Dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông theo định hướng phát triển năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC





CAI VIỆT LONG








DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO ĐỊNH
HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ CỦA
THỰC TIỄN



LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN




Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10

HÀ NỘI – 2012

2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC








CAI VIỆT LONG








DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO ĐỊNH
HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ CỦA

THỰC TIỄN



LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN
TOÁN)
Mã số: 60 14 10



Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Nguyễn Hữu Châu



HÀ NỘI – 2012

7

MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn i
Danh mục các ký hiệu, các chữ cái viết tắt ii
Danh mục các bảng iii
Danh mục các đồ thị iv
Mục lục v
MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 5
1.1. Một số vấn đề về lý luận 5
1.1.1. Bài toán, bài toán thực tiễn và Quá trình toán học hóa 5

1.1.2. Năng lực và năng lực toán 12
1.2. PISA và các bài toán của PISA 16
1.3. Một số vấn đề về thực tiễn 36
1.3.1. Các vấn đề trong chương trình giáo dục phổ thông 36
1.3.2. Các vấn đề về phong cách học tập của người học 37
1.3.3. Một số thực trạng của việc sử dụng các PPDH toán
hiện nay 38
1.3.4. Một số thuận lợi của đổi mới PPDH môn Toán
hiện nay 38
1.3.5. Một số khó khăn, hạn chế của việc đổi mới PPDH môn
Toán hiện nay 39
1.3.6. Một số định hướng khai thác ứng dụng của toán học trong
thực tế 39
1.3.7. Một số biện pháp để khai thác ứng dụng của toán học trong
thực tiễn 40
1.3.8. Một số ý nghĩa của việc khai thác những tình huống thực
tế vào dạy học môn Toán 40
1.3.9. Một số khó khăn của việc khai thác những tình huống thực
tế vào dạy học môn Toán 40
1.3.10. Thực trạng của việc dạy học gắn với thực tiễn ở
một số trường THPT tại Việt Nam 41
1.4. Các tiếp cận dạy học 42
1.4.1 Tiếp cận Dạy học định hướng phát triển năng lực 42
1.4.2. Tiếp cận đánh giá năng lực toán học THPT của PISA 46
Kết luận chương 1 48
Chƣơng 2. THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC DẠY HỌC VỚI CÁC
BÀI TOÁN GẮN LIỀN VỚI THỰC TIỄN 49
2.1. Xây dựng Quy trình tổ chức dạy học với các bài toán gắn
liền với thực tiễn 49
2.1.1. Giáo viên xác định những mục tiêu và năng lực cần đạt

được ở bài dạy 49
2.1.2. Giáo viên thiết kế các bài toán thực tiễn nhằm đạt
được mục tiêu ở trên 50
2.1.3. Học sinh thực hiện mô hình hóa Toán học bài toán
thực tiễn ở trên 51
8

2.1.4. Học sinh xây dựng chiến lược giải quyết bài toán 52
2.1.5. Học sinh giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của
bài toán thực tiễn 52
2.1.6. Giáo viên và học sinh đánh giá bài học 52
2.2. Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán thực trong
môn Hình học 53
2.2.1. Bài dạy Hệ thức lượng trong tam giác –
Định lý hàm số Cosin – Định lý hàm số Sin 53
2.3. Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán thực
trong môn Đại số 58
2.3.1.Bài dạy 2.3.1: Hàm số bậc nhất 58
2.3.2. Luyện tập: Phương trình bậc nhất và phương trình bậc
hai một ẩn 62
Bài 2.3.2.1. Chim di cư 63
2.3.2. Một số bài toán thực tiễn 65
Bài 2.3.2.1. Nước cam hương vị tự nhiên 65
Bài 2.3.2.2. Đánh thuế thu nhập 66
Bài 2.3.2.3. Speeding Tickets 68
Bài 2.3.2.4. Thi chạy 100m 69
2.4. Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán thực trong
môn Lượng giác 70
2.4.1: Luyện tập đồ thị hàm số 70
Bài 2.4.1. Bài toán ngọn hải đăng 70

2.4.2. Luyện tập đồ thị hàm số 73
Bài 2.4.2. Bài toán Chiều dài bóng của một người 74
2.5. Một số bài toán thực tiễn luyện tập 77
2.5.1. Fencing a Field 77
2.5.2. Fencing a Garden Plot 78
2.5.3. Light from a Window 79
2.5.4. Biodiversity 80
2.5.5. Transparency of a Lake 81
Kết luận chương 2 83
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 84
3.1. Mục đích thực nghiệm 84
3.2. Nội dung thực nghiệm 84
Bài toán của người thợ làm thùng đựng dầu 84
Bài toán: Tìm vị trí chỗ ngồi thích hợp trong rạp chiếu phim 90
3.3. Tổ chức thực nghiệm 95
3.4. Đánh giá thực nghiệm 96
Kết luận chương 3 97
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 99
1. Kết luận 99
2. Khuyến nghị 99
TÀI LIỆU THAM KHẢO 101


4


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development, tổ chức
hợp tác phát triển kinh tế
GV: Giáo viên

HS: Học sinh
PISA: Program for International Student Assessment (chương trình đánh giá
học sinh quốc tế)
PPDH: Phương pháp dạy học
SGK: Sách giáo khoa
STT: Số thứ tự
THPT: Trung học phổ thông
Tr: Trang
VNĐ: Đồng Việt Nam
$: USD đơn vị tiền tệ Mỹ


















5

DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1.1. Các đặc điểm của ba cấp độ năng lực toán học 14
Bảng 1.2. Các đặc điểm của ba cấp độ năng lực toán học 20
Bảng 1.3. Tình hình sử dụng các PPDH ở
các trường THPT thí điểm phân ban 41



















6

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ
Trang
Sơ đồ 1.1. Quá trình mô hình hóa theo Kaiser 8
Sơ đồ 1.2. Mô hình toán học 8
Sơ đồ 1.3. Mô hình toán học 9
Sơ đồ 1.4. Quá trình toán học hóa theo PISA. 10
Sơ đồ 1.5. Đánh giá của PISA đối với các môn khoa học tự nhiên 21
Sơ đồ 1.6. Các thành phần cấu trúc năng lực 43

















9

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Qua thực tiễn dạy học môn Toán ở tại trường trung học phổ thông và
quá trình học tập, nghiên cứu sau đại học tôi có quan tâm nhiều đến mối
quan hệ về cần phát triển năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn
nhằm đáp ứng nhu cầu trong thời đại mới hiện nay. Qua quá trình nghiên
cứu, tôi đã bị cuốn hút bởi các bài toán thực tế và dựa vào dựa vào các bài
toán thực tế trên để làm thế nào phát triển được năng lực giải quyết vấn đề,
từ đó thay đổi được một số phương pháp dạy học giúp cho việc tăng hiệu
quả truyền đạt những kiến thức cho học sinh cũng như là việc tiếp thu kiến
thức trên lớp của các học trò.
Bên cạnh đó, trong chương trình sách giáo khoa trung học phổ thông
hiện nay các bài giảng, các bài toán chưa quan tâm nhiều đề giải quyết vấn
đề của đời sống thực cho học sinh.
Từ những lý do trên nên đề tài mà tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu
luận văn thạc sĩ là:
“Dạy học toán ở trường trung học phổ thông theo định hướng phát
triển năng lực giải quyết các vấn của đề thực tiễn”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Các nước trên thế giới
Vào năm 1997, OECD (Organisation for Economic Cooperation and
Development, tổ chức hợp tác phát triển kinh tế) đã khởi xướng chương trình
đánh giá học sinh quốc tế PISA (Program for International Student
Assessment). Mục đích chính của PISA là kiểm tra đánh giá và so sánh trình
độ học sinh ở độ tuổi 15 giữa các nước trong khối OECD và các nước khác
trên thế giới. Chương trình của PISA không chỉ là điều tra khối lượng kiến
thực của học sinh học được ở nhà trường mà vận dụng những tính huống ứng
10

dụng hữu ích trong cuộc sống thông qua bốn năng lực: Toán, Đọc hiểu, Khoa
học và Giải quyết tình huống.
Tại Việt Nam

Trong xu hướng phát triển hiện nay đã có nhiều công trình nghiên cứu
về phát triển năng lực giải quyết vấn đề trong môn toán, và tăng cường liên
hệ với thực tiễn thông qua một số dạy học trong chương trình trung học phổ
thông. Điều này chứng tỏ việc vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các
vấn đề thực tiễn được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Tuy nhiên chúng tôi
thấy một vài điểm mà các công trình trên chưa quan tâm:
Thứ nhất: Các biện pháp phát triển năng lực giải quyết các vấn đề ứng
dụng trong thực tiễn chưa được quan tâm đúng mực.
Thứ hai: Các bài toán chưa quan tâm đến thực tiễn.
Thứ ba: Chưa có quy trình toán học hóa để giải quyết các bài toán
trong thực tiễn.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Xây dựng một số bài giảng, các bài toán ở các môn: Đại số, Giải tích,
Hình học theo định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề của thực tiễn
phù hợp với điều kiện đổi mới phương pháp dạy học ở Việt Nam.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thứ nhất: Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc phát triển năng lực giải
quyết các vấn đề về thực tiễn.
Thứ hai: Thiết kế và tổ chức các hoạt động với các bài giảng, bài toán
gắn với đời sống thực trong chương trình sách giáo khoa ở Việt Nam.
Thứ ba: Tổ chức thực nghiệm sử phạm để khảo sát thực trạng, đánh giá
sự phù hợp của đề tài với các điều kiện giáo dục và định hướng đổi mới
phương pháp dạy học ở Việt Nam.
5. Phạm vi nghiên cứu
11

Một số chủ đề của Đại số, Giải tích, Hình học trong chương trình toán
trung học phổ thông.
6. Mẫu khảo sát
Giáo viên và học sinh trường trung học phổ thông chuyên Hà Nội –

Amsterdam.
7. Câu hỏi nghiên cứu
Dạy học môn toán theo các bài toán của thực tiễn có thể thực hiện trong
khuôn khổ chương trình toán ở THPT có làm nâng cao năng lực giải quyết
của học sinh không?
8. Giả thuyết khoa học
Dạy học môn toán theo các bài toán của thực tiễn có thể thực hiện trong
khuôn khổ chương trình toán ở THPT cho mọi đối tượng học sinh và làm
nâng cao năng lực giải quyết vấn đề về thực tiễn của học sinh.
9. Phƣơng pháp nghiên cứu
9.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu
Nghiên cứu mục tiêu, nội dung, cách đặt vấn đề và phương pháp giải
quyết vấn đề của một số mô hình dạy học quốc tế.
Nghiên cứu các chủ đề Đại số, Hình học, Giải tích trong chương trình
toán trung học phổ thông.
Nghiên cứu cơ sở lý luận và phương pháp dạy học toán liên quan đến
đề tài.
9.2. Phương pháp thực nghiệm
Thực nghiệm khảo sát thực trạng
Thực nghiệm khảo sát phong cách dạy học của giáo viên và đánh giá việc
phát triển năng lực giải quyết vấn đề của đời sống thực.
Thực nghiệm đánh giá giả thuyết
Thực nghiệm giảng dạy để đánh giá tính khả thi của đề tài.
12

Thực nghiệm kiểm tra, so sánh với nhóm đối chứng để đánh giá hiệu quả
của đề tài.
Phương pháp thống kê toán học
Thống kê, phân tích xử lý số liệu thực nghiệm để đánh giá tính hiệu quả
của đề tài.

10. Đóng góp của luận văn
10.1. Về mặt lý luận
Làm rõ cơ sở lý luận và thực tiễn của hình thức dạy học với các bài
toán gắn liền với thực tiễn.
10.2. Về mặt thực tiễn
Đề xuất được một quy trình tổ chức dạy học môn toán với các bài toán
gắn liền với thực tiễn theo định hướng phát triển một số yếu tố về năng lực
giải quyết vấn đề của đời sống thực cho học sinh.
11. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo luận văn
dự kiến được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn của đề tài nghiên cứu.
Chương 2: Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán gắn liền với
thực tiễn.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Kết luận và khuyến nghị
Tài liệu tham khảo






13

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
1.1. Một số vấn đề về lý luận
1.1.1. Bài toán, bài toán thực tiễn và Quá trình toán học hóa
1.1.1.1. Các bài toán thực tiễn

G. Polya định nghĩa: “Bài toán là nhu cầu hay yêu cầu đặt ra sự cần
thiết phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục
đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” [Sáng tạo toán học,
trang 119]. Bài toán xuất phát từ yêu cầu hay nhu cầu mà ta gọi là ước muốn
(hay vấn đề), ước muốn có khi dẫn đến một bài toán, có khi không dẫn đến
bài toán. Nếu khi có một ước muốn, mà trong đầu ta, không cần một chút cố
gắng nào, lập tức nảy sinh ra một phương tiện rõ ràng mạch lạc, mà dùng
phương tiện đó chắc chắn có thể thực hiện được ước muốn, thì sẽ không nảy
ra bài toán. Nhưng nếu không có được một phương tiện như vậy, thì đó là một
bài toán. Một vấn đề có thể là bài toán đối với người này nhưng không phải là
bài toán đối với người khác tùy thuộc vào phương tiện (kiến thức và kinh
nghiệm) mà họ có.
Như vậy, bài toán thực tiễn là bài toán mà yêu cầu hay nhu cầu cần đạt
được xuất phát từ trong thực tiễn cuộc sống. Ví dụ: “Chọn một chỗ ngồi thích
hợp trong rạp chiếu phim” là một bài toán thực tiễn. Chúng ta cần phân biệt
bài toán “thực tiễn đích thực” với bài toán “ngụy thực tiễn”. Có một số sách,
tài liệu đã đồng nhất hai khái niệm này. Ví dụ: “Một bà bán trứng cho ba
người: bán cho người thứ nhất số trứng và 3 quả; bán cho người thứ hai số
trứng còn lại và 4 quả; bán cho người thứ ba số trứng còn lại và 5 quả. Cuối
cùng còn lại 6 quả. Tính số trứng bà đã bán cho ba người?” [Bùi Văn Tuyên,
Bài toán 383, trang 90, Bài tập nâng cao một số chuyên đề Toán 6]. Thoạt
nhìn đây là bài toán thực tiễn bởi “ngôn ngữ thực” của bài toán. Tuy nhiên,
bài toán này không xuất phát từ một mong muốn nào trong thực tế, chúng ta
14

có thể đếm xem trong rổ có bao nhiêu quả trứng có khi còn khả thi hơn là tính
tỷ lệ như bài toán nêu trên. G. Polya gọi các bài toán này là các “bài toán đố
bằng lời”, tức là các bài toán được hư cấu nhằm thách đố người giải. Về
nhiều phương diện, các bài toán thực tế khác xa những bài toán thuần túy toán
học. Tuy nhiên, các lý luận và phương pháp chính để giải thì về căn bản là

như nhau. Hơn nữa, những bài toán thực tiễn nói chung có bao gồm một phần
toán học. Trong bài toán thực tiễn, các ẩn, các dữ kiện, các điều kiện là phức
tạp hơn và không được xác định rõ ràng như trong một bài toán thuần túy toán
học. Để giải quyết một bài toán thuần túy toán học, chúng ta xuất phát từ
những khái niệm rất rõ ràng, tương đối có trật tự trong ý nghĩ của chúng ta.
Với một bài toán thực tế nhiều khi ta phải xuất phát từ những ý nghĩ mơ hồ và
việc làm sáng tỏ các khái niệm có khi lại là một bộ phận quan trọng của bài
toán. Như vậy, giải một bài toán thực tiễn đòi hỏi năng lực giải quyết vấn đề
cao hơn khi giải một bài toán thuần túy toán học. Muốn đạt và giải một bài
toán thuần túy toán học xuất phát từ những vấn đề thực tiễn thì thông thường
chúng ta giới hạn trong việc tính gần đúng, vì ta buộc phải bỏ qua một số dữ
kiện và điều kiện phụ của bài toán thực tiễn. Vì vậy, “trong các bài toán thực
tế, tất cả đều phức tạp hơn và không rõ ràng như trong các bài toán thuần túy
toán học. Đó là điều khác nhau cơ bản giữa hai loại bài toán đó và từ đó dẫn
đến nhiều sự khác nhau nữa, tuy nhiên, các lập luận và phương pháp cơ bản
để đạt được lời giải thì đều như nhau trong cả hai loại bài toán” [G. Polya,
Sáng tạo toán học, tr 50].
Chính vì vậy mà khi gặp một vấn đề thực tiến để giải một bài toán thực
tiễn này, người ta tìm cách dịch nó sang ngôn ngữ toán học để được bài toán
thuần túy toán học. Quá trình đó gọi là quá trình “toán học hóa”. Từ một vấn
đề của thực tiễn hoặc bài toán thực tế thông qua quá trình toán học hóa, có thể
biến thành một bài hoặc có thể nhiều bài toán thuần túy toán học mà mỗi bài
toán giải quyết một nhiệm vụ của bài toán thực thế đó. Điều đó phụ thuộc vào
tính phức tạp của bài toán thực tế, bản chấn của lĩnh vực thực tế và vào “tay
15

nghề” của người thực hiện quy trình toán học hóa. Trong quá trình toán học
hóa, để biến một bài toán thực tế thành một bài toán thuần túy toán học chúng
ta thường đặt một số điều kiện lý tưởng cho ẩn. Ví dụ “Nếu hai vòi nước cùng
chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút.

Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút chỉ được bể
nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao
nhiêu?”, trong bài toán này ta đã coi rằng vòi nước chảy với lưu lượng nước
như nhau trên mỗi khoảng thời gian bằng nhau, trên thực tế ít khi có những
vòi nước chảy được với lưu lượng như vậy; cũng giống như ví dụ trên với
những bài toán về vận tốc, không phải lúc nào cũng có chuyển động đều với
vận tốc mà có lúc đi nhanh, có lúc đi chậm. Do đó, kết quả của bài
toán thuần túy toán học nhiều khi không phản ánh đúng kết quả thực tế. Để có
quá trình toán học hóa tốt, chúng ta cần xây dựng quy trình để đảm bảo sự
tương ứng chặt chẽ của bài toán thực tiễn và bài toán thuần túy toán học. Dựa
trên quy trình đánh giá học sinh quốc tế của PISA tôi đưa ra một quy trình mà
chúng ta sử dụng trong luận văn này.
1.1.1.2. Mô hình hóa toán học và quá trình toán học hóa
Mô hình hóa toán học theo Kaiser (2005) cho rằng, bên cạnh việc áp
dụng các thuật toán chuẩn trong chương trình vào bối cảnh thế giới thực và
các bối cảnh thế giới phục vụ như là minh họa cho các khái niệm toán học (ví
dụ như sử sụng các khoản nợ để giới thiệu số âm), các vấn đề mô hình hóa
như là các ví dụ dựa theo bối cảnh của đời sống thực đang ngày càng được coi
trọng. Tiếp cận mô hình hóa, theo đó, dựa trên cả thế giới thực và thế giới
toán học. Một quá trình mô hình hóa được thực hiện như sau: một bối cảnh
thế giới thực là điểm khởi đầu của quá trình. Tiếp đó, bối cảnh được ý tưởng
hóa (chẳng hạn, đơn giản hóa hoặc được cấu trúc để có được một mô hình thế
giới thực). Tiếp theo, mô hình thế giới thực được toán học hóa (tức là được
diễn dịch vào trong toán học sao cho nó trở thành một mô hình toán học của
16

bối cảnh ban đầu). Những xem xét toán học cho mô hình toán tạo nên các kết
quả toán học, cái mà phải được thông dịch trở lại bối cảnh thực tế. Tính phù
hợp của các kết quả phải được kiểm tra, xác nhận. Trong trường hợp lời giải
không thỏa đáng, điều hay xảy ra trong thực tế, quá trình này cần được lặp lại.

Sơ đồ 1.1. Quá trình mô hình hóa theo Kaiser








Quá trình mô hình toán học theo Kaiser được thể hiện cụ thể qua một
sơ đồ tối giản kèm theo giải thích. Chúng tương đồng với quá trình mô hình
hóa toán học mà PISA chọn làm nền tảng lý luận.
Trong sách “Functions and Models” của tác giả James Stewart có đề
cập đến Mathematical model.
Sơ đồ 1.2. Mô hình toán học của tác giả James Stewart

Mô hình toán học là sử dụng tóan học để đưa ra những đánh giá về các
hiện tượng trong xã hộ ví dụ như tính dân số, số lượng sản phẩn trong sản
Mô hình thế giới thực




Bối cảnh thực tế
Mô hình toán học




Kết quả toán học

Thực tế
Toán học
17

suất, vận tốc của các vất thể….Mục đích của mô hình là để hiểu rõ hơn về các
hiện tuợng đó và có thể đưa ra những dự đóan trong tương lại. Hình dưới đây
diễn tả quá trình mô hình hóa toán học. Đưa ra một bài toán tực tế, nhiệm vụ
đầu tiên là lập công thức bằng xác định các biến độc lập và phụ thuộc, đưa ra
các giả sử về tính đơn giản của bài tóan để có thể giải được. Chúng ta sử dụng
các hiểu biểt về vật lý và kỹ năng tóan học để có thể đưa ra các phương trình
liên quan tới các biến. Trong trường hợp không có định luật vật lý , chúng ta
cần phải thu thập các số liệu và kiểm tra các số liệu đó dưới dạng bảng để đưa
ra quy luật. Từ cách biển diễn bằng bảng số liệu, ta sẽ tìm cách để biểu diễn
số liệu đó theo các hàm số.
Sơ đồ 1.3. Mô hình toán học của tác giả James Stewart






Bước tiếp theo là áp dụng các kiến thức toán học mà ta biết vào xây
dựng công thức để đưa ra các kết luận tóan học. Từ đó ở bước thứ ba, ta lấy
những kết luận tóan học đó để phân tích chúng, đưa ra những dự đóan. Bước
cuối cùng là kiểm tra những dự đóan vào số liệu thực tế để điểu chỉnh mô
hình tóan học xây dựng và tiếp tục quy trình trên cho đến khi được một mô
hình tương đối chính xác. Mô hình toán học thì luôn có những sai số nhất
định. Một mô hình tóan học tốt thì sai số đủ nhỏ để có những kết luận đúng.
Có rất nhiều dạng hàm số khác nhau được dùng để đưa ra mô hình các bài
tóan trong thực tế.

Bài toán thực tế

Mô hình toán
học
Dự đóan
Kết luận toán
học
Công thức

Kiểm tra
Giải
Phân tích
18

Khi giải các bài toán thực tế, người ta cần tìm cách dịch nó sáng ngôn
ngữ toán học để được bài toán thuần túy toán học đó là “Quá trình toán học
hóa”.
Theo OECD/PISA kiểm tra các năng lực của học sinh để phân tích suy
luận và giao tiếp các ý tưởng toán học một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết
lập, giải và lý giải các vấn đề toán trong nhiều bối cảnh. Giải quyết các vấn đề
như vậy đòi hỏi học sinh sử dụng các kỹ năng và năng lực các em đã đạt được
qua các kinh nghiệm học đường và trong đời sống thực. Theo PISA, một quá
trình cơ bản mà các học sinh dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được biểu
hiện theo sơ đồ sau:
Sơ đồ 1.4. Quá trình toán học hóa theo PISA.

Thế giới th

Thế giới thực Thế giới toán học
Gia đoạn thứ ba,
Bước 5
Vấn đề của thế
giới thực
Giai đoạn thứ nhất
Bước 1,2,3
Vấn đề của toán học
Giai đoạn thứ 2
Bucớ 4
Lời giải của vấn
đề thực
Giai đoạn thứ ba
Bước 5
Lời giải Toán
học
19

- Quy trình ba giai đoạn toán học hóa

Giai đoạn thứ nhất. Quy trình toán học hóa bắt đầu bằng việc chuyển
bài toán từ thế giới thực sang bài toán của thế giới toán học. Quá trình này
bao gồm các hoạt động: Xác định lĩnh vực toán học phù hợp với một vấn đề
được đặt ra trong thực tế; Biểu diễn vấn đề theo một cách khác, bao gồm việc
tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt nó vào những giả thuyết phù
hợp. Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề với ngôn ngữ kí hiệu và
hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học; Tìm những quy luật,
mối quan hệ và những bất biến, nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn
đề đã biết; chuyển vấn đề sang lĩnh vực toán học, chẳng hạn như thành một
mô hình toán.
Giai đoạn thứ hai. Phần suy diễn của quy trình mô hình hóa. Một khi
học sinh đã chuyển thể được vấn đề thành một bài toán. Các em sẽ nỗ lực làm
việc trên mô hình của mình về hoàn cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết
lập các quy tắc, để xác định các kết nối và để sáng tạo nên một lập luận toán
học đúng đắn. Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm: Dùng ngôn ngữ
ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán; Hoàn thiện và điều chỉnh các
mô hình toán; kết hơpk và tích hợp các mô hình; lập luận; tổng quát hóa.
Giai đoạn thứ ba. Giai đoạn cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề
liên quan đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả.
Ở đây, học sinh phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc ở tất cả
các giai đoạn của quá trình, nhưng nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết
luận. Những khía cạnh của quá trình phản ánh này là hiểu lĩnh việc và các hạn
chế của các khái niệm toán học, phê phán mô hình và các hạn hết của nó;
Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích, lời giải và kiểm tra các kết quả.
- Quy trình 5 bước toán học hóa
Bước 1. Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế.
Bước 2. Tổ chức các vấn đề thực tiễn theo các khái niệm toán học và
xác định các yếu tố toán học tương thích.
20

Bước 3. Dần thoát khỏi thực tiễn thông qua các quá trình: Đặt giả thiết,
khái quát hóa, mô hình hóa theo ngôn ngữ toán, chuyển thành vấn đề của toán
học.
Bước 4. Giải quyết bài toán.
Bước 5. Làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa theo nghĩa của thế giới
thực, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải.
1.1.2. Năng lực (Competence) và năng lực toán (mathematical competence)
1.1.2.1. Năng lực (Competence)
Theo từ điển Bách khoa Việt Nam [tập III, tr 41]: “Năng lực là đặc
điểm của cá nhân thể hiện mức độ thông thạo, tức là có thể thực hiện một
cách thành thục và chắc chắn một hay một số dạng hoạt động nào đó”
Theo tâm lý học: “Năng lực là tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cá
nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định
nhằm đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt”
Theo Nguyễn Văn Cường [tr44]: “Năng lực là khả năng thực hiện có
trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề
trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghè nghiệp, xã hội hay
cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn
sàng hành động.”
Như vậy có thể hiểu: “Năng lực là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân
đảm bảo thực hiện được một dạng hoạt động nào đó”.
1.1.2.2 Năng lực toán (Mathematical competence)
Năng lực toán là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện các
hoạt động toán học. Các kỹ năng của cá nhân vừa là sản phẩm của sinh lý (có
sẵn) vừa là sản phẩm của tâm lý (do rèn luyện mà có). Các hoạt động toán học
đó là các thao tác đặc trưng (phân tích, suy luận, lập luận, chứng minh,…) với
các đối tượng, nội dung toán học.
21

Một cá nhân phải tham gia vào toán học hóa thành công trong nhiều bối

cảnh, các tính huống bên trong hay bên ngoài toán học và những ý tưởng bảo
quát cần có được một số các năng lực toán học. Một năng lực này có thể đạt
được ở các mức độ thành thạo khác nhau. Những phần khác nhau của toán
học hóa sẽ huy động các năng lực khác nhau, theo cả hai kỹ năng cụ thể và
mức độ thành thạo đòi hỏi.
Trong khuôn khổ của PISA, OECD (1999) định nghĩa về năng lực toán
học (Mathematical Literacy) là năng lực của một cá nhân có thể nhận biết về
ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; là khả năng lập luận
và giải toán; biết học toán, vận dụng toán theo cách nhằm đáp ứng nhu cầu
đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt. Do đó, cần quan tâm đến
năng lực của học sinh được hình thành qua việc học toán nhằm đáp ứng với
những thách thức của đời sống hiện tại và tương lai; quan tâm đến năng lực
phân tích, lập luận và trao đổi thông tin một cách có hiệu quả thông qua việc
đặt ra, hình thành và giải quyết các vấn đề toán học trong những tình huống
và hoàn cảnh khác nhau.
Bởi vậy, năng lực toán học không phải là một hệ thống kiến thức toán
học phổ thông truyền thống mà đều được nhấn mạnh ở đây là kiến thức toán
học được sử dụng như thế nào để tạo ra ở học sinh khả năng suy xét, lập luận
và hiểu được ý nghĩa của kiến thức toán học.
Trong PISA, người ta xem xét ba cấp độ của năng lực toán học:
- Cấp độ 1: Ghi nhớ, tái hiện;
- Cấp độ 2: Kết nối và tích hợp;
- Cấp độ 3: Khái quát hóa, toán học hóa.
Các thông tin trong Bảng sau cho biết cụ thể về cách nhận biết và phân
biệt về các cấp độ năng lực toán học thông qua việc mô tả các đặc điểm của
mỗi cấp độ.

22

Bảng 1.1. Các đặc điểm của ba cấp độ năng lực toán học

Cấp độ của năng lực
Đặc điểm
Cấp độ 1: Ghi nhớ,
tái hiện

Học sinh có thể:
Nhớ lại các đối tượng, định nghĩa và tính chất toán
học
Thực hiện được một cách làm quen thuộc
Áp dụng một thuận toán đặc trưng.
Cấp độ 2: Kết nối và
tích hợp

Học sinh có thể:
Kết nối, tích hợp thông tin để giải quyết các vấn đề
đơn giản
Tạo một kết nối trong các cách biểu đạt khác nhau
Đọc và giải thích được các ký hiệu và ngôn ngữ hình
thức (toán học), hiều mối quan hệ của chúng với
ngôn ngữ tự nhiên.

Cấp độ 3: Khái quát
hóa, toán học hóa
Học sinh có thể:
Nhận biết nội dung toán học trong tình huống có vấn
đề phải giải quyết
Sử dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề
Biết phân tích, lập luận, chứng minh toán học.
Năng lực toán là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện các
hoạt động toán học.

thấy:
*) Năng lực T
n thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán.
23

tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh v
, giải bài toán,…
Theo V.A.Krutetxki cấu trúc năng lực toán gồm 4 thành phần:
1) Khả năng thu nhận thông tin toán
2) Khả năng chế biến thông tin toán
3) Khả năng lưu trữ thông tin toán
4) Khuynh hướng chung về toán
Ngoài ra, còn một số yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển
năng lực toán học:
Yếu tố tự nhiện – sinh học: Yếu tố này , sinh l
khác biệt của cá nhân, ch u ảnh hưởng của y u tố bẩm sinh di truy n v mặt
sinh học, được phát triển hay hạn ch u kiện khác của môi
trường sống.
Yếu tố môi trường xã hội và giáo dục: Ngoài n về
(ở đây ta sẽ giới hạn trong môi
trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển được
triển trong hoạt động,
chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể
Yếu tố nội dung của toán học: Bản thân môn toán học với nội dung có
đặc tính trừu tượng, logic đã góp phần hình thành và phát triểu các năng lực
toán học cho học sinh. Việc học tập toán một cách có hệ thống, phương pháp
phù hợp là điều kiện quan trọng để học sinh phát triển một cách bền vững.
Yếu tố hoạt động của học sinh: Hoạt động của học sinh đóng vai trò
quyết định trực tiếp đến sự hình thành và phát triển năng lực toán. Muốn hình
thành và phát triển năng lực toán, học sinh cần phải được trực tiếp thao tác

hoạt động với các đối tượng, nội dung toán học một các tích cực, say mệ cộng
với ý chí, nghị lực và sự kiên trì để vượt qua các trở ngại, dần dần hình thành
và lĩnh hội các tri thức toán học.
24

.
nh thành và phát triển những năng lực cơ bản nói chung và năng lực
toán học của học sinh trong học tập và đời sống là nhiệm vụ quan trọng của
các nhà trường sư phạm.
1.2. PISA và các bài toán của PISA
1.2.1 Tổng quan về PISA (Programme for International Student Assessment)
PISA (Programme for International Student Assessment) – là chương
trình đánh giá học sinh quốc tế do tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD
(Organisation for Economic Cooperation and Development) khởi xướng và
chỉ đạo từ năm 1997, đến năm 2000 cuộc thi PISA lần đầu tiên được tổ chức
với 43 nước tham gia trong đó có 14 nước không thuộc khối OECD. Đến nay
đã có thêm 3 đợt khảo sát tiếp theo với chu kỳ 3 năm/lần vào các năm 2003,
2006, 2009. Đợt khảo sát tiếp theo sẽ tổ chức vào năm 2012, đã có hơn 70
quốc gia đăng ký tham gia để đánh giá và theo dõi tiến bộ của mình nhằm
phấn đấu đạt được các mục tiêu giáo dục cơ bản.
Đặc điểm của PISA
PISA nổi bật nhờ quy mô toàn cầu và tính chu kỳ. Đây là khảo sát giáo
dục lớn nhất trên thế giới từ trước đến nay đánh giá năng lực phổ thông
(literacy) của học sinh ở độ tuổi 15, độ tuổi kết thúc giáo dục bắt buộc ở hầu
hết các quốc gia OECD. Tính độc đáo của PISA thể hiện ở những vấn đề
được đánh giá. Đó là chính sách công (public policy); hiểu biết phổ thông
(literacy); học tập suốt đời (lifelong learning).
Ngoài việc xác định thực trạng kết quả học tập của học sinh tại thời
điểm đánh giá, PISA còn nhằm tìm ra câu trả lời cho các vấn đề: “Đâu là tiêu
chuẩn để đánh giá kết quả học tập của học sinh trong các hệ thống giáo dục

khác nhau?”, “Hiệu quả của các chính sách về giáo dục và liên quan đến giáo
25

dục như thế nào?” và “Cái gì có thể coi là đầu ra – kết quả cuối cùng của nhà
trường trong một xã hội hiện đại?”
Mục tiêu của PISA
PISA không chỉ có ý nghĩa như một cách “chụp ảnh” mô tả tại một thời
điểm nhất định mà mục tiêu của PISA là nhằm kiểm tra xem khi đến độ tuổi
kết thúc phần giáo dục bắt buộc, học sinh đã được chuẩn bị để đáp ứng các
thách thức của cuộc sống sau này ở mức độ nào. Chính vì vậy nội dung đánh
giá của PISA không dựa vào nội dung chương trình giáo dục của các quốc
gia, mà đánh giá năng lực phổ thông (literacy) mà học sinh có được từ các
chương trình đó. PISA đánh giá năng lực của học sinh ở độ tuổi 15 ở 4 lĩnh
vực: Toán học (mathematic); Đọc hiểu (reading); Khoa học (science); Giải
quyết tình huống (problem solving). Đây được xem như là 4 năng lực thiết
yếu chuẩn bị để đáp ứng những thử thách trong cuộc sống ở một xã hội hiện
đại. PISA thu thập và cung cấp cho các quốc gia các dữ liệu có thể so sánh
được ở tầm quốc tế, để các quốc gia có những thay đổi đối với chính sách
giáo dục của mình.
Dạng thức bài thi của PISA
Trong mỗi kỳ, PISA sẽ đánh giá trên 4 lĩnh vực: Toán, khoa học, đọc
hiểu và xử lý tình huống (mới chỉ đưa vào 1 lần năm 2003) và một lĩnh vực
được chọn làm trọng tâm, trọng tâm ở lĩnh vực nào thì 2/3 số câu hỏi sẽ tập
trung vào lĩnh vực đó. Toán học được đặt trọng tâm vào năm 2003 và sắp tới
là năm 2012. Ở mỗi kỳ, số lượng câu hỏi tương đương với tổng thời lượng
làm bài 6,5 giờ. Các câu hỏi này được tổ hợp thành các bộ đề thi (booklet)
khác nhau, mỗi bộ đề thi sẽ đánh giá một số nhóm năng lực nào đó của một
lĩnh vực nào đó và được đóng thành quyển “Bộ đề kiểm tra PISA” để phát
cho học sinh, thời gian làm bài mỗi bộ đề khoảng 2 giờ. Trong mỗi đề thi viết
gồm 2 phần: phần trả lời câu hỏi trắc nghiệm và một phần là trả lời câu hỏi

viết. Mỗi đề thi của PISA được cấu thành từ các bài tập (unit), cấu trúc mỗi
bài gồm hai phần: phần đầu là phần dẫn, phần này nêu nội dung một tình
26

huống trình bày dưới dạng văn bản, bảng, biểu đồ,… phần thứ hai là các câu
hỏi (items). Các dạng câu hỏi thường được sử dụng trong các bài tập là: câu
hỏi nhiều lựa chọn; câu trả lời đóng; câu trả lời ngắn và câu điền tiếp. Ví dụ,
PISA năm 2006 có khoảng 40% dạng câu hỏi trả lời ngắn; 8% loại câu hỏi
đóng và khoảng 52% loại câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lực chọn.
Trước khi làm bài học sinh, giáo viên và nhà trường phải điền vào
phiếu điều tra về thông tin như thói quen và động cơ học tập, phương pháp
học tập và các thông tin về gia đình. Giáo viên và nhà trường trả lời phiếu
điều tra về tài chính và các điều kiện của nhà trường. Những thông tin này
giúp xác định các nhân tố tác động đến kết quả điều tra. Sau kỳ điều tra, phải
mất ít nhất một năm để xử lý dữ liệu và hoàn thành báo cáo.
Quy mô của PISA
Cuộc thi PISA lần đầu tiên năm 2000 có 43 nước tham gia (14 nước
không thuộc khối OECD); năm 2003 có 41 nước tham gia (10 nước không
thuộc khối OECD); năm 2006 có 57 nước tham gia (27 nước không thuộc
khối OECD); năm 2009 có 67 nước tham gia (36 nước không thuộc khối
OECD); năm 2010 đã có hơn 70 nước đăng ký tham gia (có cả Việt Nam).
Như vậy, có thể nói PISA có quy mô toàn cầu và không ngừng mở rộng sau
mỗi chu kỳ tổ chức. Phần lớn các nước tham gia PISA đều là các nước đã và
đang có thu nhập bình quân trên đầu người cao hoặc tương đối cao (những
nước có sự quan tâm và đầu tư lớn cho giáo dục), ngoại trừ Indonesia (1900
USD/người), Tunisia (3700 USD/người), Jordan (2700 USD/người). Việt
Nam cũng đã đăng ký tham gia khảo sát PISA vào năm 2012.
Khung đánh giá của PISA đối với lĩnh vực toán học:
Khác với đánh giá truyền thống, việc đánh giá trong PISA đòi hỏi
không chỉ chú ý đến nội dung kiến thức học sinh đã tiếp thu được, mà còn cần

chú ý đánh giá những năng lực, những kỹ năng tiến trình đã hình thành cho
học sinh. Vì vậy khi xây dựng khung đánh giá của PISA đối với năng lực toán
học cần chú ý đến hai yếu tố: