Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán trung học phổ thông

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC




ĐỖ KHẮC CHUNG




PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN GIỚI HẠN TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG



LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN


Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10


Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Chí Thành

HÀ NỘI - 2012

4
MỤC LỤC

Trang
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

2. Mục tiêu nghiên cứu

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

4. Câu hỏi nghiên cứu

5. Giả thuyết nghiên cứu

6. Phương pháp nghiên cứu

7. Phạm vi nghiên cứu

8. Khách thể nghiên cứu

9. Cấu trúc luận văn

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Tư duy

1.1.1. Tư duy là gì?

1.1.2. Đặc điểm của tư duy

1.1.3. Các giai đoạn hoạt động của tư duy

1.1.4. Các thao tác của tư duy

1.2. Tư duy sáng tạo

1.3. Các đặc trưng của tư duy sáng tạo

1.3.1. Tính mềm dẻo

1.3.2. Tính nhuần nhuyễn

1.3.3. Tính độc đáo

1.3.4. Tính hoàn thiện

1.3.5.Tính nhạy cảm vấn đề

1.4. Phát triển tư duy sáng tạo cho HS

1.5. Dạy học giải toán

1.5.1. Yêu cầu đối với lời giải toán

1.5.2. Các bước của hoạt động giải toán

1.6. Thực trạng dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán THPT

1.6.1. Sơ lược nội dung chương giới hạn Sách giáo khoa Ban chuẩn và
Ban Nâng cao lớp 11

1.6.2. Những thuận lợi và khó khăn khi dạy học giới hạn trong việc


5
phát triển tư duy sáng tạo
1.6.3. Thực tiễn dạy học giải toán giới hạn tại trường THPT Bắc Duyên Hà

1.6.4. Tiềm năng phát triển tư duy sáng tạo cho HS khi giải toán giới hạn

1.7. Kết luận chương 1

Chƣơng 2: BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO
HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN GIỚI HẠN
TRONG CHƢƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện các thành phần của tư duy sáng tạo thông
qua giải các dạng toán về giới hạn

2.1.1. Dạng 1. Tìm giới hạn của dãy số

2.1.2. Dạng 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

2.1.3. Dạng 3. Tính giới hạn của hàm số

2.1.4. Dạng 4. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một
khoảng, một đoạn

2.1.5. Dạng 5. Chứng minh phương trình có nghiệm

2.2. Biện pháp 2: Phát triển tư duy kiểu “vô hạn, liên tục”

2.3. Kết luận chương 2

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm

3.1.1. Mục đích thực nghiệm

3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm

3.2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm

3.2.1. Nội dung thực nghiệm

3.2.2. Tổ chức thực nghiệm

3.2.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.3. Kết luận chương 3

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

1.Kết luận

2.Khuyến nghị

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC


3

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt
1. GV
2. HD
3. HS
4. Nxb
5. THPT
6. SGK
7. TH
8. THPT
9. VD

Viết đầy đủ
Giáo viên
Hướng dẫn
Học sinh

Nhà xuất bản
Trung học phổ thông
Sách giáo khoa
Trường hợp
Trung học phổ thông
Ví dụ






















6
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay ở Việt Nam cũng như ở nhiều nước trên thế giới giáo dục được
coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Với nhiệm
vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển
toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được
kiến thức trong tình huống công việc. Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện và phát
triển tư duy sáng tạo cho HS ở các trường phổ thông của những người làm
công tác giáo dục là hết sức quan trọng.
Điều 24.2 trong Luật Giáo dục cũng ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo của HS, phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui, hứng thú học tập cho HS ”.
Còn Nghị quyết TW 2 khoá VIII nhận định: “Phải đổi mới phương pháp
giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy
sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương
tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự
nghiên cứu cho HS, nhất là sinh viên đại học”.
Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến
vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS. Trong tác phẩm "Sáng tạo toán
học” [36], G. Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá
trình sáng tạo toán học và đúc rút những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân.
V.A.Krutecxki đã trình bày các nghiên cứu của ông về cấu trúc năng lực toán
học của HS và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho
HS trong cuốn “Tâm lí năng lực toán học của HS” [40].
Ở nước ta cũng có nhiều công trình của Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh
Toàn, nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho

7
HS. Tuy nhiên, việc tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện hệ thống lí luận có liên

quan tới tư duy sáng tạo vẫn là cần thiết, đặc biệt là vận dụng vào quá trình
dạy học các chủ đề quan trọng trong chương trình toán ở THPT.
Gần đây có một số luận văn thạc sĩ cũng nghiên cứu về vấn đề này, như
Khoa Thị Loan – trường Đại học Giáo dục năm 2008 với luận văn thạc sĩ
“Vận dụng phép suy luận tương tự trong dạy học bài tập hình học không gian
lớp 11 theo hướng phát triển tư duy sáng tạo của HS” [15]; Dương Mai
Hương – trường Đại học Giáo dục năm 2011 với luận văn thạc sĩ “Phát triển
tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian
lớp 11 trung học phổ thông” [11]; Đặng Thị Thanh Xuân – trường Đại học
Giáo dục năm 2011 với luận văn thạc sĩ “Phát triển tư duy sáng tạo của HS
thông qua dạy học phần đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ
thông” [35]; Dương Quang Thọ - trường Đại học Giáo dục năm 2012 với luận
văn thạc sĩ “Phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học tính tích
phân ở lớp 12 THPT” [28]. Như vậy chưa có luận văn thạc sĩ nào nghiên cứu
về phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải toán giới hạn
trong chương trình toán THPT.
Mặt khác, trong giải tích toán học khái niệm giới hạn giữ vai trò trung tâm.
Giới hạn là một trong những khái niệm quan trọng vì nó cung cấp nhiều kiến thức,
phát triển nhiều tư duy. Ví dụ như tư duy logic, tư duy trừu tượng, tư duy thuật
toán, tư duy sáng tạo. Việc tiếp thu khái niệm này đòi hỏi tiến hành nhiều thao
tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hóa.
Nó cũng đòi hỏi nhiều phẩm chất tư duy như: Linh hoạt sáng tạo, sự tính toán
chính xác, các phẩm chất đạo đức kiên trì chịu khó. Mặt khác giới hạn là một
khái niệm mới và trừu tượng đối với HS THPT, hơn nữa phân phối chương trình
giới hạn chiếm một thời gian ít nên việc nắm vững lí thuyết, vận dụng lí thuyết
vào làm bài tập đối với HS là rất khó khăn và gặp nhiều lúng túng.

8
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là: “Phát triển
tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học toán giới hạn trong chương

trình toán trung học phổ thông”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Khai thác khả năng phát triển tư duy sáng tạo và đề xuất một số biện
pháp nhằm góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải
toán giới hạn trong chương trình toán trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, các yếu tố đặc trưng tư
duy sáng tạo.
- Nghiên cứu một phần thực trạng khi dạy học giải toán giới hạn.
- Định hướng phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải
toán giới hạn.
- Đề xuất các biện pháp dạy học giải toán giới hạn trong chương trình
toán trung học phổ thông nhằm phát triển tư duy sáng tạo HS.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệu
quả của đề tài.
4. Câu hỏi nghiên cứu
Làm thế nào để phát triển tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học giải
toán giới hạn trong chương trình toán trung học phổ thông?.
5. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán trung học phổ
thông theo các biện pháp đề xuất trong luận văn này thì sẽ phát triển tư duy
sáng tạo cho HS.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học môn toán
- Các tài liệu sách báo, bài viết phục vụ cho đề tài.

9
Điều tra, quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy của GV và việc học của HS trong quá trình dạy

học giải toán giới hạn trong chương trình toán THPT.
Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm với các lớp học thực nghiệm và lớp học
đối chứng trên cùng một đối tượng.
7. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu quá trình dạy học chủ đề giới hạn trong chương trình toán
THPT, nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến tư duy sáng tạo.
Thời gian: Năm học 2010 – 2012.
8. Khách thể nghiên cứu
Chương trình SGK môn toán lớp 11 lớp 12 ở cả hai ban là ban chuẩn và
ban nâng cao.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục,
luận văn trình trình bày trong ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua
dạy học giải toán giới hạn trong chương trình toán THPT.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.






10
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tƣ duy
1.1.1. Tư duy là gì ?
Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ
của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái

chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra
những cái bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận
thức đó gọi là tư duy.
Tác giả Nguyễn Quang Uẩn định nghĩa: “Tư duy là quá trình nhận thức
phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của
sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan” [34].
Theo tác giả MN. Sacđacov: “Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan
chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi sáng tạo cái chính yếu, quá trình
phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và
tổng hợp nó. Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm
tính và vượt xa giới hạn của nó” [39].
Tư duy toán học được hiểu thứ nhất là hình thức biểu lộ của tư duy biện
chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học, toán học hay trong quá
trình áp dụng toán học vào các khoa học khác như: kỹ thuật, kinh tế quốc
dân Thứ hai tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản
chất của toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các
hiện tượng của thế giới hiện thực cũng như chính các phương thức chung của
tư duy mà nó sử dụng. Theo Bùi Văn Nghị trong học tập môn toán thường có
các loại hình tư duy là: Tư duy biện chứng, tư duy logic, tư duy thuật toán, tư
duy hàm, tư duy trừu tượng, tư duy sáng tạo [23]:
- Tư duy hàm là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề trong tương
quan khi một đối tượng này thay đổi kéo theo đối tượng khác thay đổi.
- Tư duy thuật toán là suy nghĩ để nhận thức, giải quyết vấn đề theo một
trình tự nhất định.

11
- Tư duy trừu tượng là suy nghĩ để nhận thực, giải quyết vấn để theo
những dấu hiệu bản chất.
- Tư duy sáng tạo là suy nghĩ để nhận thức theo một phương diện mới
(cách nhìn mới), giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn

cảnh mới.
Nhà toán học A.Ia.Khinxin cho rằng, tư duy toán học có các đặc tính sau [23]:
- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;
- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến mục đích;
- Phân chia rành mạch các bước suy luận;
- Sự chính xác các kí hiệu;
- Lập luận có căn cứ đầy đủ.
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Theo Nguyễn Quang Uẩn thì tư duy do con người tiến hành với tư cách
là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau [34]:
- Tính “có vấn đề” của tư duy: Muốn kích thích được tư duy phải đồng
thời có hai điều kiện sau đây:
+ Phải gặp tình huống có chứa đựng một mục đích mới, một vấn đề mới,
một cách thức giải quyết mới mà những phương tiện, phương pháp hoạt động
cũ, mặc dầu vẫn còn cần thiết nhưng không còn đủ sức để giải quyết vấn đề
mới đó. Muốn giải quyết vấn đề mới đó phải tìm cách thức giải quyết mới,
tức là phải tư duy.
+ Tình huống có vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được
chuyển thành nhiệm vụ cá nhân và vấn đề đó phải nằm trong tầm hiểu biết
của cá nhân.
- Tính gián tiếp của tư duy: Thể hiện ở việc sử dụng công cụ, phương
tiện, các phương tiện nhận thức, dùng ngôn ngữ để tư duy.
- Tính trừu tượng và khái niệm của tư duy: Tư duy phản ánh cái bản chất
nhất, chung nhất cho nhiều sự vật hợp thành một nhóm, một loại, một phạm

12
trù, đồng thời trừu xuất khỏi những sự vật đó những cái cụ thể, cá biệt. Nói
cách khác tư duy đồng thời mang tính trừu tượng và khái quát.
- Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Ngôn ngữ
được xem là phương tiện của tư duy, trong sự diễn biến của quá trình tư duy

nhờ sự tham gia của hệ thống tín hiệu thứ hai (ngôn ngữ) mà con người tiến
hành các thao tác tư duy, cuối cùng sản phẩm của quá trình tư duy là những
khái niệm, phán đoán, suy lý được biểu đạt bằng từ ngữ, câu.
- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: Tư duy và nhận
thức cảm tính thuộc 2 mức độ nhận thức khác nhau nhưng không tách rời
nhau, có quan hệ chặt chẽ bổ sung cho nhau, chi phối lẫn nhau trong hoạt
động nhận thức thống nhất và biện chứng.
1.1.3. Các giai đoạn hoạt động của tư duy
Tư duy là một hoạt động trí tuệ có các giai đoạn sau:
Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề: Việc xác định vấn đề
cần giải quyết sẽ quyết định chiến lược tư duy và đây là giai đoạn đầu tiên và
quan trọng nhất của quá trình tư duy.
Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm: Khâu này làm xuất hiện ở
trong đầu những tri thức, kinh nghiệm, những liên tưởng nhất định có liên quan
đến vấn đề đã biểu đạt điều này phụ thuộc vào nhiệm vụ đã xác định.
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết: Các tri
thức, kinh nghiệm và liên tưởng xuất hiện đầu tiên còn mang tính chất rộng
rãi, bao trùm và chưa khu biệt nên cần được sàng lọc cho phù hợp với nhiệm
vụ đề ra. Trên cơ sở sàng lọc này sẽ hình thành giả thuyết.
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết: Sự đa dạng của các giả thuyết không
phải là mục đích tự thân nên phải kiểm tra xem giả thuyết nào tương ứng với
các điều kiện và vấn đề đặt ra. Kết quả kiểm tra sẽ dẫn đễn sự khẳng định phủ
định hay chính xác giả thuyết đã nêu. Trong quá trình kiểm tra này có thể lại
phát hiện ra những nhiệm vụ mới, do đó lại bắt đầu một quá trình tư duy mới.
Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra.

13
1.1.4. Các thao tác của tư duy
1.1.4.1. Phân tích và tổng hợp
Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tượng thành các bộ

phận các thành phần khác nhau.
Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất các thành phần đã được
tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể.
Phân tích và tổng hợp có quan hệ qua lại mật thiết với nhau và không thể
tách dời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất: Sự phân tích được
tiến hành theo hướng tổng hợp, còn sự tổng hợp được thực hiện theo kết quả của
phân tích. Trong học tập môn toán thì phân tích và tổng hợp tiến hành trong mọi
hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề.
VD1. Tìm
3
x 1 x 1 2
lim
x0
x
.
Để tìm giới hạn này đòi hỏi HS phải có tư duy phân tích và tổng hợp thì
mới có thể tìm được lời giải ngắn gọn được.
Trước hết HS phân tích được đây là dạng vô định
0
0
. Thông thường HS
thấy có căn là nhân liên hợp. Tuy nhiên làm như vậy thì sẽ không giải được
bài toán này vì không xác định được biểu thức nhân liên hợp ở tử. Nếu suy
nghĩ không dập khuôn và máy móc mà tiến hành phân tích tổng thể bài toán
HS nhận thấy khi
x0
thì
x 1 1
và
3

x 1 1
, do đó biến đổi biểu
thức tính giới hạn như sau:
3 3 3
x 1 x 1 2 ( x 1 1) ( x 1 1) x 1 1 x 1 1
x x x x

trên cơ sở đó tổng hợp lại HS tìm được lời giải ngắn gọn sau:
3
x 1 x 1 2
lim
x0
x
3
x 1 1 x 1 1
lim
x0
xx


14
xx
lim
2
33
x0
x( x 1 1)
x[( x 1) x 1 1]

1 1 5

lim
2
33
x0
6
x 1 1
( x 1) x 1 1
.
1.1.4.2. So sánh và tương tự
So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác
nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau
giữa các đối tượng nhận thức. Thao tác này liên quan chặt chẽ với thao tác
phân tích và tổng hợp.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số
dấu hiệu rút ra kết luận hai đối tượng đó giống nhau ở các dấu hiệu khác.
VD2. Tìm các giới hạn sau:
1)
2
x
lim ( x 2x x)
; 2)
2
x
lim ( x 2x x)
.
Quan sát hai câu và tiến hành so sánh HS nhận thấy sự giống nhau về
hình thức. Vì vậy trong tư duy HS nghĩ cách giải hai câu này sẽ tương tự
nhau. Tuy nhiên ta có lời câu 1) như sau:
1)
2

xx
2
lim ( x 2x x) lim x( 1 1)
x
.
Với câu 2) nếu cũng nhân liên hợp ta thấy
2
xx
2
lim ( x 2x x) lim x( 1 1)
x
và xuất hiện dạng vô định
0.
. Vậy
cách giải này không thực hiện được. Như vậy HS nhận thấy hình thức giống
nhau nhưng cách giải chưa tương tự nhau. Câu 2) nhân liên hợp có lời giải
sau:
2
2
x x x
x
2x 2
lim ( x 2x x) lim lim 1
2
x 2x x
lim 1 1
x
.

15

Câu hỏi đặt ra với HS là: Tại sao hình thức giống nhau nhưng cách giải
khác nhau?. HS phân tích bài toán và nhận thấy câu 1) không phải là dạng vô
định , câu 2) thuộc dạng vô định . Từ đó HS linh hoạt khi tìm
cách giải với bài toán tìm giới hạn.
1.1.4.3 Khái quát hóa và đặc biệt hóa
Theo Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng
sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp đối tượng ban đầu bằng cách
nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [13].
Qua đó ta thấy rằng khái quát hóa là quá trình tư duy đi từ nhiều cái riêng
đến cái chung cái tổng quát hoặc từ cái tổng quát đến tổng quát hơn.
Đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược với lại khái quát hóa.
VD3. Tìm giới hạn
3
x0
x 1 2x 1
lim
x
. Từ bài toán này có thể tổng quát
thành bài toán tìm giới hạn
3
x0
ax 1 bx 1
lim
x
, và tổng quát hơn nữa ta có
bài toán tìm giới hạn
3
xa
f(x) g(x)
lim

xa
, với điều kiện
3
f(a) g(a) 0
.
Ngoài các thao tác tư duy ở trên còn kể để các thao tác tư duy khác như:
Trừu tượng hóa, tương tự hóa, quy lạ về quen, lật ngược vấn đề.
Các thao tác tư duy ở trên có quan hệ mật thiết, thống nhất nhau theo một
hướng nhất định do nhiệm vụ của tư duy quy định.
1.2. Tƣ duy sáng tạo
Các nhà nghiên cứu đưa ra quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo:
Theo J.DanTon: “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những
ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ mới, là một chức năng của kiến
thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học
bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: Sự khám phá, sự
phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thử nghiệm, sự thám hiểm” [42].

16
Theo Henry Gleitman: “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải pháp
mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích” [43].
Theo Bùi Văn Nghị: “Tư duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về sự
vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa,
giá trị” [23].
Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là
những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt
khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả
năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả
mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ. Cái mới thường nảy
sinh bắt nguồn từ cái cũ, nhưng vấn đề là cách nhìn cái cũ như thế nào” [14].
Theo Tôn Thân: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý

tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”. Và theo tác giả
thì tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái
đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc
tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn
của mỗi cá nhân đã tạo ra nó” [27].
Theo G.Polya: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời
giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra
những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng
những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu
muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, ví dụ như: Lúc những cố
gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những
bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp,
chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi
ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả ” [37].
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học toán: “Đối
với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu

17
với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết”
[31]. Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các
thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn
toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm
hiểu những bước đi chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho HS
sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì
đó là tư duy tạo ra cái mới. Tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế
giới về các phương thức hoạt động .
I.Lcene [38] cho rằng quá trình hoạt động sáng tạo có những đặc điểm:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo;
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”;

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết;
- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu;
- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu
lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một
phương thức mới);
- Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết những
phương thức khác.
Bàn về mối quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập,
tư duy sáng tạo thì V.A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn dưới dạng những
đường tròn đồng tâm [41].
Tư duy tích cực

Tư duy độc lập

Tư duy sáng tạo

18
Đó là các mức độ tư duy khác nhau mà tư duy tích cực có vai trò là tiền
đề. Quá trình từ tư duy tích cực đến tư duy sáng tạo thông qua tư duy độc lập.
Như vậy trong tư duy sáng tạo luôn có tư duy tích cực và tư duy độc lập. Ông
làm sáng tỏ mối quan hệ của ba dạng tư duy thông qua ví dụ sau:
- Tư duy tích cực: Khi một HS chăm chú theo dõi việc giải bài tập và cố
gắng hiểu được các bước giải.
- Tư duy độc lập: Thể hiện ở việc HS tự mình phát hiện ra vấn đề tự
mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và
hoàn thiện kết quả đạt được.
- Tư duy sáng tạo: Trên các kết quả đó HS tự khám phá tìm ra cách
chứng minh, lời giải mà HS chưa biết.
Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng
mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.

Tuy nhiên tư duy sáng tạo có tính chất tương đối. Một cách thức giải
quyết coi là sáng tạo trong một hoàn cảnh, điều kiện này lại chưa chắc đã
được coi là sáng tạo trong điều kiện hoàn cảnh khác. Một cách thức giải quyết
có thể coi là sáng tạo với người này nhưng không phải là sáng tạo với người
khác, sáng tạo ở thời điểm này nhưng lại không là sáng tạo ở thời điểm khác.
1.3. Các đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo
Theo Rubinstein tư duy sáng tạo bắt đầu từ một tình huống gợi vấn đề
[21]. Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi HS tự khám phá, tự tìm cách chứng minh
mà HS đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải
quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống có vấn đề với hiệu quả cao, thể hiện ở
tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.
Theo nghiên cứu của nhiều nhà tâm lí học và giáo dục học, thì cấu trúc
của tư duy sáng tạo có 5 thành phần đặc trưng cơ bản sau [23]:
- Tính mềm dẻo;
- Tính nhuần nhuyễn;

19
- Tính độc đáo;
- Tính hoàn thiện;
- Tính nhạy cảm vấn đề.
Ngoài ra còn có những yếu tố quan trọng khác như: Tính chính xác, năng
lực định giá, phán đoán, năng lực định nghĩa lại.
1.3.1. Tính mềm dẻo
Tính mềm dẻo, linh hoạt là khả năng chủ thể biến đổi thông tin, kiến thức
đã tiếp thu được một cách dễ dàng, nhanh chóng từ góc độ và quan niệm này
sang góc độ và quan niệm khác, chuyển đổi sơ đồ tư duy có sẵn trong đầu sang
một hệ tư duy khác, chuyển từ phương pháp tư duy cũ sang hệ thống phương
pháp tư duy mới, chuyển đổi từ hành động trở thành thói quen sang hành động
mới, gạt bỏ sự cứng nhắc mà con người đã có để thay đổi nhận thức dưới một
góc độ mới, thay đổi cả những thái độ đã cố hữu trong hoạt động tinh thần trí

tuệ. Tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo có các đặc trưng nổi bật sau:
- Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ
này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy
khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so
sánh, trừu tượng hoá, khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận
như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải
pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại.
- Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh
chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc
độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có
sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan
hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán
đoán. Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến
thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những
yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những
kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước.

20
- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng
mới của đối tượng quen biết.
VD4. Tìm giới hạn sau:
3
2
2n 3n 2
lim
1 n 2n

Đối với bài toán này HS thường xác định bậc tử số là 3, bậc mẫu số là 2
nên chia cả tử và mẫu n
3

và ta có
32
2
3
23
2n 3n 2
nn
lim lim
2
1 1 2
1 n 2n
32
n
nn
đến đây ta
thấy tử số tiến tới 2 còn mẫu số tiến tới 0 nhưng rất khó xác định dấu ở mẫu.
Vì vậy rất khó xác định giới hạn đó là hay - . Như vậy với cách suy
nghĩ máy móc, dập khuôn đó việc giải bài toán gặp khó khăn lúc đó GV có
thể gợi ý chia cả tử và mẫu cho n
2
ta có lời giải sau:
3
2
2
2
32
2n
2n 3n 2
nn
lim lim

11
1 n 2n
2
nn
, vì
2
32
lim(2n )
nn

còn
2
11
lim( 2) 2
nn
. Qua đó HS sẽ mềm dẻo hơn trong giải toán.
1.3.2. Tính nhuần nhuyễn
Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh
chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa
ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý
tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo. Tính nhuần nhuyễn
được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý
tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc
đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng. Tính nhuần
nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:
- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một

21
vấn đề phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề

xuất được nhiều phương án khác nhau từ đó tìm được phương án tối ưu.
- Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có
một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không
phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
VD5. Tìm giới hạn:
3
x1
x1
lim
x1

Đối với bài toán này HS có tính nhuần nhuyễn sẽ có thể đưa ra được
nhiều cách giải như: Nhân liên hợp, đổi biến số, chia cả tử và mẫu cho (x – 1).
Đặc biệt với cách nhìn không cứng nhắc HS sẽ thấy
3
6
x ( x)
,
2
36
x ( x)

khi đó HS đưa ra lời giải tối ưu sau:

3
6
2
36
x 1 x 1
x 1 ( x) 1

lim lim
x 1 ( x) 1


2
6 6 6
66
x1
[ x 1][( x) x 1]
lim
[ x 1][ x 1]
2
66
6
x1
( x) x 1 3
lim
2
x1
.
1.3.3. Tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng:
- Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới;
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài
tưởng như không có liên hệ với nhau;
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
VD 6. Tìm giới hạn
3
x1
x1

lim
x1
.
Hầu hết HS giải bài toán này bằng cách nhân hợp để khử dạng vô định.
Tuy nhiên GV khuyến khích HS tìm thêm cách giải với gợi ý đặt ẩn phụ. Với
gợi ý đó HS có thể tìm ra cách giải sau độc đáo sau:
Đặt
6
t = x
ta có
3 2 2
2
3
x 1 t 1 t 1 t 1
x 1 t 1 (t 1)(t t 1) t t 1 3
lim lim lim lim
t 1 (t 1)(t 1) t 1 2
x1
.

22
1.3.4. Tính hoàn thiện
Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành
động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và kiểm chứng ý tưởng.
1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề
Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc trưng sau:
- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề;
- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu. Từ
đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới.
VD7. Nêu ý kiến của em về lời giải sau:

1 2 n 1 2 n
lim lim lim lim
2 2 2 2
n 2 n 2 n 2 n 2
= 0 + + 0 = 0.
Rất nhiều HS cho ý kiến đó là lời giải đúng vì cho rằng giới hạn tổng
1 2 n
lim lim lim
2 2 2
n 2 n 2 n 2
chỉ hữu hạn. Mà tổng hữu hạn các
dãy số có giới hạn 0 bằng 0. Tuy nhiên có HS cho ý kiến đó là lời giải sai.
GV yêu cầu HS giải thích lời giải đó sai vì sao? Tìm lời giải đúng? HS suy
nghĩ và trả lời được yêu cầu của GV như sau:
Lời giải đó sai vì các định lý về phép toán giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn
số hạng. Trong lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số
hạng nên đã dẫn đến sai lầm.
Lời giải đúng
Ta có 1+ 2+3 + .+ n =
n n 1
.
2

Suy ra
1
1
1 2 n n(n 1) 1
n
lim lim lim
22

4
2
n 2 2(n 2)
2
2
n
.
Qua bài tập này tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo được phát triển.

23
Ngoài ra còn kể đến: tính chính xác, năng lực định giá, phán đoán, năng
lực định nghĩa.
Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ
mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt
động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho
việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính
nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể
tìm được giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo). Các yếu tố này có quan hệ
khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy
cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy
sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.
1.4. Phát triển tƣ duy sáng tạo cho HS
Theo Bùi Văn Nghị có thể rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS theo các
cách sau [23]:
- Theo 5 thành phần của tư duy sáng tạo.
- Dựa trên các hoạt động trí tuệ: Dự đoán, bác bỏ, khái quát hóa, tương tự hóa.
- Tìm nhiều lời giải, khai thác, đào sâu kết quả cho một bài toán.
Biểu hiện của sự sáng tạo là:
- Nhìn sự vật theo một khía cạnh mới, nhìn một sự kiện dưới nhiều góc
độ khác nhau.

- Biết đặt ra nhiều giải thuyết khi phải lí giải một hiện tượng.
- Biết đề xuất các giải pháp khác nhau khi phải xử lí một tình huống.
HS học tập sáng tạo thường không bằng lòng với giải pháp đã có, không
có suy nghĩ cứng nhắc theo những quy tắc đã học trước đó, không máy móc
áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử những tình huống mới. Việc đánh
giá tính sáng tạo cần căn cứ vào số lượng tính mới mẻ, tính độc đáo, tính hữu
ích của đề xuất.

24
Để HS tích cực, chủ động sáng tạo trong học tập GV cần tạo ra không khí
giao tiếp thuận lợi giữa GV với HS, giữa HS với HS bằng cách tổ chức và điều
khiển hợp lí các hoạt động của từng cá nhân và tập thể HS. Tốt nhất là tổ chức
những tình huống có vấn đề đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận, những
tình huống này phải phù hợp với trình độ nhận thức của HS. Cần biết dẫn dắt HS
luôn tìm thấy cái mới, có thể tự giành lấy kiến thức. Để học tập sáng tạo cần tạo
tình huống có vấn đề rồi yêu cầu HS tìm giải pháp, càng tối ưu càng tốt.
Học tập sáng tạo là đích cần đạt. Tính sáng tạo liên quan với tính tích
cực, chủ động, độc lập. Muốn phát triển trí sáng tạo, cần chú trọng để HS tự
lực khám phá kiến thức mới, phải dạy HS phương pháp tự học. Chính qua các
hoạt động tự lực, được giao cho từng cá nhân hoặc nhóm nhỏ, tiềm năng sáng
tạo của cá nhân được phát triển.
1.5. Dạy học giải toán
1.5.1. Yêu cầu đối với lời giải toán
Lời giải một bài toán cần thực hiện các yêu cầu sau [13]:
- Lời giải không có sai lầm;
- Lập luận phải có căn cứ chính xác;
- Lời giải phải đầy đủ.
Ngoài các yêu cầu trên, trong dạy học giải toán còn yêu cầu lời giải ngắn
gọn, cách trình bày rõ ràng, hợp lí.
1.5.2. Các bước của hoạt động giải toán

Hoạt động giải toán thường diễn ra theo bốn bước sau đây [13]:
- Tìm hiểu đề toán;
- Tìm kiếm phương hướng giải;
- Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành giải theo hướng đã chọn;
- Kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải.

25
1.6. Thực trạng dạy học giải toán giới hạn trong chƣơng trình toán THPT
1.6.1. Sơ lược nội dung chương giới hạn Sách giáo khoa Ban chuẩn và
Ban Nâng cao lớp 11
Theo [1] và [26] ta có nội dung của chủ đề giới hạn cụ thể như sau:
Ban chuẩn (14 tiết)

Ban nâng cao (17 tiết)
§1
§2
§3


Giới hạn của dãy số.
Giới hạn của hàm số.
Hàm số liên tục.
Ôn tập chương.

5 tiết
5 tiết
2 tiế
2 tiết

§1

§2

§3

§4


§5

§6


§7

§8


Dãy số có giới hạn 0.
Dãy số có giới hạn
hữu hạn.
Dãy số có giới hạn vô
cực.
Định nghĩa và một số
định lý về giới hạn
của hàm số.
Giới hạn một bên
Luyện tập.
Một vài quy tắc tìm
giới hạn vô cực
Luyện tập.

Các dạng vô định
Luyện tập.
Hàm số liên tục
Luyện tập.
Ôn tập chương.
1 tiết
2 tiết

1 tiết

3 tiết


1 tiết

1 tiết

1 tiết
1 tiết
1 tiết
2 tiết
1 tiết
2 tiết

Từ đó chúng tôi nhận thấy: Với thời lượng dành cho chủ đề giới hạn là
14 tiết của ban cơ bản và 17 của ban nâng cao, GV chỉ giúp HS giải quyết
được các bài tập cơ bản về giới hạn chứ chưa có điều kiện hướng dẫn HS làm
các bài toán khó về giới hạn để qua đó bồi dưỡng tư duy sáng tạo.

26

Phân loại các bài tập trong SGK đại số và giải tích 11 ban cơ bản và ban
nâng cao theo dạng toán chúng tôi nhận thấy có thể chia chúng thành các 5
dạng toán sau:
- Dạng 1. Tính giới hạn của dãy số:
Với số lượng 22 bài tập gồm 6 bài trong SGK đại số và giải tích 11 ban
cơ bản và 16 bài trong SGK ban nâng cao, các bài toán tập trung vào việc
chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số. Tuy nhiên
hầu hết các bài tập này cơ bản nên để có thể bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho
HS thông qua giải toán trong dạng này GV cần phải bổ sung thêm các bài tập
ở mức độ khó hơn.
- Dạng 2. Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
Với số lượng bài tập là 5 bài gồm 3 bài trong SGK đại số và giải tích 11
ban chuẩn và 2 bài trong SGK ban nâng cao, các bài tập này cũng cơ bản
chưa có nhiều các bài tập đòi hỏi phải tư duy cao nên cần phải bổ sung thêm
các bài tập ở mức độ khó hơn để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS trong quá
trình giải toán.
- Dạng 3. Tính giới hạn của hàm số:
Với số lượng bài tập là 33 bài trong đó có 8 bài trong SGK đại số và giải
tích 11 ban chuẩn và 25 bài trong SGK ban nâng cao, số lượng bài tập này
khá nhiều. Tuy nhiên hầu hết các bài tập này cũng cơ bản chưa có nhiều các
bài tập đòi hỏi phải tư duy cao nên cần phải bổ sung thêm các bài tập ở mức
độ khó hơn để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS trong quá trình giải toán.
- Dạng 4. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng:
Với số lượng bài tập là 11 bài trong đó có 6 bài trong SGK đại số và giải
tích 11 ban chuẩn và 5 bài trong SGK ban nâng cao, các bài tập này cũng cơ
bản chưa có nhiều các bài tập đòi hỏi phải tư duy cao nên cần phải bổ sung
thêm các bài tập ở mức độ khó hơn để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS
trong quá trình giải toán.