Bài tập lớn Sức bền vật liệu số1 Tính đặc trưng hình học của hình phẳng

Tr ờng Đại Học Giao Thông Vận Tải
Khoa Công Trình
Bộ môn Sức Bền Vật Liệu
Bài tập lớn số 1
Tính đặc trng hình học của hình phẳng
Số hiệu: 9-9
Giáo viên hớng dẫn: Lơng Xuân Bính
Sinh viên thực hiện: Trần Mạnh Cờng
Lớp: Tự Động Hoá Thiết Kế Cầu Đờng
Khoá: 40
Hà Nội 10/2001
phần 1
Hình loại 9
Kích thớc loại 9
1. Xác định trọng tâm:
- Hệ trục ban đầu OXY
- Chia hình thành các hình ghép sau:
+ Hình 1: Tam giác, trọng tâm C1.
+ Hình 2: Chữ nhật, trọng tâm C2.
+ Hình 3: Chữ nhật, trọng tâm C3( khuyết).
+ Hình 4: Chữ nhật, trọng tâm C4
+ Hình 5: 1/4 hình tròn, trọng tâm C5( khuyết).
H×nh 1: Tam gi¸c, träng t©m C1
- DiÖn tÝch: F1 =
p)p(n
2
1
+
= 170 cm
2
- X

C1
= - (m+
3
p
) = -29,3 cm
- Y
C1
=
p)(n
3
1
+
= 11,3 cm
- Sy
1
= F1.Xc
1
= - 4981 cm
3
- Sx
1
= F1.Yc
1
= 1921 cm
3
H×nh 2: Ch÷ nhËt, träng t©m C2.
- DiÖn tÝch: F2 = m(n+p) = 884 cm
2
- Xc
2

= -
2
m
= -13 cm
- Yc
2
=
2
pn +
= 17 cm
- Sy
2
= F2.Xc
2
= - 11492 cm
3
- Sx
2
= F2.Yc
2
= 15028 cm
3
H×nh 3: Ch÷ nhËt( khuyÕt), träng t©m C3.
- DiÖn tÝch: F3 = (m-2p).n = 144 cm
2
- Xc
3
= -
2p)-(m
2

1
= - 3 cm
- Yc
3
=
2
n
p +
= 22 cm
- Sy
3
F3.Xc
3
= -432 cm
3
- Sx
3
= F3.Yc
3
= 3168 cm
3
Hình 4: Hình vuông, trọng tâm C4
- Diện tích: F4 = p
2
= 100 cm
2
- Xc
4
= Yc
4

=
2
p
= 5 cm
- Sy
4
= Sx
4
= 500 cm
3
Hình 5: 1/4 tròn( khuyết), trọng tâm C5.
- Xét hình quạt với trục toạ độ nh sau:
Trọng tâm C5 của hình đối với trục xOy
giả định có toạ độ:
Xc
5
=Yc
5
=
3
4R
= 4,2 cm
Toạ độ trọng tâm C5 đối với hệ trục toạ độ xOy đã chọn ban đầu là:
Xc
5
= 10 4,2 = 5,8 cm
Yc
5
= 10 4,2 = 5,8 cm
- Diện tích: F5 =

4
1
.p
2
= 78,5 cm
2
- Sy
5
= F5.Xc
5
= 455,3 cm
3
- Sx
5
= F5.Yc
5
= 455,3 cm
3
B¶ng 1:
H×nh
sè
H×nh vÏ
DiÖn tÝch
Fi(cm
2
)
Xci
(cm
2
)

Yci
(cm
2
)
Syi=FiXci
(cm
3
)
Sxi=FiYci
(cm
3
)
1 170 -29.3 11.3 -4981 1921
2 884 -13 17 -11492 15028
3 - 144 -3 22 432 - 3168
4 - 100 5 5 - 500 - 500
5 78.5 5.8 5.8 455.3 455.3
Tæng 888.5 - 16085.7 13736.3
Xc =
∑
∑
i
i
F
Sy
= -18.1 Yc =
∑
∑
i
i

F
Sx
= 15.5
2. Xác định các mô men quán tính đối với hệ trục trung tâm Cxy song song với
hệ trục OXY
Hình 1: Xét tam giác với hệ trục toạ độ nh hình vẽ ta có:
Jxc
1
=
36
3
h b
= 944,4 cm
4
Jyc
1
=
36
h
3
b
= 10917,8 cm
4
Jxc
1
yc
1
= -
72
22

hb
= -1605,6 cm
4
áp dụng phép quay trục với góc quay = 90
o
ta có:
Jxc
1
=
JxySin2 - Cos2
2
Jy -Jx

2
Jy Jx
+
+
= 10918 cm
4
Jyc
1
=
JxySin2 - Cos2
2
Jy -Jx

2
Jy Jx

+

= 944,4 cm
4
Jxc
1
yc
1
=
JxyCos2 Sin2
2
Jy-Jx
+
= 1605,6 cm
4
a1 = Xc
1
Xc = -11,2 cm
b1 = Yc
1
Yc = -4,2 cm
Hình 2: Hình chữ nhật có kích thớc: h = 34 cm và b = 26 cm
Ta có:
Jxc
2
=
12
h b
3
= 85159 cm
4
Jyc

2
=
12
hb
3
= 49799 cm
4
Vì hình 2 là hình chữ nhật( có trục đối xứng ) nên Jxc
2
c
2
= 0.
a1 = Xc
2
Xc = 5,1 cm
b2 = Yc
2
Yc = 1,5 cm
Hình 3: Hình chữ nhật có kích thớc: h = 24 cm và b = 6 cm
Ta có: Jxc
3
=
12
h b
3
= 6912 cm
4
Jyc
3
=

12
hb
3
= 432 cm
4
Vì hình 3 là hình chữ nhật( có trục đối xứng ) nên Jxc
3
yc
3
= 0.
a3 = Xc
3
Xc = 15,1 cm
b3 = Yc
3
Yc = 6,5 cm
Hình 4: Hình vuông có kích thớc: h = 10 cm và b = 10 cm
Ta có: Jxc
4
= Jyc
4
=
12
h b
3
= 833 cm
4
Vì hình 4 là hình vuông( có trục đối xứng ) nên Jxc
4
yc

4
= 0.
a4 = Xc
4
Xc = 23,1 cm
b4 = Yc
4
Yc = - 10,5 cm
Hình 5: Xét hình quạt với trục toạ độ nh hình vẽ :
Jx = Jy 0,0548R
4
= 548 cm
4
Jxy - 0,0165R
4
= - 165 cm
4
Sử dụng phép quay trục với góc = 180
o
ta có:
Jxc
5
=
xySin2J' - Cos2
2
yJ' -x J'

2
yJ' x J'
+

+
= 548 cm
4
Jyc
5
=
xySin2J' - Cos2
2
yJ' -x J'

2
yJ' x J'

+
= 548 cm
4
Jxc
5
yc
5
=
xyCos2J' Sin2
2
y J'-xJ'
+
= - 165 cm
4
a5 = Xc
5
Xc = 23,9 cm

b5 = Yc
5
Yc = - 9,7 cm
Bảng 2:
Hình số J
xci
J
yci
J
xciyci
F
i
a
i
=
X
ci
-X
c
b
i
=
Y
ci
-Y
c
a
i
2
F

i
b
i
2
F
i
a
i
b
i
F
i
1 10918 944,4 1605,6 170 -11,2 -4,2 21308,3 2942,1 7917,8
2 85159 49799 0 884 5,1 1,5 23031,9 2096,2 6948,4
3 -6912 -432 0 -144 15,1 6,5 -32852,3 -6158,9 -14224,4
4 -833 -833 0 -100 23,1 -10,5 -53381 -10941,4 24167,4
5 548 548 -165 78,5 23,9 -9,7 44856,2 7325,4 -18127,1
Jxc =
∑∑
==
+
5
1 i
2
5
1 i
i
Fibi Jxc
= 84143,5 cm
4

Jyc =
∑∑
==
+
5
1 i
2
5
1 i
i
Fiai Jyc
= 52989,6 cm
4
Jxcyc =
∑∑
==
+
5
1 i
5
1 i
ii
aibiFi ycJxc
= 8122,6 cm
4
M« men qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m vµ hÖ trôc qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m:
J
max
=
22

4Jxcyc Jyc) - (Jxc
2
1

2
Jyc Jxc
++
+
= 86134 cm
4
J
min
=
22
4Jxcyc Jyc) - (Jxc
2
1

2
Jyc Jxc
+−
+
= 50999 cm
4
α1 = Arctg









Jmax - Jyc
Jxcyc
= - 13
o
46’ 12”
α2 = Arctg








Jmin - Jyc
Jxcyc
= 76
o
13’ 48”
KÕt qu¶:
Xc = -18,1 cm
Yc = 15,5 cm
Jmax = 86134 cm
4
Jmin = 50999 cm
4
α1 = -13

o
46’ 12”
α2 = 76
o
13’ 48”
α2
α
1
Phần II.
Hình loại 9
Kích thớc loại 9
1. Xác định trọng tâm.
Đặt hệ trục toạ độ ban đầu: Oxy
Các hình thành phần bao gồm:
Hình 1: Mặt cắt thép góc không đều cánh, trọng tâm C1
Kích thớc: 9 x 5,6 x 0,6 cm
Hình 2: Mặt cắt thép bản, trọng tâm C2
Kích thớc: 27 x 14 cm
Hình 3: Mặt cắt thép chữ C, trọng tâm C3
Kích thớc: 27 x 9,5 x 0,6 x 1,05 cm
Hình 1: Mặt cắt thép góc không đều cánh, trọng tâm C1.
- Diện tích: F1 = 8,54 cm
2
(Tra bảng)
- Xc
1
= 27- (5,6 - 1,28) = 22,68 cm
- Yc
1
= 27 + 1,4 + 2,95 = 31,35 cm

- Sy
1
= F1 x Xc
1
= 193,69 cm
3
- Sx
1
= F1 x Yc
1
= 267,73 cm
3
H×nh 2: MÆt c¾t thÐp b¶n, träng t©m C2.
- DiÖn tÝch: F2 = 27 x 1,4 = 37,8 cm
2
- Xc
2
=
2
27
= 13,5 cm
- Yc
2
= 27 +
2
1,4
= 27,7 cm
- Sy
2
= F2 x Xc

2
= 510,3 cm
3
- Sx
2
= F2 x Yc
2
= 1047,06 cm
3
H×nh 3: MÆt c¾t thÐp ch÷ C, träng t©m C3.
- DiÖn tÝch: F3 = 35,2 cm
2
(Tra b¶ng)
- Xc
3
= 2,47 cm (Tra b¶ng)
- Yc
3
=
2
27
= 13,5 cm
- Sy
3
= F3 x Xc
3
= 86,94 cm
3
- Sx
3

= F3 x Yc
3
= 475,2 cm
3
B¶ng 1:
H×nh
sè
H×nh vÏ
DiÖn
tÝch
Fi (cm
2
)
Xc
i
(cm)
Yc
i
(cm)
Sy
i
=
Fi.Xc
i
(cm
3
)
Sx
i
=

Fi.Yc
i
(cm
3
)
1 8.54 22.68 31.35 193.69 267.73
2 37.8 13.5 27.7 510.3 1047.06
3 35.2 2.47 13.5 86.944 475.2
Tổng 81.54 790.93 1789.99
Xc =


i
i
F
Sy
= 9,7 cm Yc =


i
i
F
Sx
= 21,95 cm
2. Xác định mô men quán tính đối với hệ trục trung tâm Cxy song song với hệ
trục Oxy.
Hình 1: Mặt cắt thép góc không đều cánh, trọng tâm C1.
- Jxc
1
= 70,6 cm

4
(Tra bảng)
- Jyc
1
= 21,2 cm
4
(Tra bảng)
- Jmin = 12,7 cm
4
(Tra bảng)
Tg = 0,384
Jxc
1
yc
1
= 22,14 cm
4
Hình 2: Mặt cắt thép bản, trọng tâm C2.
Kích thớc: h = 1,4 cm; b = 27 cm.

Sx
i

F
i
- Jxc
2
=
12
bh

3
= 6,17 cm
4
- Jyc
2
=
12
hb
3
= 2296,35 cm
4
- Jxcyc
2
= 0 (V× mÆt c¾t thÐp b¶n cã trôc ®èi xøng)
H×nh 3: MÆt c¾t thÐp ch÷ C, träng t©m C3.
- Jxc
3
= 4160 cm
4
- Jyc
3
= 262 cm
4
- Jxc
3
yc
3
= 0 (V× mÆt c¾t thÐp ch÷ C cã trôc ®èi xøng)
B¶ng 2:
H×nh sè J

xci
J
yci
J
xciyci
F
i
a
i
=
X
ci
-X
c
b
i
=
Y
ci
-Y
c
a
i
2
F
i
b
i
2
F

i
a
i
b
i
F
i
1 70,6 21,2 22,14 8,54 12,98 9,4 1438,84 754,23 1041,74
2 6,17 2296,35 0 37,8 3,8 5,75 545,86 1248,77 825,62
3 4160 262 0 35,2 -7,23 -8,45 1839,96 2514,73 2151,05
Tæng 4236,77 2579,55 22,14 3824,66 4517,72 4018,4
Jxc =
∑∑
==
+
3
1 i
2
3
1 i
i
Fibi Jxc
= 8754,49 cm
4
Jyc =
∑∑
==
+
3
1 i

2
3
1 i
i
Fiai Jyc
= 6404,21 cm
4
∑
Sx
i
∑
F
i
Jxcyc =
∑∑
==
+
3
1 i
3
1 i
ii
aibiFi ycJxc
= 4040,54 cm
4
M« men qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m vµ hÖ trôc qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m:
J
max
=
22

4Jxcyc Jyc) - (Jxc
2
1

2
Jyc Jxc
++
+
= 11787,32 cm
4
J
min
=
22
4Jxcyc Jyc) - (Jxc
2
1

2
Jyc Jxc
+−
+
= 3371,39 cm
4
α1 = Arctg









Jmax - Jyc
Jxcyc
= - 36
o
53’ 24”
α2 = Arctg








Jmin - Jyc
Jxcyc
= 53
o
6’ 36”
KÕt qu¶:
Xc = 9,7 cm
Yc = 21,95 cm
Jmax = 111787,32 cm
4
Jmin = 3371,39 cm
4
α1 = - 36

o
53’ 24”
α2 = 53
o
6’ 36”
α
2
α1