Bài giảng Hình học 11 chương 1 bài 4 Phép đối xứng tâm

BÀI 4: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP
ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
BÀI GIẢNG HÌNH HỌC 11
M
M
M’
M’
d
d
Phép biến hình gì?
Phép biến hình gì?
O
O
Hãy nhắc lại các tính chất của phép đối
Hãy nhắc lại các tính chất của phép đối
xứng trục ?
xứng trục ?
Các tính chất của phép đối xứng trục :
Phép đối xứng trục:
* Không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
* Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự của nó.
* Biến một đường thẳng thành một đường thẳng.
* Biến một tia thành một tia.
* Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng
nó.
* Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó.
* Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, biến một đường
tròn thành đường tròn bằng nó.
PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

M
O
Hãy quan sát hình vẽ sau
M’
M
M’
M’
M
Qui tắc cho tương
ứng đó được gọi là
phép đối xứng tâm.
Hãy định nghĩa
phép đối xứng
tâm?
1) Định nghĩa: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ đối xứng
với M qua điểm O gọi là phép đối xứng tâm O.
Ký hiệu:
Ký hiệu:
Đ
Đ
o
o




Nếu M’ là điểm đối xứng với M qua O thì ta còn nói:
Nếu M’ là điểm đối xứng với M qua O thì ta còn nói:
Phép đối xứng tâm
Phép đối xứng tâm

Đ
Đ
o
o


biến điểm M thành điểm M’
biến điểm M thành điểm M’
hoặc
hoặc
điểm
điểm


M’ là ảnh của điểm M
M’ là ảnh của điểm M
qua phép đối xứng tâm
qua phép đối xứng tâm
Đ
Đ
o
o
.
.
M
M’
O
M
M
M

’
M’
Điểm O : tâm đối xứng
Điểm O : tâm đối xứng
PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐƯỢC XÁC ĐỊNH
KHI NÀO?
Nhận xét:
a) Phép đối xứng tâm được xác định khi biết tâm
đối xứng.
b) Đo: M M’ O là trung điểm của
MM’.
⇔

b) Ảnh của một hình qua phép đối xứng tâm Đ
o
.
( H’ là ảnh của H qua phép đối
xứng tâm Đ
o
hay phép đối xứng
tâm Đ
o
biến hình H thành hình
H’ )
H
H
O
O
M
M

M’
M’
H
H
’
’
H’= { M’ : Đ
o
: M M’, ∀ M ∈ H }: hình đối xứng
với hình H qua tâm O.
∀ M∈H ta có: Đ
o
: M M’

2. Các tính chất của phép đối xứng tâm :
Phép đối xứng trục:
•
Không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
•
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự của nó.
•
Biến một đưòng thẳng thành một đường thẳng.
•
Biến một tia thành một tia.
•
Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng
nó.
•
Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó.

•
Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, biến một đường
tròn thành đường tròn bằng nó.
Theo các em thì phép đối
xứng tâm có các tính chất đó
không ? Ngoài ra nó còn có
tính chất nào khác?
Các tính chất của phép đối xứng tâm :
Phép đối xứng tâm:
* Không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
* Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự của nó.
* Biến một đưòng thẳng thành một đường thẳng.
* Biến một tia thành một tia.
* Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng
nó.
* Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó.
* Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, biến một đường
tròn thành đường tròn bằng nó.
M
M
’
N
N
’
O
Thì MN=M’N’
Từ đó suy ra: MN = M’N’

= - ON’ + OM’ = N’M’
hay MN = M’N’
(đpcm)
Ta có: MN = ON – OM

Mà: OM = - OM’ và ON = - ON’
(1)
(1)
(1)
(1)
⇔
⇔
MN
MN


Đ
o
: M M’
2. Các tính chất của phép đối xứng tâm :
2. Các tính chất của phép đối xứng tâm :
Định lí: Phép đối xứng tâm không làm thay đổi khoảng
Định lí: Phép đối xứng tâm không làm thay đổi khoảng
cách giữa hai điểm bất kì. Tức là:
cách giữa hai điểm bất kì. Tức là:
Nếu
Nếu
Đ
o
: N N’

2) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng đó.
Chứng minh:

Giả sử :


A
B
C
C
’
B’
A
’
O
Phép đối xứng tâm:
Đ
o
: A A’
B B’
C C’
A,B,C thẳng hàng và B nằm giữa A và C.
Ta cần chứng minh: A’, B’ , C’ thẳng hàng và B’ nằm
giữa A’ và C’ .
Ta có : AC= A’ C’
AB= A’ B’
BC= B’ C’
mà AC= AB + BC
suy ra A’ C’ = A’ B’ + B’ C’ hay A’, B’ , C’ thẳng

hàng và B’ nằm giữa A’ và C’ .(Đpcm)
Phép đối xứng tâm:
O
3) Biến một đường thẳng thành đường thẳng.4) Biến một tia thành tia.
5) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
6) Biến một góc thành góc có số đo bằng nó.
M
M
N
N
N’
N’
M’
M’
7) Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, một đường tròn thành
đường tròn bằng nó.
M
M
O
O
M’
M’
H
H
Nhận xét:
Nhận xét:
Bất kỳ điểm M nào của
Bất kỳ điểm M nào của
H
H

thì ảnh
thì ảnh
M’
M’
của nó
của nó
qua phép đối xứng tâm
qua phép đối xứng tâm
Đ
Đ
o
o
cũng nằm trên
cũng nằm trên
H
H
.
.
Khi đó
Khi đó
O
O
được gọi là tâm đối xứng của hình
được gọi là tâm đối xứng của hình
H
H
.
.
Hãy quan sát hình vẽ sau, em có nhận xét gì ?
Hãy quan sát hình vẽ sau, em có nhận xét gì ?

Hay ta nói: Ảnh của hình
Hay ta nói: Ảnh của hình
H
H
qua phép đối xứng tâm
qua phép đối xứng tâm
Đ
Đ
o
o
là
là
chính nó.
chính nó.
Hãy định nghĩa là tâm đối xứng của một hình
Hãy định nghĩa là tâm đối xứng của một hình
?
?
3. Tâm đối xứng của hình
Định nghĩa: Điểm O gọi là một tâm đối xứng của
hình H nếu phép đối xứng tâm Đ
o
biến hình H thành
chính nó.
Hình bình hành có tâm đối
xứng là gì?

Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của
hai đường chéo.
Đường tròn

có tâm đối
xứng là gì?

Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó.
Ví dụ:
4. Áp dụng của phép đối xứng tâm
Ví dụ: Cho (O,R) và hai điểm A, C cố định sao cho
đường thẳng AC không cắt đường tròn. Một điểm B
thay đổi trên đường tròn. Dựng hình bình hành
ABCD. Tìm quỹ tích điểm D.
O
O
C
C
A
A
B
B
D
D
O
O
C
C
A
A
B
B
D
D

O’
O’
I
I
Giải
Giải
Gọi I = AC
Gọi I = AC
∩
∩
BD
BD
Giải như thế nào?
Giải như thế nào?
Để tìm quỹ tích điểm D, ta sẽ tìm
Để tìm quỹ tích điểm D, ta sẽ tìm
ảnh của D
ảnh của D


qua một
qua một
phép đối xứng tâm
phép đối xứng tâm
nào đó mà ta
nào đó mà ta
đã
đã
biết quỹ tích
biết quỹ tích

của nó. Từ đó suy ra quỹ tích
của nó. Từ đó suy ra quỹ tích
điểm D
điểm D


Suy ra: IA = IB, IC = ID mà
Suy ra: IA = IB, IC = ID mà
A, C cố định nên I cố định
A, C cố định nên I cố định
I có cố định không?
I có cố định không?
Ảnh của D qua phép Đ
Ảnh của D qua phép Đ
I
I
?
?
⇒
⇒


D
D


B
B
Đ
I

quỹ tích điểm
quỹ tích điểm


B là gì?
B là gì?
Suy ra quỹ tích điểm
Suy ra quỹ tích điểm


D là gì?
D là gì?


Vì quỹ tích điểm
Vì quỹ tích điểm
B
B
là (O,R) nên quỹ tích điểm
là (O,R) nên quỹ tích điểm
D
D


là
là
(O’,R)
(O’,R)
, ảnh của (O,R) qua phép
, ảnh của (O,R) qua phép

Đ
Đ
I
I
CỦNG CỐ
CỦNG CỐ
Cho
Cho
∆ ABC
∆ ABC
và một điểm
và một điểm
O
O
, hãy xác định ảnh của
, hãy xác định ảnh của
∆ ABC
∆ ABC
qua phép đối xứng tâm
qua phép đối xứng tâm
O
O
?
?
C’
C’
A’
A’
B’
B’

O
O
B
B
A
A
C
C
Cho đường tròn
Cho đường tròn
(O,R)
(O,R)
và một điểm
và một điểm
I
I
Hãy xác
Hãy xác
định ảnh của đường tròn
định ảnh của đường tròn
(O,R)
(O,R)
qua phép đối xứng
qua phép đối xứng
tâm
tâm
I
I
?
?

I
I
o
o
O’
O’
M
M
M’
M’
CỦNG CỐ
CỦNG CỐ