Các phương pháp xác suất thống kê trong thị trường Tài chính và chứng khoán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
Tên đề tài Các phương pháp xác suất thống kê
trong thị trường Tài chính và chứng khoán
Mã s ố QT-99.01
Chủ trì đề tài PSG.TS Nguyễn Văn Hữu
HÀ NỘI 2001
Tên đề tà i: Các phương pháp xác suất thống kê trong thị trường
Tài chính và chứng khoán.
Mã số : QT-99.01.
Chủ trì đề tài : PSG.TS Nguyễn Văn Hữu
Các cán bộ phối hợp :
1. PGS.TS Đào Hữu Hồ, Khoa Toán - cơ - Tin Học, ĐHKHTN, ĐHQG Hà
Nội.
2. TS. Trần Hùng Thao , Viện Toán ,TTKHCN & MT.
3. CN. Trần Trọng Nguyên , Khoa Toán , ĐHSP, Xuân Hoà, Hà Nội .
1. Báo cáo tóm tắ t :
a.Tên đề tà i:
Các phương pháp xác suất thống kê trong thị trường
Tài chính và chứng khoán.
Mã s ố
: QT-99.01.
b
.Chủ trì đề tà i
: PSG.TS Nguyễn Văn Hữu
c
.Các cán bộ phối hợp :
1. PGS.TS Đào Hữu Hổ , Khoa Toán - cơ -Tin Học, ĐHKHTN, ĐHQG
Hà Nội.
2. TS. Trần Hùng Thao , Viện Toán .TTKH&CN.
3. Th.s. Trần Trọng Nguyên , Khoa Toán, ĐHSP, Xuân Hoà, Hà Nội.

d.
Mục tiêu và nội dung nghiên cứu
:
1) Thu thập và tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài.
2) Tổ chức các hội thảo và các chuyên để về các phương pháp toán học
trong tài chính và thị trường chứng khoán.
3) Nghiên cứu các mô hình về thị trường bao gồm các nội dung sau:
+ Các mô hình ngẫu nhiên mô tả sự lên xuống của giá các loại
chứng khoán.
+ Các mô hình vể lợi suất chứng khoán.
+ Mô hình thị trường cân bằng và lành mạnh, cách xác định giá
hợp lý cho các mục tiêu đầu tư chứng khoán.
e.Các kết quả đạt được :
1) Đã có 5 báo cáo khoa học tại Hội Nghị ứng Dụng Toán Học toàn
quốc 12/1999 tại Hà Nội và Hội nghị khoa học khoa Toán -Cơ-Tin học
11/2000.
2) 5 báo cáo nói trên đã gửi đăng trên các tạp chí dưới đây :
+ Nguyễn Văn Hữu và Trần Trọng Nguyên:
On a generelized Cox- Ross-Rubinstein option market model.
To appear in Acta Mathematica Vietnamica (đã có giấy nhận
đăng).
+ Trần Hùng Thao, Christine Thomas- Agnan:
Evolution des cours gouvernée par un processus de type ARIMA
fractionaire. USS-Gremaq.Université Toulouse 1 21 Alléa de
Brienne, 31000 Toulouse de France.
+ Nguyễn Văn Hữu :
Những vấn để toán học trong thị trường tài chính và thị trường
chứng khoán, (sẽ đăng trong kỷ yếu của hội nghị ứng dụng Toán
học toàn quốc từ 22/12 đến 25/12/1999).
+ Trần Trọng Nguyên và Trần Hùng Thao : Điều chỉnh sô tiền bảo

chứng trong hoạt động kinh tế thị trường (Sẽ đăng trong kỷ yêu
của hội nghị ứng dụng Toán học toàn quốc từ 22/12 đến
25/12/1999) _
+ Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Ngọc Cương, Đào Hữu Hổ: Các tiêu
chuẩn để kiểm tra tính độc lập của dãy các tín hiệu đối với các
đối thiết dãy các tín hiệu tạo thành môt xích Markov.
(Báo cáo khoa học tại Hội Nghị KH khoa Toán -Cơ-Tin Học
ngày 24/11/2000)
3) Đã tổ chức các bài giảng giới thiệu về các vấn đề về toán học
trong tài chính và thị trường chứng khoán ở các hôi thảo khoa học
sau đây:
+ Hội nghị ứng dụng Toán học toàn quốc 12/1999 tại Hà Nôi.
+ Seminar KH của phòng Xác Suất của Viện Toán TTKH &CN.
(3buổi).
+ Seminar "Các phương pháp ngẫu nhiên và giải tích số"
do GS Nguyễn Quí Hỷ chủ trì (4 buổi).
+ Seminar "Các phương pháp xác suất và ứng dung"
do GS Nguyễn Duy Tiến chủ trì (2 buổi).
4) Đã giảng 1 chuyên đề cao hoc về "Các phương pháp xác suất
trong thị trường chứng khoán" cho HS cao hoc khoá 2 tai khoa
Toán-Cơ-Tin Học, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nôi.
5) Đang hướng dẫn NCS Trần Trong Nguyên, NCS của Viên Toán,
TTKH&CN, vể các phương pháp xác suất trong tài chính va thị
trường chứng khoán.
Đã hướng dẫn một luận văn cử nhân của sv Nguyễn Thi Hằng
đã bảo vệ 5/2000
ĩ. Tình hình kinh phí của đề tà i:
+ Kinh phí đươc cấp năm 1999 : 7.000.000đ .
Đã chi :
- Thuè chuyên gia theo HĐNC cá nhân :

3*1.800.000 đ = 5.400.000 đ.
- Chi phí hỏi thảo : 1.000.000 đ.
- Chế bản vi tính, photocopy và các khoản chi khác:
600.000 đ.
Tổng cộng : 7.000.000 đ.
+ Kinh phí đơơc cấp năm 2000 : 8.000.000đ
Đã chi :
- Thuê chuyên gia theo HĐNC cá nhản :
3*1.800.000đ= 5.400 000 đ
- Chi phí hội thảo: 1.600.000 đ.
- Chê bản vi tính,photocopy và CCỈC khoan
Chi khác : 1.000.000(1
Tổng công : 8.000.000đ.
a. Title of scientific project:
Mathematical methods in the Finance
And in the stock markets.
b
.Chief of the project
: Prof.Assoc.Ph.Dr.Nguyen Van Huu.
c
.Participators :
1) Prof.Assoc.Ph.Dr Dao Huu Ho.
2) Ph.Dr. Tran Hung Thao.
3) Mast. Tran Trong Nguyen.
d
.Purpose and contain of the project:
1) Collect literatures concerning to the project.
2) Organize seminars on the subject "Math methods in the
Finance and in the stock markets"
3) Study market models :

+ Stochastic models of stock price.
+ Stochastic models of interest rate.
+ Rational pricing contingent claim in complet, incomplet,
arbitrage free markets.
e.
Results obtained :
There are 5 papers will be published :
+ Nguyen Van Huu , Tran Trong Nguyen :
On a generalized Cox-Ross-Rubinstein option market model.
To appear in Acta Mathematica Vietnamica .
+ Tran Hung Thao , Christine Thomas -Agnan :
Evolution des cours gouvernée par un processus de type
ARIMA fractionaire .
u ss GREMAQ , Université Toulouse 1, 21 Allée de
Brienne , 31000 Toulouse de France.
+ Nguyen Van Huu: Mathematics problems in the Finance and
in the stock markets .
Report in the first national conference on applied
mathematics Held in Ha Noi, Vietnam 22/12 to 25/12/1999.
+ Tran Trong Nguyen, Tran Hung Thao:
Security regulation for investment in a market economy.
Report in the first national conference on applied
mathematics Held in Ha Noi .Vietnam 22/12 to 25712/1999.
+ Nguyen Van Huu, Nguyen Ngoc Cuong, Dao Huu Ho:
Testing the independence of sujn.il sequence against the
alternative in which the sicinal sequence is markovian .
Report in the mathematical conference of the facculty of
Mathematics-Mechanics-lnformatics, National University
Hn Noi Vietnam.
+ Have delivered the lectures on stochastic calculus and its

application to the financial mathematics on the seminar
"stochastic methods and numerical analysis" heading by
2. Báo cáo tóm tắt bằng tiếng Anh .
Prof.Nguyen Qui Hy and on the seminar "Probabilist models
and their application" heading by Prof.Nguyen Duy Tien in
the National University Ha Noi.
+ A thesis on stochastic methods in the Finance has been
fulfieled to get the degree of Bachelor of Mathematics.
Xác nhận của Ban chủ nhiệm khoa
Chủ trì đề tài
Nguyễn Văn Hũ'u
Xác nhận của trường
JMO miều trướng
JKlEfM
■ \ 7
p ũ i l ĩ-
A ỹ Ý " ^
Lmì
Báo cáo tông kết để tài NCKH QT-99.01
1 Muc luc .
1) Báo cáo tóm tắt đề tài bằng tiêng Việt .
Trang
2.
2) Báo cáo tóm tắt đề tài bằng tiêng Anh
Trang
4
3) Lời mở đẩu.
Trang
6
4) Nộl dung chính.

Trang
6
5) Kết luận.
Trang
b
6) Tài liệu tham khảo.
Trang
6
7) Phụ lục
It
8
2 .Lởi mỏ đấu .
Trong 20 năm gần đây đã có rất nhiều thành tưu toán học đã
được ứng dung vào việc nghiên cứu định lương các qui luật kinh tê nói
chung và các hoạt đông tài chính nói riêng, nhất là trong những năm
tới việc ra đời thị trương chứng khoán ở Việt Nam sẽ là một động lực
mới cho việc đẩy mạnh nghiên cứu toán học vào trong lĩnh vực tài
chính và đó cũng là để tài mang tính thởi sự ở nước ta.
3.Nối dung chỉnh .
Để tài nghiên cứu rvi nhăm các nội dung sau :
- Thu thâp các I liệu và viết tổng quan về các vấn đề và các
hướng nghiên ưu chính.
- Tô’ chức các CIIOC hội thảo về chu đề của đề tài .
- Nghiên cứu một số mô hình ngẫu nhiên mò tả sự lèn xuông của
giá các loại chứng khoán, mỏ hình về lợi suất chứng khoán.
- Nghiên cứu các đièù kiện để cho một thi trường là lành mạnh,
không có cơ hội trục lợi chứng khoán.
- Nghiên cứu việc định giá hơp lý các mục tiêu đầu tư và các chiến
lươc để đat các muc tiêu đó với rủi ro tối thiểu.
4.Kết luân .

Trong 2 năm vừa qua các thành viên của đế tài đã cô gắng thực
hiện các mục tiêu cơ bản của để tài.Tuy nhiên việc ứng dung các kết
quả nghiên cửu vào thưc tiên ở nước ta còn chưa thưc hiên đươc vì
thị trường chứng khoan ở nước u vừa mới xuất hiện ở thành phố Hồ
Chí Minh.
5.Tài liêu tham khảo chính.
[1] Black F.,Sholes M. The pricing of option and corporate liabilities.
Journal of Political Economy. 1973,No.3, 637-659.
[2] Bachelier L.Théorie de la speculation Ann.Ecole Norm.Sup.
1900.Vol.17.
3] Cox J.C.,Ross R.A. The valuation of options for alternative
stochastic processes . Journal of Financial Economics,1976,
Vol.3,145-166.
4] Cox J.C.,Ross R.A.Rubinstein M. Option pricing: a simplied
approach. Journal of Financial Economics, 1976 ,Vol.3,145-166.
5] Karatzas I.Shreve S.E. Methods of Mathematical Finance.
Spring 1998,408 pag.
6] Lamberton D.,Lapeyre B. Introdution au calcul stochastique
appliqué à la finance. Edition:Ellipse, Paris 1997.
7] Markowitz H. Portfolio selection.Efficient diversification of
investments. New York : Willey 1958.
8] Markowitz H.Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and
Capital Markets.Cambridge,Massachussetts:Blackwell,1990,387p.
9] Shall M. Martingale measures and hedging for discrete time
financial markets. Mathematics of operation research, 1999,
Vol.24 No 2,509-528
10] Shiryaev A N Kabanov lu.M.,Kramkov A.v. On the theory of
pricing Europian and American option :l-discrete time case,
ll-continuous time case . Theory of Probability and its
application 1994,Vol.39,No.1,21-129 (in Russian).

Phụ Lục.
Các bài báo đã gửi đăng và các báo cáo khoa học :
1) Nguyễn Văn Hữu và Trần Trọng Nguyên :
On a genorelized Cox-Ross-Rubinstein option market model.
To appear in Acta Mathematica Vietnarnica (đã có giấy nhận đăng).
2) Trần Hùng Thao , Christine Thomas Agnan :
Evolution des cours gouvernée par un processus de type
ARIMA fractionaire. USS-Gremaq.Université Toulouse 1, 21 Alléa de
Brienne, 31000 Toulouse de France
3) Nguyễn Văn Hữu : Những vấn đề toán học trong thị trường tài chính
và thị trường chứng khoán .(sẽ đăng trong kỷ yếu của hội nghị ứng
dung Toán Học toàn quốc 12/1999).
4) Trần Trọng Nguyên và Trần Hùng Thao: Điểu chỉnh sô tiền bảoehứng
trong hoạt động kinh tế thị trường (sẽ đăng trong kỷ yếu của hội nghị
ứng dụng Toán Học toàn quốc 12/1999).
5) Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Ngọc Cương, Đào Hữu Hồ :
Các tiêu chuẩn để kiểm tra tính độc lập của dãy các tín hiệu đối với
các đôi thiết rằng dãy các tín hiệu tạo thành một xích Markov
(Báo cáo khoa hoc tai Hội Nghị KH khoa Toán - Cơ- Tin Hoc Ngày
24/11/2000).
ON A CỈ1 N i:KAI,l/i:i) COX-ROSS-RUmNSTHN OPTION
MARKI'T MOUI.L
Nguyen Vail Iluu Tran Tnurg Nguyen
Hanoi National University. Hanoi Pedagogical UniVCIsily II
Ahsracl
This ailid c concerns a ucnci;ili/oil Cox-Koss-Uuhinslun model ol an
option miirkel. Sonic limit theorems lor 1 lie slock pricc proccss anil tlicii
cipplicatit>n In tic 11 lie it|ipmximalcly llic rational price and hedging slmlcuics
ol slantliiixl lùimpean option arc cslahlislictl.
Kcv woixls: Miulcl 111 option market, slock price, contingent

claim .milI t ill im <ISUIV.
I- Iiỉtro duclio n:
The optii'11 markel simplilicil model considered hv.l.c Cox,.I.li.lvoss.
M.Uuhinsíciii I.] I imtl IVC m il)' by A.N.Shilljacv. III. Kabanov. D O Kiamkov.
A .V .M c lik ov IM .mil hv S.T. Uiichcv. I . RI ischenclt >] I |>|. consists of I wo
pn kvsscs:
- A risk iiv .1 .SL'I (loi' L\\;im|ik' a hillik accminl):
Ị', = I i I I +-T)" or R = Rn ,(I H-I ),Bn is j;iven.
11
= I : N.
- /\ xl< 'I I. I in pi I H css pi'sscssinu I lie l( (Mow i 11 u ilyn;mlie • ■
N = N ,( I + p, ). 11= I ^ N
or equivalently
•v„ ■s' „ l i ( i ' /\ >• |1=UN-
i }
\\i 1 h S n ^ivcn. ị|\.k=lrN| he ill i: llic SCC|IIU1LC 111 I.IAÌ. \ .u i.ihkw
[// With probability p
/ yi
' ■ "
' I tl \\ Ith probability q - I - p ; 0 V p 1 ; - I • cl • II
I Io u v v lt \vc observe 111 ill ! I pk = Sj / St I (Iocs ill >1 lake only l\vo value
I +11 iinil I+il w ilh coil vf ;mi pn >ba hi lilies p .mil 1|. A M id i case IS I he one w liu v
S( is 111C Viiluc III inniiKiii l-k i /N cl .1 ililhision |)|IIV |)ii>cfs,s (IrliiK'd In’
ds, = s, (p, cl I + fT,d w .). ()•_ is T where w, IS .1 Wicnc! process . Tlierelore it
n;ilur;il uciKTali/alion ol I he slriiclurc oi ! 11C slock price sequence ị S M I is I lie
followin': :
The iv I.i Iiyv iin ic in c iils ()1 1 lie slock pu ce p ( = (Sj -N( ! )/Sj ! IS assum ed
U) lake values II. itiul tl( Willi llie pm h n h i!ilk ’.s
l\ = l’ll \ =ll» ) Mt " plpi I-"1- l\ 11.1 I
- l « l t< " k.

ị \ =
pj(N): ut = Uj(N):
\ \ =
p,(N) = I - t|((N ). (1.2)
111 ihis arliclc wo shall consulcr an option niiirkcl ilclinecl hy lu.i
lollow’iim processes:
i) á risk live asscl Pioccss:
UM =
\ị,
.|(1+!•„), B„ given; r„>() with f„ = r„(N). 11= 1-7-N. (1.3)
ii) a slock price proccss:
= |( l+p„K s„ given: and pM satisfying (1.1), (1.2). (1.4)
Cox-Uoss-Uubinslein option market model (il is also called binomial
model ) and ils generalizalion defined by (1.1)-(1.4) arc the rather rare eases
ol complete market model ol (Jicretc lime .where one can well delinc llic lair
or rational pricc and hedging slralcgy of any option conlingcnl claim (sec
section 4.1 below).I lowcver ,as can see in sot ion 3 and 4.llic generalized
model.however il contains loo many unknown uk.dk ,pk,k= L2 N. is a good
iippiuximiiliun ol cimlinuous lime option in;nkcl model wliciv slock pricL'
processes arc given by (JS, =s, ((X, dl+ Ơ, tiw,) wiill w, being a Brownian
process.
hor the Silkc of simplicily wc shall dclclc (lie index N ill llic expression
!'„• IV IVM„-
111
lliis iiiliclc wc shall pro VC lliiil willi some comlilioiis oil ut. tip |\,
ln(SN/S(l) will he asymptotical normal as N—> +00.
The assymlolic properly til ln(SN/S,,) will he used lor the pricing til
standard lùimpciin option.
The ImiclioiKil convciucucc ill the spacc D of cad lag. 1 unclitins willi
Skoiokhoils metric will he also shown.

The ICS nils of llic above convci^cncc will he also useful lor hedging
sonic conlinuciil claim.
2. Lim it (lislrihiilion ol'ln(SN / s„).
Suppose I lie price ol some slock liiis the slrucluic (1.1). (1.2). (1.4).
Pulling ZN = ln(SN /S,). we luivc ihc following Lemirm:
Lcniin a. Lcl UN = liiitN max (I1Ụ.I1Ụ ) —» 0 (2.1)
r„(i) = Rcll/n (2.2)
Then
111/vơ) "ỊvỊ(/V'í '
<li<h
) -' t </<</;) j
I/ I
(2.3)
h"ỉ
'
where (f sliiiuls for a C|iiaiitily bounded by some positive conslanl c
rw ' ■
b o o l SilKV XN = V (I I /.„) is the sum ol MKlcpciKleiU variables
.» I
lakinu only two Vil I lies Ind+Uị). hưl+cl,) willi I he rcspcetivc
piohilhililies pk and t|j ,\vc have
V
/v<n= Ị'[ ).’ ,</> (2.4)
í
>
will)
I/ I I (I
(2.5)
Dcvclopping exp(illn( I +uk)) in ln( I +uk) we ohlain
cxp(illn( I +II> ))= I +iiln( I + ti()- 7 t:lir( I +U| )+0lil'(1111 ( I +u, )l)') (2.6)

Noticing llinl
ln( 1+u,) = uk - uk:/2 + 0 (luj)' ' u(
ln2( I +llk) = II,:+ 0 (lukl)' 56- II,2
we have
^nliKI+U^) _ I ^ ii(ut -nt'/2) - I uv'/2 + 0 ma\ (ItLhI' )lII,I' (2.7)
Similarly
eilln<l4V =1+ il(tlk -dk-/2) - I \ l k7 2+0m ax(lll.lll')klj' (2.8)
II follows Irom (2.5).(2.7).(2.S) llial
g k(l)= 1+ ilịịV k + C|kilt - U | \ u (:+ I|ki l f ) | - i l - | p kuk- + q A 2l
+ 0 m iix(lll.lll') ( p j u j ' + I|,lil,l'). (2.9)
ilia lore
III t:k(i)=ii| I\u, + - Ị (p,u»: + I|,d,: )|-
\
r’ [p(U(: + -
\
l ’ | Pi Uj+qkil| } “-+-C)m;ix(lt I-III')(pju J’’ + (.]( klj 1“) max(kl, IJuJ) (2.10)
liiiiilly (2.4) ami (2.10) lull'lly that
In / V(M = n ^ IS clcliiictl by (2.3).
Ĩ I
The Icillnwing Theorem is a dirccl conscqucnce <>l the above Lemma.
Theorem 2.1. Suppose 1 hill I lie lollnwinu cniulilions is satisfied (as N—>+io):
i) </N = m;i\ (III, I.Id, I) —> 0
ii)
I1’ + a
I
-I
ili)
htl ]: ~^h~
4 0
f.

I
IV) Y ip ,til +</lxt:-)-+tT2 >0.
I
I
I hen
Inn 111 / (/) Ilịíi 'rr: ) /:(rr: h:) 2 (2 I 1 I
gk(l) = I: cxp(illn( I +P|)) = pk L\\p(il ln( I +U()) + qkcxp(illn( I +uk)).
Theorem 2.2. Denoting ỉ - N (X) = p| I I1(SN / Sn) < X Ị. miller llic condilions
ol Theorem 2.1 \vc have
) <b
V
a
4- <T
■)
Inn Slip
/ - (
* > -
< rr
h ' )
( 2 . 12 )
[I
where
<!>(-*) =
— —
í c \p (- / 2 / 2
\h

^ 2 ĩĩ
_.r
Remark: II p(Uj+iỊk<Jk > 0 lui all k = Ih-N. il follows IVom (i).(ii) ihal h=().

3. A functional convergence theorem.
Lcl IIS consicJcr a lime interval 10 /1 'I anil llic SCCỊIICIKCI s„ Idelinccl by
(1.1).(1.2).( 1.4).). Then wc can define a process I S,4(N) I as follows:
S1'(N) = S|Ni/1!. i e |().T| (3.1)
where |ii| stands lor I he integer pari ol ihc number a .
Il is obvious t hat (S,H(N) , 0 < I < T| bclmms lo I lie spacc of cad lag. functions
and llial (S,'(N), ()< t <TỊ is a inilcpciitlciil incicmcnts pioccss.
Let IIS consider 1 he increments of Ihc proce ss In(vS,'(N )):
ln(S,'(N)) - ln( s +(N)) = ln(Sk(I,)-ln<SkM) (3.2)
with k(l) =k(l.N )= I N t/rI; k(s) =k(s,N)= I Ns/l |.
Suppose dial I lie lollowinu conditions ill e sillislicil:
iis N —> + C-O , lor all I e |0,T|.
a) </N = itKixmax (liij.kl. I) —>■ 0 . (u, -<J.
f
<0/N
I Í - V I
I
\ *
l>ịl ' \
*» I (/»,#/, I (/,</,) ><f(0 (3.3)
I I
tịl
' I
c) £(/>,",
+<l,</,ỳ
->/’ ■■(/).:() (3.4)
I
-1
IfjrJ >
cl) -ị </,<!; )->rr? (I) '0 (3.5)

,
I
ill nolicmg llial (S, / s, ! / litkcs onlv 1\V(1 values l+u,= l+u^N): I+il = l+d(N)
will) (he probabilities P,(N) and 1|,(N) respectively.
Then by Theorem 2.2 I he ilislrihulion of
I(1 (s,'(N ) / sn) - ln(Ssl(N) / S j = ln(SM(1 / s„) - ln(S,(S1 / s„)
converges to Níịi, -
CT ĩ
- (T ' ). where
JLI, = ;i(t) - CT“(1 )/2:
CT
; = CT:(1) - lr(t) (3.6)
M v 1 he (.niuliliitns ( c ) iiml ( i l ) . w v S i/C lli.ll lilt I I I I 1L III )||S Iv’ d ) ; n ( I ) .Iiu l
(T ' ~
rrd ) - h (I) ;uv nnn-dci iViisinu.
I u iIIk 'I suppose lli.it a(l). b(!). C7:(l) possess I lie uonlm iiiM is ill II '
■ Iiul pill
ilp(l)All = </(l): lirr/ (|)/(|| = rr/([)>(» (3.7)
Wc liiiw llie lollownm Theorem:
Theorem 3.1. Assume '.hell llic coiulilion (a).(h).(c).(J) and o 7) arc satisfied.
Then llic process ln(.y (N j/s,,) coil verges III disli ihulioii on I he space I.)
nl Ciullaii- luiKliui^. to I lie process Z(l) I^iwcn hv:
dZ(0 = a(t)dt + 0(1) d\v, , /(()) = ().()<!< T. (3.8)
where w, is a standard Wiener proccss on |(),T|.
Proof. Since the distribution (>r ln(S,f (N )/ s„) - ln(S_+(N) / s„) converges, by
Theorem 2.2, to llie normal dislribillion N(n,-ns.
ơf-ơ~)
which is ihc
tlisliihulion of
7.(1) -

Z(s), and holli processes ln(S,+(N
)/S„)
and Z(t) arc
iiulipendent incrcincnls processes anil all I’inilc dimension distributions ol
111 (s,'(N)/S,,) converge lo llic ones of /(I). I III ihumoic \vc Lilli prove lhal ihc
SCIỊIIUICC (ln(S,'(N) |is lighKscc Appendix )aiul hv Prokhorov’s Theorem (see
I I |) wc ohiiiin Ihc conclusion I>r Theorem VI.
Rcmai k
/: II 11,11, +
>
0 lor iill i= IH-N I hen h(l) = 0.
Inliicl. il follows from a) and c) dial
/I /-I
Remark 2:
Pulling .s(I) = S,,cxp(Z(l)), by llic Ito's formula we have
il.S'O) =
S(
„(1) lit +
a
(l)iiw.i. ,S'(1(0)=Sn (3.9)
w here u(\ )=(/(! H( n (I ))~/2 = cl(a(l )-b (l))/dl
and it is easy lo see llial the process |S,'(N)Ị converges in distribution lo .S'(I).
4. Aproxim alelv pricing of standard Knropcan option for ;i generalized
Koss-Kiihiiislcin market.
4.1 .Hu sit (li COIK I'pi ions:
Let IIS coiimiIlt ;i ucncrali/cil C'ox-koss-kubinslcin market ilclincd hy
1\V() process I liM Ị;uul (SJ^iven by (1.3).(1.4) wlicrc (pM Ị is ihc scquencc ol
iiulcpciulcnt random variables lie rilled on llic same piohahilily space (Q.T'.P)
vvilli I lie objective prohiihilily measure l} (Jdincil so lh.ll
I’ lPt-U il = IV H Pk=tM = Mk = *- Pk (0<pk<l ). k=l-rN,

s„ is given.
Pul 3,, = a(St. I < k Ặ 11) = C7(pk.l < k < n). 11= U-N.
Wc can take £2={d,.ul ỊO © |ilN.uN| .iikI Ts=|A: A d i|. Let IIS recall
some basical conceptions.
Suppose (hill ail iiUL'iil keeps al carli lime moment II (11= 0 - N -l) 7i"
biink iiccoimls (if the price Mm ;iml 7T1 n shiiivs <}| ilic pi'Kr SM. Thus al I he lime
moment
11
Ills asscl is ;u|iuil lo
v „" = n '* A + (4.1)
Where 7r"n cl ml 711M IS iissumcil In he 0 M ! - mciiNiircablc.
Ddinilion 4.1. A stialc^y 71 = ) (TT./'.JT,,1). 0 Ịn n- N-l I IS callul sell-linancin''
slralcgy il
l*„
A K,!' + \
X ' = (l (4.2)
where A;in = ii,,-!*,, |. Il cas\ lo see llial a s Ira leg V IS scll-linancin" ill
A V ,> O ' * , , \ s , , . ' (4.3)
I-cl LIS ilcnolc bv SI- the class 1)1'all sell-lìnanciim sli alci'ICS
DiTmitỉon 4.2. The lỊiianlilics
r ; := V„7B„ = 7Ĩ„" + 7Ĩ1,, .V. (4.4)
II • II ' II II k II IP '
with .V„=S1(/BM arc called discounted values corresponding lo
K.
II Ciisv lo see (hill rceSF ill
A»v = rc./A.v, = (71,,'s,, (4.5)
In lacl, by (3.3)
A r; = An,," + .V.A*.,1 + Tt./A.v,, = 71,,'AS,', .
DcỊìiiitioii 4.3. The probhahilily mciisiiic Ụ is call nculral martingale
measure if Q~l> and I',,’ is (r\,.Q)-mailingiilc lor all

ne
Sl;.
We have ihe following proposition.
Proposition 4.1
Q is a neulral marlingalc measure ill Ã',, =vSn/Bn is an (3 M,Ọ)-
mailiiiịialc
III litcl, accortlinu In (4.5) and hv 111C iissmnplioii lli;il 7TM1 is r\ I -
mcasmcable
H ,,(A r;/.'„) = () HIT,,(A.v „/;>„) = (>.
Ill llic oilier wold 17 - is an (C'^QHriailmgale ill
s
n is an (T\r Q)
mill linuiilc.
Proposition 4.2. Ill Ihc market (IIS) = Ị(BU.SM). 11= 1 N| wi111 - l« J n<i <UM,
llicrc exists lhe unique Iiculial niiirlingalc measure Ọ M id i tliiil
(<Kpn = "n> = /J,* ; Q (p„=l|„)= </„ = 1- !\ -
where pM\ qM arc tic lined by
I-yip.,) =
p '
II,, + </„iln = r„ (4.6)
= I'-,,- djAn,,- ii„; : </„ lln) (4.7)
riim j.
Iiy(-t.5)wi liitvi
l-;()(A r;
/ \ ) =
,.,/bjLiyip,,- |J = 0.
ill l>()(pM) = r„ lor all 11=:I N.
Dclinition 4.4. The value
01 lN) = ini { v„:
3neS\:.

Vnn = v „ v„* > i y (4.8)
is c.ilk'll rational cosl or piicc correspondin'.: lo (lie claim I lN.
I lie problem is lo ikliiK- C'(IIN) ;iikI 1(1 liml ;i slialcuy 71 so lhal V
”
= v „ (Iiul
\ \ * >
I lN. We have the following theorem:
Theorem 4.1. In llic gL-iKTiili/cd Cox-Ross-Uuhmslciii market (IỈ,S) wc have:
(i) l;oi ;inyrvN- measurable claim 11N
C(l lN) =
\:y(
/ / N) wilh // N = I In/Bn (4.9)
(ii)VViili llie initial capital V„=C(IIN) llicic exists ihc so calk'd
minimum hedging slialcgv 71 such that
*
_
«
*
C = C(IIN); (,r =!•:„( /7 C = H „ (4.10)
('I'llis theorem is a simihirily ol Theorem I ill |6|lor a binomial option
market model).
Remark
: The clilim I IN=max(SN-K,0) := (SN-K), or i lN = (SN-K), concerns
(lie problem of pricing a standard liuropean call option (S.R.C.O) or slandaicl
lùiropcan pill option (S.R.P.O) rcspcclivdy.
Dclinilion 4.5.1 ) A slnilcgy
K
e Sl; is said lo he arhilnmc if
V{)K
=0 .V N7C >0

and P( VNn >0) >0.
2) The market (B.S) is said In he ai hitiauc free il there is no
arbitrage sell-financing strategy.
Remark.
A maikcl (>l arbitraue is essentially a making money mcchanism.
Dclinilion 4.6. A niiirkcl (IỈ.S) is said lo he complclc il any conligL'nl claim
IIN is ;illain;iblc .i.c.llKTc exists ail imliiil Ciipilal V(l iiiul TC rSI- Midi that
V " = V,. V
*
=11
V ,1 II * N 1 *N-
Remark.
I hc market (H.S) w ith - I<il(<|-J<uk is ai hiliiiyc free and complclc.
This statement follows from preposition 4.2 aiul from |4|. where one
liiis stilled that ;i market (B.S) is arbitrage live aiul complclc ill I here
exists I he Mil ic| lie marlinualc measure.
4.1 A pproxim ately defining of the reasonable pi icc ofS .E.C .O
am i o f s . li. r . o .
Lcl IIS consider the option markcl (B.S) defined in Pari I. and Q hcinu
I lie neulnil martingale measure ( its cxislcncc has been slated in proposition
4.2). Suppose llial
uk=rk+c>|, . dk= rk-Tk; Tk >0: CTk>() lor a 11 k= I-=-N. (4.1 1 )
Pul
I;N,(x) = Q(ln(SN/S„)<\} (4.12)
Theorem 4.2. Assume 1 hill 1 lie following coiulilions arc I 111 I i led
(;i) m;>N m ax (r, ) —>• 0
(h)
I 1'
1
a > 0 ;

V a k T t ->
1
A <7 1 rr
/ ?
’ 1 lie 'l l
Inn Slip
1
.‘ (At <l>
■ ► ♦
>
■
a
1 (4.13)
Prool. Lcl IIS verily coiulilions ol Theorem 2.1 Willi p, rcplaccel by p .
Al lii'sl. I lie coiulilion (/N -> 0 lollows I ft >111 (ii). 111C' condition (ii) is
c q m \ilk ’ll I lo V I p ,) = V I( —> ;i
1 1
Sincc |\ uk + c|k’(Jk = Ik >0 llic conditions (iii) and (iv) lollow Irom
Remark 2.1 of Section 3 and the fact lliat
i (Pk\ 2 + MkX2) = X Eụ(Pk2) = z lEụ(Pr''k): + I'k'l
1 I I
= x I lV (i'r'\)2 + + X ''if = È ơkTk + X rk2 -* ơ2 (by (b))
I 1 1 1
liy Theorem 2.2 wc obtain (4.13).
Theorem 4.3. Under llic conditions 1)1'Theorem 4.2 llic rational pricc of
SI ICO is tic lined by
c, = RJ(SN-K ự B N| * S(1clHd() - Kc !,<l)(d ) (4.14)
with (Jt = |ln(S,,/K)+a ±cr/2|/ơ
Whereas ihc rational pricc of S.E.P.O is yivcn by
C,.=I\,|(K-SN),/BN| * S„-Kc -C, (4.15)

Proof. Acordmg In (35) with I lN=(SN-K), wc have
e ( =R()|(Sn-K),/Bn| = S(IR()(S’/Sn-K/S(1),/BN (4.16)
;mtl
l*N = I I ( ,+lk) - cxp (X ln( I+I',)) = cxp( V r, + 0 V I>2)—> C;| (4.17)
/" I I I I
I “III the r sincc l;N‘ COIIVCI'UCS weakly to <l>((x-a+ơ2/2 )/a) wc have
III! A /.V,,) Im A /.S',,) /
J[t
■v
-
K Ỉ
s
,,
Ị//■
\. *
(
.V
)
->
I [<'
v -
Ả'
.S',,
}/<!>
-
( by llic cotiiniily and llic boimdness of ihc lunclioii
mill I cxp(x )-K/S,,.() 1 on (-co,+co)). On llic oilier hand
j [t ' - * /
s,t
]//■■ V * ( V) = I

[c
' - A- / .Y„ ] / / , '( * ) - j I
c ' - K
/ .v„
\ll-
v * ( V ]
h It /, \ f
) - - r -
(K
/ -Vo ) j I- '
K
/ }//- ’(A)
P I (I + /’,) - A / \ (1 -
ị [ c ' - K
/.V,,]//■', ’ ( V)
/ I ,
X
a
+ rr “ /2
y |||(
k IS,
I
I I ( I + /', ) — A. / ,s (l — ('
— k ! s
II }// > ( .V)
/ -I \
Ini i: s„ I Ê 7 , .
> , "
K
/.V, ■ f L- ■ - A .V l /.l. 1 " 1

a— l
I —
J rr
V
a
1 (T ' / ^
r ' -
K
,v„
/<l>
rr
- A/.S, 'ị
[■' K
/,s,ị*l| — —'
-r
V / Im/k .v„) '
Ị,V <|,Í' ^ ± £ Ỉ Iij t í Ị.'-K/.V,, )/<!>(
I
'
» / /
' Im A .v„ I
\
- í/ I rr / 2
Im í. N „»
Therefore
Ì(J( SN/S,K /s„),=Eụ( c X p( 111 (SN/SM)) - K /s ,, I, =
♦ •/ 4 /
= J[c' - A'/.V„Ị//-;v*(.r)» J [i'v-A'/.S'„Ị/<I>
Inf
K

/ \ M 1 In( ^ / .s,, I
♦ /
V - (/ + (T " /2
<T
I " " r '/2
{Kỉ\)
1 (I
</irT/2
1
"
rr
(4.18)
l( follows hom (4.16)-(4.1 K) that
C(.'S„c ;,|c'(|>(d() - (K/S„)(|)(il )|
which is equivalent to (4.14). To prove (4. I S) we notice that
(Sn-K), - (K-Sn), = Sn-K
iiiul SM/IỈM is a (r\,.Q)-mai lingalc. ihcivĩorc
I lí(_,(SN-K ),-lì,_,(K-SN)t }/Bn = l^,(SN/BN)-K/BN = S„-K/HN ~ S,r Kc ",
OI' C|. ~ s,,-Kc .
Remark I.
II ilk=rk-CTk ,II( = |-Ị +C7k llicn ihe condition (h) <>r Theorem 4.2 is
ivpliiccil hy (IV) V rk — > a > 0 . V a :>().
I 1
Rciììitrk 2.
Ill llic oplion market model considered above llicrc arc loo many
unknown parameters: I\. uk. ilk, k=l-=-N. However il llicsc quanlilies
di;m ^c hill X ' ' • X a iT' lcmi,m 11 isl;ml we c;III iipply I licm vm 4 ^
I I
lo c;iIliiI;iIc 1 he hilional pi'iccs ol SI'PO and SliCO.
4.J. A fnix Iiointl linul ihcorcm Hilda

■
llic i I Cl 111 (
1
1111(11 liiixalư measure (J .
Ill Mils |i;irl wc s 1
1
;
1
11 prove a llicoicm similar In Theorem 3.1 when p is
ivpliKVil hy ọ
Lcl IIS rclum It) the sequence ol Ihc priccsI S( , k=
\ ~
N Ị given hv o I )
and It) I lie llie price proccss I s,' (N ) ,le|().T|) del ineil hy (3.1 ) ol Section
}
Lcl IIS 1/onsidcr ill' lollowing coiulilionv.:
(ii I) -I'll <r( <Uj k = l T N
(b.) max max (iv.CT^T )-> 0 . max C7.T, <0/N
1 i u l . v k *
*
Iji .V *
kv. V)
(C|) ^ I j —> a (1)> 0 ; lor all I 6 Io.xI
(H
if/Y)
(d|) X ì Ơ,!,
—>
ơ2(í); for all I e |().T|
1=1
Wlicrc ơ,=u,-rk: T,=r,-dv. k(l.N) = INlA I

(C|) The lunclions a(l). a:(t) possess the conlinuoiis derivatives
<Ja(l)/dl := a,(t). (Jơ2(l)/<Jl := ơ|2 (I) >0.
Let Q he the nculral mai'lingalc measure defined by
Q(Pk=uk) = Pk'^ Q(pk=<-*k) = Mk = >- Pi*.
where pk* , qk* arc defined by
l?'«/Pk) =
\\"\ +
Ml cl 1 = (4.19)
(see 4.6)
Theorem 4.4. Suppose llial Ihc conditions (a,) - (e,) arc I'llll’iled. Pulling
V
=\ỳ{(SN-K ) J \
)
lor k=|lN/T| we Inivc
V, 5= S,0(il,(Sk)) - Kexp|-(a(T)-a(t))| 0(d.(Sk)) (4.20)
wlicrc
ili(S ^)=| ln(K/S, )+ a (T )-a (l)± |cr(T ) - <T~(l) 1/2 |/(ct“(T)-ct~(i ))l/2 (4.21)
Proof. Wc have
(SN-K )t = Sk(SN/Sk-K/Sk
Rirllicr, il follows Imm (Cj) anil (cl I) I hill loik=k(l.N) = |lN/T|
^ 1’, — » a(T)-a(l)> 0 ; lor all I e I(),TI
k
Ơ,T, —> ct:(T) - ơ2(l): lor all I e |().T|
k
Tlicrclmv by Theorem 4.2 In(SN/Sk) IS under ọ asymptotically normal
N([} (l).cV(l)) where
ỊMO=a(T)-a(t)-|ơ2(T)-a:(l)|/2
<v(l) = c rfO -crU ) >0
l-inally llic expression (4.20) is established similarly as in llic proof OĨ
Theorem 4.3.

Theorem 4.5. Suppose llial the condilions (a,) - (c J) arc ill I riled. Then
miller Q the process In{s,+ (N)/S„} with |S/ (N).l e 10.TI} defined bv
(.1.1) convcycs in ilislribulion oil the spate I) lo ihc proccss z,(l) given
by llic followin': \I(H liaslic cliHcicnlial cc|ii;ilion:
JZ,1 = ((/,(!» 1 <T,:(/))ill+ơl(l)d\v, . 0 (4.22)
The pro of o f Th o.re m 4.4 may he carried oul as in llic pro o f o f
Theorem 3.1.
lủ 'm u rk:
P u lling s / = s, ,c X p( >^( 1). s,1 siltisi ics I lie lo llo w inu SOI i:
cIS,1 = S/tc^UKll + a,(i)dw,) . s,,1 = s„ (4.23)
and by Theorem 4.4 jS,'(N), ()< I < TỊ converges in ilisiribiituion on D
to (S,\() < I < TỊ.
4.4. IỈC(Iịììh ịỉ the cla int l l N = (SN-K ), a nd l l N= (K -S N) t .
In lliis purl. Id LIS consider I he m arkcl |(B t .Skh k = l 4- N Ị
I
_
where Bk = PI (l+1'j) with rk being I he value of a sliorl interest rale process ill
H
Iime points kT/N, k=l
+
N of llic inlcval |().T|; Sk arc llic values of some slock
price process ill time poinl kT/N ()1 |().T|.
According In Theorem 4.1. lor nil inili;tl c;ipil;il V,,=C( (k'lincd by
(4.14). There cxisls always a Sl; strategy
n
such I hill v,,71 = c, ỉiiul VNrt=(SN-
K )t. The similar conclusion is also valid lor v „ = C|> and llic claim (K-SN)+ ()1
vSN’O. Applying Theorem 4.3 anti Theorem 4.4 we can calculate
iippmximalclv C,.,C|. imJ corresponding hedging strategics.
Ill fuel .hy (4.20), lor k=|lN/T| \vc have

) = |( I +Pk))
where l\(S k) slaiuls lor the liglu side of (4.20).
V, = 71, "IỈ, +7I,lSl ,(l+p,) = l;,(Sj ,(l+p,)) (4.24)
and lor pt=elk . pk = uk we have
,(l+uk) =iFk(Sk.,(l+uk>)
7ĩk + k<\ -1( I s |U
Sublracling two llic above equalities wc nbhlin
V Sk.i(ufcA>^ Fk(Sk.,(l+uk))- Fk(Sk.,(l+Jk))
,
h\{St
,(! + />, ))-/•;
{Sl
,(!+</,))
or , . (4.25)
I'OI llic Lit sc U>=rk+C7k. <.lk= rk-c7k .
7Tk 1 Ciin be calculalcil approximately by
, I , (S, I (I I r, I rr, ))- h\ (Sk ,(1 I rL rr, ))
T‘ *
2a,
.S', ,
sincc lor <7,—»0
V % l;/(S k ,(I +!■ )). (4.26)
Alter ilclining
7lị
1 I'rom (4.26) wc can define 7ij" limn (4.4) or
_ II _,7r _ I

*k
=K - 71
„

rlhc remain <)l I’l' 'position 4.3 lor llic claim l l N=(K-SN) is proved
simikirl V.
APPENDIX
Oil the tightness of the scqucncc {In(S,+(N)/S(,,0<t<T,N=No,No+| }
lx'l us consider Ihe sequence ol' the processes
ln(S/(N)/S„) = ln(l+p,) (1)
willi k(N.l) = I Nl/TI ; ()< t <T; N=NI1,N1„
where N„ is some posihlc integer. (See ( VI )-(3.6) of scclion 3)).
Wc have the following Lemma:
Lemma: Under the condition (a) - (cl) and (3.7) 1)1'Theorem 3.1 llie sequence
I ln(V(N)/S0); ()< I <T: N=N„.N,M I IS lighi.
Proof. Pul
rl ’hen
M,(N) = L:in(S/(N)/Sn) = ‘xtÍỊnd+p,))- (2)
I
M,(N) = X IPk,n( 1+ uk) + Ik(ln(l+ dk)|
I
= X ll\ (llr llk2/2)+Mi;H A 2/2)|+0(pklukr + qkkỤ')|
I
= z l(|\llk+lhlli) -(|\lli:/2+i|kilk-/2)|+
I
i
IVi»
+ ()max(lu, I+klkl) V |(|\uk:+q((.lk:).
By (3.3) and (3.4) \vc have
M,(N) —>a(l) - cr(l)/2 as N » +00 . (3)
Pulling
X1(N) = ln(S1t(N)/S „)-M l(N), (4)
il is easy lo see lhal all linile-climcnsion distributions ol {x,( N );()< t < NỊ
converge weakly to llic ones of

f
X, = I
n
(s) ilwx
(I
*1 .
■> .
I r
(5)
with (T'(s) = d(ơ:(s)-h2(s))/ds
11 lollows I mm o ). (4). (s ) 111 ill 111 (s,1 (N )/SM) > ;i(l) - rr( I) + X, ill cl i si I i hill ion
ill X,(N)
—>
X, in clislribillion aiul hcnccl ln(S,4(N)/Sn): ()< I <T;N=N(I,N() ị Ị
is liglil ill |X,(N); 0< I sT: N=N„.Nm Ị is ligln.
Ill onlcr lo prow 1 hill { X,(N )} is lijjil .acconliiH’ In Theorem 15.6
in| I l.il is sill I icicnt to show Ihal there exists ;t posilive constant c such llial
l-IIX,, (N) - X, (N ) 121X,, (N) - X,:(N)|: |
<C(
(6)
lor all 0 < l|< I < l:< T ami N > Nn.
Wc prove (6) now .Sincc |X,(N); ()< I <TỊ IS an independent
inuvmenls process we haw
l-:||X11(N)-X,(N)|:|Xi:(N)-Xi:(N)|:|
= l- :f|\, (N) - X,(N)1- B{ [Xl2 (N) - X,(N)|-}. (7)
On llic oilier hand
l;||X „ (N) - X,(N)|! = E|ln(V(N)/.S„) - m„(N) - ln(S,‘ (N)/S„) + S/(N )|;
= íĩ|
Ỵ
(ln( 1+p, )-K( ln( [ + p,)) I - = y H|ln(l+P,)-E(ln(l+P,))|;

<1
M lị)
i. \ .
Lei IIS nolice lluil
ln(l+p,) - ii(ln(l+p,)) = ln(l+p,) - 11,111(1+11,) -11,111(1+11,)
= pjlnd+p,) - ln(l+u,)| + q,|ln( l+p,) - ln( l+il,)|. (9)
R illicr.p u llin g
u, = |ln(l+u,)- InC 1 +d,) 1/(11,-*.!,). (10)
it is easy In verily the valadily of the following equalities:
||1( l+p,) - 111(1+11,) = (/,(p, - II,)
ln( l+p,) - ln( l+tl,) = (.!,) (11)
II Follows Irom (9) - (I I) llial
ln (l+ p ,)- niIi( l+ p ,)| = (Jtjp.ip U,) + ci.ip d,) 1
and lie lice
I-1 |ln( l+p,) - Rln( l+p,)}: = </.,:K|p,((V11,) +
= *v iiv i,:("r^ ): + H .ivV ifii/i = (|2>
l-uthcimoic liom (14), (10) we obtain
I-II XN(1)-XN(1,)|: = V (Jt p.ti.di ci,)- (13)
I
k
I V /, I
Lei us nolice llial
IVI, - l/4and(X|: < 4 il'miixOuJ.klJ) 1/2. (14)
III lacl ,by (10)
(/, =1(11, - <.],)/( 1+d,) - (II, - (J,):/2( 1 +dl+ft(ul - d,)) |/(u, -d,)
< I/( 1+d,) < 2 (0<(5<I ).
1‘Voin ( I ( I fS) wc obi a ill
IỈII X, I (N) - X,(N)|- < X ( M ,) . (15)
A ( Y íị I
Similarly

lill X,(N) - Xi2(N)|: < V ’(Ui-d.r. (16)
A I V H
A c u m lu m l( > 1.1 tiulil ion ( a ) < >1 I 111 ! m il I V 1.11 l< || lows I m m (7), ( I ^ ).
(16) thill
MIX,, (N) - X,(N)|:|X,: (N) - X,:(N )|: Ị< ( V (u ,-iự ị2
s (0/N):|k(N .l: )-k(N.i,)|- (17)
1! 1,-1, < rr/N llicn L'llhcT 1.1, e Irr/N : (1+ I )T/N I or l.UeI iT/N ;(i + 1 )T/N I
loi some integer i .mil in this ease either X((N ) - A, (N ) = 0 or X,(N)- .V, (N) =
0. whereas il 1,-1, T/N llicn (k(N,l: ) - k(M.l,))/N = (|Nl ./T| - |Nl,/T|)/N <
2(1, - t, )/r. l-inallv ,by( I 7) ,\vc always have
l*{| V, (N)-X,(N)Ị-ị V,;(N)-X,(N)|:| < (40V r2.(! -I,r < C ((i,-t,r (18)
wilh c = 40Yr2.
Thus (6) holds and this proves the lightness of |X,(N); ()< I <T;N=N(),N()+| Ị.
Remark.
Under Q \vc have U) rcplacc p( hyp,' , where
|V = (r, - d,)/(»,- d,), then p .V iu , - (J,)2 = (r, - d.Xu, - r,) = T.Ơ, .
I Icncc il max r,cr, < B/N we ohlain immcdialcly (17) and I lie above
\:r \
lemma remain ils validity wlienp is replaced by Q.
References.
I 1 Ị Billingsley p.Convergence of Probability measures .
■lonh Willey & Sons, New York-Lonclon-Sydncy-Tomnlo 1975.
12 I Cox I., Ross S-A. Ruhinslcin M. Option pricing:
a simplified approach. .1. I'inanciiil I Economics
ỉ()76,
V.7.
13 I Cox J-C, Rubinstein M. Option market. Prcnclicc-l lall.
London. 1985.
14 1 Diinicl Lamhcrton, Bernard Lapcyrc
Inlmtluclion ail cillcul slochiislicque applique' à la Finance.

Hllipses/lklilion Markcliim s.A, Paris 1997.
151 Raclicv I A.; RusclicnndoiT L.Models lor option pricc.
loniuil of Probability Theory and ils application (In Russian)
V.39. No I. 1994; p. 150-190.
161 Shiryacv A.N., Kobanov Yu.M. Kramkov D.O; Melnikov A-V.
Towards I he llicory of pricing of option of both Ruropciin and
American types: l.discrclc time, 11 Continuous lime.
I. of Probability Theory and its application (In Russian)
v.3(); No 1,1994;pag.23-129.
° « í . I
■ f t ■
f « t 1» « » '
lanol Inslllule of Mdlh^rnallcs
vo. Box 6.11 Rollo innm llrinol. VMni-im
11-1 SI I .’ M>' 17 I
1 IX » ! t 7S(| I '0
\
l:. niiiil :h I:ưm’Ii:iiiìiiuiIi :u VII
(ỈIẢY CllllNíỉ NHÀN
Hai 1 hiên IẠ|) l ạp chí Aclíi Míitlicmíitka Vicln;imic;i cluing nliiU) biìi biio'
"On ;> gcnci;ili/ecl ( 'ox-Ross-Riibinsloin
oplinn niíiikol m<nl(T'
của liíc giả: N g u ye n V rm Iir m - T rfin T r o lly N guyê n
(lã (lirợc 11 lìn 11 (lfmg IiOii líipchí Acl:i NlíillicmatÌCÍI Viclnainica.
IIỈI nói 'ĩ lining 10 Iifun ?.()()()
]
M. Mill! biÍMi l;ìp A fl;i M;ilhem;il ic;i Vicliiiin m ;i
: I
:<JJ
ỊM’ II lo i

í’ f ì i r » . Iợ//rỵs'/) , V i .V
EV O LU TIO N DES CO URS
G O U V E R N ÉE PA R U N PRO C ESSU S DE T Y P E
A R IM A FR A C T IO N N A IR E
T ra il M m in T h a o C hris t Ĩ1K’ T h om as -A g n ail
uss GHIiMAQ

Universitc Toulouse 1
21 Alice de Ihmimc
31000 Toulouse Frnnrr,
R E S U M E
N ous p io po so n s un ino rlM e a p p ro p iip He re v o lu tio n <lu COU1 S r|p r act io n fla ns un m aiché
fin a n cier OÙ le p rix d ’a c tif à un in s ta n t p e u t infiu on cP r à lo ng te im e le d v n am iqu e d u COU1S.
C et p flp t rip longu e mémotTP np p p u t pas Ptrp pris Pn rom p t.p pa r Ir m orlelp usuel fie B la ck
p t Sclioles. O n precisp Ip I jn iit par un piocossiis (|p ty p p A R IM A fia c tio n n a ire et o n H onne
une so lu tio n a s y m p to tiq ilP (lu m ode le .
Mots firs: A n i M A , processus fra.rt.imiwn.irc, inodf'ic dr lilnck rt Schnlcs.
A B S T R A C T
A s u ita ljlc m orlel foi t lif e vo lu tio n o f o p tio n s in a fin a n c ia l m arke t is piopose rl. It.
e x h i b its a lotiR I r im c lp prnrlp ncp o f o p tio n s tha t is not fX|)ioss pfl in tho usu al B liic k -
S( h o les m odi'I. A fi ill I ioim l |)II>C*< \ssfK o f A H I M A I V|)C is I li< >SI'|| ;>s (lie |>(’| I III I Jilt ion <>r I lie
e v o lu tio n . A n a s y m p to tic s o lu tio n fo r d ip m ode l is fo un d.
Key words: AIIỈM A , fractional Jtrorrss. liliick-Scholrs model.
1. Introduction
II ('St. h i m COM 111 q u r r ('v olu tion (111 c oins (!(' I 'n r tio n (\st habit,iH'lleiiK'iit (lccrito pa r
r<'‘(|M;>t,ion (lc B la ck ('t. S cliolcs:
(is,
=
+ iHW't).
0

< I
< T (1.1)
o il Si <'sl, !(' pr ix (!(' F ac tion i'v I ’in sl ;mt, I./I ct 1' soul (lc iix const nut ('S, ir , cs! n il liion v c iiK 'iit
ln o w n ic ii s l;u i(l;ii( l <'t 7' cst la (la te (l'(-( Ii(’:\ni r (1(‘ I'o p lio n ;i (‘ l.iu licr. I ’om s in ip lilic T , oil v;\
S(' rest rrii111!’<’ n il c;is Iin iv iiric.
D im s <•(' m o d c lc (1 .1 ). I(' li t p p o i I K 'la l if ^ ('III IX’ )<■ < li r» 11 Jet’ll li'lit «lu J >1 ix (!(' I’i u l IOII ('t. ln i-
IIIf* 1 ■ It* r s t suppo se* lio n s r u lm u ’iit p ro p o rt io n n cl à la iln n V (In t.t'm ps <1(' (■(' e h a iiK C iiu ’iit, ina is
iiu ssi lin i il t ’ p a r 1(' l i m i t lilm ic m « r k o v i m fiW'i. F,l p ;ir 1 ()I1S(V|II(-Iit, l;i s o lu tio n Si (1(' (1 .1)
t'st n il pro<'CSSUS (Ic M iirk o v qu i lie p n 's c iilc f|tl HIM" (Irp rm liU K 'c li s f;\il)l(- (’t. anssi q n ’u n r
s o rlí' il'iiiil(']M 'ii( l;iiic c i\vc< ](• |>;\ss<- loinl iliii. M ais il csl (-vi(l('i)t p o ur |;i p lu pa rt, (lcs
proccssu.s ('( uiio iniq m '.s, 1’liv p o l lii'sc (Ít' ( u n ite m i'm oirc liV st pas t('iia !)l('. L(> p rix do Fa ctio n
Si à l'in s lỉin l t p e n t r t r r in fliK 'iK ('■ pa r soil <om por tc m cn l luiin t.H iip s ava nt. Et, la proprict.0
(l(- M iirk o v n V s l p lu s v;il;t!> l(' d im s (■(' CHS. [\t I(' Msf|U(' < k l iic tio n ( lo it ('-tre rrp ró s e n té p a r HU
mtxlMc ('(.important 11110 (l(-p('ii(l;ui( ('. ("('St |H)inqnoi 1IOI1S allons proposrr ici nil modt'lo (1(’S
c o in s |) iir n il |)| OCI'SSIIS ;ts \r 111 > 11 >t it 11K ■ ;i I1IIÍ' s c iic I c m p o i c llc A I Í Í M A (|iii c x p r i iiH ’
IMK- (' v o ln l io n (!(’ lo n g u e iiK 'n io irc .
1