cực trị hàm bậc 2 trên bậc nhất

1



I. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT
Phương pháp tìm cực trị của hàm số =

2
+ +
+

Bước 1: Tập xác định D = R \

/


Bước 2: Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình y’ = 0
Bước 3:Lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 1 trong sách giáo khoa
VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y =

2
 2+2
1

Giải:
Tập xác định D = R\

1


y’ =

2
 2
(1)
2
=> y’ = 0  x = 0 hoặc x = 2

Vây, ta được:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -∞ ; 0 ) và ( 2; +∞ )
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 0; 1 ) và ( 1; 2 )
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại y = - 2
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu y = 2.

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT

2

Nhận xét: Trong trường hợp hàm phân thức có cực đại, cực tiểu thì y
CĐ
< y
CT
, điều này khẳng định sự
khác biệt giữa khái niệm về cực đại, cực tiểu và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y = f(x) =

2
2 +2
1

Đáp án: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y
cđ
= -2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y
ct
= 2
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT CHỨA THAM SỐ
Phương pháp: Tìm điều kiện để hàm số =

2
+ +
+
có cực trị:
Tập xác định: D = R \

/


Đạo hàm: 

=

2
+ 2+
(+)
2
=

2

+ +
(+)
2

y’ = 0  g(x) = Ax
2
+ Bx + C = 0 (1) . Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x)
a. Hàm số không có cực trị. Ta xét 2 trường hợp:
TH1: Nếu A= 0 thì y’ =
+
(+)
2

Điều kiện là y’ không đổi dấu  
= 0
0


TH2: Nếu A ≠ 0
Điều kiện là y’ không đổi dấu  

0
b. Hàm số có cực trị
TH1. Nếu A = 0 thì y’ =
+
(+)
2
. Điều kiện là B 0
TH2. Nếu A ≠ 0. Điều kiện là phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  
0

> 0


c. Hàm số có cực đại, cực tiểu
 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –e/d 
0
> 0
(


) 0



3

d. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K. Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu

 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác – e/d
 
0
> 0
(


) 0


Khi đó (1) có 2 nghiệm phân biệt x

1
, x
2
thỏa mãn hệ thức viet
Bước 2: Kiểm tra điều kiện K
e. Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I
 Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –e/d trong khoảng I
f. Hàm số có cực đại, cực tiểu x
cđ
< x
ct

 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác – e/d và A > 0  
> 0
> 0
(


) 0


g. Hàm số có cực đại, cực tiểu x
cđ
> x
ct

 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác – e/d và A < 0  
< 0
> 0
(



) 0


h. Hàm số đạt cực tiểu tại x
0
 

0





0

= 0




0

> 0


i. Hàm số đạt cực đại tại x
0
 


0





0

= 0




0

< 0


VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 1. Cho hàm sô y =

2
+ 2
1

Xác định m để:
a. Hàm số có cực trị
b. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn x
1

+ x
2
= 4x
1
x
2

c. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dương

4

Đáp án: a. 
0



< 1

; b. m = ½; c. 0 < m < 1
Ví dụ 2. Cho hàm số y =

2


+1

+21

(1)
a. Tìm m để hàm số (1) có cực đâị, cực tiểu

b. Tìm m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng
tọa độ
Đáp án: a. m > 1; b. m > 5
Ví dụ 3. Cho hàm số y =

2
+

+1

++1
+1
(1)
Chứng minh rằng với m bất kỳ, (C
m
) luôn có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa 2 điểm đó là

20
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y =
2
2
3+

có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện







> 8
Đáp án: m <
1

5
2
hoặc m >
1+

5
2