2
log 3 8x x⇔ = ⇔ =
0,25 điểm
So sánh điều kiện nghiệm của phương trình x = 8 0,25 điểm
g.
( )
( )

2
log 3 log 6 10 0
2 2
1x x− − =− +
Điều kiện:
3x >
0,25 điểm
Pt:
2
log
2
3
1
6 10
x
x
−
= −
−
0,25 điểm
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 21 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
2
3 1
6 10 2
x
x
−
⇔ =
−

2
2 6 6 10x x⇔ − = −
0,25 điểm
2
1
x
x
=

⇔

=

So sánh điều kiện nghiệm của phương trình x = 2 0,25 điểm
h.
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
Điều kiện:
0x >
0,25 điểm
Pt:
2
2
2
4log 2log 2 0x x− − =
0,25 điểm
2

2
log 1
1
log
2
x
x
=


⇔

= −

0,25 điểm
2
1
2
x
x
=


⇔

=

So sánh điều kiện nghiệm của phương trình x = 2, x =
1
2

0,25 điểm
Bài 2:
a.
2
2 3
7 9
9 7
x x−
≥
 
 ÷
 

1
2
2 3
7
9
7
9
x x
−
−
≥
   
⇔
 ÷  ÷
   
0,25 điểm
2

2 3 1x x⇔ − ≤ −
0,25 điểm
2
2 3 1 0x x⇔ − + ≤
1
1
2
x⇔ ≤ ≤
0,25 điểm
Vậy nghiệm của bất phương trình
1
;1
2
x
 
∈
 
 
0,25 điểm
b.
( )
log log 2 log 3
5
0,2 0,2
x x− − <
Điều kiện x > 2 0,25 điểm
( )
log log 2 log 3
5
0,2 0,2

x x− − <
( )
0.2
log log 2 log 3
0,2 0,2
x x⇔ + − <
( )
log 2 log 3
0,2 0,2
x x⇔ − <
0,25 điểm
2
2 3 0x x⇔ − − >
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 22 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014

1
3
x
x

<−

>

⇔
0,25 điểm
So sánh điều kiện nghiệm của bất phương trình
( )
3;x∈ +∞

0,25 điểm
PHỤ LỤC
ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG
Tính các tích phân
a.
( )
3
1
4 1 lnx xdx+
∫
(2,5 điểm) b.
1
3
0
x
xe dx
∫
(2,5 điểm)
c.
2
0
(4 5)sin 2x xdx
π
+
∫
(2,5 điểm) d.
2
1
1
.ln

e
x
xdx
x
+
∫
(2,5 điểm)
Hướng dẫn chấm:
a. A =
( )
3
1
4 1 lnx xdx+
∫
Đặt:
2
1
ln
(4 1)
2
du dx
u x
x
dv x dx
v x x

=
=



⇒
 
= +


= +

0,75 điểm
A
3
3
2 2
1
1
1
(2 )ln (2 )x x x x x dx
x
= + − +
∫
0,75 điểm
3
3
2
1
1
(2 )ln (2 1)x x x x dx= + − +
∫
0,5 điểm
3 3
2 2

1 1
(2 )ln ( )x x x x x= + − +
=
211 3 10n −
0,5 điểm
b. B =
1
3
0
x
xe dx
∫
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 23 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
Đặt
3
3
1
3
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
=

=



⇒
 
=
=



0,75 điểm
B
1
1
3 3
0
0
1 1
3 3
x x
xe e dx= −
∫
0,75 điểm
1
1
3 3
0
0
1 1
3 9
x x
xe e= −
0,5 điểm

=
3
2 1
9 9
e +
0,5 điểm
c. C =
2
0
(4 5)sin 2x xdx
π
+
∫
Đặt:
4
4 5
1
sin 2
cos2
2
du dx
u x
dv x dx
v x
=

= +


⇒

 
=
= −



0,75 điểm
C
2
2
0
0
1
(4 5)cos2 2 cos2
2
x x xdx
π
π
= − + +
∫
0,75 điểm
2 2
0 0
1
(4 5)cos2 sin2
2
x x x
π π
= − + +
0,5 điểm

5
π
= +
0,5 điểm
d. D =
2
1
1
.ln
e
x
xdx
x
+
∫
=
1 1
ln
.ln
e e
x
x xdx dx
x
+
∫ ∫
0,5 điểm
Tính I
1
=
1

ln
e
x xdx
∫
Đặt:
2
1
ln
2
du dx
u x
x
dv xdx
x
v

=

=


⇒
 
=


=


0,25 điểm

I
1
2 2
1
1
1
ln .
2 2
e
e
x x
x dx
x
= −
∫
0,25 điểm
2 2
1 1
ln
2 4
e e
x x
x= −
0,25 điểm
2
1
4
e +
=
0,25 điểm

Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 24 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 - 2014
Tính I
2
=
1
ln
e
x
dx
x
∫
Đặt t = lnx
1
dt dx
x
⇒ =
0,25 điểm
Đổi cận x = 1, t = 0; x = e, t =1 0,25 điểm
I
2
=
1
1
2
0
0
1
2 2
t

tdt = =
∫
0,25 điểm
D = I
1
+ I
2

2
3
4
e +
=
0,25 điểm
PHỤ LỤC BẢNG ĐIỂM
Bảng kết quả trước khi tác động:
Lớp thực nghiệm ( 01) Lớp đối chứng ( 02)
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần - 25 -