Một phương pháp xây dựng và giải các đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác

Đại học quốc gia Hà nôi
KHoa s- phạm











nguyễn đức đại


một ph-ơng pháp xây dựng và giải
đẳng thức và bất đẳng thức đại số
từ đẳng thức và bất đẳng thức l-ợng giác





Luận văn thạc sĩ s- phạm Toán học

Hà Nội - 2009
Đại học quốc gia Hà nôi
KHoa s- phạm









một ph-ơng pháp xây dựng và giải
đẳng thức và bất đẳng thức đại số
từ đẳng thức và bất đẳng thức l-ợng giác





Luận văn thạc sĩ s- phạm

Chuyên ngành: Lý luận và ph-ơng pháp dạy học
bộ môn Toán

Mã số: 601410




Học viên: Nguyễn Đức Đại
Cao học ngành S- phạm Toán học
Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Vũ L-ơng







Hà Nội - 2009


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Lịch sử nghiên cứu 2
3. Mục tiêu nghiên cứu 2
4. Khách thể nghiên cứu 2
5. Phạm vi nghiên cứu 2
6. Giả thuyết khoa học 3

7. Phương pháp nghiên cứu 3
8. Những đóng góp của luận văn 3
9. Cấu trúc luận văn 3
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 4
1.1. Một số khái niệm liên quan đến đề tài: 4
1.1.1. Khái niệm sáng tạo 4
1.1.2. Lịch sử của thuật ngữ sáng tạo 4
1.1.3. Điều kiện cần và đủ để thừa nhận sự sáng tạo 4
1.1.4. Phạm vi sử dụng khái niệm sáng tạo 5
1.1.5. Quá trình đáp ứng nhu cầu thúc đẩy khả năng sáng tạo 6
1.2. Tƣ duy sáng tạo:. 6
1.3. Khoa học sáng tạo . 7
1.4. Thực trạng sự sáng tạo của học sinh và giáo viên hiện nay 8


1.5. Gợi ý về một phƣơng pháp hoạt động sáng tạo 10
1.6. Một số kỹ năng xây dựng bài toán mới 13
1.6.1.Sử dụng các kết quảtrung gian để xây dựng bài toán mới 13
1.6.2. Sử dụngcác bất đẳngthức trung gian có điều kiện 15
1.6.3.Bài tập đề nghị 22
Kết luận chƣơng 1 24

Chƣơng 2. XÂY DỰNG CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT
ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ TỪ ĐẲNG THỨC VÀ
BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC 25
2.1. Các kết quả cơ bản 25
2.1.1. Kết quả cơ bản thứ nhất 25
2.1.2. Kết quả cơ bản thứ hai 26
2.1.3. Kết quả cơ bản thứ ba 27
2.1.4 Kết quả cơ bản thứ tư 28

2.1.5. Kết quả cơ bản thứ năm 28
2.1.6. Kết quả cơ bản thứ sáu 28
2.2 Xây dựng đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và
bất đẳng thức lƣợng giác. 29
2.2.1 Xây dựng các đẳng thức đại số từ các đẳng thức lượng giác 29
2.2.2. Xây dựng các bất đẳng thức đại số từ các bất đẳng thức lượng giác 31
Kết luận chƣơng 2 49


Chƣơng 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG
THỨC ĐẠI SỐ ĐÃ XÂY DỰNG MÀ KHÔNG SỬ
DỤNG CÁC KIẾN THỨC CỦA LƢỢNG GIÁC 50
3.1. Chứng minh các đẳng thức đại số 50
3.2. Chứng minh các bất đẳng thức 51
Kết luận chƣơng 3 71
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 72
1. Kết luận 72
2. Khuyến nghị 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành trung ương Đảng Cộng
sản Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ rõ: “Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải
hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực
giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện
mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ,
văn minh”.
Lĩnh vực khó sáng tạo và giá trị sáng tạo được đánh giá không cao
chính là toán cho học sinh phổ thông. Nếu chúng ta chỉ hạn chế phạm vi
nghiên cứu ở những lĩnh vực cơ bản, phổ thông thì việc tìm ra những kết
quả mới là không tưởng. Chính vì vậy mà những nhà toán học hướng đánh
giá không mấy thiện cảm những đồng nghiệp của mình đang dạy toán ở
phổ thông trung học. Nhưng nếu thiếu những sáng tạo trong hoạt động
giảng dạy thì hiệu quả lại không cao nhất là giảng dạy cho học sinh có
năng khiếu về toán học. Xu hướng mới trong giảng dạy ở phổ thông trung
học hiện nay bao gồm:
*) Tiết kiệm thời gian giảng dạy.
*) Xây dựng những kỹ năng giải để học sinh có thể hiểu và giải những
bài toán khó một cách dễ dàng.
Những sáng tạo toán học trong xu hướng này được đánh giá cao, mặc
dù rất khó.
Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “Một phương pháp xây dựng và
giải đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đẳng thức lượng
giác”

2
2. Lịch sử nghiên cứu
Lĩnh vực sáng tạo trong Toán học thì có rất nhiều đặc biệt là sáng tạo
cho đẳng thức và bất đẳng thức bởi đây là một lĩnh vực được rất nhiều người
quan tâm. Ta có thể kể ra một số tác giả như: Phan Huy Khải, Nguyễn Vũ
Lương , Nguyễn Văn Mậu, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Kim Hùng, Trần
Phương, Tuy nhiên chưa có tác giả nào xây dựng đẳng thức và bất đẳng
thức đại số từ đẳng thức và bất đảng thức lượng giác. Đây là nguồn mà chúng
ta khai thác để trở thành những bài toán hay với những lời giải đẹp. Có thể
nói rằng đề tài là một trong những đóng góp đầu tiên về vấn đề này.
3. Mục tiêu nghiên cứu
*) Nghiên cứu cơ sở lí luận về kĩ năng sáng tạo và giải các đẳng thức
và bất đẳng thức đại số trên cơ sở đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác.
*) Nâng cao hiệu quả giảng dạy, bồi dưỡng cho những học sinh yêu
thích và có năng khiếu về bộ môn toán.
4. Khách thể nghiên cứu và đối tƣợng nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu
Quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và luyện thi đại học
4.2. Đối tƣợng nghiên cứu
Đẳng thức và bất đẳng thức đại số, đẳng thức và bất đẳng thức lượng
giác
5. Phạm vi nghiên cứu
Do hạn chế về thời gian nên luận văn chỉ nghiên cứu vấn đề sau: Xây
dựng những đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức và bất đẳng thức
lượng giác của những góc trong tam giác và những góc trong tam giác chia
hai. Còn việc xây dựng những đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ đẳng thức

3
và bất đẳng thức lượng giác của những góc lượng giác khác nằm ngoài khuôn

khổ của đề tài.
6. Giả thuyết khoa học
Sự sáng tạo của người thầy trong những bài toán về đẳng thức và bất
đẳng thức đại số trên nền tảng của bài toán lượng giác chính là cơ sở, động
lực cho học sinh sáng tạo những bài toán về đẳng thức và bất đẳng thức nói
riêng và cho môn Toán nói chung
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
*) Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu
về các phương pháp hoạt động sáng tạo của học sinh, chương trình sách giáo
khoa Đại số, Lượng giác ở THCS và THPT.
*) Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các chuyên gia về
đẳng thức và bất đẳng thức
8. Những đóng góp của luận văn
*) Góp phần thúc đẩy sự sáng tạo của học sinh trong hoạt động học tập
*) Đề xuất một phương pháp sáng tạo ra đẳng thức và bất đẳng thức
mới
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3
chương:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận của đề tài
Chƣơng 2: Xây dựng các đẳng thức và bất đẳng thức đại số từ
đẳng thức và bất đẳng thức lƣợng giác
Chƣơng 3: Chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức đại số đã
xây dựng mà không sử dụng các kiến thức lƣợng giác

4
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Một số khái niệm liên quan đến đề tài
1.1.1. Khái niệm sáng tạo

Thuật ngữ “Sáng tạo” đã được nhiều tác giả khác nhau đề cập đến:
Theo tác giả Hoàng Phê, trong từ điển Tiếng Việt, Sáng tạo được
định nghĩa là: “Tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần, hay là
tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã
có” [7, tr.817].
Theo trang Web Bách khoa toàn thư Wikipedia: “Sáng tạo là quá trình
làm phát sinh (phát hiện, phát kiến hoặc phát minh) một sự vật hoặc hiện
tượng mới và hữu ích, đáp ứng nhu cầu tồn tại hoặc phát triển của con người
trong xã hội đương đại. Khái niệm sáng tạo được sử dụng trong mọi lĩnh vực
của thế giới vật chất và tinh thần”.
1.1.2. Lịch sử của thuật ngữ sáng tạo
Thuật ngữ khoa học về sáng tạo (Heuristics, Creatology hay
Arsinveniendi), lần đầu tiên xuất hiện trong những công trình của nhà toán
học Papp, sống vào nửa cuối thế kỷ thứ III tại Alexandri - Hy Lạp. Sau đó
các nhà toán học và triết học nổi tiếng như Descartes, Leibnitz, Bernard
Bolzano đã có nhiều cố gắng thành lập hệ thống khoa học nghiên cứu về
khả năng sáng tạo của con người. Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có những
công trình nghiên cứu đầy đủ về năng lực sáng tạo của con người như một
ngành khoa học độc lập.
1.1.3. Điều kiện cần và đủ để thừa nhận sự sáng tạo
Về thuộc tính mới của sự vật. Một vật lần đầu tiên xuất hiện (ghi nhận)
đều có thuộc tính (và được gọi là) mới. Người tìm ra vật mới này có thể được
cấp bằng phát minh hay sáng chế.

5
Về thuộc tính hữu ích của sự vật. Hữu ích (có ích) là quá trình một vật
đáp ứng được nhu cầu bảo vệ hoặc phát triển của các chuẩn mực trong đời
sống vật chất, tinh thần, đạo đức, văn hóa, văn minh của xã hội loài người.
Theo giáo sư - tiến sĩ khoa học Phan Dũng - Giám đốc Trung tâm sáng
tạo KHKT thuộc ĐH Khoa học tự nhiên, khái niệm sáng tạo được dùng để chỉ

những sự vật mới và có ích cho đời sống con người. Do đó, mọi sự vật hoặc
hiện tượng mới phát sinh phải thỏa mãn điều kiện thứ hai mới được thừa nhận
là sáng tạo, đó là tính hữu ích cho đời sống con người hoặc văn minh nhân
loại. Có những sự vật hoặc hiện tượng mới, nhưng không thỏa mãn điều kiện
này (về tính hữu ích) thì cũng không được gọi là sáng tạo, mà chỉ dùng từ
"mới" để nói về chúng mà thôi. Như vậy, không phải phát kiến nào cũng được
xem là sáng tạo.
1.1.4. Phạm vi sử dụng khái niệm sáng tạo
Sáng tạo là khái niệm vô cùng rộng lớn về phạm vi sử dụng. Nó không
có giới hạn cuối cùng khi sử dụng (hoặc áp dụng) trong tất cả các hệ thống
phân loại hiện có của nền văn minh nhân loại như: hệ thống đo, đếm, quy
chiếu, chuẩn mực, các thông số theo toán học, vật lý học, hóa học đến cả
tâm lý học, xã hội học, thần học, triết học, tương lai học hay vũ trụ học
Tính phổ biến của khái niệm sáng tạo thể hiện ở phạm vi sử dụng nó. Ở
đâu, trong bất kỳ lĩnh vực nào của nền văn hóa, văn minh nhân loại, khi xuất
hiện một sự vật hay hiện tượng mới, thỏa mãn điều kiện cần và đủ của nó thì
đều được xem đó là sự sáng tạo. Theo đó, ta có thể thấy từ sáng tạo được gắn
kết với rất nhiều khái niệm khác nhau như: ý tưởng sáng tạo, tư duy sáng tạo,
quan điểm sáng tạo, việc làm sáng tạo, hành động sáng tạo, công cụ sáng tạo,
phương tiện sáng tạo, phương pháp sáng tạo.
Nhiều nước trên thế giới còn tổ chức các cuộc thi sáng tạo, và xem xét
trao tặng các giải thưởng sáng tạo hàng năm.

6
1.1.5. Quá trình đáp ứng nhu cầu thúc đẩy khả năng sáng tạo
Với việc vận dụng phương pháp nghiên cứu và thành quả của nhiều
ngành khoa học khác nhau như Tâm lý học, Giáo dục học, Logic học, Giải
phẫu học, Điều khiển học, Lý thuyết thông tin, Lý thuyết hệ thống và các tiến
bộ của y học nghiên cứu về bộ não của con người; Hiện nay đã có hàng trăm
công cụ hoặc phương tiện giúp tích cực hóa tư duy - giảm sức ỳ trong tư duy,

khơi gợi và phát triển năng lực sáng tạo của con người như: Phương pháp não
công (Brainstorming method), Phương pháp các câu hỏi kiểm tra (Method of
control questions), Phương pháp phân tích hình thái (Morphogical analysis),
Sơ đồ khối TRIZ & ARIZ, Sáu mũ tư duy (six thinking hats), Bản đồ tư duy
(của Tony Buzan)
1.2. Tƣ duy sáng tạo
Sáng tạo gắn liền với sự thay đổi, đưa ra cái mới (đổi mới), sáng chế,
các ý tưởng mới, các phương án lựa chọn mới. Sự sáng tạo thuộc về năng lực
ra quyết định, thuộc về sự kết hợp độc đáo hoặc liên tưởng, phát ra các ý
tưởng đạt được kết quả mới và ích lợi.
Mỗi người làm việc, không thể không suy nghĩ và đòi hỏi cải tiến công
việc phải là cơ sở cho mọi suy nghĩ của chúng ta. Nói cách khác, mỗi người
chúng ta đều cần suy nghĩ để sáng tạo. Tư duy sáng tạo là tài nguyên cơ bản
nhất của mỗi con người. Chúng ta cần sáng tạo vì chúng ta cảm thấy rằng,
mọi việc cần được thực hiện theo cách đơn giản hơn và tốt hơn. Dù chúng ta
tài giỏi như thế nào, chúng ta vẫn luôn mong muốn tốt hơn nữa. Sáng tạo gắn
liền với sự thay đổi, đưa ra cái mới (đổi mới), sáng chế, các ý tưởng mới, các
phương án lựa chọn mới. Sự sáng tạo thuộc về năng lực ra quyết định, thuộc
về sự kết hợp độc đáo hoặc liên tưởng, phát ra các ý tưởng đạt được kết quả
mới và ích lợi. Mọi người có thể dùng tính sáng tạo của mình để đặt vấn đề
một cách bao quát, phát triển các phương án lựa chọn, làm phong phú các khả

7
năng và tưởng tượng các hậu quả có thể nảy sinh. Để làm được điều đó cần
phải biết:
*) Gạt bỏ những hiều biết về kiến thức thông thường
*) Gạt bỏ những kinh nghiệm trong quá khứ
*) Tạo điều kiện phát triển khả năng sáng tạo
Giữ gìn truyền thống là điều không ai chối cãi. Những trong thời đại
tên lửa hiên nay, bất cứ ai cũng cần có những sáng tạo trong tư duy.

Nhưng thực tế thì hầu hết những người thông thường không có sự cố gắng
trong việc rèn luyện tính sáng tạo tư duy của mình. Bởi lẽ họ cho rằng khả
năng sáng tạo là bẩm sinh. Không thể rèn luyện hoặc nhờ sự cố gắng mà có.
Giới hạn con người trong khuôn khổ lấy những hiểu biết về kiến thức
thông thường, những tập tục, những truyền thống, những ký ức để ràng buộc
con người sẽ không thể có sáng tạo trong tư duy và công việc.
1.3. Khoa học sáng tạo
Hoạt động sáng tạo gắn liền với lịch sử tồn tại và phát triển của xã hội
loài người. Từ việc tìm ra lửa, chế tạo công cụ bằng đá thô sơ đến việc sử
dụng năng lượng nguyên tử, chinh phục vũ trụ , hoạt động sáng tạo của loài
người không ngừng được thúc đẩy. Sáng tạo không thể tách rời khỏi tư duy -
hoạt động bộ não của con người. Chính quá trình tư duy sáng tạo với chủ thể
là con người đã tạo các giá trị vật chất, tinh thần, các thành tựu vĩ đại về mọi
mặt trong cuộc sống và tạo ra nền văn minh nhân loại.
Ý định "khoa học hóa tư duy sáng tạo" có từ lâu. Nhà toán học Hy
Lạp Pappos, sống vào thế kỷ III, gọi khoa học này là Ơristic (Heuristics).
Theo quan niệm lúc bấy giờ, Ơristic là khoa học về các phương pháp và
quy tắc làm sáng chế, phát minh trong mọi lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, văn
học, nghệ thuật, chính trị, triết học, toán, quân sự Do cách tiếp cận quá
chung và không có nhu cầu xã hội cấp bách, Ơristic bị quên lãng cho đến
thời gian gần đây.

8
Cùng với cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật, số lượng bài toán phức tạp
mà loài người cần giải quyết tăng nhanh, đồng thời yêu cầu thời gian phải giải
được chúng rút ngắn lại. Trong khi đó không thể tăng mãi phương tiện và số
lượng người tham gia giải bài toán. Thêm nữa, cho đến nay và trong tương lai
khá xa sẽ không có công cụ nào thay thế được bộ óc tư duy sáng tạo. Ngưòi ta
đã nhớ lại Ơristic và phát triển tiếp để tìm ra cách tổ chức hợp lý, nâng cao
năng suất, hiệu quả quá trình tư duy sáng tạo - quá trình suy nghĩ giải quyết

vấn đề và ra quyết định trong mọi lĩnh vực không riêng gì khoa học kỹ thuật.
Trên con đường phát triển và hoàn thiện, khoa học sáng tạo (Heuristics,
Creatology) tách ra thành một khoa học riêng, trong mối tương tác hữu cơ với
các khoa học khác (có đối tượng nghiên cứu, hệ thống các khái niệm kiến
thức riêng, cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu riêng )
Một số nước tiên tiến trên thế giới đã bắt đầu đào tạo cử nhân, thạc sỹ về
chuyên ngành sáng tạo và đổi mới (BA, BS, MA, MS in Creativity and
Innovation). Ví dụ Trung tâm nghiên cứu sáng tạo (Center for Studies in
Creativity) thuộc Đại học Buffalo bang New York (Mỹ) đến cuối năm 1994
đã đào tạo được 100 thạc sỹ.
1.4. Thực trạng sự sáng tạo của học sinh và giáo viên hiện nay
Theo báo điện tử Dân trí: Một nguyên nhân sâu xa khiến chủ trương
đổi mới cách dạy và học chưa đạt được nhiều kết quả là chỗ, ta yêu cầu các
giáo viên rèn óc thông minh sáng tạo cho học trò nhưng lại không trang bị cho
giáo viên khoa học về sự sáng tạo.
Học sinh được dạy phân tích, tổng hợp, suy diễn, được rèn luyện qua
những bài tập đòi hỏi khả năng phân tích, tổng hợp nhưng thiếu những bài tập
yêu cầu sáng tạo ra cái mới, dù chỉ là mới đối với họ.
Ngay ở các kỳ thi toán quốc tế, thí sinh cũng chỉ làm những bài toán
khó trong đó người ta cho biết giả thiết và kết luận, thí sinh chỉ phải tìm ra
cách suy diễn từ giả thiết ra kết luận. Tư duy của họ giống như một con chim

9
trong lồng, có thể nhảy nhót nhưng không ra khỏi cái lồng kín. Cái lồng đây
chính là đề bài. Dĩ nhiên, rèn được óc thông minh cũng tốt và không dễ,
nhưng dù sao trong dạy học ngày nay, việc này là chưa đủ.
Thời đại ngày nay đòi hỏi sự sáng tạo ra cái mới. Vậy giáo dục phải
làm gì để tạo ra được năng lực sáng tạo ở học sinh? Hiện nay, trong cán bộ
quản lý giáo dục và giáo viên cũng còn nhiều nhận thức cảm tính không đúng
xung quanh hai chữ "sáng tạo", ví như cho rằng phải dạy thật tốt, học thật tốt,

chờ cho học sinh có nhiều kiến thức đã rồi mới dạy sáng tạo, học sáng tạo.
Đành rằng nhiều kiến thức là một thuận lợi cho sự sáng tạo nhưng
không nhất thiết người nhiều kiến thức hơn thì sáng tạo hơn người ít kiến
thức; thậm chí người mù chữ cũng có thể sáng tạo. Cho nên, một đặc điểm
của "sáng tạo" là nó có thể xuất hiện ở những người trình độ học vấn rất khác
nhau. Từ trước tới nay, ta chỉ đưa công tác nghiên cứu khoa học vào các
trường đại học mà không đưa vào các trường phổ thông.
Đã là con người thì ai cũng chán khi phải kéo dài mãi một việc mà
không hề có đổi mới gì cả; các cháu ở nhà trẻ cũng đã bộc lộ rõ tâm lý đó.
Cho các cháu một đồ chơi dù hay, dù đẹp đến mấy, chơi mãi rồi cũng chán.
Khi đó các cháu sẽ bày ra những đồ chơi, cách chơi do các cháu tự nghĩ ra.
Ngày nay, nhiều người nói đến việc học sinh bỏ học, chán học, không hứng
thú học và chỉ ra nhiều nguyên nhân nhưng hay quên nguyên nhân cốt lõi là
một số giáo viên coi thường tâm lý "thích sáng tạo" của học sinh, chỉ lo nhồi
nhét kiến thức.
Nhiều giáo viên đồng nhất việc đổi mới cách dạy với việc giảng dạy
nêu vấn đề. Đó là một sự tiến bộ so với giảng dạy áp đặt, nhồi nhét, nhưng
vẫn là một sự hạn chế vì học sinh vẫn thụ động ngồi chờ thầy nêu vấn đề cho.
Sức ỳ tâm lý là một trở ngại cho việc phát hiện vấn đề. Ngày nay, người ta có
nhiều cách để chống sức ỳ tâm lý nhưng chưa có cách nào xuất hiện trong nhà
trường chúng ta.

10
Trong quản lý Giáo dục và quản lý dạy học, các ngành giáo dục
Singapore, Hàn Quốc cách đây rất lâu cũng đề ra một yêu cầu chặt chẽ: “Cần
phải có cái gì để phân biệt một bên là thợ dạy bên kia là thầy giáo; một bên là
thợ học, bên kia là học sinh”. Với họ, không thể đánh đồng giữa thầy với thợ,
giữa người học theo lối “cầm tay chỉ việc” với người học theo kiểu tìm tòi
nghiên cứu.
Bởi vậy, từ Nhật Bản, Hàn Quốc đến nhiều nước mới phát triển ở Đông

Nam Á, trong giáo dục người ta chú trọng tới cách học (phương pháp ) nhiều
hơn học cái gì (nội dung).
Với thầy giáo đúng nghĩa, chức năng chính yếu của họ là dạy cách học
(thay vì truyền đạt nội dung). Với học sinh đúng nghĩa, nhiệm vụ quan yếu
của họ là học cách học (thay vì “dùi mài kinh sử”, hay là “cày sâu cuốc bẫm”
– một văn hóa học phương Đông đã tồn tại tương đối lâu).
Trong cách học họ đề cao hai điểm then chốt là tự học và sáng tạo. Hai
mặt đó quan hệ mật thiết với nhau: sẽ không có sáng tạo nếu không có tự học
tích cực, sẽ không có tự học hiệu quả nếu không mài sắc trí sáng tạo. Tự học
để khám phá nhận thức và khai phá sáng tạo. Sáng tạo để khẳng định sự tìm
tòi siêu thoát trong tự học. Các nhà giáo dục Nhật Bản và Singapore đều cho
rằng đó là những kĩ năng “kép” cần cho một người học sinh hiện đại, để rút
ngắn khoảng cách thua kém và để trở thành người chủ thực sự của tương lai.
Vậy, phải xây dựng được một khoa học về sáng tạo để chỉ đạo việc
dạy và học sáng tạo. Muốn vậy phải có một sự nhất trí cao và một quyết
tâm lớn để xây dựng nên một lộ trình từng bước thích hợp. Không thể vội
vã nhưng phải nhanh chân vào cuộc, đừng chần chừ, nấn ná như trước đây
đối với tin học.
1.5. Gợi ý về một phƣơng pháp hoạt động sáng tạo
Theo giáo sư Phan Trọng Ngọ: “Hoạt động sáng tạo luôn có một con
đường riêng đầy bí ẩn và không bao giờ đi theo một khuôn mẫu quen thuộc,

11
cứng nhắc, vì vậy không dễ hoạch định nó. Tuy nhiên nếu quan tâm sâu sắc
đến hoạt động này thì có thể phác hoạ một quy trình mà nhờ nó có thể cải
thiện được hiệu quả sáng tạo. Dưới đây là một gợi ý về quy trình như vậy.
*) Quy trình khuyến khích tính sáng tạo theo mô hình sáu bước: cảm
hứng – làm rõ - chắt lọc - ấp ủ - đổ mô hôi – đánh giá.
+ Cảm hứng. Đây là giai đoạn nghiên cứu, tìm kiếm các ý tưởng. Quá
trình này mang tính trực giác. Trí tưởng tượng được tự do và ngẫu hứng, bột

phát, không e ngại, dám liều, tự tin. Trong cảm hứng không có sự phê phán.
Giai đoạn này giống như cuộc công não, với mục tiêu sản sinh ra càng nhiều ý
tưởng càng tốt. Để tạo ra nguồn cảm hứng và sản sinh ý tưởng, có thể sử dụng
rất nhiều thủ pháp: lục tìm trong quá khứ (hồi tưởng về kinh nghiệm); liên kết
(phối hợp, chắp ghép) các sự kiện quan sát được; phát triển một cách ngẫu
hứng từ một sự kiện ban đầu (phát triển theo lôgic thuận và ngược); rà soát
mọi khả năng v.v.Cảm hứng không có tính chỉ trích.
+ Làm rõ. Làm rõ mục đích của hoạt động đang được tiến hành. Đây
là nếp tư duy có tính chiến lược, không vội vàng và thường xuyên đặt ra
các câu hỏi: ta đang định làm gì? Ta muốn công việc này được tiến hành
như thế nào? v. v.
+ Chắt lọc. Những ý tưởng đã có cần được phân tích, đánh giá và sàng
lọc để có ý tưởng tốt. Những ý tưởng này sẽ được tiếp tục phát triển và chọn
lọc. Quá trình chắt lọc la sự biên tập mang tính tự phê phán. Nó đòi hỏi phải
có sự phân tích, đánh giá một cách sâu sắc, lạnh lùng. Tuy nhiên cũng không
nên quá khắt khe với bản thân, tới mức cản trở khả năng sản sinh ý tưởng
của mình.
+ Ấp ủ. Đay chính là thời kì tĩnh lặng quý báu trong hoạt động sáng tạo.
Trong học tập bình thường thì điều này khó diễn ra do hoạt động là một chuỗi
liên tục. Tuy nhiên trong sáng tạo việc ngưng nghỉ tạm thời giữa các giai đoạn
là rất bổ ích. Nó giúp cho tiềm thức có điều kiện quay trở về với những vấn đề

12
đang vướng mắc trong tư duy, giúp cho con người tách ý thức ra xa các ý
tưởng, để đánh giá chúng tốt hơn. Những người có khả năng sáng tạo cao ít
khi bị thu hút ngay lập tức vào những ý tưởng mới nảy sinh, họ thường để cho
những ý tưởng đó tiếp tục nung nấu trong tiềm thức cho đến khi nào “nảy ra
được điều gì đó”
+ Đổ mồ hôi. Khi các ý tưởng đã được sản sinh thì không có nghĩa là đã
sáng tạo. Ngay cả trước và sau khi chúng được chắt lọc và trong lúc suy tư,

tĩnh lặng vẫn diễn ra sự làm việc vất vả và căng thẳng với những ý tưởng đó,
cho đến bao giờ chúng hiện hữu đầy đủ trước cá nhân và người khác. Cần lưu
ý tới câu nói nổi tiếng của Th. Edison mà mọi người đều biết: “Thiên tài gồm
1% cảm hứng và 99% là mồ hôi”.
Trong giai đoạn này cần xem xét lại bản thảo, để tìm ra điểm mạnh,
điểm yếu và cân nhắc cách thức hoàn thiện ra nó. Sau đó tiếp tục đổ công sức
để thực hiện những chỉnh sửa. Để có được sản phẩm cuối cùng, có thể phải
trải qua nhiều lần chắt lọc, ấp ủ, lao động, đánh giá. Đó là quá trình đầy tính
kiên trì, không phê phán và sãn sáng đáp ứng mọi phê phán.
Trên đây là các giai đoạn của quá trình sáng tạo. Trong thực tiễn các
giai đoạn này không hoàn toàn theo lôgic trên, mà có đảo lộn giữa các công
đoạn, thậm chí phải lặp lại nhiều lần một số công đoạn nhất định. Điều quan
trọng là mỗi công đoạn có chức năng và tính chất riêng. Vì vậy một mặt cần
triệt để thực hiện đúng tính chất của từng công đoạn và không được thâm
nhập vào nhau, mặt khác phải linh hoạt chuyển từ công đoạn này sang công
đoạn khác. Khi đang tìm kiếm những ý tưởng thì thái độ phê phán hay cầu
toàn là điều không tốt. Ngược lại, việc lựa chọn những ý tưởng lại chất đầy
chất ngẫu hứng và thiếu sự phê phán, sẽ dẫn đến hỏng việc. Triệt để thực hiện
đúng tính chất của các công đoạn là việc rất khó trong tư duy sáng tạo, nhất là
đối với những học sinh và cả những giáo viên đã quen với nếp tư duy hỗn hợp
đan xen.” [6, tr.318 - 320].

13
1.6. Một số kĩ năng xây dựng bài toán mới
1.6.1. Sử dụng các kết quả trung gian để xây dựng bài toán mới
Trong phần này chúng ta xét một vài ví dụ điển hình:
Ta có kết quả: Với a, b, c > 0, chứng minh rằng:
 
2
2 2 2

x y z
x y z
a b c a b c

  


Chứng minh:
   
2
2 2 2
2
x y z x y z
x y z a b c a b c
a b c
a b c


         




Suy ra:
 
2
2 2 2
x y z
x y z
a b c a b c


  


Như các bạn đã biết nhiều tác giả trên thế giới sử dụng kết quả này để
chứng minh các bài toán khó trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc
tế. Tuy nhiên trong mục này chúng ta quan tâm nhiều hơn đến phương pháp
xây dựng:
1. Tìm một bất đẳng thức đối xứng cơ bản:
Ví dụ:
2 2 2
( , , 0)
abc
a b c a b c
b c a
     

2. Áp dụng kết quả trung gian có liên quan đến vế phải của bất đẳng
thức cơ bản.
 
 
 
2
2 2 2
4 4 4
2
2 2 2
3
2 2 2
abc

a b c
abc
b c a
b c a
ab bc bc ca ca ab ab bc ca ab bc ca





    
      

Và chúng ta thu được bài toán mới sau:
Bài 1: Với a, b, c R
+
, chứng minh rằng:

14
     
4 4 4
3 3 3
3
2
a b c
b a c c a b a c a
  
  

Hoàn toàn tương tự ta thu được bài toán

Bài 2: Với a, b, c R
+
, chứng minh rằng:
     
4 4 4
3 3 3
3
1
a b c
b a c c a b a c a
   
  
   

Chọn  những giá trị thích hợp ta thu được
1
abc


ta có
Bài 3: Với a, b, c R
+
, chứng minh rằng:
     
5 5 5
2 2 2 2 2 2
3
1 1 1 1
a b c abc
b ba c cb a ac abc

  
   

Hoặc khó hơn ta thu được
Bài 4: Với a, b, c R
+
, abc = 1, chứng minh rằng:
     
5 5 5
2 2 2 2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
b ba c cb a ac
  
  

Xuất phát từ bất đẳng thức.
2 2 2
2 2 2 3
a b c abc
b c c a a b
  
  

Ta có:
     
 
 
 

4 4 4
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
22
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
3
9
a b c
b c c a a b
b bc c ca a ab
a b c
abc
b c c a a b
a b c a b c
  

  




  

  

   


Ta thu được bài toán



15
Bài 5: a, b, c > 0, chứng minh rằng:
     
4 4 4
3 3 3
1
9
2 2 2
a b c
b b c c c a a a b
  
  

1.6.2. Xây các bất đẳng thức trung gian có điều kiện
Bài 1: Với a, b, c > 0, a + b + c ≤
2
3
, chứng minh rằng
1 1 1 15
2
P a b c
abc
      

Giải:
Ta có:
3
3
3
3P abc
abc


Đặt
3
1
0
32
abc
t abc

   
ta thu được
1 1 3 5 15
4 3 2 4
3 2 2 2
P
t t t P
tt
         

Bài 2: Với a, b, c > 0,
2 2 2

3
2
n
abc  
, chứng minh rằng
1 1 1 15
3
P a b c
abc
      

Giải
Ta có bất đẳng thức
 
 
1
3
3
2
n
n
n n n n
n
a b c a b c

     

Suy ra a + b + c ≤
2
3

. Áp dụng kết quả của bài toán 1 ta suy ra đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =
2
1

Bài 3 . Với a, b, c > 0, a + b + c ≤
2
3
, chứng minh rằng:

16
2 2 2
1 1 1 27
2
P a b c
abc
      

Giải:
3
2 2 2
3
3
3P abc
abc


Đặt 0 < t =
3
1

32
abc
abc



Ta thu được:
3
15 15 9 27
3 64 12
3 2 2 2 2
P
P      

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =
2
1
.
Chứng minh tương tự ta được các bất đẳng thức sau:

Bài 4. Với a, b, c > 0, a + b + c ≤
2
3
, chứng minh rằng:
2 2 2
3 3 3
1 1 1 15
2
1 1 1 27
2

1 1 1 99
4
a b c
P
bc c a a b c
P a b c
ab bc ca
P ab bc ca
abc
      
      
      

*Áp dụng trong tam giác
Sử dụng bất đẳng thức
3
sin sin sin
2 2 2 2
A B C
  

Bài 1. Chứng minh rằng:
222
21
sin sin sin cot cot cot
2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C
P       

17
Giải.
Ta có:
222
1 1 1
sin sin sin 3
2 2 2
sin sin sin
2 2 2
A B C
P
A B C
      

Suy ra:
27 21
3
22
P   

Đẳng thức xảy ra khi A = B = C.

Bài 2. Chứng minh rằng:
222
35
2sin cot cot cot
4 2 2 2 2 2 2
A B C A B C

sin sin   

Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
 
222
222
222
222
222
35 1 1 1 1
cos cos cos 1 3
42
sin sin sin
2 2 2
45 1 1 1 1
3 2sin 2sin 2sin
4 2 2 2 2
sin sin sin
2 2 2
1 1 1 54
sin sin sin
2 2 2 4
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
A B C
A B C
A B C

P
A B C
       


       




       
Ta có:
222
3
222
3
3
3 sin sin sin
2 2 2
sin sin sin
2 2 2
A B C
P
A B C


Đặt:
222
3
sin sin sin

1
2 2 2
sin sin sin
2 2 2 3 2
A B C
A B C
t

  

Ta thu được:

18
2 2 2
22
1 1 15 17 51
16 15 8
3 4 4 4
P
t t t P
tt
         

Dấu đẳng thức xảy ra khi A = B = C =
3

(đpcm).
*Sử dụng bất đẳng thức:
 
222

23
sin sin sin
32
A B C  

Ta thu được
Bài toán . Chứng minh rằng:
 
 
222
4 3 5
cos cos cos cot cot cot
3 2 3
A B C A B C   

Giải
Vì sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 2 + 2cosA cosB cosC nên bất đẳng thức cần
chứng minh tương đương với.
 
 
222
222
222
222

3 3 1 1 1 5
sin sin sin 2 3
2 2 sin sin sin 3
2 3 1 1 1 15
sin sin sin
3 2 sin sin sin 2
A B C
A B C
A B C
A B C

       



     



Đặt
2 2 2
2 2 2
sin , sin , sin ,
3 3 3
a A b B c C  

Ta thu được bài toán mới.
*Sử dụng bất đẳng thức
 
13

32
abc
m m m
R
  

Ta thu được
Bài toán . Chứng minh rằng:
 
2
222
1 1 1 1 27
9
32
abc
a b c
m m m R
R m m m

     





19
Giải
Đặt
1 1 1
,,

3 3 3
a b c
a m b m c m
R R R
  
ta thu được bài toán
*Sử dụng đẳng thức
 
33
22
abc
l l l
p
  

ta thu được
Bài toán . Chứng minh rằng:
 
2
3 4 1 1 1 27
2 3 2
abc
a b b c c a
p
l l l
p l l l l l l

     



Giải
Đặt
3 3 3
,,
2 2 2
a b c
a l b l c l
p p p
  
ta thu được bất đẳng thức cần chứng
minh .
*Sử dụng bất đẳng thức :
3 1 1 1 3
22
abc
r
h h h

  



ta thu được
Bài toán . Chứng minh rằng:
 
222
3 2 15
2 3 2
b c a

abc
a b c
r h h h
h h h
h h h r

     



Giải
Đặt
3 1 3 1 3 1
,,
2 2 2
a b c
r r r
a b c
h h h
  
ta thu được bài toán:
Giả sử a, b, c > 0, a + b + c =
2
3
, chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 15
2
abc
P

b c a a b c
      


20
Giải
Ta có
3
3
3
3P abc
abc


Đặt
3
1
0
32
abc
t abc

   
, suy ra:
1 1 3 5
4 3 4 ,
3 2 2
P
t t t
tt

       
suy ra
15
2
P 
(đpcm).

*Sử dụng bất đẳng thức :
 
13
sin sin sin
2
3
A B C  

ta thu được
Bài toán . Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác nhọn, chứng minh
rằng:
1 1 1 15 3
cos cos cos 3
2 2 2 sin sin sin 2
A B C
P
A B C

      



Giải:

Áp dụng bất đẳng thức:
sinA + sin B + sinC ≤
cos cos cos
2 2 2
A B C


ta thu được
1 1 1
sin sin sin 3
sin sin sin
P A B C
A B C

     



Vậy ta cần chứng minh bất đẳng thức
 
1 1 1 1 15
sin sin sin 3
sin sin sin 2
3
A B C
A B C

     



Đặt
1 1 1
sin , sin , sin
3 3 3
a A b B c C  
, ta thu được bất đẳng thức
trong ví dụ 6.1.