Dạy học phát triển năng lực cho học sinh Trung học phổ thông với các bài toán tiếp cận chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC




NGUYỄN QUỐC TRỊNH




DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
VỚI CÁC BÀI TOÁN TIẾP CẬN CHƢƠNG TRÌNH
ĐÁNH GIÁ HỌC SINH QUỐC TẾ (PISA)



LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN







HÀ NỘI – 2011
2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



NGUYỄN QUỐC TRỊNH


DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
VỚI CÁC BÀI TOÁN TIẾP CẬN CHƢƠNG TRÌNH
ĐÁNH GIÁ HỌC SINH QUỐC TẾ (PISA)


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 60 14 10

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN HỮU CHÂU





HÀ NỘI – 2011
1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Qua thực tiễn dạy học môn toán tại trƣờng Trung học phổ thông và quá
trình học tập, nghiên cứu sau đại học, tác giả rất quan tâm đến mối quan hệ
giữa các năng lực cần phát triển cho học sinh trong thời đại mới với nội dung,
phƣơng pháp mình đang giảng dạy. Qua nghiên cứu, chúng tôi đã xác định
đƣợc một số mâu thuẫn chính sẽ trình bày sau đây, mặt khác, chúng tôi đã bị
cuốn hút bởi các bài toán của chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế
(Programme for International Student Assessment – PISA). Từ mục tiêu, cách
tiếp cận đến giải quyết vấn đề của các bài toán PISA đã cho chúng tôi một câu
trả lời về vấn đề mình quan tâm. Đó cũng chính là lý do để chúng tôi quyết
tâm thực hiện đề tài này.
1.1 Mâu thuẫn giữa yêu cầu nhân lực của thời đại và thực tế khả năng đáp
ứng của giáo dục, đào tạo
Chúng ta đang sống trong thời đại thịnh vƣợng của kinh tế tri thức và
toàn cầu hóa. Thế kỷ XXI với sự bùng nổ của công nghệ thông tin và truyền
thông (Information Technology and Communications - ITC) đã làm thay đổi
bộ mặt của thế giới và các hoạt động học tập, lao động hằng ngày của chúng
ta. Sống trong thời đại này đòi hỏi ngƣời lao động cần có các năng lực và
phẩm chất tƣơng ứng với thời đại. Đó là, phong cách học tập đa dạng, làm
việc hiệu quả theo nhóm, khả năng giải quyết vấn đề nhạy bén, xử lý tình
huống sắc sảo trong môi trƣờng cạnh tranh, tự do, độc lập, chia sẻ và hợp tác
toàn cầu. Do đó, dạy học với nhiệm vụ của mình cũng phải đổi mới theo xu
hƣớng đó nhằm đào tạo những công dân thế kỷ XXI, đáp ứng yêu cầu nhân
lực của thời đại.
Hiện nay, giáo dục và đào tạo ở Việt Nam vẫn chƣa đáp ứng đƣợc yêu
cầu nhân lực cho xã hội. Học sinh giỏi lý thuyết nhƣng yếu thực hành; Học
2
sinh có thế giải đƣợc những bài toán rất hóc búa trong các kỳ thi nhƣng lại
lúng túng khi phải giải quyết một vấn đề đơn giản trong thực tiễn; Học sinh
sau khi tốt nghiệp trung học phổ thông, thậm chí trƣờng nghề, cao đẳng, đại
học vẫn không thể lao động ngay mà phải mất vài năm làm quen hoặc đào tạo

lại. Thực tế này đã đƣợc chỉ ra từ nhiều năm nay và đòi hỏi cần phải thay đổi
nội dung và đặc biệt là cách dạy học ở nhà trƣờng để học sinh sớm tiếp cận
với các bài toán thực tiễn, tăng cƣờng khả năng thực hành giải quyết vấn đề,
qua đó học sinh phát triển các năng lực cần thiết trong cuộc sống và làm quen
dần với môi trƣờng lao động sau khi ra trƣờng.
1.2 Mâu thuẫn giữa Lý luận và Thực tiễn
Nguyên lí giáo dục đã chỉ rõ: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp
với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết
hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” [26, tr. 89]. Trong Lý luận dạy
học cũng có nguyên tắc: “Đảm bảo sự thống nhất giữa lý luận và thực tiễn”
[18, tr. 67]. Nhƣng trong thực tế dạy học, chúng ta đã quá chú trọng đến lý
thuyết, chúng ta dạy cho học sinh nhiều kiến thức khoa học hàn lâm nhƣng lại
xem nhẹ thực hành, xem nhẹ sự vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các
vấn đề thực tiễn. Trong kiểm tra, đánh giá, chúng ta cũng rất ít quan tâm đến
năng lực giải quyết vấn đề trong thực tiễn mà chỉ chú trọng vào nội bộ môn
học. Một khảo sát nhỏ của chúng tôi tại 4 lớp 10 thuộc trƣờng trung học phổ
thông chuyên chuyên Hùng Vƣơng, tỉnh Gia Lai (xem chƣơng 3, thực nghiệm
sƣ phạm) đã chỉ ra rằng: Trong quá trình dạy, giáo viên không hoặc rất ít liên
hệ với thực tiễn, hầu nhƣ không có bài toán nào xuất phát từ thực tiễn. Bài
kiểm tra cũng cho thấy học sinh rất kém trong việc vận dụng các kiến thức về
toán đã học để giải quyết các yêu cầu rất nhỏ trong thực tiễn. Trong một thời
gian dài, chúng ta đỗ lỗi cho sự thiếu thốn cơ sở vật chất, trang thiết bị để
thực hành. Nhƣng thực tế hiện nay, dù đƣợc trang bị đầy đủ cơ sở vật chất,
chúng ta vẫn lúng túng trong sử dụng, một phần là bởi cách dạy học truyền
3
thống đã ăn sâu vào các thế hệ giáo viên. Do đó, cần phải có các phƣơng
pháp, quy trình cụ thể để dạy cho học sinh làm quen với sự vận dụng kiến
thức đã học để giải các bài toán trong đời sống.
1.3 Mâu thuẫn giữa Mục tiêu giáo dục với Nội dung, Phương pháp dạy học
môn toán hiện nay

Trong chƣơng trình giáo dục phổ thông (2006) đã đề ra mục tiêu môn
toán cấp trung học phổ thông là: “Giúp học sinh giải toán và vận dụng kiến
thức toán học trong học tập và đời sống” [1, tr. 92]. Trong phần chuẩn kiến
thức và kỹ năng đã xác định kỹ năng đối với học sinh cấp trung học phổ
thông về môn toán là: “Có khả năng suy luận lôgic và khả năng tự học; có trí
tưởng tượng không gian. Vận dụng được kiến thức toán học vào thực tiễn và
các môn học khác” [1, tr. 1074]. Tuy nhiên, mục tiêu này đã không đƣợc thể
hiện nhiều trong nội dung (Sách giáo khoa) và phƣơng pháp dạy học toán ở
trƣờng phổ thông hiện nay. Chúng ta thấy rất ít các bài toán đƣợc đƣa ra xuất
phát từ thực tiễn, cũng rất ít có sự liên hệ nào từ kiến thức các em đƣợc học
đến các vấn đề trong cuộc sống mà các em có thể gặp phải trong nội dung dạy
học (sách giáo khoa) cũng nhƣ trong các bài giảng của thầy cô giáo. Điều này
làm giảm hứng thú và động lực học tập môn toán của các em. Các em không
biết mình học các công thức lƣợng giác hay phải tính đƣợc đạo hàm, tích
phân để làm gì ngoài mục đích thi cử. Việc thiết kế các bài toán xuất phát từ
thực tiễn, phù hợp với kiến thức các em đang học, đồng thời lựa chọn phƣơng
pháp thích hợp để giúp các em giải quyết chúng là việc hết sức thiết thực để
phát triển năng lực toán cho học sinh và thực hiện mục tiêu giáo dục.
1.4 Yêu cầu hiện thực hóa quan điểm “Lấy người học làm trung tâm”
trong công cuộc đổi mới giáo dục hiện nay
Vấn đề trọng tâm và cốt lõi của đổi mới giáo dục là dạy và học “Lấy
ngƣời học làm trung tâm”. Trong công trình nghiên cứu của mình, John
Deway – cha đẻ của học thuyết này đã đƣa ra 5 điểm cơ bản là: “1) Người
4
học là trung tâm của quá trình giáo dục, có các nhu cầu, sở thích và năng
lực, là cơ sở để người dạy hướng dẫn, hỗ trợ để người học tự khám phá tri
thức và thế giới một cách tích cực, chủ động phát triển các năng lực của bản
thân; 2) Giáo dục là cơ hội để học sinh khám phá và áp dụng kinh nghiệm
vào những tình huống mới; 3) Xây dựng mối quan hệ hợp tác giữa học sinh
với giáo viên và giữa học sinh với nhau; 4) Học tập là trách nhiệm cá nhân

với nghĩa tự học và học suốt đời; 5) Học tập gắn với thực tiễn cuộc sống, để
người học nhúng mình vào cuộc sống thật” [19, tr. 17]. Tuy nhiên, để hiện
thực hóa quan điểm này không phải là việc dễ đối với giáo dục nƣớc nhà đã
trải qua hàng thế kỷ “xoay quanh ngƣời thầy”. Thực tế chúng ta đã thực hiện
vô vàn chiến lƣợc và cách thức để hiện thực hóa “Lấy ngƣời học làm trung
tâm” và chúng ta luôn cần nhiều chiến lƣợc và cách thức mạnh hơn, tiến bộ
hơn nữa. Trong đó, xu thế đƣa học sinh vào thế giới thực, trƣớc các bài toán
thực tiễn để các em tự vận dụng kiến thức để giải quyết, qua đó tự bồi dƣỡng
kiến thức và năng lực cho bản thân, biến mình thành trung tâm của giáo dục
là xu thế của thời đại đang đƣợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm.
1.5 Toàn cầu hóa và sự ra đời của OECD/PISA
Trƣớc sức ép của xu hƣớng toàn cầu hóa, các nền giáo dục trên thế giới
đang có những biến đổi mạnh mẽ. Trong “Thế giới phẳng”, nhu cầu giáo dục,
đào tạo và sử dụng nguồn lực chung là rất lớn và tất yếu, muốn vậy mỗi quốc
gia cần hoàn thiện và chuẩn hóa nền giáo dục, hơn nữa cần có sự tƣơng đồng
và hƣớng đến một chuẩn chung cho thế hệ công dân toàn cầu.
OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development) –
Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế là tổ chức tập hợp các chính phủ từ 30
quốc gia phát triển trên thế giới, những quốc gia cam kết phát triển dân chủ và
nền kinh tế thị trƣờng theo hƣớng: Hỗ trợ tăng trƣởng bền vững nâng cao chất
lƣợng cuộc sống. Đối với giáo dục, vào năm 1997, OECD đã khởi xƣớng
Chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for International
5
Student Assessment)[Xem mục 1.2 chƣơng 1, PISA và các bài toán PISA].
Đây là dự án nghiên cứu so sánh, đánh giá chất lƣợng giáo dục lớn nhất trên
thế giới từ trƣớc đến nay. Mục đích chính của PISA là kiểm tra, đánh giá và
so sánh trình độ học sinh ở độ tuổi 15 (độ tuổi kết thúc chƣơng trình giáo dục
bắt buộc) giữa các nƣớc trong khối OECD và các nƣớc khác trên thế giới.
Tôn chỉ của PISA không phải là để điều tra khối lƣợng kiến thức học sinh học
đƣợc trong nhà trƣờng mà điều tra khả năng học sinh ứng dụng nhƣ thế nào

những kiến thức học đƣợc từ nhà trƣờng vào những tình huống ứng dụng hữu
ích trong cuộc sống thông qua bốn năng lực: Toán, Đọc hiểu, Khoa học và
Giải quyết tình huống (đƣa vào từ năm 2003). PISA đƣợc tổ chức theo chu kỳ
3 năm/lần bắt đầu từ năm 2000 với 43 nƣớc tham gia, đến năm 2009 đã có 67
nƣớc tham gia. Nhờ tính độc đáo, tin cậy trong thu thập dữ liệu và phân tích,
báo cáo kết quả, PISA đã chỉ ra nhiều lổ hỏng trong giáo dục của nhiều quốc
gia và các định hƣớng cải cách. Cơn sốt PISA nhanh chóng lan rộng trên
phạm vi toàn cầu. Ở Việt Nam, ngày 31/3/2010 Viện Khoa học giáo dục Việt
Nam đã thành lập Văn phòng PISA Việt Nam để chuẩn bị tham gia PISA vào
năm 2012. Các nhà nghiên cứu giáo dục, dạy học nhanh chóng tiếp cận PISA
để đƣa ra các chiến lƣợc dạy học phù hợp với học sinh Việt Nam, đó cũng
đang là xu hƣớng mới trong nhiều nghiên cứu về khoa học giáo dục và dạy
học hiện nay.
Từ những lý do đƣợc trình bày trên đây, chúng tôi quyết tâm thực hiện
Luận văn thạc sĩ với đề tài: “Dạy học phát triển năng lực cho học sinh trung
học phổ thông với các bài toán tiếp cận chương trình đánh giá học sinh
quốc tế (PISA)”
2. Lịch sử nghiên cứu
Trong xu hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học ở nƣớc ta, đã có nhiều
công trình nghiên cứu về phát triển năng lực toán học cho học sinh cũng nhƣ
tăng cƣờng liên hệ với thực tiễn thông qua dạy học một số chủ đề của chƣơng
6
trình toán phổ thông. Điều này chứng tỏ, vấn đề phát triển năng lực toán cho
học sinh và vận dụng kiến thức toán học để giải các bài toán thực tiễn đã thu
hút đƣợc sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Các công trình đó đã nghiên
cứu và đƣa ra nhiều biện pháp phát triển năng lực toán cho học sinh cũng nhƣ
đƣa ra một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn đƣa vào giảng dạy. Tuy
nhiên, chúng tôi thấy có một số điểm mà các công trình nói trên chƣa quan
tâm:
Thứ nhất, các biện pháp phát triển năng lực toán cho học sinh chủ yếu

xuất phát từ nội bộ môn toán, chƣa quan tâm đúng mức năng lực giải quyết
vấn đề từ các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn, đời sống.
Thứ hai, chƣa nhìn nhận đúng thế nào là bài toán thực tiễn, có nhiều bài
toán đƣợc cho là thực tiễn nhƣng rất thiếu thực tiễn [xem chƣơng 1, bài toán
và bài toán thực tiễn].
Thứ ba, việc giải các bài toán thực tiễn có phần tự phát, chƣa xây dựng
đƣợc quy trình “toán học hóa” để giải các bài toán thực tiễn, cũng nhƣ chƣa
có phân tích, đánh giá lời giải trong toán học so với thực tiễn.
Trên cơ sở tiếp cận các bài toán của chƣơng trình đánh giá học sinh
quốc tế (PISA), Luận văn này có cách tiếp cận vấn đề hoàn toàn mới, giải
quyết triệt để các tồn tại nêu trên.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Xây dựng bài giảng cho một số chủ đề ở các môn Đại số, Giải tích,
Hình học với các bài toán tiếp cận chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế
(PISA) phù hợp với điều kiện giáo dục và định hƣớng đổi mới phƣơng pháp
dạy học ở Việt Nam góp phần phát triển năng lực toán học cho học sinh trung
học phổ thông.



7
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
i. Nghiên cứu cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của việc dạy học phát triển
năng lực cho học sinh trung học phổ thông với các bài toán tiếp cận chƣơng
trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA)
ii. Thiết kế và tổ chức hoạt động dạy học với các bài toán tiếp cận chƣơng
trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA)
iii. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để khảo sát thực trạng; đánh giá sự phù
hợp của đề tài với điều kiện giáo dục và định hƣớng đổi mới phƣơng pháp
dạy học ở Việt Nam; So sánh sự phát triển năng lực toán của học sinh đƣợc

thực nghiệm và học sinh không thực nghiệm
5. Phạm vi nghiên cứu
Một số chủ đề của Hàm số - Đồ thị, Đại số, Giải tích, Hình học chƣơng
trình toán trung học phổ thông.
6. Mẫu khảo sát, địa bàn khảo sát
Các bài toán PISA, các bài giảng với các bài toán tiếp cận PISA; Học
sinh khối 10, giáo viên toán trƣờng Trung học phổ thông chuyên Hùng
Vƣơng, tỉnh Gia Lai.
7. Giả thuyết khoa học
Dạy học phát triển năng lực cho học sinh trung học phổ thông với các
bài toán tiếp cận chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) có tính cấp
thiết và tính khả thi cao, phù hợp với điều kiện giáo dục và định hƣớng đổi
mới phƣơng pháp dạy học của Việt Nam, đáp ứng yêu cầu năng lực toán học
phổ thông của ngƣời lao động trong thời đại mới.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
8.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu
Nghiên cứu mục tiêu, nội dung, cách đặt vấn đề và phƣơng pháp giải
quyết vấn đề của các bài toán PISA
8
Nghiên cứu các chủ đề của Hàm số - Đồ thị, Đại số, Giải tích, Hình học
chƣơng trình toán trung học phổ thông
Nghiên cứu cơ sở lý luận và phƣơng pháp dạy học toán liên quan đến
đề tài
8.2 Phương pháp thực nghiệm
i. Thực nghiệm khảo sát thực trạng
Thực nghiệm khảo sát phong cách học tập của học sinh và đánh giá
một số yếu tố năng lực toán học của học sinh trung học phổ thông
Thực nghiệm khảo sát phong cách dạy học của giáo viên và đánh giá
việc phát triển năng lực toán cho học sinh
ii. Thực nghiệm đánh giá giả thuyết

Thực nghiệm giảng dạy để đánh giá tính khả thi của đề tài
Thực nghiệm kiểm tra, so sánh với nhóm đối chứng để đánh giá mức
hiệu quả của đề tài
9. Đóng góp của Luận văn
9.1 Về mặt lý luận
Luận văn đã đề xuất một cách thức đổi mới phƣơng pháp dạy học toán
trong xu hƣớng đổi mới của thời đại và nỗ lực đổi mới của toàn ngành hiện
nay.
9.2 Về mặt thực tiễn
Luận văn đã chứng tỏ: Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán tiếp
cận chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) là một phƣơng pháp khả
thi, mang lại hiệu quả trong việc phát triển một số yếu tố của năng lực toán
học cho học sinh trung học phổ thông, phù hợp với điều kiện giáo dục nhà
trƣờng và định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học; đồng thời góp phần đáp
ứng yêu cầu đào tạo tiếp cận năng lực cần thiết của ngƣời lao động trong thời
đại mới.

9
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, các phụ lục và tài liệu tham
khảo, Nội dung chính của luận văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn
Chƣơng 2: Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán tiếp cận chƣơng
trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) theo quan điểm dạy học định hƣớng
phát triển năng lực
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm
10
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1.1 Một số vấn đề lý luận

1.1.1 Bài toán, bài toán thực tiễn và Quá trình toán học hóa
G. Polya định nghĩa: “Bài toán là nhu cầu hay yêu cầu đặt ra sự cần
thiết phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục
đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” [9, tr. 119]. Bài toán
xuất phát từ yêu cầu hay nhu cầu mà ta gọi là ƣớc muốn (hay vấn đề), ƣớc
muốn có khi dẫn đến một bài toán, có khi không dẫn đến bài toán. Nếu khi có
một ƣớc muốn, mà trong đầu ta, không cần một chút cố gắng nào, lập tức nảy
sinh ra một phƣơng tiện rõ ràng mạch lạc, mà dùng phƣơng tiện đó chắc chắn
có thể thực hiện đƣợc ƣớc muốn, thì sẽ không nảy ra bài toán. Nhƣng nếu
không có đƣợc một phƣơng tiện nhƣ vậy, thì đó là một bài toán. Một vấn đề
có thể là bài toán đối với ngƣời này nhƣng không phải là bài toán đối với
ngƣời khác tùy thuộc vào phƣơng tiện (kiến thức và kinh nghiệm) mà họ có.
Nhƣ vậy, bài toán thực tiễn là bài toán mà yêu cầu hay nhu cầu cần đạt
đƣợc xuất phát từ trong thực tiễn cuộc sống. Ví dụ: “Xây dựng một công trình
thủy lợi trên một dòng sông” là một bài toán thực tiễn. Chúng ta cần phân biệt
bài toán “thực tiễn đích thực” với bài toán “ngụy thực tiễn”. Có một số sách,
tài liệu, công trình khoa học đã đồng nhất hai khái niệm này. Ví dụ: “Số trứng
ở rổ thứ nhất gấp đôi số trứng ở rổ thứ hai. Nếu bớt đi 20 quả ở rổ thứ nhất và
bỏ thêm 10 quả vào rổ thứ hai thì số trứng ở rổ thứ nhất gấp 4/3 lần số trứng ở
rổ thứ hai. Tính số trứng ban đầu ở mỗi rổ?” [9, tr. 58]. Thoạt nhìn, ta tƣởng
đây là bài toán thực tiễn bởi “ngôn ngữ thực” của bài toán. Tuy nhiên, bài
toán này không xuất phát từ một mong muốn nào trong thực tiễn, nó chẳng
giải quyết vấn đề nào của thực tiễn cả bởi ta không bao giờ gặp nó trong thực
tiễn, chúng ta đếm mỗi rổ có bao nhiêu trứng là cách làm thực tế và khả thi
hơn nhiều việc tính tỉ lệ rồi đong qua xớt lại nhƣ bài toán nêu. G. Polya gọi
11
các bài toán này là các “bài toán đố bằng lời”, tức là các bài toán đƣợc hƣ
cấu nhằm thách đố ngƣời giải. Về nhiều phƣơng diện, các bài toán thực tế
khác xa những bài toán thuần túy toán học. Tuy nhiên, các lý luận và phƣơng
pháp chính để giải thì về căn bản là nhƣ nhau. Hơn nữa, những bài toán thực

tiễn nói chung có bao gồm một phần toán học. Trong bài toán thực tiễn, các
ẩn, các dữ kiện, các điều kiện là phức tạp hơn và không đƣợc xác định rõ ràng
nhƣ trong một bài toán thuần túy toán học. Để giải quyết một bài toán thuần
túy toán học, chúng ta xuất phát từ những khái niệm rất rõ ràng, tƣơng đối có
trật tự trong ý nghĩ của chúng ta. Với một bài toán thực tế nhiều khi ta phải
xuất phát từ những ý nghĩ mơ hồ và việc làm sáng tỏ các khái niệm có khi lại
là một bộ phận quan trọng của bài toán. Nhƣ vậy, giải một bài toán thực tiễn
đòi hỏi năng lực giải quyết vấn đề cao hơn khi giải một bài toán thuần túy
toán học. Muốn đạt và giải một bài toán thuần túy toán học xuất phát từ
những vấn đề thực tiễn thì thông thƣờng chúng ta giới hạn trong việc tính gần
đúng, vì ta buộc phải bỏ qua một số dữ kiện và điều kiện phụ của bài toán
thực tiễn. Tóm lại, “trong các bài toán thực tế, tất cả đều phức tạp hơn và
không rõ ràng như trong các bài toán thuần túy toán học. Đó là điều khác
nhau cơ bản giữa hai loại bài toán đó và từ đó dẫn đến nhiều sự khác nhau
nữa, tuy nhiên, các lập luận và phương pháp cơ bản để đạt được lời giải thì
đều như nhau trong cả hai loại bài toán” [9, tr. 50].
Vì lẽ đó, khi giải một bài toán thực tế, ngƣời ta tìm cách dịch nó sang
ngôn ngữ toán học để đƣợc bài toán thuần túy toán học. Quá trình đó ta gọi là
quá trình “toán học hóa” (Mathematisation). Từ một bài toán thực tế thông
qua quá trình toán học hóa, có thể biến thành một bài hoặc cũng có thể nhiều
bài toán thuần túy toán học mà mỗi bài toán giải quyết một nhiệm vụ của bài
toán thực tế đó. Điều đó phụ thuộc vào tính phức tạp của bài toán thực tế, bản
chất của lĩnh vực thực tế và vào “tay nghề” của ngƣời thực hiện toán học hóa.
Trong quá trình toán học hóa, để biến một bài toán thực tế thành một bài toán
12
thuần túy toán học chúng ta thƣờng phải đặt ra một số điều kiện lý tƣởng cho
ẩn. Do đó, kết quả của bài toán thuần túy toán học nhiều khi không phản ánh
đúng kết quả thực tế. Việc đánh giá, phê phán lời giải của bài toán thuần túy
toán học và làm cho nó có ý nghĩa thực tế là một khâu quan trọng trong quá
trình toán học hóa. Để có quá trình toán học hóa tốt, chúng ta cần xây dựng

quy trình để đảm bảo sự tƣơng ứng chặt chẽ của hai bài toán. PISA – Chƣơng
trình đánh giá học sinh quốc tế đã đƣa ra quy trình toán học hóa gồm 3 giai
đoạn và 5 bƣớc trong các bài toán của mình [xem mục 1.2, PISA và các bài
toán của PISA]. Đây cũng là quy trình mà chúng ta sẽ sử dụng trong luận văn
này.
1.1.2 Ký hiệu, ngôn ngữ toán học
Toán học có các ký hiệu, phép toán và ngôn ngữ đặc thù của mình mà
chúng ta thƣờng gọi là ngôn ngữ toán học, một loại ngôn ngữ đặc biệt, xúc
tích, rõ ràng, không hề có ngoại lệ (bất quy tắc) nhƣ đối với các ngôn ngữ
thông thƣờng. Điều đó xuất phát từ bản chất logic của toán học và hoàn toàn
thích ứng với trình bày toán học.
Một số ký hiệu nhƣ các dấu +, -, =, … đã có một ý nghĩa nhất định; trái
lại, những ký hiệu khác nhƣ các chữ cái La Tinh và Hy Lạp thƣờng dùng với
những ý nghĩa khác nhau tùy theo từng bài toán. Khi ta khảo sát một bài toán
mới, ta phải chọn một số ký hiệu, đƣa ký hiệu vào một cách thích hợp. Điều
đó cũng tự nhiên nhƣ khi ta sử dụng ngôn ngữ thông thƣờng: nhiều từ ngữ có
ý nghĩa thay đổi tùy theo hoàn cảnh, nên tùy vào mục đích ta chọn lọc từ ngữ
cho phù hợp. Việc chọn ký hiệu là một giai đoạn quan trọng trong khi giải
(hay toán học hóa) một bài toán. Để có cơ sở cho sự lựa chọn đó, ta phải
nghiên cứu thật kỹ mọi yếu tố của bài toán. Cách ký hiệu thích hợp có ý nghĩa
hàng đầu để giúp ta hiểu đƣợc bài toán. Một ký hiệu tốt phải thỏa mãn các
yêu cầu sau: có nội dung và dễ nhớ; nó phải tránh đƣợc mọi lối giải thích
không rõ ràng. Thứ tự các ký hiệu và sự tƣơng quan giữa chúng phải làm ta
13
liên tƣởng đến thứ tự và sự tƣơng quan giữa các đối tƣợng tƣơng ứng. Sau
đây là một số yêu cầu đối với việc sử dụng ký hiệu trong quá trình toán học
hóa:
Thứ nhất, các ký hiệu không đƣợc nhập nhằng. Chẳng hạn, trong cùng
một vấn đề không bao giờ đƣợc dùng một ký hiệu để chỉ hai đối tƣợng khác
nhau. Nếu trong một bài toán ta đã gọi a là một độ dài nào đó thì không đƣợc

gọi một phần tử nào khác là a. Dĩ nhiên, trong một bài toán khác thì có thể
dùng chữ a với một ý nghĩa khác. Tuy không đƣợc dùng một ký hiệu để chỉ
hai đối tƣợng khác nhau nhƣng ta có quyền dùng những ký hiệu khác nhau để
chỉ cùng một đối tƣợng. Chẳng hạn, viết tích của a với b là: a x b, a.b, ab.
Nhƣng mỗi khi thấy làm nhƣ vậy là có lợi thì cũng phải thận trọng. Nói
chung, nên dùng một ký hiệu cho một đối tƣợng và không bao giờ nên dùng
nhiều ký hiệu không cần thiết.
Thứ hai, các dấu hiệu đƣợc chọn phải dễ nhớ và dễ nhận, mỗi dấu hiệu
phải nhắc ta tức khắc đến đối tƣợng tƣơng ứng và ngƣợc lại. Một cách để có
đƣợc ký hiệu dễ nhớ là dùng các chữ cái đầu tiên của tên đối tƣợng. Ví dụ:
chữ t để chỉ thời gian (time: thời gian), V để chỉ thể tích (volume: thể tích),…
Thứ ba, cần chú ý đến thứ tự và quan hệ giữa các ký hiệu. Một ký hiệu
không những giúp ta liên hệ với các khái niệm mà còn đặc biệt lợi ích là giúp
ta quan niệm đƣợc bài toán khi thứ tự và quan hệ giữa các ký hiệu làm ta liên
tƣởng đến thứ tự và quan hệ giữa các đối tƣợng. Để chỉ các đối tượng gần
nhau trong bài toán, ta chọn các chữ theo thứ tự trong bảng chữ cái. Ta
thƣờng dùng những chữ cái đầu tiên nhƣ a, b, c để chỉ những đại lƣợng đã cho
hay những hằng số và các chữ cuối nhƣ x, y, z để chỉ những đại lƣợng chƣa
biết hay biến thiên. Để chỉ các đối tượng cùng một phạm trù, ta thường chọn
những chữ thuộc cũng một mẫu tự và ta dùng những mẫu tự khác cho những
phạm trù khác. Chẳng hạn, trong hình học phẳng ta thƣờng dùng: Chữ in hoa
của mấu tự la tinh nhƣ A, B, C để chỉ các điểm, chữ thƣờng a, b, c để chỉ các
14
đƣờng thẳng, chữ thƣờng Hi Lạp

,

,

để chỉ các góc. Khi gặp hai đối

tượng thuộc những phạm trù khác nhau, nhưng lại có quan hệ với nhau thì ta
có thể dùng những chữ tương ứng trong các tự mẫu khác nhau, hoặc dùng
chữ in và chữ thường. Chẳng hạn, trong tam giác, ta ký hiệu: A, B, C là các
đỉnh; a, b, c chỉ các cạnh;

,

,

chỉ các góc và ta hiểu a là cạnh đối của
đỉnh A, và góc ở A là

.
Thứ tư, ƣu tiên lựa chọn các “ký pháp mạnh”. Chẳng hạn, ta thƣờng ký
hiệu hai tam giác đồng dạng:
ABC
~
EFG
. Trong các tài liệu hiện nay,
công thức ấy còn bao hàm một điều là trong hai tam giác đồng dạng đó, các
đỉnh tƣơng ứng với nhau theo thứ tự đã viết: A tƣơng ứng với E, B với F, C
với G. Nhƣng các sách trƣớc đây không dùng sự tƣơng ứng đó, nên độc giả
phải nhìn vào hình vẽ hay phải nhớ lại nội dung của vấn đề thì mới biết đƣợc
sự tƣơng ứng giữa các phần tử. Rõ ràng là các sách hiện tại có sự cãi tiến so
với sách trƣớc đây, nhờ “làm mạnh” ký pháp mà ta có thể rút ra đƣợc những
hệ quả của công thức mà không cần nhìn hình vẽ. Chẳng hạn, ta có thể kết
luận rằng: gốc B bằng gốc F hay tỉ số AB:BC = EF:FG. Ta nói ký pháp hiện
nay mạnh hơn hay có ý nghĩa hơn ký pháp trƣớc đây, nó phản ánh thứ tự và
quan hệ các đối tƣợng một cách đầy đủ hơn và cho phép rút ra đƣợc nhiều hệ
quả hơn.

Thứ năm, cần chú ý đến nghĩa phụ, nghĩa phổ dụng của ký pháp. Trong
ngôn ngữ có một số từ có nghĩa phụ, đó là những từ mà đem đặt vào trong
một số câu, nghĩa của chúng có thể bị ảnh hƣởng ít nhiều và thêm vào nghĩa
thông thƣờng (nghĩa đầu tiên) chúng nhận đƣợc một ý nghĩa mới. Vì vậy,
muốn diễn tả chính xác, ta phải chọn trong số những từ gần nghĩa, từ nào
thích hợp nhất trong câu. Trong ký pháp toán học cũng thế, những ký hiệu có
thể nhận một ý nghĩa phụ nào đó khi đặt chúng vào trong bài bên cạnh nghĩa
phổ dụng của nó. Chẳng hạn, chữ e thƣờng chỉ cơ số của logarit tự nhiên, chữ
i chỉ đơn vị ảo (căn bậc hai của -1), ký hiệu

chỉ tỉ số của đƣờng tròn với
15
đƣờng kính của nó. Nói chung chỉ nên dùng các ký hiệu đó theo nghĩa phổ
dụng của chúng, vì nếu chúng ta dùng chúng theo một nghĩa khác, thì nghĩa
phổ dụng của chúng có thể làm cho chúng ta lúng túng và dễ nhầm lẫn.
Tóm lại, trong khi đặt các bài toán hay trong quá trình toán học hóa, khi
ta cần chọn một trong nhiều ký pháp, ta có thể thiên về cách này hay cách
khác tùy vào mục đích của chúng ta. Cần thận trọng để chọn đƣợc ký hiệu
thích hợp làm cho bài toán của chúng ta rõ ràng nhất và mang lại thuận lợi
nhất trong trình bày, giảng giải.
1.1.3 Năng lực (Competence) và năng lực toán (mathematical competence)
1.1.3.1 Năng lực (Competence)
Theo từ điển Bách khoa Việt Nam [tập III, tr 41]: “Năng lực là đặc
điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo, tức là có thể thực hiện một
cách thành thục và chắc chắn một hay một số dạng hoạt động nào đó”
Theo tâm lý học: “Năng lực là tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cá
nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định
nhằm đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt”
Theo Nguyễn Văn Cƣờng [6, tr. 44]: “Năng lực là khả năng thực hiện
có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề

trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay
cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn
sàng hành động.”
Nhƣ vậy có thể hiểu: “Năng lực là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân
đảm bảo thực hiện được một dạng hoạt động nào đó”.
1.1.3.2 Năng lực toán (Mathematical competence)
Năng lực toán là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện các
hoạt động toán học. Các kỹ năng của cá nhân vừa là sản phẩm của sinh lý (có
sẵn) vừa là sản phẩm của tâm lý (do rèn luyện mà có). Các hoạt động toán
16
học đó là các thao tác đặc trƣng (phân tích, suy luận, lập luận, chứng
minh,…) với các đối tƣợng, nội dung toán học.
Theo V.A.Krutetxki cấu trúc năng lực toán gồm 4 thành phần:
1) Khả năng thu nhận thông tin toán
2) Khả năng chế biến thông tin toán
3) Khả năng lƣu trữ thông tin toán
4) Khuynh hƣớng chung về toán
* Các yếu tố ảnh hƣởng đến sự hình thành và phát triển năng lực toán:
Yếu tố tự nhiên – sinh học: Năng lực toán của học sinh đƣợc di truyền
từ cha mẹ, mà chúng ta hay gọi là năng khiếu toán. Thực tế có nhiều học sinh
đƣợc thừa hƣởng những thuộc tính sinh học (gen), những phẩm chất toán học
từ cha mẹ là những ngƣời có năng lực toán học tốt. Di truyền tạo ra những
điều kiện ban đầu để học sinh có triển vọng phát triển năng lực toán tốt. Tuy
nhiên, điều đó chỉ tạo nên những tiền đề vật chất cho sự hình thành và phát
triển năng lực toán sau này.
Yếu tố môi trường xã hội và giáo dục: Mỗi học sinh đều sống (hoạt
động) trong một môi trƣờng xã hội nhất định. Môi trƣờng góp phần tạo nên
động cơ, mục đích, phƣơng tiện, hành động của cá nhân, trong đó giáo dục
đóng vai trò chủ đạo. Chính vì thế, trên thế giới có những nƣớc toán học rất
phát triển, là môi trƣờng ƣơm mầm cho những tài năng toán học xuất chúng.

Hay trong một quốc gia, có những địa phƣơng có phong trào học toán vƣợt
trội so với những nơi khác, mà ngƣời ta hay gọi là đất học toán.
Yếu tố nội dung của toán học: Chính trong bản thân môn toán học với
nội dung có đặc tính trừu tƣợng, logic đã góp phần hình thành và phát triển
các năng lực toán học cho học sinh. Việc học tập toán một cách có hệ thống,
phƣơng pháp phù hợp là điều kiện quan trọng để học sinh phát triển năng lực
toán một cách bền vững.
17
Yếu tố hoạt động của học sinh: Hoạt động của học sinh đóng vai trò
quyết định trực tiếp đến sự hình thành và phát triển năng lực toán. Muốn hình
thành và phát triển năng lực toán, học sinh cần phải đƣợc trực tiếp thao tác,
hoạt động với các đối tƣợng, nội dung toán học một cách tích cực, say mê,
cộng với ý chí, nghị lực và sự kiên trì để vƣợt qua các trở ngại, dần dần chiếm
lĩnh các tri thức toán học. Trong quá trình hoạt động đó, tùy vào sự nỗ lực của
bản thân mà năng lực toán học sẽ đƣợc hình thành và phát triển ở các mức độ
khác nhau ở mỗi học sinh. Điều đó khẳng định, năng lực, tài năng của mỗi
con ngƣời chỉ có thể đƣợc hình thành trong hoạt động, thông qua hoạt động
và bằng hoạt động của mỗi cá nhân.
1.2 PISA và các bài toán của PISA
1.2.1 Tổng quan về PISA (Programme for International Student Assessment)
PISA (Programme for International Student Assessment) – là chƣơng
trình đánh giá học sinh quốc tế do tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD
(Organisation for Economic Cooperation and Development) khởi xƣớng và
chỉ đạo từ năm 1997, đến năm 2000 cuộc thi PISA lần đầu tiên đƣợc tổ chức
với 43 nƣớc tham gia trong đó có 14 nƣớc không thuộc khối OECD. Đến nay
đã có thêm 3 đợt khảo sát tiếp theo với chu kỳ 3 năm/lần vào các năm 2003,
2006, 2009. Đợt khảo sát tiếp theo sẽ tổ chức vào năm 2012, đã có hơn 70
quốc gia (trong đó có Việt Nam) đăng ký tham gia để đánh giá và theo dõi
tiến bộ của mình nhằm phấn đấu đạt đƣợc các mục tiêu giáo dục cơ bản.
Đặc điểm của PISA

PISA nổi bật nhờ quy mô toàn cầu và tính chu kỳ. Đây là khảo
sát giáo dục lớn nhất trên thế giới từ trƣớc đến nay đánh giá năng lực phổ
thông (literacy) của học sinh ở độ tuổi 15, độ tuổi kết thúc giáo dục bắt buộc
ở hầu hết các quốc gia OECD. Tính độc đáo của PISA thể hiện ở những vấn
đề đƣợc đánh giá. Đó là chính sách công (public policy); hiểu biết phổ thông
(literacy); học tập suốt đời (lifelong learning).
18
Mục tiêu của PISA
PISA không chỉ có ý nghĩa nhƣ một cách “chụp ảnh” mô tả tại một thời
điểm nhất định mà mục tiêu của PISA là nhằm kiểm tra xem khi đến độ tuổi
kết thúc phần giáo dục bắt buộc, học sinh đã đƣợc chuẩn bị để đáp ứng các
thách thức của cuộc sống sau này ở mức độ nào. Chính vì vậy nội dung đánh
giá của PISA không dựa vào nội dung chƣơng trình giáo dục của các quốc
gia, mà đánh giá năng lực phổ thông (literacy) mà học sinh có đƣợc từ các
chƣơng trình đó.
PISA đánh giá năng lực của học sinh ở độ tuổi 15 ở 4 lĩnh vực: Toán
học (mathematic); Đọc hiểu (reading); Khoa học (science); Giải quyết tình
huống (problem solving). Đây đƣợc xem nhƣ là 4 năng lực thiết yếu chuẩn bị
để đáp ứng những thử thách trong cuộc sống ở một xã hội hiện đại. PISA thu
thập và cung cấp cho các quốc gia các dữ liệu có thể so sánh đƣợc ở tầm quốc
tế, để các quốc gia có những thay đổi đối với chính sách giáo dục của mình.
Dạng thức bài thi của PISA
Trong mỗi kỳ, PISA sẽ đánh giá trên 4 lĩnh vực: Toán, khoa học, đọc
hiểu và xử lý tình huống (mới chỉ đƣa vào 1 lần năm 2003) và một lĩnh vực
đƣợc chọn làm trọng tâm, trọng tâm ở lĩnh vực nào thì 2/3 số câu hỏi sẽ tập
trung vào lĩnh vực đó. Toán học đƣợc đặt trọng tâm vào năm 2003 và sắp tới
là năm 2012. Ở mỗi kỳ, số lƣợng câu hỏi tƣơng đƣơng với tổng thời lƣợng
làm bài 6,5 giờ. Các câu hỏi này đƣợc tổ hợp thành các bộ đề thi (booklet)
khác nhau, mỗi bộ đề thi sẽ đánh giá một số nhóm năng lực nào đó của một
lĩnh vực nào đó và đƣợc đóng thành quyển “Bộ đề kiểm tra PISA” để phát

cho học sinh, thời gian làm bài mỗi bộ đề khoảng 2 giờ. Trong mỗi đề thi viết
gồm 2 phần: phần trả lời câu hỏi trắc nghiệm và một phần là trả lời câu hỏi
viết. Mỗi đề thi của PISA đƣợc cấu thành từ các bài tập (unit), cấu trúc mỗi
bài gồm hai phần: phần đầu là phần dẫn, phần này nêu nội dung một tình
huống trình bày dƣới dạng văn bản, bảng, biểu đồ,… phần thứ hai là các câu
19
hỏi (items). Các dạng câu hỏi thƣờng đƣợc sử dụng trong các bài tập là: câu
hỏi nhiều lựa chọn; câu trả lời đóng; câu trả lời ngắn và câu điền tiếp. Ví dụ,
PISA năm 2006 có khoảng 40% dạng câu hỏi trả lời ngắn; 8% loại câu hỏi
đóng và khoảng 52% loại câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn.
Trƣớc khi làm bài, học sinh, giáo viên và nhà trƣờng phải điền vào
phiếu điều tra về thông tin nhƣ thói quen và động cơ học tập, phƣơng pháp
học tập và các thông tin về gia đình. Giáo viên và nhà trƣờng trả lời phiếu
điều tra về tài chính và các điều kiện của nhà trƣờng. Những thông tin này
giúp xác định các nhân tố tác động đến kết quả điều tra. Sau kỳ điều tra, phải
mất ít nhất một năm để xử lý dữ liệu và hoàn thành báo cáo.
Quy mô của PISA
Cuộc thi PISA lần đầu tiên năm 2000 có 43 nƣớc tham gia (14 nƣớc
không thuộc khối OECD); năm 2003 có 41 nƣớc tham gia (10 nƣớc không
thuộc khối OECD); năm 2006 có 57 nƣớc tham gia (27 nƣớc không thuộc
khối OECD); năm 2009 có 67 nƣớc tham gia (36 nƣớc không thuộc khối
OECD); năm 2010 đã có hơn 70 nƣớc đăng ký tham gia (có cả Việt Nam).
Nhƣ vậy, có thể nói PISA có quy mô toàn cầu và không ngừng mở rộng sau
mỗi chu kỳ tổ chức. Phần lớn các nƣớc tham gia PISA đều là các nƣớc đã và
đang có thu nhập bình quân trên đầu ngƣời cao hoặc tƣơng đối cao (những
nƣớc có sự quan tâm và đầu tƣ lớn cho giáo dục), ngoại trừ Indonesia (1900
USD/ngƣời), Tunisia (3700 USD/ngƣời), Jordan (2700 USD/ngƣời). Việt
Nam cũng đã đăng ký tham gia khảo sát PISA vào năm 2012.
1.2.2 Bài toán của PISA
1.2.2.1 Đặc điểm các bài toán của PISA

Các bài toán của PISA đều xuất phát từ bối cảnh, tình huống và những
vấn đề thực tiễn của cuộc sống cá nhân, cộng đồng hay toàn cầu có thể xảy ra
hàng ngày. Các bài toán PISA bao phủ toàn bộ nội dung toán cơ bản phổ
thông, đƣợc thiết kế dƣới dạng các bài tập rất sinh động, có hình ảnh, bảng
20
biểu, đồ thị minh họa và thách thức ngƣời giải bởi lời dẫn và cách đặt các câu
hỏi từ dễ đến khó. Ta tìm hiểu hai đặc điểm nổi trội làm nên tính đặc thù của
các bài toán PISA
1) Thế giới thực tiễn
Dễ dàng nhận thấy các bài bài toán của PISA có một đặc điểm rất đặc
thù và nổi bật đó là đều xuất phát từ các tình huống, các vấn đề của thực tiễn,
rất gần gũi với đời sống hằng ngày của cá nhân, cộng đồng hay toàn cầu nhƣ:
ngƣời đi bộ, tham quan ở trƣờng, băng chuyền, xây dựng hình khối, khúc côn
cầu trên băng, tốc độ đua xe, trồng táo, trang trại, diện tích lục địa, Kèm
theo lời dẫn khá lôi cuốn và thách thức, nêu ra các dữ kiện của bài toán là các
hình ảnh, mô hình, bảng biểu, biểu đồ, đồ thị, làm cho ngƣời đọc có cảm
giác là mình đang đứng trƣớc thực tiễn đó, đó là vấn đề của mình, tạo hứng
thú và động cơ thúc đẩy giải bài toán. Điều này khác xa các bài toán khô khan
mà học sinh của chúng ta đang học.
Vì các bài toán của PISA rất gần với thực tế nên ngoài mục đích là đƣa
ra vấn đề cần giải quyết cho học sinh, bài toán còn cung cấp rất nhiều thông
tin bổ ích từ thực tiễn nhƣ các môn thể thao, các công nghệ ứng dụng trong
đời sống, địa lí thế giới, lịch sử, thời tiết, sản xuất, quản lý nhân sự, điều
khiển máy móc, Do đó, có thể nói các bài toán PISA ngoài là đề thi còn là
một hình thức truyền tải bài học đầy kiến thức cho học sinh. Không cần phải
bắt các em học, để làm đƣợc bài toán các em phải đọc đi, đọc lại, nghiên cứu
kỹ bài toán chính là một cách học hết sức hiệu quả của các em rồi mà ngay
bản thân các em cũng không biết là mình đang học. Hơn nữa, các bài toán
PISA phản ánh các vấn đề thực tiễn gần gũi với học sinh nên tạo cho các em ý
thức xung quanh mình lúc nào cũng tồn tại các bài toán mà mình hoàn toàn có

thể giải quyết đƣợc, giúp các em tiếp cận với nghiên cứu khoa học và học tập
suốt đời.

21
2) Thế giới toán học
Các bài toán của PISA bao phủ hầu nhƣ toàn bộ các nội dung toán học
cơ bản ở phổ thông: số học, đại số, giải tích, tình học phẳng, hình học giải
tích, tập hợp thống kê, tọa độ, đồ thị, Một bài toán PISA có thể chứa nhiều
đơn vị kiến thức của các phân môn khác nhau, nên khi giải cần có kiến thức
tổng hợp và phải rất thận trọng khi thực hiện quá trình toán học hóa để giải
quyết bài toán. Về độ khó, các bài toán PISA không yêu cầu cao về kiến thức
toán cũng nhƣ các kỹ năng biến đổi toán học. Xét thuần túy về mặt toán học
thì chúng không khó và rất cơ bản. Nếu bài toán đã đƣợc toán học hóa thành
một bài toán học thuần túy thì đối với học sinh trung bình trở lên ở Việt Nam
việc giải chúng không có gì khó khăn. Nhƣng các bài toán PISA lại đòi hỏi kỹ
năng phán đoán, phân tích, suy luận và đặc biệt là kỹ năng giải quyết vấn đề.
Cái khó trong các bài toán này đó là phải thấy đƣợc “thế giới toán học trong
bài toán” và vận dụng những kiến thức nào của toán học để giải quyết chúng.
Nhƣ vậy, để giải đƣợc các bài toán PISA học sinh cần có kiến thức toán cơ
bản và khá tổng hợp; đồng thời, phải thƣờng xuyên đƣợc rèn luyện khả năng
giải quyết vấn đề và thực hiện thành thục quá trình toán học hóa.
1.2.2.2 Một số bài toán của PISA và các phân tích
Trong phần này, chúng tôi đƣa ra một số bài toán đã đƣợc PISA sử
dụng vào năm 2006, để làm ví dụ minh họa và phân tích một số yêu cầu về
năng lực để giải quyết các vấn đề mà bài toán đặt ra.
1. M037_Trang trại [22, tr. 3]
Bạn thấy một bức ảnh của một nhà ở trang trại có dạng một hình kim tự
tháp:
22

Dƣới đây là mô hình toán học của một học sinh về mái của nhà trang
trại đó với các số đo đƣợc thêm vào

Mặt bằng tầng mái, ABCD trong mô hình là một hình vuông, những xà
đỡ mái là những cạnh của một hình khối (khối chữ nhật) EFGHKLMN. Với E
là trung điểm của AT, F là trung điểm của BT, G là trung điểm của CT, H là
trung điểm của DT. Tất cả các cạnh của kim tự tháp trong mô hình có chiều
dài 12m
Câu hỏi 1: Trang trại
Tính diện tích mặt bằng tầng mái ABCD
Diện tích của mặt bằng tầng mái ABCD = . . . m
2


23
Câu hỏi 2: Trang trại
Tính chiều dài cạnh EF, một trong những cạnh ngang của khối
Chiều dài cạnh EF = . . . m.
Cách cho điểm:
Câu hỏi 1: Trả lời 144, cho điểm tối đa; các trả lời khác, không cho điểm
Câu hỏi 2: Trả lời 6, cho điểm tối đa; các trả lời khác không cho điểm
Phân tích:
Nội dung toán trong bài tập: Hình học không gian, diện tích
Yêu cầu về năng lực toán:
Để giải quyết đƣợc nhiệm vụ trong câu hỏi 1, học sinh cần biết kết nối
mô hình thực tế với mô hình toán học; cần biết tính diện tích của hình vuông
khi biết độ dài cạnh. Học sinh cũng cần biết thực hiện những tính toán đơn
giản khi tính diện tích.
Để giải quyết đƣợc nhiệm vụ trong câu hỏi 2, học sinh cần biết kết nối
mô hình thực tế với mô hình toán học. Học sinh cần phải nhìn thấy một hình

tam giác (hai chiều) trong hình biểu diễn ba chiều; biết lựa chọn thông tin
thích hợp về độ dài tƣơng ứng và từ đó giải bài toán.
2. M136_Những cây táo [22, tr. 11]
Một nông dân trồng táo theo một quy luật hình vuông. Để bảo vệ cây
táo, bác đã trồng những cây chắn gió ở quanh vƣờn.
Ở đây bạn sẽ thấy sơ đồ có quy luật của các cây táo và cây chắn gió với
số (n) hàng của cây táo: