phương pháp hàm số trong các bài đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (333.6 KB, 15 trang )
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG
TỔ TOÁN
Phần I:
Các bài toán giải phương trình vô tỉ - phương trình mũ và logarit
I.Tóm tắt lý thuyết:
Để sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải các phương trình – hệ phương trình ta thương sử dụng các
tính chất sau đây:
Tính chất 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến ) trên khoảng K ( K là một
khoảng , một đoạn hay một nửa khoảng ) thì số nghiệm của phương trình f(x) = k ( trên K) không nhiều
hơn một và
,
f u f v u v u v K
Chứng minh:
Giả sử f là hàm số đồng biến trên K
Nếu
u v f u f v
trái giả thiết.
Nếu
u v f u f v
trái giả thiết.
Vậy phải có u = v
Đảo lại nếu ta có u = v thì
f u f v
.
Tính chất 2: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến ( hoặc nghịch biến ) , hàm số y = g(x)
liên tục và luôn nghịch biến ( hoặc đồng biến ) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x) = g (x)
không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử f là hàm số đồng biến và g là hàm số nghịch biến trên D và
:
o o o
x D f x g x
(1)
+ Nếu
o o o
x x f x f x g x g x
phương trình f(x) = g (x) vô nghiệm.
+ Nếu
o o o
x x f x f x g x g x
phương trình f(x) = g (x) vô nghiệm.
Vậy x = x
o
là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g (x).
Tính chất 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên D thì :
f u f v u v u v
Tính chất 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên
;
a b
và có đạo hàm trên khoảng
;
a b
. Nếu :
f(a) = f(b) thì phương trình f ’(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
;
a b
.
Chứng minh:
Giả sử phương trình f ‘(x) = 0 vô nghiệm trên khoảng
;
a b
. Khi đó hoặc f ’(x) > 0
;
x a b
ho
ặc
f ’(x) < 0
;
x a b
.
Suy ra :
f b f a
(hoặc
f b f a
.Điều này trái giả thiết f(a) = f(b).
Từ định lý trên , ta có được hai hệ quả sau:
Hệ quả 1: Nếu phương trình f(x ) = 0 có m nghiệm thì phương trình f ‘(x) = 0 có m – 1 nghiệm.
Hệ quả 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp k liên tục trên
;
a b
.Nếu phương trình
0
k
f x
có đúng m nghiệm thì phương trình
1
0
k
f x
có nhiều nhất là m + 1 nghiệm.
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
2
Thật vậy, giả sử phương trình
1
0
k
f x
có nhiều hơn m + 1 nghiệm thì phương trình
0
k
f x
có
nhiều hơn m nghiệm : trái giả thiết.
Từ hệ quả 2 suy ra:
Nếu phương trình f ‘(x) = 0 có một nghiệm thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.
Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp hàm số :
Vấn đề quan trọng nhất khi sử dụng phương pháp là chúng ta phải nhận ra được tính đơn điệu của hàm số và
phải nhẫm được nghiệm của phương trình.
1) Để phát hiện được tính đơn điệu của hàm số chúng ta cần nắm vững các tính chất sau:
i) Nếu y = f(x) đồng biến (nghịch biến ) thì:
( )
n
y f x
đồng biến (nghịch biến )
1
y
f x
nghịch biến (đồng biến)
( )
y f x
nghịch biến (đồng biến)
ii) Tổng của các hàm số đồng biến (nghịch biến ) trên D là một hàm số đồng biến (nghịch biến ) trên D.
iii) Tích của các hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) trên D là một hàm số đồng biến (nghịch biến )
trên D.
Ví dụ : Từ tính đơn điệu của các hàm số: 3; 3 ; 2
y x y x y x
, nếu nắm được các tính chất trên ta
có thể phát hiện ngay các hàm số sau:
3
3 3
y x x x
đồng biến trên
3;
6 8
3 2
y
x x
nghịch biến trên
;2
3 3
y x x
nghịch biến trên
;3
2) Việc nhẫm nghiệm cũng là một vấn đề quan trọng trong phương pháp nầy , khi nhẫm nghiệm ta thường
ưu tiên chọn x mà biểu thức trong dấu căn là lũy thừa mũ n (nếu căn bậc n ) , hoặc nếu phương trình logarit
thì ta chọn x mà biểu thức trong dấu loga là
a
(nếu phương trình có chứa
log
a
)
II.Các bài toán giải phương trình vô tỉ:
Các ví dụ:
Bài 1: Giải phương trình:
3 1 7 2 4
x x x
ĐK:
7 57
2
x
Xét hàm số: f(x) =
3 1 7 2
x x x
với
7 57
2
x
hàm số liên tục trên
7 57
;
2
Ta có :
7
1
3 7 57
2 7 2
'( ) 0, ;
2
2 3 1
7 2
x
f x x
x
x x
hàm số đồng biến trên
7 57
;
2
. Mặt khác: f(1) = 4
ph.trình
1 1
f x f x
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài 2: Giải phương trình:
3
3
5 1 2 1 4
x x x
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
3
ĐK:
3
1
5
x
Phương trình
3
3
2
3
3
3
3 2
3
5 1 2 1 4
15 2 1
5 1 2 1 ' 0; ;
5
2 5 1
3 2 1
x x x f x g x
x
f x x x f x x
x
x
nên f là hàm đồng
biến và g(x) = 4 – x là hàm nghịch biến trên
3
1
;
5
(hàm f liên tục trên
3
1
;
5
).
Mà f(1) = g( 1 ) = 3 nên phương trình có một nghiệm duy nhất là x = 3.
Bài 3: Giải phương trình:
3
4 1 3 2
5
x
x x
ĐK:
2
3
x
Phương trình
3 3
5
4 1 3 2
x x
x x
(1)
Do điều kiện nên x + 3 > 0 nên (1)
4 1 3 2 5
f x x x
; f là hàm số liên tục trên
2
;
3
Ta có
2 3 2
' 0 ;
3
4 1 2 3 2
f x x
x x
hàm số f đồng biến trên
2
;
3
Mà f(2) = 5 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 4: Giải phương trình:
3 2
2 3 6 16 4 2 3
x x x x
ĐK:
2 4
x
Xét hàm số
3 2
2 3 6 16 4
f x x x x x
liên tục trên
2;4
Ta có
2
3 2
3 1
1
' 0 2;4
2 4
2 3 6 16
x x
f x x
x
x x x
hàm số f đồng biến trên
2;4
Mà f(1) =
2 3
nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 5: Giải phương trình:
2 2
3 2 9 3 4 2 1 1 0
x x x x x
Phương trình
2 2
3 2 3 3 2 1 2 2 1 3
3 2 1 (1)
x x x x
f x f x
Với
2
2 3 f t t t t
2
2
2
' 2 3 0
3
t
f t t t
t
nên hàm số f đồng biến trên
(2)
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
4
Từ (1) và (2) suy ra : 3x =
1
2 1
5
x x
. Vậy
1
5
x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 6: Giải phương trình:
3 32 2
3 3
2 2 1 2 1
x x x x
Phương trình
3 32 2
3 3
2 1 2 2 1
x x x x
(1)
Xét hàm số:
3 3
1 f t t t t
thì
3 2 2
3
1 1
' 0,
3
3 1
f t t
t
t
Vậy hàm số f đồng biến trên
(2) và (1) có dạng:
2
1 2
f x f x
(1) và (2) suy ra:
2 2
1
1 2 2 1 0
1
2
x
x x x x
x
Bài 7: Giải phương trình:
3
3
6 1 8 4 1
x x x
Phương trình
3
3
6 1 6 1 2 2
x x x x
(1)
Xét hàm số:
3
( ) ; f t t t t
thì
2
' 3 1 0; f t t t
hàm số f đồng biến trên
(2)
(1) có dạng:
3
6 1 2
f x f x
(1) và (2) suy ra :
3
3
6 1 2 8 6 1 0
x x x x
(3)
Nếu
1
x
thì
3 2
1
4 3 4 3 1 (3)
2
x x x x vô nghiệm.
Nếu
1
x
thì đặt
cos ; 0;
x
, (3) trở thành
1 2
cos3 ;
2 9 3
k k
Chọn các nghiệm trong đoạn
0;
ta được :
5 7
; ;
9 9 9
Vậy các nghiệm của phương trình là:
5 7
cos ; cos ; cos
9 9 9
x x x
Bài 8: Giải phương trình
3
3
8 8 4 4 6
x x x
Phương trình
3
3
2 2 4 6 4 6
x x x x
(1)
Xét hàm số:
3
, f t t t t
hàm số f đồng biến trên
(2)
(1) có dạng: (1) có dạng:
3
4 6 2
f x f x
(1) và (2) suy ra:
3
3
4 6 2 4 3 2
x x x x
(3)
Vì hàm số
3 2
4 3 ; ' 12 3 0,g x x x x g x x x
nên (3) có không quá một nghiệm
Xét
2
3 3 3 3
3
1 1
2 4 1 0 2 5
2
Do đó nếu đặt
3
2 5
thì
3
3
1 1
2
2
.Ta có:
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
5
3
3
3
1 1 1 1 1 1
2 3 4
2 2 2
Vậy
3 3
1 1 1
2 5 2 5
2 2
x
là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài 9: Giải phương trình:
3
6 5 4 3 2
6 6 12 48 64 4 0
x x x x x x x x
ĐK:
6
x
Phương trình
3
3
2 2
6 6 4 4
x x x x x x
(1)
Xét hàm số:
3
, 0
f t t t t
thì
2
' 3 1 0; 0
f t t t
hàm số f đồng biến trên
0;
(2)
(1) có dạng
2
6 4
f x f x x
(1) và (2) suy ra
2
6 4
x x x
Đặt
6 2
x y
với
2
y
, ta được hệ:
2
2
2
2
6 2
6 2
2 4
6 2
x y
x y
y x x
y x
Trừ hai phương trình của hệ ,ta được:
4
5 0
x y
x y y x x y
x y
Khi y = x ta được:
2
2
3 17
6 2
2
3 2 0
x
x x x
x x
Khi 5
y x
ta được:
2
3
5 13
6 3
2
5 3 0
x
x x x
x x
Vậy phương trình có hai nghiệm là
3 17
2
x
;
5 13
2
x
Bài 10: Giải phương trình:
3 2
3 3 5 2 3 10 26 0
x x x x x
ĐK:
5
1
2
x
Nhận xét:
5
1;
2
x x
không là nghiệm của phương trình.
Phương trình
2
3 3 3 5 2 1 2 12 0
x x x x x
2
2
3 2 2 2
2 12 0
3 3 3 5 2 1
3 2
2 12 0
3 3 3 5 2 1
x x
x x x
x x
x x x
x x
Xét hàm số:
2
5
( ) 12; 1;
2
f x x x x
Ta có
1
' 2 1; ' 0
2
f x x f x x
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
6
5
1;
2
5
min 0
2
x
f f
2
3 2 5
12 0; 1;
2
3 3 3 5 2 1
x x x
x x
Vật phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
Bài 11: Giải phương trình:
2
2 4 2 5 1
x x x x
ĐK:
2 4
x
Nhận xét: x = 3 là một nghiệm của phương trình.
Xét hàm số :
2
2 5 1 2 4
f x x x x x
liên tục trên
2;4
Ta có f ‘(x) =
1 1
4 5
2 2 2 4
x
x x
Vì
2
lim ' , ' 3 7 0 '
x
f x f f x
luôn có nghiệm
trên
2;4
và f ‘(x) là hàm đơn điệu trên
2;4
' 0
f x
có duy nhất nghiệm
2;3
o o
x x
Trên
2;
o
x
phương trình vô nghiệm, trên
;4
o
x phương trình có đúng một nghiệm x = 3.
Bài tập:
Bài 1 : Giải phương trình:
3
4 1 2 1 0
x x x x
Hd: Phương trình
3
3
2 2 2 1 2 1
x x x x
Xét hàm số:
3
, 0
f t t t t
Bài 2 : Giải phương trình
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
Hd: Xét hàm số:
2
f = 3 1 6 3 14 8
x x x x x
liên tục trên khoảng
1
;6
3
2
1 7 11 1 7
; 3 1 6 2 2 ;3 14 8 3 0; ;
3 3 3 3 3
x x x x x f x x
7 1 3 1
;6 ' 6 14 0
3 2
3 1 6
x f x x
x x
f đồng biến trên
7
;6
3
và f(5) = 0
Bài 3 : Giải phương trình:
5 3
1 3 4 0
x x x
ĐK:
1
3
x
Xét hàm số
5 3
1
f = 1 3 4;
3
x x x x x
hàm số f liên tục trên
1
;
3
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
7
Ta có f ‘(x) =
4 2
3 1
5 3 0; ;
3
2 1 3
x x x
x
hàm số đồng biến trên
1
;
3
và f(
1
) = 0 nên
1
x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 4 : Giải phương trình:
2 2
15 3 2 8
x x x
HD: Xét hàm số
2 2
f = 3 2 8 15
x x x x
Nếu
2 2
2
3 2 0; 8 15 0
3
x x x x
2
( ) 0,
3
f x x
Nếu
2
3
x
thì
2 2
1 1 2
' 3 0, ;
3
8 15
f x x x
x x
và do f(1) = 0 nên x = 1 là
nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 5 : Giải phương trình:
2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2
x x x x x x
ĐK:
1
2
x
Xét hàm số
2 2 1 3 6 6 2 1 3 2
f x x x x x x x
f x
6 2 2 1 3
x x x
lên tục trên
1
;
2
Nhân xét:
6 2 0
x x
và
2 1 3 0 5
x x
Vậy ta xét
f x
6 2 2 1 3
x x x
khi x > 5
Ta có
1 1 1
' 2 1 3 6 2
2 6 2 2 2 1
f x x x x
x x x
> 0 khi x > 5 nên hàm số đồng
biến trên
5;
mà f(7) = 4 nên x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 6: Giải phương trình:
2 2
2 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0
x x x x x
HD: Phương trình
2 2
2 1 2 2 1 3 3 2 3 3
x x x x
Xét hàm số :
2
2 3
f t t t
hàm số đồng biến trên
Ta được
1
2 1 3 2 1 3
5
f x f x x x x
Bài 7 Giải phương trình:
3 2
2 3 1 2 3 1 3 1
x x x x x
ĐK:
1
3
x
Phương trình
3
3 2
2 3 1 2 3 1 3 1
x x x x f x f x
(1)
trong đó
3 2 2
2 ; 0 ' 6 2 0, 0
f t t t t f t t t t
, do đó f là hàm số liên tục và đồng biến trên
0;
nên (1)
2
0
3 5
3 1
2
3 1 0
x
x x x
x x
Bài 8: Giải phương trình:
33 2 2
4 5 6 7 9 4
x x x x x
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
8
Phương trình
3
3 3
2 2 2
1 1 7 9 4 7 9 4 1 7 9 4
x x x x x x f x f x x
(1)
trong đó
3
f t t t
2
' 3 1 0
f t t
là hàm số liên tục và đồng biến trên
nên (1)
3 2 2
1 7 9 4 5 1 0
5
1 5
2
x x x x x x
x
x
Bài 9: Giải phương trình
4 3 2
2 4 3 17 24 2 3 2
x x x x x
HD:
ĐK:
3
2
x
Phương trình
2
2 2 2
2 4 3 2 2 3 2 2 3 2
x x x x x x f x x f x
(1)
Trong đó
2
2
f t t t
do
2
2
1 1 1
; 3 2 0
2 4 4
x x x x
nên ta xét hàm số f(t) với t
0
Khi đó hàm số liên tục và đồng biến trên
0;
Nên (1)
2
2
2
2
2
2
0
2 3 2
4 3 2
0
1
3
1 3 4 0
x x
x x x
x x x
x x
x
x
x x x
II.Các bài toán giải phương trình mũ và logarit:
Bài 1: Giải các phương trình :
) 3 4 5
x x x
a
3 4
3 4 5 1
5 5
x x
x x x
Xét hàm số:
3 4 3 3 4 4
' .ln .ln 0,
5 5 5 5 5 5
x x x x
f x f x x
nên hàm số nghịch biến trên
và f(2) = 1 .Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
2
) 2 1 3
x
x
b
2
1 3
2 1 3 1
2 2
x
x
x
x
Xét hàm số:
1 3 1 1 3 3
' .ln .ln 0,
2 2 2 2 2 2
x x
x x
f x f x x
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
9
nên hàm số nghịch biến trên
và f(2) = 1 .Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 2: Giải phương trình:
3 2
) 2 8 14
x
a x x
ĐK:
3
x
Xét hàm số:
3
f = 2
x
x
với
3
x
thì
3
1
' 2 . .ln 2 0, 3
2 3
x
f x x
x
Xét hàm số
2
8 14, 3 ' 2 8 0, 3
g x x x x g x x x
Vậy hàm số f nghịch biến và g đồng biến trên
;3
. Mặt khác: f(3) = g(3) nên x = 3 là nghiệm duy nhất
của phương trình.
2 3
) 4 2 log 3 log 2 15 1
b x x x x
ĐK: x > 3.
Phương trình
2 3
15 1
log 3 log 2
4 2
x
x x
x
Xét hàm số:
f x
2 3
log 3 log 2
x x
với x > 3
1 1
' 0; 3
3 ln 2 2 ln3
f x x
x x
Xét hàm số:
2
15 1
45
, 3 ' 0, 3
4 2
4 2
x
g x x g x x
x
x
Vậy hàm số f đồng biến và g nghịch biến trên
;3
. Mặt khác: f(11) = g(11) = 5 nên x = 11 là nghiệm
duy nhất của phương trình.
3 2
1 1 1
) 5 4 3 2 2 5 7 17
2 3 6
x x x x
x x x
c x x x
Phương trình
3 2
1 1 1
5 4 3 2 2 5 7 17
2 3 6
x x x x
x x x
x x x
Vì
5 4 3 2
x x x x
y
là hàm số đồng biến trên
;
1 1 1
2 3 6
x x x
y
là hàm số nghịch biến trên
nên
hàm số
1 1 1
( ) 5 4 3 2
2 3 6
x x x x
x x x
f x
là hàm số đồng biến trên
Xét hàm số
3 2
( ) 2 5 7 17
g x x x x
2
' 6 10 7 0,g x x x x
Mặt khác: f(1) = g(1) = 14 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 3: Giải phương trình:
3
3 1 log 1 2
x
x x
ĐK:
1
2
x
Phương trình
3 3 3
3 1 2 log 1 2 3 log 3 1 2 log 1 2
x x x
x x x x x
(1)
Xét hàm số:
3
1
log ; 0 ' 1 0; 0
.ln3
f t t t t f t t
t
hàm số đồng biến trên
0;
Và từ (1) ta được:
3 1 2
x
f f x
3 2 1 3 2 1 0
x x
x x
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
10
Xét hàm số:
2
3 2 1, ' 3 .ln3 2 " 3 . ln3 0,
x x x
g x x x g x g x x
và g’(0) = ln3 – 2 < 0; g’(1) = 3.ln3 – 2 >0 nên phương trình g’(x) = 0 có đúng một nghiệm
phương trình
g(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm , mà g(1) = g (0) = 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 ; x = 1.
Bài 4: Giải phương trình:
2013 2015 4026 2
x x
x
Phương trình
2013 2015 4026 2 0
x x
x
Xét hàm số:
2013 2015 4026 2, ' 2013 .ln 2013 2015 .ln2015 402
6
x x x x
f x x x f x
2 2
" 2013 .ln 2013 2015 .ln 2015 0,
x x
f x x
nên hàm số f ‘(x) đồng biến trên
và
' 0 0, ' 1 0
f f
nên phương trình f ‘(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm
phương trình f (x) = 0 có nhiều
nhất 2 nghiệm, mà f(1) = f (0) = 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 ; x = 1.
Bài 5: Giải phương trình :
3
1
7
7 1 2log 6 5
x
x
ĐK:
5
6
x
Đặt
1
7
1 log 6 5 7 6 5 1
y
y x x
Khi đó phương trình có dạng:
1
7
7 1 6log 6 5 6 5
x
x y
(2)
Trừ theo vế (1) và (2) ta được:
1 1 1 1
7 7 6 6 7 6 1 7 6 1
x y x y
y x x y
1 1
f x f y
Với f(t) =
7 6 , ' 7 .ln7 6 0,
t t
t t f t t
nên hàm số f đồng biến trên
dẫn đến: x = y
Thay vào (1) và biến đổi ta được:
1
7 6 1 1 0
x
x
Xét hàm số:
2
7 6 1, ' 7 .ln7 6 " 7 . ln7 0
t t t
g t t t g t g t
Và
' 0 0; ' 1 0
g g
nên phương trình g ‘(t) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm
phương trình g (t) = 0 có
nhiều nhất 2 nghiệm, mà g(1) = g(0) = 0 nên phương trình g(t) = 0 có hai nghiệm t = 0 ; t = 1.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
Bài 6: Giải phương trình:
2
2
2
2
1
log 3 2
2 4 3
x x
x x
x x
Đặt u =
2 2 2
1; 2 4 3 3 2
x x v x x v u x x
Phương trình có dạng:
2 2 2 2
log log log log
u v v u u u v v
(1)
Xét hàm số:
2
1
log , 0 ' 1 0, 0
.ln 2
f t t t t f t t
t
nên hàm số đồng biến trên
0;
Từ (1) ta có f(u) = f(v) nên ta được: u = v
2
1
0 3 2 0
2
x
u v x x
x
Bài 7: Giải phương trình :
2
1 3
x
x x
Phương trình
2
1 3 1
x
x x
Xét hàm số:
2
3 1 ,
x
f x x x x
2
2
' 3 ln3. 1 3 1
1
x x
x
f x x x
x
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
11
2
2
1
3 1 ln3 0,
1
x
x x x
x
Vì
2
1
x x
và
2
1
ln3 1 ,
1
x
x
Nên hàm số đồng biến trên
, mà f (0) =1 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 8: Giải phương trình :
1 1 1
3 2 2 6
3 2 6
x x x
x x
x
Xét hàm số:
1 1 1
3 2 ; 2 6
3 2 6
x x x
x x
f x g x x
Ta có:
1 1 1 1 1 1
' 3 .ln3 .ln 2 .ln 2 .ln ln 0,
3 3 2 2 6 6
x x x
x x
f x x
nên hàm số đồng biến trên
.
' 2 0,g x x
hàm số nghịch biến trên
.
Mặt khác ta có:
1 1 1
f g x
là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài 9: Giải phương trình :
3 3
2 3 2 4 1
3 3 1 3 3
x x x x x
x x
Phương trình
3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 3 2 2 4 1 2
2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 3
3 .3 3 1 3 .3 3 .3
3 3 1 3 3 2 2 3 2 1 1
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x
Xét hàm số:
3
t
f t t
t
, ta có:
' 3 .ln3 1 0;
t
f t t
nên hàm số đồng biến trên
.
Và từ (1) :
3 3 3 3
2 2 2 1 2 2 2 1
f x x f x x x x x x
3
3 1 0 2
x x
Xét hàm số:
3
3 1;g x x x x
hàm số g liên tục trên
và:
2 . 1 0; 1 . 1 0; 1 . 2 0
g g g g g g
. suy ra trên mỗi khoảng:
2; 1 ; 1;1 ; 1;2
phương
trình có đúng một nghiệm.Đặt x =
2cos ; 0;
thì (2) trở thành :
3
1
8cos 6cos 1 0 cos3
2
Ta tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là:
2 4 8
2cos ; 2cos ; 2cos
9 9 9
x x x
Bài 10: Giải phương trình :
2
3 1
2
2
1
log 3 2 1 2
3
x x
x x
ĐK:
1 2
x x
Đặt
2
3 2, 0
t x x t
, phương trình có dạng :
2
2
1
2 2
1 1
log 1 2 log 1 .3 2
3 3
t
t
t t
2 2
2
1 1 1
log 1 .3 , 0 ' 3 2 .ln3 0, 0
3 1 ln 2 3
t t
f t t t f t t t
t
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
12
nên hàm số đồng biến trên
0;
và f(1) = 2 nên phương trình có nghiệm duy nhất t = 1
Với t = 1 ta được
2
3 5
1
2
3 2 1
3 5
2
2
x
x x
x
nhận
Vậy phương trình có hai nghiệm là
3 5 3 5
;
2 2
x x
Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình :
2013 2014 2. 2012
x x x
HD: Phương trình
2013 2014
2
2012 2012
x x
Xét hàm số
2013 2014
, ' 0,
2012 2012
x x
f x x f x x
hàm số đồng biến trên
và f(0) =2
Nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 2: Giải phương trình :
6
log
2 6
log 3 log
x
x x
HD: ĐK : x > 0.Đặt
6
log 6
t
t x x
Ta đưa phương trình về dạng:
2
3
log 6 3 3 1
2
t
t t t
t
(1)
Hàm số
3
3
2
t
t
f t
là hàm đồng biến và f
1 1
nên
1
t
là nghiệm duy nhất của phương trình
(1).Do đó x =
1
6
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài 3: Giải phương trình :
2 3
log 1 log
x x
HD: ĐK : x > 0.Đặt
3
log 3
t
t x x
Ta đưa phương trình về dạng:
1 3
2 1 3 1
2 2
t
t
t
t
(1)
Hàm số
1 3
2 2
t
t
f t
là hàm đồng biến và f
2 1
nên
2
t
là nghiệm duy nhất của phương trình
(1) . Do đó x =
9
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài 4: Giải phương trình :
2 2 2
log 9 log log 3
2
.3
x
x x x
HD: ĐK : x > 0. Phương trình
2 2 2 2
log log log log2 2
9 .3 3 3 1
x x x x
x x
Đặt :
2
log 2
t
t x x
ta được phương trình:
3 1
1
4 4
t t
(1)
Hàm số
3 1
4 4
t t
f t
nghịch biến trên
và f(1) = 1 nên t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
(1) . Do đó x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài 5: Giải phương trình :
3
3 2
3log 1 2.log
x x x
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
13
HD: ĐK : x > 0 Đặt x =
6
2
y
. Khi đó phương trình có dạng:
3 2 3 3 2
3 2 3
3 2
3.log 1 2 2 2.log 2 log 1 2 2 2
1 8 4
1 2 2 9 1 1
9 9 9
y y y y y
y y y
y y y
y
Hàm số
1 8 4
9 9 9
y y y
f y
nghịch biến trên
và f(2) = 1 nên y = 2 là nghiệm duy nhất của
phương trình (1) Do đó x =
12
2 4096
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài 6: Giải phương trình :
5 2 6 5 2 6 10
x x
x
HD: Chia hai vế cho
10
x
, ta được:
5 2 6 5 2 6
1
10 10
x x
Xét hàm số:
5 2 6 5 2 6
10 10
x x
f x
hàm số nghịch biến trên
và f(2) = 1 nên x = 2 là
nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài 7: Giải phương trình :
1 2 4 3.4
x x
x
HD:
4 1 4 1
1 2 4 3.4 0
2 4 3 2 4 3
x x
x x
x x
x x
x
Xét hàm số:
4 1
;
2 4 3
x
x
x
f x x
Ta có :
2
2 2
2
2
4 .ln 4. 2 4 4 ln4
1 2.ln 4.4 1
'
3 3
2 4 2 4
2.ln 4.4 1
' 0 0 2 4 6ln 4.4 0 1
3
2 4
x x x
x
x x
x
x x
x
f x
f x
Phương trình (1) là phương trình bậc hai theo ẩn là
4
x
nên có nhiều nhất là hai nghiệm , suy ra phương trình
f(x) = 0 có nhiều nhất là ba nghiệm, mà ta có
1 1
0 0; 0; 1 0 0; ; 1
2 2
f f f x x x
là ba
nghiệm của phương trình.
Bài 8: Tìm nghiệm dương của phương trình :
2
1 1
1 1
3
2
1 1
ln 1 .ln 1 1
x
x
x x x
x x
HD:
2
1 1
1 1
3 2
2 2
1 1 1 1
ln 1 .ln 1 1 1 ln 1 1 ln 1 1
x
x
x x x x x x x
x x x x
2
2
2 2
2
1 1
1 ln 1 1 1 ln 1 1
1 1
1 ln 1 1 1 ln 1 1 ( 0)
x x x
x x
x x x x do x
x x
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
14
Xét hàm số:
1
1 ln 1 1 ; 0
f t t t t
t
, ta được :
2
f x f x
(1)
1 1 2
' 2 1 ln 1 2 2 1 ln 1
2 1
f t t t
t t t
Xét hàm số:
1 2 1 4 1
( ) ln 1 '( ) 0; 0
2 1 1 2 1 1 2 1
g t g t t
t t t t t t t t
Nên g(t) nghịch biến trên khoảng
0;
mà
lim 0
t
g t
0; 0 ' 0; 0
g t t f t t
hàm
số f(t) đồng biến trên khoảng
0;
.Vậy từ (1) ta được
2
1
x x x
(vì x > 0)
Bài 9: Giải phương trình :
2
3
3
6
9 6 3126
2 1 3 1 ln
3125
x x
x x x
x
HD: Phương trình
3 6
3 6
3 3 3
ln 3125 3 1 3 1 ln 3 1 3125
x x x x x x
(1)
Xét hàm số:
3 6
ln 3125 ;f t t t t t
5
2
6
6
' 3 1
3125
t
f t t
t
Vì
5
5
66 6 6 6 30
6
6
5 3125 5 5 6 5 30 1 ' 0
3125
t
t t t t f t
t
hàm số đồng biến trên
.
Do đó từ (1)
3
3
3 1 3 1
x x x x
. Ta tìm nghiệm trên
2;2
, đặt x = 2 cost ,
0;
t
Phương trình có dạng:
1 5 7
cos3 ; ;
2 9 9 9
t t
.Vì phương trình có tối đa 3 nghiệm nên:
Các nghiệm là:
5 7
2cos ; 2cos ; 2cos
9 9 9
x x x
Bài 10: Giải phương trình:
2
2 3 2
4 34 4
2
2
120 4 4
2014 2014
x x
x x x
x x
x x
HD: ĐK:
1 0
x x
2
2 3 2 2 2 2
2 2 2
4 34 4 4 4 30
2
1
2 2
4 4 30
1
2 2 2
120 4 4 30
2014 2014 2014 2014 4 1
4 4 30
2014 4 1 2014 4 1
x x
x x x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
Xét hàm số:
2014 4 , ' 2014 .ln2014 4 0;
t t
f t t t f t t
Nên hàm số đồng biến trên
, từ (1) suy ra:
2 2 2 2 2 2
4 4 30 4 4 30
1 1f f
x x x x x x x x
2
6
30 0
5
x
x x
x
Giáo viên Cao Minh Quân
t
rang
15
Kết luận:
Với việc sử dụng công cụ giải tích để giải một số dạng toán giải phương trình, trong thực tế giảng dạy tôi
đã hướng dẫn được cho học sinh thực hành , học sinh đã biết sử dụng kiến thức để giải quyết các bài toán ,
nhất là các bài toán phương trình trong các đề thi thử Đại học , thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông và hơn
nữa là trong các kỳ thi Đại học và Cao Đẳng các năm gần đây và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi đó.
Đề tài mới chỉ hạn chế trong các bài toán giải phương trình vô tỉ , phương trình mũ và logarit , các phần
còn lại ví dụ như bất phương trình, hệ phương trình ….sẽ tiếp tục được thực hiện trong các năm học tiếp
theo.
Việc thực hiện đề tài có thể có những thiếu sót , rất mong quý đồng nghiệp chân thành đóng góp ý kiến để
hoàn thiện hơn.
Người thực hiện
Cao Minh Quân
