lý thuyết hình giải tích phẳng

>> 1

LÝ THUYẾT HÌNH GIẢI TÍCH
Chủ đề 1: ĐIỂM VÀ ĐƢỜNG THẲNG
A.LÝ THUYẾT
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Lý thuyết
Mặt phẳng tọa độ Đề-các vuông góc
Oxy, hệ trục gồm trục hoành nằm
ngang Ox và trục tung Oy vuông góc
với Ox tại O – được gọi là gốc tọa độ
.
Xét điểm M(x;y) khi đó 








.
Các phép toán đối với véc tơ:
Cho hai véc tơ











 



.
Nhân véc tơ với một số: k.






.
 Phép cộng: 


   

 



 

.
 Phép nhân: 












 



.
 Độ dài véc tơ: | 


| =




 


.
 Góc giữa hai véc tơ: cos(











































(góc giữa
hai véc tơ có thể nhọn, tù hoặc vuông).
Suy ra 


 
 



 




 Hai véc tơ cùng phương 










.
Xét ba điểm A(



, B(



C(



 khi đó A,B,C thẳng hàng khi và
chỉ khi



















Độ dài đoạn thẳng AB = |










 



 

 



.

II.PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG.
1.Định nghĩa véc tơ chỉ phƣơng, véc tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng
a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng
Véc tơ 


được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d 











.
Nhận xét. Nếu 


là một véc tơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng d thì mọi
véc tơ k


, với   đều là véc tơ chỉ phương của đường thẳng đó.


>> 2

b) Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
Một véc tơ 


được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d 












Nhận xét. Nếu 


là một véc tơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng d thì mọi
véc tơ k


, với   đều là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
-Nếu đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến 


 thì nó có véc tơ chỉ

phương








-Ngược lại nếu đường thẳng d có véc tơ chỉ phương 


 thì nó có véc
tơ pháp tuyến 



2.Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
Đương thẳng trong mặt phẳng có dạng tổng quát:
d : ax + by + c = 0, (

 

.
Trong đó a,b,c là hệ số thực.
 Đường thẳng d đi qua điểm M(



 a


 

   
 Véc tơ pháp tuyến vuông góc với d là 







 Véc tơ chỉ phương song song với d là 







 Phương trình tham số của đường thẳng d :

 

 
  

 



 


 Phương trình chính tắc của đường thẳng: d:







.
3. Các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng đặc biêt.
 Trục hoành: Ox: y = 0 .
 Trục tung: Oy : x = 0.
 Phương trình đường thẳng đi qua hai điêm A(a;0) và B(0;b) (phương
trình đoạn chắn) có phương trình là:
d :





.
(áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục tọa độ).
 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt M(



,

N(



) là :
MN:














(áp dụng khi đường thẳng đi qua hai điểm xác định cho trước).
 Phương trình đường thẳng đi qua M(



 và có hệ số góc k là : y =
k(x – 

)+


>> 3

(áp dụng khi chỉ biết đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn một
điều kiện khác).
 Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(



 và có
véc tơ pháp tuyến 






là d : a(x – 

)+b(y –

=0 , (

 


.
(có thể sử dụng thay thế cho dạng đường thẳng đi qua điểm và có hệ số
góc).

4.Vị trí tƣơng đối của điêm so với đƣờng thẳng.
Xét đường thẳng d : ax + by + c = 0, (

 

 và hai điểm A(



,
B(



.
Xét tích T =(a

+b

+c)(a

+b

+c).
 Nếu T<0 thì A,B nằm về hai phía so với d.
 Nếu T>0 thì A, B nằm về cùng một phía so với d.
 Nếu T=0 thì hoặc A hoặc B nằm trên d.
5.Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng.
Xét đường thẳng d: ax + by + c = 0, (


 

 và điểm M



.
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được ký hiệu là d(M;d) và được
xác định theo công thức: d(M;d) =










.
 Ứng dụng: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai
đường thẳng .
Xét hai đường thẳng:






  





 


; và 



 

  








).
Nếu điểm M(x;y) nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi 



thì
d(M;


=d(M;

. Suy ra phương trình đường phân giác của góc tạo
bởi



có phương trình là:
∆ :




























































6.Góc giữa hai đƣờng thẳng.
Xét hai đường thẳng 



 

  




 


 có véc tơ pháp
tuyến 












; và đường thẳng 



 

  




 



) có véc tơ pháp tuyến 












;

>> 4

Khi đó góc   

) giữa hai đường thẳng được xác định theo công
thức:
cos  






























































7. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng.
Xét hai đường thẳng 



 






 


 có véc tơ
pháp tuyến 












; và đường thẳng 



 

  








) có véc tơ pháp tuyến 












.
 

cắt 












 

// 

















.
 

≡ 

















.
Đặc biệt:







 




Các bài toán được áp dụng là xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phụ
thuộc tham số.
Chủ đề 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN.
A.NỘI DUNG KIẾN THỨC
1.Định nghĩa. Đường tròn là tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy cách đều
một điểm cho trước một khoảng không đổi.
2.Phƣơng trình chính tắc của đƣờng tròn.
PT chính tắc của đường tròn
Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Oxy có phương trình chính tắc là:
(C) : (

   





Tính chất:
Tâm I(a;b), bán kính R>0.
Phƣơng trình tổng quát của đƣờng tròn
Đường tròn (C) trong mặt phẳng tọa độ Oxy có phương trình là:
(C): 

 

   (

 

  .
Tính chất:
- Tâm I(a;b).
- Bán kính R =



 

 .

>> 5

Chủ đề 3 : ELIP
1.Định nghĩa
Elip (E) là tập hợp các điểm có tổng khoảng cách tới hai điểm cố định phân

biệt 



bằng một số không đổi 2a, lớn hơn khoảng cách 





Vậy (E)={M/M

 


- Hai điểm cố định 



được
gọi là tiêu điểm.
- Khoảng cách 



 được
gọi là tiêu cự.
- Đường thẳng 




được gọi là
tiêu trục.
- Trung điểm I của 



được gọi
là tâm của (E).
Phƣơng trình chính tắc của elip
Định lý. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu elip (E) có các tiêu điểm


 và 

 và có tổng hai bán kính qua tiêu điểm ứng với điểm
M(x;y) (E) là 2a(a>c) thì elip (E) có phương trình là
(E):









 với 




 

.
Vậy phương trình dạng chính tắc của Elip là:
(E) :









, trong đó a>b>0.
1. Elip có tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0;0).
2. Điểm M(x;y) (E) thì các điểm M(-x;-y) , M(-x;y), M(x;-y) cũng thuộc
(E).
3. Elip (E) có độ dài trục lớn bằng 2a, độ dài trục nhỏ bằng 2b.
4. Tọa độ bốn đỉnh của Elip là 





















5. Tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (E) là:
6. A(-a;b), B(a;b), C(a;-b), D(-a;-b).
7. Chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 4(a+b).
8. Elip có hai tiêu điểm 

 là tiêu điểm trái và

 là tiêu điểm
phải .
9. Elip có tâm sai e =










  .
10. Elip có hai đường chuẩn: ∆: x =







11. Một điểm M(



  (E) ta có tính chất M

= a + e

và M

= a -
e

là bán kính qua tiêu điểm.
Chủ đề 4: HYPERBOL

>> 6

1.Định nghĩa
Hyperbol (H) là tập hợp những điểm sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu các
khoảng cách tới hai điểm cố định phân biệt 




bằng một số không đổi 2a
nhỏ hơn khoảng cách 




Vậy (H) = {M/| M

 

.
- Hai điểm cố định 



được gọi là hai tiêu điểm.
- Khoảng cách 



 được gọi là tiêu cự
- Đường thẳng 



được gọi là tiêu trục.
2.Phƣơng trình chính tắc của Hyperbol

Định lý. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu (H) có các điểm 

,


 và có trị tuyệt đôi của hai bán kính qua tiêu điểm ứng với điểm
M(x;y) (H) tùy ý là 2a(a<c) thì Hyperbol (H) có phương trình chính tắc là:
(H):









 với 



 


1. Hyperbol có tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0;0),
2. Điểm M(x;y) (H) thì các điểm M(-x;-y), M(-x;y), M(x;-y) cũng thuộc
(H)
3. Hyperbol (H) có độ dài trục thực bằng 2a, độ dài trục ảo bằng 2b.
4. Trục thực và trục ảo là hai trục đối xứng của Hyperbol.
5. Tọa độ bốn đỉnh của Hyperbol là A

1
(-a;0), A
2
(a;0), B
1
(0;-b), B
2
(0;b).
6. Hyperbol có hai tiêu điểm 

 là tiêu điểm trái và 

 là tiêu
điểm phải.
7. Hyperbol có tâm sai e =









 
8. Phương trình tiệm cận: y = 



9. Một điểm M(




  (E) ta có tính chất M



 và M




 được gọi là bán kính qua tiêu điểm.
Chủ đề 5: PARABOL
1.Định nghĩa
Parabol (P) là tập hợp những điểm của mặt phẳng cách đều một đường thẳng
cố định và một điểm F cố định không thuộc d.
Vậy (P) ={M/ MF = MH} với H là hình chiếu vuông góc của M trên d.
F được gọi là tiêu điểm.
Đường thẳng d được gọi là đường chuẩn.

>> 7

FL = p >0 ( với L là hình chiếu vuông góc của F trên d) được gọi là tham số
tiêu.
S trung điểm của FL được gọi là tâm của Parabol.
Đường thẳng FL là trục đối xứng của Parabol.
Phương trình chính tắc của Parabol.
Định lý. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nên S = O,FL trùng với Ox và F(



; 0),
đường thẳng d: x +


 khi đó phương trình chính tắc của Parabol (P) là
(P): 


- Đỉnh là gốc tọa độ O(0;0).
- Tiêu điểm F(


.
- Đường chuẩn d: x = -


.
- Điểm M(x;y) bất kỳ thuộc (P) thì MF =x +



- Parabol nhận trục Ox làm trục đối xứng.