Bài giảng Giải tích 11 chương 5 bài 1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

2
-2
g x
( )
= 3
⋅
x-
3
2
1
1/2
f x
( )
= 2
⋅
x
2
+x
( )
-1
A
-2
-4
-1
q x
( )
= x-1
h x
( )
= x

3
+x
2
( )
-2
D
2
-2
g x
( )
= 3
⋅
x-2
1
1
f x
( )
= x
3
Mo
Chương V: ĐẠO HÀM
§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA
CỦA ĐẠO HÀM
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh

Kiểm tra

Kiểm tra
Câu 1. Cho f(x) = x
2

– 1.
Tính f ’(2).

Câu 2. Cho f(x) = x
3
.
Tính f ’(-1), f ’(2), f ’(x
0
).
HD
Câu 1.
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
C ch 1. 2 2y f x x fá f xx fD = D + = D +
( )
0 0
limim 4l 4
x x
y
x
x
D® ®D
= D +
D
=
D
( ) ( )
( )
2 2
2 1 3 4 4 4

4 4.
x x x
y
x x x
x
é ù
= D + - - = D + D + -
ë û
D
=D D + Þ =D +
D
( )
' 2 4.fÞ =
á
2
x 2 x 2
x 2
f (x) f (2) x 4
f '(2) lim lim
x 2 x 2
lim (x 2) 4.
C ch 2

→ →
→
− −
= =
− −
= + =

Kiểm tra bài cũ

Kiểm tra bài cũ
Câu 2. Cho f(x) = x
3
. Tính f ’(-1), f ’(2), f ’(x
0
).
HD Trước hết ta thấy
0 0
0
3 3
0 0
x x x x
0 0
2 2 2
0 0 0
x x
f (x) f (x ) x x
lim lim
x x x x
lim (x xx x ) 3x .
→ →
→
− −
= =
− −
= + + =
Nên
Bây giờ lần lượt thay x

0
= -1, x
0
= 2 ta tính được f ’(-1) = 3,
f ’(2) = 12.
(Cũng có thể tính trực tiếp f ’(-1), f ’(2), theo định nghĩa)
2
0 0
f '(x ) 3x .=
Tiết 64. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA HÌNH
HỌC CỦA ĐẠO HÀM
(tiếp theo)
Tiết 64. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA HÌNH
HỌC CỦA ĐẠO HÀM
(tiếp theo)
2
-2
g x
( )
= 3
⋅
x-
3
2
1
1/2
f x
( )
= 2
⋅

x
2
+x
( )
-1
A
-2
-4
-1
q x
( )
= x-1
h x
( )
= x
3
+x
2
( )
-2
D
2
-2
g x
( )
= 3
⋅
x-2
1
1

f x
( )
= x
3
Mo
M
0
M
O
y
x
y = f(x) (C)
T
M→M
0
thì M
0
M →M
0
T
M
0
T: tiếp tuyến của (C) tại M
0
M
0
: tiếp điểm
M
ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a)Tiếp tuyến của đường cong phẳng
Cho (C) y = f(x), điểm M
0
(x
0
;y
0
) cố định thuộc (C), điểm
M(x
M
;y
M
) di động trên (C). Kí hiệu k
M
là hệ số góc của cát
tuyến M
0
M. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn
Khi đó đường thẳng M
0
T đi qua M
0
và có hệ số góc k
0
được
gọi là tiếp tuyến của (C) TẠI điểm M
0
. Điểm M

0
được gọi là
tiếp điểm.
M 0
M 0
x x
lim k k .
→
=
VTCP của đường thẳng M
0
M là
nên hệ số góc của đường thẳng này
là
M(x
M
;y
M
), M
0
(x
0
;y
0
) có x
M
khác x
0
, tính hệ số góc k
M

của
đường thẳng M
0
M.
0 M 0 M 0
M M (x x ;y y ),= − −
uuuuuur
M 0 M 0
M
M 0 M 0
y y f (x ) f (x )
k .
x x x x
− −
= =
− −
M 0 M 0
M 0
0 M 0
x x x x
M 0
f (x ) f (x )
k lim k lim f '(x ).
x x
→ →
−
= = =
−
Vì hệ số góc của M
0

T là và hàm
số f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
nên
M 0
0 M
x x
k lim k
→
=
Vậy f ’(x
0
) chính là hệ số góc của tiếp tuyến M
0
T.
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho y = f(x) (C) có đạo hàm tại điểm x = x
0
, khi đó f ’(x
0
) là
hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) TẠI điểm
M
0
(x
0
;y
0
)(C).

Đường thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
) và có
hệ số góc k thì có phương trình như thế
nào?
Đường thẳng đi qua M
0
(x
0
;y
0
) và
có hệ số góc k thì có phương trình
y – y
0
= k(x – x
0
)
hay y = k(x – x
0
) + y
0
.
Tiếp tuyến M
0
T của (C) có phương trình

như thế nào?
Tiếp tuyến M
0
T đi qua M
0
(x
0
;y
0
)
và có hệ số góc f ’(x
0
) nên có
phương trình
y – y
0
= f ’(x
0
)(x – x
0
)
hay y = f ’(x
0
)(x – x
0
) + f(x
0
).
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
c) Phương trình tiếp tuyến

Cho (C) y = f(x), điểm M
0
(x
0
;y
0
) thuộc (C), hàm số f(x) có đạo
hàm tại x = x
0
. Khi đó tiếp tuyến M
0
T của (C) TẠI điểm M
0

có phương trình
y – y
0
= f ’(x
0
)(x – x
0
)
hay y = f ’(x
0
)(x – x
0
) + f(x
0
).
M

0
(x
0
;y
0
): tiếp điểm.
x
0
: hoành độ tiếp điểm.
y
0
= f(x
0
): tung độ tiếp điểm.
k = f ’(x
0
): hệ số góc của tiếp tuyến.
Cần biết tiếp điểm và hệ số góc.
(Tức là phải biết x
0
, y
0
, f ’(x
0
))
Muốn viết phương trình tiếp tuyến
cần biết những yếu tố nào?
VD4. Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x
2
– 1 (C

1
) tại điểm M
0
(2; 3).
VD5. 1) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x
3
(C
2
) tại điểm có hành độ x
0
=
-1.
2) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x
3
(C
2
) tại điểm M
0
có tung độ y
0
= 8.
3) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x
3
(C
2
) biết tiếp tuyến có hệ số góc k =
3.
HD.
VD4. Tiếp điểm M
0

(2; 3). Hệ số góc của tiếp tuyến
Vậy tiếp tuyến có PT y = 4(x – 2) + 3 hay y = 4x – 5.
2
x 2 x 2 x 2
f (x) f (2) x 4
k f '(2) lim lim lim (x 2) 4.
x 2 x 2
→ → →
− −
= = = = + =
− −
HD.
VD5. 1) Ta có y
0
= f(x
0
) = f(-1) = -1. Như vậy tiếp điểm
là điểm M
0
(- 1; - 1).
Hệ số góc của tiếp tuyến
Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x + 1) -1 hay y = 3x + 2.
3
2
x 1 x 1 x 1
f (x) f ( 1) x 1
k f '( 1) lim lim lim (x x 1) 3.
x 1 x 1
→− →− →−
− − +

= − = = = − + =
+ +
Xem lại các bài tập ở phần kiểm tra!
VD5.
2) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x
3
(C
1
) tại điểm
M
0
có tung độ y
0
= 8.
3) Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) = x
3
(C
1
) biết tiếp
tuyến có hệ số góc k = 3.
HD.
VD5. 2) Ta có y
0
= f(x
0
)  8 = (x
0
)
3
 x

0
= 2. Như vậy tiếp
điểm là điểm M
0
(2; 8).
Hệ số góc của tiếp tuyến
Vậy tiếp tuyến có PT y = 12(x - 2) + 8 hay y = 12x - 16.
3
2
x 2 x 2 x 2
f (x) f (2) x 8
k f '(2) lim lim lim (x 2x 4) 12.
x 2 x 2
→ → →
− −
= = = = + + =
− −
HD.
VD5. 3)Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị
hàm số đã cho là điểm M
0
(x
0
; y
0
).
Ở phần kiểm tra ta đã tính được
Ta có k = f ’(x
0
)  3 = 3(x

0
)
2
 x
0
= 1 hoặc x
0
= -1.

 TH1: x
0
= 1  y
0
= 1. Tiếp điểm là điểm M
0
(1; 1).
Hệ số góc của tiếp tuyến k = 3.
Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x - 1) + 1 hay y = 3x - 2.

 TH2: x
0
= -1  y
0
= -1. Tiếp điểm là điểm M
0
(-1; -1).
Hệ số góc của tiếp tuyến k = 3.
Vậy tiếp tuyến có PT y = 3(x + 1) - 1 hay y = 3x + 2.
KL: có hai tiếp tuyến của (C
2

) thỏa mãn yêu càu của bài
toán: y = 3x – 2 và y = 3x + 2.
2
0 0
f '(x ) 3x .=
Câu hỏi: Có bao nhiêu tiếp tuyến của
đồ thị hàm số y = x
3
(C
2
) có hệ số góc
âm?
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x
3

tại điểm có hoành độ x
0
thì có hệ số
góc là
Do đó đồ thị hàm số y = x
3
không có
tiếp tuyến nào có hệ số góc âm.
0
3 3
2
0
0 0 0
x x
0

x x
k y'(x ) lim 3x 0 ( x ).
x x

→
−
= = = ≥ ∀ ∈
−
¡
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
a) Vận tốc tức thời
Vận tốc tức thời v(t
0
) tại thời điểm t
0
(hay vận tốc tại t
0
) của
một chuyển động có phương trình s = s(t) bằng đạo hàm của
hàm số s(t) tại điểm t
0
, tức là v(t
0
) = s’(t
0
).
b) Cường độ tức thời
Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của
thời gian t với Q = Q(t) là một hàm số có đạo hàm thì cường
độ dòng điện tức tời I(t

0
) là đạo hàm của hàm Q(t) tại điểm
t
0
, nghĩa là I(t
0
) = Q’(t
0
).
cñng cè
cñng cè
Qua bài này HS cần nắm được ý nghìa hình học của đạo
hàm và ghi nhớ cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số TẠI một điểm
y = f ’(x
0
)(x – x
0
) + f(x
0
).
+ SGK: các bài 5, 6, 7 (trang 156, 157), 7 (176), 9 (177), 20a (181).
+ SBT: các bài 1.8 (195), 6, 7, 8 (208).
+ BT bổ sung: Cho hàm số (C) y = - x
3
+ 4x (C).
1) Tính y’(x
0
) bằng định nghĩa.
2) Viết PTTT của (C) tại điểm có tung độ y

0
= 0.
3) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc lớn nhất.
VÒ nhµ
VÒ nhµ