cực trị hàm số

1


I. Tóm tắt lý thuyết
1. Khái niệm cực trị của hàm số
Cho f: D -> R và
0
xD
.
a)
0
x
được gọi là một điểm cực đại của
f
nếu tồn tại khoảng
 
;ab
sao cho
 
       
0
00
;
;\
x a b D
f x f x x a b x





  


.
b)
0
x
được gọi là một điểm cực tiểu của
f
nếu tồn tại khoảng
 
;ab
sao cho
 
       
0
00
;
;\
x a b D
f x f x x a b x




  


.
c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:
0
x

 
0
fx

 
 
00
;x f x

Điểm cực đại của
f

Giá trị cực đại (cực đại) của
f

Điểm cực đại của đồ thị hàm số
f

Điểm cực tiểu của
f

Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của
f

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
f

Điểm cực trị của
f

Cực trị của
f

Điểm cực trị của đồ thị hàm số
f

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm
f
có đạo hàm tại
0
x
. Khi đó: nếu
f
đạt cực trị tại
0
x
thì

 
0
'0fx
.
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
a) Quy tắc 1
Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
Chú ý:
 Nếu
 
'fx
đổi dấu từ dương sang âm khi
x

đi qua
0
x
thì
f
đạt cực đại tại
0
x
;
 Nếu
 
'fx
đổi dấu từ âm sang dương khi
x

đi qua
0
x
thì
f

đạt cực tiểu tại
0
x
.
b) Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm f′(x)
Bước 2: Tìm các nghiệm x
i
(i=1,2,3…) của f′(x)=0

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ


2

Bước 3: Với mỗi x
i
tính f′′(x
i
).


 
 
0
0
'0
"0
fx
fx











f
đạt cực đại tại
0
x
;

 
 
0
0
'0
"0
fx
fx











f
đạt cực tiểu tại
0
x
.
A. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
32
14
3
33
y x x x   
.
Giải. Hàm số có TXD: D= R,
2
' 2 3y x x  
,
'0y 



1x 
hoặc
3x 
.
Bảng biến thiên:

Kết luận:
Hàm số đạt cực đại tại
1x 
, giá trị cực đại
tương ứng là
 
13y 
; hàm số đạt cực tiểu
tại
3x 
, giá trị cực tiểu tương ứng là
 
23
3
3
y 
.
Ví dụ 2. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
32
14
3
33
y x x x   
.
Giải. TXĐ D = R.

2
' 2 3y x x  
,

'0y 



1x 
hoặc
3x 
.

" 2 2yx
,
+)
 
" 1 4 0y    


hàm số đạt cực đại tại
1x 
, giá trị cực đại tương ứng là
 
13y 
;
+)
 
" 3 4 0y 


hàm số đạt cực tiểu tại
3x 
, giá trị cực tiểu tương ứng là

 
23
3
7
y 
.
+
∞
-
∞
f
x
( )
f '
x
( )
+
+
_
0
0
-
23
3
3
+
∞
3
-1
-

∞
x

3

Ví dụ 3. [SGK] Tìm
a
,
b
,
c
sao cho hàm số
32
y ax bx cx d   
đạt cực tiểu tại điểm
0x 
,
 
00y 
và đạt cực đại tại
1x 
,
 
11f 
.
Giải. Ta có
22
' 3 2y ax bx c  
. Từ giả thiết suy ra
 

 
 
 
' 0 0
00
' 1 0
11
y
y
y
y














0
0
3 2 0
1
c

d
a b c
a b c d






  


   



2
3
0
0
a
b
c
d












.
Khi đó
32
23y x x  
,
2
' 6 6y x x  
,
" 12 6yx  
. Ta có
 
" 0 6 0y 


hàm số đạt cực tiểu tại
0x 
,
 
" 1 6 0y   


hàm số đạt cực đại tại
1x 
(thỏa mãn). Vậy
2a 

,
3b 
,
0c 
,
0d 
.
Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số:
a. y = f(x) = - 2x
3
+ 3x
2
+ 1
Đáp án: y
cđ
= f(1)= 2; y
ct
= f(0) =1
b. y = f(x) = x
4
/2 – x
2
+ 3
Đáp án: : y
cđ
= f(0)= 3; y
ct
= f(±1) =5/2
c. y = f(x) =


2
 2 +2
1

Đáp án : y
cđ
= f(0)= - 2; y
ct
= f(2) =2
d. y = f(x) =
3
2
+ 4 +4

2
+ +1

Đáp án : y
cđ
= f(0)= 4; y
ct
= f(-2) =8/3
e. y = f(x) = x. 1  
2

Đáp án : y
cđ
= f(

2

2
)= 1/2; y
ct
= f(-

2
2
) = - 1/2

f. y = f(x) =

3 . sinx + cos x +
2+3
2

g. y = f (x) =

2
2
+ 3 + 5


Đáp án : y
cđ
= f(3/4)= 49/8; y
ct
= f(-1) =0; y
ct
= f(5/2) = 0