cực trị hàm bâc 3 tiết 2

1


A. Tóm tắt lý thuyết
Xét hàm
 
32
y ax bx cx d C   
(
0a 
).
1. Điều kiện có cực trị
 Hàm số có cực trị

TH1:với a  0 Hàm số có hai cực trị


 
C
có cực trị


 
C
có
hai điểm cực trị


'y
= 0 có hai nghiệm phân biệt.  
  0



> 0


TH2: với a = 0 thì y’ = 0  2bx + c = 0, điều kiện là b ≠ 0
 Hàm số không có cực trị

TH1: Nếu a  0 thì điều kiện là y’ không đổi dấu 
'0
.
TH2: Nếu a = 0 thì y’ = 2bx + c, điều kiện là y’ không đổi dấu  b=
0 và c  0
 Hàm số có cực đại, cực tiểu  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt  
  0


> 0


 Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K. Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu
Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt  
  0


> 0


Khi đó Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x

1
, x
2
thỏa mãn hệ thức Viet
Bước 2: Kiểm tra điều kiện K
 Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I
 Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng I
 Hàm số có cực đại, cực tiểu và x
cd
< x
ct
 Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và a >
0  
 > 0


> 0


 Hàm số có cực đại, cực tiểu và x
cd
> x
ct
 Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và a <
0  
 < 0


> 0


 Hàm số đạt cực tiểu tại x
0
 




0

= 0




0

> 0


 Hàm số đạt cực đại tại x
0
 




0

= 0





0

< 0


2. Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3
2

Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức
y
cho
'y
để có:
 
'y p x y ax b  
.
Từ đây suy ra:

0
x
là điểm cực trị của hàm số


 

0
'0yx



 
00
y x ax b
.

: y ax b  
là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của
 
C
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm
m
để hàm số
 
32
2 3 5y m x x mx    
có cực đại, cực tiểu.
Giải. Ta có
 
2
' 3 2 6y m x x m   
.
y

có cực đại, cực tiểu thì trước hết
20m


2m 
. (1)
Khi đó
'y
là tam thức bậc hai có
 
2
' 3 2 3mm    
.
y

có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
'0


2
2 3 0mm  



31m  
. (2)
Kết hợp với
 
1
và

 
2
ta có những giá trị của
m

thỏa mãn yêu cầu bài toán là
   
3; 2 2;1m    
.
Ví dụ 2. [ĐHD12] Tìm
m
để hàm số
 
3 2 2
22
2 3 1
33
y x mx m x    
có hai điểm cực trị
1
x
,
2
x
sao
cho
 
1 2 1 2
21x x x x  
.

Giải. Ta có
   
2 2 2 2
' 2 2 2 3 1 2 3 1y x mx m x mx m       
,

 
22
31t x x mx m   
là tam thức bậc hai có
2
13 4m  
. Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và
chỉ khi
'y
có hai nghiệm phân biệt


 
tx
có hai nghiệm phân biệt


0


2 13
13
2 13
13

m
m








. (1)
1
x
,
2
x
là các nghiệm của
 
tx
nên theo định lý Vi-ét, ta có
12
2
12
31
x x m
x x m



  


.
Do đó
3

 
1 2 1 2
21x x x x  



2
3 2 1 1mm   



2
3 2 0mm  



0
2
3
m
m







.
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ
2
3
m 
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. [ĐHB07] Tìm
m
để hàm số
 
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m      
có cực đại, cực tiểu và các
điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ
O
.
Giải. Ta có
   
2 2 2 2
' 3 6 3 1 3 12y x x m x x m       
,
 
22
2 1mtx xx 
là tam thức bậc hai có
2
' m
. Do đó:

y
có cực đại cực tiểu


'y
có hai
nghiệm phân biệt


 
tx
có hai nghiệm phân biệt


'0


0m 
. (1)
Khi đó
'y
có các nghiệm là:
1 m


tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
 
3
1 ; 2 2A m m  

và
 
3
1 ; 2 2B m m  
. Ta có
 
3
1 ; 2 2OA m m  




 
 
2
2
23
1 4 1OA m m   
;
 
3
1 ; 2 2OB m m  




 
 
2
2

23
1 4 1OB m m   
.
A
và
B
cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi
OA OB


22
OA OB


 
 
 
 
22
22
33
1 4 1 1 4 1m m m m      



3
4 16 0mm  



0
1
2
m
m






.
Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ
1
2
m 
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4. [ĐHB12] Tìm
m
để đồ thị hàm số
3 2 3
33y x mx m  
có hai điểm cực trị
A
và
B
sao cho
tam giác
OAB
có diện tích bằng

48
.
Giải. Ta có
 
2
' 3 6 3 2y x mx x x m   
,
'0y 



0
2
x
xm





.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi
20m 



0m 
. (1)
Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
 

3
0;3Am
,
 
3
2;B m m
. Ta có:

 
3
0;3OA m




3
3OA m
. (2)
4

 Ta thấy
A Oy



OA Oy



   

, , 2d B OA d B Oy m
. (3)
Từ (2) và (3) suy ra
 
4
1
;3
2
OAB
S OA d B OA m   
.
Do đó:
48
OAB
S 



4
3 48m 



2m 
(thỏa mãn (1)).
Ví dụ 5. Xác định tọa độ các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của
đồ thị hàm số
32
3 6 8y x x x   

 
C
.
Giải. Ta có
 
22
' 3 6 6 3 2 2y x x x x     
.
Vì
 
2
22t x x x  
có
' 3 0  
nên
 
tx
có hai nghiệm phân biệt, suy ra
'y
có hai nghiệm phân
biệt. Do đó
 
C
có hai điểm cực trị. Ta thấy các nghiệm của
'y
là
12
1 3 1 3xx    
.
'y

đổi dấu
từ dương sang âm khi
x
đi qua
1
x
nên
1
x
là điểm cực đại,
'y
đổi dấu từ âm sang dương khi
x
đi qua
1
x

nên
1
x
là điểm cực đại.
Thực hiện phép chia
y
cho
 
tx
ta được
   
1 6 6y x t x x   
.

Suy ra:
 
11
66y x x  
(vì
 
1
0tx 
)


 
 
1
6 1 3 6 6 3yx     


tọa độ điểm cực đại của
 
C
là
 
1 3;6 3
.
Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu của
 
C
là
 
1 3; 6 3

.
Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của
 
C
cùng thỏa mãn phương trình
66yx  
nên phương trình
đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
66yx  
.
Nhận xét. Trong ví dụ trên thay vì chia
y
cho
'y
, ta thực hiện phép chia
y
cho
 
tx
đơn giản hơn mà
vẫn đạt được mục đích của phương pháp. Sở dĩ có thể làm được như thế là vì
'y
và
 
tx
có cùng tập
nghiệm.
Ví dụ 6. Cho hàm số y = 1/3.mx
3
– ( m -1 )x

2
+ 3(m-2)x + 1/3. Tìm m để
a. Hàm số có cực trị
b. Hàm số có cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 2x
2
= 1
c. Hàm số có cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dương
d. Hàm số có cực đại, cực tiểu và x
cđ
< x
ct

e. Hàm số đạt cực đại tại x = 0
5

Đáp án: a.
2

6
2
<  <
2+

6

2
;b.m =2 hoặc m = 2/3; c.
2

6
2
< m < 0 hoặc 2< m <
2+

6
2
; d. 0 < m <
2+

6
2
; e.
m= 2
Ví dụ 7. Viết Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x
3
– x
2
–
94x + 95
Đáp án: y = - 566/9.x + 761/9