tính ổn định của phương trình sai phân dạng tuyến tính, tựa tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————– * —————
NGUYỄN HOÀNG QUÂN
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
DẠNG TUYẾN TÍNH, TỰA TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————— * —————-
NGUYỄN HOÀNG QUÂN
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
DẠNG TUYẾN TÍNH, TỰA TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
1 Mở đầu về phương trình sai phân 4
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Phương trình sai phân vô hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng . . . . . . . . 8
1.2.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Phương trình sai phân tuyến tính trong R
k
. . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất. . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất. . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Các véc tơ riêng và công thức nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Tính ổn định của các phương trình sai phân. 19
2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương tr ình sai phân. . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Phương pháp bất đẳng thức trong nghiên cứu các định tính. . . . . . . . 22
2.2.1 Bất đẳng thức Halanay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Ứng dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định. . . . . . . . . . . 25
3 Định tính của một vài mô hình dạng sai phân 31
3.1 Mô hình Cobweb (về thị trường một mặt hàng) . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Tăng trưởng GDP (Gross domestic product) . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Mô hình quần thể cạnh tranh một loài . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43
i
Mở đầu
Chúng ta đã làm việc nhiều với quá trình thời gian liên tục. Trên loại thời gian này
chúng ta đã có lý thuyết về các phương trình vi phân. Trong luận văn này, các kiến thức
được trình bày và nghiên cứu sẽ được thực hiện trên một loại thang thời gian khác, gọi
là thang thời gian rời rạc. Thực tế cho thấy phần lớn các dữ liệu thường được lưu giữ và
xử lý với quá trình thời gian này. Tập các thời điểm rời rạc đơn giản, phổ biến và tiện lợi
nhất khi sử dụng là tập các thời điểm cách đều nhau một độ dài h > 0, bắt đầu từ một
thời điểm t
0
nào đó I := {t
0
+ kh : k = 0, ±1, ±2, }. Tập các thời điểm này có thể được
quy về tập số nguyên: Z := {0, ±1, ±2, }, và ta gọi đơn giản là lưới các số nguyên.
Tương tự như khái niệm đạo hàm trong quá trình thời gian liên tục ta sẽ có khái niệm
sai phân các cấp và khái niệm phương trình sai phân. Mục tiêu của luận văn là tìm cách

giải đối với một số lớp phương trình đơn giản, nghiên cứu các định tính của các phương
tr ình sai phân và cuối cùng là tìm một vài ứng dụng thông qua các mô hình cụ thể trong
thực tiễn. Luận văn được cấu trúc thành ba chương như sau:
Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan về phương trình sai phân và một vài ứng
dụng trực tiếp.
Chương 2 trình bày tính ổn định của các phương trình sai phân, phương pháp nghiên
cứu tính ổn định.
Chương 3 Trình bày ứng dụng của lý thuyết định tính của phương trình sai phân để
nghiên cứu định tính của một vài mô hình dạng sai phân.
Luận văn này được thực hiện tại khoa Toán - Tin - Cơ học, trường Đại học Khoa học
Tự nhiên Hà Nội dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp
này tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng nhất tới PGS. về sự hướng
dẫn tận tình cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này, từ việc định
hình bản luận văn, hướng dẫn đọc tài liệu, ra đầu bài các ví dụ, kiểm tra kiến thức và
khuyến khích động viên tác giả khi gặp khó khăn trong nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau Đại học, khoa Toán - Cơ
- Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo và các thầy cô, các đồng nghiệp trường
1
MỞ ĐẦU
THPT Mai Châu, Huyện Mai Châu, Tỉnh Hòa Bình - nơi tác giả đang công tác cũng như
gia đình, người thân và bạn bè đã luôn tạo điều kiện, động viên, khuyến khích tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu
sót. Tác giả kính mong sự rộng lượng tha thứ và xin tiếp thu mọi ý kiến góp ý từ các
Thầy, Cô và các Bạn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Nguyễn Hoàng Quân

2
Bảng ký hiệu
ρ(A) - tập giải của toán tử tuyến tính A.
σ(A) - tập phổ của toán tử tuyến tính A.
Φ(n, m) - ma trận cơ bản của hệ thuần nhất.
K - lớp hàm Hahn
R
+
:= [0;+∞)
Z
+
:= {0;1; 2;3; }
Z := {0;±1; ±2;±3; }
R
d
Không gian véc tơ d- chiều
Z(n
0
) := {n
0
;n
0
+ 1; n
0
+ 2; }
Z(m;n) := {m;m+1;m + 2; : n}
∆
k
x(n) - sai phân bậc k của hàm x(.) tại n.
3

Chương 1
Mở đầu về phương trình sai
phân
1.1 Các khái niệm cơ bản
Lưới Z và sai phân. Cho một điểm t
0
∈ R và một khoảng cách h : 0 < h < +∞. Tập
I = {t
0
+ nh : n = 0, ±1, ±2, }.
được gọi là một lưới thời gian rời rạc cách đều với bước lưới h > 0, bắt đầu từ thời điểm
t
0
∈ R. Trường hợp đặc biệt: Nếu lấy t
0
= 0 và coi h = 1 là một đơn vị thời gian thì tập I
trở thành tập các số nguyên Z
I = {0 + n : n = 0, ±1, ±2, } := Z.
Trường hợp riêng: với n = 0, 1, 2, ta có tập các số nguyên không âm:
I = {0, 1, 2,3, }:= Z
+
.
Kí hiệu:
R
+
= [0, +∞).
Z(n
0
) = {n
0

, n
0
+ 1, n
0
+ 2, , } (n
0
∈ Z).
Z(m, n) = {m, m +1, m + 2, , n −1, n} (m < n).
4
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
Giả sử f là một ánh xạ từ Z vào R
k
(hoặc vào không gian tổng quát X):
f :Z → R
k
Z n → f (n) ∈ R
k
.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f (·) là một hàm số xác định trên tập Z, nhận giá trị trong R
k
.
Khi đó, hiệu sau đây gọi là sai phân cấp một của hàm f (·) tại n ∈ Z:
∆ f (n) := f(n + 1) − f (n). (1.1)
Sai phân cấp hai là
∆
2
f (n) := ∆(∆ f (n)) = f (n + 2) −2 f (n +1) + f (n). (1.2)
Sai phân cấp k là
∆
k

f (n) := ∆(∆
k−1
f (n)) =
k
∑
i=0
C
i
k
(−1)
i
f (n + k −i). (1.3)
Tính chất thường dùng của sai phân các cấp: (xem [3,6]):
1. ∆C = 0 (C là hằng số).
2. ∆
k
x
m
=



0 khi k > m
đa thức bậc m −k khi k ≤ m.
3. ∆
k
[αx(n) + β y(n)] = α∆
k
x(n) + β ∆
k

y(n) (α, β ∈ R).
4.
N
∑
n=M
∆
k
x(n) = ∆
k−1
x(N + 1) −∆
k−1
x(M).
Khái niệm phương trình sai phân. Trong luận văn, các ký hiệu x(n) hoặc x
n
được
hiểu như nhau.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử x(n), n ∈ Z là hàm số chưa biết cần tìm từ một đẳng thức của
n, x(n) và sai phân các cấp đến cấp k của x(n), trong đó nhất thiết phải có mặt ∆
k
x(n),
khi đó đẳng thức này gọi là một phương trình sai phân cấp k.
Nói cách khác, phương trình sai phân cấp k với hàm cần tìm x(n) là một đẳng thức có
dạng sau:
F(n, ∆
k
x(n), ∆
k−1
x(n), , ∆x(n), x(n)) = 0. (1.4)
5
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân

Từ Định nghĩa 1.1.1 về sai phân các cấp, ta thấy mọi phương trình sai phân cấp k có
thể đưa về dạng tương đương sau (không được khuyết x(n) và x(n + k)):
G(n, x(n + k), x(n + k −1), , x(n + 1), x(n)) = 0. (1.5)
Trường hợp riêng sau đây của (1.5) gọi là một phương trình sai phân cấp k dạng
chính tắc
x(n + k) = f (n, x(n + k −1), x(n + k −2), , x(n + 1), x(n)). (1.6)
Phương trình sai phân cấp k có dạng sau được gọi là phương trình tuyến tính cấp k
x(n + k)+ a
k−1
(n)x(n + k −1) + ···+a
1
(n)x(n + 1) + a
0
(n)x(n) = f (n). (1.7)
Nếu f (n) ≡0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
x(n + k)+ a
k−1
(n)x(n + k −1) + ···+a
1
(n)x(n + 1) + a
0
(n)x(n) = 0. (1.8)
Nếu các hệ số a
i
(n) đều không phụ thuộc vào n thì ta có phương trình sai phân tuyến
tính thuần nhất hệ số hằng.
x(n + k)+ a
k−1
x(n + k −1) + ···+a
1

x(n + 1) + a
0
x(n) = 0.
Trong trường hợp phương trình tuyến tính hệ số hằng và x ∈ R
1
, phương trình nghiệm
phức sau gọi là phương trình đặc trưng của phương trình trên:
λ
k
+ a
k−1
λ
k−1
+ ···+ a
1
λ + a
0
= 0(λ ∈ C).
Một vài tính chất của phương trình sai phân tuyến tính
Với các phương trình sai phân (các cấp) ta cũng có các khái niệm nghiệm tổng quát,
nghiệm riêng tương tự như với các phương trình vi phân. Nghiệm tổng quát của một
phương trình sai phân cấp k chứa đúng k hằng số tuỳ ý C
1
,C
2
, ,C
k
:
x(n) = φ(n,C
1

,C
2
, ,C
k
).
Với một bộ giá trị cụ thể C
0
1
,C
0
2
, ,C
0
k
, ta có một nghiệm riêng
x(n) = φ(n,C
0
1
,C
0
2
, ,C
0
k
).
Thông thường nghiệm riêng được xác định theo điều kiện ban đầu: Cho trước (n
0
, x
0
1

, x
0
2
, , x
0
k
),
nói nghiệm x(.) của phương trình sai phân cấp k nói trên thỏa mãn điều kiện ban đầu
(n
0
, x
0
1
, x
0
2
, , x
0
k
) nếu:
x(n
0
) = x
0
1
, x(n
0
−1) = x
0
2

, , x(n
0
−k +1) = x
0
k
.
Một vài tính chất của tập nghiệm:
6
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
i) Nếu x
1
(n) và x
2
(n) là nghiệm riêng của (1.8) thì với mọi hằng số α, β có x (n) =
αx
1
(n) + β x
2
(n) cũng là một nghiệm riêng của (1.8).
ii) Nếu x
1
(n), x
2
(n), , x
k
(n) là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1.8) thì nghiệm
tổng quát của (1.8) là
x(n) = C
1
x

1
(n) +C
2
x
2
(n) + ···+C
k
x
k
(n)
với C
1
,C
2
, ,C
k
là các hằng số tùy ý.
iii) Nếu x(n) là nghiệm tổng quát của (1.8) và ˆx(n) là một nghiệm riêng của (1.7) thì
x(n) = x(n)+ ˆx(n) là nghiệm tổng quát của (1.7).
iv) Nguyên lý chồng chất nghiệm:
Giả sử x
1
(n), x
2
(n) tương ứng là các nghiệm riêng của hai phương trình:
x(n + k)+ a
k−1
(n)x(n + k −1) + ···+a
1
(n)x(k +1) + a

0
(n)x(k) = f
1
(n),
x(n + k)+ a
k−1
(n)x(n + k −1) + ···+a
1
(n)x(n + 1) + a
0
(n)x(n) = f
2
(n),
thì x(n) = x
1
(n) + x
2
(n) là một nghiệm riêng của phương trình
x(n + k)+ a
k−1
(n)x(n + k −1) + ···+a
1
(n)x(n + 1) + a
0
(n)x(n) = f
1
(n) + f
2
(n).
Phương trình sai phân phi tuyến dạng chính tắc

Một phương trình sai phân tuyến tính cấp k dạng tổng quát nếu không đưa về được
dạng chính tắc hoặc dạng tuyến tính thì nói chung ta chưa có cách giải. Mọi phương
tr ình dạng chính tắc có thể giải bằng cách truy hồi. Phương trình sai phân chính tắc cấp
k (1.5) (trong không gian X nào đó) cũng thường được viết theo cách sau
x(n + 1) = f (n, x(n), x(n −1), ,x(n −k +1)).
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình này không đòi hỏi tính liên tục,
tính Lipschitz của hàm f . Điều này là đơn giản hơn so với trường hợp phương trình vi
phân. Với điều kiện ban đầu x(n
0
) = x
0
1
;x(n
0
−1) = x
0
2
; ; x(n
0
−k + 1) = x
0
k
, việc tìm
công thức nghiệm riêng, thỏa mãn điều kiện ban đầu có thể thực hiện bằng cách truy hồi
liên tiếp bắt đầu từ n
0
như sau:
x(n
0
+ 1) = f (n

0
, x(n
0
), x(n
0
−1), , x(n
0
−k +1))
= f(n
0
, x
0
1
, x
0
2
, , x
0
k
).
x(n
0
+ 2) = f (n
0
+ 1, x(n
0
+ 1), x(n
0
), , x(n
0

−k +2))
= f(n
0
+ 1, f (n
0
, x
0
1
, x
0
2
, , x
0
k
), x
0
2
, , x
0
k−1
).
x(n
0
+ 3) = f (n
0
+ 2, x(n
0
+ 2), x(n
0
+ 1), , x(n

0
−k +3))
=
7
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
Sau đây ta xét chi tiết một số lớp phương trình đơn giản.
1.2 Phương trình sai phân vô hướng.
Ta bắt đầu từ trường hợp đơn giản nhất: không gian trạng thái là R
1
còn dạng của phương
tr ình chỉ là tuyến tính.
1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng
Xét phương trình sai phân (xem [3,4])
x(n + k)+ a
k−1
x(n + k −1) + ···+a
1
x(n + 1) + a
0
x(n) = f (n). (1.9)
Phương trình thuần nhất tương ứng là:
x(n + k)+ a
k−1
x(n + k −1) + ···+a
1
x(n + 1) + a
0
x(n) = 0. (1.10)
Phương trình đặc trưng của hai phưong tr ình trên là
P(λ ) = λ

k
+ a
k−1
λ
k−1
+ ···+ a
1
λ + a
0
= 0, (λ ∈ C). (1.11)
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
Định lý 1.2.1. Nếu phương trình đặc trưng (1.11) có k nghiệm thực phân biệt là λ
1
, λ
2
, , λ
k
thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1.10) là
x(n) = C
1
λ
n
1
+C
2
λ
n
2
+ ···+C
k

λ
n
k
, (C
1
,C
2
, ,C
k
là các hằng số tuỳ ý).
Nếu có λ
j
= α
j
±iβ
j
= r
j
(cosφ
j
±i sinφ
j
)(β
j
= 0) là nghiệm phức liên hợp đơn thì số
hạng c
j
λ
n
j

được thay bởi
r
n
j
[c
0
j
cosnφ
j
+ c
1
j
sinnφ
j
] (1.12)
Nếu λ
j
là nghiệm thực bội s thì ở công thức nghiệm tổng quát, số hạng c
j
λ
n
j
được thay
bởi P
s−1
(n)λ
n
j
, trong đó
P

s−1
(n) = A
0
j
+ A
1
j
n + A
2
j
n
2
+ ···+ A
s−1
j
n
s−1
là đa thức tổng quát bậc s −1 của n.
Nếu λ
j
là nghiệm phức bội s thì ở (1.12) thay c
0
j
bởi P
s−1
(n) và c
1
j
bởi Q
s−1

(n), trong đó
P
s−1
(n), Q
s−1
(n) là các đa thức tổng quát bậc s −1 của n.
8
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
Dạng của một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
Định lý 1.2.2. Giả sử f (n) = P
m
(n)α
n
. Khi đó nếu α là nghiệm bội s của phương trình
đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình (1.9) ở dạng
ˆx(n) = n
s−1
Q
m
(n)α
n
.
Giả sử f (n) = [P
m
(n)cosnβ + Q
l
(n)sinnβ ]α
n
, trong đó λ = α(cos β + isin β) là
nghiệm phức bội s của phương trình đặc trưng (1.11) thì có thể tìm được một nghiệm

riêng của phương trình (1.9) ở dạng
ˆx(n) = α
n
[R
h
(n)cosnβ + S
h
(n)sinnβ ]n
s−1
trong đó h = max{m, l} và R
h
(n), S
h
(n) là các đa thức bậc h, hệ số chưa xác định của n.
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Xét phương trình
x(n + 1) + a(n)x(n) = f (n).
Với phương trình này ta không có khái niệm phương trình đặc trưng. Việc tìm nghiệm
r iêng nói chung là khó. Vì thế người ta thường giải phương trình này bằng phương pháp
"biến thiên hằng số". Tất nhiên, phương pháp này cũng sử dụng được cho trường hợp hệ
số hằng.
Phương pháp biến thiên hằng số
Phương pháp này được tiến hành như sau. Giả sử a(n) = 0, ∀n ≥n
0
và a(n
0
−1) =
0. Bằng cách truy hồi liên tiếp từ n
0
x(n
0

+ i) = −a(n
0
+ i −1)x(n
0
+ i −1), i = 0, n −n
0
−1
và đặt C = x(n
0
), ta được nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:
x(n) = C(−1)
n−n
0
n−n
0
−1
∏
i=0
a(n
0
+ i).
Tiếp theo, ở công thức nghiệm tổng quát này ta coi C là hàm số của n, nghĩa làC = C(n).
Tính x(n+i), i = 1, 2, , k và thay chúng vào phương trình không thuần nhất, từ đó ta có
hệ phương trình sai phân để tìm C = C(n, D). Thay C = C(n, D) vào nghiệm tổng quát
của phương trình thuần nhất, ta được nghiệm tổng quát của phương trình không thuần
nhất.
9
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
1.2.2 Một số ví dụ
Dưới đây là các ví dụ về giải phương trình sai phân (do tác giả luận văn tự thực

hiện):
Ví dụ 1.2.3. Giải phương trình sai phân:
x(n + 1) −nx(n) = n!ln(n + 2).
Lời giải. Giải phương tr ình thuần nhất bằng công thức truy hồi:
x(n + 1) = nx(n) ⇔x (n) = (n −1)!x(0)
Đặt C = x(0), ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
x(n) = C.(n −1)!
Tiếp theo, ở công thức nghiệm tổng quát này coi C = C(n), ta có:
x(n) = C(n).(n −1)! và x(n + 1) = C(n + 1).n!
Thay chúng vào phương trình không thuần nhất, ta có:
n!C(n + 1) −nC(n)(n −1)! = n!ln(n + 2) ⇔C(n + 1) −C(n) = ln(n + 2)
⇔ ∆C(n) = ln(n + 2).
Sử dụng tính chất 4) của sai phân cấp một, ta có
C(n)−C(0) =
n−1
∑
i=0
∆C(i) =
n−1
∑
i=0
ln(i + 2) = ln[(n + 1)!]
Đặt C(0) = D, ta được C(n) = D + ln[(n + 1)!].
Thay lại vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, ta được nghiệm tổng quát
của phương tr ình không thuần nhất là
x(n) = (D +ln[(n + 1)!])(n −1)!
Ví dụ 1.2.4. Giải phương trình:
x(n + 1) −9
n
x(n) = 3

n
2
+n+1
cos
πn
2
.
Lời giải. Bằng công thức truy hồi, giải phương trình thuần nhất:
x(n + 1) = 9
n
x(n) ⇔ x(n) = 3
n(n−1)
x(0).
10
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
C = x(0), ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
x(n) = C3
n(n−1)
.
Tiếp theo, ở công thức nghiệm tổng quát này coi C = C(n), ta có:
x(n) = C(n)3
n(n−1)
, x(n + 1) = C(n + 1)3
n(n+1)
.
Thay chúng vào phương trình không thuần nhất, ta có phương trình để tìm C(n) như sau:
C(n +1) −C(n) = 3cos
nπ
2
⇔ ∆C(n) = 3 cos

nπ
2
.
D = C(0) và áp dụng tính chất 4) của sai phân, ta có:
C(n) = D + 3
n−1
∑
i=0
cos
iπ
2
= D +
2 +
√
2
2

sin
(2n −1)π
4
−
1
√
2

.
Thay lại vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, ta có nghiệm tổng quát của
phương trình không thần nhất là:
x(n) = [D +
2 +

√
2
2

sin
(2n −1)π
4
−
1
√
2

]3
n(n−1)
.
Ví dụ 1.2.5. Giải phương trình
y(n + 2) + y(n + 1) −6y(n) = 4.3
n+1
.
Lời giải.
Phương trình thuần nhất tương ứng: y(n +2) + y(n + 1) −6y(n) = 0
Phương trình đặc trưng tương ứng λ
2
+ λ −6 = 0 có hai nghiệm phân biệt là:
λ = 2, λ = −3.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: ¯y(n) = C
1
.2
n
+C

2
.(−3)
n
.
Do 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm một nghiệm riêng của
phương trình không thuần nhất ở dạng:
ˆy(n) = A.3
n
Khi đó: ˆy(n + 1) = 3A.3
n
; ˆy(n + 2) = 9A.3
n
.
Thay ˆy(n); ˆy(n +1); ˆy(n + 2) vào phương trình không thuần nhất, ta có:
9A.3
n
+ 3A.3
n
−6A.3
n
= 4.3
(n+1)
.
Từ đây, so sánh các hệ số của 3
n
, ta được: A = 2 ⇒ ˆy(n) = 2.3
n
.
Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất đã cho là
y(n) = ¯y(n) + ˆy(n) = C

1
.2
n
+C
2
.(−3)
n
+ 2.3
n
.
11
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
Ví dụ 1.2.6. Giải phương trình
x(n + 2) + x(n) = 6cos
nπ
2
−4 sin
nπ
2
Lời giải.
Phương trình thuần nhất:
x(n + 2) + x(n) = 0
Phương trình đặc trưng: λ
2
+ 1 = 0 có nghiệm là
λ = ±i = 1

cos
π
2

±i sin
π
2

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
¯x(n) = C
1
cos
nπ
2
+C
2
sin
nπ
2
Ta tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ở dạng:
ˆx(n) = A.ncos
nπ
2
+ B.n sin
nπ
2
Khi đó:
ˆx(n +2) = A.(n + 2)cos(
nπ
2
+ π) + B.(n + 2)sin(
nπ
2
+ π)

= (−A.n −2A)cos
nπ
2
+ (−B.n −2B)sin
nπ
2
Thay ˆx(n); ˆx(n+2) vào phương trình không thuần nhất, so sánh hệ số của cos
nπ
2
; sin
nπ
2
ta được:

−2A = 6
−2B = −4
⇔

A = −3
B = 2
Vậy ˆx(n) = −3ncos
nπ
2
+ 2n sin
nπ
2
Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là:
x(n) = C
1
cos

nπ
2
+C
2
sin
nπ
2
−3n cos
nπ
2
+ 2n sin
nπ
2
1.3 Phương trình sai phân tuyến tính trong R
k
Ở mục trên ta đã có cách giải phương trình sai phân vô hướng tuyến tính cấp k
cho một số trường hợp cá biệt. Cách giải này không thể áp dụng cho phương trình cấp k
nói chung. Trong nhiều trường hợp, người ta thường tìm cách đưa về một phương trình
12
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
tuyến tính cấp một trong không gian mới có số chiều lớn hơn. Dưới đây là cách đổi biến
để đưa một phương trình sai phân cấp k trong R
1
về một phương tr ình sai phân cấp một
trong R
k
.
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k dạng chính tắc:
x(n + k) =
a

k−1
x(n + k −1) + a
k−2
x(n + k −2) + ···+a
1
x(n + 1) + a
0
x(n) + f (n). (1.13)
Đặt






















y
1
(n) = x(n)
y
2
(n) = x(n + 1) = y
1
(n + 1)

y
k−1
(n) = x(n + k −2) = y
k−2
(n + 1)
y
k
(n) = x(n + k −1) = y
k−1
(n + 1).
Khi đó, ta có một hệ các phương tr ình sai phân cấp một:




























y
1
(n + 1) = y
2
(n)
y
2
(n + 2) = y
3
(n)
y
3
(n + 1) = y

4
(n)

y
k−1
(n + 1) = y
k
(n)
y
k
(n + 1) = a
0
y
1
(n) + a
1
y
2
(n) + ···+ a
k−2
y
k−1
(n) + a
k−1
y
k
(n) + f (n).
Đặt A =









0 1 0 0 . 0
0 0 1 0 . 0
0 0 0 1 . 0
. . . . . .
a
0
a
1
a
2
a
3
. a
k−1








, Y(n) =







y
1
(n)
y
2
(n)
.
.
.
y
k
(n)






và F(n) =










0
0
.
.
.
0
f (n)









. Khi
đó, phương tr ình (1.13) trở thành
Y (n + 1) = AY(n) + F(n). (1.14)
Ngược lại, ta cũng có thể đưa một phương trình sai phân tuyến tính cấp một trong R
k
về
một hệ các phương tr ình sai phân tuyến tính cấp k trong R
1
.
Bây giờ ta xét đến công thức nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính trong R
k

(hoặc
trong không gian tổng quát X). Xét phương trình sau với x ∈R
k
(hoặc x ∈ X):
x(n + 1) = A(n)x(n) + f (n). (1.15)
13
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
Phương trình thuần nhất tương ứng của nó là:
x(n + 1) = A(n)x(n). (1.16)
1.3.1 Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất.
Đầu tiên, ta tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1.16).
Cho một cặp (n
0
, x
0
) ∈ Z ×R
k
tùy ý. Nghiệm của (1.16) với điều kiện ban đầu (n
0
, x
0
)
được xác định như sau (xem [6]):






















x(n
0
) = x
0
x(n
0
+ 1) = A(n
0
)x(n
0
) = A(n
0
)x
0
x(n
0

+ 2) = A(n
0
+ 1)A(n
0
)x
0

x(n) = A(n −1)A(n −2)···A(n
0
)x
0
.
Đặt Φ(n, n
0
) = A(n −1)A(n −2)···A(n
0
+ 1)A(n
0
) =
n−1
∏
i=n
0
A(i)
và C = x(n
0
) là véc tơ hằng tùy ý. Khi đó, ta có
x(n) = Φ(n, n
0
)C. (1.17)

Ma trận
Φ(n, m) = A(n −1)A(n −2)···A(m + 1)A(m) (m ≤ n) (1.18)
gọi là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (1.16) và (1.15).
Trong trường hợp ma trận A không suy biến với mọi n ∈Z, ta có
Φ(n, m) = Φ(n, 0)Φ
−1
(m, 0)
= A(n −1)···A(1)A(0)[A(m −1)A(m −2)···A(1)A(0)]
−1
= A(n −1)A(n −2)···A(m + 1)A(m)
(1.19)
Khi đó, ma trận sau đây gọi là ma trận Green:
Φ(n, m) = Φ(n, 0)Φ
−1
(m, 0).
Ma trận này xác định với mọi m, n ∈Z, kể cả m > n. Ma trận Green có các tính chất [6,7]:
i) Φ(n, n) = I với mọi n ∈ Z.
ii) Φ(m, l)Φ(l, n) = Φ(m, n).
iii) Nghiệm tổng quát của (1.16) là x(n) = Φ(n, m)x(m).
14
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
1.3.2 Nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất.
Từ nghiệm tổng quát (1.17) của (1.16)
x(n) = Φ(n, n
0
)C
bằng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể tìm được công thức nghiệm tổng quát của
phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.15). Giả sử A(n) không suy biến
với mọi n ∈ Z. Ta làm như sau: Ở (1.17) coi C là một hàm của n, tức là C = C(n). Khi
đó

x(n) = Φ(n, n
0
)C(n) ⇒x(n +1) = Φ(n + 1, n
0
)C(n + 1).
Thay x(n), x(n + 1) vào (1.15), ta được
Φ(n + 1, n
0
)C(n + 1) = A(n)Φ(n,n
0
)C(n) + f (n)
⇔ Φ(n +1, n
0
)C(n + 1) = Φ(n +1, n
0
)C(n) + f (n)
⇔C(n + 1) −C(n) = Φ
−1
(n + 1, n
0
) f (n).
(1.20)
Từ (1.20), ta có:
















C(n
0
+ 1) −C(n
0
) = Φ
−1
(n
0
+ 1, n
0
) f (n
0
)
C(n
0
+ 2) −C(n
0
+ 1) = Φ
−1
(n
0
+ 2, n

0
) f (n
0
+ 1)

C(n)−C(n −1) = Φ
−1
(n, n
0
) f (n −1).
Lấy C = C(n
0
), khi đó ta có
C(n) = C +
n−n
0
∑
i=1
Φ
−1
(n
0
+ i, n
0
) f (n
0
+ i −1). (1.21)
Thay (1.21) vào (1.17), ta có nghiệm tổng quát của (1.15) là
x(n) = Φ(n, n
0

)[C +
n−n
0
∑
i=1
Φ
−1
(n
0
+ i, n
0
) f (n
0
+ i −1)]
⇔ x(n) = Φ(n, n
0
)C +
n−n
0
∑
i=1
Φ(n, n
0
+ i) f (n
0
+ i −1)
(1.22)
Hai trường hợp riêng:
1) Nếu lấy n
0

= 0 thì
x(n) = Φ(n, 0)C +
n
∑
i=1
Φ(n, i) f (i −1).
15
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
2) Nếu A là ma trận hằng và n
0
= 0 thì
x(n) = A
n
C +
n
∑
i=1
A
n−i
f (i −1).
Hay
x(n) = A
n
C +
n−1
∑
i=0
A
n−i−1
f (i).

Việc tìm nghiệm tổng quát thường gặp khó khăn do phải biết được biểu thức của
A
n
. Trong nhiều trường hợp đặc biệt khó khăn này có thể khắc phục. Sau đây là một số
trường hợp như vậy:
Ví dụ 1.3.1. Tìm nghiệm tổng quát của:























x

1
(n + 1) =
√
2
2
x
1
(n) +
√
2
2
x
3
(n) (x
i
∈ R
1
)
x
2
(n + 1) = 9
k
x
2
(n)
x
3
(n + 1) = −
√
2

2
x
1
(n) +
√
2
2
x
3
(n)
x
4
(n + 1) = 2x
4
(n) + 6x
5
(n)
x
5
(n + 1) = 2x
5
(n)
(1.23)
Lời giải.
A(n) =












√
2
2
0
√
2
2
0 0
0 9
k
0 0 0
−
√
2
2
0
√
2
2
0 0
0 0 0 2 6
0 0 0 0 2












Ta có det(A(n)) = 4.9
n
khác 0 với mọi n ∈ Z. Vậy A(n) không suy biến với mọi n. Lấy
n
0
= 0, C = x(0) ∈ R
5
, theo (1.17) ta có
x(n) = Φ(n, 0)C =
n−1
∏
i=0
A(i)C. (1.24)
Công thức (1.24) còn chưa thật cụ thể, ta muốn tính toán cụ thể tới từng phần tử. Ta
16
Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
thấy
A(k) =











cos
π
4
0 sin
π
4
0 0
0 9
k
0 0 0
−sin
π
4
0 cos
π
4
0 0
0 0 0 2 6
0 0 0 0 2











Ta thấy: B :=

2 6
0 2

= 2

1 3
0 1

⇒ B
n
= 2
n

1 3n
0 1

.
Bằng phương pháp quy nạp, ta có thể tính được:
Φ(n, 0) = A
n
=











cosn
π
4
0 sin
nπ
4
0 0
0 3
n
2
−n
0 0 0
−sin
nπ
4
0 cos
nπ
4
0 0
0 0 0 2
n

3n2
n
0 0 0 0 2
n










Vậy với C = x
0
= (C
1
,C
2
,C
3
,C
4
,C
5
)
T
ta có






















x
1
(n) = C
1
cos
nπ
4
+C
3
sin

nπ
4
x
2
(n) = C
2
3
n
2
−n
x
3
(n) = −C
1
sin
nπ
4
+C
3
cos
nπ
4
x
4
(n) = C
4
2
n
+ 3nC
5

2
n
x
5
(n) = C
5
2
n
.
1.3.3 Các véc tơ riêng và công thức nghiệm
Xét phương trình
X(n + 1) = AX(n), X(n) ∈ R
k
.
Ta đã biết nghiệm của phương tr ình này với điều kiện ban đầu (0, X(0)) là X(n) =
A
n
X(0). Do việc tính lũy thừa A
n
là khó nên ta thường tìm cách tránh việc tính toán này
bằng các cách khác. Trong trường hợp nếu biết các giá trị riêng của ma trận hằng số A,
ta có thể giải như sau:
Định lý 1.3.2. Giả sử ma trận hằng số A có các giá trị riêng là λ
1
, λ
2
, , λ
p
ứng với
đúng p véc tơ riêng độc lập tuyến tính là v

1
, v
2
, , v
p
thì nghiệm tổng quát của phương
trình trên là
X(n) = C
1
v
1
λ
n
1
+C
2
v
2
λ
n
2
+ ···+C
p
v
p
λ
n
p
.
17

Chương 1. Mở đầu về phương trình sai phân
Ví dụ 1.3.3. Giải phương trình: X(n + 1) = AX(n), trong đó
A =



1 −3 3
3 −5 3
6 −6 3



Lời giải. Phương trình đặc trưng:
det (A −λE) = 0 ⇔



λ = λ
1
= −2
λ = λ
2
= −2
λ = λ
3
= 3.
+) Với λ = λ
1
= −2, tìm được hai véc tơ riêng là v
1

=



1
1
0



; v
2
=



1
0
−1



.
+) Với λ = λ
3
= 3, tìm được véc tơ riêng là v
3
=




3
3
5



Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
X(n) = C
1



1
1
0



(−2)
n
+C
2



1
0
−1




(−2)
n
+C
3



3
3
5



3
n
hay X(n) = (x
1
(n), x
2
(n), x
3
(n))
T
, trong đó










x
1
(n) = C
1
(−2)
n
+C
2
(−2)
n
+ 3C
3
3
n
x
2
(n) = C
1
(−2)
n
+ 3C
3
3
n
x

3
(n) = −C
2
(−2)
n
+ 5C
3
3
n
.
Tóm tắt chương 1. Chương này đã trình bày khái niệm sai phân, phương trình sai phân,
công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính trong R
1
, R
p
và mối
liên hệ qua lại giữa chúng.
18
Chương 2
Tính ổn định của các phương
trình sai phân.
2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai
phân.
Lý thuyết ổn định nghiệm các phương trình sai phân là bước mở rộng tự nhiên từ lý
thuyết ổn định nghiệm của các phương trình vi phân. Lý thuyết này được đặt nền móng
bởi A. Lyapunov, một nhà toán học người Nga vào cuối thế kỷ 19. Kể từ đó lý thuyết ổn
định phát triển mạnh và ngày càng được ứng dụng nhiều để phân tích các quá trình thực
tiễn (xem [1,2,4,5,6]). Lý thuyết ổn định quan tâm đến dáng điệu của tập nghiệm trên
nửa trục thời gian [0;+∞). Lyapunov cũng giới thiệu hai phương pháp chính để nghiên
cứu tính ổn định. Phương pháp thứ nhất dựa vào tập phổ của ma trận hay của toán tử

tuyến tính. Phương pháp thứ hai dựa vào một loại hàm bổ trợ, thường được gọi là hàm
Lyapunov ([1,2,6,10]). Ngoài hai phương pháp cơ bản này, gần đây nhiều nhà nghiên
cứu đề cập đến các cách nghiên cứu khác. Một trong các cách như vậy là dựa vào các bất
đẳng thức đặc thù như bất đẳng thức Gronwall ([6,8]), bất đẳng thức Halanay ([4,5,7]).
Trong chương này chúng tôi chủ yếu tập trung cho phương pháp nghiên cứu tính ổn định
thông qua các bất đẳng thức sai phân Halanay. Bất đẳng thức này đã được Halanay đưa
ra cho trường hợp thời gian liên tục và gần đây được nhiều tác giả chuyển qua trường
hợp thời gian rời rạc.
Nhắc lại rằng ta đang làm việc trên tập thời gian Z hoặc Z
+
.
Như đã nói ở trên, mọi phương trình cấp cao đều có thể đưa về phương trình cấp một
19
Chương 2. Tính ổn định của các phương trình sai phân.
trong không gian có số chiều lớn hơn. Vậy, không mất tính tổng quát, ta chỉ phát biểu
các khái niệm và mệnh đề cho phương trình cấp một. Xét phương trình sai phân dạng
chính tắc trong R
p
:
x(n + 1) = f (n, x(n)), (2.1)
f (n, 0) = 0 với mọi n ∈ Z(n
0
) := {n
0
, n
0
+ 1, n
0
+ 2, }. (2.2)
Điều kiện (2.2) đảm bảo để hệ (2.1) có nghiệm tầm thường x ≡0.

Để đơn giản và không mất tính tổng quát, ta thường lấy n
0
= 0.
Định nghĩa 2.1.1. [2] Nói nghiệm tầm thường x(n) ≡0 của phương trình sai phân (2.1)
là ổn định nếu với mọi n
0
∈Z
+
và với mọi số ε > 0 cho trước luôn tồn tại số δ = δ (ε, n
0
),
sao cho mọi nghiệm x(n) của phương trình (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức: x(n
0
) < δ
thì sẽ thỏa mãn x(n) < ε với mọi n ≥ n
0
.
Nếu nghiệm ổn định x(n) ≡ 0 là hút, nghĩa là có thêm tính chất: Tồn tại số δ
1
=
δ
1
(n
0
, ε) sao cho từ x(n
0
) < δ
1
kéo theo lim
n→∞

x(n) = 0 thì nói nghiệm tầm thường
này là ổn định tiệm cận.
Với n
0
∈Z
+
, nếu tồn tại các số dương N, α và tập D
n
0
⊆R
k
sao cho khi x(n
0
) ∈ D
n
0
sẽ kéo theo x(n)≤ Ne
−α(n−n
0
)
với mọi n ≥n
0
, thì ta nói nghiệm tầm thường là ổn định
mũ. Tập D
n
0
rộng nhất có tính chất trên gọi là miền hút tại n
0
của nghiệm tầm thường.
Nếu các số δ

0
, δ
1
nói trên có thể chọn không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu n
0
thì
các nghĩa ổn định trên đây gọi là "đều".
Phương pháp thứ nhất Lyapunov. Xét hệ thuần nhất dừng trong R
p
:
X(n + 1) = AX(n) (2.3)
Tập phổ của ma trận A là σ(A) = {λ ∈C : det (A −λE) = 0}. Đây chính là tập các giá
tr ị riêng của ma trận A. Dễ thấy hệ (2.3) có nghiệm cân bằng tầm thường X(n) ≡ 0 với
20
Chương 2. Tính ổn định của các phương trình sai phân.
mọi n.
Ký hiệu:
B
1
(0) = {λ ∈ C : λ < 1}
B
1
[0] = {λ ∈ C : λ ≤1}.
Định lý 2.1.2. Nghiệm tầm thường X(n) ≡ 0 của hệ (2.3) (hay bản thân hệ (2.3)) là ổn
định nếu σ(A) ⊆B
1
[0], trong đó các nghiệm của phương trình đặc trưng có modul bằng
1 chỉ là nghiệm đơn.
Nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận nếu σ(A) ⊆ B
1

(0).
Phương pháp hàm Lyapunov. Phương pháp này nghiên cứu tính ổn định dựa vào
một loại hàm bổ trợ, gọi là hàm Lyapunov. Hầu hết các dấu hiệu ổn định chỉ được phát
biểu dưới dạng các điều kiện đủ. Trong một vài trường hợp đặc biệt cũng có thể có được
cả điều kiện cần, nghĩa là có thể xây dựng được hàm Lyapunov cho hệ. Trước tiên ta ký
hiệu một lớp hàm số trong R
+
như sau (gọi là lớp hàm Hahn):
K = {a(·) : R
+
→ R
+
sao cho a(0) = 0, liên tục, đơn điệu tăng}.
Định lý 2.1.3. Xét hệ sai phân trong R
k
:
x
n+1
= f(n, x
n
) (2.4)
f (n, 0) = 0, với mọi n. (2.5)
Nếu tồn tại hàm V : Z
+
×R
k
→ R
+
, sao cho
1)

V (n, 0) = 0, V (n, x) > 0, với mọi x khác 0. (2.6)
2) V (n, x) liên tục theo x (trong một lân cận U của x = 0).
3) Tồn tại hàm a(·) ∈K sao cho
a(x) ≤V(n, x), (∀ n ∈ Z
+
, ∀ x ∈U). (2.7)
4)
∆V (n, x
n
) = V(n +1, x
n+1
) −V (n, x
n
) ≤0, (∀ n ∈ Z
+
) (2.8)
trong đó x
n+1
xác định ở (2.4). Khi đó, nghiệm tầm thường x
n
≡ 0 của (2.4) và
(2.5) là ổn định. Hơn nữa:
5) Nếu tồn tại thêm hàm c(·) : R
+
→ R
+
và c(s) > 0, ∀s > 0, c(0) = 0 sao cho
∆V (n, x
n
) ≤−c(x

n
) (2.9)
thì x
n
≡ 0 là ổn định tiệm cận.
21
Chương 2. Tính ổn định của các phương trình sai phân.
2.2 Phương pháp bất đẳng thức trong nghiên cứu
các định tính.
2.2.1 Bất đẳng thức Halanay.
Phần này tr ình bày phiên bản kiểu rời rạc của bất đẳng thức Halanay và cách áp dụng
để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của phương tr ình sai phân dạng tổng quát.
Xét phương trình sai phân:
∆x
n
= f(n, x
n
, x
n−1
, , x
n−r
) n ∈ Z, (2.10)
trong đó ∆x
n
= x
n+1
−x
n
, và f : Z ×R
r+1

→ R. Giá trị ban đầu xác định qua dãy
{x
−r
, x
−r+1
, , x
0
}. Với mọi dãy giá trị ban đầu, phương trình (2.10) tồn tại duy nhất
nghiệm {x
n
}
n≥−r
và nghiệm đó có thể tính được theo công thức tường minh sau:
x
n+1
= x
n
+ f (n, x
n
, x
n−1
, , x
n−r
) (n ∈ Z). (2.11)
Đầu tiên ta chứng minh một bổ đề thường dùng sau đây:
Bổ đề 2.2.1. Cho A;B là các hằng số dương và {x
n
}
n≥−r
;{y

n
}
n≥−r
là hai dãy số thực
thỏa mãn:
x
n+1
≤ Ax
n
+ B max{x
n
;x
n−1
;x
n−2
; ; x
n−r
},
y
n+1
= Ay
n
+ B max{y
n
;y
n−1
;y
n−2
; ; y
n−r

}.
Khi đó, nếu x
n
≤ y
n
, ∀n = −r, −r + 1, , 0 thì x
n
≤ y
n
, ∀n ≥0.
Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định trên là đúng bằng phương pháp quy nạp. Thật
vậy,
Với n = 0 thì x
0
≤ y
0
. Mệnh đề đúng do giả thiết.
Giả sử khẳng định trên đúng với n = k ≥ 0, tức là x
k
≤ y
k
, ∀k ≥0. Ta cần chứng minh
khẳng định cũng đúng với n = k +1:
x
k+1
≤ Ax
k
+ B max{x
k
, x

k−1
, , x
k−r
}
y
k+1
= Ay
k
+ B max{y
k
, y
k−1
, , y
k−r
}.
Mặt khác, do giả thiết quy nạp x
i
≤ y
i
, ∀i ≤k và A > 0;B > 0 nên ta có:
x
k+1
≤ Ax
k
+ B max{x
k
, , x
k−r
} ≤Ay
k

+ B max{y
k
, , y
k−r
} = y
k+1
.
Vậy x
k+1
≤ y
k+1
, ∀k ≥ 0. Bổ đề được chứng minh xong.
Nhận xét. Xét phương trình sai phân trong không gian Banach tổng quát X:
X(n + 1) = AX(n) + F(n, X(n), X(n −1), , X(n −r))
22